Matematica (14)

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Análise da função afim
1 32
2
�2
�4
4
4
5 x
y
6
6
8
Observe que:
• quando x varia de 1 a 3, a variação correspondente de y é de 22 a 2; 
assim, a razão entre a variação de y e a variação dos valores corres-
pondentes de x é:
 
Sy
 ___ 
Sx
 5 
2 2 (22)
 _________ 
3 2 1
 5 
4
 __ 
2
 5 2
 isso significa que a temperatura variou 4 graus Celsius em 2 horas, o que 
equivale à variação de 2 graus Celsius por hora;
• quando x varia de 3 a 6, a variação correspondente de y é de 2 a 8; assim:
 
Sy
 ___ 
Sx
 5 
8 2 2
 ______ 
6 2 3
 5 
6
 __ 
3
 5 2
 isso significa que a temperatura variou 6 graus Celsius em 3 horas, o 
que equivale à variação de 2 graus Celsius por hora;
 Objetivos
 Entender a 
proporcionalidade 
na função afim.
 Aplicar a taxa de 
variação na obtenção 
da lei da função afim.
 Classificar uma 
função afim como 
crescente ou 
decrescente.
 Estudar o sinal de 
uma função afim.
 Termo e conceito
• taxa de variação
Seção 4.2
 Proporcionalidade na função afim
Estudando a temperatura de certa região, no intervalo de 0 a 6 h de um 
dia de inverno, um meteorologista constatou que a função afim y 5 2x 2 4 
descreve a temperatura y, em grau Celsius, em função do tempo x, em hora. 
O gráfico abaixo representa essa função no intervalo considerado.
R
ep
ro
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çã
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. A
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.1
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19
98
.
CAP 4.indb 138 03.08.10 11:44:27
 Taxa de variação
• quando x varia de x1 a x2, com x1 % x2, a variação correspondente de y é de 2x1 2 4 a 2x2 2 4; 
assim:
 
Sy
 ___ 
Sx
 5 
2x2 2 4 2 (2x1 2 4)
 ___________________ x2 2 x1
 5 
2x2 2 2x1
 _________ x2 2 x1
 5 
2(x2 2 x1)
 __________ x2 2 x1
 
} 
Sy
 ___ 
Sx
 5 2
 isso significa que, para qualquer variação do tempo considerada no intervalo de 0 a 6 h, a 
temperatura subiu 2 graus Celsius por hora.
Ou seja, as variações dos valores de y são diretamente proporcionais às correspondentes 
variações dos valores de x, e a constante de proporcionalidade 
Sy
 ___ 
Sx
 5 2 é exatamente o coeficiente 
de x na função y 5 2x 2 4. Veremos, a seguir, que resultados análogos podem ser observados 
em qualquer função afim.
Em toda função afim y 5 ax 1 b, as variações dos valores de y são diretamente proporcio-
nais às correspondentes variações dos valores de x, e a constante de proporcionalidade 
Sy
 ___ 
Sx
 
é exatamente o coeficiente de x na função y 5 ax 1 b.
�x
�y
x
y
 
Sy
 ___ 
Sx
 5 a
Essa constante é chamada de taxa de variação da função afim.
demonstração
Na função afim y 5 ax 1 b, vamos considerar a variação de x de x1 a x2, com x1 % x2.
A variação correspondente de y é de ax1 1 b a ax2 1 b. 
Assim:
 
Sy
 ___ 
Sx
 5 
ax2 1 b 2 (ax1 1 b)
 ___________________ x2 2 x1
 5 
ax2 2 ax1
 _________ x2 2 x1
 5 
a(x2 2 x1)
 _________ x2 2 x1
 5 a
Nota:
Como 
Sy
 ___ 
Sx
 5 a, temos Sy 5 a 3 Sx, portanto, Sy em função de Sx é uma função linear.
Por isso, dizemos que em toda função afim y 5 ax 1 b os valores x e y variam linearmente. 
139
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CAP 4.indb 139 03.08.10 11:44:28
Exemplos
a) A taxa de variação da função 
 y 5 2x 2 3 é 2.
b) A taxa de variação da função 
 y 5 22x 1 7 é 22.
�x
�y
5
4 7
11
x
y
�x
�y
5
1 2
3
x
y
 
