333421190-Livro-Metodologia-Do-Ensino-Da-Matematica-I-25-09

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ISBN: 978-85-63823-04-5 
Verônica Gitirana 
Paula Baltar Bellemain 
Walquíria Castelo Branco Lins 
Editora: EDUMATEC-UFPE 
ISBN: 978-85-63823-04-5 
Metodologia do Ensino da Matemática: 
 Livro-texto para a educação a distância 
,, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verônica Gitirana 
Paula Baltar 
Walquíria Castelo Branco Lins 
 
 
 
 
 
 
 
 
EDUMATEC - UFPE 
UAB – Licenciatura em Matemática - UFPE 
2016 
 
Metodologia do Ensino 
da Matemática 
Livro Texto para a educação a distância 
2 
 
CONTEÚDO 
 
Introdução ......................................................................................................................... 4 
Parte I - Atividades do Curso ........................................................................................... 8 
Módulo I Teoria dos Campos Conceituais As estruturas Aditivas ................... 9 
Módulo II Representação e conhecimento matemático O Caso dos Números 
Racionais ....................................................................................... 11 
Módulo III Erros e Obstáculos na Aprendizagem da Matemática .................. 14 
Módulo IV Avaliação da Aprendizagem Matemática .................................... 16 
Módulo V Avaliação de Sistemas Educacionais ............................................ 18 
Módulo VI Currículos e a Matemática no Currículo ...................................... 19 
Módulo VII Metodologias de Ensino da Matemática e seus Fundamentos ... 21 
Módulo VIII Concepções de Matemática e o Ensino da Matemática ............ 22 
Parte II Textos de Referência ......................................................................................... 24 
Módulo I Teoria dos Campos Conceituais: Implicações para os anos finais do 
Ensino Fundamental ...................................................................... 25 
Módulo II Representação e conhecimento matemático .................................. 48 
Módulo III Erros e Obstáculos na Aprendizagem da Matemática .................. 61 
A Apropriação da Escrita Numérica no Sistema de Numeração Decimal . 61 
Análise de Erros e Obstáculos .................................................................... 76 
Módulo IV Avaliação da Aprendizagem Matemática .................................... 86 
Dr. Zozo ...................................................................................................... 86 
Os desafios da avaliação da aprendizagem ................................................. 88 
Módulo V Sistemas de Avaliação Educacional em Larga Escala: elementos e 
usos ................................................................................................ 99 
Módulo VII Metodologias de Ensino da Matemática e suas Fundamentações
 ..................................................................................................... 114 
Papéis dos Jogos no Ensino da Matemática ............................................. 114 
Modelagem Matemática e os Jogos .......................................................... 121 
3 
 
INDICAÇÕES e REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................. 127 
ANEXO I ...................................................................................................................... 133 
 
 
4 
 
Introdução 
 
Este livro foi escrito especialmente para dar suporte à disciplina de Metodologia 
do Ensino da Matemática I na modalidade a distância (UAB) ofertado pela Universidade 
Federal de Pernambuco. Nesse sentido, ele é um livro texto e ao mesmo tempo didático. 
Por um lado, busca ofertar fundamentações básicas para a disciplina, e por outro, traz 
para o aluno e o professor um guia didático com atividades e orientações a serem 
realizadas para a consecução da disciplina. Ele inicia por uma parte com as atividades 
propostas pelos módulos da disciplina, e em uma segunda parte, traz os textos e 
indicações bibliográficas em textos, vídeos, materiais didáticos, sites, etc. que 
complementam as leituras necessárias a fundamentar a disciplina. Acreditamos que para 
o crescimento do licenciando, ele não poderá se limitar a leituras escritas por apenas um 
ou três autores. Como utilizamos bibliografias que estão nas nuvens, e o mundo virtual 
muda constantemente os seus endereços. Será mantida no site da disciplina uma listagem 
com os endereços atualizados. 
A disciplina de Metodologia do Ensino da Matemática faz parte das 800 horas/a 
de formação prática exigidas pela LDB para a formação do professor. 400 h/a destinadas 
a disciplinas que fundamentem e reflitam sobre a prática de Ensino da Matemática, e 400 
h/a de estágio supervisionado. 
No âmbito dessas 400 h/a, quatro disciplinas foram elaboradas, que formam dois 
blocos. Um primeiro destinado a discutir teorias mais gerais que fundamentam a 
Educação Matemática e o Ensino desta disciplina, e duas delas com foco nas discussões 
epistemológicas, didáticas e sócio-cognitivas dos diversos campos de conteúdo que 
compõem a Matemática escolar. A metodologia do ensino da matemática I pode ser 
sintetizada como “Discussão das concepções da matemática como Ciência e como 
disciplina escolar. Discussão da Educação Matemática como campo do saber. Análise da 
Matemática no Sistema Educacional brasileiro. Estudo dos Fundamentos Teóricos que 
dão suporte à prática docente de ensino e aprendizagem da Matemática.” 
Essa primeira, das quatro disciplinas de Metodologia do Ensino da Matemática, 
possui uma carga horária de 90h/a das quais 30h/a são destinadas a agir e refletir em torno 
de aspectos práticos do ensino da Matemática. 
Essa primeira abordagem da metodologia do ensino da matemática, inicia por 
discutir a Teoria dos Campos Conceituais para aprendizagem da matemática. Escolhemos 
5 
 
iniciar por uma teoria didático-cognitiva que dá suporte a entender a construção do 
conhecimento matemático em campos, suportado por situações que atribuem significados 
aos conceitos, as maneiras como os conceitos matemáticos são representados e 
comunicados e os invariantes dos conceitos. Nessa primeira abordagem, escolhemos 
como exemplo, o campo conceitual aditivo a fim de facilitar um primeiro contato com o 
licenciando. 
O conhecimento matemático é abstrato por sua própria natureza, e é por meio das 
representações que agimos, pensamos, operamos com tais conceitos. Nesse sentido, 
forma-se uma amálgama entre conceito e representação que precisa ser compreendido a 
fim de melhor se entender a importância da representação no conhecimento matemático. 
É comum pensarmos que se aprende matemática de forma contínua e que um 
conhecimento está sempre em sintonia com o outro. No entanto, isto nem sempre é 
verdade. Muitas vezes uma forma de conhecer, válida para alguns conteúdos não serve 
para outros. É comum, por exemplo, que uma criança ao estudar os números naturais 
desenvolva como uma das estratégias para reconhecer se um número é maior que outro, 
olhar primeiro a quantidade de algarismos que o mesmo possui. Ao se deparar com os 
números decimais, esse invariante não é mais válido: 1,05 é menor que 1,5, mas 1,5 tem 
menos algarismos que 1,05. A teoria dos obstáculos didáticos será estudada a fim de nos 
ajudar a entender como certos conhecimentos construídos podem servir de barreira para 
que o aluno aprenda outros. 
A Teoria dos obstáculos didáticos não pode ser pensada sem pensarmos no Erro e 
seu papel para o Ensino e Aprendizagem. O erro, tradicionalmente tratado como algo a 
ser evitado a todo custo, e algumas vezes identificado como pecado, precisa ser tratado 
como um recurso didático que o professor precisa utilizar para analisar o desenvolvimento 
do aluno e repensar sua prática. 
A partir do olhar sobre o erro, as teorias e práticas avaliativas são estudadas. 
Avaliar é um ato constante de toda a vida. No âmbito da escola, assim como, do ensino e 
aprendizagem diversos tipos de avaliação surgem, com funções diferentes, instrumentosdiversificados, dentre outras coisas. Nessa disciplina estudaremos a Avaliação em 
Educação Matemática, no âmbito da avaliação da aprendizagem na Educação Básica, 
avaliação de sistemas educativos e seus instrumentos. 
Já com um olhar mais amplo para os diversos fenômenos da escola no que 
concerne ao Ensino da Matemática, esta disciplina passa a olhar a noção de currículo, em 
seus princípios e consecuções. Além das teorias que vão fundamentar os currículos são 
6 
 
estudados alguns documentos curriculares, principalmente, aqueles que afetam 
diretamente o ensino de matemática em Pernambuco. 
Após diversos olhares em aspectos e diferentes teorias relativas ao Ensino e 
Aprendizagem da Matemática, a disciplina aborda diferentes metodologias de ensino da 
matemática, e suas fundamentações, estuda-se tanto a Tradicional como a de resolução 
de problemas. Diversos recursos metodológicos como jogos, materiais concretos, 
calculadora são também discutidos. As escolhas curriculares e metodológicas carregam 
por trás as concepções que temos do que venha a ser Matemática e do que venha a ser 
aprender Matemática, e de como se aprende matemática. É nesse sentido que abordamos 
as Concepções de Matemática e do Ensino de Matemática. 
Todas as escolhas da vida, e em particular, do Ensino da Matemática tem razões. 
É nesse sentido que essa disciplina é fechada com um estudo mais amplo das tendências 
de pesquisas da Educação Matemática. 
As atividades da disciplina são organizadas em módulos, os quais nesse livro 
aparecem na Etapa I, a qual é subdividida em módulos. O cronograma das atividades é 
deixado disponível no site. 
Para cada módulo, há um conjunto de textos que darão subsídio a realização das 
atividades e aprofundamentos. Além de um texto base de autoria nossa, são incluídos 
também textos de outros autores (com reconhecimento de autoria e permissão dos 
autores). Além desse, há indicações de importantes textos de outros autores e documentos 
oficiais, disponíveis na internet para fundamentação do módulo. Sabe-se que os endereços 
de internet são bastante dinâmicos, é comum hoje um texto estar disponível em um 
endereço e não estar mais em dois meses. Nesse sentido, os endereços dos textos 
indicados neste livro, e não reproduzidos, estarão sendo atualizados na página da 
disciplina, em um módulo relativo ao material bibliográfico, assim como de outros 
materiais bibliográficos como filmes, softwares, etc. 
Em um curso de Metodologia de Ensino da Matemática, além de estudar 
diferentes metodologias de ensino, é importante também vivenciar diferentes 
metodologias. Nesse sentido, variam-se os recursos metodológicos utilizados, os 
trabalhos em grupo, individuais, etc. As atividades seguirão diferentes dinâmicas, como 
analisar filmes, assistir a mesas redondas, ler e discutir textos, jogos, analisar livros 
didáticos, dentre outros. 
Quanto à interação, para alcançarmos os diversos alunos, em sua variedade de 
horários disponíveis privilegiamos a interação assíncrona durante os módulos. No 
7 
 
entanto, bate-papos serão marcados para possibilitar interações síncronas em que muitos 
dos alunos sentem-se mais a vontade de discutir com os professores. 
Na variação metodológica, atuamos também na construção de um Portal virtual 
para que grupos produzam um trabalho metodológico voltado para a Metodologia do 
Ensino da Matemática. 
A avaliação do aluno, seguindo as regras da Universidade Federal de Pernambuco, 
terá cunho de avaliação de frequência e avaliação da aprendizagem. Em relação à 
frequência, será exigida a participação do mesmo em pelo menos 75% das atividades dos 
módulos. Quanto à avaliação da aprendizagem, será montada com provas presenciais nos 
polos (exigência da Lei que regulamenta a Educação a Distância) e avaliação das 
interações e retornos das atividades. O retorno dessas avaliações terá cunho qualitativo e 
serão utilizados para compor a nota de 2 dos exercícios escolares, num percentual de 80% 
para as provas e 20% para as participações. 
Na abertura de cada módulo, o aluno encontrará também uma listagem dos 
objetivos de aprendizagem do módulo, de forma a explicitar para ele, que estuda a 
metodologia, como a abordagem é construída. E também a partir de que critérios sua 
produção será avaliada. 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte I 
- 
Atividades do Curso 
 
