Controle Linear - Volume 1 - Sistemas Contínuos no Tempo

Prévia do material em texto

Edvaldo 
ASSUNÇÃO 
VOLUME 
Marcelo C. M. 
TEIXEIRA 
CONTROLE LINEAR 
Sistemas Contínuos e Discretos no Tempo 
1 
 
 
 
 
CONTROLE LINEAR 
Sistemas Contínuos e Discretos no Tempo 
 
VOLUME 1 
Sistemas Contínuos no Tempo 
Prof. Dr. Edvaldo Assunção 
Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA 
Laboratório de Pesquisa em Controle 
 
2018 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os autores desejam agradecer ao aluno Pierre Goebel, que em uma tarde de verão decidiu digitar 
toda apostila de forma voluntária e com o prazer de proporcionar uma leitura agradável aos demais 
alunos. 
 
Agradecem também ao Eng. Bruno Sereni que elevou esse material à excelência didática por seu 
brilhantismo e vocação natural para arte de uma docência inovadora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Muito obrigado Bruno e Pierre! 
 
 
 
PREFÁCIO 
O Material 
Esta apostila foi elaborada com o intuito de ser um material complementar aos estudos da teoria de 
controle, na disciplina Controle Linear I, ministrada no curso de Engenharia Elétrica da Faculdade de Engenharia 
de Ilha Solteira, FEIS-UNESP. 
Aqui, são abordados os fundamentos da teoria de controle de sistema lineares e contínuos no tempo, 
através do conceito de realimentação de sistemas. São discutidos o conceito de estabilidade de um sistema, os 
métodos para avaliar a condição de estabilidade de um sistema, e métodos para o projeto de controladores. 
Abordam-se, também, os conceitos de função de transferência de sistemas e da representação de sistemas 
através de diagrama de blocos. Um foco especial é dado ao estudo da resposta transitória de sistemas de 1ª e 2ª 
ordem e ao projeto de controladores utilizando o método do lugar das raízes, visando garantia da estabilidade e 
atendimento a critérios de desempenho. 
Nos apêndices desta apostila são apresentados os roteiros para as aulas práticas previstas na ementa da 
disciplina de Controle Linear I. Os experimentos visam embasar os conceitos teóricos apresentados, aperfeiçoar 
a formação dos alunos, além de, especialmente, promover estímulo e motivação para o contínuo aprendizado ao 
longo do curso. 
 
Os Autores 
 
Edvaldo Assunção é Professor Adjunto da Universidade Estadual Paulista Júlio de 
Mesquita Filho. Possui graduação em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual 
Paulista Júlio de Mesquita Filho (1989), mestrado em Engenharia Eletrônica e 
Computação pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (1991) e doutorado em 
Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Campinas (2000). Tem experiência 
na área de Engenharia Elétrica, com ênfase em Teoria de Controle e Automação 
Eletrônica, atuando principalmente nos seguintes temas: LMIs, controle ótimo e 
robusto H2 e H∞ e controle linear. É membro pesquisador do Grupo de Pesquisa 
Sistemas de Controle e Automação, cadastrado no Diretório de Grupos de Pesquisa no 
Brasil - CNPq. 
 
Marcelo Carvalho Minhoto Teixeixa é Professor Titular do Departamento de 
Engenharia Elétrica da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira (FEIS) da Universidade 
Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho (UNESP), onde atua desde 1982. Possui 
graduação em Engenharia Elétrica pela Escola de Engenharia de Lins (1979), mestrado 
em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (1982) e doutorado 
em Engenharia Elétrica pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (1989). 
Adicionalmente, fez um estágio de Pós-doutoramento na Purdue University, nos Estados 
Unidos, em 1996 e 1997. Tem experiência na área de Engenharia Elétrica, com ênfase em 
Teoria de Sistemas de Controle e Automação, atuando principalmente nos seguintes 
temas: controle com modelos fuzzy Takagi-Sugeno, LMIs, controle com estrutura 
variável, controle adaptativo, controle não-linear, controle com redes neurais, controle 
linear, controle clássico e aplicações de controle automático. 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 5 
1.1 CONCEITOS BÁSICOS EM CONTROLE ........................................................................................................ 6 
2 CLASSIFICAÇÃO E LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS ............................................................... 11 
2.1 SISTEMAS LINEARES........................................................................................................................... 12 
2.2 LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS ................................................................................................................ 21 
2.3 LINEARIZAÇÃO ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ............................................................................... 27 
2.4 LINEARIZAÇÃO EXATA POR REALIMENTAÇÃO ............................................................................................ 29 
3 TRANSFORMADA DE LAPLACE ........................................................................................ 31 
3.1 DEFINIÇÃO ..................................................................................................................................... 32 
3.2 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE .................................................................................... 35 
3.3 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ................................................................................................... 40 
3.4 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO ................................................... 49 
4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ......................................................................................... 53 
4.1 DEFINIÇÃO ..................................................................................................................................... 54 
4.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CIRCUITOS COM AMPLIFICADOR OPERACIONAL (A.O.) ........................................ 63 
4.3 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM SISTEMA ROTACIONAL MECÂNICO ............................................................ 71 
4.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE UM MOTOR DE CORRENTE CONTÍNUA ............................................................ 72 
5 DIAGRAMA DE BLOCOS .................................................................................................. 76 
5.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 77 
5.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE MALHA FECHADA ..................................................................................... 78 
5.3 MANIPULAÇÃO NO DIAGRAMA DE BLOCOS ............................................................................................... 81 
5.4 SIMPLIFICAÇÃO DE DIAGRAMA DE BLOCOS COM O MATLAB ........................................................................ 90 
6 MODELO EM DIAGRAMA DE FLUXO DE SINAL .................................................................. 92 
6.1 DIAGRAMA DE FLUXO DE SINAL ............................................................................................................ 93 
7 ESTABILIDADE DE SISTEMAS DINÂMICOS ......................................................................... 99 
7.1 DEFINIÇÃO DE ESTABILIDADE ............................................................................................................. 100 
7.2 CRITÉRIO DE BIBO ESTABILIDADE ....................................................................................................... 104 
7.3 O CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ ................................................................................. 111 
7.4 PROJETO DE CONTROLADORES ATRAVÉS DO MÉTODO DE ROUTH-HURWITZ ..................................................... 114 
7.5 ESTABILIDADE RELATIVA ...................................................................................................................118 
 
 
 
 
8 RESPOSTA TRANSITÓRIA DE SISTEMAS DE 1ª E 2ª ORDEM .............................................. 128 
8.1 ENTRADA DEGRAU ......................................................................................................................... 129 
8.2 RESPOSTA TRANSITÓRIA DE SISTEMA DE 1ª ORDEM .................................................................................. 129 
8.3 RESPOSTA TRANSITÓRIA DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM ................................................................................. 133 
8.4 RESPOSTA TRANSITÓRIA × LOCALIZAÇÃO DOS POLOS NO PLANO-S .............................................................. 143 
8.5 RESPOSTA AO DEGRAU DE SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR ......................................................................... 147 
8.6 RESPOSTA TRANSITÓRIA USANDO O MATLAB ....................................................................................... 150 
8.7 ÍNDICES DE DESEMPENHO ITAE, ISE, IAE .............................................................................................. 152 
9 ERRO DE REGIME PERMANENTE .................................................................................... 155 
9.1 EXEMPLOS DE ERRO DE REGIME PERMANENTE ......................................................................................... 156 
9.2 ANÁLISE DE ERROS DE REGIME PERMANENTE .......................................................................................... 158 
10 SINAIS DE PERTURBAÇÃO EM SISTEMAS DE CONTROLE .................................................. 166 
10.1 SINAIS DE PERTURBAÇÃO .................................................................................................................. 167 
11 MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES .................................................................................. 173 
11.1 DEFINIÇÃO DE ROOT-LOCUS ............................................................................................................. 174 
11.2 AS REGRAS DO ROOT-LOCUS ............................................................................................................ 177 
11.3 PROJETO DE CONTROLADORES UTILIZANDO ROOT-LOCUS ......................................................................... 193 
11.4 TÉCNICA DE CANCELAMENTO DE POLOS E ZEROS ...................................................................................... 201 
11.5 OBTENDO O ROOT-LOCUS ATRAVÉS DO MATLAB ................................................................................... 204 
APÊNDICE A – LABORATÓRIO 1: INTRODUÇÃO AO MATLAB .................................................... 210 
APÊNDICE B – LABORATÓRIO 2: INTRODUÇÃO À ROBÓTICA ................................................... 236 
APÊNDICE C – LABORATÓRIO 3: CONTROLE DE MOTOR C.C.................................................... 239 
APÊNDICE D – LABORATÓRIO 4: PROJETO E IMPLEMENTAÇÃO DE CONTROLADORES USANDO A 
TÉCNICA DO LUGAR DAS RAÍZES PARA O SISTEMA BALL BALANCER......................................... 242 
APÊNDICE E – LABORATÓRIO 5: RESPOSTA TRANSITÓRIA DE SISTEMAS DINÂMICOS E ERROS DE 
REGIME PERMANENTE ........................................................................................................... 255 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA ........................................................................................................... 261 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 - Introdução 
1 Introdução 
 
 INTRODUÇÃO 
CAPÍTULO 
1 
Neste Capítulo... 
Iremos dar início ao estudo na busca de compreender o que é e como 
controlar um sistema. Veremos, também, a ideia de como representar 
um sistema através de seu modelo matemático, e apresentaremos um 
conceito fundamental da teoria de controle: a realimentação. 
 
 
Controle está 
em toda parte 
Não é difícil pensar em 
situações do dia-a-dia 
nas quais usamos os 
conceitos relacionados à 
teoria de controle. Por 
exemplo, quando 
dirigimos um carro nós 
realizamos o controle da 
velocidade ao medi-la 
através do velocímetro. 
Então, a partir desta 
medida, decidimos se 
devemos pisar mais no 
acelerador, ou se 
devemos tirar o pé, para 
que a velocidade que 
desejamos seja atingida. 
Este é o preceito básico 
de realimentação, algo 
que discutiremos em 
detalhes neste capítulo. 
R
o
b
er
to
 N
ic
k
so
n
 –
 U
n
sp
la
sh
 (
C
C
0
) 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 6 
1.1 Conceitos Básicos em Controle 
 
A engenharia diz respeito ao conhecimento e ao controle de materiais e forças da natureza 
para o benefício da humanidade. Dizem respeito aos engenheiros de sistemas de controle 
o conhecimento e controle de segmentos à sua volta, chamados de sistemas, com a 
finalidade de dotar a sociedade de produtos úteis e econômicos. Os objetivos duplos de 
conhecimento e controle são complementares, uma vez que o controle efetivo de sistemas 
requer que os sistemas sejam compreendidos e modelados. Além disso, a engenharia de 
controle deve considerar muitas vezes o controle de sistemas mal conhecidos, como 
sistemas de processos químicos. O presente desafio ao engenheiro de controle é a 
modelagem e o controle de sistemas modernos, complexos e interligados, como sistemas 
de controle de tráfego, processos químicos, sistemas robóticos e automação industrial e 
controla-los em benefício da sociedade. 
Um sistema de controle é uma interconexão de componentes formando uma 
configuração de sistemas que produzirá uma resposta desejada do sistema. A base para 
análise de um sistema é formada pelos fundamentos fornecidos pela teoria dos sistemas 
lineares, que supõe uma relação de causa e efeito para os componentes de um sistema. 
Apresentamos a seguir uma definição de sistema. 
Sistema: é qualquer coisa que interage com o meio ambiente, recebendo deste 
informações ou ações chamadas entradas ou excitações e reagindo sobre ele dando uma 
resposta ou saída. Isto está sintetizado na figura abaixo: 
 
Figura 1.1 Representação de um sistema e da relação entrada-saída. 
Geralmente, u(t) e y(t) são relacionados matematicamente através de uma equação 
diferencial. 
 Exemplos de sistemas: i) um avião cuja entrada é o combustível e a saída é seu 
deslocamento, ii)uma caldeira cujas entradas são ar e combustível e a saída é a 
temperatura da água, iii) um automóvel cuja entrada é o ângulo do acelerador e a saída é 
a velocidade do automóvel, iv) o rastreador solar cuja entrada é a posição relativa do sol 
e a saída é a posição angular das placas conversoras de energia solar. 
 O modelo matemático de um sistema é muito importante (fundamental) para o 
projeto de controle automático. O modelo de um sistema é a relação entre a entrada u(t) 
e a saída y(t) do sistema. O modelo pode ser obtido usando-se leis físicas, por exemplo, 
leis de Newton, leis de Kirchoff, etc. Ou então usando-se metodologias experimentais, com 
por exemplo respostas transitórias, respostas em frequência etc. 
 
 
 
 
 7 
CAPÍTULO 1 – Introdução 
O controle de um sistema baseia-se em medir uma variável de interesse do sistema 
e, a partir desta leitura, atuar sobre o mesmo de forma a conduzir o valor medido até um 
certo valor desejado. Um fundamento básico da teoria de controle é o uso da 
realimentação. Através de exemplos, iremos introduzir o conceito de realimentação. 
Exemplo 1.1 Considere o seguinte problema no qual uma pessoa deseja aquecer o 
interior de uma sala, tendo em vista que a temperatura externa é 0 °C. Para isto ele dispõe 
de um aquecedor superdimensionado e um termômetro para leitura da temperatura 
interna da sala. 
 
