Calculo II UNIVESP Semana 01

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1
cálculo II
exercícios
Dessa lista, você deve entregar para avaliação os seguin-
tes exercícios: 
 → Exercício 1 — item c;
 → Exercício 2 — itens d, f;
 → Exercício 4 — item c;
 → Exercício 5;
 → Exercício 7;
 → Exercício 9.
Curva de nível de uma função f : D ⊂ ℝ2 → ℝ é o con-
junto dos pontos do domínio onde f tem valores cons-
tantes, isto é, a curva de nível k de f é
{(x, y) ∈ D | f(x, y) = k}
Exemplo: para a função f(x, y) = xy as curvas de nível são 
as “hipérboles” dadas por f(x, y) = k ⇔ xy = k ⇔ y = 
k
x 
, 
x ≠ 0 (k ≠ 0) e quando k = 0, temos xy = 0 ⇔ x = 0 ou y = 
0 que é um par de retas (eixos coordenados).
Cálculo II / Exercícios 2
Superfície de nível de uma função f : D ⊂ ℝ3 → ℝ é o conjunto dos pon-
tos do domínio onde f tem valores constantes, isto é, a superfície de nível k 
de f é
{(x, y, z) ∈ D | f(x, y, z) = k}
Exemplo: as superfícies de nível da função f(x, y, z) = 5 - x2 - y2 - z2 são 
dadas por f(x, y, z) = k ⇔ 5 - x2 - y2 - z2 = k ⇔ x2 + y2 + z2 = 5 - k.
 → k > 5 ⇒ as superfícies de nível são vazias;
 → k = 5 ⇒ a superfície de nível é um ponto: (0, 0, 0);
 → k < 5 ⇒ as superfícies de nível são esferas de centro na origem, 
(0, 0, 0) e raio 5 - k .
exercício 1
Descreva as curvas ou superfícies de nível (conforme o caso) das funções:
a. f(x, y) = 7 - x2 - y2
b. f(x, y) = 
x2
4
 + 
y2
9
c. f(x, y, z) = 1 - x2 - y2 - z2 (1 ponto)
Cálculo de Limites: Muitas vezes podemos fazer o cálculo diretamente, 
por substituição.
Exemplo:
(x, y) → (0, 0)
lim
x3 + x2y + xy2 + 3
x - y - 2
 = 
03 + 02⋅0 + 0⋅02 + 3
0 - 0 - 2
 = - 
3
2
Outras vezes temos que eliminar indeterminações.
Exemplo:
(x, y) → (0, 0)
lim
x3 + x2y + xy2 + 3x
2x
Por substituição direta obteríamos 
0
0
 , que é uma indeterminação. Usan-
do fatoração obtemos:
x3 + x2y + xy2 + 3x
2x
 = 
x(x2 + xy + y2 + 3)
2x
 = 
x2 + xy + y2 + 3
2
Cálculo II / Exercícios 3
(x, y) → (0, 0)
lim
x3 + x2y + xy2 + 3x
2x
 = 
(x, y) → (0, 0)
lim
x2 + xy + y2 + 3
2
 = 
3
2
exercício 2
Calcule os limites abaixo:
a. (x, y) → (1, 1)
lim
x3 + x2y + xy2 + 3x
x3 - y + 2
b. (x, y) → (1, 1)
lim
1
x2 + y2
c. (x, y) → (1, 1)
lim = sen 
 