Sy
 ___ 
Sx
 5 
11 2 5
 _______ 
7 2 4
 5 2 
Sy
 ___ 
Sx
 5 
5 2 3
 ______ 
1 2 2
 5 22
Conteúdo digital Moderna PLUS http://www.modernaplus.com.br
Simulador: O gráfico da função afim. 
5 Calcular a taxa de variação da função cujo gráfico 
é a reta que passa pelos pontos A(4, 2) e B(2, 8).
6 Obter a função afim y 5 ax 1 b cujo gráfico passa 
pelos pontos A(4, 7) e B(1, 13).
7 Quando a temperatura interna de uma sala atinge 
30 wC, um aparelho de ar condicionado é ligado 
automaticamente, fazendo a temperatura variar 
linearmente com a variação do tempo.
 Sabe-se que, no intervalo de 5 a 10 minutos, depois 
de o aparelho ser ligado, a temperatura variou, 
respectivamente, de 26 wC a 22 wC. 
 Elaborar uma equação que expresse a temperatura 
y, em grau Celsius, da sala em função do tempo x, 
em minuto, enquanto o aparelho estiver ligado.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Para determinar a taxa de variação, basta calcular 
 
Sy
 ___ 
Sx
 , isto é, a razão da diferença entre as ordenadas 
 para a diferença entre as abscissas dos pontos A e B. 
As diferenças Sy e Sx devem ser calculadas em um 
mesmo sentido: ou de A para B ou de B para A.
Resolução
 Como y e x variam linearmente, os valores de y em 
função de x são representados por uma função afim 
 y 5 ax 1 b, em que a 5 
Sy
 ___ 
Sx
 , para quaisquer intervalos 
 correspondentes de variação de x e y.
 Considerando os intervalos dados no problema, 
temos:
 a 5 
Sy
 ___ 
Sx
 5 22 2 26 ________ 
10 2 5
 5 24 ___ 
5
 5 20,8
 Ou seja, a temperatura da sala varia 20,8 wC por 
minuto.
 Sabemos que a temperatura da sala no instante em 
que o aparelho foi ligado era 30 wC. Logo, para x 5 0, 
temos:
 30 5 a 3 0 1 b ] b 5 30
 Assim, a equação pedida é y 5 20,8x 1 30.
Resolução
 Primeiro, calculamos a taxa de variação a:
 a 5 13 2 7 _______ 
1 2 4
 5 22
 Assim, a função afim tem a forma y 5 22x 1 b. 
Como o ponto (4, 7) pertence ao gráfico dessa função, 
devemos ter:
 7 5 22 3 4 1 b ] b 5 15
 Concluímos que a função pedida é:
 y 5 22x 1 15
 
