Controle Discreto: Representação em Espaços de Estados

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1
Profa. Carla de Moraes de Lara
Controle Discreto
Aula 1
13
2
Mapeamento de s no plano F(s)
13
3
Sendo F(s) = s² - 3s + 4, o mapeamento de s=8+j5 fica:
F(8+j5) = (8+j5)² - 3(8+j5) – 4
= 64 +j80 + j².25 – 24 – j15 + 4
= (64 – 49 + 4) + (j80 –j15)
= 19 + j65
13
4
Enquete Critério de Nyquist
13
5
Motivação;
Representação Matricial;
Obtenção da representação em EE;
Exemplo de circuitos elétricos;
Exemplo de sistema massa-mola;
Conversão de EE para FT;
Conversão de FT para EE.
Representação em Espaços de Estados (EE)
13
6
A tendência é dos sistemas de controle
modernos com várias entradas e saída;
Isto exige técnicas de controle moderno e mais
robustas;
A representação no domínio da frequência só é
aplicável em sistemas LIT;
Por isso, a representação no domínio do tempo
(espaço de estados) é indicada tanto para
sistemas LIT quanto sistemas não lineares.
Representação em EE
13
7
Comparação entre Controle Moderno e 
Controle Clássico
CLÁSSICO
•SISTEMAS 
LIT
•SISO
MODERNO
•LIT E NÃO 
LINEARES
•SISO ou 
MIMO
13
8
13
9
Espaços de estados em diagrama de blocos
Fonte: Ogata (2010)
13
10
Exemplos
13
11
Circuito RL
Variáveis de Estado:
- x1(t): iL
Entradas:
- u(t): v(t)
Variáveis de saída:
- Escolhemos iL como variável de saída
Representação em EE:
13
12
Circuito RLC
Variáveis de Estado:
- x1(t): iL(t)
- x2(t): Vc(t)
Entradas:
- u(t): vi(t)
Variáveis de saída:
Vo(t) = Vc(t)
Representação em EE:
13
13
Exercícios
13
14
Obtenha a representação em EE do 
Circuito RLC
Variáveis de Estado:
- x1(t): Vc(t)
- x2(t): iL(t)
Entradas:
- u(t): Vin(t)
Variáveis de saída:
- Definir como saída iL(t)
Representação em EE:
13
15
Conversão de EE para Função de 
Transferência
13
16
Considere o sistema representados em EE dado por
Aplicando transformada de Laplace em (1), tem-se:
Assumindo condições iniciais nulas, tem-se:
Rearranjado os termos, tem-se:
13
17
Isolando X(s):
Aplicando transformada de Laplace em (2), tem-se:
Resultando em
Substituindo (6) em (8):
13
18
Resultando em:
Sabendo que a FT é a relação entre a saída e a 
entrada do sistema, pode-se defini-la como:
Dificuldade: determinar a inversa desta matriz
13
19
Conversão de EE para FT - Etapas
13
20
Exercícios
13
21
Dados os sistemas representados em EE, 
determine a FT
a)
b)
c)
ሶ𝑥1(𝑡)
ሶ𝑥2(𝑡)
=
2 0
−1 5
𝑥1 (𝑡)
𝑥2(𝑡)
+
1
0
𝑢 𝑡
y t = 1 0
𝑥1 (𝑡)
𝑥2(𝑡)
ሶ𝑥1(𝑡)
ሶ𝑥2(𝑡)
=
3 −2
0,5 −1
𝑥1 (𝑡)
𝑥2(𝑡)
+
1
−1
𝑢 𝑡
y t = 1 0
𝑥1 (𝑡)
𝑥2(𝑡)
ሶ𝑥1(𝑡)
ሶ𝑥2(𝑡)
=
1 2
7 8
𝑥1 (𝑡)
𝑥2(𝑡)
+
1
0
𝑢 𝑡
y t = 1 0
𝑥1 (𝑡)
𝑥2(𝑡)
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)
=
𝟏
𝒔 − 𝟐
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)
=
𝒔 + 𝟑
𝒔𝟐 − 𝟐𝒔 − 𝟐
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)
=
𝒔 − 𝟖
𝒔𝟐 − 𝟗𝒔 − 𝟔
13
1
Profa. Carla de Moraes de Lara
Controle Discreto
Aula 1
13
2
Controlabilidade
13
3
Capacidade de controlar o valor de qualquer 
estado existente na planta;
Possibilidade de controlar suas variáveis de 
estado;
A maioria dos sistemas é completamente 
controlável.
