LÓGICA MATEMÁTICA Slides de Aula - Unidade II

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Unidade II
LÓGICA MATEMÁTICA
Profa. Ana Carolina Bueno
Argumento válido
 É um conjunto de enunciados que 
possuem certa relação, e faz-se 
necessário que ao menos um deles 
seja apresentado como uma tese ou uma 
conclusão e os demais como justificativa 
desta tese, ou premissas para 
a conclusão. 
 Os argumentos são utilizados 
para provar a validade ou a invalidade 
do argumento. 
Argumentos válidos
 (P1  P2  P3  …  Pn)  Q, isto é
(P1  P2  P3  …  Pn)  Q é uma 
tautologia
 As proposições P1, P2, P3, ... Pn são 
denominadas premissas (consideradas 
verdadeiras) e Q é denominada 
conclusão.
Minha avó é alta (P1). 
Minha mãe é alta (P2). 
Eu sou alta (P3). 
Logo, minha filha será alta (Q).
Notação
1. As premissas vêm separadas por 
vírgulas, seguidas em sequência pelo 
símbolo ⊢ e finalizadas pela conclusão Q.
 P1, P2,..., Pn⊢ Q
2. Tem-se uma estrutura de uma coluna 
com várias linhas, sendo a última a 
relativa à conclusão, a qual é separada 
das demais por um traço.
 P1 
P2 
... 
Pn
Q
Exemplo de argumento inválido 
(sofisma)
 Proposições que não são argumentos 
válidos: 
Todos os combustíveis evaporam na 
mesma proporção.
Logo, vale a pena levar o cachorro ao pet
shop.
Outro exemplo de argumento 
inválido
 Nenhum macaco é banana.
Nenhuma banana tem rabo.
Logo, nenhum macaco tem rabo.
 Alguns professores são matemáticos.
Alguns matemáticos são altos.
Logo, alguns professores são altos.
 Forma de raciocínio incorreta.
Exemplo de argumento válido
Observe no exemplo abaixo os seguintes 
argumentos:
Todos os homens são mortais.
Sócrates é homem.
Logo, Sócrates é mortal.
Nesse caso, há uma argumentação válida 
na qual todas as premissas são verdadeiras 
e a conclusão também.
Outro exemplo de argumento válido
 Todas as mulheres são analfabetas.
Monteiro Lobato é mulher.
Logo, Monteiro Lobato é analfabeto.
Nesse caso, o argumento tem premissas 
e conclusão falsas. Porém, esse argumento 
possui a mesma estrutura do argumento do 
exercício anterior, o que significa que 
também é válido, mas não significa 
que é verdadeiro.
Mais um exemplo de argumento 
válido
 Todos os peixes vivem na água.
 Piranha é um peixe.
 Logo, a piranha vive na água.
Nesse caso, o argumento acima tem 
premissas e conclusão verdadeiras.
Argumento verdadeiro e falso
O argumento é válido quando toda a 
estrutura de suas premissas for válida, 
assim como a conclusão. Porém, ser válido 
não é o mesmo que ser verdadeiro. 
A estrutura do argumento pode estar 
correta, mas o argumento ser um absurdo, 
conforme o exemplo abaixo:
 Todas as mulheres são analfabetas.
 Monteiro Lobato é mulher.
 Logo, Monteiro Lobato é analfabeto.
Argumento verdadeiro e falso
 Todo carro é azul.
 O Fusca é um carro.
 Logo, o Fusca é azul.
Este é um argumento válido, pois se 
admite, em princípio, que as premissas 
são verdadeiras, logo, se elas fossem 
verdadeiras, a conclusão também seria.
Interatividade 
Podemos afirmar que, 
para os argumentos abaixo:
 Todas as baleias são mamíferas.
 As pessoas são mamíferas.
Logo,
a) Todas as baleias são pessoas.
b) Todas as pessoas são baleias.
c) Todos os mamíferos são baleias.
d) Todos os mamíferos são pessoas.
e) NDA.