Sy
 ___ 
Sx
 5 2 2 8 ______ 
4 2 2
 5 26 ___ 
2
 5 23 ou 
Sy
 ___ 
Sx
 5 8 2 2 ______ 
2 2 4
 5 6 ___ 
22
 5 23
 Assim, a taxa de variação da função afim cujo gráfico 
passa pelos pontos A e B é 23.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
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CAP 4.indb 140 03.08.10 11:44:28
16 Obtenha a função afim y 5 ax 1 b que tem taxa 
de variação 5 e cujo gráfico é a reta que passa pelo 
ponto A(2, 23).
17 Determine a função afim cujo gráfico passa pelos 
pontos A e B, nos seguintes casos:
a) A(3, 9) e B(1, 3)
b) A(2, 1) e B(23, 6)
18 (Unesp) Ao ser inaugurada, uma represa possuía 
8 mil m3 de água. A quantidade de água da represa 
vem diminuindo anualmente. O gráfico mostra 
que a quantidade de água na represa 8 anos após a 
inauguração é de 5 mil m3.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 11 e 12.
 Se for mantida essa relação de linearidade entre o 
tempo e a quantidade de água em m3, determine 
em quantos anos, após a inauguração, a represa 
terá 2 mil m3.
Propriedade das funções afins que têm a mesma taxa de variação
Observe a figura abaixo.
s r t
ααα
y � 3x � 2
y � 3x
y � 3x � 2
�2
2
0
y
x
Transladando 2 unidades para cima a reta r de equação y 5 3x, obtemos a reta s de equação 
y 5 3x 1 2; e transladando r 2 unidades para baixo, obtemos a reta t de equação y 5 3x 2 2. 
Assim, podemos afirmar que as retas s, r e t são paralelas.
Observe que essas três funções têm a mesma taxa de variação.
Esse exemplo ajuda a entender o fundamento da seguinte propriedade:
Se duas funções afins têm a mesma taxa de variação, então as retas que as representam 
são paralelas.
0 8 t (anos)
V (em milhares de
metros cúbicos)
8
5
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CAP 4.indb 141 03.08.10 11:44:29
1
�2
�1
A
B
C
5
3
x
y
8 Obter a equação da reta s, que passa pelo ponto P(3, 7), 
e é paralela à reta r representada abaixo.
9 Mostrar que os pontos A(1, 5), B(0, 3) e C(22,21) são 
colineares, isto é, pertencem a uma mesma reta.
10 Determinar o número real k para que os pontos A(1, 3), 
B(3, 7) e C(5, k) sejam colineares.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 A equação da reta s pode ser representada por uma 
função afim y 5 ax 1 b, em que a taxa de variação 
a é a mesma da função representada pela reta r. 
Sabendo que os pontos (4, 6) e (1, 0) pertencem a r, 
calculamos a taxa de variação a:
 a 5 6 2 0 ______ 
4 2 1
 5 2
 Assim, a equação da reta s tem a forma y 5 2x 1 b. 
Como o ponto (3, 7) pertence a s, devemos ter:
 7 5 2 3 3 1 b ] b 5 1
 Concluímos que a reta s tem equação y 5 2x 1 1.
Resolução
 Representando os pontos A, B e C no plano carte-
siano, obtemos a figura abaixo.
Resolução
 Representando os pontos A, B e C no plano carte-
siano, obtemos a figura abaixo.
1 3 4
P
r
6
7
x
y
1 3
3
5
k
B
C
A
7
x
y
 A representação gráfica não garante a colinearidade 
dos pontos A, B e C, pois o ponto C pode estar fora 
da reta AB a uma distância tão pequena que não 
seja detectada graficamente. Por isso, usaremos o 
conceito de taxa de variação para responder a essa 
questão.
 Indicando por aAB e aBC as taxas de variação das 
funções que têm como gráficos as retas AB e BC, 
respectivamente, temos:
 aAB 5 5 2 3 ______ 
1 2 0
 5 2
 aBC 5 
3 2 (21)
 _________ 
0 2 (22)
 5 4 __ 
2
 5 2
 Como as retas AB e BC têm o ponto B em comum e 
são gráficos de funções com a mesma taxa de va-
riação, concluímos que elas são coincidentes. Logo, 
os pontos A, B e C são colineares.
 Os três pontos serão colineares se as retas AB e BC 
forem gráficos de funções afim com a mesma taxa 
de variação, isto é:
 7 2 3 ______ 
3 2 1
 5 k 2 7 ______ 
5 2 3
 ] 4 __ 
2
 5 k 2 7 ______ 
2
 