Figura 1.2 Problema de controle de temperatura. 
O objetivo de controle é manter a temperatura da sala em Ts=22 °C, mesmo na 
ocorrência de alguns eventos: abrir a porta, desligar o fogão etc. E que a pessoa possa 
dormir, isto é, que ela não precise se preocupar com o controle da temperatura. 
1ª Estratégia: o homem fecha a chave e então vaidormir. O sistema de controle 
pode ser esquematizado no seguinte diagrama: 
 
Figura 1.3 Diagrama de blocos do sistema de controle de temperatura em malha aberta. 
Neste caso temos que o sistema de controle é uma conexão série de três outros 
sistemas: HOMEM-CHAVE-AQUECEDOR. Esta configuração é chamada de sistema de 
malha aberta. 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 8 
 O resultado é que a temperatura da sala irá crescer indefinidamente se o aquecedor 
estiver superdimensionado e Ts >> 22 °C. Essa estratégia falhou. Neste caso: 
 
Figura 1.4 Comportamento da resposta Ts (°C) para a primeira estratégia de controle. 
2a estratégia: o homem lê o termômetro e usa a seguinte tática: 
 Se Ts  22 °C ele liga a chave 
 Se Ts > 22 °C ele desliga a chave 
Neste caso teremos: 
 
Figura 1.5 Comportamento da resposta Ts (°C) para a segunda estratégia de controle. 
Neste caso o homem não terá altas temperaturas, esta estratégia é melhor que a 1º 
porém, o homem não dormirá. O diagrama de blocos deste sistema de controle é: 
 
Figura 1.6 Diagrama de blocos do sistema de controle de temperatura em malha fechada. 
 
 
 
 
 9 
CAPÍTULO 1 – Introdução 
3a estratégia: controle automático usando um bimetal. 
 O bimetal é composto de dois metais com coeficientes de dilatação térmica 
diferentes. 
 
Figura 1.7 Princípio de funcionamento do bimetal. 
Vemos que o bimetal sofre deformações caso a temperatura esteja acima de um 
certo valor, que varia de bimetal para bimetal. No exemplo apresentado pela Figura 7 (a), 
vemos que quando a temperatura está abaixo de 22 °C, o bimetal curva-se para cima. Caso 
a temperatura do bimetal esteja acima de 22 °C, então o mesmo encurva-se para baixo. 
Este comportamento pode ser usado para realizar a automação do aquecedor, 
conforme mostra a Figura 1.7(b), onde o contato elétrico do circuito é fechado sempre 
que a temperatura estiver abaixo de 22 °C. 
O diagrama de blocos deste sistema de controle é: 
 
Figura 1.8 Diagrama de blocos do sistema de controle de temperatura em malha fechada sem intervenção do homem. 
Note que este é um sistema de malha fechada. 
 
Esta é a melhor tática, pois o homem poderá dormir e a temperatura da sala será 
mantida em Ts  22 °C. 
Fator de sucesso: a decisão é tomada após a comparação entre o que queremos e o 
realmente temos, ou seja, existe realimentação. 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 10 
 O esquema genérico de um sistema de malha fechada é: 
 
Figura 1.9 Representação gráfica de um sistema em malha fechada. 
Exemplo 1.2 sistema de controle biológico, consistindo de um ser humano que tenta 
apanhar um objeto. 
 
Figura 1.10 Sistema de controle biológico: apanhando um objeto com as mãos. 
O sistema de malha aberta tem as seguintes vantagens: 
i.) Simples construção; 
ii.) Mais barato que a malha fechada; 
iii.) Conveniente quando a saída é de difícil acesso ou economicamente não disponível. 
 
 E ter as seguintes desvantagens: 
i.) Distúrbios e variações na calibração acarretam erros e a saída pode ser diferente 
da desejada; 
ii.) Para manter a qualidade na saída é necessária uma recalibração periódica; 
iii.) Inviável para sistemas instáveis 
 
 
 
 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
2 Classificação e Linearização de Sistemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO E 
LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS 
CAPÍTULO 
2 
Controle de voo 
As equações diferenciais 
que regem a dinâmica de 
voo de um helicóptero 
militar de carga são não 
lineares. Entretanto, 
quando se objetiva 
desenvolver um controle 
de voo automático para 
uma máquina dessas, seu 
modelo matemático pode 
ser linearizado, e 
técnicas de controle 
linear podem ser 
aplicadas, tornando o 
projeto de controle mais 
simples. O renomado 
matemático russo 
Alexander M. Lyapunov 
(1857-1918) provou, a 
mais de 100 anos, a 
validade da estabilização 
de sistemas não lineares 
via modelos lineares 
obtidos a partir de 
linearização em torno de 
um ponto de operação 
(ou equilíbrio). 
Neste Capítulo... 
Veremos que os sistemas de interesse em controle podem ser 
classificados como lineares ou não lineares, de acordo com o 
princípio de superposição. Entretanto, veremos que com a técnica de 
linearização poderemos aplicar teoria de controle linear para 
controlar sistemas sistema não lineares. 
 
 
W
es
 C
al
d
er
 –
 D
ef
en
se
 I
m
ag
es
 -
 F
li
ck
r 
(C
C
 B
Y
-N
C
 2
.0
) 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 12 
2.1 Sistemas Lineares 
 
Seja o sistema abaixo, considerando com condições iniciais nulas, I.C.=0. Em um 
sistema físico isto equivale a dizer que o sistema não possui energia armazenada em t=0 
(o sistema estará em repouso). 
 
Figura 2.1 Sistema com condições iniciais nulas. 
 Suponha que a entrada u(t)= u1(t) gera a saída y(t)=y1(t) e que a entrada u(t)=u2(t) 
gera a saída y(t)=y2(t), tal como mostra a Figura 2.2. 
 
Figura 2.2 Representação do sistema com condições iniciais nulas para duas entradas distintas. 
A partir das considerações apresentadas, podemos agora definir o conceito de 
sistema linear. 
 
Princípio de Superposição 
 Se a entrada u(t)= u1(t) gera a saída y(t)=y1(t), se a entrada u(t)=u2(t) gera a saída 
y(t)=y2(t) e se aplicarmos no sistema uma combinação linear das entradas u1(t) e u2(t), 
ou seja, u(t)=u1(t)+u2(t) a saída y(t) será a mesma combinação linear das saídas y1(t) 
e y2(t), ou seja, y(t)=y1(t)+y2(t),   e . 
 
Figura 2.3 Representação do princípio de superposição. 
 Desta forma, para verificar se um sistema é linear aplica-se o Princípio da 
Superposição. 
Definição: um sistema é dito linear em termos da sua excitação u(t) (entrada) e sua 
resposta y(t) (saída) se o princípio de superposição for “respeitado” pelo sistema. 
 
 
 
 
 13 
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas 
Exemplo 2.1: Verifique se o sistema y(t)=a∙u(t) é linear. 
 
Figura 2.4 Representação do sistema y(t)=a∙u(t). 
Solução: Para verificar se o sistema é linear, utilizaremos o princípio da superposição, 
supondo a existência de duas entradas distintas, 
u(t)= u1(t) e u(t)=u2(t), e em seguida aplicando a 
seguinte combinação linear: 
𝑢(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑢1(𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2(𝑡) 
no sistema 𝑦(𝑡) = 𝑎 ∙ 𝑢(𝑡). Na Figura 2.5, temos 
uma representação gráfica deste sistema. 
 
Seguindo o raciocínio apresentado, temos: 
 Para 𝑢1(𝑡) tem-se 𝑦1(𝑡) = 𝑎 ∙ 𝑢1(𝑡) (2.1) 
 Para 𝑢2(𝑡) tem-se 𝑦2(𝑡) = 𝑎 ∙ 𝑢2(𝑡) (2.2) 
 Para 𝑢(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑢1(𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2(𝑡) tem-se 𝑦(𝑡) = 𝑎[𝛼 ∙ 𝑢1(𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2(𝑡)] 
 Ainda, 𝑦(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑎 ∙ 𝑢1(𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑎 ∙ 𝑢2(𝑡)] (2.3) 
 Substituindo (2.1) e (2.2) em (2.3) tem-se: 
𝑦(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑦1(𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑦2(𝑡) 
 Portanto o princípio da superposição foi respeitado, logo o sistema em questão é 
linear. 
Exemplo 2.2: Verifique se o sistema dado por y(t)= a∙u(t)+b é linear ou não. 
 
Figura 2.6 Representação do sistema y(t)=a∙u(t)+b. 
Figura 2.5 Característica de saída do sistema y(t)=a∙u(t). 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 14 
Solução: De forma análoga ao realizado no Exemplo 2.1, vamos observar se o sistema em 
questão respeita o princípio de superposição. 
Considerando, então, duas entradas distintas, 
temos: 
𝑢1(𝑡) ⇒ 𝑦1(𝑡) = 𝑎 ∙ 𝑢1(𝑡) + 𝑏 ⇒ 𝑢1(𝑡) =
𝑦1(𝑡)−𝑏
𝑎
 
e, 
𝑢2(𝑡) ⇒ 𝑦2(𝑡) = 𝑎 ∙ 𝑢2(𝑡) + 𝑏 ⇒ 𝑢2(𝑡) =
𝑦2(𝑡)−𝑏
𝑎
 
Agora, considerando uma entrada dada 
por uma combinação linear das entradas 
anteriormente apresentadas, obtém-se: 
 𝑢(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑢1(𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2(𝑡) ⇒ 𝑦(𝑡) = 𝑎[𝛼 ∙ 𝑢1(𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2(𝑡)] (2.6) 
Substituindo (2.4) e (2.5) em (2.6) tem-se: 
𝑦(𝑡) = 𝑎 [
𝛼(𝑦1(𝑡) − 𝑏)
𝑎
+
𝛽(𝑦2(𝑡)− 𝑏)
𝑎
] + 𝑏 
ou ainda, 
𝑦(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑦1(𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑦2(𝑡) + 𝑏(1 − 𝛼 − 𝛽) 
 Observe que (2.7) será igual a 𝑦(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑦1(𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑦2(𝑡) se, e somente se, 
b=0 
ou 
(1--)=0  =1- 
 Porém, no enunciado foi suposto que b0. Note que, assim, a expressão =1- 
restringe os valores de  e . Entretanto, vimos que para que seja um sistema seja linear 
é necessário que (𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑦1(𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑦2(𝑡),   e   , portanto concluímos que o 
sistema 
𝑦(𝑡) = 𝑎 ∙ 𝑢(𝑡) + 𝑏 
não é linear. 
Assim, a partir dos resultados obtidos nos Exemplos 2.1 e 2.2, podemos concluir 
que, equações lineares em suas respectivas variáveis, não necessariamente se encaixarão 
na definição de sistema linear apresentada. 
Figura 2.7 Característica de saída do sistema y(t)=a∙u(t)+b. 
(2.4) 
(2.5) 
(2.7) 
 
 
 
 15 
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas 
A figura ao lado resume as conclusões obtidas. 
Veja que ambas as retas são lineares em u(t), porém o 
termo b≠0 derruba o princípio de superposição para o 
sistema do Exemplo 2.2. 
Uma característica interessante de se observar é 
que b=0 implica no fato de que a reta y(t) 
necessariamente passa pela origem do plano. 
 
 
Exemplo 2.3: Mostre que o sistema chamado integrador eletrônico é linear. 
 
Figura 2.9 Sistema integrador eletrônico 
Solução: Ao avaliar o princípio de superposição, consideramos as seguintes entradas 
distintas: 
𝑢(𝑡) = 𝑢1(𝑡) ⇒ 𝑦1(𝑡) = ∫ 𝑢1(𝑡)𝑑𝑡
𝑡𝑓
0
 
𝑢(𝑡) = 𝑢2(𝑡) ⇒ 𝑦2(𝑡) = ∫ 𝑢2(𝑡)𝑑𝑡
𝑡𝑓
0
 
 Assim, uma entrada dada por uma combinação linear de 𝑢1(𝑡) e 𝑢2(𝑡) gera uma 
saída y(t) tal que 
𝑢(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑢1(𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2(𝑡) ⇒ 𝑦(𝑡) = ∫ [𝛼 ∙ 𝑢1(𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑢2(𝑡)]𝑑𝑡
𝑡𝑓
0
 
e, devido as propriedades lineares da integral, 𝑦(𝑡) pode ser reescrita como 
𝑦(𝑡) = 𝛼 ∙ (∫ 𝑢1(𝑡)𝑑𝑡
𝑡𝑓
0
) + 𝛽 ∙ (∫ 𝑢2(𝑡)𝑑𝑡
𝑡𝑓
0
) 
Substituindo (2.8) e (2.9) em (2.10) tem-se 
𝑦(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑦1(𝑡) + 𝛽 ∙ 𝑦2(𝑡) 
e, portanto, o sistema integrador eletrônico é um sistema linear. 
Figura 2.8 Sistemas definidos por retas não 
necessariamente enquadram-se no conceito de 
sistema linear 
(2.8) 
(2.9) 
(2.10) 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 16 
2.1 Determine se os sistemas a seguir são lineares. 
a) y(t) = 𝑢2(𝑡). 
b) y(t) =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑢(𝑡)). 
c) y(t) = cos(𝑢(𝑡)). 
d) y(t) =
1
𝑢(𝑡)
, 𝑢(𝑡) ≠ 0. 
e) y(t) = u(t). 
f) y(t) = 5∫ 𝑢(𝑡)𝑑𝑡 + 2
𝑑
𝑑𝑡
(𝑢(𝑡)).
𝑡𝑓
0
 
g) 𝑦(𝑡) = √𝑢(𝑡). 
h) 𝑦(𝑡) =
1
𝑢2(𝑡)
. 
i) y(t) = 10 ∙ u(t) + 22
𝑑
𝑑𝑡
(𝑢(𝑡)) + 3∫ 𝑢(𝑡)𝑑𝑡.
𝑡𝑓
0
 
 
Informações Complementares 
O circuito eletrônico que implementa o integrador utiliza amplificadores operacionais (A.O.). Tal 
circuito é representado abaixo. 
 
