Relatorio 2 - Pendulo Simples

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 UNIVERSIDADE FEDERAL 
DO RECÔNCAVO DA BAHIA (UFRB) 
 
GCET826 – FÍSICA EXPERIMENTAL II (2021.2 – T01) 
Docente: Manasses Almeida Gomes 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO 2 – PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
Discente: 2020207809 – Bianca Martins de Sousa Araujo 
E-mail: bibmsa@aluno.ufrb.edu.br 
 Discente: 2019221485 – Lylian Gabriele Carneiro Oliveira 
E-mail: lyliangabriele@aluno.ufrb.edu.br 
Discente: 2018202000 – Maycon Josué Nascimento Oliveira 
E-mail: mayconasc@aluno.ufrb.edu.br 
 
 
 
 
 
 
 
Cruz das Almas 
07 de junho de 2022 
2 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO.........................................................................................................................3 
2. OBJETIVOS...............................................................................................................................3 
3. MATERIAIS UTILIZADOS......................................................................................................3 
4. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS..................................................................................4 
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES..............................................................................................7 
6. CONCLUSÃO.........................................................................................................................11 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................................11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1. Introdução 
 
Um pêndulo simples é composto por uma partícula de massa 𝑚 suspensa por um fio 
inextensível, de massa desprezível e comprimento 𝐿. O peso está livre para oscilar no plano, 
para a esquerda e para a direita de uma reta vertical que passa pelo ponto de suspensão do 
fio. 
As forças que agem sobre o peso são a tração �⃗� exercida pelo fio e a força gravitacional 𝐹 𝑔, 
na qual o fio faz um ângulo 𝜃 com a vertical. Decompondo 𝐹 𝑔 em uma componente radial 
𝐹𝑔 cos 𝜃 e uma componente 𝐹𝑔 sen 𝜃 que é tangente à trajetória do peso, a componente 
tangencial produz um torque restaurador em relação ao ponto de suspensão do pêndulo 
porque sempre age no sentido oposto ao do deslocamento do peso, tendendo a levá-lo de 
volta ao ponto central. O ponto central (𝜃 = 0) é chamado de posição de equilíbrio porque 
o pêndulo ficaria parado nesse ponto se não estivesse oscilando. 
A aceleração angular 𝛼 do pêndulo é proporcional ao deslocamento angular 𝜃 com o sinal 
oposto. Assim, quando o peso do pêndulo se move para a direita, a aceleração para a 
esquerda aumenta até o peso parar e começar a se mover para a esquerda. Quando o peso 
está à esquerda da posição de equilíbrio, a aceleração para a direita tende a fazê-lo voltar 
para a direita, e assim por diante, o que produz um Movimento Harmônico Simples. Mais 
precisamente, o movimento de um pêndulo simples no qual o ângulo máximo de 
deslocamento é pequeno pode ser aproximado por um MHS. 
 
2. Objetivos 
 
Reconhecer o MHS executado pelo pêndulo simples como o movimento de um ponto 
material sujeito à ação de uma força restauradora proporcional ao seu deslocamento 
angular. 
Obter as relações entre o período de oscilação, a amplitude de oscilação, a massa 
pendurada e o comprimento da corda. 
Determinar o valor da gravidade local por meio da medida de comprimento do fio e do 
período de oscilações. 
 
3. Materiais Utilizados 
 
 01 sistema de sustentação composto por tripé triangular, sapatas niveladoras, haste 
principal e painel com saliência de posicionamento (Cidepe); 
 01 cronômetro (utilizado o do celular Redmi Note 8 – Xiaomi); 
4 
 
 01 transferidor (Acrimet); 
 02 réguas com escala milimetrada projetável – uma com 500 mm e outra com 300 
mm (Cidepe) 
 02 massas pendulares de mesmo volume e massas diferentes. 
 
4. Procedimentos Experimentais 
 
1. Executa-se a montagem do aparato experimental. Em seguida, é necessário fixar o 
pêndulo de massa maior ao painel, através do parafuso central, e encaixa-se o fio no 
corte longitudinal. 
 
2. Com o auxílio do dispositivo de variação contínua, ajusta-se o comprimento do fio de 
modo que a distância entre o ponto de suspensão do pêndulo e o centro de gravidade 
da massa pendular seja 200 mm. 
 
