teorico (2)

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Fundamentos Metodológicos 
do Ensino de Matemática
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Dr.ª Edda Curi e Prof.ª Me. Priscila Bernardo Martins
Revisão Textual:
Prof. Me. Luciano Vieira Francisco
O Ensino das Operações do Campo Conceitual Aditivo
O Ensino das Operações 
do Campo Conceitual Aditivo
 
 
• Refletir sobre o ensino das operações de adição e subtração ao longo dos últimos quarenta anos;
• Conhecer os estudos de Vergnaud sobre o ensino das operações do campo aditivo;
• Discutir alguns estudos sobre procedimentos de cálculos para resolver operações.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Introdução;
• Campo Conceitual Aditivo;
• Ensino das Operações Aditivas;
• As Contribuições de Vergnaud;
• Sobre Procedimentos de Cálculo.
UNIDADE O Ensino das Operações do Campo Conceitual Aditivo
Introdução
Em algum momento, você já deve ter percebido que, nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental, o foco do trabalho com a Matemática está nas quatro operações 
denominadas fundamentais. Mas, por que será que, mesmo com o ensino centrado 
nesse tema, as crianças têm tanta dificuldade para resolver problemas envolvendo 
tais operações e para calcular o resultado de operações?
Estudos e pesquisas recentes discutem a mudança de foco no ensino das opera-
ções, partindo sempre da resolução de problemas e deixando a criança mais livre 
para escolher sua estratégia de resolução. Esses estudos servem de base a docu-
mentos curriculares publicados nos últimos anos, daí a necessidade de conhecê-los. 
É o que faremos nesta Unidade.
Qual tipo de procedimento de cálculo você usa com mais frequência na sua vida diária? E na 
escola como futuro(a) professor(a), qual tipo de cálculo você desenvolveria com seus estudantes?
Campo Conceitual Aditivo
Você conhece algo sobre campo conceitual aditivo?
O autor que discute essa temática é Gerard Vergnaud (1996), para quem cada 
conceito matemático está inserido em um campo conceitual, e este é constituído por 
um conjunto de situações de diferentes naturezas. Sugere o trabalho conjunto com os 
problemas aditivos e subtrativos, pois fazem parte de um mesmo campo conceitual, 
denominado campo aditivo.
O campo conceitual aditivo é formado por um conjunto de situações que envolvem 
as operações de adição e subtração, com base em um campo mais amplo de signi-
ficados do que tem sido usualmente realizado. Considera que não basta o professor 
ensinar aos seus alunos as estratégias dos algoritmos da adição e subtração; esses 
cálculos precisam estar relacionados a situações-problemas em contextos variados. 
Passaremos, adiante, para o ensino das operações de adição e subtração.
Ensino das Operações Aditivas
Ao longo dos últimos anos, o ensino das operações sofreu várias modificações. 
Certamente, ao fazer seu mapa conceitual, você identificou algumas daquelas afir-
mações com períodos em que você estudou. Agora você fará a leitura do texto e se 
situar no tempo, certamente evocando outras lembranças, e, depois, analisará o que 
vem sendo proposto, atualmente, para o ensino desse tema.
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Na década de 1960, a ênfase maior era para as técnicas operatórias, ensinadas 
mecanicamente, sem justificativas, seguidas da “prova real” e da “prova dos nove” 
para verificação de resultados. Às vezes, a criança perdia tanto tempo ao realizar 
a prova real e errava nessa prova, achando que havia errado a operação. Assim, 
apagava a sua resolução e começava tudo de novo; resolvia a operação e depois 
a prova real. O trabalho com cálculo mental era pouco desenvolvido, a não ser 
nas “tabuadas” da adição, que eram aprendidas e memorizadas por causa de um 
treinamento constante. 
O ensino das operações era realizado por passos, de acordo com a ordem de 
grandeza dos números envolvidos e as possíveis dificuldades que poderiam causar e 
com o ano de escolaridade da criança. Assim, no geral, o professor ensinava adição 
e subtração com números da ordem das unidades, depois passava para números da 
ordem das dezenas, ampliava para a ordem das centenas e chegava, na antiga quarta 
série, à ordem das unidades de milhar.
O professor propunha problemas para as crianças resolverem somente após 
o estudo e o domínio das operações. Os significados trabalhados eram restritos. 