Figura 2.10 Circuito eletrônico que implementa o sistema integrador 
O amplificador operacional será alvo de estudos mais detalhados, uma vez que este possui um 
papel fundamental no desenvolvimento da teoria de controle. 
Exercícios 
Observação 
O sistema apresentado no Exercício 2.1-i) é um controlador industrial conhecido como 
controlador PID. O projeto de um controlador PID consiste em ajustar três parâmetros conhecidos 
como ganhos (Proporcional, Integral e Derivativo). Tal ajustes são feitos forma recursiva para 
fornecer a dinâmica desejada ao sistema que se deseja controlar. 
Devido a facilidade que apresenta para ser implementado, os PIDs são largamente utilizados 
na indústria. Iremos estudar em maiores detalhes o projeto de controladores PID no Volume 2 deste 
curso. 
 
 
 
 17 
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas 
Sistemas Dinâmicos 
Controle baseia-se no intento de garantir determinadas características de 
interesse aos mais diversos tipos de sistemas. Via de regra, os sistemas de interesse neste 
curso são sistemas dinâmicos, isto é, sistemas que apresentam comportamentos que 
variam durante sua operação. 
Esta classe de sistemas é facilmente encontrada nas mais diversas áreas e 
aplicações, como as máquinas elétricas em nas indústrias, os aviões-caça na área militar, 
ônibus espaciais na área da pesquisa espacial, as reações químicas no campo da biologia, 
o mercado de ações na área da economia, e assim por diante. 
De forma geral, os sistemas dinâmicos podem ser expressos por equações 
diferenciais da forma 
∑𝑎𝑖(𝑡)
𝑛
𝑖=0
𝑦𝑖(𝑡) =∑𝑏𝑗(𝑡)
𝑚
𝑗=0
𝑢𝑗(𝑡) 
sendo que, u(t) é a entrada do sistema, y(t) a saída do sistema, yi(t) denota a i-ésima 
derivada de y(t) e uj(t) denota a j-ésima derivada de u(t). 
Utilizando a estratégia baseada no princípio de superposição, podemos 
demonstrar que sistemas representados segundo a forma (2.11) são lineares. 
Suponha que para a entrada u(t)= u1(t) a solução de (2.11) proporciona y(t)=y1(t) 
e que para u(t)= u2(t)  y(t)= y2(t), temos: 
𝑢1(𝑡) ⇒∑𝑎𝑖(𝑡)
𝑛
𝑖=0
𝑦1
𝑖(𝑡) =∑𝑏𝑗(𝑡)
𝑚
𝑗=0
𝑢1
𝑗(𝑡) 
𝑢2(𝑡) ⇒∑𝑎𝑖(𝑡)
𝑛
𝑖=0
𝑦2
𝑖(𝑡) =∑𝑏𝑗(𝑡)
𝑚
𝑗=0
𝑢2
𝑗(𝑡) 
Para u(t)= u1(t)+u2(t), como  e  são constantes então uj(t)= u1j(t)+u2j(t), 
então obtém-se 
∑𝑎𝑖(𝑡)
𝑛
𝑖=0
𝑦𝑖(𝑡) =∑𝑏𝑗(𝑡)
𝑚
𝑗=0
[𝛼𝑢1
𝑗(𝑡) + 𝛽𝑢2
𝑗(𝑡)] 
ou ainda, 
∑𝑎𝑖(𝑡)
𝑛
𝑖=0
𝑦𝑖(𝑡) = 𝛼 (∑𝑏𝑗(𝑡)
𝑚
𝑗=0
𝑢1
𝑗(𝑡)) + 𝛽(∑𝑏𝑗(𝑡)
𝑚
𝑗=0
𝑢2
𝑗(𝑡)) 
 Mas, por (2.12) e (2.13), podemos reescrever (2.14) como 
(2.11) 
(2.12) 
(2.13) 
(2.14) 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 18 
∑𝑎𝑖(𝑡)
𝑛
𝑖=0
𝑦𝑖(𝑡) = 𝛼 (∑𝑎𝑖(𝑡)
𝑛
𝑖=0
𝑦1
𝑖(𝑡)) + 𝛽(∑𝑎𝑖(𝑡)
𝑛
𝑖=0
𝑦2
𝑖(𝑡)). 
E, lembrando que 𝛼 é uma constante, esta pode ser incluída nos somatórios, sem 
comprometer o resultado das operações. Assim, chega-se a 
∑𝑎𝑖(𝑡)
𝑛
𝑖=0
𝑦𝑖(𝑡) =∑𝑎𝑖(𝑡)
𝑛
𝑖=0
[𝛼𝑦1
𝑖(𝑡) + 𝛽𝑦2
𝑖(𝑡)]. 
 Por (2.15), podemos concluir que 𝑦𝑖(𝑡) = 𝛼𝑦1
𝑖(𝑡) + 𝛽𝑦2
𝑖(𝑡), logo o sistema é 
linear. 
Sistemas Lineares Variantes e Invariantes no Tempo 
Considerando a representação de sistemas dinâmicos através de equações 
diferenciais, tal como apresentamos anteriormente, podemos fazer algumas observações 
importantes a respeito dos elementos ai(t) e bj(t). Tais elementos são denominados 
parâmetros do sistema, e carregam as informações que descrevem o sistema. Com base 
na característica destes parâmetros, os sistemas apresentam diferentes dinâmicas. 
Quando todos os parâmetros ai(t) e bj(t) são constantes (isto é, para todo i=1, 2, ..., 
n e j=1, 2, ... , m), então temos um sistema linear e invariante no tempo (SLIT). Isso 
significa que as características do sistema não sofrem mudanças ao longo do tempo. Por 
exemplo, uma esfera caindo em queda livre sob ação da força gravitacional pode ser 
considerado como um SLIT, uma vez que a massa (parâmetro do sistema) não varia com 
o tempo. 
 Agora, caso algum dos parâmetros ai(t) e bj(t) sofram variações ao longo do tempo 
tempo (para algum i=1, 2, ... , n e/ou j=1, 2, ... , m), então temos um sistema linear 
variante no tempo (SLVT). Este tipo de sistema apresenta características que não se 
mantem constantes. Um foguete lançador de nave espacial é um SLVT, pois ao longo do 
lançamento sua massa sofre drástica diminuição a medida que o combustível do 
propulsor vai sendo consumido. 
 Vejamos, em maiores detalhes, estes exemplos de sistemas SLIT e SLVT. 
Exemplo 2.4: Sistema linear invariante no tempo (SLIT) 
O levitador magnético é um sistema físico muito interessante, cujo objetivo 
consiste em manter uma esfera suspensa no ar, através da compensação da força 
gravitacional por meio da ação de uma força de origem magnética. 
Isso é obtido por meio do uso de uma bobina elétrica que, ao ser percorrida por 
uma corrente elétrica, produzirá um campo magnético (𝐵) em seu interior e no espaço ao 
seu redor. 
Ao posicionar uma esfera de material ferromagnético, em uma posição 
suficientemente próxima à bobina, a ação do campo magnético induzuma força magnética 
(2.15) 
 
 
 
 19 
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas 
que tenderá a aproximar a esfera da bobina. A Figura 2.11 apresenta uma montagem que 
permite utilizar este fenômeno para a construção do levitador magnético. 
 Assim, podemos equacionar este sistema 
através da força resultante que atua sobre a esfera. 
Seja F(t) a força resultante que atua sobre a esfera. 
Sendo M a massa da esfera, g o módulo da aceleração 
gravitacional, 𝑓𝑚𝑎𝑔 o módulo da força magnética que 
atua sob a esfera e �̈�(𝑡) a aceleração resultante da 
esfera, temos 
𝐹(𝑡) = 𝑀𝑔 − 𝑓𝑚𝑎𝑔 = 𝑀�̈�(𝑡) 
Então, adotando a força resultante F(t) como 
entrada do sistema u(t) e considerando como saída 
y(t) a posição vertical da esfera, podemos descrever 
este sistema segundo 
�̈�(𝑡) =
1
𝑀
𝑢(𝑡) 
Podemos observar que a equação diferencial dada em (2.17) está na forma padrão 
que for apresentada anteriormente, isto é 
∑𝑎𝑖(𝑡)
𝑛
𝑖=0
𝑦𝑖(𝑡) =∑𝑏𝑗(𝑡)
𝑚
𝑗=0
𝑢𝑗(𝑡) 
pois, para n=2 e m=0, temos 
 
Portanto, como os parâmetros ai e bj são todos constantes no tempo, este é um 
SLIT. 
Exemplo 2.5: Sistema linear variante no tempo (SLVT) 
Analisaremos, agora, o exemplo do foguete lançador de nave espacial. O 
combustível é consumido durante o percurso e, portanto, a massa total do sistema varia 
ao longo do tempo. 
Para descrever este sistema, faremos uso de um modelo simplificado do problema, 
que aborda apenas as variáveis de interesse no momento. Para tanto, consideremos a 
Figura 2.11 Diagrama esquemático: levitador 
magnético 
(2.16) 
(2.17) 
(2.18) 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 20 
representação gráfica apresentada na Figura 2.12. 
 
Figura 2.12 Foguete lançador e seu modelo simplificado 
Na construção do modelo matemático do foguete lançador, descreveremos a força 
resultante em termos da variação do momento linear em relação ao tempo, ou seja: 
𝑓(𝑡) − 𝑓𝑔(𝑡) − 𝑓𝑎(𝑡) =
𝑑ℎ(𝑡)
𝑑𝑡
 
de forma que 
ℎ(𝑡) = 𝑚(𝑡) ∙ 𝑣(𝑡) 
onde 𝑚(𝑡) é a massa e 𝑣(𝑡) a velocidade. 
Seja 𝑢𝑟(𝑡) a força resultante, ou seja: 
𝑢𝑟(𝑡) = 𝑓(𝑡) − 𝑓𝑔(𝑡) − 𝑓𝑎(𝑡) 
Substituindo (2.19) e (2.20) em (2.21) temos: 
𝑢𝑟(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚(𝑡) ∙ 𝑣(𝑡)) =
𝑑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
∙ 𝑣(𝑡) + 𝑚(𝑡) ∙
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
 
ou ainda, 
𝑑𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
∙ �̇�(𝑡) + 𝑚(𝑡) ∙ �̈�(𝑡) = 𝑢𝑟(𝑡) 
 E, colocando a expressão (2.22) forma padrão para sistemas dinâmicos, observa-
se que 
(2.19) 
(2.20) 
(2.21) 
(2.22) 
 
 
 
 21 
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas 
 
Por (2.23), vemos que os parâmetros a1 e a2 são dependentes do tempo, ou seja, 
concluímos que, de fato, este é um SLVT. 
2.2 Descreva 5 sistemas que sejam SLIT e 5 sistemas que sejam SLVT. Não se esqueça 
de mostrar qual é a entrada e qual é a saída de cada sistema. 
2.3 Suponha que o sistema de deslocamento de um trem de metrô seja linear, e 
considere que o trem utiliza energia elétrica para se mover. Analisando o 
movimento entre uma estação e a próxima pode, este sistema classifica-se como 
SLIT ou SLVT? E se a análise for feita no movimento entre as duas estações 
extremas da linha? 
2.4 Demonstre a equação diferencial na forma padronizada do integrador eletrônico 
estudado neste capitulo, considerando que 
𝑦(𝑡) = −
1
𝑅𝐶
∫ 𝑢(𝑡)
𝑡𝑓
𝑜
 
é a expressão da saída y(t) fornecida pelo integrador. (Repare que a forma padrão 
é apresentada em termo apenas das derivadas da entrada e da saída do sistema). 
 
