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introdução
Introdução
Os primeiros conceitos do cálculo diferencial e do cálculo integral surgiram há séculos, a princípio, sem
ligação com os conceitos que temos atualmente. Depois de um período, matemáticos puderam provar, por
meio de resultados válidos até hoje, que os conceitos do cálculo diferencial e do cálculo integral são o inverso
um do outro.
CÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEISCÁLCULO APLICADO - VÁRIAS VARIÁVEIS
REVISÃO DE DERIVADAS E INTEGRAISREVISÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS
Autor: Me. Talita Druziani Marchiori
R e v i s o r : R a i m u n d o A l m e i d a
I N I C I A R
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O cálculo diferencial surgiu com problemas relacionados a retas tangentes. Já o cálculo integral originou-se
em problemas de quadratura, que é uma operação que determina a área de um quadrado equivalente a uma
dada �gura geométrica. Porém, hoje, sabemos que as aplicabilidades dessas teorias estendem-se a áreas
variadas do conhecimento, como física, química, engenharias, biologia, economia, dentre outras. Apesar de
você, estudante, já ter estudado esses conceitos, vamos revisar, nesta unidade, as principais de�nições e
propriedades presentes no cálculo diferencial e integral. Além disso, estudaremos o conceito de integração
por frações parciais.
Salientamos que, como se trata da revisão de uma matéria extensa, não conseguiremos abordar todos os
conceitos presentes. Com isso, enriqueceria o seu estudo buscar exemplos e exercícios em outras
bibliogra�as para completar a sua revisão e aprofundar o seu conhecimento. Esperamos que o seu
aprendizado seja produtivo.
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Neste tópico, relembraremos as principais de�nições e propriedades das derivadas de funções reais de uma
variável real. No que segue, representaremos por f(x) uma função real de uma variável real, de�nida sobre
um subconjunto X dos números reais.
Considere uma função f(x) como uma função qualquer e sua derivada f ′ (x) é a nova função que, em um
determinado ponto x, o valor da derivada é de�nido por
f ′ (x) = limh→ 0
f(x + h) − f(x)
h
se o limite existir.
Assim, se o limite existe para x = a, a função f diz-se diferenciável em a. Consideramos a função f derivável em
um intervalo aberto, se esta for diferenciável para todos os números do intervalo.
Exemplo 1.1: determine f ′ (x) se f(x) = x ² .
Solução: pela de�nição que acabamos de enunciar,
Uma Breve Revisão Sobre asUma Breve Revisão Sobre as
Derivadas de Funções Reais deDerivadas de Funções Reais de
uma Variável Realuma Variável Real
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f ′ (x) = limh→ 0
f(x + h) − f(x)
h
= limh→ 0
(x + h)2 − x2
h
.
Como:
(x + h)2 − x2
h
= 2x + h, h ≠ 0,
segue que:
f ′ (x) = limh→ 0
f(x + h) − f(x)
h
= limh→ 0
(x + h)2 − x2
h
= 2x
Portanto, f ′ (x) = 2x.
Usando a notação tradicional y = f(x) para indicar que a variável independente é x, e y é a variável
dependente, então y ′
dy
dx e 
df
dx são consideradas notações alternativas quando consideramos a derivada de f
em relação a x.
O processo de determinar a derivada de uma função por meio do cálculo de um limite, na maioria das vezes, é
um processo demorado. Porém, há regras de derivação que auxiliam em uma solução mais simples para o
cálculo. Quando utilizamos tais soluções, conseguimos determinar a derivada de uma função sem necessitar
recorrer à sua de�nição. A seguir, enunciamos algumas dessas regras.
REGRA DA POTÊNCIA: considerando que n é um número real qualquer, então:
[xn] ′ = nxn − 1.
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REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE: considerando que c é uma constante e f é uma função
derivável, podemos dizer que:
[cf(x)] ′ = cf ′ (x).