Resposta
Alternativa correta: “b”.
Todas as baleias são mamíferas.
As pessoas são mamíferas.
Logo,
b) Todas as pessoas são baleias.
 Lembrando que argumento válido não é 
o mesmo que ser verdadeiro. A estrutura 
do argumento pode estar correta, mas o 
argumento pode ser um absurdo.
Regras de inferência
 Os argumentos fundamentais são 
utilizados para fazer inferências, 
ou seja, demonstrações.
 Vantagem do uso das regras de 
inferência em relação à tabela-verdade: 
quando se tem um número elevado de 
premissas, as tabelas-verdade tornam-se 
de um tamanho inviável, daí o uso dos 
argumentos fundamentais para 
demonstrar a validade de argumentos 
mais complexos.
Algumas regras de inferência
1. Adição (AD)
a) p ⊢ p ∨ q;
b) p ⊢ q ∨ p.
2. Simplificação (SIMP)
a) p ∧ q ⊢ p;
b) p ∧ q ⊢ q.
3. Conjunção (CONJ)
a) p, q ⊢ p ∧ q;
b) p, q ⊢ q ∧ p.
4. Absorção (ABS)
p → q ⊢ p → (p ∧ q)
5. Modusponens(MP ou 
regra da separação)
p → q, p ⊢ q
6. Modustollens(MT)
p → q, p ⊢ ~p
7. Silogismo disjuntivo (SD)
a) p ∨ q, ~p ⊢ q;
b) p ∨ q, ~q ⊢ p.
8. Silogismo hipotético (SH)
p → q, q → r ⊢ p → r.
9. Dilema construtivo (DC)
p → q, r → s, p ∨ r ⊢ q ∨ s
Exemplo do uso das regras de 
inferência
1. Regra da adição – sendo uma 
proposição p verdadeira, conclui-se que 
a sua disjunção com qualquer outra 
proposição é verdadeira.
 p q
(p  q)  r
Se p ∧ q for verdadeira, então (p ∧ q) ∨ r 
será verdadeira.
 x 
x x
Se x ≠ 4 for verdadeira, então x ≠ 4 ∨ x ≠ 1 
será verdadeira.
Outro exemplo do uso das regras 
de inferência
5. Regra modus ponens – sendo verdadeira 
a proposição p→q, conclui-se que a 
proposição p também o será
(p → q, p ⊢ q).
 Se hoje é sexta-feira, então amanhã irei 
ao cinema (p→q).
 Ora, hoje é sexta-feira.
Logo, amanhã irei ao cinema.
 Tem-se as proposições p e q abaixo com 
os seguintes significados:
 p = hoje é sexta-feira
 q = amanhã irei ao cinema
Mais um exemplo do uso das regras 
de inferência
6. Regra modus tollens – sendo 
verdadeiras as proposições p→q e ~q, 
conclui-se que a proposição ~p também 
o será (p → q, p ⊢ ~p).
 Se hoje for domingo, então irei ao 
cinema.
 Ora, não irei ao cinema.
 Logo, hoje não é domingo.
Exemplo de validação de 
argumentos
Se a = 3 e b = c, então b > 2
b ≤ 2
Portanto, b ≠ c
 Identificar as três proposições simples.
p: a = 3; 
q: b = c; 
r: b > 2.
Escrever o argumento na forma simbólica:
 p ∧ q → r, ~r ⊢ ~q
Exemplo de validação de 
argumentos
 Se João tem 2 m de altura e Maria tem a 
altura de Pedro, então Maria tem 1,8 m 
de altura.
A altura do Pedro é menor que 1,8 m.
Portanto, Maria e Pedro não tem a 
mesma altura.
Identificar as três proposições simples:
p: João tem 2 m de altura.
q: Maria tem a altura de Pedro.
r: Maria tem 1,8 m de altura.