Controlabilidade
13
4
O primeiro passo para determinar a
controlabilidade de um sistema é obter sua
matriz de controlabilidade, dada por:
Sendo A e B as matrizes do sistema representado
em EE.
Matriz de Controlabilidade
13
5
A matriz Cm deve existir para qualquer valor inicial
das variáveis de estado;
Logo, o posto da matriz Cm de dimensão nxn deve
ser n;
Ou seja, a matriz Cm deve ser quadrada e de
dimensão n, enquanto seu posto deve ser igual a
sua dimensão.
Determinando a controlabilidade a partir de 
CM
13
6
O posto de uma matriz indica o número de linhas
linearmente independentes;
Logo, determinaremos se a matriz possui linhas
linearmente DEPENDENTES, através da avaliação
de sua singularidade.
Matriz Singular: é aquela que não admite ser
calculada sua inversa.
Posto de uma matriz
13
7
Para que uma matriz seja singular, seu
determinante deve ser igual a zero;
Logo, se a matriz de Cm for singular, o sistema não
é controlável;
Sendo assim, a matriz Cm terá seu posto diferente
da sua dimensão.
Matriz Singular
13
8
O posto da matriz Cm (nxn) deve ser igual a n;
O determinante da matriz de controlabilidade é
diferente de zero;
A matriz Cm é não singular, ou seja, admite
inversa.
Característica de um sistema controlável
13
9
Definir as matrizes A e B;
Determinar a matriz de controlabilidade Cm;
Cm = cont_mat(A,B)
Verificar o posto.
rank(Cm)
Determinando controlabilidade no Scilab
13
10
Exemplos
13
11
Sistema 1
Sistema 2
Determine se os sistemas são controláveis
13
12
Observabilidade
13
13
Um sistema é considerado observável, se é
possível estimar qualquer estado x(t) a partir de
um sinal de entrada e saída conhecidos, em um
intervalo de tempo finito.
Isto é útil na solução de problemas de
reconstrução de variáveis de estado não
mensuráveis.
Observabilidade
13
14
Nas técnicas de controle por realimentação, é
possível ocorrer situações onde não é possível
realizar a medição direta de variáveis;
Logo, é necessário estimar a variável de estado
para construir os sinais de controle.
Observabilidade e variáveis de estado não 
mensuráveis
13
15
Portando, devido a necessidade de projeto de
observadores de estado, é necessário determinar
se o sistema é completamente observável.
Sendo assim, podemos aplicar os conceitos de teste
de observabilidade.Observadores de Estado
13
16
O primeiro passo para determinar se um sistema
é observável consiste em obter sua matriz de
observabilidade, dada por:
Sendo A e C as matrizes do sistema representado
em EE.
Matriz de Observabilidade
13
17
A matriz de observabilidade Om sempre será
quadrada e de dimensão n x n;
E o critério para que o sistema seja observável é
o mesmo que da controlabilidade, ou seja, o
posto de Om deve ser igual a sua dimensão n.
Matriz de Observabilidade
13
18
Sendo assim, se o determinante da matriz Om
for diferente de zero, podemos afirmar que seu
posto é igual a sua dimensão;
Logo, o sistema é observável;
Portanto, pode-se afirmar que suas variáveis
podem ser estimadas.
Critério de Observabilidade
13
19
Exemplos
13
20
Considere o sistema dado por
Determine se este é observável.
Exemplo 1
13
21
Sua matriz de observabilidade será dada por:
Substituindo C e A, tem-se:
Exemplo 1 - Resolução
13
22
A partir da matriz Om obtida, calcular o
determinante desta.
Portanto, o sistema é observável
Exemplo 1 - Resolução
13
23
Mostre que o sistema a seguir não é
completamente observável.
Exemplo 2
13
24
Sua matriz de observabilidade será dada por:
Substituindo C e A, tem-se:
Exemplo 2 - Resolução
13
25
A partir da matriz Om obtida, calcular o
determinante desta.
Portanto, o sistema não é observável.