REGRA DA SOMA: considerando que f e g são funções deriváveis, então:
f(x) + g(x)] ′ = f ′ (x) + g ′ (x).
REGRA DO PRODUTO: considerando que f e g são funções diferenciáveis com g(x) ≠ 0, então:
[f(x)g(x)] ′ = f ′ (x)g(x) + f(x)g ′ (x).
REGRA DO QUOCIENTE: considerando que f e g forem deriváveis, então:
[
f(x)
g(x)
], =
f ′ (x)g(x) − f(x)g ′ (x)
g(x)2
.
REGRA DA CADEIA: se g for derivável em x, e f for derivável em g(x), então, a função composta h = f ∘ g,
de�nida por h(x) = f(g(x)), será derivável em x, e h ′ será dada pelo produto:
h ′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x).
Em muitas situações, deparamo-nos com problemas de funções exponenciais, logarítmicas e
trigonométricas, por isso, resumimos as fórmulas de derivação para estas funções:
               
d
dx sen x = cos x;                       
d
dx (cosec x) = − cosec x cotg x;
               
d
dx cos x = − sen x;                  
d
dx (cotg x) = − cosec
2 x;
               
d
dx tg x = sec
2x;                        
d
dx (e
x) = ex;
               
d
dx sec x = sec x tg x;             
d
dx (ln x) =
1
x .
Exemplos 1. 2: derive:
a) h(x) = 5
1
x2
.
b) f(x) = ex x.
c) F(x) =
2x+ 3
x2 + 1
.
d) h(x) = sen(x2 + 1).
Solução: a) Pelas regras da constante e da potência:
h ′ (x) = 5(
1
t2
) ′ = −
10
t3
.
b) Pela regra do produto, temos:
f ′ (x) = (ex) ′ x + ex(x) ′ = ex x + ex.
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c) Pela regra do quociente:
F ′ (x) =
(2x + 3) ′x2 + 1 − 2x + 3(x2 + 1) ′
(x2 + 1)2
=
−2x2 − 6x + 2
(x2 + 1)2
.
d) Pela regra da cadeia, considerando f(x) = sen x e g(x) = x2 + 1, temos que:
h ′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x) = 2x cos (x2 + 1).
Como f’ também é uma função chamada derivada primeira de f, podemos derivá-la. Se a derivada de f’ existir,
esta será chamada derivada segunda de f e será denotada por f’’. Seguindo esse raciocínio, a derivada
enésima da função f, onde n é um número inteiro positivo maior do que 1, é a derivada primeira da derivada
(n-1) ésima de f. Denotamos a derivada enésima de f por fn. Por exemplo, temos que f ″ (x) = 96x2 + 30x − 2, se 
f(x) = 8x4 + 5x3 − x2 + 7, pois f ′ (x) = 32x3 + 15x2 − 2x.
praticarVamos Praticar
Sabemos que o cálculo diferencial possui aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento. Logo, dominar seus
conceitos e propriedades é relevante em nossa formação acadêmica. Com base na teoria que acabamos de revisar
neste tópico, assinale a alternativa correta.
a) Com a de�nição de derivada de uma função, concluímos que f ′ (x) = 3x − 1, se f(x) = x3 − x.
b) Se g(x) = 3x2 + 1 3, temos que g(x) = 3 3x2 + 1 2
c) A derivada de t(x) = 0, 5 é dada pela função t(x) = 0, 5.
d) Temos que g(4) = − 1, uma vez que g(x) = h(x) 1 /x, onde h(4) = 32 e h(4) = 4.
e) Se f(x) = 2x3 + ex e g(x) = x2 − 4x + 1, [
f ( x )
g ( x ) ]
′ = 
2x4 − 32x3 + 6x2 + ex x2 + 2x+ 5
2x3 + ex 2
.
( ) ( )
( )
( )
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Os problemas de otimização consistem em determinar a melhor maneira de fazer algo, ou seja, requerem
minimizar ou maximizar uma situação. Como é de nosso conhecimento, as derivadas nos ajudam localizar os
valores de máximo e mínimo de funções. Logo, os problemas de otimização são uma das aplicações mais
importantes do cálculo diferencial.