Igualmente, os problemas eram propostos paulatinamente, após o estudo de cada 
operação. Assim, o professor trabalhava com os cálculos de adição e, após muito 
treino, apresentava problemas que se resolviam a partir dessa operação. Depois fa-
zia o mesmo com a subtração. A criança não identificava o significado do problema, 
resolvia automaticamente, usando a operação recém-ensinada. Com esse foco, o 
problema era usado como aplicação dos conhecimentos já estudados.
Na década de 1970, o ensino de Matemática, no Brasil, foi fortemente influenciado 
por um movimento internacional denominado Matemática Moderna.
Nessa fase, o ensino das operações era baseado na teoria dos conjuntos.
A adição era apresentada por meio da união de dois conjuntos distintos; a subtração 
era apresentada como conjunto complementar. O sentido de equivalência entre as 
duas operações era enfatizado, ou seja, se havia uma adição com um termo des-
conhecido, era possível determinar esse termo com uma subtração. O diagrama 
de Venn era usado com a intenção de facilitar a visualização dessas operações.
Os conjuntos eram representados por diagramas. A Figura a seguir ilustra um exem-
plo de diagrama de Venn:
BA
1
2
3
5
6
7
4
Figura 1
9
UNIDADE O Ensino das Operações do Campo Conceitual Aditivo
Quanto ao cálculo mental, nessa época foi inteiramente abandonado. A ênfase 
ficava nas propriedades das operações (comutativa, associativa, elemento neutro, 
fechamento) e não nos cálculos. Dizia-se que era mais importante que a criança iden-
tificasse a propriedade comutativa da adição do que soubesse calcular uma adição, 
ou seja, era mais importante que a criança identificasse que 5 + 4 = 4 + 5 (proprie-
dade comutativa) do que calculasse, mentalmente, o resultado de 5 + 4.
A partir da década de 1980, as ideias do “Movimento Matemática Moderna” 
começaram a ser questionadas. Um movimento ocorrido nos Estados Unidos 
denominado “Agenda para Ação” rompeu com a abordagem das operações por meio 
da teoria de conjuntos e colocou o foco no trabalho com a resolução de problemas. 
No Brasil, esse foco começou a surgir no final da década de 1980, quando alguns 
Estados modificaram suas orientações curriculares, que foram influenciadas pelo 
movimento norte-americano. Assim, a indicação era que se trabalhasse com pro-
blemas que focalizassem algumas ideias das operações, tais como juntar, tirar, com-
parar, complementar, medir.
Nessa época, acreditava-se que as crianças aprendiam a calcular usando os 
denominados “materiais concretos”. As escolas tinham o material dourado, as bar-
ras de Cuisenaire, entre outros, e havia uma proposta de uso desses materiais para 
potencializar o trabalho com os algoritmos (técnicas operatórias). Dessa forma, 
buscava-se a compreensão dessas técnicas operatórias, como o “vai um” na adi-
ção, os “empréstimos” na subtração. A reta numérica também era usada para 
representar as operações.
Havia algumas discussões sobre a importância do cálculo mental, mas este se 
reduzia aos fatos básicos das operações, ou seja, percebeu-se a importância de a 
criança saber de cor, por exemplo, o resultado de 5 + 4. 
O trabalho com as operações de adição e subtração era realizado separadamente, 
e a ordem de grandeza dos números era ampliada em cada série. 
Nessa fase houve um incentivo ao uso de jogos, materiais manipulativos e proble-
mas “não convencionais”.
Figura 2
Fonte: Reprodução
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No final da década de 1990, com o advento dos Parâmetros Curriculares 
Nacionais (PCN), o estudo das operações adição e subtração sofreu várias alte-
rações e a mais importante é a realização de um trabalho articulado entre essas 
e entre os cálculos para a resolução de problemas. As ideias dessas operações 
foram ampliadas e o documentotomou por base os estudos de Gerard Vergnaud.
A ênfase ficou na resolução de problemas não pelas técnicas operatórias já ensina-
das pelo professor, mas por meio de estratégias pessoais das crianças. No trabalho 
com cálculos, valorizava-se o cálculo mental, o cálculo com papel e lápis e o uso da 
calculadora. No próximo tópico focalizaremos os estudos de V ergnaud.