(2x + y) 
π
2 
d. (x, y) → (3, 1)
lim
x3 - y3
x - y
 (1 ponto)
e. (x, y) → (3, 3)
lim
x3 - y3
x - y
f. (x, y) → (0, 0)
lim
x3y - y2x2
x2y
 (1 ponto)
Em alguns casos precisamos usar teoremas básicos específicos.
Exemplo:
(x, y) → (0, 0)
lim
5sen(x2y)
x2y
Substituindo x e y por 0 obtemos uma indeterminação. Não há maneira 
elementar de eliminar a indeterminação. Fazemos z = x2y.
(x, y) → (0, 0)
lim
5sen(x2y)
x2y
 = 
z → 0
lim
5senz
z
 = 5
A maneira mais simples de provar que certos limites não existem é exibir 
diferentes caminhos tendendo para o ponto e tais que os limites “parciais” 
sejam diferentes.
Exemplo:
(x, y) → (0, 0)
lim
2x2 + y2
x2 + y2
 não existe, pois 
(x, 0) → (0, 0)
lim
2x2 + 02
x2 + 02
 = 
(x, 0) → (0, 0)
lim
2x2
x2
 = 2 
e 
(0, y) → (0, 0)
lim
2⋅02 + y2
02 + y2
 = 
(0, y) → (0, 0)
lim
y2
y2
 = 1
Cálculo II / Exercícios 4
exercício 3
Calcule ou mostre que não existem:
a. (x, y) → (0, 0)
lim
(x2 + 3)sen(5x + y)
(xy + 2)(5x + y)
b. (x, y) → (0, 0)
lim
3x2 - 4y2
6x2 + 2y2
c. (x, y) → (0, 0)
lim
xy
x2 + y2
 (além dos eixos coordenados use o caminho y = x)
Limites com infinito
Exemplos:
 →
(x, y) → (0, 0)
lim
 
1
x2 + y2
 = +∞ pois o denominador vai a 0 e a expressão é 
sempre positiva.
 →
(x, y) → (+∞, +∞)
lim
 
1
x2 + y2
 = 0 pois o denominador vai a ∞ e a expressão é 
sempre positiva.
 →
(x, y) → (+∞, 3)
lim
 
5x2
x2 + y2
 = 
(x, y) → (+∞, +∞)
lim
 x2 1 + y
2
x2
5x2
 = 5, pois y
2
x2
 → 0
exercício 4
Calcule:
a. (x, y) → (+∞, 2)
lim
5x3
x2 + y2
b. (x, y) → (+∞, 2)
lim
5x2
x4 + y2
c. (x, y) → (+∞, 2)
lim
-2x3 - 3y
x3 + y2
 (1 ponto)
d. (x, y) → (+∞, +∞)
lim arctg(x + y)
Cálculo II / Exercícios 5
Funções contínuas
Uma função f é contínua em (a, b) se ela está definida em (a, b), tem limi-
te quando (x, y) → (a, b) e vale 
(x, y) → (a, b)
lim f(x, y) = f(a, b).
Exemplo:
Seja f(x, y) = x
4 - y4
x - y
 se x ≠ y
 = L se x = y
a. Calcule (x, y) → (2, 1)
lim f(x, y)
b. Para que valor de L a função é contínua em (1, 1)?
c. Para este valor de L a função é contínua em (3, 3)?
Solução:
a. O limite pode ser calculado diretamente:
(x, y) → (2, 1)
lim
 
f(x, y) = 2
4 - 14
2 - 1
 = 
16 -1
1
 = 15
b. Diretamente teríamos uma indeterminação.
(x, y) → (1, 1)
lim
 
f(x, y) = 
(x, y) → (1, 1)
lim
 
(x - y)(x3 + x2y + xy2 + y3)
x - y
 =
(x, y) → (1, 1)
lim
 
(x3 + x2y + xy2 + x3) = 4 ⋅ 1 = 4
Assim f será contínua em (1, 1) se 
(x, y) → (1, 1)
lim
 
f(x, y) = 4 = f(1, 1). 
Logo f será contínua em (1, 1) se L = 4.
c. 
(x, y) → (3, 3)
lim
 