Antes de resolver um problema de otimização, vamos enunciar os principais resultados e de�nições já
estudados por nós, que envolvem a derivada primeira e segunda e fornecem-nos técnicas para determinar os
valores extremos de uma função.
Teorema 1.1: se f tiver um máximo ou mínimo local em c e se f ′ (c) existir, então, f ′ (c) = 0.
O Teorema 1.1 apresenta que devemos procurar por valores máximos e mínimos de f nos números c, em quef ′ (c) = 0 ou onde f ′ (c) não existe. Chamamos os valores c tais que f ′ (c) = 0 ou f ′ (c) não existe de número
crítico de f.
Quando uma função f é contínua, considerando um intervalo fechado [a, b], temos um método para
determinar seus valores extremos (valor de máximo e valor de mínimo) em [a, b]. Primeiramente,
Problemas de OtimizaçãoProblemas de Otimização
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encontramos os valores de f nos números críticos de f em (a, b). Depois, encontramos os valores de f nas
extremidades a e b. Então, o maior valor é o valor de máximo e o menor valor é o valor de mínimo.
Exemplo 1.3: o valor máximo de f(x) = x3 + x2 − x + 1 em −2, 1/2 é f(−1) = 2.
Solução: observe que f é contínua no intervalo −2, 1/2 e f(x) = 3x2 + 2x − 1. Como f ′ (x) existe para todos os
números reais, os únicos números críticos de f serão os valores x para os quais f(x) = 0. Mas
f(x) = 0 ⇔ 3x2 + 2x − 1 = 0,
em que concluímos que os números críticos de f são x = e x = − 1. Ainda
f(−2) = − 1, f(−1) = 2, f( ) = 
22
27
, f 1/2 = 
7
8
.
Portanto, o valor máximo f em −2, 1/2 é f(−1) = 2.
O próximo resultado diz se f tem ou não um máximo ou mínimo local em um número crítico. Chamamos-o de
Teste da Primeira Derivada.
Teorema 1.2: considere que c seja um número crítico de uma função contínua f. Dessa forma, podemos
a�rmar que:
a)  caso o sinal de f ′ mude de positivo para negativo em c, dizemos que f tem um máximo local em c.
b)  caso o sinal de f ′ mude de negativo para positivo em c, dizemos que f tem um mínimo local em c.
c)  se f ′ não mudar de sinal em c, então, f não tem máximo ou mínimo locais em c.
Exemplo 1.4: encontre os valores máximos e mínimos da função f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.
Solução: note que f(x) = 3x2 − 12x + 9 e f(x) = 0 ⇔ x = 3, x = 1. Ademais, se x⟨1, f(x)⟩0; se 
1 < x < 3, f ′ (x) < 0; e se x > 3, f(x) > 0. Então, pelo Teste da Primeira Derivada, f ′ = 5 é um valor de
máximo local de f, e f(3) = 1 é um valor de mínimo local de f.
O próximo resultado é conhecido como Teste da Segunda Derivada.
Teorema 1.3: suponha que f ″ seja contínua nas proximidades dos valores de c:
a)  se f ′ (c) = 0 e f ″ (c) > 0, então, f tem um mínimo local em c.
b)  se f ′ (c) = 0 e f ″ (c) < 0, então, f tem um máximo local em c.
Exemplo 1.5: sendo f(x) = x4 +
4
3 x
3 − 4x2, utilize o Teste da Segunda Derivada para encontrar os máximos e
mínimos locais de f.
Solução: temos que f(x) = 4x3 + 4x2 − 8x e f(x) = 12x2 + 8x − 8. Então, os pontos críticos de f (valores onde 
 f(x) = 0) são −2, 0e1. Contudo, f(−2) > 0, f(0)⟨0, f(1)⟩0. Logo, f possui um valor de mínimo local em 
f(−2) = −
32
2 , um valor de máximo local em f(0) = 0 e um mínimo local em f(1) = −
5
3 .