 
9 
 
 
 
Módulo I 
Teoria dos Campos Conceituais 
As estruturas Aditivas 
 
Carga horária: 12 horas/aula 
Objetivos de Aprendizagem e critérios de avaliação do Módulo 
 Pretende-se que o licenciando: 
 Conheça os diferentes aspectos que fazem parte da aprendizagem de um conceito, 
situando-o em um campo, revelando diferentes significados assumidos por um 
mesmo conceito ou procedimento matemático: significados assumidos, invariantes 
dos conceitos, representações que compõem o tripé da Teoria dos campos 
conceituais. 
 Perceba que as dificuldades ou facilidades dos alunos em resolver um problema, no 
caso aditivo, dependem não somente dos aspectos operacionais, mas também do 
significado que ele assume quando na situação. 
 Conheça as diferentes classes de problemas aditivos. 
 Construa e classifique problemas variando os significados aditivos. 
 Analise as estratégias de resolução dos alunos à luz da Teoria dos Campos 
Conceituais. 
 
Atividades 
1. Escreva um problema de adição ou de subtração que possa ser resolvido pelo 
aluno fazendo a operação: 
25 - 13 = 
2. Envie o problema formulado por você para o Fórum e discuta sobre os 
problemas criados pelos colegas e disponíveis no fórum. 
3. Leia os textos 
1. "Um estudo sobre o campo conceitual aditivo nos anos iniciais do ensino 
fundamental" de Teresa Cristina Etcheverria, Anais da 33o ANPED, 
2009. Disponível em 
http://www.anped.org.br/33encontro/internas/ver/trabalhos-gt19 ; 
http://www.anped.org.br/33encontro/internas/ver/trabalhos-gt19
10 
 
2. Módulo I da parte II deste livro. 
4. Classifique o problema escrito por você no fórum e coloque mais 3 situações 
que tenham diferentes classificações, segundo classificação de Vergnaud. 
Classifique-as e discuta as representações utilizadas em cada problema. Essas 
situações podem ser originais (criada pelo estudante) ou retiradas de outros 
materiais didáticos. Caso sejam retiradas de um texto, deve-se indicar a origem. 
5. A partir das situações colocadas, o professor indicará quatro delas a serem 
aplicadas por cada estudante com um aluno entre 8 a 12 anos ou jovem/adulto 
com baixa escolaridade. Aplique-as. 
6. Registre no Banco de Dados criado na plataforma moodle os resultados do 
aluno; 
7. Participe do Fórum com discussão dos resultados obtidos com os alunos à luz da 
Teoria dos Campos Conceituais, em que o professor deverá fazer uma síntese 
dos resultados obtidos pela turma na aplicação das atividades. 
Leitura de Aprofundamento 
 MOREIRA, Marco Antônio. A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, o 
Ensino de Ciências e a Pesquisa nesta Área. In Investigações em Ensino de 
Ciências – V7(1), pp. 7-29, 2002 Disponível em 
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/arti
gos_teses/Ciencias/Artigos/moreiram.pdf 
 
 
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/Ciencias/Artigos/moreiram.pdf
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/Ciencias/Artigos/moreiram.pdf
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/Ciencias/Artigos/moreiram.pdf
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/Ciencias/Artigos/moreiram.pdf
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Módulo II 
Representação e conhecimento matemático 
O Caso dos Números Racionais 
 
 
Carga horária: 8 horas/aula 
Objetivos de Aprendizagem e critérios de avaliação do Módulo 
Pretende-se que o licenciando: Conheça diferentes representações semióticas de um mesmo conceito matemático. 
 Entenda os diferentes papeis das representações semióticas para o conhecimento 
Matemático; 
 Discuta a relação entre conceito matemático e representação matemática do 
conceito; 
 Analise estratégias e dificuldades de aprendizagem dos números racionais a partir da 
sua representação. 
Atividades 
1. Aplique o teste a seguir a um aluno de 5º ao 7º ano do Ensino Fundamental, 
anote a idade e o ano. Não é necessário o nome. Não explique as questões nem 
tampouco ensine o aluno a fazer. Depois de ele responder, você deve corrigir e 
só depois buscar ensinar a ele. Antes, porém, tente entender como ele pensou, 
perguntando como ele chegou a tal resposta. Há uma cópia completa do teste do 
texto no anexo I. 
2. Este teste foi produzido no âmbito de uma pesquisa de Trabalho de Conclusão 
de Curso da Licenciatura em Matemática da UFPE por Nicole Rodrigues 
Fernandes sobre a orientação dos Profs. Paula Baltar, José Maurício Figueiredo 
e Rosinalda Teles. Um relato do trabalho será lido por nós nesse curso para 
subsidiar a interpretação dos resultados obtidos por cada um com seu aluno. 
Leia o artigo: FERNANDES, N.R.; BELLEMAIN, P.M.B; LIMA, J.M.F.; 
TELES, R.A.M. . Número racional e seus diferentes significados, Anais do 2º 
SIPEMAT, pp.1-12, 2008. Disponível em 
http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/SIPEMAT08/artigos/CO-134.pdf 
3. Poste os resultados de seu aluno com discussão a partir da leitura do texto no 
fórum de comparações disponível no moodle da disciplina. Lembre-se sempre 
de ler as interações dos colegas e do professor, buscando se inserir na discussão 
e refletir sobre suas respostas a partir da discussão. 
http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/SIPEMAT08/artigos/CO-134.pdf
12 
 
4. Leia o texto de referência do Módulo II deste livro. 
5. Entre no fórum final do módulo para tirar as dúvidas que por ventura tenham 
ficado ao final da leitura e responder a seguinte questão: Qual é o papel das 
representações para a aprendizagem matemática? 
 
Leitura de Aprofundamento 
 MORETTI, M.T. O Papel do Registro de Representação na Aprendizagem de 
Matemática. Contrapontos - ano 2 - n. 6 - p. 423-437 - Itajaí, set./dez. 2002. 
Disponível em http://www6.univali.br/seer/index.php/rc/article/viewFile/180/152 
 
http://www6.univali.br/seer/index.php/rc/article/viewFile/180/152
13 
 
Teste de Sondagem 
Ano:......................... Idade: ..................................... 
1) Represente de três maneiras diferentes o número “um quarto”. 
 
 
 
2) Desenhe linhas no interior de cada retângulo abaixo, de maneira que cada 
um fique dividido em quatro figuras de mesma área. Use cinco divisões 
diferentes. 
 
 
 
 
3) Represente de diversas maneiras o número racional “um décimo”. 
 
 
4) Compare os números decimais abaixo, usando os sinais = (igual), < 
(menor que) ou > (maior que): 
a) 1,3 ___ 1,24 b) 2,06____ 2,8 c) 1,45 ____ 2,3 
d) 3,456 ___ 3,6 e) 1,5 ____ 1,50 f) 0,485 ____0,5 
5) Maria tem 
4
1
 do copo cheio de refrigerante. Bel tem 
3
1
. Qual é o copo de 
Maria? Por quê? 
 
A B 
(Fonte: Adaptado de Imenes; Lellis, 1997) 
6) Juca pediu meio quilo de carne no açougue. O pedaço de carne cortado 
pelo açougueiro pesou o que indica o visor da balança. O pedaço de carne 
que o açougueiro cortou “pesa” mais ou menos que meio quilo? 
 
(Fonte: adaptado de Bourdeaux et al, 1990) 
14 
 
 
 
Módulo III 
Erros e Obstáculos na Aprendizagem da 
Matemática 
 
Carga horária: 16 horas/aula 
Objetivos de Aprendizagem e critérios de avaliação do Módulo 
Pretende-se que o licenciando: 
 Reconheça o erro do aluno como fonte de informações sobre o seu conhecimento; 
 Analise estratégias de resolução de problemas e erros, no sentido de identificar 
origens dos erros e propor atividades para que o aluno avance no conhecimento; 
 Identifique a análise do erro pelo aluno como recurso didático; 
 Conheça a teoria dos Obstáculos Didáticos; 
 Identifique origens didáticas e epistemológicas no erro. 
Atividades 
1. Analise a resposta dada por um aluno do 6º ano, a seguinte questão: 
 
(Protocolo de aluno do 6º ano do Ensino Fundamental) 
2. Envie sua análise pelo Fórum. 
3. Leia as análises já postadas e comente sobre as mesmas. 
4. Leia o texto sobre a aprendizagem de sistemas de numeração, postada no 
Módulo III da Parte II deste livro, de autoria de Rosinalda Teles, Verônica 
Gitirana e Paula Baltar. 
5. Leia o texto sobre Obstáculos Epistemológicos e Obstáculos Didáticos 
disponível no módulo III da parte II deste livro. 
15 
 
6. Assista a vídeo aula sobre a Teoria dos obstáculos epistemológicos. 
7. Utilize o Fórum final dos Módulos para discutir as ideias e tirar dúvidas que por 
ventura você tiver. 
 