f(x, y) = 
(x, y) → (3, 3)
lim
 
(x - y)(x3 + x2y + xy2 + y3)
x - y
 =
(x, y) → (3, 3)
lim
 
(x3 + x2y + xy2 + x3) = 4 ⋅ 27 = 108
Neste caso 
(x, y) → (3, 3)
lim
 
f(x, y) = 108 ≠ 4 = L = f(3, 3). 
Logo f é descontínua em (3, 3).
Cálculo II / Exercícios 6
exercício 5 (2 pontos)
Seja f(x, y) = x
3 - y3
x - y
 se x ≠ y
 = L se x = y
a. Calcule (x, y) → (-1, 1)
lim f(x, y)
b. Para que valor de L a função é contínua em (0, 0)?
c. Para que valor de L a função é contínua em (2, 2)?
d. Para este valor de L, (item c) a função é contínua em (3, 3)?
Para calcularmos as derivadas parciais de uma função, assumimos que 
uma variável está fixada e derivamos em relação à outra. O gradiente 
de uma função num ponto é o vetor cujas coordenadas são as derivadas 
parciais da função no ponto.
Exemplo: 
Calcule as derivadas parciais até ordem 2 da função f(x, y) = x4y + senx e o 
vetor gradiente em (0, 2).
Temos:
∂f 
∂x
 (x, y) = 4x3y + cosx ∂f 
∂y
 (x, y) = x4
∂2f 
∂x2
 (x, y) = 12x2y - senx ∂
2f 
∂y2
 (x, y) = 0
∂2f 
∂y∂x
 (x, y) = ∂
2f 
∂x∂y
 (x, y) = 4x3
Gradiente:
∇
→
f(x, y) = ∂f 
∂x
 (x, y), ∂f 
∂y
 (x, y) = (4x3y + cosx, x4)
∇
→
f(0, 2) = ∂f 
∂x
 (0, 2), ∂f 
∂y
 (0, 2) = (4 ⋅ 03 ⋅ 2 + cos0, 04) = (1, 0)
exercício 6
Calcule as derivadas parciais até ordem 2 da função f(x, y) = cosy + senx e 
o vetor gradiente em (0, 0).
Cálculo II / Exercícios 7
exercício 7 (2 pontos)
Calcule as derivadas parciais até ordem 2 da função f(x, y) = x4y + 
x
y
 e o 
vetor gradiente em (1, 1).
O vetor Gradiente é perpendicular às curvas de nível para funções de duas 
variáveis e perpendicular às superfícies de nível para funções de 3 variáveis.
Veja o exemplo abaixo:
Achar a reta normal e o plano tangente ao elipsoide 
x2
4
 + y
2
1
 + 8z2 = 1 
no ponto de coordenadas  1, 1
2
, 1
4
 .
Tomamos a função W(x, y, z) =  x
2
4
 + y2 + 8z2. 
O elipsoide é a superfície de nível 1 desta função. O vetor gradiente é per-
pendicular ao elipsoide em cada ponto.
Gradiente:
∇
→
W(x, y, z) = x
2
 i
→
 + 2yj
→
 + 16zk
→
 = 
x
2
 , 2y, 16z
∇
→
W 1, 1
2
 , 1
4
 = 
1
2
 i
→
 + j
→
 + 4k
→
 = 
1
2
 , 1, 4
Reta normal:
X(u) = P + u⋅v
→
 =
X(u) = 1, 1
2
 , 1
4
 + u 1
2
 , 1, 4 = 1 + u
2
 , 1
2
 + u, 1
4
 + 4u 
Plano tangente:
ax + by + cz + d = 0
1
2
 x + y + 4z + d = 0
Estamos usando um resultado de G.A. que afirma que o vetor (a, b, c) é 
perpendicular ao plano ax + by + cz + d = 0.
