Lista 3 - 43econ1 (1)

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA 
CENTRO DE CIÊNCIAS DA ADMINISTRAÇÃO 
E SÓCIO-ECONÔMICAS – ESAG 
LISTA 3 - ECONOMETRIA I 4F 
 
1) Sabemos que para termos estimadores BLUE, o Modelo Clássico de Regressão Linear faz uso de 
algumas hipóteses. Quando todas elas são satisfeitas, nossos estimadores de MQO são, dentre 
outras características, estimadores Não-Viesados ou Não-Tendenciosos (e dado a normalidade, 
consistentes) dos verdadeiros valores populacionais. 
Explique e demonstre como a violação de cada uma das hipóteses a seguir pode (ou não) 
influenciar nas características de viés e/ou consistência dos estimadores de MQO. 
a) A variável independente X e a variável dependente Y apresentam o mesmo erro de medida: 
𝑋∗ = 𝑋 + 𝑒1 onde 𝑋
∗ = variável observada, 𝑋 = variável real; 𝑒1 = erro aleatório ~N(0, σ
2). 
 𝑌∗ = 𝑌 + 𝑒1 onde 𝑌
∗ = variável observada, 𝑌 = variável real; 𝑒1 = erro aleatório ~N(0, σ
2). 
b) O modelo está incorretamente especificado: o modelo estimado foi 𝑌𝑖 = 𝛽1̂ + 𝛽2̂𝑋2𝑖 + 𝑢𝑖, quando 
o modelo verdadeiro é 𝑌𝑖 = 𝛽1̂ + 𝛽2̂𝑋2𝑖 + 𝛽3̂𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖 
c) Presença de correlação serial nos resíduos: quando o modelo é 𝑌𝑡 = 𝛽1̂ + 𝛽2̂𝑋𝑡 + 𝑢𝑡, sendo 𝑢𝑡 =
𝜌𝑢𝑡−1 + 𝑒𝑡, 𝑋 = variável independe ≠ Yt ∀ 𝑡; 𝑒𝑡 = erro aleatório ~N(0, σ
2). Apresente 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑡). 
 
2) Do ponto de vista econométrico, explique porque podemos comparar a Multicolinearidade com o 
Colesterol. Depois, comente os efeitos de uma colinearidade muito alta, mas não exata, sobre os 
coeficientes de inclinação e suas variâncias. 
 
3) Considere um modelo de regressão sem intercepto: 𝑌𝑖 = 𝛽2̂𝑋𝑖 + 𝑢𝑖. Lhe foi informado 
que 𝑽𝒂𝒓(𝒖𝒊) = 𝝈
𝟐𝑿𝒊
𝟐. Demonstre como você faria para corrigir o problema e como ficariam 
as equações “corrigidas” de �̂�2 e 𝑉𝑎𝑟(�̂�2). Depois calcule a estimativa eficiente de 𝛽2 e teste, 
ao nível de significância de 5%, a hipótese de que 𝛽2 = 0 para o seguinte conjunto de dados: 
OBS: por simplicidade, considere que o modelo sofre apenas com problema de 
Heteroscedasticidade. 
 
 
4) Imagine que em um modelo de regressão linear simples (𝑌𝑖 =∝1̂+∝2̂ 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖) a variável independente Xi 
apresenta um erro de medida 2 vezes maior do que o erro de medida variável dependente Yi tal que: 𝑋𝑖
∗ =
𝑋𝑖 + 2𝑤𝑖 onde 𝑋𝑖
∗ = variável observada, 𝑋𝑖 = variável real; 𝑤𝑖 = erro aleatório ~N(0, σ
2); 𝑌𝑖
∗ = 𝑌𝑖 +
𝑤𝑖 onde 𝑌𝑖
∗ = variável observada, 𝑌𝑖 = variável real; 𝑤𝑖 = erro aleatório ~N(0, σ
2). Considere que as 
demais hipóteses do modelo clássico se mantém. Observe que os erros de Yi e Xi são os mesmos, porém o do 
X são 2 vezes maior. Explique e demonstre como esses erros podem (ou não) afetar as características de 
consistência de ∝1̂ e ∝2̂ e explique também, se existir, quais as condições necessárias e/ou suficientes para 
que o viés desapareça, sabendo que os valores de 𝑤𝑖 não são todos constantes. 
 