Leitura de Aprofundamento 
 BACHELARD, G.: A formação do espírito científico. São Paulo: Contraponto, 1996. 
 IGLIORI, S.: A noção de obstáculo epistemológico e a educação matemática. In: 
Educação Matemática – uma introdução. Machado, S. (Org.) São Paulo: Ed. Da 
PUC‐SP, 1999. 
 
 
16 
 
 
 
 
Módulo IV 
Avaliação da Aprendizagem Matemática 
 
 
Carga horária: 8 horas/aula 
Objetivos de Aprendizagem e critérios de avaliação do Módulo 
 Refletir sobre o processo de avaliação da Aprendizagem Matemática no que 
concerne a: o papel da avaliação, os critérios de avaliação, quem avalia, o retorno 
que se dá ao avaliado, os instrumentos de avaliação, a periodicidade no processo de 
avaliação. 
 Conhecer diferentes linhas avaliativas, como classificatória, formativa, reguladora. 
 Construir instrumentos de avaliação a partir de objetivos de aprendizagem. 
Atividades 
1. Ler o quadrinho: 
 Dr. Zozo em avaliação e Nota de autoria de Sandra Santos e Verônica Gitirana, 
disponível no Módulo IV da Parte II deste livro; 
2. Assistir aos vídeos sobre: 
a) Avaliação da Aprendizagem com Cypriano Luckesi no endereço: 
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=iiJWUcR0g5M 
b) O papel da avaliação na aprendizagem, vídeos Aimeé, no endereço: 
http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=NyV47Ty3JzA 
3. Ler os textos: 
SANTOS, S.S.; GITIRANA, V. Os desafios da avaliação da aprendizagem. In 
LINS, W.C.B, GITIRANA, V.; BELLEMAIN, P.M.B. Metodologia do Ensino 
da Matemática I, CEAD-UFPE, 2013.(Neste livro) 
De LIRA, E.I. Avaliação da Aprendizagem Matemática: Reflexões sobre a 
realidade no contexto escolar. Anais do VI EPBEM, Monteiro, PB – 09, 10 e 11 
de novembro de 2010. pp.1-9. Disponível em 
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=iiJWUcR0g5M
http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=NyV47Ty3JzA
17 
 
http://www.sbempb.com.br/anais/arquivos/trabalhos/CC-17367042.pdf 
 
4. Procure completar o quadrinho do Dr. Zozo com uma tirinha que mostre as 
reações do Sr. Leco após receber aquele resultado. 
5. Envie para o Fórum e discuta, à luz dos textos lidos, o retorno dado pelo Dr. 
Zozo ao Sr. Leco e a função da avaliação da aprendizagem escolar. 
6. Construa no fórum de atividade avaliativa uma situação que possa ser construída 
para avaliar se o aluno entende o conceito de função 
Leitura de Aprofundamento: 
 GITIRANA, V. Planejamento e avaliação em matemática. In: Práticas 
avaliativas e aprendizagens significativas: em diferentes áreas do currículo. 
Org. Jansen Felipe da Silva, Jussara Hoffmann, Maria Tereza Esteban. Porto 
Alegre. Ed. Mediação, 2003. 
 LUCKESI, C.C. O que é mesmo o ato de avaliar a aprendizagem?. Rio 
Grande do Sul. Revista Pátio, ano 3 nº 12 fev/abr, 2000. 
 
http://www.sbempb.com.br/anais/arquivos/trabalhos/CC-17367042.pdf
http://www.sbempb.com.br/anais/arquivos/trabalhos/CC-17367042.pdf
18 
 
 
 
 
 
Módulo V 
Avaliação de Sistemas Educacionais 
 
 
Carga horária: 4 horas/aula 
Objetivos de Aprendizagem e critérios de avaliaçãodo Módulo 
 Conheça os diferentes sistemas de avaliação em rede como Prova Brasil, Pisa, SAEB. 
 Conhecer diferentes usos dos dados coletados por esses sistemas de ensino . 
 Saber interpretar os resultados de tais avaliações 
 Saber construir um item de tais provas a partir de um descritor. 
 
Atividades 
1. Assista ao vídeo a seguir que analisa os resultados do PISA 
(http://www.youtube.com/PE_HdAoaO2M) 
 
2. Ler o texto: PDE - SAEB, nas páginas de 4 a 8 e páginas 77 a 79. 
BRASIL. Ministério da Educação. PDE : Plano de Desenvolvimento da Educação : 
SAEB : ensino médio : matrizes de referência, tópicos e descritores. Brasília : MEC, 
SEB; Inep, 2008. (http://portal.mec.gov.br/dmdocuments/saeb_matriz2.pdf) 
 
3. Ler o texto: Sistemas de Avaliação Educacional em Larga Escala: elementos e usos – 
Marcelo Câmara deste livro. 
 
4. Escolha um descritor nas páginas 78 e 79 que mais te interessar, e leia as atividades 
exemplo e discussão sobre o descritor do SAEB. 
 
5. Elabore uma questão que possa avaliar as habilidades relativas ao descritor escolhido e 
poste no fórum. Use também o fórum para discutir e tirar dúvidas que por ventura 
tenham. 
 
Leitura de Aprofundamento 
 SOUSA, C. P. de Descrição de uma trajetória na/da Avaliação Educacional. 
Ideias, n.30 pp. 161-174. Disponível em 
http://www.crmariocovas.sp.gov.br/pdf/ideias_30_p161-174_c.pdf 
 
http://www.youtube.com/PE_HdAoaO2M
http://portal.mec.gov.br/dmdocuments/saeb_matriz2.pdf
http://www.crmariocovas.sp.gov.br/pdf/ideias_30_p161-174_c.pdf
19 
 
 
 
 
Módulo VI 
Currículos e a Matemática no Currículo 
 
 
Objetivos de Aprendizagem e critérios de avaliação do Módulo 
Proporcionar situações para que o licenciando seja capaz de: 
 Conhecer os elementos que compõe um currículo; 
 Refletir sobre as finalidades do ensino de Matemática na Educação Básica; 
 Entender e tomar decisões curriculares quanto à Matemática na Educação Básica; 
 Conhecer as bases curriculares comuns do Estado. 
 Analisar as diretrizes curriculares relativas à Matemática nos anos finais do ensino 
fundamental e no ensino médio, quanto às finalidades do ensino de Matemática 
expressas nos textos oficiais, quanto à concepção de Matemática subjacente às 
propostas curriculares. 
 
Atividades 
1. Assista a apresentação: Diferentes conceitos de currículo, de Fabíola Araújo, 
Rosário Barbosa, Sandoval Antunes. 
http://www.youtube.com/watch?v=WzBcE9QsW1g&feature=related 
2. Leia o texto: Currículo de Matemática no Ensino Básico: a importância do 
desenvolvimento do pensamento de alto nível, de Groenwald, C.L.O. e Nunes, 
G.S. Relime , v.10, n.1, março 2007, pp.97-116. 
http://dialnet.unirioja.es/servlet/listaarticulos?tipo_busqueda=EJEMPLAR&revista_busqueda=7978&clave_busqueda=154991 
3. Leia os princípios da Base Curricular Comum para as redes públicas de ensino 
de Pernambuco - (BCC-PE) 
http://www.educacao.pe.gov.br/diretorio/bccmat.pdf 
4. Leia as postagens dos colegas no fórum abaixo e depois insira suas reflexões na 
busca de complementando, concordando ou discordando da resposta dos colegas 
e dos professores quanto às questões: 
a) A quem se destina a BCC? 
b) Quais as finalidades atribuídas na BCC e em Groenwald e Nunes(2007) 
ao ensino da matemática na escola ? 
http://www.youtube.com/watch?v=WzBcE9QsW1g&feature=related
http://dialnet.unirioja.es/servlet/listaarticulos?tipo_busqueda=EJEMPLAR&revista_busqueda=7978&clave_busqueda=154991
http://www.educacao.pe.gov.br/diretorio/bccmat.pdf
20 
 
5. Uma parte das orientações didáticas na BCC é estruturada segundo níveis de 
escolaridade (primeira etapa do ensino fundamental, segunda etapa do ensino 
fundamental e ensino médio) e segundo campos da matemática escolar: 
Números e Operações; Álgebra e Funções; Grandezas e Medidas; Geometria; 
Estatística, Probabilidades e Combinatória. Analise a evolução do trabalho com 
o campo Álgebra e Funções ao longo das três etapas. Envie a análise no Fórum. 
 
21 
 
 
 
Módulo VII 
Metodologias de Ensino da Matemática e seus 
Fundamentos 
 
Carga horária: 12 horas/aula 
Objetivos de Aprendizagem e critérios de avaliação do Módulo 
Propiciar situações para que o licenciando seja capaz de: 
 Conhecer diferentes metodologias utilizadas para o Ensino da Matemática; 
 Identificar linhas metodológicas em abordagens e materiais didáticos. 
 
Atividades 
1. Leia os três textos: 
o D´AMBRÓSIO, B. Como ensinar matemática hoje? Disponível em 
http://200.189.113.123/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_tes
es/MATEMATICA/Artigo_Beatriz.pdf 
o Papéis dos Jogos no Ensino da Matemática. Presente no Módulo VII 
da Parte II deste livro; 
o Modelagem no Ensino da Matemática. Presente no Módulo VII da 
Parte II deste Livro. 
2. Colete em um livro didático do Ensino Fundamental, 6º ao 9º anos, uma 
abordagem sobre Porcentagem. Analise a abordagem, à luz dos textos, para 
identificar: os principais recursos metodológicos utilizados. 
3. Participe do fórum com a apresentação da abordagem coletada e de sua análise e 
discussão com os colegas, professores e tutores das demais visões. 
Leitura de Aprofundamento 
 GITIRANA, V. ; CARVALHO, J.B.P. A Metodologia de Ensino e 
Aprendizagem nos Livros Didáticos de Matemática. In: CARVALHO, J.B.P. 
Coleção Explorando o Ensino: Matemática, v.17, MEC, 2011. 
http://200.189.113.123/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Beatriz.pdf
http://200.189.113.123/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Beatriz.pdf
22 
 
 
 
Módulo VIII 
Concepções de Matemática e o Ensino da 
Matemática 
 
Carga horária: 8 horas/aula 
Objetivos de Aprendizagem e critérios de avaliação do Módulo 
Capacidade do licenciando de: 
 Conhecer as grandes tendências da Educação Matemática como campo do 
conhecimento científico; 
 Correlacionar as concepções de Matemática como campo do conhecimento 
científico e suas consequências sobre a abordagem do ensino e aprendizagem da 
Matemática. 
 Conhecer as diferentes concepções da matemática, quanto ao aspecto histórico; a 
forma como se aprende matemática; e quanto ao ensino da Matemática; 
 Articular tendências de ensino da Matemática com princípios e concepções do que é 
Matemática e de como se aprende Matemática; 
 Identificar conceitos e habilidades importantes para o conhecimento matemático em 
sua evolução; 
 Reconhecer a matemática como ciência em evolução. 
 