Escrever o argumento na forma simbólica:
 p ∧ q → r, ~r ⊢ ~q
Exemplo de validação de 
argumentos
P 1 P 2 Q
p q r pq pqr ~r ~q
V V V V V F F
V V F V F V F
V F V F V F V
V F F F V V V 4
F V V F V F F
F V F F V V F 6
F F V F V F V
F F F F V V V 8
Outro exemplo de validação de 
argumentos
Verificar a validade do argumento: p∨q, ~q, p→r ⊢ ~q
P1 P2 Q P3
p q r pq ~q ~q p → r 
V V V V F F V
V V F V F F F
V F V V V V V 3
V F F V V V F
F V V V F F V
F V F V F F V
F F V F V V V
F F F F V V V
Interatividade 
Dado o argumento:
Se 13 não é ímpar, então 5 não é primo.
Mas 13 é ímpar.
Logo, 5 é primo.
I. A forma simbólica é dada por ~p → ~q, p ⊢ q
II. No argumento são dadas três premissas.
III. O argumento é um sofisma.
Assinale a alternativa que corresponde às 
afirmações corretas.
a) I.
b) II.
c) I e II.
d) I e III.
e) II e III.
Resposta 
 Alternativa correta d) I e III.
Se 13 não é ímpar, então 5 não é primo.
Mas 13 é ímpar.
Logo, 5 é primo.
 p: “13 é impar” e q: “5 é primo”, tem-se:
 ~p → ~q, p ⊢ q
P2 Q P1
p q ~p ~q ~p → ~q
V V F F V 1
V F F V V 2
F V V F F
F F V V V
Lógica dos predicados
Sócrates é homem.
Todo homem é mortal.
Logo, Sócrates é mortal.
 Intuitivamente, esse argumento é válido. 
 Usando a lógica proposicional, a 
formalização desse argumento resulta 
em p, q ⊢ r e não há como mostrar que a 
conclusão r é uma consequência lógica 
das premissas p e q. 
 A validade desse argumento depende do 
significado da palavra todo, que não 
pode ser expresso na lógica 
proposicional. 
Sentenças abertas x + 6 = 9
 x + 1 = 4
 u é capital da Argentina.
 Não podemos classificar tal enunciado 
aberto como proposição verdadeira ( V ) 
ou falsa ( F ), a menos que sejam 
atribuídos valores à variável x.
 Função proposicional é uma sentença 
aberta com uma variável cujos valores 
possíveis estão em um conjunto A.
Conjunto-verdade de uma sentença 
aberta
 O conjunto-verdade de uma sentença 
aberta p(x) em um conjunto A é o 
conjunto de todos os elementos a ∈ A 
tais que p(a) é uma proposição 
verdadeira (V).
Simbolicamente, fica:
 Vp = {(x ∈ A | p(x)}.
Conjunto-verdade de uma sentença 
aberta com uma variável
 Seja a sentença aberta “x + 4 > 7” em N. 
O conjunto verdade é:
 Vp = {x | x ∈ N ∧ x + 4 > 7 } = {4, 5, 6,...} ⊂
N
 Neste caso, tem-se como conjunto-
verdade um subconjunto de N com 
infinitos valores.
Sentenças abertas com duas 
variáveis
 Compreendendo dois conjuntos, A e B, 
entende-se por sentença aberta com 
duas variáveis em A x B ou sentença 
aberta A x B, uma expressão p(x, y) tal 
que p(a, b) é falsa (F) ou verdadeira (V) 
para todo par ordenado (a, b) ∈ A x B.
Exemplos:
 x é menor que y (x < y);
 x é divisor de y (x | y).
Conjunto-verdade de uma sentença 
aberta com duas variáveis
 O conjunto-verdade de uma sentença 
aberta p(x, y) em A x B é o conjunto de 
todos os elementos (a, b) ∈ A x B, tal que 
p(a, b) é uma proposição verdadeira.
Simbolicamente, fica:
 Vp = {(x, y) ∈ A x B | p(x, y)}.