 } k 5 11
 Logo, para os pontos A, B e C serem colineares, de-
vemos ter k 5 11.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
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CAP 4.indb 142 03.08.10 11:44:30
 Crescimento e decrescimento
Dada a função afim f ( x) 5 ax 1 b, com taxa de variação a, temos:
 I. f é crescente se, e somente se, a é positivo.
 II. f é decrescente se, e somente se, a é negativo.
demonstração
Para essas demonstrações, aplicaremos os conceitos estudados no capítulo anterior sobre funções 
crescentes e funções decrescentes.
 I. Considere os números reais x1 e x2 quaisquer, com x2 . x1. Para a . 0, temos a equivalência:
 x2 . x1 [ ax2 . ax1
 Adicionando b a ambos os membros da última desigualdade, temos a equivalência:
 ax2 . ax1 [ ax2 1 b . ax1 1 b
 Logo, x2 . x1 [ f (x2) . f (x1), portanto f é uma função crescente para a . 0.
 II. Considere os números reais x1 e x2 quaisquer, com x2 . x1. Para a , 0, temos a equivalência:
 x2 . x1 [ ax2 , ax1
 Adicionando b a ambos os membros da última desigualdade, temos a equivalência:
 ax2 , ax1 [ ax2 1 b , ax1 1 b
 Logo, x2 . x1 [ f (x2) , f (x1), portanto f é uma função crescente para a , 0.
19 Verifique se os pontos A, B e C são colineares nos 
seguintes casos:
a) A(1, 2), B(0, 22) e C(3, 10)
b) A(0, 3), B(1, 1) e C(2, 4)
20 Determine o valor da constante p para que os pontos 
A(2, 5), B(21, 4) e C(9, p) sejam colineares.
21 O gráfico da função afim f (x) 5 ax 1 b, com a . 0, 
passa pelo ponto (0, 6) e forma com os eixos coor-
denados um triângulo com 12 unidades de área. 
Calcule as constantes reais a e b.
22 Quando um reservatório continha 400 litros de água, 
foi aberto um registro para esvaziá-lo à razão de 4 
litros por segundo.
a) Obtenha uma equação que expresse a quantidade 
de água do reservatório, a partir do instante em 
que foi aberto o registro.
b) Qual é a taxa de variação da função afim obtida 
no item a? O que essa taxa de variação significa?
23 Associou-se um sistema de abscissas a uma estra-
da, adotando-se o quilômetro como unidade. Du-
rante 17 minutos, um automóvel com velocidade 
constante percorreu um trecho AB dessa estrada, 
em que A e B têm abscissas 220 e 14, respectiva-
mente.
a) Durante os 17 minutos considerados, obtenha a 
função afim que expressa a abscissa s do ponto 
onde esteve o automóvel em função do tempo t, 
em minuto.
b) Qual é a taxa de variação da função obtida no 
item a?
c) Qual o significado físico da taxa de variação 
obtida no item a?
24 No dia 1 e no dia 21 de fevereiro, o saldo bancário 
de uma pessoa era de R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00, 
respectivamente. Sabendo que nesse período o 
saldo variou linearmente, obtenha a função que 
expresse o saldo y, em real, em função do dia x, do 
período considerado.
EXERCÍCIOS pROpOStOS
Resolva os exercícios complementares 13 a 15.
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CAP 4.indb 143 03.08.10 11:44:30
 Estudo do sinal
Estudar o sinal de uma função f significa determinar os valores de x para os quais f se anula, 
f é positiva ou f é negativa. Esse estudo pode ser feito de duas maneiras: algebricamente ou 
graficamente.
Acompanhe os exemplos.
Exemplo 1
Vamos estudar o sinal da função 
f (x) 5 2x 2 6. 
Graficamente:
Exemplo 2
Vamos estudar o sinal da função 
f (x) 5 23x 1 6.
Graficamente:
�6
3 x
y
• 3 é raiz da função f ;
• f é crescente;
• para qualquer x real, com x . 3, temos 
f (x) . 0; 
• para qualquer x real, com x , 3, temos 
f (x) , 0; 
Algebricamente:
• a raiz da função f é dada por:
 2x 2 6 5 0 ] x 5 3
• os valores de x para os quais f é positiva são 
dados por:
 2x 2 6 . 0 ] x . 3
• os valores de x para os quais f é negativa são 
dados por:
 2x 2 6 , 0 ] x , 3
 Podemos representar o estudo do sinal des-
sa função no seguinte esquema:
3 x
�
�
2
6
x
y
• 2 é raiz da função;
• f é decrescente;
• para qualquer x real, com x . 2, temos 
f (x) , 0;
• para qualquer x real, com x , 2, temos 
f (x) . 0.
Algebricamente:
• a raiz da função f é dada por:
 23x 1 6 5 0 ] x 5 2
• os valores de x para os quais f (x) é positiva 
são dados por:
 23x 1 6 . 0 ] x , 2
• os valores de x para os quais f (x) é negativa 
são dados por:
 23x 1 6 , 0 ] x . 2
 Podemos representar o estudo do sinal des-
sa função no seguinte esquema:
�
2 x
�
EXERCÍCIO RESOlvIdO
144
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19
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CAP 4.indb 144 03.08.10 11:44:31
 Resolvendo esse sistema, obtemos a 5 2 e b 5 212. Logo, o segmento de reta representado cor-
responde à função afim y 5 2x 2 12, para 5positiva?
22 5 a 3 5 1 b
10 5 a 3 11 1 b
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CAP 4.indb 145 03.08.10 11:44:32
27 Considere o metro como unidade em um eixo real vertical Oy, orientado para cima, tal que a origem 
O seja um ponto do nível médio das águas do mar. Chama-se altitude de um ponto a ordenada 
desse ponto no eixo Oy. Por exemplo, na figura abaixo, a altitude do ponto A é 200 m, e a altitude 
de B é 2300 m.
 Uma perfuratriz inicia uma cavidade no ponto A com o objetivo de atingir um ponto a 2300 m de 
altitude. Uma previsão da altitude atingida pela broca, em metro, em função do tempo, em hora, é 
apresentada pelo gráfico a seguir.
12
�100
�300
200
y
x
a) Escreva a lei de associação entre x e y.
b) Em quantas horas, depois de iniciada a perfuração, a broca atingirá o nível do mar?
c) Quantas horas serão necessárias para a broca atingir o objetivo?
d) Por quanto tempo, durante a perfuração, a broca estará em pontos de altitude positiva?
e) Por quanto tempo, durante a perfuração, a broca estará em pontos de altitude negativa?
Resolva os exercícios complementares 16 a 19 e 55.
25 Estude o sinal de cada função.
a) f (x) 5 4x 2 8 c) f (x) 5 25x 1 10 e) f (x) 5 5x
b) f (x) 5 24x 1 8 d) f (x) 5 6x 2 12 f ) f (x) 5 23x
26 Discuta a variação de sinal da função y 5 ax 1 b, cujo gráfico é:
EXERCÍCIOS pROpOStOS
2
2
1
x
y
0
Nível
médio
do mar
O
A
�100
�200
�300
200
100
y
300
B
146
C
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19
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CAP 4.indb 146 03.08.10 11:44:34
Inequação-produto e 
inequação-quociente
 Introdução
Para quais valores reais de x o produto dos números 2x 2 10 e 2x 1 3 
é positivo? Em outras palavras, quais são as soluções reais da inequação 
abaixo?
(2x 2 10)(2x 1 3) . 0
Essa inequação é chamada de inequação-produto. Para resolvê-la, 
podemos considerar f (x) 5 2x 2 10 e g(x) 5 2x 1 3, e representar no 
mesmo plano cartesiano os gráficos das duas funções. Nesse caso, que-
remos f 3 g . 0, e isso somente ocorrerá quando f e g tiverem o mesmo 
sinal. Assim, analisando os gráficos, devemos determinar os intervalos do 
domínio de f e g em que ambas tenham o mesmo sinal (para que o produto 
f 3 g seja positivo).
 Definições
Inequação-produto é toda inequação que pode ser apresentada sob 
uma das formas abaixo, em que f e g são funções quaisquer:
f (x) 3 g(x) . 0 f (x) 3 g(x) , 0 f (x) 3 g(x) % 0
f (x) 3 g(x) > 0 f (x) 3 g(x) 0 
f (x)
 ____ 
g(x)
 , 0 
f (x)
 ____ 
g(x)
 0.
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
 Encontrando as raízes das funções f (x) 5 6x 2 12, 
g(x) 5 5 2 x e h(x) 5 2x 2 14 e estudando a variação 
de sinal de cada uma delas, temos:
Resolução
 Primeiro estudamos o sinal de cada função: 
 f (x) 5 (3x 1 6)4, g(x) 5 (2x 2 1)3 e h(x) 5 x 1 4.
•	 Raiz	de	f : (3x 1 6)4 5 0 ] 3x 1 6 5 0 
 } x 5 22
 Sinal de f : lembrando que toda potência de base 
real e expoente par é positiva ou nula, temos 
f(x) > 0 para todo x 9 V.
•	 Raiz	de	g: (2x 2 1)3 5 0 ] 2x 2 1 5 0
 } x 5 1 __ 
2
 