2.2 Linearização de Sistemas 
Na engenharia de controle, uma operação normal do sistema pode ser em torno do 
que chamamos de ponto de equilíbrio. Nestas condições, o sistema apresenta variações 
bem pequenas em seus sinais. 
Para entender melhor este conceito, imagine-se 
equilibrando uma vareta na palma de sua mão. É possível 
observar (se você for bom em equilibrar coisas) que uma 
vez colocada na posição vertical, você acaba precisando 
fazer apenas pequenas correções na posição de sua mão 
para mantê-la equilibrada. Note, também, que o ângulo 
que a vareta faz com a vertical sofre variações bem 
pequenas enquanto você a mantém equilibrada. Este 
sistema que acabamos de imaginar é chamado de 
pêndulo invertido (Figura 2.13), e é caracterizado como 
sendo não linear, e a posição em que a vareta faz 90° com 
a palma da sua mão (𝜃 = 0°) é um ponto de equilíbrio deste sistema. 
Figura 2.13 Sistema não linear: pêndulo invertido 
Exercícios 
(2.23) 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 22 
A grande questão é que se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e 
se os sinais envolvidos forem pequenos, então é possível aproximar o sistema não linear 
por um sistema linear, ou seja, linearizar o sistema. Assim, o sistema linear obtido é 
equivalente ao sistema não linear, considerado dentro de um conjunto limitado de 
operações. 
Existem várias formas de se obter um modelo linear de um sistema. O processo 
de linearização apresentado a seguir tem como base o desenvolvimento da função não 
linear em uma série de Taylor em torno de um ponto de operação e a retenção somente 
do termo linear. 
Como vimos, a linearização de um sistema não linear supõe que o sistema operará 
próximo de um ponto de equilíbrio, também chamado de ponto de operação (P.O.). 
Considere que o sistema: 
 
Figura 2.14 Sistema y(t)=f(x). 
opera próximo ao ponto de operação (P.O.): 
 
Expandindo y=f(x) em uma série de Taylor em torno deste ponto, teremos: 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)|𝑃.𝑂. + (
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥
|
𝑃.𝑂.
) (𝑥 − 𝑥𝑜) + (
𝜕2𝑓(𝑥)
𝜕𝑥2 
|
𝑃.𝑂.
)
(𝑥 − 𝑥𝑜)
2
2!
+ ⋯ 
sendo P.O.=(xo,yo), que é o ponto de operação do sistema. 
A suposição de que o sistema não linear irá operar em torno do P.O., implica que x 
ficará próximo de xo, logo (x-xo) será pequeno e quando elevado a 2, 3, ... será menor ainda, 
portanto: 
(𝑥 − 𝑥𝑜)
2
2!
≅ 0 ,
(𝑥 − 𝑥𝑜)
3
3!
≅ 0,⋯ 
Substituindo (2.25) em (2.24) tem-se: 
𝑦 ≅ 𝑓(𝑥)|𝑃.𝑂. + (
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥
|
𝑃.𝑂.
) (𝑥 − 𝑥𝑜) 
ou 
(2.24) 
(2.25) 
 
 
 
 23 
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas 
𝑦 ≅ 𝑓(𝑥𝑜) + (
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥
|
𝑥=𝑥𝑜
) (𝑥 − 𝑥𝑜) ⇒ 𝑦 = 𝑦𝑜 +𝑚𝛥𝑥 ⇒ 𝑦 − 𝑦𝑜 = 𝑚𝛥𝑥 
 
E, finalmente: 
Δ𝑦 = 𝑚Δ𝑥 
Note que (2.26) define um sistema linear, tal como verificamos no Exemplo 2.1. 
Na Figura 2.12, temos uma interpretação geométrica do procedimento de linearização 
descrito acima. 
 
Figura 2.15 Linearização em torno do ponto de operação P.O. 
Se tivermos uma função de várias variáveis: 
𝑦(𝑡) = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛) 𝑒 𝑃. 𝑂.= (𝑥1𝑜 , 𝑥2𝑜 , ⋯ , 𝑥𝑛𝑜 , 𝑦𝑜) 
a expansão em série de Taylor desprezando-se potências maiores que 1 é dada por: 
𝑦(𝑡) ≅ 𝑓(∙)|𝑃.𝑂.⏟ 
𝑦0
+ (
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
|
𝑃.𝑂.
)
⏟ 
𝑚1
(𝑥1 − 𝑥1𝑜) + (
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
|
𝑃.𝑂.
)
⏟ 
𝑚2
(𝑥2 − 𝑥2𝑜) + ⋯+ (
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
|
𝑃.𝑂.
)
⏟ 
𝑚𝑛
(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛𝑜) 
ou ainda, 
 𝑦 − 𝑦0⏟ 
Δ𝑦
≅ 𝑚1𝛥𝑥1 +𝑚2𝛥𝑥2 +⋯+𝑚𝑛𝛥𝑥𝑛. 
 
(2.26) 
𝒚𝒐 
𝒎 𝚫𝒙 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 24 
E, assim, 
Δ𝑦 = 𝑚1𝛥𝑥1 +𝑚2𝛥𝑥2 +⋯+𝑚𝑛𝛥𝑥𝑛 
que é um sistema linear. 
 
Exemplo 2.6: Linearize a função que corresponde ao momento (torque) que a massa m 
faz com relação ao ponto “P” do pêndulo simples abaixo. Linearizar em torno do ponto de 
operação  = 0. 
O momento é dado por: 
𝐼 = 𝐹 ∙ 𝑟 
Neste caso, a força perpendicular à alavanca 
(formada pela corda que prende a esfera ao ponto P) 
corresponde a componente da força peso dada por 
𝐹 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
E, o comprimento do braço de alavanca é dado pela 
extensão do fio. Logo, o momento pode ser reescrito tal 
como 
𝐼 = 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
Definimos, assim, uma função 𝑔(𝜃) tal que 
𝑔(𝜃) = 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
Como neste caso, o ponto de operação é =0, a expansão em série de Taylor, 
descartando os termos de ordem superior a 1, fornece:Figura 2.16 Diagrama do sistema 
pêndulo simples. 
Observação 
Se o cálculo de y0, m1, m2, ... , mn não for possível de ser realizado devido à ocorrência de 
divisão por zero, diz-se que o sistema não é linearizável em torno do P.O. em questão. 
Observação 
Note que 𝑔(𝜃) é não linear: 
𝜃 = 𝜃1 ⇒ 𝑠𝑒𝑛(𝜃1) e 𝜃 = 𝜃2 ⇒ 𝑠𝑒𝑛(𝜃2) 
𝜃 = 𝛼 ∙ 𝜃1 + 𝛽 ∙ 𝜃2 ⇒ 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ∙ 𝜃1 + 𝛽 ∙ 𝜃2) ≠ 𝛼 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃1) + 𝛽 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃2) 
Logo, este fato implicará na não linearidade de 𝑔(𝜃). 
 
 
 
 25 
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas 
𝑔(𝜃) ≅ 𝑔(𝜃)|𝜃=0 + (
𝜕𝑔(𝜃)
𝜕𝜃
|
𝜃=0
) (𝜃 − 0) 
mas, 
𝑔(𝜃)|𝜃=0 = 𝑚𝑔𝑙𝑠𝑒𝑛(0) = 0 
e, 
𝜕𝑔(𝜃)
𝜕𝜃
= 𝑚𝑔𝑙𝑐𝑜𝑠(𝜃) 
logo, 
𝜕𝑔(𝜃)
𝜕𝜃
|
𝜃=0
= 𝑚𝑔𝑙𝑐𝑜𝑠(0) = 𝑚𝑔𝑙 
Assim, substituindo (2.28) e (2.29) em (2.27), temos 
𝑔(𝜃) = 𝑚𝑔𝑙𝜃 
A Figura 2.17 apresenta a característica do sistema pêndulo simples e sua 
linearização em torno do ponto de operação 𝜃 = 0, com o auxílio do software MATLAB®. 
Estes gráficos mostram que para −
𝜋
4
≤ 𝜃 ≤
𝜋
4
 o sistema linearizado é uma boa 
aproximação do sistema não linear. 
 
Figura 2.17 Gráficos para o sistema pêndulo simples e sua linearização em torno do P.O. 𝜃 = 0. 
(2.28) 
(2.29) 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 26 
Exemplo 2.7: Linearize a função 𝑃(𝑖) = 𝑅 ∙ 𝑖2 em torno do P.O. 𝑖𝑜 = 1 𝐴, e apresente sua 
interpretação geométrica. 
 
 
Solução: Expandindo a função 𝑃(𝑖) em sua série de 
Taylor, descartando os termos de ordem superior a 1: 
𝑃(𝑖) ≅ 𝑃(𝑖)|𝑖𝑜 +
𝜕𝑃(𝑖)
𝜕𝑖
|
𝑖𝑜
(𝑖 − 𝑖𝑜) 
Derivando 𝑃(𝑖) com respeito a 𝑖 obtemos 
𝜕𝑃
𝜕𝑖
=
𝜕𝑅𝑖2
𝜕𝑖
= 2𝑅𝑖 
Logo, no ponto de operação considerado, temos: 
𝑃|𝑖𝑜=1 = 𝑅 ∙ 1
2 𝑒 
𝜕𝑃
𝜕𝑖
|
𝑖𝑜=1
= 2𝑅 ∙ 1 
e, substituindo estes resultados na expressão linearizada de 𝑃(𝑖), chega-se a 
𝑃(𝑖) = 𝑅 ∙ 12 + 2𝑅 ∙ 1(𝑖 − 1) ⇒ 𝑃(𝑖) − 𝑅 ∙ 12⏞ 
𝑷|𝒊𝒐
⏟ 
𝜟𝑷
= 2𝑅 ∙ 1⏟ 
𝒎
(𝑖 − 1)⏟ 
𝜟𝒊
 
ou, equivalentemente: 
𝛥𝑃 = 2𝑅 ∙ 𝛥𝑖 
𝑅=100 𝛺
→ 𝜟𝑷 = 𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝜟𝒊 
Interpretação geométrica: 
 
Figura 2.19 Representação gráfica de P(i) e sua linearização em torno de io=1 A. 
Figura 2.18 Sistema P(i)=Ri² : Potência 
elétrica dissipada por um resistor. 
 
 
 
 27 
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas 
2.5 Repita o Exemplo 2.6 para 𝑔(𝜃) = 0,1 cos(𝜃), e 𝜃𝑜 =
𝜋
2
. Use o MATLAB para 
desenhar os gráficos da função não linear e a linearizada. 
2.6 Linearize as funções a seguir em torno P.O. 𝑥𝑜 = 1. 
a) 𝑦(𝑥) = 5𝑥 + 2 
b) 𝑦(𝑥) = 3√𝑥 + 1 
c) 𝑦(𝑥) = 2𝑥3 
2.7 Uma área tecnológica de grande importância atualmente são as pesquisas para o 
desenvolvimento de micro e macro sistemas. A teoria de controle é fundamental 
para o seu avanço tecnológico. Considere o micro levitador dado na figura abaixo. 
O atuador é construído de PZT com um imã permanente na ponta. A bola é de 
material ferromagnético e tem distância de 2mm. 
 
Figura 2.20 Sistema de micro levitação utilizando controle de movimento 
Na Figura 2.20 a força de atração é dada por: 
𝐹(𝑥) =
𝑘
𝑥2
 
sendo k=4,98x10-8N/m2. 
Linearize o sistema no ponto de operação xo=1mm, considere como saída de 
interesse y(x)=f(x). É possível linearizar este sistema em torno do ponto xo=0mm? 
 
 
2.3 Linearização Envolvendo Equações Diferenciais 
No método de linearização mostrado, as funções não envolvem funções 
diferenciais. Nestas situações é necessário calcular o ponto de operação do sistema que é 
um ponto de equilíbrio (P.E.), obtido supondo que o sistema esteja em equilíbrio e, 
A
d
ap
ta
d
o
 d
e 
(M
O
R
IT
A
 e
t.
 a
l. 
2
0
0
2
)1
 
1MORITA, T., SHIMIZU, K. ,HASEGAWA, M., OKA, K. HIGUCHI,T . A Miniaturized Levitation System With Motion Control Using a Piezoelectric Actuator. 
Publicado em IEEE Transactions on Control Systems Technology, V.10. No. 5, Setembro de 2002. 
Exercícios 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 28 
portanto, não está variando ao longo do tempo, ou seja, todas as derivadas são nulas. 
Depois, expande-se o sistema em função das variáveis e suas derivadas: 
 
 
𝑔(𝑥, �̇�) ≅ 𝑔|𝑃.𝐸. +
𝜕𝑔
𝜕�̇�
|
𝑃.𝐸.
(�̇� − �̇�𝑃.𝐸.) +
𝜕𝑔
𝜕𝑥
|
𝑃.𝐸.
(𝑥 − 𝑥𝑃.𝐸.) 
 
Exemplo 2.8: Supondo o seguinte sistema não-linear: 
�̇� = 2𝑥(𝑡) − 𝑥2(𝑡) 
sendo, 𝑥(𝑡) a entrada e 𝑦(𝑡) a saída, o linearize em torno do ponto de equilíbrio (P.E.). 
 
Solução: É necessário primeiramente determinar o P.E., para isso supõe-se todas 
derivadas nulas, isto é, �̇�(𝑡) = 0. Assim, obtém-se: 
0 = 2𝑥𝑃.𝐸.(𝑡) − 𝑥𝑃.𝐸.
2(𝑡) ⇒ {
𝑥𝑃.𝐸.(𝑡) = 2 𝑒 �̇�𝑃.𝐸.(𝑡) = 0
𝑜𝑢
𝑥𝑃.𝐸.(𝑡) = 0 𝑒 �̇�𝑃.𝐸.(𝑡) = 0
 
Rescrevendo o sistema (2.31) na forma 𝑔(𝑥, �̇�) = 0, teremos: 
 𝑔(𝑥, �̇�) = −�̇�(𝑡) + 2𝑥(𝑡) − 𝑥2(𝑡) = 0 
Logo, o modelo linear dado segundo (2.30), considerando o P.E. (𝑥𝑃.𝐸.(𝑡) =
2, �̇�𝑃.𝐸.(𝑡) = 0), apresentará: 
{
 
 
 
 
 
 
𝑔|𝑃.𝐸. = 𝑔|𝑥𝑃.𝐸.(𝑡)=2
�̇�𝑃.𝐸.(𝑡)=0
= −(0) + 2(2) − (2)2 = 4 − 4 = 0
𝜕𝑔
𝜕�̇�
= −1 ⇒ 
𝜕𝑔
𝜕�̇�
|
𝑥𝑃.𝐸.(𝑡)=2
�̇�𝑃.𝐸.(𝑡)=0
= −1 
𝜕𝑔
𝜕𝑥
= 2 − 2𝑥(𝑡) ⇒ 
𝜕𝑔
𝜕�̇�
|
𝑥𝑃.𝐸.(𝑡)=2
�̇�𝑃.𝐸.(𝑡)=0
= 2 − 2(2) = −2
 
E, assim, teremos: 
𝑔(𝑥, �̇�) ≅ −(0) + (−1) (�̇� − 0)⏟ 
Δ�̇�
+ (−2) (x − 2)⏟ 
Δ𝑥
 
𝑔(𝑥, �̇�) = −Δẏ − 2Δ𝑥 
Finalmente, o sistema linearizado será dado por 
Δẏ = −2Δ𝑥, 
pois 𝑔(𝑥, �̇�) = 0, conforme assumimos no princípio. 
(2.31) 
(2.30) 
 
 
 
 29 
CAPÍTULO 2 – Classificação e Linearização de Sistemas 
 
2.4 Linearização Exata por Realimentação 
 
Linearização por realimentação é obtida subtraindo-se os termos não lineares das 
equações do sistema e adicionando-o ao controle. Vamos entender como esta técnica 
funciona através de um exemplo. 
 
