Relatório PÊNDULO SIMPLES PARA DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ – UESC
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS – DCET
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
FÍSICA EXPERIMENTAL II – P03
PÊNDULO SIMPLES PARA DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
DANIEL BORGES DA SILVA (201310113)
MATHEUS HENRIQUE GÓES (201310116)
ILHÉUS - BA
2013 
SUMÁRIO
1	INTRODUÇÃO	3
2	OBJETIVO	4
3	MATERIAIS E MÉTODOS	4
3.1	Materiais	4
3.2	Métodos	4
4	RESULTADOS E DISCUSSÃO	5
5	CONCLUSÃO	11
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS	12
INTRODUÇÃO
	O pêndulo simples é composto de uma corda de comprimento L, inextensível e sem massa, que suspende uma partícula de massa m e tem sua extremidade superior presa a um ponto fixo. A partícula do pêndulo realiza um movimento oscilatório em torno da sua posição de equilíbrio. 
	A massa da partícula representa o elemento de inércia, e a atração gravitacional da Terra é responsável pela restauração do movimento pendular. As forças atuantes na partícula são o seu peso e a tração do fio. A força de restauração do sistema é a componente 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 do peso, pois ela é tangencial à trajetória da partícula e sempre contrária ao movimento, ou seja, apontando sempre para o ponto de equilíbrio. Já a componente que é perpendicular à trajetória da partícula, 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃, está em equilíbrio com a tração do fio em qualquer instante do movimento. Portanto, a força resultante é 𝐹= −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃, e o sinal negativo sugere que essa força é contrária ao deslocamento da partícula.
Fonte: HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: 2. LTC, 2009.
Figura 1: Um Pêndulo Simples
	Com oscilações em pequenas amplitudes (até 5°), o pêndulo simples se assemelha a um oscilador linear, como o sistema massa-mola, ou seja, realiza um Movimento Harmônico Simples. A partir da fórmula do período do massa-mola é possível obter uma expressão para o período do pêndulo simples, substituindo k por mg/L: 
	Observa-se que as massas se cancelam na equação, ou seja, o período do pêndulo simples independe do valor da massa.
	Isolando g na equação (1), obtém-se uma expressão para calcular o valor da gravidade através do pêndulo simples:
	Onde L é o comprimento do pêndulo e T é o período de oscilação.
OBJETIVO
Calcular a aceleração da gravidade local através de um pêndulo, apresentando o resultado final de acordo com as propagações de erros relativas a estas medidas.
MATERIAIS E MÉTODOS
Materiais
1 Suporte Universal
1 corda (ou fio)
1 partícula (ou massa)
1 fita métrica
1 transferidor
1 cronômetro
Métodos
Com o pêndulo simples construído em um suporte universal, utilizou-se uma fita métrica para medir o comprimento do pêndulo, que é a distância entre o ponto fixo e o centro de gravidade do pêndulo. Em seguida, com o auxílio de um transferidor, a corda do pêndulo foi ajustada de tal modo que formasse uma pequena amplitude (ângulo de 5°). Ao soltar a corda, o pêndulo iniciava a oscilação e, utilizando um cronômetro, registrava-se o tempo para dez oscilações. Esse processo foi repetido cinco vezes para cada um dos comprimentos do fio, que foram de 49,8 cm, 100 cm e 132 cm, respectivamente.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
As tabelas abaixo mostram as medidas feitas do tempo total que o pêndulo leva para completar 10 oscilações. Foram realizadas cinco medidas para cada um dos três comprimentos do pêndulo.
Tabela 1: medidas do tempo total de 10 oscilações para o pêndulo A, de 49,8 cm.
	Medida
	Tempo (s)
	1
	14,07
	2
	13,99
	3
	14,09
	4
	14,17
	5
	14,03
Tabela 2: medidas do tempo total de 10 oscilações para o pêndulo B, de 100 cm.
	Medida
	Tempo (s)
	1
	19,89
	2
	19,95
	3
	19,73
	4
	20,09
	5
	19,97
Tabela 3: medidas do tempo total de 10 oscilações para o pêndulo C, de 132 cm.
	Medida
	Tempo (s)
	1
	22,72
	2
	22,88
	3
	23,00
	4
	23,04
	5
	22,78
	Os períodos para uma oscilação dos pêndulos de diferentes comprimentos foram obtidos através da média dessas medidas divididas por 10, pois os valores medidos foram para 10 oscilações. Foi conveniente realizar a medida para um grande número oscilações e não para apenas uma, pois assim diminuem-se os erros aleatórios, que são os erros causados por fatores que o experimentador não tem controle, como a temperatura, a resistência do ar e a pressão. A quantidade de medidas também é importante para diminuir esse tipo de erro, por isso foram realizadas cinco medidas para cada comprimento do pêndulo. 