 Sinal de g: lembrando que toda potência de base 
real e expoente ímpar tem o mesmo sinal da 
base ou é nula, concluímos que a variação de 
sinal de g(x) 5 (2x 2 1)3 é a mesma da função 
y 5 2x 2 1. Ou seja:
 se x . 1 __ 
2
 , então g(x) . 0;
 se x , 1 __ 
2
 , então g(x) , 0.
f
f � g � h
g
h
� � ��
� � ��
� � ��
� � ��
2 5
5 7
7
2
 Os sinais da última linha foram obtidos pela regra 
de sinais para o produto f 3 g 3 h. Queremos que esse 
produto seja negativo ou nulo:
 (6x 2 12)(5 2 x)(2x 2 14) 7}, 
 ou ainda S 5 [2, 5] 0 [7, 1`[
�
g
� 1
2
x
EXERCÍCIOS pROpOStOS
148
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98
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CAP 4.indb 148 03.08.10 11:44:35
�
�4
h
� x
14 Resolver em V a inequação 5 _______ 
2x 2 6
 , 0.
15 Resolver em V a inequação 3x 1 6 _______ 
4 2 x
 1 __ 
2
  .
��
��
��
�
�
�
f
f
g
g
�2 4
�2 4
 Os sinais da última linha foram obtidos pela regra de 
 sinais para o quociente 
f (x)
 ____ 
g(x)
 . Como nos interessa que 
 esse quociente seja negativo ou nulo, pois queremos 
 3x 1 6 _______ 
4 2 x
0
d) (x 2 1)6(2x 2 8)3(x 2 2) > 0
e) x2 2 2x 2 8 , 0
f ) (x2 2 6x 1 5)(x 2 1) . 0
 (Sugestão: nos itens e e f, fatore os trinômios do 
2o grau.)
29 Determine o maior número inteiro x que satisfaz a 
desigualdade (x 2 1)(2x 2 5) 0 se, e somente se:
a) x 0 e) x > 5
b) x 5 __ 
4
 
