Mec_Flu_Aula 5

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Universidade Federal do Pará
Campus Universitário de Tucuruí - CAMTUC
Tucuruí – PA
2021
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Professor: Leopoldo Pacheco Bastos, Dr. Eng.
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Aula 5 – EMPUXO E ESTABILIDADE, ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA
Mecânica dos Fluidos – Aula 5
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Mecânica dos Fluidos – Aula 5
Empuxo e estabilidade
Se um objeto estiver imerso em um líquido, ou flutuando em sua superfície, a força líquida vertical agindo sobre ele devido à pressão do líquido é denominada empuxo.
Considerando um corpo imerso, a força vertical pode ser encontrada mais facilmente considerando elementos de volume cilíndricos, 
A força vertical líquida é então dada por,
Para um corpo submerso, a força de empuxo do fluido é igual ao peso do fluido deslocado.
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Empuxo e estabilidade
O peso de um objeto atua sobre o seu centro de gravidade (CG).
Na figura abaixo e à esquerda, as linhas de ação das forças de empuxo e do peso estão deslocadas de modo a produzir um conjugado que tende a nivelar a embarcação. Por outro lado, na figura da direita, este conjugado tende a virar a embarcação.
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Exemplo:
Um balão de ar quente (com forma aproximada de uma esfera de 15 m de diâmetro) deve levantar um cesto com carga de 2670 N. Até qual temperatura o ar deve ser aquecido para possibilitar a decolagem?
Solução:
Eq. básicas
Considerações:
Gás ideal.
A pressão atmosférica age em todos os lados.
Densidade obtida considerando T = 15ºC
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Solução:
Considerações:
Gás ideal.
A pressão atmosférica age em todos os lados.
A temperatura do ar quente pode ser obtida, usando a equação de gás ideal na seguinte forma,
Fazendo, tem-se,
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Ementa
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Introdução à Análise Dimensional e Semelhança
Muitos escoamentos da natureza e de aplicações de engenharia são turbulentos (não admitem soluções analíticas).
A solução dos problemas reais geralmente envolve análise e experimentação (equações semi-empíricas).
Experimentos são essenciais para refinar a análise.
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Parâmetros Adimensionais
A transição do escoamento laminar para turbulento depende de aspectos geométricos da superfície, velocidade e viscosidade do fluido, entre outras. Porém, depende principalmente da razão entre as forças de inércia e as forças viscosas, conhecida como número de Reynolds (Re), dado por,
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Fluidos com alta viscosidade que se movem a baixas velocidades tenderão a ter baixos número de Reynolds e comportamento laminar. 
Fluidos com baixa viscosidade e elevada velocidade tenderão a ter elevados números de Reynolds e comportamento turbulento.
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Parâmetros Adimensionais
O número de Reynolds também é um indicativo da estabilidade do escoamento. Informações sobre as flutuações de pressão em torno de um determinada superfície são úteis para o dimensionamento de certos componentes mecânicos.
		
	
	