Sentenças abertas com n variáveis
 Compreendendo n conjuntos A1, A2, 
A3,...An e o seu produto cartesiano A1x 
A2x ... xAn, entende-se por sentença 
aberta com n variáveis em A1x, A2x, ... 
xAn ou sentença aberta A1x, A2x, ... xAn, 
uma expressão p(x1, x2, ..., xn) para toda 
n-dupla (a1, a2, ..., an) ∈ A1 x A2 x ... x An.
Exemplos:
 x + 4y + 2z < 22.
Conjunto-verdade de uma sentença 
aberta com n variáveis
 O conjunto-verdade de uma sentença 
aberta p(x1, x2, ..., xn) em A1 x A2 x ... x An, 
o conjunto de todas n-duplas dupla (a1, 
a2, ..., an) ∈ A1 x A2 x ... An tais que p(a1, 
a2, ..., an) é uma proposição verdadeira 
(V).
Simbolicamente, fica:
 Vp = {(x1, x2, ..., xn) ∈ A1 x A2 x ... An | p(x1, 
x2, ..., xn)}.
Sintaxe da lógica proposicional
 Além dos conectivos lógicos (~, , ,  e 
), as fórmulas bem-formadas da lógica 
de predicados são compostas por:
 objetos;
 predicados;
 variáveis;
 quantificadores.
Objetos
 Um objeto pode ser qualquer coisa a 
respeito da qual precisamos dizer algo. 
 Objetos podem ser concretos (esse livro, 
a lua), abstratos (o conjunto vazio, a 
paz), ou fictícios (unicórnio, saci-pererê). 
 Objetos podem ainda ser atômicos 
ou compostos (um teclado é composto 
de teclas). 
 Nomes de objetos são escritos com 
inicial minúscula e assumimos que 
nomes diferentes denotam objetos 
diferentes.
Predicados
 Um predicado denota uma relação entre 
objetos de um determinado contexto de 
discurso.
 Exemplo: na figura podemos dizer que o bloco 
a está sobre o bloco b, usando o predicado 
sobre e escrevendo sobre(a, b);
 Para dizer que o bloco b é azul, podemos usar 
o predicado cor e escrever cor(b, azul)
 Para dizer que o bloco b é maior que o bloco c, 
podemos usar o predicado maior e escrever 
maior(b, c). 
 Nomes de predicados são escritos com inicial 
minúscula.
Variáveis
 Usando variáveis, podemos estabelecer 
fatos a respeito de objetos de um 
determinado contexto de discurso, sem 
ter que nomear explicitamente esses 
objetos.
 Por convenção, nomes de variáveis são 
escritos com inicial maiúscula.
 Designam objetos “desconhecidos” do 
Universo. “Alguém”. São normalmente 
representados por letras minúsculas de 
“u” a “z”.
Quantificadores
 Usando o quantificador universal (), 
podemos estabelecer fatos a respeito 
de todos os objetos de um contexto, 
sem termos que enumerar explicitamente 
todos eles.
 Usando o quantificador existencial (), 
podemos estabelecer a existência de um 
objeto sem ter que identificar esse objeto 
explicitamente.
Quantificadores
 ∀: uma quantificação universal é 
verdadeira se, e somente se todas as 
suas instâncias forem verdadeiras. Se 
houver pelo menos uma instância falsa, 
então a quantificação universal será 
falsa.
 ∃: uma quantificação existencial é 
verdadeira se, e somente se houver pelo 
menos uma instância sua que seja 
verdadeira. Se todas as suas instâncias 
forem falsas, então a quantificação 
existencial será falsa.
Exemplo do uso de quantificadores
 Todo bloco está sobre alguma coisa 
(bloco ou mesa). 
 X [bloco(X)  Y [sobre(X, Y )]]
Interatividade 
Qual alternativa representa uma sentença 
aberta com uma variável?
a) pot(2,2) * 4 > 5.
b) x * 5,4 > 3.
c) 4x + 2y - 3z > 51.
d) x é menor ou igual a y (x  y).
e) NDA.