20 Resolva em V as inequações:
a) (x 2 1) (2x 2 3) (5x 2 6) , 0 c) x2 2 2x > 0
b) 3x2 2 2x 2 1 0
26 Resolva em V as inequações:
a) 2x 2 3 _______ 
x 2 2
 , 2 b) 3x _______ 
6x 2 1
 > 22x
27 (UFMG) Neste plano cartesiano, estão representados 
os gráficos das funções y 5 f (x) e y 5 g(x), ambas 
definidas no intervalo aberto ]0, 6[:
 Seja S o subconjunto de números reais definido por 
S 5 {x 9 V; f(x) 3 g(x) , 0}.
 Então, é correto afirmar que S é:
a) {x 9 V; 2 , x , 3} 0 {x 9 V; 5 , x , 6}.
b) {x 9 V; 1 , x , 2} 0 {x 9 V; 4 , x , 5}.
c) {x 9 V; 0 , x , 2} 0 {x 9 V; 3 , x , 5}.
d) {x 9 V; 0 , x , 1} 0 {x 9 V; 3 , x , 6}.
28 (Mackenzie-SP) O conjunto solução da inequação
 x 2 1 ______ 
x
 , 1 é:
a) V 2 {0} d) {x 9 VOx . 0}
b) ~ e) {x 9 VOx , 0}
c) {x 9 VOx , 21}
29 (Ufam) O conjunto das soluções, no conjunto V, dos 
 números reais, da inequação x ______ 
x 1 1
 . x, é:
a) {x 9 VOx . 21} d) V
b) {x 9 VOx , 21} e) {x 9 VOx , 0}
c) vazio
30 Determine o domínio da função: 
 g(x) 5 dllllll
 2 ______ 
x 1 3
 1 dllllll
 x______ 
x 1 2
 