Exemplo 2.9: Considere o pêndulo que possui o torque de entrada 𝑇𝑐(𝜃) (controle) 
agindo no eixo de rotação, de forma que 𝑇𝑐(𝜃) seja definido tal como: 
𝑇𝑐(𝜃) − 𝑚𝑔𝑙 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 𝐼θ̈ 
sendo I o momento de inércia em torno do eixo, que neste caso 
vale 
𝐼 = 𝑚𝑙2 
Suponha que o ângulo  possa ser medido, e projete 
𝑇𝑐(𝜃) tal que o sistema tenha linearização exata. 
 
Solução: A partir de (2.32) e (2.33), temos a seguinte equação 
diferencial: 
𝑇𝑐(𝜃) = 𝑚𝑙
2θ̈ + 𝑚𝑔𝑙 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
 Definindo o torque 𝑇𝑐(𝜃) como 
𝑇𝑐(𝜃) = 𝑚𝑔𝑙 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝑢 
e substituindo (2.35) em (2.34), tem-se: 
𝑢 = 𝑚𝑙2θ̈ 
que é um sistema linear. 
A equação (2.36) é linear, não importando quão grande o ângulo o seja. A 
realimentação proporciona um torque 𝑇𝑐(𝜃) baseado na medida de  tal que o sistema 
realimentado seja linear. A Figura 2.22 apresenta um esquema que ilustra este 
procedimento. 
Observação 
Quando colocado no ponto de equilíbrio, o sistema tende a permanecer neste ponto, uma vez 
que todas as derivadas associadas à sua dinâmica são nulas. 
(2.32) 
Figura 2.21 Sistema pêndulo 
simples com torque de controle 
(2.33) 
(2.34) 
(2.35) 
(2.36) 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 30 
 
Figura 2.22 Linearização exata para o sistema pêndulo simples com torque de controle 
2.8 Linearize o seguinte sistema na forma exata. 
 
Figura 2.23 Sistema para o Exercício 2.8. 
 
 
Exercício 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
3 Transformada de Laplace 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRANSFORMADA DE 
LAPLACE 
CAPÍTULO 
3 
A Ferramenta 
Como vimos, sistemas 
físicos podem ser 
modelados através de 
equações diferenciais. 
Por exemplo, obter a 
corrente elétrica que 
atravessa algum dos 
indutores, ou a tensão 
elétrica em um dado 
capacitor no circuito ao 
lado, por meio da 
solução de suas 
equações diferenciais, 
pode ser uma tarefa 
(muito) difícil. 
Felizmente, existe uma 
ferramenta muito 
poderosa pode ser 
usada para representar 
a dinâmica destes 
sistemas através de 
equaçõesalgébricas, 
tornando nosso trabalho 
consideravelmente mais 
simples, e esta é a 
Transformada de 
Laplace. 
Neste Capítulo... 
Faremos uma revisão dos conceitos e principais propriedades da 
Transformada de Laplace e da Transformada Inversa de Laplace, 
ferramentas essenciais para teoria de controle linear. Veremos, 
também, como obter a solução de Equações Diferenciais Lineares e 
Invariantes no Tempo através da Transformada de Laplace. 
 P
ix
ab
ay
 (
C
C
 B
Y
-N
C
 2
.0
) 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 32 
3.1 Definição 
 
A capacidade de obter aproximações lineares de sistemas físicos permite ao 
projetista de sistemas de controle o uso de Transforma de Laplace. O método da 
transformada de Laplace substitui a solução mais difícil de equações diferenciais pela 
solução mais fácil de equações algébricas. 
 Como os sistemas de controle são altamente complexos e largamente 
interconectados, o uso da Transformada de 
Laplace será crucial para o 
desenvolvimento dos conceitos abordados 
ao longo deste curso. 
A ideia é a de, primeiramente, aplicar 
a Transformada de Laplace (denotada 
pelo símbolo 𝓛{∙}) às equações diferenciais 
que modelam o sistema dinâmico de 
interesse, e depois, projetar o controlador 
no domínio “s”. Finalmente, implanta-se o 
controlador e analisa-se o resultado obtido 
no domínio do tempo, percorrendo o 
caminho contrário, isto é, lançando-se mão 
da Transformada Inversa de Laplace 
(denotada pelo símbolo 𝓛−𝟏{∙}). A Figura 
3.1 traduz a essência deste raciocínio. 
 
 
Seja 𝑓(𝑡) uma função no tempo em que 𝑓(𝑡) = 0, 𝑡 < 0. A Transformada de 
Laplace da função f(t) é dada por: 
ℒ{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑓(𝑡) ∙ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
+∞
0
= 𝐹(𝑠) 
sendo que o ‘s’ é uma variável complexa que não depende de t, descrita como 
𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 
onde 𝜎 é a parte real e 𝜔 é a parte imaginária. 
 
 
Figura 3.1 Conceito de Transformada de Laplace e da 
Transformada Inversa de Laplace 
Observação 
Nesse curso a maioria das transformadas ℒ{∙} e ℒ−1{∙} serão utilizadas diretamente das tabelas. 
(3.1) 
(3.2) 
 
 
 
 33 
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace 
Exemplo 3.1: Uma função que será muito utilizada neste curso é a função degrau. Iremos 
calcular sua Transformada de Laplace. Um exemplo da função degrau é o fechamento da 
chave “S” no circuito abaixo: 
Supondo que os 
capacitores estão 
descarregados e os indutores 
têm corrente nula no instante 
inicial t=0s, ao fechar a chave s, 
a tensão 𝑣(𝑡) passará, 
instantaneamente, de 0 volts 
para A volts. 
 
Assim, dizemos que a tensão 𝑣(𝑡) é do tipo degrau, de amplitude A, pois 
𝑣(𝑡) = {
0, 𝑡 < 0
𝐴, 𝑡 ≥ 0
 
Logo, assumindo que a chave é fechada no instante t=0, a tensão 𝑣(𝑡) pode ser 
representada graficamente segundo a Figura 3.3. 
 
Figura 3.3 Sinal v(t) - degrau de amplitude A. 
Aplicando-se a Transformada de Laplace à função 𝑣(𝑡) tem-se 
𝑉(𝑠) = ℒ{𝑣(𝑡)} = ∫ 𝑣(𝑡) ∙ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
+∞
0
 
Substituindo-se (3.3) em (3.4) tem-se 
 
𝑉(𝑠) = ∫ 𝐴 ∙ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
+∞
0
= 𝐴 ∙
𝑒−𝑠𝑡
−𝑠
|
0
+∞
=
𝐴
−𝑠
[ 𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
𝑒−𝑠𝑡 − 𝑒−𝑠∙0] 
∴ 𝑉(𝑠) =
𝐴
𝑠
 
A Tabela 3.1 apresenta pares de Transformada de Laplace para algumas funções. 
Veja que, pela linha 2, a Transformada de Laplace da função degrau unitário (A=1) é dada 
por ℒ{1(𝑡)} =
1
𝑠
. 
(3.4) 
Figura 3.2 Circuito elétrico com resistores, capacitores e indutores. 
(3.3) 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 34 
Tabela 3.1 Pares de Transformada de Laplace 
𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔) 
1 Impulso Unitário 𝛿(𝑡) 1 
2 Degrau Unitário 𝑙(𝑡) 
1
𝑠
 
3 𝑡 
1
𝑠2
 
4 
𝑡𝑛−1
(𝑛 − 1)!
, (𝑛 = 1,2,3,… ) 
1
𝑠𝑛
 
5 𝑡𝑛, (𝑛 = 1,2,3,… ) 
𝑛!
𝑠𝑛+1
 
6 𝑒−𝑎𝑡 
1
𝑠 + 𝑎
 
7 𝑡𝑒−𝑎𝑡 
1
(𝑠 + 𝑎)2
 
8 
1
(𝑛 − 1)!
𝑡𝑛−1𝑒−𝑎𝑡, (𝑛 = 1,2,3,… ) 
1
(𝑠 + 𝑎)𝑛
 
9 𝑡𝑛𝑒−𝑎𝑡, (𝑛 = 1,2,3,… ) 
𝑛!
(𝑠 + 𝑎)𝑛+1
 
10 sen𝜔𝑡 
𝜔
𝑠2 +𝜔2
 
11 cos𝜔𝑡 
𝑠
𝑠2 +𝜔2
 
12 senh𝜔𝑡 
𝜔
𝑠2 −𝜔2
 
13 cosh𝜔𝑡 
𝑠
𝑠2 −𝜔2
 
14 
1
𝑎
(1 − 𝑒−𝑎𝑡) 
1
𝑠(𝑠 + 𝑎)
 
15 
1
𝑏 − 𝑎
(𝑒−𝑎𝑡 − 𝑒−𝑏𝑡) 
1
(𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑏)
 
16 
1
𝑏 − 𝑎
(𝑏𝑒−𝑎𝑡 − 𝑎𝑒−𝑏𝑡) 
𝑠
(𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑏)
 
17 
1
𝑎𝑏
[1 +
1
(𝑎 − 𝑏)
(𝑏𝑒−𝑎𝑡 − 𝑎𝑒−𝑏𝑡)] 
1
𝑠(𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑏)
 
18 
1
𝑎2
(1 − 𝑒−𝑎𝑡 − 𝑎𝑡𝑒−𝑏𝑡) 
1
𝑠(𝑠 + 𝑎)2
 
19 
1
𝑎2
(𝑎𝑡 − 1 + 𝑒−𝑎𝑡) 
1
𝑠2(𝑠 + 𝑎)
 
20 𝑒−𝑎𝑡 sen𝜔𝑡 
𝜔
(𝑠 + 𝑎)2 +𝜔2
 
21 𝑒−𝑎𝑡 cos𝜔𝑡 
(𝑠 + 𝑎)
(𝑠 + 𝑎)2 +𝜔2
 
22* 
𝜔𝑛
√1 − 𝜉2
𝑒−𝜉𝜔𝑛𝑡 sen (𝜔𝑛√1− 𝜉
2𝑡) 𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
 
23* 1 − 𝑒
−𝜉𝜔𝑛𝑡 [cos (𝜔𝑛√1 − 𝜉
2𝑡) +
𝜉𝜔𝑛
𝜔𝑛√1 − 𝜉
2
sen (𝜔𝑛√1 − 𝜉
2𝑡)] 
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
∙
1
𝑠
 
*As regras 22 e 23 são válidas para 0 < 𝜉 < 1. 
 
 
 
 35 
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace 
3.2 Propriedades das Transformadas de Laplace 
 
Nesta seção, iremos abordar as principais propriedades relacionadas à 
Transformada de Laplace. Essas propriedades serão extremamente úteis nas 
manipulações matemáticas e análises que faremos ao longo de nossos estudos em 
controle. Porém, antes iremos fazer algumas observações acerca do formato no qual a 
transformada 𝐹(𝑠) se apresenta. 
Observando a Tabela 3.1 nota-se que genericamente F(s) é composta pela divisão 
de dois polinômios em ‘s’, ou seja: 
𝐹(𝑠) =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝑠𝑚 + 𝑏𝑚𝑠
𝑚−1 +⋯+ 𝑏1
𝑠𝑛 + 𝑎𝑚𝑠
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1
 
Consideremos, como exemplo, uma 𝐹(𝑠) tal que 
𝐹(𝑠) =
𝑠 + 1
𝑠 + 2
⟹ {
𝑁(𝑠) = 𝑠 + 1
𝐷(𝑠) = 𝑠 + 2
 
Nestes termos, apresentaremos uma definição de polos e zeros, fundamental em 
nossos estudos daqui para frente. 
Em nosso exemplo, F(s) apresenta um polo e um zero, tais quais 
{
𝑧1 = −1
𝑝1 = −2
 
Uma vez compreendido o conceito matemático de polos e zeros, partimos para o 
estudo de algumas das propriedades da Transformada de Laplace. 
Considere uma função 𝑓(𝑡) no tempo em que 𝑓(𝑡) = 0, 𝑡 < 0, e que 𝐹(𝑠) é a sua 
Transformada de Laplace. 
 
i.) Propriedade da Linearidade 
ℒ{𝛼𝑓1(𝑡) + 𝛽𝑓2(𝑡)} = 𝛼𝐹1(𝑠) + 𝛽𝐹2(𝑠) 
 
Prova: 
ℒ{𝛼𝑓1(𝑡) + 𝛽𝑓2(𝑡)} = ∫ [𝛼𝑓1(𝑡) + 𝛽𝑓2(𝑡)]𝑒
−𝑠𝑡𝑑𝑡
+∞
0
= 
= 𝛼∫ 𝑓1(𝑡)𝑒
−𝑠𝑡𝑑𝑡
+∞
0
+ 𝛽∫ 𝑓1(𝑡)𝑒
−𝑠𝑡𝑑𝑡
+∞
0
= 
= 𝛼𝐹1(𝑠) + 𝛽𝐹2(𝑠) 
 