As Contribuições de Vergnaud
Vergnaud (1996) é psicólogo de formação, foi discípulo de Piaget e trabalha 
com cognição. Para esse autor, um campo conceitual é um conjunto informal e 
heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, conteúdos e operações 
de pensamento que se relacionam e que provavelmente são interligados em sua 
aquisição. O domínio de um campo conceitual faz-se ao longo de um grande período 
por meio de vivências que levem à maturação e aprendizagem. 
Por causa dessa visão, Vergnaud defende que um conceito não deve ser estudado 
isoladamente, pois só ganha sentido quando surge em diferentes situações. Defende 
também que uma situação pode envolver mais de um conceito.
Campo Conceitual das Estruturas Aditivas
De acordo com Vergnaud (1996), o campo conceitual das estruturas aditivas é, ao 
mesmo tempo, o conjunto de situações que envolvem uma (ou mais de uma) adição 
e/ou subtração ou uma combinação dessas duas operações e o conjunto de conceitos 
e teoremas que permitem analisar tais situações como tarefas matemáticas. 
Para esse teórico, o campo conceitual das estruturas aditivas refere-se ao conjunto 
de problemas que envolvem a exploração de adições e/ou subtrações com diferentes 
graus de complexidade. 
Define seis relações de base em que é possível engrenar todos os problemas de adi-
ção e de subtração da aritmética comum (V ERGNAUD, 1996, p. 172), tratando-se da:
• Composição de duas medidas numa terceira;
• Transformação (quantificada) de uma medida inicial numa medida final;
• Relação (quantificada) de comparação entre duas medidas;
• Composição de duas transformações;
• Transformação de uma relação;
• Composição de duas relações.
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UNIDADE O Ensino das Operações do Campo Conceitual Aditivo
O autor sistematizou as relações aditivas, conforme o seguinte Quadro:
Legenda:
Medida
Transformação ou relação (positiva ou negativa).
I II III
VIVIV
Figura 3 – Relações aditivas de base
Fonte: Adaptado de Vergnaud, 1996, p. 172
Explicitaremos melhor cada uma dessas categorias.
Significado de Composição
Para Vergnaud (1996), o significado de composição aparece em problemas que 
juntam dois estados para obter um terceiro. Trata de situações em que basta “juntar” 
ou “tirar”, sem que haja nenhuma transformação no ambiente. 
Esse autor considera três estados: Estado Inicial (EI), Estado Intermediário (I) e o 
Estado Final (EF). Dados dois desses, obtém-se o terceiro estado. Os exemplos de 
problemas, a seguir, envolvem a ideia de composição.
Em uma caixa de chocolates há 7 chocolates brancos e 8 chocolates ao leite.
Quantos chocolates há nessa caixa?
7
8
Figura 4 – Busca o estado final
Fonte: Adaptado de Vergnaud, 1996
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Em uma caixa há 15 carrinhos, sendo 7 azuis e os demais vermelhos.
Quantos carrinhos vermelhos há nessa caixa?
7
15
Figura 5 – Busca o estado intermediário
Fonte: Adaptado de Vergnaud, 1996
Significado de Transformação
Para Vergnaud (1996), o significado de transformação envolve uma ação ocorrida 
a partir da situação, de forma direta ou indireta, causando aumento ou diminuição.
O estado inicial da situação sofre uma transformação aditiva (ou subtrativa) para obter 
um resultado. Essa transformação é uma ação decorrente de verbos que surgem no 
enunciado da situação e permitem que a transformação seja de acréscimo ou de redução.
Esse autor afirma que as crianças, mesmo antes da educação formal, já constro-
em um pensamento intuitivo de adição e subtração, relacionando espontaneamente 
a “perda” e o “ganho” vivenciados em situações do cotidiano.
Vergnaud (1996) caracteriza o raciocínio de transformação por uma situação dada 
por um Estado Inicial (EI), geralmente correspondente a números que indicam me-
didas (quantidades, grandezas ou valores) que sofrem uma Transformação (T) que 
produz mudanças em relação ao Estado Inicial, levando a um Estado Final (EF).
Vejamos, a seguir, alguns exemplos de situações em que ocorrem transformações 
positivas e negativas:
Luiz tinha 10 �gurinhas. Ele ganhou de seu padrinho 6 �gurinhas.
Quantas �gurinhas Luiz tem agora?