Resposta 
Qual alternativa representa uma sentença 
aberta com uma variável?
a) pot(2,2) * 4 > 5.
b) x * 5,4 > 3.
c) 4x + 2y - 3z > 51.
d) x é menor ou igual a y (x  y).
e) NDA.
Quantificador universal (∀) (todo / 
nem todo)
Seja uma sentença aberta p(x) em um 
conjunto não vazio A(A ≠ ∅) e seja Vp o seu 
conjunto-verdade:
 Vp = { x | x ∈ A ∧ p(x)}
Exemplo de quantificador universal 
(∀)
Quando Vp = A, isto é, todos os elementos 
do conjunto A satisfazem a sentença aberta 
p(x), podemos, então, afirmar:
“Para todo elemento x de A, p(x) é verdadeira 
(V)”.
“Qualquer que seja o elemento x de A, p(x) é 
verdadeira (V)”.
 “Para todo x de A, p(x)”.
 “Qualquer que seja x de A, p(x)”.
…
Assim,
 ∀ x ∈ A: p(x).
…
Portanto,
 ∀ x: p(x).
Exemplo de quantificador universal 
(∀)
 (∀ x) (x é mortal).
Essa proposição se lê:
“qualquer que seja x, ele é mortal” (V) no 
universo H dos seres humanos.
 Todo homem é mortal, ou seja, qualquer 
que seja x (do Universo), se x é Homem, 
então x é Mortal.
 x H(x)→M(x)).
Exemplo de quantificador universal 
(∀)
 (∀ n ∈ N) (n + 5 > 3)
é verdade, porque o conjunto-verdade da 
sentença aberta p(n): n + 5 > 3 é:
Vp = { n | n ∈ N ∧ n + 5 > 3 } = { 1, 2, 3, …} = 
N.
 (∀ n ∈ N) (n + 2 > 8)
é falsa, porque o conjunto-verdade da 
sentença aberta p(n): n + 2 > 8 é:
 Vp = { n | n ∈ N ∧ n + 2 > 8 } = { 6, 7, 8, …} 
≠ N.
Usando o quantificador universal
Considere o seguinte conjunto de frases:
1. Marcos é um homem.
2. Marcos é brasileiro.
3. Dilma é presidente.
4. Todos os brasileiros são leais à Dilma
ou odeiam Dilma.
Assim,
1. homem(Marcos)
2. brasileiro(Marcos)
3. presidente(Dilma)
4.  x brasileiro(x)  leal(x,Dilma) v 
odeia(x,Dilma)
Quantificador existencial (∃)
Seja uma sentença aberta p(x) em um 
conjunto não vazio A(A ≠ ∅) e seja Vp o seu 
conjunto-verdade:
 Vp = { x | x ∈ A ∧ p(x)}.
Quantificador existencial (∃) (algum 
/ alguém)
Quando Vp = A não é vazio (Vp ≠ φ), A 
satisfaz a sentença aberta p(x), e pode-se 
afirmar que:
“Existe pelo menos um x ∈ A tal que p(x) é 
verdadeira (V)”.
“Para algum x ∈ A, p(x) é verdadeira (V)”.
“Existe x ∈ A tal que p(x)”.
“Para algum x ∈ A, p(x)”.
 Assim, ∃ x ∈ A: p(x).
 Portanto, ∃ x: p(x).
Prevalece a equivalência:
 (∃ x ∈ A) (p(x)) ⇔ Vp ≠ ∅.
Exemplo de quantificador 
existencial (∃)
 Pelo menos um homem é inteligente, ou 
seja, existe pelo menos um x em que x 
seja Homem e x seja Inteligente.
 x(H(x) ^ I(x))
 Existe uma pessoa chamada Pedro.
 x pessoa(x) ^ nome(x, Pedro)
Negação de sentenças 
quantificadas
O quantificador universal ou o existencial 
pode ser precedido do símbolo de negação 
~. Por exemplo, no universo dos habitantes 
do planeta Terra, as expressões:
 (∀ x) (x fala alemão);
~(∀ x) (x fala alemão).