3. Desloca-se (em aproximadamente 10°) o pêndulo da posição de equilíbrio e o 
abandona. Em seguida, usa-se o cronômetro para medir o intervalo de tempo que o 
pêndulo leva para realizar 5 oscilações completas e anota-se o valor obtido na Tabela 
1. 
 
4. Repete-se o procedimento anterior mais 4 vezes e anota-se os valores dos tempos 
das 5 oscilações na Tabela 1. Em seguida, obtém-se o valor médio do intervalo de 
tempos das 5 oscilações e encontra-se o período de uma oscilação. 
 
5. Com o auxílio do dispositivo de variação contínua, altera-se o comprimento do fio que 
forma o pêndulo e completa-se as lacunas existentes na Tabela 1. 
 
6. Reduz-se a massa pendular do sistema e repete-se os procedimentos 3, 4 e 5 
utilizando o comprimento do fio de 200, 400 e 600 mm e anota-se os valores dos 
intervalos de tempo das 5 oscilações completas na Tabela 2. 
 
 
Tabela 1: Dados coletados no estudo do pêndulo simples – Massa pendular maior 
Comprimento 
do fio (mm) 
Tempo de 5 oscilações (s) ± 0,05 Valor médio 
(s) 
Período 
(s) 1ª 
medida 
2ª 
medida 
3ª 
medida 
4ª 
medida 
5ª 
medida 
200 4,21 4,35 4,42 4,17 4,09 4,25 ± 0,06 0,85 
400 6,07 6,15 5,97 6,21 6,06 6,09 ± 0,04 1,22 
600 7,25 7,46 7,58 7,46 7,46 7,44 ± 0,05 1,49 
800 8,50 8,45 8,18 8,59 8,62 8,46 ± 0,08 1,69 
 
5 
 
 
Tabela 2: Dados coletados no estudo do pêndulo simples – Massa pendular menor 
Comprimento 
do fio (mm) 
Tempo de 5 oscilações (s) ± 0,05 Valor médio 
(s) 
Período 
(s) 1ª 
medida 
2ª 
medida 
3ª 
medida 
4ª 
medida 
5ª 
medida 
200 4,22 4,46 4,48 4,21 4,20 4,31 ± 0,86 
400 5,66 5,95 5,81 5,88 5,82 5,82 ± 1,16 
600 7,18 7,02 7,28 6,99 7,49 7,19 ± 1,44 
 
Para determinar o valor médio atribuído nas tabelas, utilizou-se a seguinte expressão: 
〈𝑥〉 = ∑
𝑥𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
 
Sendo: 
〈𝑥〉 = Valor médio 
𝑛 = Número de oscilações 
𝑥𝑖 = Valores do conjunto de dados 
A partir dela, foi possível encontrar a média do tempo de 5 oscilações da massa pendular 
maior, utilizando o comprimento do fio de 200 mm: 
〈𝑥〉 = ∑
𝑥𝑖
5
5
𝑖=1
=
4,21 + 4,35 + 4,42 + 4,17 + 4,09 
5
 
〈𝑥〉 =
21,24
5
 
〈𝑥〉 = 4,25 𝑠 
De maneira análoga, foi possível obter também a média do tempo de 5 oscilações para cada 
comprimento de fio utilizado, tanto para a massa pendular maior, quanto para a massa 
pendular menor completando assim as lacunas das tabelas. 
 
Para determinar o desvio padrão da média, utilizou-se a seguinte expressão: 
𝜎𝑚 =
1
√𝑛
√
1
(𝑛 − 1)
[∑𝑥𝑖
2 −
1
𝑛
(∑𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
)
2𝑛
𝑖=1
] 
Sendo: 
6 
 
𝜎𝑚 = Desvio padrão amostral 
𝑛 = Número de oscilações 
𝑥𝑖 = Valores do conjunto de dados 
Calculando os dados necessários e substituindo estes valores na expressão, foi possível 
encontrar o desvio padrão. 
𝜎𝑚 =
1
√5
√
1
(5 − 1)
[∑𝑥𝑖
2 −
1
5
(∑𝑥𝑖
5
𝑖=1
)
25
𝑖=1
] 
Para o fio com comprimento de 200 mm da massa pendular maior, calculando por partes 
obtém-se: 
∑𝑥𝑖
2 = 4,212 + 4,352 + 4,422 + 4,172 + 4,092 = 90,3
5
𝑖=1
 