Agora, veremos dos exemplos de problemas de otimização.
[ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
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Exemplo 1.6: uma empresa possui seu lucro descrito pela função L(x) = − 0, 02x2 + 300x − 200000, em
que x representa o número de unidades produzidas. Quantas unidades a empresa precisa produzir para que
seu lucro seja máximo?
Solução: observe que, como a L(x) = − 0, 04x + 300, teremos a , ou seja, x = 7500 é o número crítico de L.
Contudo, L(x)⟨0, x⟩7500 e L(x) > 0, x < 7500. Portanto, pelo Teste da Primeira Derivada, a empresa precisa
produzir 7500 unidades para que seu lucro seja máximo.
Exemplo 1.7: construa uma caixa fechada, de base quadrada e com 200 cm³ de volume. O material utilizado
para a tampa e para a base deve custar R$ 3,00 para cada centímetro quadrado e o material utilizado para os
lados custa R$ 1,50 para cada centímetro quadrado. Com quais dimensões esta caixa possui custo total
mínimo?
Solução: adotando como x o comprimento (em centímetros) de um lado da base quadrada e C(x) o custo total
do material, a área da base será x2 cm2. Adotando y como a profundidade (em centímetros), o volume da caixa
será x2y = 200 cm3, onde y = 
200
x2
.
Dessa forma, podemos escrever que a área da tampa e da base juntas é 2x2 e, para os lados, é 4xy. Com isso,
$C\left( x \right)~=~3~\left( 2x{}^\text{2} \right)~+~1,5~\left( 4xy \right)$ ou, equivalentemente,
C(x) = 6x2 + 
12000
x
,
em que:
C(x) = 12x − 
12000
x2
 , C(x) = 12x + 
12000
x3
.
Assim, C’(x) não existe x = 0, mas como 0 não pertence ao domínio de C, os únicos números críticos serão os
valores de x, tais que C(x) = 0, ou seja, x = 10. Por outro lado, C(10) > 0 então, pelo Teste da Derivada
Segunda, x = 10 é um mínimo local de C. Com isso, o custo total do material será mínimo, quando o lado da
base quadrada for 10 cm, a profundidade for 20 cm e a área da base for 100 cm².
praticarVamos Praticar
Na economia, se x unidades forem vendidas e o preço por unidade for p(x), então, a receita total será R(x) = xp(x),
sendo R chamada função receita. Representado por C(x), a função custo é o valor gasto para a produção de x
unidades. Se x unidades forem vendidas, então, o lucro total será L(x) = R(x) − C(x), então, L será chamada função
lucro. Certa empresa possui as funções de custo e receita dadas por R(x) = − 0, 5x2 + 2000x e C(x) = 800x + 500000,
respectivamente. Analise as alternativas abaixo e assinale a correta.
a) O lucro desta empresa será máximo para x = 1200.
b) O lucro desta empresa será máximo para x = 800.
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c) O lucro desta empresa será máximo para x = 36√5.
d) O lucro desta empresa será máximo para x = 60.
e) O lucro desta empresa será máximo para x = 20√3.
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Uma função F(x) é chamada antiderivada da função f(x) se F(x) = f(x), seja qualquer x pertencente ao domínio
de f. Como a derivada de uma constante é zero, a antiderivada de uma função não é única. Por exemplo, 
F(x) = x2 e H(x) = x2 + 10 são antiderivadas da função f(x) = 2x, uma vez que F(x) = H(x) = 2x = f(x).
Representamos o conjunto de todas as antiderivadas de f(x) utilizando o símbolo:
∫ f(x) dx = F(x) + C,
que é chamado integral inde�nida de f(x), em que F é uma antiderivada de f. Para qualquer função derivável F
, ∫F ′ (x) dx = F(x) + C . Da ligação entre o cálculo diferencial e o cálculo integral por meio das antiderivadas,
podemos listar propriedades para integração inde�nida resultante de propriedades existentes para as
derivadas.