5) Um teste bastante utilizado para detectar autocorrelação de primeira ordem é o teste de Durbin-Watson que 
pode ser calculado genericamente como: 𝑑 =
∑(𝑢𝑡−𝑢𝑡−1)
2
∑ 𝑢𝑡
2 . Explique e demonstre porque o valor da estatística d 
situa-se no intervalo 0 ≤ 𝑑 ≤ 4. 
 
6) Julgue as alternativas como Verdadeiro (V) ou Falso(F). Mantendo as demais hipóteses do Modelo 
Clássico, a respeito do modelo de regressão múltipla: 
 
iiii eXXY +++= 22110  
 
em que ie tem média zero e variância 
2 , são corretas as afirmativas: 
X Y 
1 4 
3 12 
5 16 
6 18 
7 49 
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(V) No caso de uma forte colinearidade entre iX1 e iX 2 , tende-se a aceitar a hipótese nula de que 
02 = , pois a estatística t é subestimada. 
(F) Se os erros são heterocedásticos, ainda assim os testes usuais t e F podem, sem prejuízo algum, ser 
empregados para se testar a significância dos parâmetros do modelo, caso estes sejam estimados por 
Mínimos Quadrados Ordinários. 
(V) Se os erros são autocorrelacionados, ainda assim os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários 
de 1 e 2 são lineares e não tendenciosos. 
(V) A omissão da variável explicativa relevante, X2, para explicar a variável dependente, Yi, torna a 
estimativa dos coeficientes 0 e 1 tendenciosa e inconsistente, se somente se, a variável omitida X2, 
for correlacionada com a variável incluída, X1. 
(F) Erros de medida da variável dependente reduzem as variâncias dos estimadores de Mínimos 
Quadrados Ordinários de 1̂ e 2̂ . 
 
7) Imagine que uma cooperativa de produtores de celulose contrate um Economista para realizar um estudo 
sobre o Custo Total Médio (CTM) em relação à Quantidade produzida (Q) de celulose para as empresas 
associadas. Depois de verificar alguns dados (e lembrando da teoria Micro), o Economista elaborou 
(corretamente) o seguinte modelo para analisar a relação entre o CTM e Q: 
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2
1
𝑋𝑖
+ 𝑢𝑖 (2.1) 
Entretanto, esse mesmo economista observou que empresas maiores faziam melhores controles de seus 
custos e forneciam estimativas de custo médio mais precisas, com menos erro e consequentemente, a 
variância de ui era inversamente proporcional a Xi ou seja: 
𝑉𝑎𝑟(𝑢�̂�) = 𝜎
2 1
𝑋𝑖
 (2.2) 
As demais hipóteses do modelo clássico de regressão linear foram atendidas. O pesquisador pensou em 
utilizar 3 formas diferentes para estimar os coeficientes de inclinação (todas as variáveis estão em nível): 
𝛽2
∗ =
𝑛 ∑ 𝑋𝑖𝑌𝑖−∑ 𝑋𝑖 ∑ 𝑌𝑖
𝑛 ∑ 𝑋𝑖
2−(∑ 𝑋𝑖)2
 , 𝛽2
# =
∑ 𝑋𝑖 ∑ 𝑌𝑖−𝑛 ∑ 𝑋𝑖𝑌𝑖
∑ 𝑋𝑖 ∑
1
𝑋𝑖
−𝑛2
 e 𝛽2
$ =
𝑛 ∑
𝑌𝑖
𝑋𝑖
−∑
1
𝑋𝑖
∑ 𝑌𝑖
𝑛 ∑(
1
𝑋𝑖
)2−(∑
1
𝑋𝑖
)
2 
a) Com base nas equações 2.1 e 2.2, esboce um gráfico característico da relação entre CTM e Q para 
a cooperativa de celulose. 
b) Demonstre/explique se as estimativas de �̂�2
∗, �̂�2
# 𝑒 �̂�2
$ são não-viesadas (ou consistentes) e 
eficientes. 
 
8) Considere as seguintes informações: 
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 onde 𝑢𝑡 = 0.75𝑢𝑡−1 + 𝑒𝑡 sendo que 𝑒𝑡~𝑁(0,1). 
Sabe-se que Xt e ut não são correlacionados e que ∑ (𝑢𝑡 − 𝑢𝑡−1)
230
𝑡=2 = 32. 
Teste ao nível de significância de 5% a hipótese de ausência de autocorrelação entre os resíduos 
e calcule a variância de ut. 
 