10
6
Figura 6
Fonte: Adaptado de Vergnaud, 1996
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UNIDADE O Ensino das Operações do Campo Conceitual Aditivo
Vergnaud (1996) afirma que as situações de transformação são intuitivas pela 
ideia de juntar ou adicionar uma quantidade a outra já existente, possibilitando uma 
alteração do estado inicial.
A transformação também pode ser negativa, quando a situação correlaciona o 
estado inicial com o ato de perder algo que tinha, tal como ilustra o exemplo a seguir:
Gustavo tinha 12 �gurinhas. Ele perdeu 7 no jogo de bafo.
Quantas �gurinhas Gustavo tem agora?
12
7
Figura 7
Fonte: Adaptado de Vergnaud, 1996
Você deve ter percebido que, nos dois problemas apresentados que envolvem a 
ideia de transformação (positiva e negativa), a transformação e o estado inicial são 
conhecidos e busca-se o estado final. Mas há situações em que o estado inicial e o 
estado final são conhecidos e busca-se o valor da transformação, e há outras em que 
são conhecidos o estado final e a transformação e busca-se o estado inicial.
O primeiro exemplo, a seguir, ilustra a situação em que o estado inicial e o estado 
final são conhecidos e busca-se o valor da transformação. No segundo exemplo, o 
estado final e a transformação são conhecidos e busca-se o estado inicial.
Rafael tinha 8 carrinhos, ganhou alguns de sua mãe e 
cou com 15.
Quantos carrinhos Rafael ganhou?
8 15
Figura 8
Fonte: Adaptado de Vergnaud, 1996
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No �nal de um jogo de bafo, Bernardo tinha 15 �gurinhas.
Durante o jogo ele perdeu 8. Quantas �gurinhas Bernardo tinha inicialmente?
8
15
Figura 9
Fonte: Adaptado de Vergnaud, 1996
Significado de Comparação
Vergnaud (1996) afirma que uma situação tem significado de comparação 
quando as quantidades são comparadas entre duas partes no sentido de relacionar 
essas partes. No raciocínio de comparação, os valores não se transformam, apenas 
se estabelece a ideia de uma comparação entre dois estados. Segundo esse autor, 
há três tipos de variação nesse significado:
• O valor de referência é conhecido e busca-se o referido a partir da relação dada;
• Busca-se o valor de referência a partir do referido pela relação dada;
• O valor de referência é conhecido, assim como o referido, e busca-se a relação.
A seguir veremos alguns exemplos de cada tipo de problema de comparação:
Valor de referência é conhecido e busca-se o valor do referido a partir da relação 
dada: Bianca tem 20 adesivos coloridos e Simone tem 10 a mais que Bianca. Quantos 
adesivos tem Simone?
Sabemos quantos adesivos Bianca tem, portanto, temos uma referência, e Bianca 
é o referente. Mas não sabemos quantos adesivos Simone tem; esta é nosso referido. 
A relação é dada: Simone possui 10 a mais que Bianca. A comparação é positiva 
e, portanto, neste caso, o problema pode ser resolvido por meio de uma adição. 
Busca-se o valor de referência a partir do referido pela relação dada: Simone tem 8 ade-
sivos a menos que Bianca. Se Simone tem 15 adesivos, quantos adesivos Bianca tem?
Neste caso, sabemos quantos adesivos Simone tem, portanto, temos uma referên-
cia, e Simone é o referente. Mas não sabemos quantos adesivos Bianca tem; esta é 
nosso referido. A relação é dada: Simone tem 8 adesivos a menos que Bianca.
A comparação é negativa, mas, neste caso, o problema pode ser resolvido por meio 
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UNIDADE O Ensino das Operações do Campo Conceitual Aditivo
de uma adição, pois, se Simone tem 8 adesivos a menos que Bianca, Bianca tem 8 
adesivos a mais que Simone, então chegamos à quantidade de adesivos de Simone. 
O valorde referência é conhecido, assim como o referido, e busca-se a relação: 
Bianca tem 15 adesivos e Simone tem 8. Quantos adesivos Simone deve ganhar 
para ter o mesmo número que Bianca?
Neste caso, temos a referência (Bianca) e o referido (Simone), mas não temos a 
relação, a qual deve ser encontrada: Bianca tem 7 adesivos a mais que Simone, ou 
seja, Simone precisa ganhar 7 adesivos para ficar com o mesmo número que Bianca. 