Cálculo II / Exercícios 8
Como o plano passa pelo ponto  1, 1
2
 ,1
4
  temos
1
2
 ⋅ 1 + 1
2
 + 4 ⋅ 1
4
 + d = 0 ⇒ d = -2
Plano tangente:
1
2
 x + y + 4z - 2 = 0
exercício 8
Achar a reta normal e o plano tangente ao elipsoide 
x2
1
 + y
2
9
 + z
2
9
 = 1 
no ponto de coordenadas  
1
3
, 1, 7 .
A Regra da Cadeia é uma técnica de derivação importante. Reveja as fór-
mulas na videoaula 4.
Exemplo:
A temperatura em uma superfície é dada por T = f(x, y). Uma partícula se 
desloca sobre esta superfície pela curva γ(t) = (t2, t3).
Determine a taxa de variação de temperatura, sofrida por esta partícula, 
no instante t = 1, sabendo-se que 
∂T
∂x
 (1, 1) = 5 e 
∂T
∂y
 (1, 1) = 2.
Observe que não sabemos a fórmula explícita de T.
γ(t) = (t2, t3) ⇒ γ(1) = (1, 1) e γ'
→
(t) = (2t, 3t2) ⇒ γ'
→
(1) = (2, 3)
∇f(1,1) = ∂f 
∂x
 (1, 1), ∂f 
∂y
 (1, 1) = (5, 2)
Daí dT
dz
 (1) = (5,2)⋅(2,3) = 10 + 6 = 16
exercício 9 (2 pontos)
A temperatura em uma superfície é dada por T = f(x, y). Um besouro se 
desloca sobre esta superfície pela curva γ(t) = (5t + 1, t2).
Cálculo II / Exercícios 9
Sabe-se que 
∂T
∂x
 (6,1) = -5 e 
∂T
∂y
 (6, 1) = 4. Determine se no instante 
t = 1 a temperatura no besouro está aumentando ou diminuindo.
exercício 10
Seja z = 2x2 + y, onde x = s2 - 3t e y = s⋅t2 (veja os slides 24 e 25 da aula 4).
a. Calcule 
∂z
∂s
 (s, t) e 
∂z
∂t
 (s, t)
b. Calcule 
∂z
∂s
 (1, 1) e 
∂z
∂t
 (1, 1)
Cálculo II / Exercícios 10
GABARITO
exercício 1
a. f(x, y) = k ⇔ 7 - x2 - y2 = k ⇔ x2 + y2 = 7 - k.
k > 7 ⇒ as curvas de nível são vazias;
k = 7 ⇒ a curva de nível é um ponto: (0, 0);
k < 7 ⇒ as curvas de nível são circunferências de centro na origem, 
(0, 0) e raio 7 - k .
b. f(x, y) = k ⇔ 
x2
4
 + 
y2
9
 = k.
k < 0 ⇒ as curvas de nível são vazias;
k = 0 ⇒ a curva de nível é um ponto: (0, 0);
k > 0 ⇒ as curvas de nível são 
x2
4k
 + 
y2
9k
 = 1, isto é, elipses de centro 
na origem, (0, 0) e eixos 4 k 6 k .
c. f(x, y, z) = k ⇔ 1 - x2 - y2 - z2 = k ⇔ x2 + y2 + z2 = 1 - k
k > 1 ⇒ as superfícies de nível são vazias;
k = 1 ⇒ a superfície de nível é um ponto: (0, 0, 0);
k < 1 ⇒ as superfícies de nível são esferas de centro na origem, 
(0, 0, 0) e raio 1 - k .
(1 ponto)
exercício 2
a. 
(x, y) → (1, 1)
lim
x3 + x2y + xy2 + 3x
x3 - y + 2
 = 
1 + 1 + 1 + 3
1 - 1 + 2
 = 3
b. 
(x, y) → (1, 1)
lim
1
x2 + y2
 = 
1
1 + 1
 = 
1
2
c. 
(x, y) → (1, 1)
lim = sen 
 