REGRA DA CONSTANTE: considerando qualquer constante k, ∫ k dx = kx + C.
REGRA DA POTÊNCIA: considerando qualquer n ≠ − 1,∫ xn dx =
xn+ 1
n+ 1 + C.
REGRA DO LOGARÍTMO: considerando qualquer x ≠ 0,∫
1
x dx = ln |x| + C.
REGRA DA EXPONENCIAL: considerando qualquer constante k ≠ 0 , ∫ ekx dx =
1
k e
kx + C.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: considerando qualquer constante f, 
∫ k f(x) dx = k∫ f(x) dx.
REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: ∫ f(x) ± g(x) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx.
Exemplo 1.8: calcule:
a) ∫
3
x dx.
b) ∫
x3 − 8x2 + 2x
x dx.
Uma Breve Revisão Sobre asUma Breve Revisão Sobre as
Integrais de Funções Reais de umaIntegrais de Funções Reais de uma
Variável RealVariável Real
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Solução: a) Pelas regras do logaritmo e da multiplicação por uma constante,
∫
3
x
 dx = 3∫
1
x
 dx = 3 ln |x| + C.
b) Usando a regra da soma, da diferença, da multiplicação por uma constante, da constante e da potência,
temos:
∫
x3 − 8x2 + 2x
x
 dx = ∫x2 dx − 8∫x dx + ∫2 dx =
x3
3
− 4x2 + 2x + C.
Muitas integrais exigem, além das regras enunciadas acima, métodos especiais para resolvê-las. Um destes é
o método da substituição. Tal método consiste em escolhermos uma substituição u = u(x)), para simpli�car o
integrando f(x) e expressar toda a integral emtermos de u e du = udx. Com isso, a integral deve estar 
∫ f(x) dx = ∫ g(u) du na forma. Se possível, calcule essa integral, determinando uma antiderivada G(u) de g(u).
Para �nalizar, substituímos u por u(x), obtendo uma antiderivada G(u(x)) para f(x), de modo que 
∫ f(x) dx = G(u(x)) + C.
Por exemplo, podemos calcular a integral inde�nida ∫ (5x + 3)6 dx pelo método da substituição. Denotando 
u = 5x + 3, temos du = 5dx ou dx = 1/5. Assim:
∫ (5x + 3)6 dx = ∫u6 
1
5 du =
1
5 ∫u
6 du =
1
35 (5x + 3)
7 + C.
Agora, considere f(x) uma função contínua no intervalo a ≤ x ≤ b. Julgue que este intervalo tenha sido
dividido em n partes iguais de largura Δx =
b− a
n e seja x
∗
i um número qualquer pertencente ao intervalo de
ordem i, para qualquer i=1, 2, …, n. A soma:
[f(x ∗ 1)Δx + f x
∗
2 Δx + . . . . + f(x
∗
nΔx)]
é conhecida como soma de Riemann.
Dessa forma, a integral de�nida de f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b, representada pelo símbolo
b
∫
a
f(x) dx
é dada pelo limite da soma de Riemann, sempre que n → ∞, caso o limite exista.
A integral de�nida ∫ baf(x) dx é um número. Se a > b, temos que ∫
b
af(x) dx = − ∫
a
bf(x) dx; se a = b, temos que 
∫ baf(x) dx = 0. Como, para as integrais inde�nidas, existem regras de integração que nos auxiliam a determinar
as integrais de�nidas, suponha que f e g são funções contínuas, sendo válida a:
REGRA DA CONSTANTE: para qualquer constante k, ∫ bak dx = k(b − a).
REGRA DA SOMA/DIFERENÇA: ∫ baf(x) ± g(x) dx = ∫
b
af(x) dx + ∫
b
ag(x) dx.
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: para qualquer constante k,
( )
( )
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b
∫
a
k f(x) dx = k 
b
∫
a
f(x) dx.