∑𝑥𝑖
5
𝑖=1
= 4,21 + 4,35 + 4,42 + 4,17 + 4,09 = 21,24 
Logo: 
𝜎𝑚 =
1
√5
√
1
4
[(90,3) −
1
5
(21,24)2] 
𝜎𝑚 = (0,447213595)√
1
4
[(90,3) −
1
5
(21,24)2] 
𝜎𝑚 = (0,447213595)√
1
4
[(90,3) −
1
5
(451,1376)] 
𝜎𝑚 = (0,447213595)√
1
4
[(90,3) − (90,22752)] 
𝜎𝑚 = (0,447213595)√
1
4
[0,07248] 
𝜎𝑚 = (0,447213595)√[0,01812] 
𝜎𝑚 = (0,447213595)(0,13461) 
𝜎𝑚 = 0,06019 
7 
 
De maneira análoga, foi possível obter também o desvio padrão das medidas para cada 
comprimento de fio utilizado, tanto para a massa pendular maior, quanto para a massa 
pendular menor,completando assim as lacunas das tabelas. 
 
Para determinar o período, que é tempo de uma oscilação, utilizou-se a seguinte expressão: 
𝑇 =
〈𝑥〉
𝑛
 
Sendo: 
𝑇 = Período 
〈𝑥〉 = Média do conjunto de dados 
𝑛 = Número de oscilações 
Logo, para o fio com comprimento de 200 mm, da massa pendular maior, obteve-se o período 
de: 
𝑇 =
〈𝑥〉
𝑛
 
𝑇 =
4,25
5
 
𝑇 = 0,85 𝑠 
De maneira análoga, foi possível obter também o período das oscilações para cada 
comprimento de fio utilizado, tanto para a massa pendular maior, quanto para a massa 
pendular menor, completando assim as lacunas das tabelas. 
 
5. Resultados e Discussões 
A inclinação do pêndulo simples em estudo foi definida pelo ângulo 𝜃, e como se trata de um 
fio ideal, onde efeitos das forças dissipativas são desprezadas, o movimento ocorreu de 
maneira simétrica. Quando se considera que o ângulo máximo de inclinação seja menor ou 
igual a 10°, pode-se definir o movimento do pêndulo como um movimento harmônico 
simples. Logo, as condições reais e necessárias que o movimento de um pêndulo simples 
deve possuir para que seu movimento possa ser representado através de um MHS é que a 
elongação do ângulo 𝜃 não seja exagerada, e que não ultrapasse a inclinação de 10°. 
Um gráfico do período de oscilação em função do comprimento do fio foi construído (em 
anexo) e a relação existente entre essas duas grandezas é diretamente proporcional, uma 
vez que, na medida que uma cresce, a outra também cresce. Porém, como a equação de 
Período não é uma equação linear, não foi possível incluir a reta de ajuste linear no gráfico 
1. Assim, se fez necessária a obtenção de um novo gráfico, realizando dessa vez a 
8 
 
linearização da relação teórica do período com o comprimento do fio utilizando o método do 
logaritmo. Assim, temos: 
𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
 
𝑙𝑜𝑔𝑇 = 𝑙𝑜𝑔(2𝜋√
𝐿
𝑔
) 
𝑙𝑜𝑔𝑇 = log(2𝜋) + 𝑙𝑜𝑔(
𝐿
1
2
𝑔
) 
𝑙𝑜𝑔𝑇 = log(2𝜋) +
1
2
𝑙𝑜𝑔 (
𝐿
𝑔
) 
𝑙𝑜𝑔𝑇 = log(2𝜋) +
1
2
[𝑙𝑜𝑔(𝐿) − 𝑙𝑜𝑔(𝑔)] 
𝑙𝑜𝑔𝑇 = log(2𝜋) −
1
2
𝑙𝑜𝑔(𝑔) +
1
2
𝑙𝑜𝑔(𝐿) 
Assim, encontramos a relação 𝑌 = 𝐴 + 𝐵𝑥, onde: 
𝑌 = 𝑙𝑜𝑔𝑇 
A = log(2𝜋) −
1
2
𝑙𝑜𝑔(𝑔) 
𝐵𝑥 =
1
2
𝑙𝑜𝑔(𝐿) 
Para a montagem do gráfico 2 (em anexo), se faz necessário então aplicar o logaritmo dos 
valores dos períodos e dos comprimentos coletados a partir da massa pendular maior. 
Tabela 3 – Logaritmo dos períodos e dos comprimentos da massa pendular maior 
𝐿𝑜𝑔 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑥) 𝐿𝑜𝑔 𝑃𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 (𝑦) 
𝐿𝑜𝑔(0,2) = −0,69897 𝐿𝑜𝑔(0,85) = −0,07058 
𝐿𝑜𝑔(0,4) = −0,39794 𝐿𝑜𝑔(1,22) = 0,08635 
𝐿𝑜𝑔(0,6) = −0,22184 𝐿𝑜𝑔(1,49) = 0,17318 
𝐿𝑜𝑔(0,8) = −0,09691 𝐿𝑜𝑔(1,69) = 0,22788 
 
