GABARITO AV1 SERVOMECANISMOS 2

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CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA PROFESSOR: RAPHAEL F.G. DOS 
SANTOS 
NOME: MATRÍCULA 
DISCIPLINA: CONTROLE E 
SERVOMECANISMOS 2 
DATA NOTA 
GABARITO 
 
 
 
 Questão 1 (2,0 pts) Se a planta da figura abaixo tem função de transferência dada por: 
 
 
 
𝐺𝑝(𝑠) =
2
𝑠2(2𝑠 + 𝑠 + 2)
 
 
 
E tem um controle PID, qual será: 
a) O tipo de sistema? ANULADA 
b) Os erros em regime permanente ao que o sistema está sujeito a uma entrada degrau? 
= lim
𝑠→0
𝑠
𝑅(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)
= 
𝑠.
1
𝑠
1 +
2(𝑠𝐾𝑃 +𝐾𝑖 + 𝐾𝑑𝑠
2)
𝑠2(3𝑠 + 2)
=
1/𝑠
𝑠2(3𝑠 + 2) + 2(𝑠𝐾𝑃 +𝐾𝑖 + 𝐾𝑑𝑠2)
𝑠2(3𝑠 + 2)
= 1/𝑠.
𝑠2(3𝑠 + 2)
𝑠2(3𝑠 + 2) + 2(𝑠𝐾𝑃 +𝐾𝑖 + 𝐾𝑑𝑠2)
= 0 
 
 
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QUESTÃO 2 (2,0 pts): Determine a função no tempo amostrada relativa a função Z demonstrada abaixo. 
 
𝑭(𝒁) =
𝒁(𝒁 + 𝟏)(𝒁 + 𝟐)
(𝒁 − 𝟎, 𝟓)(𝒁 − 𝟎, 𝟕)(𝒁 − 𝟎, 𝟗)
 
 
 
 
𝑭(𝒁)
𝒛
=
(𝒁 + 𝟏)(𝒁 + 𝟐)
(𝒁 − 𝟎, 𝟓)(𝒁 − 𝟎, 𝟕)(𝒁 − 𝟎, 𝟗)
=
𝑨
(𝒁 − 𝟎, 𝟓)
+
𝑩
(𝒁 − 𝟎, 𝟕)
+
𝑪
(𝒁 − 𝟎, 𝟗)
 
 
 
[𝑨(𝒁 − 𝟎, 𝟕)(𝒁 − 𝟎, 𝟗)] + [𝑩(𝒁 − 𝟎, 𝟓)(𝒁 − 𝟎, 𝟗)] + [𝑪(𝒁 − 𝟎, 𝟓)(𝒁 − 𝟎, 𝟕)] = (𝒁 + 𝟏)(𝒁 + 𝟐) 
 
 
Para Z = 0,9 os termos A e B serão iguais a zero. 
 
 
 
𝑪(𝟎, 𝟗 − 𝟎, 𝟓)(𝟎, 𝟗 − 𝟎, 𝟕) = (𝟎, 𝟗 + 𝟏)(𝟎, 𝟗 + 𝟐) 
 
𝑪 = 𝟔𝟖, 𝟖𝟕𝟓 
 
 
Para Z = 0,5 os termos C e B serão iguais a zero. 
 
 
𝑨(𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟕)(𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟗) = (𝟎, 𝟓 + 𝟏)(𝟎, 𝟓 + 𝟐) 
𝑨 = 𝟒𝟔, 𝟖𝟕𝟓 
 
 
Para Z = 0,7 os termos C e A serão iguais a zero. 
 