REGRA DO INTERVALO: para qualquer c ∈ [a, b], ∫ baf(x) dx = ∫
c
af(x) dx + ∫
b
c f(x) dx.
Exemplo 1.9: sendo ∫ 100 f(x) dx = 17 e ∫
8
0f(x) dx = 12, temos que ∫
10
8 f(x) dx = 5.
Solução: primeiramente, devemos escrever:
10
∫
0
f(x) dx =
8
∫
0
f(x) dx +
10
∫
8
f(x) dx.
Então:
10
∫
8
f(x) dx = 17 − 12 = 5.
Para �nalizar este tópico, vamos enunciar a primeira e a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo.
Este é um dos mais importantes resultados do cálculo, pois relaciona o conceito de integral de�nida ao
conceito de antiderivação, ou seja, o Teorema Fundamental do Cálculo relaciona o cálculo diferencial e o
cálculo integral.
Teorema 1.4 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1): se f for contínua em [a,b], então, a função g de�nida
por g(x) = ∫ xaf(t) dt (a ≤ x ≤ b) é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) e g(x) = f(x).
Teorema 1.5 (Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2): se f for contínua em [a,b], então:
b
∫
a
f(x) dx = F(b) − F(a)
em que F é qualquer primitiva de f, isto é, uma função tal que F = f.
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Exemplo 1.10: calcule:
a)  ∫ 31e
x dx.
b) ∫ 852x + 1 dx.
Solução: a) Note que F(x) = ex é uma antiderivada de f(x) = ex, então, pela Parte 2 do Teorema Fundamental
do Cálculo,
∫ 31e
x dx = F(3) − F(1) = e3 − e.
b) Com o raciocínio do item anterior e com o auxílio das regras de integração, temos:
∫ 852x + 1 dx = 8
2 − 52 + (8 − 5) = 42.
praticarVamos Praticar
Podemos utilizar as integrais para solucionar muitas situações problemas do nosso cotidiano e do nosso meio
pro�ssional. Com base na teoria sobre integrais inde�nidas e de�nidas revisadas neste tópico, assinale a alternativa
correta.
a) ∫ x2 − 2x dx = x3 − 2x2 + C.
b) ∫ − cos x dx = sen x + C.
c) ∫ t3 cos t4 + 2 dt =
1
4 cos t
4 + 2 + C.
d) ∫ 10 x
3 + 1 dx =
5
4 .
e) ∫ 1− 1x
2 dx = 1
( )
( ) ( )
( )
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Uma função f(x) é denominada função racional, se f(x) =
R ( x )
Q ( x ) , em que R(x) e Q(x) são polinômios. Se o grau de
R é menor que o grau de R, f é chamada de função racional própria; f(x) é denominada função racional
imprópria, se o grau de R é maior ou igual que o grau de Q.
Se uma função f(x) =
P ( x )
Q ( x ) é racional imprópria, podemos dividir os polinômios P por Q até o resto R(x) ser
obtido, em que o grau de R é menor que o grau de Q. Com isso, podemos reescrever f(x) como a soma de um
polinômio S(x) e uma função racional própria 
R ( x )
Q ( x ) , ou seja, f(x) = S(x) +
R ( x )
Q ( x ) .
Quando não conseguimos resolver a integral de uma função racional própria, podemos decompô-la em
frações parciais, usando a seguinte estratégia: primeiramente, fatoramos o denominador Q como produto de
fatores lineares e quadráticos, em que os fatores quadráticos não possuem raízes reais, isto é, são
irredutíveis.
Na resolução dos exemplos a seguir, veremos três casos desta técnica.
Exemplo 1.12: determine:
Integração de Funções RacionaisIntegração de Funções Racionais
por Frações Parciaispor Frações Parciais
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a) ∫
x2 + 2x− 1
2x3 + 3x2 − 2x
 dx.
b) ∫
x3 − 1
x2 ( x− 2 ) 3
 dx.
c) ∫
x2 + 1
x3 + 3x
 dx.