Atividades 
1. Assistir o vídeo BBC - História da Matemática em 4 partes disponível no 
youtube: 
1a Parte - http://www.youtube.com/watch?v=OdUgGShMWcE 
2a Parte – http://www.youtube.com/watch?v=1zHB2v8O_6s 
3a Parte – http://www.youtube.com/watch?v=UI2T52tsC6A 
4a Parte – http://www.youtube.com/watch?v=mygF-oqw-X0 
2. Ler os textos: 
1. PONTE, J.P. Concepções dos Professores de Matemática e Processos de 
Formação. In J. P. Ponte (Ed.), Educação matemática: Temas de 
investigação (pp. 185-239). Lisboa: Instituto de Inovação Educacional. 
http://www.youtube.com/watch?v=OdUgGShMWcE
http://www.youtube.com/watch?v=1zHB2v8O_6s
http://www.youtube.com/watch?v=UI2T52tsC6A
http://www.youtube.com/watch?v=mygF-oqw-X0
http://www.youtube.com/watch?v=mygF-oqw-X0
23 
 
Disponível em http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/2985/1/92-
Ponte%20%28Concep%C3%A7%C3%B5es%29.pdf 
3. Participar do fórum com as seguintes reflexões: 
1. Como a Matemática é concebida no vídeo BBC – História da 
Matemática? 
2. Como a maneira de ver a Matemática, no vídeo, diferencia-se daquela 
pela qual você estudou matemática? 
3. Quais os principais modos de ver a Matemática, o ensino da Matemática 
e como se aprende Matemática segundo os textos? 
4. Como essas concepções se relacionam? 
Leitura de Aprofundamento 
 FIORENTINI, D. Alguns modos de ver e conceber o ensino de 
Matemática no Brasil. Zetetiké - ano 3- n.4 - nov.1995, pp. 1-38. 
Disponível em http://www.fe.unicamp.br/zetetike/viewissue.php?id=20http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/2985/1/92-Ponte%20%28Concep%C3%A7%C3%B5es%29.pdf
http://repositorio.ul.pt/bitstream/10451/2985/1/92-Ponte%20%28Concep%C3%A7%C3%B5es%29.pdf
http://www.fe.unicamp.br/zetetike/viewissue.php?id=20
http://www.fe.unicamp.br/zetetike/viewissue.php?id=20
http://www.fe.unicamp.br/zetetike/viewissue.php?id=20
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte II 
Textos de Referência 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
Módulo I 
Teoria dos Campos Conceituais: 
Implicações para os anos finais do Ensino 
Fundamental 
 
 
 
Verônica Gitirana 
Paula Baltar Bellemain 
 
Nesse texto, vimos discutir a importância do licenciando em matemática ter 
noções sobre a Teoria dos Campos Conceituais (TCC) (VERGNAUD, 1988) para a sua 
prática como professor de Matemática. Dentre as várias missões de um professor, está a 
escolha de uma abordagem de ensino e a análise das resoluções e erros dos estudantes. É 
nesse sentido, que defendemos o uso da TCC como aporte teórico para tais atividades. 
Teoria dos campos conceituais 
Uma das três teorias fundamentais da didática da matemática - a teoria dos campos 
conceituais desenvolvida por Gerárd Vergnaud aborda a vertente cognitivista da didática 
da matemática e interessa-se, particularmente pelo subsistema aluno-saber do triângulo 
didático. 
Vergnaud insiste na continuidade entre a psicologia e a didática. Se por um lado 
a psicologia estuda e analisa as condutas e concepções que lhe são subjacentes, a didática, 
de sua parte, procura os meios de fazer evoluir as concepções e as competências que lhe 
são associadas. Em uma perspectiva epistemológica, como afirma Vergnaud, sabe-se que 
é a partir da resolução de situações-problemas que o estudante forma o seu saber - são 
situações a dominar. Por problemas, entende-se, aqui, qualquer situação em que é 
necessário descobrir relações, desenvolver atividades de exploração, hipóteses e 
verificação para produzir uma solução. 
O que geralmente se verifica nas sequências de ensino encontradas nos nossos 
currículos vão contrárias a tal perspectiva. Primeiro, pouco se considera a importância 
26 
 
das situações-problemas em relação a definição de cada conceito matemático na formação 
da significação. Como é mostrado por vários pesquisadores (TALL; DREYFUS, ANO), 
a definição pouco participa na formação da significação pelo aluno. Isto é, ao ser 
introduzido aos números divisão, por exemplo, apoiam-se normalmente na noção de 
distribuição discreta de objetos. Não leva aos estudantes ao uma significação da divisão. 
É preciso saber escolher situações-problemas, analisando (em análise a priori) os 
tipos de soluções, conceitos e competências envolvidas em cada um dos problemas. Por 
exemplo, o estudante acostumado a associar a divisão como distribuição ou partição, pode 
apresentar dificuldades em entender a divisão como estratégia de resolução de problemas 
do tipo: 
 
Uma cozinheira tinha 40 latas de leite condensado para fazer pudins. 
Cada pudim leva 4 latas de leite condensado. Quantos pudins ela 
poderá fazer? 
 
 
Com a ideia de distribuição, o professor estaria diante de distribuir 40 latas de leite 
condensado por 2 latas, o que não faria sentido. Sabe-se porém que a solução do problema 
pode-se obter pela divisão de 40 por 2. Vale portanto discutir que significado é este que 
permitiria o estudante usar a divisão para tais tipos de problemas. 
Saber um conceito matemático envolve o domínio, dentre outras coisas, dos 
diversos significados que esse conceito assume. Um olhar para o conceito de 
multiplicação, se ensinado e restrito aos significados da adição repetida, pode levar o 
estudante a não aceitar a realização da operação: 
1
3
×
1
2
 
Somar repetidamente 
1
3
 de vezes o número 
1
2
 não faz o menor sentido. 
Vergnaud aponta a necessidade de investigar, analisar e classificar as situações-
problemas que conferem significação e função aos conceitos matemáticos. Como põem 
diversos autores entre os quais está o Vergnaud, é através dos problemas que se deparam, 
que estudantes modelam suas concepções. Isto faz com que muitas vezes, existam uma 
grande diferença entre o conceito matemático e a concepção do estudante. É preciso 
investir-se em situações-problema “para as quais o sujeito não dispõe de todas as 
27 
 
competências necessárias, o que o obriga a um tempo de reflexão e de exploração a 
hesitações, a tentativas fracassadas, e o conduz eventualmente ao sucesso, eventualmente 
ao fracasso” (VERGNAUD, 1991, pp.135-136). 
As situações é um dos elementos base para a construção de um conceito 
matemático, porém vale lembrar que qualquer conhecimento matemático é explorado por 
meio de diversas representações, utilizadas pelo estudante e pela sociedade com dupla 
função: a de comunicar uma ideia e a de dar suporte ao seu pensamento. O estudante 
desde os anos iniciais começa a aprender matemática por meio de uma diversidade de 
representações, e muitas vezes, uma mesma representação assume diversos significados. 
A fração um meio pode ser representada dessa forma, por 
1
2
 ou ainda das 
seguintes formas (dentro outras): 
 
Um mesmo signo pode também assumir diversos significados: 
1
2
 , por exemplo, 
pode significar um número, uma parte de um todo, uma razão entre duas partes (parte-
parte),... 
Se por um lado as representações imbricam-se aos significados, assumindo o seu 
lado semântico, por outro, elas facilitam o aspecto operacional da matemática. É por meio 
das representações também que podemos realizar operações, das mais diversas, e chegar 
a soluções que seria difícil de obter por ações na realidade. Contar a quantidade do 
rebanho de um estado, por exemplo, seria difícil de fazer sem contar com a operação de 
adição. Teríamos que juntar todos em um mesmo lugar e contar; ou contar um de uma 
fazenda, seguir para a outra e continuar a contagem, até finalizar. Utilizando o conceito 
de adição e o teorema matemático de que a cardinalidade da união de conjuntos (finitos 
sem autointersecção) é a soma da cardinalidade de cada conjunto, cada fazendeiro conta 
o seu rebanho e envia para uma central que soma os números. O resultado da operação 
corresponde a quantidade de bois do rebanho do estado. Tem-se, portanto, a perspectiva 
do poder sintático das representações. 
Se falamos no poder sintático, consideramos no caso um outro elemento central 
que são as relações, teoremas, propriedades válidas na matemática. No caso utilizamos o 
teorema da cardinalidade da união dos conjuntos finitos. A esses, muitas vezes utilizados 
em suas ações pelo sujeito mesmo antes de conhecê-lo, Vergnaud chama de invariante. 
28 
 