0 2
3 4y
x
g
f
5
61
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CAP 4.indb 151 03.08.10 11:44:39
 Exercícios contextualizados
31 Ao submergir em águas marítimas, o mergulhador 
sofre aumento de pressão à medida que afunda. 
 O gráfico a seguir descreve esse aumento de pres-
são, em atmosfera, em função da profundidade, 
em metro.
1
10
2
Profundidade (m)
Pressão
(atm)
a) Qual é a pressão sofrida pelo mergulhador na 
superfície do mar?
b) Qual é a pressão sofrida pelo mergulhador a 18 m 
de profundidade?
c) Obtenha uma equação que expresse a pressão 
p, em atmosfera, em função da profundidade x, 
em metro.
32 A relação entre as medidas de temperatura na 
escala Celsius (wC) e na escala Fahrenheit (wF) está 
representada no gráfico abaixo.
0 100 x (°C)
y (°F)
212
32
a) Obtenha a equação que expressa a medida y da 
temperatura, em grau Fahrenheit, em função da 
medida x, em grau Celsius.
b) Determine a medida da temperatura em grau 
Celsius que corresponde a 24 wF.
33 (FGV) Uma empresa fabrica componentes eletrô-
nicos; quando são produzidas 1.000 unidades por 
mês, o custo de produção é R$ 35.000,00. Quando 
são fabricadas 2.000 unidades por mês, o custo é 
R$ 65.000,00. Admitindo que o custo mensal seja 
uma função polinomial de 1o grau em relação ao 
número de unidades produzidas, podemos afir-
mar que o custo (em real) de produção de 0 (zero) 
unidade é:
a) 1.000 d) 3.000
b) 2.000 e) 4.000
c) 5.000
34 (Covest-PE) Uma dose de certa droga é injetada em 
um paciente e, às 8 h, a concentração sanguínea da 
droga é 1,0 mg/mL. Passadas 4 horas, a concentração 
é 0,2 mg/mL. Admitindo que a concentração seja 
uma função afim do tempo, em quantos minutos, 
contados a partir das 12 h, a concentração da droga 
será zero?
35 (FGV) Um terreno vale hoje R$ 40.000,00, e estima-
-se que daqui a 4 anos seu valor seja R$ 42.000,00. 
Admitindo que o valor do imóvel seja função do 
1o grau do tempo (medido em ano e com valor zero 
na data de hoje), seu valor daqui a 6 anos e 4 meses 
será aproximadamente:
a) R$ 43.066,00 d) R$ 43.366,00
b) R$ 43.166,00 e) R$ 43.466,00
c) R$ 43.266,00
36 Uma fábrica produz papel de presente. A folha é 
retangular, com 0,8 m de largura, e o comprimento 
é determinado pela encomenda de cada cliente.
a) Um cliente comprou um rolo de 50 m de com-
primento. Que área de papel ele adquiriu?
b) Um cliente comprou um rolo de x m de compri-
mento. Indicando por y a área de papel adquirida, 
em metro quadrado, dê a equação que expressa 
y em função de x e construa o gráfico cartesiano 
determinado por essa equação para x . 0.
c) Um cliente comprou 5 rolos de 50 m de compri-
mento cada um e 3 rolos de x m de comprimento 
cada um. Indicando por y a área de papel adquiri-
da, em metro quadrado, dê a equação que expressa 
y em função de x e construa o gráfico cartesiano 
determinado por essa equação para x . 0.
37 Cada pneu de um automóvel tem 0,5 m de raio. Par-
tindo do repouso, esse veículo percorreu um trecho 
de uma estrada. Lembrando que o perímetro C de 
uma circunferência de raio r é calculado por C 5 2sr 
e adotando s 5 3,14:
a) elabore uma equação que expresse a distância y 
percorrida pelo automóvel, em metro, em função 
do número x de voltas de um de seus pneus.
b) construa o gráfico da função do item a para 
0O gráfico abaixo 
apresenta as distâncias percorridas pelos carros em 
função do tempo.
2,5
180
30
0,5 Tempo
(hora)
Distância
(km)
 Analisando o gráfico, verifica-se que o carro que 
partiu primeiro foi alcançado pelo outro ao ter 
percorrido exatamente:
a) 60 quilômetros. d) 90 quilômetros.
b) 85 quilômetros. e) 91 quilômetros.
c) 88 quilômetros.
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CAP 4.indb 153 03.08.10 11:44:41
0
0
Distância percorrida (km)
C
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(R
$)
50 100 150 200 250 300 350 400
30
60
80
180
150
120
210
48 O quilowatt-hora (kWh) é uma unidade de energia 
definida como o trabalho executado por um sistema 
que fornece 1 quilowatt de potência durante uma 
hora. Essa unidade é muito utilizada na comercia-
lização de energia elétrica, como você já deve ter 
observado na conta de luz de sua casa.
 O gráfico a seguir mostra o valor a ser pago, em real, 
à companhia de energia elétrica por um banho de 
chuveiro, em função do tempo, em minuto.
20 x (tempo em
minuto)
y (custo em R$)
0,60
 Se o custo por kWh é R$ 0,30, conclui-se que a po-
tência desse chuveiro é:
a) 5,4 kW c) 5,0 kW e) 6 kW
b) 5,2 kW d) 6,5 kW
49 Um vendedor recebe mensalmente um valor fixo 
de R$ 160,00 mais um adicional de 2% das vendas 
efetuadas por ele durante o mês.
 Com base nisso:
a) construa uma tabela para apresentar os rendi-
mentos mensais desse vendedor nos meses de 
abril a junho. Sabe-se que em abril a venda foi 
de R$ 8.350,00, em maio, de R$ 10.200,00, e em 
junho, de k reais;
b) dê uma equação que expresse o rendimento 
mensal y desse vendedor em função do valor 
x de suas vendas mensais e construa o gráfico 
dessa função.
50 A companhia de saneamento básico de certo estado 
trabalha com um sistema progressivo de tarifas, 
que variam de acordo com as seguintes faixas de 
consumo:
•	 até	o	consumo	de	10	m3 de água, é cobrada a tarifa 
mínima de R$ 12,00;
•	 sobre	o	que	exceder	10	m3, até 20 m3, são cobrados 
R$ 2,00 por m3, além da tarifa mínima;
•	 sobre	o	que	exceder	20	m3, são cobrados R$ 3,00 
por m3, além do máximo valor possível da faixa 
anterior.
a) Representar esse sistema progressivo de tarifas 
por meio de uma função.
b) Esboçar o gráfico da função obtida no item a.
51 (PUC-MG) Certa indústria pode produzir x aparelhos 
por dia, e o custo C, em real, para produzir um desses 
aparelhos é dado pela função:
C (x) 5 
5 1 x(12 2 x), se 0do 
preço unitário irá causar um aumento da receita. 
Admitindo a elasticidade da demanda dada por 
 E(p) 5 
2p2 22p 1 1
 ____________ 
24p 1 1
 , então o intervalo de p para o qual 
 a demanda é elástica é:
a) R 0, 1 __ 
4
 E 0 R 21 1 dll 2 , 1` E d) R 0, 1 __ 
4
 E 0 ]2, 1`[
b) R 1 __ 
8
 , 2 E e) R 1 __ 
4
 , 1` E 
c) ]0, 2[
155
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CAP 4.indb 155 03.08.10 11:44:43
ANÁLISE DA RESOLUÇÃO
 Um aluno resolveu o exercício abaixo, conforme reproduzido a seguir. Observe a 
resolução e reflita sobre o comentário.
Exercício
Um fabricante gastou R$ 900,00 em moldes para a confecção de certo tipo de recipiente 
de plástico. Além desse valor, o custo de produção de cada recipiente foi R$ 0,15.
a) Obtenha a lei de associação y 5 f (x) da função f que expressa o custo total, em real, 
para a fabricação de x frascos.
b) Construa o gráfico da função f obtida no item a.
Resolução
Comentário
a) A resolução do item a está correta. Poderíamos acrescentar que a variável x só pode 
assumir valores naturais, de zero até o número máximo de recipientes produzidos.
b) O gráfico apresentado no item b está incorreto, pois a variável x não pode assumir 
todos os valores reais.
 Agora, refaça o item b, corrigindo-o. 
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CAP 4.indb 156 03.08.10 11:44:45