 (∃ x) (x foi ao espaço);
~(∃ x) (x foi ao espaço).
Em linguagem comum, podem enunciar, 
respectivamente:
 “Toda pessoa fala alemão”;
“Nem toda pessoa fala alemão”.
 “Alguém foi ao espaço”;
“Ninguém foi ao espaço”.
Negação de sentenças 
quantificadas
Portanto, são evidentes as equivalências: ~(∀ x) (x fala alemão) ⇔ (∃ x) (~x fala 
alemão);
 ~(∃ x) (x foi ao espaço) ⇔ (∀ x) (~x foi ao 
espaço).
 Assim, a negação da proposição (∀ x ∈
A) (p(x)) é equivalente à afirmação de 
que para ao menos um x ∈ A, p(x) é falsa 
ou ~p(x) é verdade.
Enunciados categóricos
 Para facilitar a formalização de 
argumentos na lógica de predicados, 
destacamos quatro tipos de sentenças 
de especial interesse, denominadas 
enunciados categóricos:
 universal afirmativo;
 universal negativo;
 particular afirmativo;
 particular negativo.
Universal afirmativo
 São enunciados da forma X[p(X) 
q(X)]. 
 Em termos de conjuntos, um enunciado 
universal afirmativo estabelece que o 
conjunto p é um subconjunto do 
conjunto q. 
 Exemplo, a sentença “Todos os homens 
são mortais” pode ser traduzida como 
 X[h(X)  m(X)]
 ou seja, para todo X, se X  p, então X 
m.
Universal negativo
 São enunciados da forma X[p(X) 
~q(X)]. 
 Em termos de conjuntos, um enunciado 
universal negativo estabelece que os 
conjuntos p e q são disjuntos. 
 Exemplo, a sentença “Nenhum homem é 
extraterrestre" pode ser traduzida como 
 X[h(X)  ~e(X)]
 Ou seja, para todo X, se X  h então X 
e.
Particular afirmativo
 São enunciados da forma X[p(X)  q(X)]. 
 Em termos de conjuntos, um enunciado 
universal afirmativo estabelece que os 
conjuntos p e q têm uma intersecção não 
vazia. 
 Exemplo, a sentença “Alguns homens 
são cultos" pode ser traduzida como 
 X[h(X)  c(X)]
 Ou seja, existe X tal que X  h e X  c.
Particular negativo
 São enunciados da forma X[p(X)  ~q(X)]. 
 Em termos de conjuntos, um enunciado 
universal negativo estabelece que existem 
elementos que estão no conjunto p, mas 
não estão no conjunto q.
 Exemplo: a sentença “Alguns homens não 
são cultos” pode ser traduzida como 
 X[h(X)  ~c(X)].
 Ou seja, existe X tal que X  h e X  c.
Interatividade 
Para as sentenças:
(∀ p) (p estuda inglês);
- ~(∃ x) (x estuda matemática) é correto 
dizer:
a) “Toda pessoa estuda inglês”; “Ninguém 
estuda matemática”.
b) “Nem toda pessoa estuda inglês”; 
“Ninguém estuda matemática”.
c) “Toda pessoa estuda inglês”; “Nem 
todas as pessoas estudam matemática”.
d) “Alguém estuda inglês”; “Ninguém 
estuda matemática”.
e) NDA.
Resposta
Para as sentenças:
(∀ p) (p estuda inglês);
- ~(∃ x) (x estuda matemática) é correto 
dizer:
a) “Toda pessoa estuda inglês”; “Ninguém 
estuda matemática”.
b) “Nem toda pessoa estuda inglês”; 
“Ninguém estuda matemática”.
c) “Toda pessoa estuda inglês”; “Nem 
todas as pessoas estudam matemática”.
d) “Alguém estuda inglês”; “Ninguém 
estuda matemática”.
e) NDA.
ATÉ A PRÓXIMA!