Solução: a) Note que o grau do denominador é maior do que o grau do numerador, logo, a função 
f(x) =
x2 + 2x− 1
2x3 + 3x2 − 2x
 é racional própria, e não precisamos dividir o numerador pelo denominador. Observe que
2x3 + 3x2 − 2x = x(2x − 1)(x + 2)
ou seja, o polinômio Q(x) = a1x + b1 a2 + b2 . . . an + bn pode ser decomposto em fatores lineares e
nenhum fator é repetido. Neste caso, escrevemos:
R(x)
Q(x)
= 
A1
a1 x + b1
+
A2
a2 + b2
+ . . .
An
an + bn
Então,
x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − 2x
=
x2 + 2x − 1
x(2x − 1)(x + 2)
=
A1
x
+
A2
2x − 1
+
A3
x + 2
.
Com isso, temos que:
x2 + 2x − 1 = 2A1 + A2 + 2A3 x
2 + 3A1 + 2A2 − A3 x − 2A1
em que a igualdade de polinômios é:
A1 = 1/2 , A2 = 1/5 e A3 = − 1/10.
Portanto,
∫
x2 + 2x − 1
2x3 + 3x2 − 2x
 dx =
1
2 ∫
1
x
 dx +
1
5 ∫ 
1
2x − 1
dx − 
1
10 ∫ 
1
x + 2
dx.
=
1
2
ln |x| +
1
10
ln |2x − 1| −
1
10
ln |x + 2| + C.
b)Temos que:
x2 = x . x . (x − 2). (x − 2). (x − 2)
ou seja, o polinômio Q(x) decompõe-se em fatores lineares com termos repetidos. Se o fator aix + bi repete p
vezes, teremos, correspondente a esse fator, uma soma de p frações parciais da forma:
 
A1
ai x + bi
+
A2
ai x + bi 2
+ . . .
Ap
(ai x + bi)
p .
Então,
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
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x3 − 1
x2(x − 2)3
=
A1
x
+
A2
x2
+
B1
(x − 2)
+
B2
(x − 2)2
+
B3
(x − 2)3
em que:
x3 − 1 = A1 x(x − 2)3 + A2(x − 2)3 + B1 x2(x − 2)2 + B2 x2(x − 2) + B3x2
Se x = 0, A2 = 1/8; se x = 2, B3 = 7/4. Para determinar A1, B1 e B2, substituímos os valores já encontramos
na equação acima e resolvemos o sistema de polinômios obtendo A1 = 3/16, B1 = − 3/16 e B2 = 5/4.
Com isso,
∫
x3 − 1
x2 ( x− 2 ) 3
=
3
16 ∫
1
xdx +
1
8 ∫
1
x2
dx −
3
16 ∫
1
( x− 2 ) dx +
5
4 ∫
1
( x− 2 ) 2
dx +
7
4 ∫
1
( x− 2 ) 3
dx =
3
16 ln |x| −
1
8x −
3
16 ln |x − 2| −
5
4 ( x− 2 ) +
7
8 ( x− 2
c) Neste caso,
x3 + 3x = x x2 + 3
em que o fator x2 + 3 é irredutível, pois não possui raízes reais, isto é, o polinômio Q(x) é decomposto por
fatores lineares e quadráticos, porém nenhum fator quadrático é repetido. Todo fator quadrático irredutível 
ax2 + bx + c terá uma fração parcial da forma:
Ax + B
ax2 + bx + c
.
Então,
x2 + 1
x3 + 3x
==
A
x
+
Bx + C
x2 + 3
.
Procedendo como nos itens anteriores, obtemos que A =
1
3 , B =
2
3 e C = 0. Então,
∫
x2 + 1
x3 + 3x
 dx =
1
3 ∫ 
1
x
 dx +
2
3 ∫
x
x2 + 3
dx =
1
3
ln |x| +
1
3
ln x2 + 3 + C.