No próximo exemplo, o referente é conhecido (a quantidade de adesivos de Bian-
ca), o referido é desconhecido (a quantidade de adesivos de Simone), o texto evidencia 
uma perda, mas a operação que resolve esse problema é uma adição:
Bianca tem 15 adesivos. Ela tem 7 adesivos a menos que Simone. Quantos adesivos 
tem Simone?
Segundo Vergnaud (1996), para a criança é difícil discernir o valor de referência 
do referido, as relações existentes entre dois grupos e todas as combinações possíveis 
de obter com o significado de comparação.
Significado de Composição de Transformação
Vergnaud (1996) afirma que existem situações em que pode ocorrer mais de uma 
transformação sucessiva, gerando uma composição de transformação, e apresenta 
quatro possibilidades de composição de transformação:
• Transformação positiva e positiva, quando a situação gera “ganho” e 
“ganho”: no início de um jogo, Rafael tinha certa quantia de figurinhas. No de-
correr do jogo, ele ganhou 10 figurinhas e, em seguida, ganhou 25 figurinhas. 
O que aconteceu com suas figurinhas após essas duas rodadas do jogo?
• Transformação positiva e negativa, quando ocorre a situação “ganho”, 
seguida de “perda”: no início de um jogo, Rafael tinha certa quantia de figu-
rinhas. No decorrer do jogo, ele ganhou 20 figurinhas e em seguida, perdeu 7. 
O que aconteceu com suas figurinhas nesse jogo?
• Transformação negativa e positiva, quando a proposta é de “perda” e, a 
seguir, de “ganho”: no início de um jogo, Rafael tinha certa quantia de figuri-
nhas. No decorrer do jogo, ele perdeu 20 figurinhas e depois ganhou 7. O que 
aconteceu com suas figurinhas nesse jogo?
• Transformação negativa e negativa, quando a situação é de “perde” e 
“perde”: no início de um jogo, Rafael tinha certa quantia de figurinhas. No de-
correr do jogo, ele perdeu 20 figurinhas e depois perdeu 7. O que aconteceu 
com suas figurinhas nesse jogo?
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Vergnaud (1996) defende que o processo de aprendizagem dos problemas que 
envolvem estruturas aditivas demanda uma série de atividades considerando vários 
tipos de problemas para que os alunos possam, por meio de resoluções de problemas, 
avançar na construção de conceitos. 
Importante!
Cabe destacar que não basta reproduzir categorias de problemas em sala de aula, nem 
utilizar essas nomenclaturas com as crianças. De acordo com Curi (2005), algumas 
tentativas de levar essa teoria para a sala de aula têm se limitado a reproduzir as dife-
rentes categorias de problemas propostos, o que, evidentemente, é um reducionismo 
em relação aos avanços que a teoria permite. Essa autora salienta que, embora seja 
muito positivo o fato de se utilizarem dados de pesquisas para orientação de ensino, 
ainda estamos longe de ver resultados desses estudos chegarem à sala de aula.
Sobre Procedimentos de Cálculo
A construção de habilidades de cálculo depende de pontos de apoio, tais como 
contagens e tabuadas, fatos fundamentais, repertório básico das crianças etc.
Por esse motivo, é preciso realizar um trabalho que envolve a construção, a orga-
nização e, como consequência, a memorização compreensiva desses fatos.
O documento destaca que a construção dos fatos básicos apoia-se na resolução 
de problemas e confere significados a escritas do tipo a + b = c e que a organização 
dessas escritas e a observação de regularidades facilita a memorização compreensiva 
desses fatos.
Na organização de um repertório básico de cálculo, os alunos começam a per-
ceber, intuitivamente, algumas propriedades da adição, como a associatividade 
e a comutatividade, mesmo sem a apresentação do professor, por exemplo, em 
situações em que, ao adicionarem 5 + 9, invertem os termos e começam a contar 
pelo 9, o maior número.
A construção de um repertório básico constitui suporte para a ampliação dos 
diferentes procedimentos e tipos de cálculos que o aluno desenvolverá ao longo dos 
ciclos iniciais: cálculo mental ou escrito, exato ou aproximado.
Os PCN já destacavam diferentes procedimentos e tipos de cálculo que se 
relacionam e se complementam. Esse documento chama a atenção para o fato de 
que o cálculo escrito apoia-se no cálculo mental, nas estimativas e aproximações 
e que as estratégias de cálculo mental são limitadas e podem ter apoio de cálculos 
intermediários escritos.