Para determinar um ajuste linear a essa tabela, é necessário encontrarmos primeiro os 
valores de A e B da equação 𝑌 = 𝐴 + 𝐵𝑥. Para isso, usaremos as seguintes expressões: 
𝐵 = 
𝑛 ∑𝑥𝑖𝑦𝑖 − ∑𝑥𝑖 ∑𝑦𝑖
𝑛 ∑𝑥𝑖
2 − (∑𝑥𝑖)
2 (𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟) (1) 
9 
 
𝐴 = 
∑𝑦 − 𝐵. ∑𝑥
𝑛
 (𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟) (2) 
Para isso, construiremos uma tabela com todos os dados necessários: 
 𝑆𝑜𝑚𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜: 
𝑥 −0,69897 −0,39794 −0,22184 −0,09691 −1,41566 
𝑦 −0,07058 0,08635 0,17318 0,22788 0,41683 
𝑥2 0,48856 0,15836 0,04921 0,00939 0,70552 
𝑦2 0,00498 0,00746 0,02999 0,05193 0,09436 
𝑥𝑦 0,04933 −0,03436 −0,03842 −0,02208 −0,04553 
 
Tendo todos os valores já calculados, basta substituirmos na expressão (1) para acharmos 
o valor de B. 
𝐵 = 
4(−0,04553) − (−1,41566)(0,41683)
4(0,70552) − (−1,41566)2
 
𝐵 = 
(−0,18212) − (−0,59009)
(2,82208) − (2,00409)
 
𝐵 = 
0,40797
0,81799
 
𝐵 = 0,49874 
Tendo então o valor de B, basta substituirmos na equação (2) para encontrarmos o valor de 
A. 
𝐴 = 
0,41683 − (0,49874)(−1,41566)
4
 
𝐴 = 
0,41683 − (−0,70605)
4
 
𝐴 = 
1,12288
4
 
𝐴 = 0,28072 
Logo, a reta de ajuste linear será dada por: 
𝑌 = 𝐴 + 𝐵𝑥 
𝑌 = 0,28072 + (0,49874)𝑥 
Relacionando as duas equações encontradas: 
𝑙𝑜𝑔𝑇 = log(2𝜋) −
1
2
𝑙𝑜𝑔(𝑔) +
1
2
𝑙𝑜𝑔(𝐿) 
𝑌 = 0,28072 + (0,49874)𝑥 
10 
 
É possível obter o valor experimental da aceleração da gravidade local (𝑔𝐸). Assim, temos: 
A = log(2𝜋) −
1
2
𝑙𝑜𝑔(𝑔) 
0,28072 = log(2𝜋) −
1
2
𝑙𝑜𝑔(𝑔) 
−
1
2
𝑙𝑜𝑔(𝑔) = 0,28072 − log(2𝜋) 
(−
1
2
𝑙𝑜𝑔(𝑔)) (−2) = 0,28072(−2) − log(2𝜋)(−2) 
𝑙𝑜𝑔(𝑔) = −0,56144 + 2𝑙𝑜𝑔(2𝜋) 
𝑔 =
21,43856 𝜋2
50,56144
 