(3.5) 
Definição: Denominamos como zeros as raízes de N(s) (numerador de F(s)). E, por sua 
vez, denominamos como polos as raízes de D(s) (denominador de F(s)). 
. 
 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 36 
ii.) Transformada de Laplace da Derivada Primeira 
ℒ {
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡)} = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0) 
Prova: 
ℒ {
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑓(𝑡)
+∞
0
+∞
0
 
Integrando por partes, temos: 
{
𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡 ⇒ 𝑑𝑣 = −𝑠𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑢 = 𝑑𝑓(𝑡) ⇒ 𝑢 = 𝑓(𝑡)
 
Logo 
∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑓(𝑡)
+∞
0
= 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡|
0
+∞
−∫ 𝑓(𝑡)(−𝑠𝑒−𝑠𝑡)𝑑𝑡
+∞
0
= 
= [0 − 𝑓(0) ∙ 1] + 𝑠 [∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
+∞
0
] = 
= 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0) 
iii.) Transformada de Laplace da Derivada Segunda 
ℒ {
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑓(𝑡)} = 𝑠2𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) −
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡)|
𝑡=0
 
Prova: 
ℒ {
𝑑2
𝑑𝑡2
𝑓(𝑡)} = ℒ {
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡))} 
Utilizando a Propriedade ii), temos: 
ℒ {
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡))} = 𝑠 ∙ 𝓛 {
𝒅
𝒅𝒕
𝒇(𝒕)} − (
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡))|
𝑡=0
= 
= 𝒔 ∙ [𝒔𝑭(𝒔) − 𝒇(𝟎)] − (
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡))|
𝑡=0
= 
= 𝑠2𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − (
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡))|
𝑡=0
 
Lembrete 
∫ 𝑣 ∙ 𝑑𝑢 
𝑏
𝑎
= 𝑢 ∙ 𝑣|
𝑎
𝑏
−∫ 𝑢 ∙ 𝑑𝑣
𝑏
𝑎
 
Transformada da derivada 
primeira de 
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡) (Prop. ii) 
Transformada da derivada 
primeira de 𝑓(𝑡) (Prop. ii) 
 
 
 
 
 37 
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace 
iv.) Transformada de Laplace da Derivada n-ésima 
ℒ {
𝑑𝑛
𝑑𝑡𝑛
𝑓(𝑡)} = 𝑠𝑛𝐹(𝑠) −∑(𝑠𝑛−𝑘
𝑑
𝑑𝑡
𝑓(𝑡)|
𝑡=0
)
𝑛
𝑘=1
 
v.) Teorema do Valor Final – T.V.F 
Se os polos de 𝑠 ∙ 𝐹(𝑠) possuem parte real negativa, então, é válida a seguinterelação: 
lim
𝑡→+∞
𝑓(𝑡) = lim
𝑠→0
𝑠 ∙ 𝐹(𝑠) 
 
Obs.: mais adiante neste curso, veremos que um sistema que tem todos os polos 
com parte real negativa, é dito estável. 
Exemplo 3.1: Sabendo que 
ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠) =
1
𝑠(𝑠 + 1)
 
determine o valor de 𝑓(𝑡)|𝑡→+∞ (também chamado de valor de regime permanente). 
Solução: Neste caso, 
𝑠 ∙ 𝐹(𝑠) = 𝑠 ∙
1
𝑠(𝑠 + 1)
=
1
𝑠 + 1
 
que possui apenas um pólo: 𝑝1 = −1. E, como 𝑝1 < 0, pode-se aplicar o T.V.F.: 
𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
𝑓(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚
𝑠⟶0
𝑠 ∙ 𝐹(𝑠) = 𝑙𝑖𝑚
𝑠→0
1
𝑠 + 1
= 1 
∴ 𝑓(+∞) = 1 
Para simples verificação, segundo a Tabela 3.1, linha 14, tem-se: 
𝑓(𝑡) = ℒ−1 {
1
𝑠 + 1
} = 1 − 𝑒−𝑡 
Logo 
𝑓(𝑡)|𝑡→+∞(1 − 𝑒
−𝑡)|𝑡→+∞ = 1 
que é o mesmo resultado obtido aplicando-se o T.V.F. 
 
Observação 
O T.V.F. permite obter o valor de regime de um sistema tendo-se apenas a sua 
Transformada de Laplace (F(s)), sem a necessidade do conhecimento da função temporal (f(t)). 
Ou seja, o T.V.F. é útil para determinar o valor de regime de f(t), conhecendo-se apenas F(s). 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 38 
Exemplo 3.2: Avalie a possibilidade de aplicar o T.V.F. à função 
𝑓(𝑡) = sen 𝑡 
 
Solução: A Figura 3.3 apresenta uma representação gráfica de 𝑓(𝑡) = sen 𝑡. Note que para 
𝑡 → +∞, 𝑓(𝑡) não tem um único valor. 
 
Figura 3.4 Gráfico de f(t)=sen t. 
Segundo a Tabela 3.1, linha 10, temos que: 
ℒ{𝑓(𝑡)} =
1
𝑠2 + 1
 
 Analisando 𝑠 ∙ 𝐹(𝑠), obtemos 
𝑠 ∙ 𝐹(𝑠) = 𝑠 ∙
1
𝑠2 + 1
⟹ 𝑝1,2 = ±𝑗 
Logo 𝑅𝑒{𝑝1, 𝑝2} = 0, e assim, não pode-se aplicar o T.V.F. 
Se erroneamente aplicarmos o T.V.F. teremos: 
𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
𝑓(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚
𝑠⟶0
𝑠 ∙ 𝐹(𝑠) = 𝑙𝑖𝑚
𝑠→0
𝑠
𝑠2 + 1
= 0 
Porém, a senóide não tende a zero quando 𝑡 → +∞. O erro foi aplicar o T.V.F. sendo 
que os polos de F(s) não têm parte real negativa. 
 
Exemplo 3.3: Determinar a Transformada de Laplace da função impulso, 𝜹(𝒕). Uma ideia 
de entrada impulsiva é o choque do taco de baseball com a bola, o choque tem uma grande 
intensidade e curtíssima duração. 
A função 𝛿(𝑡) é definida como 
𝛿(𝑡) = {
 0, 𝑡 ≠ 0
+∞, 𝑡 = 0
 𝑒 ∫ 𝛿(𝑡)
+∞
−∞
= 1 
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t [rad]
f(
t)
=
se
n
 t
 
 
 
 39 
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace 
Podemos avaliar a função impulso como sendo o caso limite da função pulso de 
área unitária, 𝚫(𝒕), definida como 
Δ(𝑡) = {
𝑡 < 0
1
𝑎
, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 0
0, 𝑡 > 𝑎
 
Temos na Figura 3.4 uma representação gráfica da função impulso e da função 
pulso de área unitária. 
 
Figura 3.5 Gráficos das funções 𝛥(𝑡) e 𝛿(𝑡). 
Veja que sendo A área sob a curva Δ(𝑡) (Figura 3.4 (a) ), então 
𝐴 =
1
𝑎
∙ 𝑎 = 1 
E, no caso limite em que 𝑎 → 0, temos 
𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
Δ(𝑡) = 𝛿(𝑡) 
 
Solução: Aplicando a definição da Transformada de Laplace à função 𝛿(𝑡): 
ℒ{𝛿(𝑡)} = ∫ 𝛿(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
+∞
0
= ∫ 𝛿(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
0+
0−
+∫ 𝛿(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
+∞
0+
 
Como para 0− < 𝑡 < 0+, 𝛿(𝑡) = 1 e para 𝑡 ≠ 0, 𝛿(𝑡) = 0 
ℒ{𝛿(𝑡)} = ∫ 1 ∙ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
0+
0−
+∫ 0 ∙ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
+∞
0+
 
ℒ{𝛿(𝑡)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
0+
0−
 
E, no intervalo 0− < 𝑡 < 0+, 𝑒−𝑠𝑡(𝑡) = 1. Logo, 
ℒ{𝛿(𝑡)} = 1 
Veja que este é o mesmo resultado apresentado na Linha 1 da Tabela 3.1. 
 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 40 
3.1 Calcule a transformada de Laplace de um sinal u(t) de controle típico de um 
sistema automático digital, ou seja controle por computador. 
 
Figura 3.6 Sinal de controle u(t) - Exercício 3.1 
3.2 Determine o valor de regime permanente de 𝑓(𝑡), tal que sua Transformada de 
Laplace 𝐹(𝑠) seja dada por 
𝐹(𝑠) =
1
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
 
3.3 Avalie a possibilidade de aplicar o teorema do valor final à função 𝑓(𝑡) tal que sua 
Transformada de Laplace 𝐹(𝑠) seja dada por 
𝐹(𝑠) =
1
𝑠2(𝑠2 + 4𝑠 + 4)
 
 
3.3 Transformada Inversa de Laplace 
 
A ideia por trás da Transformada Inversa de Laplace é a de sair do domínio da 
variável complexa (s) para o domínio do tempo (t). 
 
Figura 3.7 O conceito básico da transformada inversa de Laplace 
A técnica que iremos utilizar consiste em expandir a função 𝐹(𝑠) em frações 
parciais e, então, utilizar a Tabela 3.1, que apresenta os pares de transformada de 
Laplace, para encontrar a função 𝑓(𝑡) correspondente. 
Como vimos, 𝐹(𝑠) frequentemente pode ser escrita como sendo uma relação de 
dois polinômios, tal como: 
𝐹(𝑠) =
𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)
 
Exercícios 
 
 
 
 41 
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace 
sendo que 𝑃(𝑠) e 𝑄(𝑠) são polinômios tais que 
𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑄(𝑠)] ≥ 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑄(𝑠)] 
Ainda, o polinômio 𝑄(𝑠) é da forma: 
𝑄(𝑠) = 𝑠𝑛 + 𝑎1𝑠
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛 
sendo 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = {1,2, … , 𝑛}, que pode ser expresso na forma: 
𝑄(𝑠) = (𝑠 + 𝑠1)(𝑠 + 𝑠2)⋯ (𝑠 + 𝑠𝑛−1)(𝑠 + 𝑠𝑛) 
de forma que −𝑠𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 são quantidades que podem reais ou complexas e que 
correspondem às raízes de 𝑄(𝑠). 
 O método de expansão em frações parciais para determinação das transformadas 
inversas de Laplace passa pela análise de 3 casos distintos que podem ocorrer com 𝑄(𝑠). 
Estes casos estão ligados à natureza das raízes de 𝑄(𝑠), que podem ser todas distintas, 
apresentar multiplicidade ou serem complexas. 
 
1ºCaso: O polinômio 𝑸(𝒔) possui apenas raízes distintas. 
 
 Neste caso, a função 𝐹(𝑠) pode ser expandida da seguinte forma: 
𝐹(𝑠) =
𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)
=
𝑘1
𝑠 + 𝑠1 
+
𝑘2
𝑠 + 𝑠2 
+ ⋯+
𝑘𝑛
𝑠 + 𝑠𝑛 
 
sendo 𝑘𝑖 os chamados resíduos da raiz 𝑠 = −𝑠𝑖, e são determinados por: 
𝑘𝑖 = [(𝑠 + 𝑠𝑖) ∙ 𝐹(𝑠)]|𝑠=−𝑠𝑖 = [(𝑠 + 𝑠𝑖) ∙
𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)
]|
𝑠=−𝑠𝑖
 
para 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. 
 
Exemplo 3.4: Determine 𝑓(𝑡) sendo 
𝐹(𝑠) =
5𝑠 + 3
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
 
Solução: Neste caso, 𝑃(𝑠) = 5𝑠 + 3 e 𝑄(𝑠) = (𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3). Logo, temos 
𝐹(𝑠) =
𝑘1
𝑠 + 1 
+
𝑘2
𝑠 + 2 
+
𝑘3
𝑠 + 3 
 
e os resíduos 𝑘𝑖 = [(𝑠 + 𝑠𝑖) ∙
𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)
]|
𝑠=−𝑠𝑖
são: 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 42 
𝑘1 = [(𝑠 + 1) ∙
5𝑠 + 3
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
]|
𝑠=−1
=
5(−1) + 3
[(−1) + 2)][(−1) + 3)]
= −
2
2
= −1 
 
𝑘2 = [(𝑠 + 2) ∙
5𝑠 + 3
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
]|
𝑠=−2
=
5(−2) + 3
[(−2) + 1)][(−2) + 3)]
=
−7
−1
= 7 
 
𝑘3 = [(𝑠 + 3) ∙
5𝑠 + 3
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
]|
𝑠=−3
=
5(−3) + 3
[(−3) + 1)][(−3) + 2)]
=
−12
2
= −6 
Assim, 
𝐹(𝑠) = −
1
𝑠 + 1 
+
7
𝑠 + 2 
−
6
𝑠 + 3 
 
Finalmente, usando a Linha 6 da Tabela 3.1, tem-se: 
ℒ−1{𝐹(𝑠)} = −𝑒−𝑡 + 7𝑒−2𝑡 − 6𝑒−3𝑡, 𝑡 ≥ 0. 
 
2ºCaso: O polinômio 𝑸(𝒔) possuir raízes não distintas. 
 