Ademais, os PCN sugerem que o professor privilegie a exploração concomitante 
de procedimentos de cálculo mental e cálculo escrito, exato e aproximado, de tal 
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UNIDADE O Ensino das Operações do Campo Conceitual Aditivo
forma que o aluno perceba as relações existentes entre esses tipos de cálculo e, com 
isso, possa aperfeiçoar seus procedimentos pessoais, tornando-os cada vez mais 
próximos das técnicas usuais. 
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) (BRASIL, 2017), por sua vez, destaca 
que os alunos desenvolvam variadas estratégias para a obtenção dos resultados, es-
pecialmente por estimativa e cálculo mental, além de algoritmos e uso de tecnologias 
digitais como a calculadora.
O cálculo mental é a base do cálculo aritmético usado no cotidiano; é realizado 
por meio de estratégias individuais de acordo com a vivência de cada um.
Analise os procedimentos de duas crianças para calcular mentalmente 57000 + 29000. 
Explique como procederam. Você faria este cálculo da mesma forma que uma dessas 
crianças? Se fizer de outra maneira, reflita sobre o seu procedimento:
• Procedimento de Mariana:
1. 57000 mais 10000 é igual a 67000;
2. 67000 mais 10000 é igual a 77000;
3. 77000 mais 9000 é igual a 86000.
• Procedimento de Felipe:
1. 57000 mais 30000 é igual a 87000;
2. 87000 menos 1000 é igual a 86000.
Os procedimentos usados pelas crianças e talvez por você foram diferentes, pois, no 
cálculo mental, é possível escolher a forma que mais se adapta a uma situação em 
função da vivência de quem está calculando, do tipo de número envolvido e das opera-
ções a serem resolvidas, transformando cada situação num problema aberto que pode 
ser resolvido de formas diferentes, com uso de procedimentos próprios que permitam 
encontrar o resultado.
O cálculo mental é um grande aliado na validação do cálculo escrito. Por exem-
plo, no cálculo de 67 – 19, saber que 67 – 20 = 47 ajudará a localizar corretamente 
o resultado da subtração proposta, ou seja, o resultado não pode ser menor que 47, 
pois 19 é menor que 20 e, quando se tira “menos” de um número, o resultado é 
maior do que quando se tira mais.
O cálculo escrito, tão valorizado pelos professores, é usado apenas na escola. 
Fora dela, o indivíduo deve optar por um tipo de cálculo que se adapta à situação 
que está enfrentando. Por exemplo, se fizer o cálculo de um valor final de um 
apartamento comprado em 50 meses, com entrada, parcelas fixas, parcelas inter-
mediárias etc., o indivíduo acaba usando a calculadora para saber o valor exato do 
apartamento a ser adquirido ou, então, faz uma estimativa do valor aproximado. 
Segundo os PCN, a estimativa auxilia no desenvolvimento da capacidade de 
tomar decisões. Esse documento ressalta que, desde o início da escolarização, as 
estimativas devem estar presentes em situações que permitam aos alunos percebe-
rem o significado de um valor aproximado e decidirem quando é conveniente usá-lo. 
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Os PCN enfatizam que as estimativas devem extrapolar as relações “maior que”, 
“menor que” e o professor deve trabalhar com a relação “estar entre”. 
Quanto ao cálculo escrito, o documento destaca que as técnicas operatórias 
usualmente ensinadas na escola apoiam-se nas regras do sistema de numeração 
decimal e em propriedades e regularidades das operações.No entanto, da forma 
como são ensinadas mecanicamente, os alunos não reconhecem a presença dessas 
regras e propriedades nos cálculos. Isso acontece, provavelmente, porque a esco-
la não explora os procedimentos pessoais dos alunos e chama a atenção para o 
fato de que os procedimentos utilizados pelos estudantes são, muitas vezes, formas 
intermediárias para se chegar ao registro das técnicas usuais. 
O documento destaca alguns recursos que podem auxiliar na compreensão das 
técnicas operatórias, vejamos:
A escrita decomposta dos números ajuda a evidenciar o estabelecimento 
de correspondência entre as unidades das diversas ordens no registro 
da técnica da adição e da subtração; também evidencia o “transporte”, 
no caso da adição, e o “empréstimo”, no caso da subtração, à ordem 
imediatamente superior.