9) Considere os seguintes modelos: 
(𝑎) 𝑌𝑖 = 𝜃1 + 𝜃2𝑋2𝑖 + �̂�𝑖 
(𝑏)𝑌𝑖 = �̂�1 + �̂�2𝑋2𝑖 + �̂�3𝑋3𝑖 + �̂�𝑖 
Sabe-se que o modelo (b) de regressão múltipla é o correto. Foram feitas as seguintes 
estimativas: 
Modelo 1: MQO, usando as observações 1-6 Modelo 2: MQO, usando as observações 1-6 
Variável dependente: Y Variável dependente: Y 
 Coeficiente Erro Padrão Coeficiente Erro Padrão 
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const 7.3 1.38641 Const 6.17797 1.10494 
X2 −0.585714 0.355998 X3 −0.0611846 0.0567443 
Média var. dependente 5.25 Média var. dependente 5.25 
Soma resíd. quadrados 8.871429 Soma resíd. quadrados 11.52514 
R-quadrado 0.403601 R-quadrado 0.2252 
Modelo 3: MQO, usando as observações 1-6 Modelo 4: MQO, usando as observações 1-6 
Variável dependente: X2 Variável dependente: X3 
 Coeficiente Erro Padrão Coeficiente Erro Padrão 
const 1.42373 0.278106 Const −9.33333 2.8441 
X3 0.136897 0.0142822 X2 7 0.730297 
Média var. dependente 3.5 Média var. dependente 15.16667 
Soma resíd. quadrados 0.730117 Soma resíd. quadrados 37.33333 
R-quadrado 0.958279 R-quadrado 0.958279 
Explique, demonstre e calcule as implicações de estimar erroneamente o coeficiente de 
inclinação da regressão linear simples (𝜃2) no lugar de estimar o coeficiente correto de regressão 
múltipla �̂�2. Ou seja, explique, demonstre e calcule as implicações de cometer o erro de omissão de 
variável relevante para esse conjunto de informações. 
 
10) A tabela abaixo apresenta 6 valores consecutivosde Xt e Yt observados ao longo de 6 anos. 
Admite-se que essas variáveis estão relacionadas de acordo com o modelo: 
 
𝑌𝑡 =∝ +𝛽𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 , 
 
Ao estimar os dados por MQO, obteve-se os valores apresentados no Quadro 1 a seguir: 
Modelo 1: MQO, usando as observações 1950-1955 (T = 6) 
Variável dependente: Y 
 Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor 
Const -1.24731 2.19439 -0.5684 0.60015 
X 2.12903 0.459229 4.6361 0.00976 *** 
Média var. dependente 8.333333 D.P. var. dependente 4.082483 
Soma resíd. quadrados 13.07527 E.P. da regressão 1.807987 
R-quadrado 0.843097 R-quadrado ajustado 0.803871 
 
a) Faça e interprete o teste de Durbin Watson para detectar autocorrelação. (tome como verdadeiro os 
valores críticos dl=0.6 e du=1.6). 
 
b) Considere agora que a forma da autocorrelação seja conhecida: 𝒖𝒕 = 𝒖𝒕−𝟏 + 𝜺𝒕, onde 
𝜀𝑡~𝑁(0, 𝜎𝜀
2), 𝐸(𝜀𝑡𝜀𝑡−𝑠) = 0 para 𝑠 ≠ 0. Obtenha as estimativas eficientes e/ou consistentes de ∝ e 𝛽 (dica: não 
precisa recuperar a primeira informação de X e Y). Calcule o erro padrão e faça o teste t usando um nível de 
significância de 5% e compare com os resultados das estimativas de MQO. 
 
11. Considere o seguinte conjunto de informações coletados ao longo de uma década: 
Dado o modelo de regressão linear simples: 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋 + 𝑢 
a) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de autocorrelação de primeira 
ordem nos resíduos (construa os intervalos). Calcule e interprete o coeficiente de 
autocorrelação dos resíduos (arredonde sua resposta para 1 casa decimal). 
b) Faça o teste de heterocedasticidade de Breush-Pagam ao nível de significância 
de 5%. Assuma por hipótese que, nesse caso, se a heterocedasticidade existir ela é 
conhecida e será na forma: �̂�𝑖
2 = 𝛼1 + 𝛼2𝑋𝑖. Interprete os resultados. 
c) Agora que você já testou autocorrelação dos resíduos e também a 
heterocedasticidade, obtenha as estimativas eficiente dos coeficientes 𝜷𝟏 𝐞 𝜷𝟐 e faça o 
teste t dos coeficientes ao nível de significância de 5%. Para simplificar sua vida, caso o 
modelo sofra de autocorrelação use o rô estimado na letra (a) – com uma casa decimal - 
para corrigir o problema e/ou caso o modelo sofra de heterocedasticidade use a equação 
da letra (b) sem o intercepto para corrigir o problema. 
 