Conhecer os invariantes matemáticos, e aqueles utilizados pelo estudante em suas ações, 
é muito importante para a condução e decisão de abordagens. 
Ao tripé (S) conjunto de situações que dão sentido ao conceito, (I) invariantes que 
constituem as diferentes propriedades do conceito, (J) o conjunto das representações 
simbólicas que podem ser utilizadas, Vergnaud denominou de campo conceitual. Em 
outras palavras um campo conceitual pode ser definido como um conjunto de situações 
cujo domínio requer uma variedade de conceitos, de procedimentos e de representações 
simbólicas. 
O mapeamento deste tripé é necessário para a construção de uma abordagem de 
um conceito para que o professor seja capaz de permitir que o aluno explore todas as 
propriedades do conceito, suas diferentes significações, assim como conhecer o 
conhecimento prévio dos alunos, os teoremas em ação. O professor deve ser capaz de ao 
encontrar um aluno desenvolvendo uma concepção alternativa gerar, ou escolhar, 
situações que o façam refletir sobre esta concepção. Também, muitas das vezes é 
necessário que o professor conheça um campo mais amplo que torna-se em volta do 
conceito, como no caso os problemas relativos aintrodução do negativo dado a introdução 
do natural como caráter de magnitude somente. 
Dentre os estudos que Vergnaud faz dos campos conceituais, destacam-se os das 
estruturas aditivas, e das estruturas multiplicativas. É muito comum encontrar quem pense 
que a adição e a multiplicação são apenas para professores dos anos iniciais do ensino 
fundamental. Porém, vale a pena lembrar que passamos toda a escolaridade aprendendo 
a somar (dentre outras coisas). Iniciamos somando números naturais, depois somamos os 
racionais (em forma de fração e em forma de decimal), somamos os inteiros relativos, 
somamos funções, matrizes, polinômios, números irracionais e complexos... As situações, 
representações e invariantes desse campo precisam ser compreendidos por todos os 
professores, dos anos iniciais ao ensino médio, para não dizer da universidade também. 
Estruturas Aditivas 
Para o estudo mais aprofundado das estruturas aditivas, recomenda-se que o 
estudante assista a video aula Teoria dos Campos Conceituais: estruturas aditivas 
(disponível em http://youtu.be/KFOiMe8zWvk (GITIRANA, 2014) e a leitura do livro 
Repensando: adição e multiplicação – contribuições da Teoria dos Campos 
Conceituais (MAGINA et al, 1998). Aqui daremos apenas uma rápida apresentação dos 
significados da adição segundo a classificação de Vergnaud. 
http://youtu.be/KFOiMe8zWvk
29 
 
É muito comum pensar a adição como o significados de juntar. Temos duas 
quantidades de uma certa grandeza e juntamos elas. Queremos saber a quantidade total. 
Maria tem 5 cadernos e João, seu irmão, tem três. 
Um belo dia, sua mãe decidiu encadernar os 
cadernos dos dois filhos. Quantos cadernos ela 
encadernou? 
 
Temos duas grandezas de mesma natureza, a quantidade de cadernos (de Maria e 
de João), e juntamos elas obtendo outra grandeza também de mesma natureza – 
quantidade de cadernos encadernados pela mãe. A esse tipo de significado, Vergnaud 
denomina de Composição. Observem que as duas grandezas iniciais são preservadas, 
continuam existindo, apenas juntas formam outra de mesma natureza. 
 
Esse diagrama é introduzido por Vergnaud para auxiliar o entendimento do 
problema, na fase de resolução de uma situação, a qual ele denomina de Cálculo 
Relacional. Observa-se a composição das grandezas envolvidas no problema e qual é o 
elemento desconhecido que o estudante terá que calcular. Nesse caso tem-se as partes 
conhecidas e deseja-se saber o todo, problema denominado por Vergnaud, composição 
com o todo desconhecido. 
Observa-se que se a medida de uma das partes é a desconhecida, então o tipo de 
problema muda. Vejamos uma variante do problema: 
Maria tem 5 cadernos e João, seu irmão, tem 
alguns. Um belo dia, sua mãe decidiu encadernar 
os cadernos dos dois filhos. Ela encadernou um 
total de 8 cadernos, quantos cadernos João tem? 
 
Esse problema agora pode ser reprentado pelo seguinte diagrama: 
30 
 
 
 
Observa-se que o problema continua de composição de duas grandezas de mesma 
natureza, porém em vez de se ter o todo desconhecido tem-se uma das partes 
desconhecida. Observe que no problema fala em “um total” e tem a ideia de juntar, porém 
para resolver o estudante de fato estará procurando qual o número que somado a 5 dá 8. 
Em termos de operação, ele envolverá uma subtração. Este é o que se chama de um 
problema inverso. É comum, o estudante ter mais dificuldade de resolver problemas 
inversos que os diretos. E a existência de tais problemas reforça a necessidade de o 
professor não fazer uso de palavras chave para que o aluno consiga identificar a operação 
a ser utilizada. 
Além dos problemas de composição, as situações de adição e subtração envolvem 
os significados de transformação e de comparação. Há ainda os problemas mistos, em que 
diversos significados são utilizados. 
No caso das transformações, temos uma grandeza em um estado inicial que sofre 
uma transformação, chegando a um estado final. A questão temporal está no cerne dessas 
situações. Um exemplo pode ser visto a seguir: 
Seu José tinha cinco cachorros em casa. Uma das 
cadelas deu cria a 3 cachorrinhos, os quais Seu 
José decidiu criar também. Com quantos cachorros 
Seu José ficou em sua casa? 
A grandeza inicial em jogo é a quantidade de cachorros que Seu José tinha em 
casa. Essa quantidade foi transformada com o nascimento dos três cachorrinhos. 
Vergnaud propõe o seguinte diagrama para auxiliar a interpretação do problema. 
31 
 
 
Observe que tanto o estado inicial quanto o estado final é a mesma grandeza, em 
um momento inicial e em um momento final, após o nascimento dos cachorrinhos. 
Assim como no caso das situações de composição, as situações de transformação 
também variam se mudarmos a posição do valor desconhecido. Poderíamos por exemplo 
dar a quantidade de cachorros depois do nascimento e quantos nasceram e pedir quantos 
Seu José tinha antes. Porém, as situações de transformação também podem variar se a 
transformação for negativa. Poderíamos ter que Seu José deu 3 cachorros, por exemplo. 
As adição e subtração também assumem o significado de comparação. 
Maria é 3 anos mais nova que meu irmão mais 
velho. Maria tem 15 anos. Quantos anos tem seu 
irmão mais velho? 
Observam-se duas grandezas (de mesma natureza), a idade de Maria e a idade de 
seu irmão mais velho. No caso, não se vai juntar as duas idades, nem tampouco uma se 
transforma na outra. Porém, para resolver o problema faz-se 3 + 15 = , para se obter a 
idade do irmão mais velho. Tem-se no caso uma relação aditiva entre as idades, o que 
possibilita obter uma a partir da outra. É feita uma comparação da idade de Maria 
(referido) com a idade de seu imão mais velho (referente da comparação) por uma relação 
– 3 anos mais nova. Vergnaud propõe o seguinte diagrama: 
 
 
32 
 
Novamente, vale lembrar que o problema e o nível de dificuldade muda quando 
mudamos o valor desconhecido. 
Além dos problemas aditivos, o estudante se depara com problemas que envolvem 
a multiplicação e a divisão. É muito comum iniciar os estudos da multiplicação como 
adição repetida, como se fosse uma composição de grandezas de mesma natureza com 
muitas partes. Porém, essa interpretação não dá conta do estudante enfrentar diversas 
situações, por exemplo, quando tem que enfrentar a divisão de duas frações próprias (que 
não são números naturais). De fato, os problemas que se pensa como adição repetidas 
envolve mais deu três grandezas de mesma natureza, como é o caso dos problemas 
aditivos. 
Estruturas Multiplicativas 
Discutiremos aqui também rapidamente os problemas mutiplicativos, e para 
aprofundamento é importante os estudantes verem a video aula – Estruturas 
multiplicativas (disponível em http://youtu.be/Zig-sgj8Jss) (GITIRANA, 2014) e ler o 
livro Repensando: multiplicação e divisão – contribuições da Teoria dos Campos 
Conceituais (GITIRANA et al, 2014). 
Uma primeiro tipo de situação que o estudante rapidamente domina são aqueles 
que fazem uma comparação multiplicativa. Esses, similarmente, às situações aditivas 
envolvem três números, duas medidas de grandezas de mesma natureza e uma razão. 
Vejamos o exemplo: 
Hoje, o Pai de Maria tem o triplo de sua idade, 
em anos. Sabe-se que Maria tem 15 anos. 
Quantos anos tem o Pai de Maria? 
A palavra o triplo indica uma razão entre a idade do pai de Maria e a idade de 
Maria, hoje, uma relação multiplicativa. 
Vergnaud propõe um diagrama similar ao de comparação aditiva, para auxiliar o 
cálculo relacional desse tipo de problema. 
http://youtu.be/Zig-sgj8Jss
33 
 
 
 
Note que, nesse caso, a idade de Maria passou a ser o referente da comparação. A 
idade do Pai de Maria é comparado com a Idade de Maria. Lembrando-se somente que o 
problema muda se mudarmos a posição do valor desconhecido, aquilo que a situação pede 
que o estudante calcule. 
Outra classe de problemas multiplicativos, discutido por Vergnaud são osproblemas de proporção simples, que vão desde aqueles que denominanos, comumente, 
adição repetida, até aqueles estudados no campo das regras de três simples. Nesse sentido, 
detalharemos melhor os diferentes tipos. 
Os problemas de proporção simples aqueles em que se tem quatro grandezas duas 
a duas de mesma natureza, associadas por uma relação de proporcionalidade. Vejamos 
um exemplo: 
 
Tem-se nessa situação uma relação de proporcionalidade entre o número de 
pacotes e o número de figurinhas. Se dobramos a quantidade de pacotes dobramos a 
quantidade de figurinhas, se triplicamos uma, triplicamos a outra, pois existe uma taxa 
fixa de figurinhas por pacote que relaciona essas duas naturezas de grandezas na situação 
– 3 figurinhas por pacote. 
Essas situações são denominadas por Vergnaud de Proporção simples do tipo um 
para muitos. É muito comum, as pessoas acharem que quando se tem uma para meio, não 
se está nesse tipo de problema. O nome um para muitos, foi dado, devido ao estudo ter 
34 
 
sido feito na introdução desse tipo de situação, quando a criança lida somente com 
números naturais, porém situações como essa: 
No lanche da escola serviu pizza hoje, cada 
criança ganhou uma fatia de ¼ de pizza, foram 
apenas 7 crianças na sala hoje. Quanto de pizza 
foi servido? 
 
Nesse caso a relação de 1 criança ganha ¼ de pizza. Mas continua havendo uma 
proporção simples do tipo um para muitos, apesar de que o título não mais convém. 
No caso das situações um para muito, é dado o valor correspondente a uma 
unidade e pede-se o valor correspondente a uma outra quantidade. 
As situações de proporção simples varia quanto a posição do valor desconhecido 
e da presença ou ausência do valor da unidade. 
 