Também podemos decompor Q(x) por fatores lineares e quadráticos irredutíveis, mas com alguns fatores
quadráticos repetidos. Nesse caso, se ax2 + bx + c for um fator quadrático irredutível que se repete p vezes, o
fator (ax2 + bx + c)p possui p frações parciais da forma
A1x+ B1
ax2 + bx + c
+
A2x + B2
ax2 + bx + c 2
+ . . . +
Apx + Bp
(ax2 + bx + c)p
.
Por exemplo, para x2 + 3x + 5 3, temos:
A1x + B1
x2 + 3x + 5
+
A2x + B2
x2 + 3x + 5 2
+
A3x + B3
x2 + 3x + 5 3
.
Note que, na letra a) do exemplo 1.12, foi possível fatorar o denominador como multiplicação de fatores
lineares distintos. No item b), decompomos o denominador como multiplicação de fatores lineares repetidos.
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
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Já no item c) do exemplo 1.12, a fatoração do denominador continha fatores quadráticos irredutíveis, sem
repetição. Acabamos de observar, acima, outra forma de fatorar um polinômio, como multiplicação de
fatores lineares e quadráticos irredutíveis, com alguns termos quadráticos repetidos. Um resultado da
Álgebra garante que é sempre possível fatorar um polinômio de uma dessas quatro maneiras. A forma de
decompor a fatoração de cada caso em frações parciais, exposta nos exemplos acima, vem do teorema de
frações parciais.
praticarVamos Praticar
Sabemos que algumas integrais de funções racionais próprias precisam ser decompostas em frações parciais para
serem resolvidas. Observe a integral a seguir:
∫
x4 − 2x2 + 4x + 1
x3 − x2 − x + 1
 dx
Agora, assinale a alternativa correta.
a) A função f(x) =
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 é uma função racional própria.
b) A função f(x) =
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 é uma função racional imprópria e 
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
=
1
x− 1 +
2
( x− 1 ) 2
−
1
x+ 1 . 
c) Temos que ∫
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 dx =
x2
2 + x + ln |x − 1| −
2
x− 1 − ln |x + 1| + C.
d) Temos que ∫
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 dx =
x2
2 + ln |x − 1| −
2
x− 1 + C.
e) Temos que ∫
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1
 dx =
x2
2 + x −
2
x− 1 + C.
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indicações
Material Complementar
F I L M E
Uma mente brilhante
Ano: 2001
Comentário: o �lme conta a história de um matemático que, mesmo doente,
com esquizofrenia, venceu o Nobel de Economia, por sua Teoria dos Jogos.
T R A I L E R
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L I V R O
Cálculo
James Stewart
Editora: Cengage Learning
ISBN: 8522112584
Comentário: este livro aborda toda a teoria do cálculo diferencial e integral
que relembramos nesta unidade. Você poderá conferir muitos exemplos
resolvidos, o que contribuirá com seus estudos.
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade, pudemos revisar as de�nições e propriedades do cálculo diferencial e do cálculo integral, que
já havíamos aprendido em outro momento do curso. Também aprendemos um novo método de integração, a
integração por frações parciais. Por meio do Teorema Fundamental do Cálculo, relembramos que o cálculo
diferencial e integral estão interligados, pois um desfaz o que o outro faz. Como perceberam, não foi possível
explorar toda a teoria presente na disciplina do cálculo diferencial e integral, pois esta é vasta.
Esperamos que tenham recordado o conteúdo e praticado os tópicos por meio dos exemplos e exercícios,
tornando essa revisão produtiva ao seu conhecimento e formação. Sugerimos que pesquise sobre outras
aplicações do cálculo diferencial e integral, que não comentamos na unidade, pois isso motivará os seus
estudos. Agradecemos toda a dedicação e até uma próxima oportunidade!
referências
Referências Bibliográ�cas
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2001.
LEITHOULD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra Ltda., 1994.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2006.