Exemplo 2 - Resolução
13
26
Definir as matrizes A e C;
Determinar a matriz de observabilidade Om;
Om = obsv_mat(A,C)
Verificar o posto.
rank(Om)
Determinando obsevabilidade no Scilab
13
27
Exercícios
13
28
Avalie a observabilidade dos seguintes sistemas:
1) 2)
3)
13
1
Profa. Carla de Moraes de Lara
Controle Discreto
Aula 2
13
2
Projeto de controladores – Espaço de 
Estados
13
3
As técnicas de controle modernas utilizam a
representação em espaço de estados;
A partir dos conceitos de representação em
espaço de estados, controlabilidade e
observabilidade, desenvolveremos sistemas de
controles e projetos de estimadores de estado.
Por que utilizar técnicas de controle baseadas 
na representação em EE
13
4
Alocação de polos;
Projetos de sistemas tipo regulador.
Estimadores de estados;
Projeto de estimadores de estados;
Projeto de servossistemas;
Técnicas de projeto para sistemas em 
espaço de estados
13
5
É exigido dos sistemas de controle modernos
velocidade e precisão de operação, aliadas a custos
menores;
A alocação de polos é uma técnica que exige alta
capacidade e desempenho dos dispositivos de
controle;
Já os estimadores de estado eliminam a
necessidade de sensores, diminuindo os custos.
Contextualizando 
13
6
Alocação de Polos
13
7
Técnica por realimentação de estados;
O objetivo é a partir de polos previamente
definidos, estabelecer um vetor de ganhos k;
Este vetor de ganhos multiplicará os estados
com a intenção de alocar os polos nas posições
desejadas.
Alocação de Polos
13
8
Neste caso, a entrada de controle passa a ser
definida como:
(1)
Ou seja, tem-se um vetor k multiplicando os estados.
13
9
Generalizando a eq. (1) para n ganhos e n estados,
tem-se:
13
10
Porém, para que seja possível a implementação desta
técnica é, alguns requisitos devem ser atendidos:
i) Todos os estados da planta devem ser conhecidos,
seja por medição ou por observadores de estados;
ii) O sistema precisa ser completamente controlável.
13
11
Considerando um sistema representado em espaço de
estados e dado por:
(2)
(3)
Substituindo a eq. (1) na eq. (2), tem-se:
13
12
❑Os polos do sistema em malha fechada são os
autovalores de (A - Bk);
❑Portanto, pode-se concluir que se existir uma matriz
(ou um vetor) que satisfaça a alocação de polos;
❑Então A-Bk determinará a estabilidade do sistema em
malha fechada.
❑Os autovalores de A – Bk são chamados de polos
reguladores.
13
13
Serão estudados dois métodos de determinação do
vetor de ganhos k, sendo eles:
i) Método da substituição direta;
ii) Métodos de matriz de transformação.
13
14
Método da substituição direta
13
15
1º) Calcular o determinante da matriz (sI-A+Bk);
2º) Determinar a equação característica;
3º) Determinar o vetor de ganhos k;
4º) Elaborar o vetor de ganhos k.
Método da substituição direta
13
16
Exemplos
13
17
Exemplo 1
Considere as matrizes
Determine o vetor de ganhos k, que posiciona 
os polos em malha fechada em: -1+j6 e -1–j6
13
18
Exemplo 1 - Resolução
O primeiro passo para o projeto de qualquer 
controlador, é verificar a controlabilidade do sistema.
Portanto, vamos começar por ele:
Como det(Cm) é diferente de zero, o sistema é 
controlável.
13
19
Exemplo 1 - Resolução
Agora passaremos aplicar os passos do método da 
substituição direta.
Passo 1) Calcular o determinante da matriz (sI-A+Bk)
13
20
Exemplo 1 - Resolução
13
21
Exemplo 1 - Resolução
Passo 3) Comparar o determinante de (sI-A+Bk) 
obtido no passo 1 com a eq. característica obtida no 
passo 2.
Para que as equações sejam iguais, os valores dos 
coeficientes precisam ser os mesmos, logo:
13
22
Exemplo 1 - Resolução
Passo 4) Logo o vetor de ganhos k, pode ser definido 
como:
Além disso, para verificar se os polos foram realmente 
alocados no lugar correto, basta verificar os 
autovalores da matriz (A-Bk).
13
23
Considere as matrizes
Determine o vetor de ganhos k, que posiciona os 
polos em malha fechada em: -2+j3, -2–j3 e -5.
Exemplo 2
13
24
1º) Calcular o determinante da matriz (sI-A);
2º) Determinar a equação característica;
3º) Determinar o vetor de ganhos k;
OBS: só fica mais fácil se o sistema estiver na forma
canônica.