Uma variação do problema, em que se pede o valor da unidade pode ser visto 
acima, a esses problemas denomina-se de Proporção simples – Partição (em alguns casos 
pode-se ver como de distribuição). São os primeiros problemas que são ensinados como 
de significado da divisão. É dado a relação de uma quantidade, não unitária, e pede-se o 
correspondente a unidade. 
Apesar de se ter esse tipo de situação como uma das mais comumente trabalhada 
na divisão, desde os primeiros anos do Ensino Fundamental a criança lida com situações 
também de divisão, também conhecida como de agrupamento. Essas, mesmo não 
associadas a divisão, são trabalhadas pela criança, por meio de desenhos antes de entrar 
no estudo do sistema de numeração decimal. Vejamos um exemplo: 
35 
 
 
As crianças no primeiro ano do ensino fundamental, resolve tal situação por 
desenho, vejamos: 
 
Ela circula os biscoitos de 4 em 4 e conta os grupos formados. 
Apesar disso, muitas vezes, ao entrar no estudo da divisão, quando se depara com 
esse tipo de situação, muitos estudantes têm mais dificuldade de identificar a operação a 
ser utilizada e paralisa. A ideia de divisão como partição ou distribuição, precisa ser 
ampliada por meio do oferecimento ao estudante de situações diversificadas. 
Vamos agora a uma análise do problema como de proporção simples 
 
Um pacote corresponde a 4 biscoites, se quer saber quantos pacotes correspondem 
a 20 biscoitos. Esse tipo de problema quando o valor desconhecido é o correspondente a 
muitos, é denominado de Proporção simples do tipo cota ou agrupamento. 
36 
 
É esquisito inicialmente para a criança pois é como se dividisse 20 biscoitos por 
4 biscoitos e de repente aparecesse os pacotes. Uma análise das estratégias envolvidas e 
dos teoremas em ação utilizados permite entender melhor a situação. 
Uma estratégia é utilizar o conhecimento de que a razão entre as medidas das 
grandezas correspondentes é mantida numa situação de proporção simples – denominada 
de propriedade da proporcionalidade. Então o estudante acha a razão entre 20 e 4, ou seja, 
20/4=5 e utiliza tal razão para encontrar o valor desconhecido. Veja o esquema: 
 
 
Nesse caso, o estudante faz uso da manutenção da razão. Se olharmos como a 
proporcionalidade como uma função linear, a propriedade é: 
G2 = f(P) ... f(NxP)=Nf(P) = NG2 
No caso específico, temos: “Quantidade de pacotes correspondentes a 20, como 
20 é 5 x 4 é o quintúplo da quantidade correspondente a 4”. Nesse caso a divisão é 
utilizada para achar essa razão, que é utilizada para multiplicar os pacotes. 
Outra estratégia menos comum, é o uso da taxa. Sabe-se que para todas situação 
de proporcionalidade, há uma taxa entre as duas grandezas de naturezas diferentes que é 
mantida. Olhando como uma situação de função linear, qualquer função linear existe um 
número a não nulo, tal que f(x) = a x para todo x real. No caso acima, a taxa é 4
𝑏𝑖𝑠𝑐𝑜𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
. 
Diferentemente da razão, essa taxa tem unidade, que é uma razão entre duas grandezas. 
Essa taxa coincide em número, com o valor correspondente a unidade – 4. Porém, o valor 
correspondente a um pacote tem unidade biscoito. Achando essa taxa o estudante faz o 
seguinte estratégia: 
37 
 
 
f(x)=a.x ... f(x)=4.x=20 
x=20/4=5 
Com uma análise das grandezas e unidades envolvidas tem-se: 
20 𝑏𝑖𝑠𝑐𝑜𝑖𝑡𝑜𝑠 ÷ 4
𝑏𝑖𝑠𝑐𝑜𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒
= 5 𝑝𝑎𝑐𝑜𝑡𝑒𝑠 
Ele estará utilizando outro teorema em ação, a da linearidade das proporções 
simples. Voltaremos a discutir esses teoremas e a importância do professor do ensino 
fundamental II ter atenção a eles um pouco mais tarde. 
Agora veremos a última situação de proporção simples, aquela em que a unidade 
não aparece mais. São dadas três medidas das quatro medidas envolvidas, mas nenhuma 
delas é um. Esses são muito importante para o licenciando pois são os mais estudados 
quando se está no tópico de grandezas diretamente proporcionais ou em alguns livros o 
da regra de três simples. 
 
Esse tipo de problema é denominado, na classificação oferecida por Vergnaud, de 
Proporção simples – tipo quarta proporcional. Essa é em geral mais tardiamente dominada 
pelos estudantes. Porém, muitos dominam antes de chegar ao estudo da regra de três. Que 
38 
 
por sinal é estudada e memorizada, sem o significado. Isto tem feito com que muitos os 
estudantes não a usem após o tempo didático, em que têm que demonstrar ao professor 
conhecê-la. Vamos mostrar uma estratégia de resolução em que a regra de três aparece. 
 
1º passo: O estudante por meio da ideia de razão resgata o valor da unidade, como se 
resolvendo um problema de partição. 
 
9𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠
3
= 3 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 
 
 
2º passo: O estudante de posso do valor da unidade resolve o problema de um para 
muitos. 
 
Agora, termina por fazer 
9𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠
3
× 4 = 12 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠 
 
Culminamos portanto com algo que lida com o fato de que 
9
3
=
?
4
. 
Estudamos até aqui os problemas multiplicativos do tipo “Proporção simples” e 
“Comparação Multiplicativa”. Vejamos porém outros tipos de problemas. 
39 
 
Seu Manoel comprou um terreno (retangular) de 
15 m por 20 m. Qual é a área do terreno 
comprado por seu Manoel? 
Estamos diante de um problema cuja solução também recorre à multiplicação. 
Como todos vocês já sabem para calcular a área do terreno retangular, pode-se recorrer a 
fórmula de área de um retângulo. 
15 𝑚 × 20 𝑚 = 300 𝑚2 
Nessa solução, vemos inicialmente que estamos diante da multiplicação de duas 
grandezas (nesse caso de mesma natureza o comprimento – de frente e de largura) que 
dão origem a uma outra grandeza, a grandeza produto área. Portanto, não estamos diante 
de uma comparação multiplicativa, nem tampouco de uma proporção simples. 
Vejamos ainda que se mantemos a medida da frente do terreno e dobramos a 
largura, dobraremos a área. 
15 𝑚 × 40 𝑚 = 600 𝑚2 
Do mesmo modo, se mantemos a medida da largura fixa e dobramos o 
comprimento de frente do terreno, dobramos a área também. 
30 𝑚 × 20 𝑚 = 600 𝑚2 
Tem-se portanto uma proporcionalidade se fixarmos uma das grandezas e outra 
proporcionalidade sefixarmos a outra. A esse tipo de problema Vergnaud classifica como 
Função Bilinear ou Produto Cartesiano. Ele oferece também outro diagrama para o caso 
das funções bilineares. 
 
Aparentemente, estamos diante de um problema com apenas 3 grandezas, porém, 
é só aparência. De fato, neste caso, sabemos que para cada região de 1m por 1m forma-
se a grandeza área de 1 m2. 
40 
 
Área não é o único problema de produto cartesiano, os de volume também o são. 
Nesse caso, tem-se uma função trilinear. Nesse caso, as taxas de proporcionalidades são 
um, ou seja, para o par 1 por 1, tem-se 1 de área. Há porém problemas em que essa taxa 
não é 1, e que o valor da unidade não é dado, o que complexifica a resolução. Vejamos 
um exemplo: 
 
Além desses, são muito estudados na escola os problemas ligados à combinatória, 
o espaço percorrido como produto da velocidade tempo transcorrido, etc. Vejamos um 
caso do problema de combinação: 
Um pedreiro gasta 6 horas para assentar cerâmica 
em um escritório com apenas 1 sala de 20 m2. 
Quantas horas ele gastará para assentar cerâmica 
em outro escritório com apenas 3 salas de 15 m2 
cada? 
 
Novamente, a situação, se dobramos a quantidade de salas e fixamos a área, 
dobramos o tempo. Se fixamos a quantidade de sala e dobramos a área de cada sala, 
dobramos também o tempo. Porém, o diagrama fica descrito a seguinte forma: 
 
Nesse caso, não se tem mais o tempo referente a 1 sala de 1 m2, o que seria o 
paralelo ao valor da unidade. Tem-se o valor de 1 sala de 20 m2. E mais, se calcular o 
tempo gasto para o caso 1 para 1, não teríamos 1h. Há uma taxa diferente da unidade. 
Esses problemas bilineares são também encontrados no estudo da regra de três composta. 
No entanto, é comum o estudante resolver esse tipo de problema isolando os dois casos 
de proporcionalidade. 
41 
 
1º Passo: Ele fixa o número de Salas em 1, e calcula-se o tempo gasto para 1 Sala de 
15 m2. Mostramos uma estratégia com o uso a propriedade de proporcionallidade, que 
garante a manutenção das razãoes entre as grandezas correspondentes. 
 
Encontra-se, portanto, que o tempo gasto para uma sala de 15 m2, é 6 ÷
15
20
= 8 . 
2º Passo: De posso do valor correspondente a 1 sala de 15 m2, pode-se utilizar a 
propriedade da proporcionalidade, com a preservação da razão entre 1 sala e 3 salas na 
relação do tempo gasto considerando a área fixa. 
 
42 
 
Encontra-se, portanto, que o tempo gasto para três sala cada uma com 15 m2 é 
resolução por regra de três composta é 3 × 8 = 24 . 
Compondo-se os dois passos tem-se exatamente que é 3 × (6 ÷
15
20
) =? , chega-
se, portanto, a uma proposição do que aparece na regra de três composta: 
?
6
=
20
15
×
3
1
 . 
 
Outro tipo comum de situação de função bilinear, no caso os produtos cartesianos, 
são os problemas relativos a contagem de possibilidades em combinações. Discutiremos 
aqui dois problemas que apesar de parececidos apresentam soluções diferentes. Com eles 
mostraremos a importância do desenvolvimento de esquemas, defendidos inicialmente 
por Piaget (ANO), e reforçados por Vergnaud. 
 
Para a festa de São João da escola têm 3 meninos 
(Pedro, Gabriel e João) e 4 meninas (Maria, Luiza 
Clara e Beatriz). Se todos os meninos puderem 
dançar com todas as meninas, quantos pares 
diferentes serão feitos? 
 