 
𝑩(𝟎, 𝟕 − 𝟎, 𝟓)(𝟎, 𝟕 − 𝟎, 𝟗) = (𝟎, 𝟕 + 𝟏)(𝟎, 𝟕 + 𝟐) 
𝑩 = −𝟏𝟏𝟒, 𝟕𝟓 
 
𝑭(𝒁) =
𝟒𝟔, 𝟖𝟕𝟓𝒁
(𝒁 − 𝟎, 𝟓)
−
𝟏𝟏𝟒, 𝟕𝟓𝒁
(𝒁 − 𝟎, 𝟕)
+
𝟔𝟖, 𝟖𝟕𝟓𝒁
(𝒁 − 𝟎, 𝟗)
 
 
𝒇(𝑲,𝑻) = 𝟒𝟔, 𝟖𝟕𝟓(𝟎, 𝟓)
𝒌 − 𝟏𝟏𝟒, 𝟕𝟓(𝟎, 𝟕)𝒌 + 𝟔𝟖, 𝟖𝟕𝟓(𝟎, 𝟗)𝒌 
 
 
 
 
 
 
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QUESTÃO 3 (2,0 pts): Suponha que um sinal exponencial 𝑓(𝑘, 𝑇) = 𝑎𝑘𝑇tenha sido amostrado com um 
período de amostragem T, conforme mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
Considerando que 𝑎𝑘𝑇 representa o eixo y onde a >0 determine: 
 
a) A transformada Z da função em função de a , Z e T, para um tempo que tende ao infinito 
 
𝐹(𝑧) = ∑ 𝑓(𝑘, 𝑇)
∞
𝑘=0
𝑧−𝑘 
𝐹(𝑧) = ∑ 𝑎𝑘𝑇
∞
𝑘=0
𝑧−𝑘 
 
𝐹(𝑧) = 𝑎0.𝑇𝑧0 + 𝑎1.𝑇𝑧−1 + 𝑎2𝑇𝑧−2 + 𝑎3𝑇𝑧−3 + ⋯ 
𝐹(𝑧) = 1 + 𝑎𝑇𝑧−1 + 𝑎2.𝑇𝑧−2 + 𝑎3𝑇𝑧−3 + ⋯ 
(𝑧) =
1
1 − 𝑎.𝑇𝑧−1
 
𝐹(𝑧) =
𝑧
𝑧 − 𝑎𝑇
 
 
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b) O trem de pulsos referente aos três primeiros sinais digitais, descritos no gráfico 
𝐹(𝑧) = 1 + 1100𝑧−1 + 4002.𝑇𝑧−2 
 
 
QUESTÃO 4 (1,0 pts): Determine a função no tempo amostrada da função demonstrada abaixo 
 
 
 
𝑭(𝒁) =
𝟐𝒛
𝒛𝟐 + 𝟔𝒛 + 𝟓
=
𝟐𝒛
(𝒁 + 𝟏)(𝒁 + 𝟓)
 
 
𝑭(𝒁)
𝒛
=
𝟐
(𝒁 + 𝟏)(𝒁 + 𝟓)
=
𝑨
(𝒁 + 𝟏)
+
𝑩
(𝒁 + 𝟓)
 
 
 
𝐵(𝑍 + 1) + 𝐴 (𝑍 + 5) = 2 
Para Z = -1 os termos B será igual a zero. 
 
 
𝐴 (−1 + 5) = 2 
𝐴 = 0,5 
 
Para Z = -5 os termos A será igual a zero. 
 
 
𝐵(−5 + 1) = 2 
𝐵 = −0,5 
𝑭(𝒁) =
𝟎, 𝟓𝒁
(𝒁 + 𝟏)
−
𝟎, 𝟓𝒁
(𝒁 + 𝟓)
 
 
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𝒇(𝑲,𝑻) = 𝟎, 𝟓(−𝟏)
𝒌 − 𝟎, 𝟓(−𝟓)𝒌 
 
 
 
QUESTÃO 5 (1,0) pts Determine o valor em unidades do erro em regime permanente na função de 
transferência em malha aberta G(s) abaixo, quando submetida a uma entrada rampa. 
 
𝐺(𝑠) =
2
(𝑠2 + 2𝑠 + 1)
 
 
e = lim
𝑠→0
𝑠
𝑅(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)
 
e = lim
𝑠→0
𝑠
1/𝑠2
1 +
2
(𝑠2 + 2𝑠 + 1)
=
1/𝑠
(𝑠2 + 2𝑠 + 1) + 2
(𝑠2 + 2𝑠 + 1)
=
(𝑠2 + 2𝑠 + 1)
𝑠[(𝑠2 + 2𝑠 + 1) + 10]
= 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