Neste caso, se a raiz 𝑠 = −𝑠𝑖 tiver multiplicidade ‘r’, teremos: 
𝐹(𝑠) =
𝑘1
𝑠 + 𝑠1 
+ ⋯+
𝑘𝑖−1
𝑠 + 𝑠𝑖−1 
+ [
𝐴1
𝑠 + 𝑠𝑖 
+
𝐴2
(𝑠 + 𝑠𝑖)2 
+ ⋯+
𝐴1
(𝑠 + 𝑠𝑖)𝑟 
] + ⋯+ 
+
𝑘𝑖+1
𝑠 + 𝑠𝑖+1 
+ ⋯+
𝑘𝑛
𝑠 + 𝑠𝑛 
 
sendo: 
𝐴𝑟 = [(𝑠 + 𝑠𝑖)
𝑟 ∙
𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)
 ]|
𝑠=−𝑠𝑖
 
𝐴𝑟−1 = {
𝑑
𝑑𝑠
[(𝑠 + 𝑠𝑖)
𝑟 ∙
𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)
 ]}|
𝑠=−𝑠𝑖
 
⋯ 
𝐴𝑟−𝑗 =
1
𝑗!
{
𝑑𝑗
𝑑𝑠𝑗
[(𝑠 + 𝑠𝑖)
𝑟 ∙
𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)
 ]}|
𝑠=−𝑠𝑖
 
⋯ 
𝐴1 =
1
(𝑟 − 1)!
{
𝑑𝑟−1
𝑑𝑠𝑟−1
[(𝑠 + 𝑠𝑖)
𝑟 ∙
𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)
 ]}|
𝑠=−𝑠𝑖
 
 
 
 
 43 
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace 
Exemplo 3.4: Determine 𝑓(𝑡) sendo 
𝐹(𝑠) =
1
𝑠(𝑠 + 1)3(𝑠 + 2)
 
Solução: Veja que a raiz 𝑠 = −1 tem multiplicidade 𝑟 = 3, logo, 
𝐹(𝑠) =
𝑘1
𝑠
+
𝑘2
𝑠 + 2 
+
𝐴1
𝑠 + 1 
+
𝐴2
(𝑠 + 1)2 
+
𝐴3
(𝑠 + 1)3 
 
 
Neste caso, os resíduos das raízes simples (de multiplicidade 1) são: 
𝑘1 = 𝑠 ∙ 𝐹(𝑠)|𝑠=0 = [𝑠 ∙
1
𝑠(𝑠 + 1)3(𝑠 + 2)
]|
𝑠=0
=
1
2
 
𝑘2 = (𝑠 + 2) ∙ 𝐹(𝑠)|𝑠=−2 = [(𝑠 + 2) ∙
1
𝑠(𝑠 + 1)3(𝑠 + 2)
]|
𝑠=−2
=
1
2
 
Agora, para determinar os resíduos das raízes múltiplas, fazemos: 
𝐺(𝑠) = (𝑠 + 1)3 ∙ 𝐹(𝑠) = (𝑠 + 1)3 ∙
1
𝑠(𝑠 + 1)3(𝑠 + 2)
=
1
𝑠(𝑠 + 2)
 
 
Então, teremos: 
𝐴1 = 𝐺(𝑠)|𝑠=−1 = [
1
𝑠(𝑠 + 2)
]|
𝑠=−1
= −1𝐴2 =
𝑑
𝑑𝑠
𝐺(𝑠)|
𝑠=−1
 
Mas, 
𝑑
𝑑𝑠
𝐺(𝑠) =
𝑑
𝑑𝑠
[𝑠−1(𝑠 + 2)−1] =
−(𝑠 + 2) − 𝑠
𝑠2(𝑠 + 2)2
 
 
Logo: 
𝐴2 =
−(𝑠 + 2) − 𝑠
𝑠2(𝑠 + 2)2
|
𝑠=−1
= 0 
E, seguindo: 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 44 
𝐴3 =
1
(3 − 1)!
[
𝑑3−1
𝑑𝑠3−1
𝐺(𝑠)]|
𝑠=−1
=
1
2!
[
𝑑2
𝑑𝑠2
𝐺(𝑠)]|
𝑠=−1
=
1
2
{
𝑑
𝑑𝑠
[
𝑑
𝑑𝑠
𝐺(𝑠)]}|
𝑠=−1
 
Assim, utilizando o resultado obtido no cálculo de 𝐴2: 
𝐴3 =
1
2
{
𝑑
𝑑𝑠
[
−(𝑠 + 2) − 𝑠
𝑠2(𝑠 + 2)2
]}|
𝑠=−1
= −1 
 
Finalmente, teremos: 
𝐹(𝑠) =
1
2⁄
𝑠
+
1
2⁄
𝑠 + 2 
+
1
𝑠 + 1 
−
1
(𝑠 + 1)3 
 
Segundo as linhas 2, 6 e 8 da Tabela 3.1, tem-se: 
𝑓(𝑡) =
1
2
1(𝑡)∗ +
1
2
𝑒−2𝑎𝑡 −
1
2
𝑡2𝑒−𝑡, 𝑡 ≥ 0 
*função degrau unitário 
 
3ºCaso: O polinômio 𝑸(𝒔) possuir raízes complexas distintas 
 
Vamos ilustrar o método, aplicado a este caso, através de um exemplo. 
 
Exemplo 3.5: Determine a ℒ−1{∙} de 
𝐹(𝑠) =
1
𝑠(𝑠2 + 𝑠 + 1)
 
Solução: Temos que as raízes de 𝑄(𝑠) são: 
𝑠1 = 0 
𝑠2,3 = −
1
2
± 𝑗
√3
2
 (𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠) 
Neste caso é mais interessante usar a componente relativa ás raízes complexas na 
forma polinomial, ou seja: 
𝐹(𝑠) =
1
𝑠(𝑠2 + 𝑠 + 1)
=
𝐶1
𝑠
+
𝐶2𝑠 + 𝐶3
𝑠2 + 𝑠 + 1
 
Calculamos 𝐶1 conforme já aprendemos: 
𝐶1 = [𝑠 ∙ 𝐹(𝑠)]|𝑠=0 = [𝑠 ∙
1
𝑠(𝑠2 + 𝑠 + 1)
]|
𝑠=0
= 1 
 
 
 
 45 
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace 
Assim, a função 𝐹(𝑠) fica tal como: 
𝐹(𝑠) =
1
𝑠(𝑠2 + 𝑠 + 1)
=
1
𝑠
+
𝐶2𝑠 + 𝐶3
𝑠2 + 𝑠 + 1
 
Ou, ainda: 
𝐹(𝑠) =
𝟏
𝑠(𝑠2 + 𝑠 + 1)
=
𝒔𝟐 + 𝒔 + 𝟏 + 𝑪𝟐𝒔
𝟐 + 𝑪𝟑𝒔
𝑠(𝑠2 + 𝑠 + 1)
 
 
Logo, para que a relação anterior seja satisfeita, é necessário que: 
1 = 𝑠2 + 𝑠 + 1 + 𝐶2𝑠
2 + 𝐶3𝑠 
Agrupando os termos em 𝑠2 𝑒 𝑠1, obtém-se: 
𝑠2 ∙ 0 + 𝑠 ∙ 0 + 1 = 𝑠2(1 + 𝐶2) + 𝑠(𝐶3 + 1) + 1 
E, analisando a correspondência entre os coeficientes que multiplicam as potências 
em 𝑠, temos: 
0 = 𝐶2 + 1 ⟹ 𝐶2 = −1
0 = 𝐶3 + 1 ⟹ 𝐶3 = −1
 
Assim: 
𝐹(𝑠) =
1
𝑠
+
−𝑠 − 1
𝑠2 + 𝑠 + 1
=
1
𝑠
−
𝑠 + 1
𝑠2 + 𝑠 + 1
 
Ou: 
𝐹(𝑠) =
1
𝑠
−
𝑠 +
1
2 +
1
2
(𝑠 +
1
2)
2
+
3
4
=
1
𝑠
−
𝑠 +
1
2
(𝑠 +
1
2)
2
+
3
4
−
1
2
(𝑠 +
1
2)
2
+
3
4
 
 
Finalmente, das linhas 20 e 21 da Tabela 3.1, temos: 
𝑓(𝑡) = 1(𝑡) − 𝑒−
𝑡
2 cos(√
3
4
𝑡 ) −
1
√3
𝑒−
𝑡
2 sen(√
3
4
𝑡 ) 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 46 
 
Exemplo 3.6: Determine a ℒ−1{∙} de 
𝐹(𝑠) =
𝑠
𝑠 + 1
 
Solução: Neste caso, 𝑃(𝑠) = 𝑠 e 𝑄(𝑠) = 𝑠 + 1. Logo, 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑄(𝑠)] = 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑃(𝑠)], então é 
necessário fazer: 
 
∴ 𝐹(𝑠) = 1 +
−1
𝑠 + 1
⟹ 𝑓(𝑡) = ℒ−1{𝐹(𝑠)} = 𝛿(𝑡) − 𝑒−𝑡 
 
 
O gráfico de f(t) do exemplo anterior é: 
 
Figura 3.8 Gráfico de f(t) segundo Exemplo 3.6. 
0 1 2 3 4 5 6
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
t [segundos]
f(
t)
Observação 
Se em algum dos casos anteriores, com 𝐹(𝑠) =
𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)
, com 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑄(𝑠)] = 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑃(𝑠)], então, 
primeiro realizamos a divisão polinomial: 
 
sendo 𝐴 o quociente e 𝑅(𝑠) o resto. Depois, proceda a expansão em frações parciais de 
𝑅(𝑠)
𝑄(𝑠)
. 
Observação 
Se 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑄(𝑠)] = 𝑔𝑟𝑎𝑢[𝑃(𝑠)], então sempre aparecerá uma componente impulsiva 
(𝛿(𝑡)) 𝑒𝑚 𝑓(𝑡). 
 
 
 
 47 
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace 
Expansão em Frações parciais usando o MATLAB 
Apresentaremos, através de exemplos, o procedimento para realizar expansão em 
frações parciais utilizando o software MATLAB®. Este artifício se dá através do comando 
residue, cuja sintaxe é apresentada abaixo: 
[r,p,k]=residue(num,den) 
Informando os coeficientes dos polinômios 𝑃(𝑠) e 𝑄(𝑠) em 𝐹(𝑠) =
𝑃(𝑠)
𝑄(𝑠)
 através dos 
vetores num e den, obtém-se os resíduos (r) da expansão em frações parciais de 𝐹(𝑠), os 
polos de cada fração parcial (p) e o termo direto (k). 
Vejamos, então, o primeiro exemplo, retirado de OGATA1. 
 
Exemplo 3.6 Considere a seguinte função 
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
=
2𝑠3 + 5𝑠2 + 3𝑠 + 6
𝑠3 + 6𝑠2 + 11𝑠 + 6
 
Solução: Para essa função, digitamos o seguinte comando no MATLAB®: 
num=[2 5 3 6]; 
den=[1 6 11 6]; 
[r,p,k]=residue(num,den) 
Assim, como resultado, o MATLAB® devolve: 
r = [-6.0000 -4.0000 3.0000]' 
p = [-3.0000 -2.0000 -1.0000]' 
k = 2 
Essa é a representação na linguagem utilizada pelo MATLAB® da seguinte 
expansão em parciais: 
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
=
2𝑠3 + 5𝑠2 + 3𝑠 + 6
𝑠3 + 6𝑠2 + 11𝑠 + 6
=
−6
𝑠 + 3
+
−4
𝑠 + 2
+
3
𝑠 + 1
+ 2 
Agora, para encontrar ℒ−1{∙} basta utilizar os resultados da Tabela 3.1. 
 
Para sistemas que tenham polos com multiplicidade, deve-se observar a sequência 
dos elementos de r e p fornecidos pelo MATLAB®. Veja o Exemplo 3.7 para entender esse 
detalhe. 
 
Exemplo 3.7 Expanda a seguinte função polinomial em frações parciais: 
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
=
𝑠2 + 2𝑠 + 3
(𝑠 + 1)3
=
𝑠2 + 2𝑠 + 3
𝑠3 + 3𝑠2 + 3𝑠 + 1
 
Solução: Para essa função, temos: 
 
 
 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 48 
num=[1 2 3]; 
den=[1 3 3 1]; 
[r,p,k]=residue(num,den) 
O resultado fornecido pelo MATLAB® é mostrado a seguir. 
r = [1.0000 0.0000 2.0000]' 
p = [-1.0000 -1.0000 -1.0000]' 
k = 0 
Essa é a representação na linguagem utilizada pelo MATLAB® da seguinte 
expansão em parciais: 
𝐵(𝑠)
𝐴(𝑠)
=
2𝑠3 + 5𝑠2 + 3𝑠 + 6
𝑠3 + 6𝑠2 + 11𝑠 + 6
=
1
𝑠 + 1
+
0
(𝑠 + 1)2
+
2
(𝑠 + 1)3
 
Note que o termo direito k é zero. 
Para obter a função original 𝐵(𝑠)/𝐴(𝑠) a partir de r, p e k, utilizamos as seguintes 
linhas de programação: 
num,den = residue(r,p,k); 
printsys(num,den,'s ') 
Assim, como resposta, o computador apresentará a relação de polinômios 
denominada por num/den, como se segue: 
num/den = 
 
 s ^2 + 2 s + 3 
 --------------- 
 s ^2 + 2 s + 3 
 
Por último, apresentamos um exemplo considerando um sistema com polos 
complexos. 
 