Primeiro, o estudante precisa entender o porquê se chega a uma multiplicação na 
solução desse problema. Ele precisa identificar uma estrutura multiplicativa para o caso. 
É comum, os estudantes apenas listarem alguns casos, antes de identificá-los com a 
multiplicação. É muito comum o estudante listar alguns pares sem compromisso de 
esgotar todos os possíveis. No estilo: 
 
(Protocolo de estudante do 6º ano do EF). 
O estudante nem correlaciona o problema como um dos significados da 
multiplicação, nem tampouco desenvolve um esquema para esgotar todos os pares, 
apenas lista alguns dos pares. 
43 
 
Outro protocolo já mostra um esquema desenvolvido pelo estudante para esgotar 
os pares sem esquecer nenhum deles. 
 
(Protocolo de estudante do 9º ano do EF) 
 
 Esse novo protocolo não explicita se o estudante apenas contou os pares ou 
identificou a relação com a multiplicação que fica explícita no esquema. Veja que para 
cada menina saem 3 traços, cada um ligando-a a um menino. Há portanto 4 x 3 
conexões, 4 x 3 pares. 
 Utilizando o diagrama proposto para os produtos cartesianos e funções bilineares 
tem-se: 
 
 O estudante sabe que se só tivésse uma menina e um menino, a quantidade de 
pares formados seria também um. O esquema do estudante anteriormente traçado mostra 
que se tiver 3 meninos, para cada menina formam-se 3 pares. 
44 
 
 
Como tem-se quatro meninas, tem-se o quádruplo de pares. 
 
 A resolução do esquema mostra novamente que a solução recai no produto da 
quantidade de meninos pela quantidade de meninas. Em termos de grandezas, tem-se a 
quantidade de meninos e a quantidade de meninas, formando uma grandeza produto que 
é a quantidade de pares (menina, menino). 
 Voltamos a discussão dos esquemas com outro problema, agora em que os 
elementos do par é escolhido de um mesmo conjunto. 
 
Em uma classe, de 7 estudantes (Ana, Maria, 
Tereza, Bia, José, João, Mário, Ivo), deseja-se 
escolher dois deles para representar a turma. Um 
será o representante e o outro o vice. Quantas 
possibilidades existem de duplas? 
 
45 
 
Nesse caso os dois devem ser escolhidos do mesmo grupo de estudantes. Novo 
esquema para se entender em que sentido a multiplicação aparece é necessário. Para 
ampliar o repertório de esquemas possíveis, vamos utilizar aqui o quadro de dupla 
entrada. 
 Representante 
 Ana Maria Tereza Bia José João Ivo 
V
ic
e-
re
p
re
se
n
ta
n
te
 
Ana (Maria, 
Ana) 
(Tereza, 
Ana) 
(Bia, 
Ana) 
(José,Ana) (João, 
Ana) 
(Ivo, 
Ana) 
Maria (Ana, 
Maria) 
 (Tereza, 
Maria) 
(Bia, 
Maria) 
(José, 
Maria) 
(João, 
Maria) 
(Ivo, 
Maria) 
Tereza (Ana, 
Tereza) 
(Maria, 
Tereza) 
 (Bia, 
Tereza) 
(José, 
Tereza) 
(João, 
Tereza) 
(Ivo, 
Tereza) 
Bia (Ana, 
Bia) 
(Maria, 
Bia) 
(Tereza, 
Bia) 
 (José, Bia) (João, 
Bia) 
(Ivo, 
Bia) 
José (Ana, 
José) 
(Maria, 
José) 
(Tereza, 
José) 
(Bia, 
José) 
 (João, 
José) 
(Ivo, 
José) 
João (Ana, 
João) 
(Maria, 
João) 
(Tereza, 
João) 
(Bia, 
João) 
(José, 
João) 
 (Ivo, 
João) 
Ivo (Ana, 
Ivo) 
(Maria, 
Ivo) 
(Tereza, 
Ivo) 
(Bia, 
Ivo) 
(José, Ivo) (João, 
Ivo) 
 
 
As células da diagonal aparecem hachuradas, pois um mesmo estudante não 
poderá ocupar as duas funções (representante e vice). Portanto, para cada representante 
escolhido (coluna), há 6 estudantes para se escolher um vice-representante. Há portanto 
um produto cartesiano de 7 estudantes por 6 estudantes que foram os pares (representante 
e vice-representante). Notemos que o par é uma grandeza produto (Cartesiano). É preciso 
também que o estudante aceite que o par (Tereza, Ana) é diferente do par (Ana, Tereza). 
Partiremos agora para discutir um último tipo de situação multiplicativa, as 
concatenações de proporções (ou como denominada por Vergnaud “Proporções 
múltiplas”). Do ponto de vista matemático, essas situações se configuram como 
composições de funções lineares. Vejamos o exemplo a seguir. 
 
Para fazer uma mistura de cimento, para cada três 
pás de cimento, coloca-se 10 pás de areia. E para 
cada 5 pás de areia coloca-se 2 baldes (5 litros de 
água). Quantos baldes são necessários para se 
fazer o mesmo tipo de mistura de cimento com 6 
pás de cimento? 
Tem-se agora grandezas de 3 tipos diferentes situações de massa. A quantidade de 
pás de cimento é proporcional a quantidade de pás de areia. Essas por sua vez é 
46 
 
proporcional a quantidade de balde de água. E portanto a quantidade de pás de cimento é 
proporcional a quantidade de baldes de água. Não há como alterar uma quantidadesem 
alterar todas, como é o caso da função bilinear. Por exemplo, no caso dos pares de 
meninos e meninas, alterar o número de meninas altera o número de pares, mas não altera 
o número de meninos. 
Vergnaud propõe o seguinte diagrama para este tipo de problema: 
 
Há muitas estratégias para se resolver tal problema, mesmo pensando somente no 
uso da razão ou da taxa. Pode-se obter a quantidade de água necessária para 10 pás de 
Areia sabendo que 10 é o dobro de 5. Portanto a quantidade de água necessária para 10 
pás de cimento é o dobro da quantidade de água necessária para 5 pás de Areia, com o 
uso da razão. E olhando para proporcionalidade entre quantidades de pás de cimento e de 
baldes de água se obter a quantidade de água necessária para 6 pás de cimento. Sabendo 
que 6 é o dobro de 3 e portanto, a quantidade de água será o dobro da quantidade de água 
para 3 pás de cimento. 
 
 
A taxa entre “cimento e água” é o produto das taxas entre “cimento e areia” e 
“areia e água”. 
Considerações finais do capítulo 
Por fim, este capítulo discute de forma sumária, a teoria dos campos conceituais, 
principalmente, as classificações das situações aditivas e multiplicativas. Elas têm 
47 
 
importância para o professor que precisa ser capaz de identificar o desenvolvimento do 
estudante e escolher as situações que os desafiem a evoluir. A repetição de situações do 
mesmo tipo não propiciará o estudante o desenvolvimento de esquemas para lidar com as 
situações de outros tipos. 
 
 
48 
 
 
 
 
 
Módulo II 
Representação e conhecimento matemático 
 
 
 
 
Rosilângela Lucena 
Roberto Mariano 
Ricardo Tibúrcio 
 
 
 
Introdução 
Você alguma vez experimentou construir o gráfico de uma função a partir de sua 
lei de formação? Em algum momento, já se sentiu desafiado para fazer exatamente o 
contrário? Ou seja, determinar a expressão algébrica que gerou o gráfico dado? Se você 
já fez isso, é bem possível que faça parte da grande maioria dos estudantes que sentiu 
mais dificuldade em realizar o segundo procedimento do que o primeiro. Mas, por que 
será que isto acontece? 
 Para responder esta, entre outras questões, desenvolvemos este texto que objetiva 
revelar fundamentos da Teoria dos Registros de Representação Semiótica, (DUVAL, 
2003; 2009; 2011). Esta teoria tem contribuído significativamente com o ensino e a 
aprendizagem de matemática, uma vez que busca discutir a relação entre a cognição 
matemática (como o aluno constroi o conceito matemático) e a representação desse 
conceito. E nesse sentido desvela dificuldades dos estudantes em compreender 
matemática e algumas das naturezas dessas dificuldades relativas ao uso das 
representações. 
 Apresentaremos os argumentos de Raymund Duval (autor da teoria) usados para 
defender a necessidade de mobilizar ao menos dois registros de representação semiótica, 
assim como, de realizar transformações nos mesmos, para que aquele que busca 
49 
 
compreender conceitos matemáticos tenha êxito. Discutiremos, inclusive, as implicações 
para a aprendizagem quando o professor prioriza no ensino de matemática apenas num 
tipo de representação e transformação. 
 Por fim, compartilharemos e comentaremos à luz da teoria, as estratégias de 
resolução de uma situação problema, com foco nas atividades cognitivas de representação 
desenvolvidas durante o percurso da resolução que são: a formação de representação, o 
tratamento e a conversão dos registros de representação semiótica. 
 
O Papel das Representações Semióticas no Ensino da Matemática 
A Teoria dos Registros de Representação Semiótica desenvolvida pelo psicólogo 
e filósofo, Raymond Duval, defende essencialmente, a necessidade de se considerar as 
representações semióticas no estudo da cognição matemática, ou seja, no estudo de como 
as pessoas compreendem a matemática. Segundo Duval (2011), essa ideia parte de 
problemas de ordem epistemológica e de ordem cognitiva. Em relação ao primeiro, trata 
do acesso aos objetos matemáticos, quanto ao segundo, refere-se ao funcionamento do 
pensamento matemático. 
Este teórico considera a natureza abstrata dos objetos matemáticos (conceitos) e 
as dificuldades dos alunos na compreensão dos mesmos, assim como, a natureza dessas 
dificuldades. Por isto, defende que é por meio das representações semióticas que se pode 
externar as representações mentais sobre esses objetos matemáticos de forma que possam 
ser explorados, comunicados, operados, etc. 
Entretanto, se a matemática é uma ciência abstrata, se os objetos de conhecimento 
da mesma são construções mentais, como tais objetos podem ser uma realidade conhecida 
pelo indivíduo que almeja apreendê-los? Para Duval, não há outro caminho senão por 
meio dos registros de representação semiótica e suas transformações. 
Para entender melhor alguns aspectos da teoria, seu papel e contribuições para o 
ensino e para a aprendizagem, discutiremos nas sessões a seguir as três atividades 
cognitivas fundamentais inerentes à representação: a primeira diz respeito a produção de 
representação semiótica, a segunda e a terceira, consistem nas transformações, 
denominadas tratamento e conversão. 
 