 Assim, o valor médio do período é obtido através da fórmula:
Onde é o valor médio do tempo para uma oscilação (ou seja, o período), é o número de medidas e são os valores das medidas.
	A média obtida para o período do pêndulo A, com comprimento de 49,8 cm foi:
	Para o pêndulo B, com comprimento de 100 cm:	
	E para o pêndulo C, de 132 cm:
	Com estes valores médios dos períodos e os valores do comprimento de cada pêndulo, é possível calcular a aceleração da gravidade local através da equação (2).
	Para o pêndulo A:
Para o pêndulo B:
Para o pêndulo C:
	Porém, existem incertezas associadas a estes valores obtidos, que devem ser expressas junto a estes valores para fornecer o resultado com precisão. No caso do comprimento do fio, foi adotado para este experimento apenas o erro instrumental como sendo a incerteza final, podendo ser calculada da seguinte forma:
Onde 1 mm é a menor medida do instrumento utilizado. Isso vale para os três pêndulos, visto que as suas medidas foram feitas com a mesma fita métrica.
A medida do período também envolve o erro instrumental, , que para este experimento foi adotado por convenção o valor de 0,1 s. Mas para determinar sua incerteza padrão final, deve-se também levar em conta a dispersão das medidas em relação à média para cada pêndulo. Essa dispersão pode ser estimada através do desvio padrão, que é calculado por:
Para o pêndulo A:
	Para o pêndulo B:
Para o pêndulo C:
	Em seguida, deve-se calcular o desvio padrão do valor médio, que pode ser estimado da seguinte forma:
	Para o pêndulo A:
	Para o pêndulo B:
Para o pêndulo C:
Finalmente, é possível calcular a incerteza padrão final através do valor de e dos valores obtidos de . Essa incerteza padrão final é dada pela formula:
	Para o pêndulo A:
 0,100045985 s
Para o pêndulo B:
 0,100172642 s
Para o pêndulo C:
	Após calcular a incerteza padrão, pode-se representar o valor final da medida do período de oscilação de cada pêndulo:
	Como a gravidade depende de outras grandezas, para calcular a sua incerteza padrão final deve-se levar em conta a propagação das incertezas envolvidas nas medidas do período e do comprimento, que são as grandezas das quais ela depende. A incerteza padrão final da gravidade pode ser calculada através da fórmula:
	Onde é a incerteza padrão final da gravidade, é o valor médio da gravidade, é a incerteza padrão final do período, é o valor médio do período, é a incerteza padrão final do comprimento, é o valor médio do comprimento, e e são os coeficientes do período e do comprimento, respectivamente, na equação (2).
	Substituindo os valores na equação acima, obtém-se o valor da incerteza padrão final da gravidade para cada um dos três pêndulos.
	Para o pêndulo A:
	Para o pêndulo B:
Para o pêndulo C:
	A partir dos valores obtidos, é possível expressar os resultados finais da gravidade local medida por cada pêndulo.
Para o pêndulo de 49,8 cm:
Para o pêndulo de 100 cm:
 
Para o pêndulo de 132 cm:
	Como o local onde foi realizado o experimento está ao nível do mar, o valor de é 9,81 𝑚/𝑠², segundo o livro Fundamentos de Física 2 (HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl). Para comparar esse valor esperado da aceleração da gravidade local com o valor obtido, pode-se utilizar o erro relativo, que é expresso por:
	Onde é o valor real esperado e o valor médio obtido.Assim, é possível calcular o erro percentual para cada valor médio obtido.
	Para o pêndulo A:
	Para o pêndulo B:
	Para o pêndulo C:
	Esses valores são bastante aceitáveis, visto que as porcentagens dos erros relativos para os pêndulos são menor que 2%, o que mostra que o valor experimental obtido está bem próximo do real.
CONCLUSÃO
	Foi possível concluir que o método utilizado no experimento para determinar a aceleração da gravidade local é eficaz, pois os três valores obtidos para a gravidade local estão bem próximos do valor esperado, e considerando as incertezas, são totalmente compatíveis. A repetição das medidas do tempo fez com que os resultados obtidos fossem mais precisos, pois quanto maior o número de medidas, mais preciso será o resultado do experimento. Comparado os valores obtidos da gravidade com o valor real através do erro relativo, obtemos 1,2%, 1,3% e 1,4% de erro para as medidas nos pêndulos A, B e C, respectivamente. Esses baixos valores percentuais confirmam ainda mais a eficácia do método utilizado para a determinação da gravidade local.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HALLIDAY, D.; RESNICK,R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: 2. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 296p.
https://sites.google.com/site/mschivani/disciplinas/cet833 (acessado dia 28/08/13 ás 9h50min).