Exemplo 3.7 Determine a expansão em frações parciais da função 𝐹(𝑠): 
𝐹(𝑠) =
1
𝑠(𝑠2 + 𝑠 + 1)
 
Solução: Tal como realizado nos exemplos anteriores, informamos os coeficientes dos 
polinômios do numerador e do denominador de 𝐹(𝑠), e utilizamos a função residue 
para obter os parâmetros da expansão, isto é: 
num=[1]; 
den=[1 1 1 0]; 
[r,p,k]=residue(num,den) 
Como resultado, temos: 
r=[-0.5000+0.2887i -0.5000-0.2887i 1.0000 + 0.0000i]' 
p= [-0.5000+0.8660i -0.5000-0.8660i 0.0000 + 0.0000i]' 
k=0 
 
 
 
 
 
 49 
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace 
Assim, a representação de 𝐹(𝑠) em expansão em parciais assume a forma: 
𝐹(𝑠) =
1
𝑠(𝑠2 + 𝑠 + 1)
=
−0,5 + 0,2887𝑖
𝑠 + 0,5 − 0,8660𝑖
+
−0,5 − 0,2887𝑖
𝑠 + 0,5 + 0,8660𝑖
+
1
𝑠
 
O caminho inverso, por sua vez, seria: 
[num,den]=residue(r,p,k) 
printsys(num,den,'s') 
Como resultado, obtem-se: 
num/den = 
 
 2.2204e-16 s^2 + 2.2204e-16 s + 1 
 --------------------------------- 
 s^3 + s^2 + 1 s 
 
Note que os coeficientes de 𝑠2 e 𝑠 são valores extremamente pequenos, 
correspondentes a zero, mas que por questões de aproximações numéricas não retorna 
como tal pelo MATLAB®. Assim, entendemos como: 
𝑛𝑢𝑚
𝑑𝑒𝑛
=
2.2204𝑒−16𝑠2 + 2.2204𝑒−16𝑠 + 1
𝑠3 + 𝑠2 + 1𝑠
=
1
𝑠3 + 𝑠2 + 1𝑠
 
 
3.4. Sendo 
𝐹(𝑠) =
1
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)2
 
calcule f(t). 
 
 
3.4 Resolução de Equações Diferenciais Lineares e 
Invariantes no Tempo 
 
Conforme mencionamos no início deste capítulo, uma das aplicações da 
transformada de Laplace é a resolução de equações diferenciais lineares. 
Via de regra, a solução de equações diferenciais lineares pode ser bastante 
complexa. Assim, a estratégia consiste em aplicar a transformada de Laplace às equações 
diferenciais do problema em questão, encontrar a solução no domínio da variável 
complexa “s”, e então aplicar a transformada inversa de Laplace para obter a solução 
desejada no domínio do tempo. Vejamos como esta estratégia funciona através de um 
exemplo. 
 
ExercíciosCONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 50 
Exemplo 3.9 Considere o circuito na Figura 3.9. A tensão sobre o capacitor é 𝑣𝑐(𝑡). 
Suponha que o capacitor esteja descarregado 
inicialmente, ou seja: 
𝑣𝑐(𝑡)|𝑡=0 𝑜𝑢 𝑣𝑐(0) = 0 
 Suponha que a chave seja fechada em 
t=0, isto é, o comportamento da tensão 𝑣(𝑡) é tal 
como o de uma função degrau (Figura 3.3). Logo, 
temos que ℒ{𝑣(𝑡)} =
𝐴
𝑠
. Nestas condições, 
determine o comportamento da tensão no 
capacitor, 𝑣𝑐(𝑡), para 𝑡 > 0. 
 
Solução: Para o capacitor tem-se: 
𝑞 = 𝐶 ∙ 𝑣𝑐(𝑡) 
Derivando a expressão acima com respeito ao tempo, obtém-se: 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= 𝐶
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
⟹ 𝑖(𝑡) = 𝐶
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
 
Fazendo a análise das tensões na malha que compõe o circuito, tem-se: 
𝑣(𝑡) = 𝑅 ∙ 𝑖(𝑡) + 𝑣𝑐(𝑡) 
Ou, então: 
𝑣(𝑡) = 𝑅 ∙ 𝐶
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑐(𝑡) 
Aplicando a transformada de Laplace à expressão acima: 
ℒ{𝑣(𝑡)} = 𝑅𝐶 ∙ ℒ {
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
} + ℒ{𝑣𝑐(𝑡)} 
Logo, 
𝐴
𝑠
= 𝑅𝐶 ∙ [𝑠𝑉𝐶(𝑠) − 𝑣𝑐(0)] + 𝑉𝑐(𝑠) 
Como, conforme o enunciado, a condição inicial 𝑣𝑐(0) é nula, temos: 
𝐴
𝑠
= [𝑅𝐶𝑠 + 1] ∙ 𝑉𝑐(𝑠) ⟹ 𝑉𝑐(𝑠) =
𝐴
𝑠(𝑅𝐶𝑠 + 1)
 
Dividindo o numerador e o denominador de 𝑉𝑐(𝑠) e realizando expansão em 
frações parciais: 
Figura 3.9 Circuito RC 
 
Equação diferencial que 
descreve o comportamento 
dinâmico do sistema 
 
 
 
 51 
CAPÍTULO 3 – Transformada de Laplace 
𝑉𝑐(𝑠) =
𝐴
𝑅𝐶
𝑠 (𝑠 +
1
𝑅𝐶)
=
𝑘1
𝑠
+
𝑘2
𝑠 +
1
𝑅𝐶
 
sendo, 
𝑘1 = [𝑠 ∙ 𝑉𝑐(𝑠)]|𝑠=0 = 𝐴 
𝑘2 = [(𝑠 +
1
𝑅𝐶
) ∙ 𝑉𝑐(𝑠)]|
𝑠=−
1
𝑅𝐶
 
= −𝐴 
Logo, obtemos: 
𝑉𝑐(𝑠) =
𝐴
𝑠
−
𝐴
𝑠 +
1
𝑅𝐶
 
Aplicando a transformada inversa de Laplace, com o auxílio da Tabela 3.1, chega-
se a: 
ℒ−1{𝑉𝑐(𝑠)} = 𝐴 − 𝐴𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶 = 𝐴(1 − 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶) 
Assim, o comportamento de 𝑣𝑐(𝑡) ao longo do tempo tal como ilustrado na Figura 
3.10. 
 
Figura 3.10 Comportamento da tensão no capacitor do circuito do Exemplo 3.9. 
 
 
3.5. Determine a evolução temporal de vc(t) e i(t) no circuito da Figura 3.11, 
considerando que a chave S é fechada em 𝑡 = 0 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠, e 𝑣𝑐(0) = 0 𝑉. 
3.6. Determine a evolução temporal de vc(t) e i(t) no circuito da Figura 3.12. Suponha 
que não haja energia armazenada no circuito antes da chave se fechar, ou seja, 
vc(t)=0 e i(t)=0. Aplique o T.V.F. para determinar os valores de regime. 
 
Exercícios 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 52 
 
Figura 3.11 Circuito para o Exercício 3.5. 
 
 
Figura 3.12 Circuito para o Exercício 3.6. 
3.7. Resolva a seguinte equação diferencial: 
�̈�(𝑡) + 3�̇�(𝑡) + 2𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡) 
sendo: 
�̈�(0) = �̇�(0) = 𝑥(0) = 0 
e, 
𝑢(𝑡) = {
0, 𝑡 < 0
1, 𝑡 ≥ 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São dados: 
R1=R2=1 Ω 
C=10-3 F 
São dados: 
R=1 Ω 
L=0,2 H 
C=10-3 F 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
4 Função de Transferência 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO DE 
TRANSFERÊNCIA 
CAPÍTULO 
4 
O Motor C.C. 
Presente nas mais 
diversas aplicações, os 
motores de corrente 
contínua também 
aparecem como 
protagonistas em muitos 
sistemas de controle. 
Uma das aplicações mais 
importantes (e empol-
gantes!) dos motores C.C. 
é a robótica. 
Manipuladores 
robóticos presentes na 
indústria ganham vida 
com articulações 
formadas por elementos 
constituídos por motores 
C.C. Esses são escolhidos 
por possuírem elevado 
torque (necessário em 
operações industriais) e 
a possibilidade de 
controle de velocidade 
e posição angular. 
Contudo, para projetar 
um controlador para um 
motor C.C. precisamos, 
primeiramente, conhecer 
sua função de 
transferência. 
Neste Capítulo... 
Estudaremos um conceito fundamental no projeto de 
controladores: a função de transferência. Veremos como obter 
a função de transferência de um sistema. Além disso, faremos 
um estudo do motor de corrente contínua, um sistema 
eletromecânico de extrema importância na aplicação prática da 
teoria de controle. 
 
 
 
 
 
R
o
b
tS
h
o
p
 I
n
c 
©
 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 54 
4.1 Definição 
 
Conforme vimos no Capítulo 3, passar do domínio do tempo para o domínio da 
variável complexa ‘s’ através da transformada de Laplace traz significativas vantagens por 
permitir realizar o estudo de equações 
diferenciais por meio de equações 
algébricas. 
Tratando-se de sistemas dinâmicos, 
esta simplicidade fica evidenciada na forma 
pela qual podemos relacionar a saída de um 
sistema para uma determinada entrada. No 
domínio de Laplace, esta relação é dada por: 
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠) ∙ 𝑈(𝑠) 
Em (4.1), 𝒀(𝒔) é a transformada de 
Laplace da saída 𝑦(𝑡), 𝑿(𝒔) é a transformada 
de Laplace da entrada 𝑥(𝑡) e, por sua vez, 
𝑮(𝒔) representa a função de transferência 
do um sistema. 
A função de transferência de um sistema de equações diferenciais lineares 
invariantes no tempo é definida como a relação entre a transformada de Laplace da 
saída 𝒀(𝒔) (função resposta) e a transformada de Laplace da entrada 𝑿(𝒔) (função 
excitação) sob a hipótese de que todas as condições iniciais são nulas. 
Assim, a função de transferência de um sistema é dada por: 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
 
 Vejamos o exemplo a seguir para melhor entender o conceito de função de 
transferência. 
Exemplo 4.1: Considere o satélite da 
Figura 4.2. Deseja-se estabelecer o 
controle da posição angular 𝜃(𝑡) do 
satélite, através do acionamento de 
propulsores laterais que, quando 
ligados, provocam a rotação do 
satélite em torno de seu centro de 
massa. O acionamento de um dos 
propulsores implica no surgimento 
de uma força 𝐹(𝑡), que por sua vez, 
gera o torque 𝑇(𝑡) do propulsor. 
(4.1) 
(4.2) 
Figura 4.1 Associação entre um sistema dinâmico e sua função de 
transferência. 
Figura 4.2 Controle de posição angular de satélite através de torque 
propulsor. 
 
 
 
 
 55 
CAPÍTULO 4 – Função de Transferência 
Assim, consideremos que saída que se deseja controlar é a posição angular 𝜃(𝑡) do 
satélite e que a entrada de controle é o torque 𝑇(𝑡). Admita que a velocidade de rotação 
�̇�(𝑡) e a posição angular 𝜃(𝑡) são nulas em 𝑡 = 0, ou seja: �̇�(𝑡) = 0 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ e 𝜃(𝑡) = 0 𝑟𝑎𝑑 
(C.I. nulas). 
Neste caso, o torque é dado por: 
𝑇(𝑡) = 𝐿 ∙ 𝐹(𝑡) 
 Aplicando a segunda lei de Newton ao presente sistema e observando que não há 
nenhum atrito no ambiente dos satélites temos: 
∑𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒𝑠 = (
𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝑑𝑒 
𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎
) ∙ (
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜
𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
) 
Ou seja, 
𝑇(𝑡) = 𝐽 ∙
𝑑2𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2
 
sendo que 𝐽 é o momento de inércia do satélite. Nosso objetivo é encontrar a função de 
transferência que relaciona a entrada 𝑇(𝑡) com a saída 𝜃(𝑡). Para isso, aplicamos a 
transformada de Laplace em (4.4): 
ℒ{𝑇(𝑡)} = 𝐽 ∙ ℒ {
𝑑2𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2
} ⇒ 
⇒ 𝑇(𝑠) = 𝐽 ∙ [𝑠2𝜃(𝑠) − 𝑠𝜃(𝑡)|𝑡=0 − �̇�(𝑡)|𝑡=0] 
𝑇(𝑠) = 𝐽 ∙ 𝑠2𝜃(𝑠) 
Assim, podemos observar que a saída se relaciona com a entrada da seguinte 
forma: 
𝜃(𝑠) =
1
𝐽𝑠2
𝑇(𝑠) 
Como comentamos, a função de transferência de um sistema é definida através de 
uma relação entre a saída e a entrada do sistema. Assim, neste caso, temos: 
𝐺(𝑠) =
𝜃(𝑠)
𝑇(𝑠)
=
1
𝐽 ∙ 𝑠2
 
sendo 𝐺(𝑠) a função de transferência do satélite. 
(4.3) 
(4.4) 
(4.5) 
(4.6) 
(4.7) 
(4.8) 
 
 
 
CONTROLE LINEAR Sistemas Contínuos no Tempo 
Sistems 
 56 
Esquematicamente, podemos representar o sistema estudado no Exemplo 4.1 tal 
como ilustra a Figura 4.3. 
O conceito de função de transferência será muito útil neste curso. Conhecer a 
função de transferência de um sistema permitirá que façamos uma análise do mesmo e, a 
partir disto, projetaremos sistemas de controle automático, de forma que o sistema 
passe a operar segundo as especificações que nós determinaremos. 
4.1. Determine a função de transferência do