50 
 
O Ato de produzir representações 
 A palavra semiótica é de origem grega e significa Semeion - Signos, sendo 
considerada a ciência dos signos. De uma forma geral, um signo é algo que representa 
alguma coisa para alguém. Pode ser uma letra, uma palavra, um traço qualquer. Para 
semiótica, os signos têm papel fundamental, uma vez que as representações semióticas 
são criadas por meio de signos inerentes a um sistema de representação. 
 De acordo com Duval (2011, p.83), um registro é um sistema cognitivamente 
criador. Tais sistemas possuem especificidades quanto ao seu significado e quanto ao seu 
funcionamento que possibilitam uma relação entre um significante (signo) com um 
significado (referência). Para que você entenda melhor essa relação, procuraremos fazer 
uma distinção entre um signo e um registro de representação semiótica a partir dos 
exemplos expressos na figura 1, identificados como as situações (I) e (II). 
Figura 1: Signo x Registro de Representações Semiótica 
 
 
Na situação I (Figura 1), podemos verificar que “A” é um signo. De fato, se 
perguntarmos para algumas pessoas o que “A” significa, é possível que os significados 
dados por elas sejam bem diferentes entre si. Perceba que, enquanto significante, “A” é 
um signo cujo significado dependerá do que o indivíduo tomará por referência. Verifique 
algumas possíveis respostas que poderíamos obter. 
“A” é a última letra do meu nome. (L - Ú - C - I - A) 
 “A” é a primeira vogal. (A - E - I - O - U ) 
 “A” é o meu tipo sanguíneo. (Tipo: A , Fator RH: +) 
 
Entretanto, na situação II, ainda na figura 1, percebemos que o signo “A” é um 
componente do registro de representação algébrica, Ax + By + C = 0 que corresponde à 
equação analítica da reta. Dentro desse sistema, “A” representa o coeficiente da variável 
x na equação dada. Sendo assim, um signo não pode ser identificado como um registro 
de representação, mas como parte dele. Duval (2003) expressa o termo registros de 
51 
 
representação para nomear os diferentes tipos de representação semiótica. O que se 
deseja comunicar em termos de representação, depende da criação de novas 
representações nos sistemas de registros semióticos. 
Para Duval (2011, p. 38), “as representações semióticas são as frases em 
linguagem natural, as equações e não as palavras, os algarismos e as letras”. Estas podem 
ser expressas na matemática em língua natural, gráfica, tabular, algébrica entre outros. É 
na atividade cognitiva de formação dessas representações que o estudante consegue, 
como afirma Duval (2009, p.53), “”exprimir” uma representação mental ou “evocar” um 
objeto real”. 
 O registro em língua natural é o registro escrito ou discursivo que é utilizado paraexpressar um conceito internalizado. O registro gráfico é muito utilizado não apenas na 
Matemática, mas em outras ciências como a Estatística e a Física, para expressar uma 
determinada situação com grande quantidade de dados escritos ou um determinado 
percurso durante certo intervalo de tempo. Esse tipo de registro permite uma melhor 
visualização de situações mais difíceis de compreender ou quando se faz necessário 
observar o comportamento de alguma função ou situação. 
Outro tipo de registro é o algébrico que na Matemática não é apenas aquele que 
contém expressões envolvendo incógnitas ou variáveis. Um determinado conjunto 
seguindo as propriedades de associatividade, distributividade, comutatividade, elemento 
neutro, aplicadas para a soma e a multiplicação e o elemento inverso para multiplicação, 
podem se configurar como álgebra e consequentemente, um registro algébrico. Já o 
registro tabular também utilizado em outras ciências, elenca uma série de informações 
distribuída em tabela e pode ou não, estar associado a outro registro de representação 
semiótica. 
Conhecer, produzir, coordenar estes e outros registros de representação semiótica 
é fundamental para aquele que ensina matemática, assim como, para aquele que aprende. 
Primeiro porque, segundo Duval (2011), para que um conceito seja acessado é necessário 
a coordenação de pelo menos dois registros de representação semiótica. Sem isto, não é 
possível garantir um ensino de matemática que permita ao estudante uma aprendizagem 
global dos conceitos matemáticos que deseja acessar. Segundo, porque priorizar um único 
registro para representar um determinado objeto matemático poderá levar o aprendente a 
confundir o objeto com a sua representação (DUVAL, 2003). Isto seria o mesmo que 
confundir o significante com o seu significado. 
52 
 
Quando o professor prioriza apenas um tipo de representação, o conceito e a 
representação aparecem imbricados de tal forma para o estudante que ele não conseguirá 
diferenciá-los. Distinguir o objeto matemático de sua representação não é fácil, pois a 
representação está muito arraigada ao objeto. É muito comum, por exemplo, as funções 
serem identificadas pelos signos utilizados para representá-las, como f(x), (x,f(x)) e 
outros. É difícil compreender que a função seja uma relação entre grandezas com variável 
dependente e independente. 
Esta dificuldade é natural, pois as representações externalizam os conceitos 
presentes nos esquemas cognitivos que formam o objeto matemático, sendo assim, a 
representação é vista muitas vezes como sendo o próprio objeto, exigindo assim que o 
estudante coordene diversos registros de representação. A necessidade das representações 
semióticas parte daí, pois se os conceitos matemáticos ficassem apenas nos esquemas 
mentais, as representações não poderiam cumprir a função de comunicação visual, 
(ASSIS e GITIRANA, 2010). Sem essa coordenação entre os sistemas de representação 
é impossível garantir a qualidade da aprendizagem do conhecimento matemático, e 
“atividades cognitivas fundamentais como a conceitualização ou a resolução de 
problemas” (DUVAL, 2003). 
 
O Ato de transformar Registros de Representação: o tratamento 
A possibilidade de externar de diversas maneiras um mesmo objeto matemático é 
importante não somente por poder representá-lo, mas também, por tornar possível o 
desenvolvimento da atividade matemática, (DUVAL, 2003). As transformações exercem 
um grande papel nessa atividade. Consideradas atividades cognitivas da semiótica, as 
transformações de registros de representação semiótica são denominadas: tratamento e 
conversão. Para Duval, (2011), elas são tão importantes para a apreensão de objetos 
matemáticos, quanto o ato de representá-los. Nessa sessão discutiremos sobre o 
tratamento. 
O tratamento é o processo de transformação de uma representação dentro de um 
mesmo registro semiótico. Isto significa que esta atividade cognitiva mobiliza apenas um 
registro de representação. Observe o enunciado e a resolução (Figura 2) da situação 
matemática: seja a equação 9x2 + 4y2 + 18x – 24y + 9 = 0 uma representação de uma 
elipse, determine a sua forma reduzida. 
53 
 
 Figura 2: Tratamento algébrico de uma equação da elipse. 
 
Observemos (Figura 2) que a equação inicial passa por diversas transformações 
até chegar à sua forma reduzida. Na verdade, as operações matemáticas realizadas, 
determinam novas equações equivalentes à primeira. Embora a transformação seja 
realizada dentro do mesmo sistema de representação semiótica, no exemplo da figura 2 é 
o algébrico, no tratamento, percebemos uma importante atividade de produção de outras 
representações no mesmo registro, além da operacionalização do cálculo matemático. 
 
O Ato de transformar Registros de Representação: a conversão 
Já vimos anteriormente que uma das preocupações da teoria dos registros de 
representação semiótica é fazer com que o indivíduo que busca ascender aos conceitos 
matemáticos não os confunda com a sua representação. Para que isso ocorra não basta a 
formação de múltiplas representações, é necessário transitar entre elas. 
É na conversão, transformação que consiste na produção de outra representação 
ao sair de um sistema de registro para outro, que o aprendiz consegue transitar entre uma 
representação e outra e com isso diferenciar características que são do objeto matemático 
daquelas que são de sua representação. Esta transformação é considerada a mais 
importante e difícil de realizar, das três atividades cognitivas relacionadas à 
representação. Tal fato, segundo Duval (2003) se deve ao esforço cognitivo que o 
indivíduo precisa desempenhar para conseguir sair de um registro para outro. 
Observe o exemplo a seguir e sua resolução (Tabela 1). 
“No Recife, a partir de 1º de julho de 2014, a bandeirada do táxi 
comum passa a ser R$ 4,25. O quilômetro rodado da bandeira 1 
sobe para R$ 2,07. O aumento foi definido, no dia 11 de junho de 
2014, após reunião do Conselho Municipal de Trânsito e 
Transporte (CMTT)”. 
54 
 
Fonte:http://g1.globo.com/pernambuco/noticia/2014/06/tarifa-de-taxi-no-
recife-sobe-partir-de-1-de-julho.html 
Considerando as informações supracitadas, construa uma tabela informando os 
valores pagos - p(n): preço em função da quilometragem percorrida n, se forem 
percorridos 1, 2, 3 e 4km, e generalize para uma corrida de ‘n’ quilômetros. 
Tabela 1: Corrida de táxi 
 
Percebemos que o problema matemático proposto faz referência a uma corrida de 
táxi. Esse tipo de situação é considerado uma questão clássica para introduzir o conceito 
de função Afim. No entanto, por mais comum que seja sua aplicabilidade, a situação 
necessita, inicialmente, de conversão da escrita natural para tabular, exigindo nesta fase, 
de quem irá resolvê-la, algumas competências como a interpretação de texto e o raciocínio 
lógico, tendo em vista que se trata de uma questão contextualizada. Posteriormente, há 
uma organização tabular do tratamento algébrico dado às informações identificadas na 
questão. 
Embora diversos livros didáticos utilizem essa situação do cotidiano para 
introduzir o conceito de função, apresentando explicitamente as ideias matemáticas de 
dependência, variação, relação entre grandezas, entre outras, verificamos que os 
procedimentos adotados na resolução da situação não são tão simples, quanto parecem 
ser. Porém, quanto menos os estudantes resolverem questões desta natureza, maior será a 
sua dificuldade em compreender os conceitos envolvidos nas mesmas. 
A dificuldade em realizar a conversão é potencializada quando o professor ou até 
mesmo o livro didático priorizam o tratamento, propondo aos estudantes excessos de 
definições e uma quantidade excessiva de exercícios voltados para operacionalização 
matemática, maioria centrados no tratamento algébrico. Para Dehon e Gitirana (1999) 
quando o professor não apresenta as várias