𝑔 = 10,8373 𝑚/𝑠2 
Para saber a eficácia do experimento, encontraremos o erro relativo através de: 
𝐸𝑟𝑔𝑒𝑥𝑝 = |
𝑔𝑇 − 𝑔𝐸
𝑔𝑇
| . 100 
𝐸𝑟𝑔𝑒𝑥𝑝 = |
9,78 − 10,84
9,78
| . 100 
𝐸𝑟𝑔𝑒𝑥𝑝 = 10% 
A principal causa da diferença encontrada pode ter se dado por fatores externos, como a 
falta de precisão do observador ao manusear o cronômetro, assim como nas aproximações 
dos cálculos, além da falta de precisão no momento da elongação correta do fio, já que 
possivelmente o ângulo utilizado no lançamento do pêndulo pode não ter sido uma inclinação 
de 10° exatos em algum momento. 
Obtendo os períodos de oscilações do sistema e comparando com os valores obtidos com 
as massas pendulares maior e menor. Temos: 
Comprimento (m) Período de Oscilações (s) ∆= |𝑀𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑀𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟| (𝑠) 
Massa Maior Massa Menor 
0,2 0,85 0,86 0,01 
0,4 1,22 1,16 0,06 
0,6 1,49 1,44 0,05 
0,8 1,69 − − 
 
Ao analisar a variação do período de oscilação da massa maior e da massa menor, podemos 
perceber que os valores apresentam uma variação muito pequena, pois mesmo com as 
massas diferentes, tal fenômeno ocorre, já que, um pêndulo simples consiste em uma massa 
11 
 
presa a um fio, que ao retirá-la da posição de equilíbrio e abandoná-la, desconsiderando a 
resistência do ar, temos que a força resultante é a tensão do fio e a força peso. Como não 
há movimentação no eixo y, conclui-se que a componente da força peso e a tensão do fio 
tem a mesma intensidade com direções contrárias, se anulando, tendo assim que entre a 
força resultante e o 𝐹 = 𝑃. sen 𝜃 para ângulos menores que 10° pode ser feita uma 
aproximação ∆= sen 𝜃 ≅ 𝜃. Isso faz com que a massa do sistema seja desprezível, 
justificando o valor da variação muito pequena nos dados do período das duas massas 
distintas. 
 
6. Conclusão 
Tendo em vista os aspectos analisados, foi possível observar o Movimento Harmônico 
Simples executado pelo pêndulo simples, uma vez que, no experimento, foi utilizado um 
ângulo de aproximadamente 10° em relação a posição de equilíbrio, o que se tornou possível 
a aproximação 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≅ 𝜃 verificando-o como um movimento de um ponto material sujeito à 
ação de uma força restauradora proporcional ao seu deslocamento angular e não ao seno 
do ângulo. 
Feita a análise dos dados dos períodos das massas da Tabela 01 e Tabela 02, foi possível 
verificar as relações entre o período de oscilação e o comprimento do fio, também 
representado no Gráfico 01, onde a relação entre essas duas grandezas são diretamente 
proporcionais, já que, na medida em que uma cresce a outra também cresce. 
Observou-se ainda que a variação da massa quando ela é diferente de zero, não influenciou 
no período da oscilação para ângulos menores que 10°. Ou seja, a massa é desprezível 
quando se trata de ângulos pequenos, o que realmente vai influenciar no valor do período é 
apenas o comprimento do fio. 
Ainda foi possível determinar experimentalmente o valor da gravidade local (𝑔 =
10,84 𝑚/𝑠2), encontrado a partir da comparação dos coeficientes da equação teórica 
linearizada e da reta ajuste do Gráfico 02. 
Porém, é importante frisar que, embora o experimento tenha sido executado em laboratório, 
com todos os materiais necessários e o auxílio do professor, o valor encontrado da gravidade 
local poderia ter sido um pouco melhor, já que o erro relativoencontrado foi de 10%. Um 
erro relativamente alto quando se trata de comparar o valor teórico com o valor experimental. 
 
7. Referências Bibliográficas 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física, volume 2: 
gravitação, ondas e termodinâmica. Tradução de Ronald Sérgio de Biasi – 10. ed. – Rio de 
Janeiro: LTC, 2016. 
12 
 
ANDRIETTA, Matheus. Compreendendo o funcionamento de um Pêndulo Simples. 
infoEnem, 2019. Disponível em <Compreendendo o Funcionamento de um Pêndulo Simples 
(infoenem.com.br)>. Acesso em: 03/06/2022. 
Guia de laboratório – Física Geral e Experimental Práticas em Laboratório. Versão 1.1 –
Outubro de 2014 – UFRB. 
https://infoenem.com.br/compreendendo-o-funcionamento-de-um-pendulo-simples/
https://infoenem.com.br/compreendendo-o-funcionamento-de-um-pendulo-simples/