(2x + y) 
π
2 
 = sen 3π
2
 = -1
d. 
(x, y) → (3, 1)
lim
x3 - y3
x - y
 = 
27 - 1
3 - 1
 = 
26
2
 = 13 (1 ponto)
Cálculo II / Exercícios 11
e. 
(x, y) → (3, 3)
lim
x3 - y3
x - y
 = 
(x, y) → (3, 3)
lim
(x - y)(x2 + xy + y2)
x - y
 = 
(x, y) → (3, 3)
lim (x2 + xy + y2) = 
= 3 ⋅ 9 = 27
f. 
(x, y) → (0, 0)
lim
x3y - y2x2
x2y
 = 
(x, y) → (0, 0)
lim
x2y(x - y)
x2y
 = 
(x, y) → (0, 0)
lim (x - y) = 0 (1 ponto)
exercício 3
a. 
(x, y) → (0, 0)
lim
(x2 + 3)sen(5x + y)
(xy + 2)(5x + y)
 = 
3
2
 , pois (x, y) → (0, 0)
lim
x2 + 3
xy + 2
 = 
3
2
 e  
 
(x, y) → (0, 0)
lim
sen(5x + y)
5x + y
 = 
z → 0
lim
sen(z)
z
 = 1
b. 
(x, y) → (0, 0)
lim
3x2 - 4y2
6x2 + 2y2
 não existe, pois 
(x, 0) → (0, 0)
lim
3x2 - 4⋅02
6x2 + 2⋅02
 = 
(x, 0) → (0, 0)
lim
3x2
6x2
 = 
1
2
 
 
e 
(0, y) → (0, 0)
lim
3⋅02 - 4y2
6⋅02 + 2y2
 = 
(0, y) → (0, 0)
lim
-4y2
2y2
 = -2
c. 
(x, y) → (0, 0)
lim
xy
x2 + y2
 não existe, pois 
(x, 0) → (0, 0)
lim
x⋅0
x2 + 02
 = 0 e 
(x, x) → (0, 0)
lim
x⋅x
x2 + x2
 = 
1
2
exercício 4
a. 
(x, y) → (+∞, 2)
lim
5x3
x2 + y2
 = 
(x, y) → (+∞, 2)
lim
 x2 1 + x
2
y2
5x2⋅x
 = 
(x, y) → (+∞, 2)
lim
 1 + y
2
x2
5x
 = +∞
b. 
(x, y) → (+∞, 2)
lim
5x2
x4 + y2
 = 
(x, y) → (+∞, 2)
lim
 x4 1 + y
2
x4
5x2
 = 
(x, y) → (+∞, 2)
lim
 x2 1 + y
2
x4
5
 = 0
c. 
(x, y) → (+∞, 2)
lim
-2x3 - 3y
x3 + y2
 = 
(x, y) → (+∞, 2)
lim
-2x3 1 - 3y
2x3
x3 1 + y
2
x3
 =
= 
(x, y) → (+∞, 2)
lim
-2 1 - 3y
2x3
1 + y
2
x3
 = -2 (1 ponto)
Cálculo II / Exercícios 12
d. 
(x, y) → (+∞, +∞)
lim arctg(x + y) = 
π
2
 pois 
z → +∞
lim arctg(z) = 
π
2
exercício 5 (2 pontos)
a. 
(x, y) → (-1, 1)
lim
x3 - y3
x - y
 = 
(-1)3 - 13
-1 - 1
 = 
-2
-2
 = 1
b. 
(x, y) → (0, 0)
lim
x3 - y3
x - y
 = 
(x, y) → (0, 0)
lim
(x - y)(x2 + xy + y2)
x - y
 = 
(x, y) → (0, 0)
lim (x2 + xy + y2) = 0
Logo f será contínua em (0, 0) para L = 0.
c. 
(x, y) → (2, 2)
lim
x3 - y3
x - y
 = 
(x, y) → (2, 2)
lim
(x - y)(x2 + xy + y2)
x - y
 = 
(x, y) → (2, 2)
lim (x2 + xy + y2) = 
= 3 ⋅ 4 = 12
Logo f será contínua em (2, 2) para L = 12.
d. 
(x, y) → (3, 3)
lim
x3 - y3
x - y
 = 
(x, y) → (3, 3)
lim
(x - y)(x2 + xy + y2)
x - y
 = 
(x, y) → (3, 3)
lim (x2 + xy + y2) = 
= 3 ⋅ 9 = 27
Logo f não será contínua em (3, 3).
exercício 6
∂f 
∂x
 (x, y) = cosx ∂f 
∂y
 (x, y) = -seny
∂2f 
∂x2
 (x, y) = - senx ∂
2f 
∂y2
 (x, y) = -cosy
∂2f 
∂y∂x
 (x, y) = ∂
2f 
∂x∂y
 (x, y) = 0
Gradiente:
∇
→
f(x, y) = ∂f 
∂x
 (x, y), ∂f 
∂y
 (x, y) = (cosx, -seny)
∇
→
f(0, 0) = ∂f 
∂x
 (0, 0), ∂f 
∂y
 (0, 0) = (cos0 + -sen0) = (1, 0)
Cálculo II / Exercícios 13
exercício 7 (2 pontos)
∂f 
∂x
 (x, y) = 4x3y + 1
y
 