Exemplo 1: 255 + 148
 200 50 5
+100 40 8
 300 + 90 + 13
 300 + 100 + 3
 400 + 3 = 403
Exemplo 2: 355 - 168
200 140 15
-100 60 8
 100 + 80 + 7
A aplicação da invariância da diferença — adicionar (ou subtrair) um mesmo 
número aos dois termos de uma subtração não altera a diferença — permi-
te a compreensão de uma das técnicas utilizadas para subtrair.
300 150 15
200 70
-100 60 8
 100 + 80 + 7 (BRASIL, 1996, p. 80)
As Orientações didáticas do currículo da Cidade de São Paulo (2017, p. 76) 
para Matemática propõem que antes de iniciar com os estudantes a utilização da 
calculadora, é necessário propor um trabalho de exploração do funcionamento básico 
desse recurso, chamando a atenção para alguns aspectos:
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UNIDADE O Ensino das Operações do Campo Conceitual Aditivo
• Observar que os números estão quase sempre dispostos da mesma maneira: en-
fileirados, na ordem decrescente, da direita para a esquerda, de cima para baixo;
• Desenhar a calculadora que tem em mãos;
• Descobrir qual a tecla que liga/desliga a calculadora, para que serve a tecla CE, 
como fazer aparecer no visor o número 25 sem utilizar o algarismo 2; como 
transformar o número 1048 e 48 realizando apenas uma operação; 
• Identificar as teclas que indicam as possibilidades de cálculo +, –, ×, ÷, % e √.
Ainda de acordo com esse documento, o bom emprego da calculadora possibilita 
ao estudante se concentrar no processo de resolução, a fim de desenvolver méto-
dos próprios, pautados na tentativa e erro, tais como estratégias pessoais; produzir 
conjecturas, experimentações e elaboração de novas hipóteses.
Importante!
A leitura do texto sobre procedimentos de cálculo permite concluir que um indivíduo 
não é proficiente em cálculo se souber apenas fazer cálculos com lápis e papel. Deve 
calcular usando estimativas e aproximações, fazer cálculo mental e usar calculadora e, 
mais ainda, deve ser capaz de escolher, numa dada situação, que tipo de cálculo é mais 
adequado. Só assim podemos dizer que esse sujeito é proficiente no cálculo.
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Leitura
Orientações Didáticas do Currículo da Cidade
Ler tópicos “Do cálculo mental ao cálculo escrito” (p. 65-70) e “O uso da calculadora 
nas aulas de Matemática” (p. 74-77).
https://bit.ly/2Vqq1eE
Educação matemática: grupos colaborativos, mitos e práticas
MARIANO, S. F. Procedimentos de crianças do 2º ano do Ensino Fundamental na 
resolução de problemas do campo aditivo com o significado de transformação. In: 
CURI, E.; NASCIMENTO, J. C. P. (Org.). São Paulo: Terracota, 2012. p. 95-114.
Educação matemática: grupos colaborativos, mitos e práticas
VECE, J. P. Alunos do 1º ano do Ensino Fundamental e os problemas de 
transformação negativa, In: CURI, E.; NASCIMENTO, J. C. P. (Org.). São Paulo: 
Terracota, 2012. p. 71-94.
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UNIDADE O Ensino das Operações do Campo Conceitual Aditivo
Referências
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Base nacio-
nal comum curricular. Brasília, DF, 2017.
________. Parâmetros curriculares nacionais para os 1º e 2º ciclos. Brasília, 
DF, 1996.
CURI, E. A Matemática e os professores dos anos iniciais. São Paulo:Musa, 2005.
MARIANO, S. F. Procedimentos de crianças do 2º ano do Ensino Fundamental 
na resolução de problemas do campo aditivo com o significado de transformação. 
In: CURI, E.; NASCIMENTO, J. C. P. (Org.). Educação matemática: grupos cola-
borativos, mitos e práticas. São Paulo: Terracota, 2012. p. 95-114.
PIRES, C. M. C. Educação matemática: conversas com professores dos anos ini-
ciais. São Paulo: Zapt, 2012.
SÃO PAULO (Cidade). Secretaria Municipal da Educação. Orientações didáticas 
do currículo da Cidade – Matemática. 2017.
VECE, J. P. Alunos do 1º ano do Ensino Fundamental e os problemas de transforma-
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