 
Xt Yt 
4 6 
2 2 
7 14 
4 10 
4 8 
6 10 
Ano X Y 
2004 2 5 
2005 4 8 
2006 6 10 
2007 10 12 
2008 16 19 
2009 22 34 
2010 26 18 
2011 30 32 
2012 38 26 
2013 46 66 
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12. Do ponto de vista econométrico, explique porque podemos comparar a Multicolinearidade 
com o Colesterol. Descreva os sintomas, os testes e diagnósticos e os tratamentos para uma 
multicolinearidade alta, mas não exata. Demonstre também o que acontece com as 
estimativas de MQO na presença de uma multicolinearidade exata entre duas variáveis Xs do 
modelo. 
 
13. Imagine que em um modelo de regressão linear simples (𝑌𝑖 =∝1̂+∝2̂ 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖) a variável 
independente Yi apresenta um erro de medida 3 vezes maior do que o erro de medida variável 
dependente Xi tal que: 𝑋𝑖
∗ = 𝑋𝑖 + 𝑤𝑖 
 onde 𝑋𝑖
∗ = variável observada, 𝑋𝑖 = variável real; 𝑤𝑖 = erro aleatório ~N(0, σ
2); 𝑌𝑖
∗ = 𝑌𝑖 + 3𝑤𝑖 onde 
 𝑌𝑖
∗ = variável observada, 𝑌𝑖 = variável real; 𝑤𝑖 = erro aleatório ~N(0, σ
2). Considere que as demais 
hipóteses do modelo clássico se mantém. Observe que os erros de Yi e Xi são os mesmos, porém o do Y são 3 
vezes maior. Explique e demonstre como esses erros podem (ou não) afetar as características de consistência de 
∝1̂ e ∝2̂ e explique também, se existir, quais as condições necessárias e/ou suficientes para que o viés 
desapareça, sabendo que os valores de 𝑤𝑖 não são todos constantes. 
 
14. Julgue como V ou F as seguintes afirmações: “Mantendo as demais hipóteses do Modelo Clássico... 
i) na presença de heteroscedasticidade, os estimadores de MQO podem ser consistentes, mas não eficientes. 
ii) na presença de autocorrelação dos resíduos, os estimadores de MQO serão viesados e ineficientes. 
iii) quando os valores dos testes de significância individuais são muito baixos, mas o valor do teste de 
significância conjunta são elevados, tem-se um sintoma clássico de multicolinearidade alta. 
iv) quando o valor da estatística d de Durbin-Watson é igual a zero, significa que aceitamos a hipótese nula de 
que a autocorrelação serial é igual a zero. Logo, os erros não são correlacionados. 
 
15. Considere o seguinte conjunto de informações coletados ao longo de uma década. 
Dado o modelo de regressão linear simples: 𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋 + 𝑢 
d) Teste, ao nível de significância de 5%, a hipótese de autocorrelação de primeira 
ordem nos resíduos (construa os intervalos). Calcule e interprete o coeficiente de 
autocorrelação dos resíduos (arredonde sua resposta para 1 casa decimal). 
e) Faça o teste de heterocedasticidade de Breush-Pagam ao nível de significância 
de 5%. Assuma por hipótese que, nesse caso, se a heterocedasticidade existir ela é 
conhecida e será na forma: �̂�𝑖
2 = 𝛼1 + 𝛼2𝑋𝑖. Interprete os resultados. 
f) Agora que você já testou autocorrelação dos resíduos e também a 
heterocedasticidade, obtenha as estimativas eficiente dos coeficientes 𝜷𝟏 𝐞 𝜷𝟐 e faça o 
teste t dos coeficientes ao nível de significância de 5%. Para simplificar sua vida, caso o 
modelo sofra de autocorrelação use o rô estimado na letra (a) – com uma casa decimal - 
para corrigir o problema ou caso o modelo sofra de heterocedasticidade use a equação 
da letra (b) sem o intercepto para corrigir o problema (ou seja, se a heterocedasticidade 
existir, assuma, por simplicidade que ela tem a forma �̂�𝑖
2 = 𝛼2𝑋𝑖 para corrigir o problema). 
 