∂f 
∂y
 (x, y) = x4 - x
y2
∂2f 
∂x2
 (x, y) = 12x2y ∂
2f 
∂y2
 (x, y) = 2 x 
y3
∂2f 
∂y∂x
 (x, y) = ∂
2f 
∂x∂y
 (x, y) = 4x3 - 1
y2
Gradiente:
∇
→
f(x, y) = ∂f 
∂x
 (x, y), ∂f 
∂y
 (x, y) = 4x3y + 1
y
 , x4 - x
y2
∇
→
f(1, 1) = ∂f 
∂x
 (1, 1), ∂f 
∂y
 (1, 1) = 4⋅13⋅1 + 1
1
 , 14 - 1
12
 = (5, 0)
exercício 8
Tomamos a função W(x, y, z) = x2 + y
2
9
 + z
2
9
O elipsoide é a superfície de nível 1 desta função. O vetor gradiente é per-
pendicular ao elipsoide em cada ponto.
Gradiente:
∇
→
W(x, y, z) = 2xi
→
 + 
2
9
 yj
→
 + 
2
9
 zk
→
 = 2x , 2
9
 y, 2
9
 z
∇
→
W 1
3
 , 1, 7 = 2
3
 , 2
9
 , 2 7
9
 
Reta normal:
X(u) = P + u⋅v
→
 =
X(u) = 1
3
 , 1, 7 + u 2
3
 , 2
9
 , 2 7
9
 = 
1
3
 + 
2u
3
 , 1 + 2u
9
, 7 + 2 7
9
 u 
Plano tangente:
ax + by + cz + d = 0
Cálculo II / Exercícios 14
2
3
 x + 2
9
 y + 2 7
9
 z + d = 0
Como o plano passa pelo ponto  
1
3
 , 1, 7  temos
2
3
 ⋅ 
1
3
 + 
2
9
 ⋅ 1 + 2 7
9
 ⋅ 7 + d = 0 ⇒ d = -2
Plano tangente:
2
3
 x + 2
9
 y + 2 7
9
 z - 2 = 0
exercício 9 (2 pontos)
γ(t) = (5t + 1, t2) ⇒ γ(1) = (6, 1) e γ'
→
(t) = (5, 2t) ⇒ γ'
→
(1) = (5, 2)
∇f(6, 1) = ∂f 
∂x
 (6, 1), ∂f 
∂y
 (6, 1) = (-5, 4)
Daí dT
dz
 (1) = (-5, 4)⋅(5, 2) = -25 + 8 = -17
A temperatura está diminuindo a uma taxa de 17 unidades de temperatu-
ra por unidade de tempo.
exercício 10
a. 
∂z
∂s
 = 
∂z
∂x
⋅
∂x
∂s
 + 
∂z
∂y
⋅
∂y
∂s
 = 4x⋅2s + 1t2 = 4(s2 - 3t)2s + t2 = 
 = 8s3 - 24ts + t2
 
∂z
∂t
 = 
∂z
∂x
⋅
∂x
∂t
 + 
∂z
∂y
⋅
∂y
∂t
 = 4x(-3) + 1⋅2st = -12s2 + 36t + 2st
b. 
∂z
∂s
 (1, 1) = 8⋅13 - 24⋅1⋅1 + 12 = -15
 
∂z
∂t
 (1, 1) = -12⋅12 + 36⋅1 + 2⋅1⋅1 = 26