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Parâmetros Adimensionais
A taxa de transferência de calor por convecção em qualquer lugar ao longo de uma superfície está diretamente relacionada com o gradiente de temperatura neste local. 
A velocidade do fluido tem forte influência sobre o perfil de temperatura e, dessa forma, o desenvolvimento da camada limite de velocidade em relação à camada limite térmica terá forte efeito sobre a transferência de calor por convecção. Esta influência é melhor descrita pelo número de Prandtl.
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Parâmetros Adimensionais
A difusividade térmica e a viscosidade cinemática descrevem a capacidade de um fluido transportar energia e quantidade de movimento, respectivamente, por difusão. O número de Prandtl fornece uma razão entre essas capacidades.
 Para muitos fluidos, e apresentam valores similares uma vez que o transporte de energia e quantidade de movimento ocorrem basicamente pelo mesmo mecanismo
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Parâmetros Adimensionais
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Parâmetros Adimensionais
Os fenômenos afetando o arrasto afetam também a transferência de calor e isto se reflete no número de Nusselt (Nu), dado por
Fisicamente, o número de Nusselt representa a razão entre a transferencia de calor de um fluido por convecção (ou seja, a transfêrencia do fluido em movimento) e por condução (quando o fluido está em repouso).
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Parâmetros Adimensionais
Os dados obtidos experimentalmente para a transferência de calor são frequentemente expressos através de uma lei de potência, na forma
C, m e n são constantes e dependem da geometria da superfície e das condições do escoamento;
Equação semi-empírica obtida sob a hipótese de propriedades constantes para o fluido.
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Análise Dimensional e Semelhança
Método de redução do número de variáveis de um problema para um conjunto menor de variáveis;
Os resultados obtidos podem ser correlacionados a vários sistemas, pois são expressos por parâmetros adimensionais (Ex: Re, Bi, Nu, etc.);
Grande redução com custos e tempo dos experimentos;
Limitações: Não fornece informações sobre o fenômeno investigado; Exige compreensão física prévia do problema.
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Análise Dimensional aplicada à Mecânica dos fluidos
	Comprimento	L
	Tempo	t
	Massa	M
	Temperatura	T
	Condutividade Térmica	ML/t3T
	Calor	ML2/t2
	Velocidade	L/t
	Densidade	M/L3
	Viscosidade	M/Lt
	Calor específico (cp)	L2/t2T
	Coef. trans. de calor	M/t3T
	Força	ML/t2
Sistema primário de grandezas expresso por dimensões fundamentais (M L t T)
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Teorema dos Pi de Buckingham
Permite obter o número de grupos adimensionais de um problema físico;
M - número de grupos adimensionais independentes;
N - número de variáveis físicas do problema;
P - número de dimensões fundamentais.
Sendo Π um adimensional genérico, pode-se escrever então,
Um fenômeno físico de 5 variáveis (N) e 3 dimensões fundamentais (P),
f e g devem ser determinadas experimentalmente.
M = N - P
F(Π1, Π2, …, Πm) = 0
M = 5 – 3 = 2
Π1 = f(Π2) ou g(Π1, Π2) = 0 
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Teorema dos Pi de Buckingham
Para o arrasto sobre uma efera, é esperado que este dependa da Viscosidade (µ), Densidade (ρ), Velocidade (V) do fluido e Diâmetro (D) da esfera.
Então, a força de arrasto, F, pode ser escrita como,
Da mesma forma, seria possível escrever ,
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Teorema dos Pi de Buckingham
Determinando os grupos Π
 Passo 1: Listar os parâmetros relevantes envolvidos;
 Passo 2: Expressar os parâmetros em termos de dimensões fundamentais (geralmente ρ (M/L3), V (L/t), Lx (L));
 Passo 3: Selecionar um número de parâmetros que inclua todas as dimensões fundamentais;
 Passo 4: Estabelecer equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados;
 Passo 5: Resolver as equações para obter os grupos adimensionais;
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Teorema dos Pi de Buckingham
Força de arrasto sobre uma esfera lisa: Obtenha um conjunto de grupos adimensionais que possam ser utilizados para correlacionar dados experimentais.
	F	Força de arrasto	ML/t2
	V	Velocidade	L/t
	D	Diâmetro	L
	ρ	Densidade	M/L3
		Viscosidade	M/Lt
Parâmetros 		 Dimensões
M = 5 – 3 = 2 grupos adimensionais
Selecinonando, tem-se
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Teorema dos Pi de Buckingham
Equacionando os expoentes
De modo semelhante, 
Verificar as dimensões
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Teorema dos Pi de Buckingham
Exemplo: Considere o escoamento cruzado em um tubo aquecido, como ilustrado abaixo.
	D	Diâmetro do tubo	L
	k	Condutividade Térmica do fluido	ML/t3T
	V	Velocidade	L/t
	ρ	Densidade	M/L3
	µ	Viscosidade	M/Lt
	cp	Calor específico a pressão constanteL2/t2T
	h	Coef. trans. de calor	M/t3T
Parâmetros 			 Dimensões
M = 7 – 4 = 3 grupos adimensionais
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Teorema dos Pi de Buckingham
 Sistema de 7 incógnitas e 4 equações (indefinido)
Por ser tratar de adimensionais, os expoentes devem ser nulos,
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Teorema dos Pi de Buckingham
 h (coef. de transf. de calor convectivo)
0
0
0
b+ e + 1 = 0
a+ b – e + 2f = 0
– 3b – e – 2f – 3 = 0
– b – f – 1 = 0
0
g = 1
c = d = 0
a = 1
b = – 1
e = f = 0
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Teorema dos Pi de Buckingham
g = f = 0
a = 1
b+ d + e = 0
1+ b + c – 3d – e = 0
– 3b – c – e = 0
– b = 0
b = 0
c = d = 1
e = – 1
0
0
0
0
0
0
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Teorema dos Pi de Buckingham
e = f = 1
b = – 1
– 1+ d + 1 + g = 0
a – 1 + c – 3d – 1 +1 = 0
– 3(–1) – c – 1 – 2 = 0
–(– 1) – 1 – g = 0
0
g = d = a = 0
c = 0
- 1
1
1
- 1
- 1
1
1
1
1
- 1
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Teorema dos Pi de Buckingham
Então, há uma função do tipo,
f(Π1, Π2, Π3) = 0 ou f(Nu, Re, Pr) = 0 
Nu = g(Re, Pr) 
Nu/Pr0,3 
Re
Experimentos realizados com ar, água e óleo mostraram uma boa correlação envolvendo os três adimensionais.
Isolando Nu, tem-se,
A equação pode ser utilizada para outros fluidos se não houver dados disponíveis.
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