16. O modelo da Escolha Racional de Becker (1968) analisa os fatores que influenciam na 
decisão de um indivíduo de cometer um crime, de acordo com os custos e benefícios que 
decorrem desse crime. Esse modelo tem natureza microeconômica, com foco nas escolhas 
individuais que influenciam no custo de oportunidade para pratica criminosa. 
Becker propõe que o crime seja visto como uma atividade econômica, e toda sua teoria baseia-se na 
racionalidade do agente. Becker relacionada o número de ofensas cometidas por um indivíduo (Y) com 
a perspectiva (probabilidade e tempo) de punição esperada (X). Espera-se que maiores punições 
desencorajem o crime. Nesse contexto, é possível pensar em um modelo linear do tipo: 
𝑌𝑖 = �̂�1 + �̂�2𝑋𝑖 + �̂�𝑖. 
 X Y 
2006 1 5 
2007 4 8 
2008 9 12 
2009 9 15 
2010 16 20 
2011 25 35 
2012 25 20 
2013 36 30 
2014 36 24 
2015 49 63 
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Porém, assume-se que a variável de punição (X) pode conter erro de medida, de tal modo que 𝑋∗ = 𝑋 + 𝑒1 
onde 𝑋∗ = variável observada, 𝑋 = variável real; 𝑒1 = erro aleatório ~N(0, σ
2). Ao estimar o 
modelo por MQO, usando Y=f(X*) os resultados foram: 𝑌�̂� = 10 − 1,818181𝑋𝑖. Sabe-se que a variância 
do erro de medida é igual a 0,8 e que a variância de X* é 8,8. Com base nessas informações: 
a) Demonstre, conceitualmente, como o erro de medida pode afetar o viés (consistência) dos 
estimadores (intercepto e inclinação). 
b) Calcule o valor consistente do coeficiente de inclinação. 
 
 
17. Considere o seguinte modelo de regressão 𝑌𝑖 = 𝛽 + 𝑢𝑖 , onde i = 1,...,n no qual 
 𝐸(𝑢𝑖) = 0; 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖) = 𝜎
2𝑋𝑖 e 𝐸(𝑢𝑖𝑢𝑗) = 0 ∀ 𝑖 = 𝑗 . Suponha também que os Xi são não estocásticos para 
todo i = 1,...,n . Chamaremos de 𝛽∗ o estimador de mínimos quadrados generalizados (ou ponderados) 
que corrige o problema e produz estimativas eficientes. Sabe-se que: 
σ2 = 1 e ∑
1
Xi
= 5 .Explique como corrigir o problema e calcule a estimativa eficiente da Variância do β∗. 
 
18. Depois de estimar um modelo do tipo 𝑌𝑖 = 𝛽1̂+ 𝛽2̂𝑋𝑖 + �̂�𝑖 um economista realizou alguns testes e 
identificou que 𝜎𝑖
2 = 4𝑋𝑖 . Além disso, ∑ 𝑥𝑖
2 = 35 e ∑ 𝑥𝑖
2𝑋𝑖 = 45 . Calcule de maneira eficiente a 
𝑉𝑎𝑟(𝛽2̂). 
 
19. Considere as seguintes informações: 
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 onde 𝑢𝑡 = 0.5𝑢𝑡−1 + 𝑒𝑡 sendo que 𝑒𝑡~𝑁(0,1). 
Sabe-se que Xt e ut não são correlacionados e que ∑ (𝑢𝑡 − 𝑢𝑡−1)
229
𝑡=2 = 80. 
Supondo que o n é suficientemente grande, teste ao nível de significância de 5% a hipótese de ausência 
de autocorrelação entre os resíduos e calcule a variância de ut. 
 
20. Considere que exista uma relação linear entre os verdadeiros valores das variáveis Y e X (𝑌𝑖 =∝1+
∝2 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖). Porém, a variável X contém erro de medida, de tal modo que 𝑋
∗ = 𝑋 + 𝑒1 onde 𝑋
∗ =
variável observada, 𝑋 = variável real; 𝑒1 = erro aleatório ~N(0, σ
2). Considere o conjunto de 
informações a seguir: 
 
X* Y 
22 25 
30 33 
38 37 
22 21 
28 24 
a) Calcule o valor da estimativa consistente de ∝1 e ∝2 sabendo que a variância do erro de 
medida em X* é igual a 3,2. 
b) Nesse caso, o estimador de MQO tende a superestimar ou subestimar o valor dos 
verdadeiros coeficientes? Calcule o valor das inconsistências e explique também as 
propriedades do estimador de MQO para esses casos. 
 
21. Explique e demonstre as principais implicações de se cometer os erros de sobre-especificação e sub-
especificação nas estimativas de MQO. 
 
22. Usando MQO e mantendo as demais hipóteses do modelo clássico, enumere a segunda coluna de 
acordo com a primeira sabendo que a numeração errada anula a afirmativa: 
(1) Multicolinearidade 
(2) Heterocedasticidade 
(3) Autocorrelação nos 
resíduos (Caso 1) 
(4) Erro de medida 
(5) Erro de sub-specificação 
(6) Erro de sobre-
especificação 
( ) não causa viés nem ineficiência; 
( ) não causa viés mas causa ineficiência; 
( ) causa viés e ineficiência; 
( ) para corrigir o problema cortamos o mal pela raiz; 
( ) do ponto de vista econométrico pode ser comparado com o colesterol; 
( )pode ser testado com o Durbin-Watson; 
( ) o FIV pode ser usado como teste; 
( ) testa-se comparando o 𝑛𝑅²~𝜒²(𝑝−1)𝑔𝑙 ; 
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( ) o procedimento de Cochrane-Orccut pode corrigir o problema; 
( ) o problema acontece pois temos n+k parâmetros a ser estimados com 
base em apenas n observações; 
 
23. Um modelo de regressão linear múltipla do tipo 𝑌𝑡 = �̂�1 + �̂�2𝑋2𝑡 + �̂�3𝑋3𝑡 + �̂�𝑡 foi utilizado 
para analisar a relação entre os Poluição por CO2 (Y) em função do Número de Veículos (X2) 
e Produção industrial (X3) ao longo de 10 meses. Um pesquisador conseguiu obter os 
seguintes resultados: 
∑ 𝑌 = 750; ∑ 𝑋2 = 122; ∑ 𝑋3 = 90; ∑ 𝑦
2 = 5016; ∑ 𝑥2
2 = 323.6; ∑ 𝑥3
2 = 250; 
∑ 𝑦𝑥2 = 1225; ∑ 𝑦𝑥3 = 1100; ∑ 𝑥2 𝑥3 = 258; ∑ û𝑡
2 = 35.374302; ∑(û𝑡 − û𝑡−1)² = 71.50285 
∑ 𝑥2 û𝑡
2 = 88.08388; ∑ 𝑥3 û𝑡
2 = 27.04898; ∑(û𝑡
2)² = 313.3967; 
a) Calcule, interprete e explique o FIV. 
b) Faça o teste de autocorrelação resíduos, recupere rô e interprete os resultados. 
 
24. Considere os três casos apresentados a seguir: 
i) 𝑌𝑡 = 𝛽1̂ + 𝛽2̂𝑋𝑡 + 𝑢𝑡,sendo 𝑢𝑡 = 𝜌𝑢𝑡−1 + 𝑒𝑡, (X independente e erro autocorrelacionado) 
ii) 𝑌𝑡 = 𝛽1̂ + 𝛽2̂𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡,sendo 𝑢𝑡 = 𝑒𝑡, (Y defasado como X, mas erro não autocorrelacionado) 
iii) 𝑌𝑡 = 𝛽1̂ + 𝛽2̂𝑌𝑡−1 + 𝑢𝑡,sendo 𝑢𝑡 = 𝜌𝑢𝑡−1 + 𝑒𝑡, (Y defasado como X, e erro autocorrelacionado) 
Usando as estimativas de MQO, considerando os conceitos de viés, consistência e eficiência, assinale um X 
apenas na(s) alternativa(s) correta(s): 
( ) Os três casos são ineficientes; ( ) Os três casos são viesados; 
( ) Os casos 1 e 2 são não viesados; ( ) Os casos 2 e 3 são consistentes; 
( ) Apenas o caso 1 é consistente; ( ) Apenas o caso 3 é viesado; 
( ) O caso 2 é não viesado, mas ineficiente; ( ) O caso 3 é inconsistente e ineficiente; 
( ) Os casos 1 e 2 são consistentes mas ineficientes; ( ) Os casos 1 e 2 são consistes; 
25.