Método da Matriz de Transformação
13
25
Considere as matrizes
Determine o vetor de ganhos k, que posiciona os 
polos em malha fechada em: -3+j5, -3–j5 e -9.
Exercício
𝑨 =
𝟎 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 𝟎
−𝟏 −𝟐 −𝟑
𝑩 =
𝟎
𝟎
𝟏
13
26
Exercício - Resolução
O primeiro passo para o projeto de qualquer 
controlador, é verificar a controlabilidade do sistema.
Portanto, vamos começar por ele:
Como det(Cm) é diferente de zero, o sistema é 
controlável.
𝑪𝑴 =
𝟎 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 −𝟑
𝟏 −𝟑 𝟕
∴ 𝒅𝒆𝒕 𝑪𝑴 =
𝟎 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 −𝟑
𝟏 −𝟑 𝟕
= 𝟏 ≠ 𝟎
13
27
Exercício - Resolução
Passo 1) Calcular o determinante da matriz (sI-A).
𝒔𝑰 − 𝑨 =
𝒔 𝟎 𝟎
𝟎 𝒔 𝟎
𝟎 𝟎 𝒔
−
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
−𝟏 −𝟐 −𝟑
=
𝒔 −𝟏 𝟎
𝟎 𝒔 −𝟏
𝟏 𝟐 𝒔 + 𝟑
𝒅𝒆𝒕 𝑪𝑴 =
𝒔 −𝟏 𝟎
𝟎 𝒔 −𝟏
𝟏 𝟐 𝒔 + 𝟑
= 𝒔𝟑 + 𝟑𝒔𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟏
𝒔𝟑 + 𝒂𝟏𝒔
𝟐 + 𝒂𝟐𝒔 + 𝒂𝟑
ቐ
𝒂𝟏 = 𝟑
𝒂𝟐 = 𝟐
𝒂𝟑 = 𝟏 Por meio de comparação direta entre os coeficientes
13
28
Exercício - Resolução
Passo 2) Determinar a equação característica.
𝒔 − 𝒑𝟏 𝒔 − 𝒑𝟐 𝒔 − 𝒑𝟑
𝒔𝟑 + 𝟏𝟓𝒔𝟐 + 𝟖𝟖𝒔 + 𝟑𝟎𝟔
ቐ
𝜶𝟏 = 𝟏𝟓
𝜶𝟐 = 𝟖𝟖
𝜶𝟑 = 𝟑𝟎𝟔
Por meio de comparação direta entre os coeficientes
𝒔 + 𝟑 − 𝒋𝟓 𝒔 + 𝟑 + 𝒋𝟓 𝒔 + 𝟗
𝒔𝟑 + 𝜶𝟏𝒔
𝟐 + 𝜶𝟐𝒔 + 𝜶𝟑
13
29
Exercício - Resolução
Passo 3) Determinar o vetor de ganhos K.
𝑲 = 𝜶𝟑 − 𝒂𝟑 𝜶𝟐 − 𝒂𝟐 𝜶𝟏 − 𝒂𝟏 𝑻
Sendo T a matriz de transformação linear, que neste
caso é uma matriz identidade pois o sistema está
representado na forma canônica. Portanto:
𝑲 = 𝟑𝟎𝟔 − 𝟏 𝟖𝟖 − 𝟐 𝟏𝟓 − 𝟑
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
𝑲 = 𝟑𝟎𝟓 𝟖𝟔 𝟏𝟐
13
30
Exercício - Resolução
Passo 4) O sistema final será dado por:
ሶ𝒙 𝒕 = 𝑨 − 𝑩𝑲 𝒙 𝒕 + 𝑩𝒖(𝒕)
ሶ𝒙 𝒕 =
𝟎 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 𝟎
−𝟑𝟎𝟔 −𝟖𝟖 −𝟏𝟓
𝒙 𝒕 +
𝟎
𝟎
𝟏
𝒖(𝒕)
13
31
Alocação de Polos no Scilab
13
32
1º) Declarar as matrizes A e B;
2º) Utilizar o comando: k = ppol(A,B,[p1,p2,p3])
Sendo que pn deve ser definido como:
Pn = a+b*%i
Ex: -3+j5 -> -3+5*%i.
Alocação de Polos no Scilab
13
33
Projeto de Servossistemas
13
34
Podem ser definidos como sistemas de controle em
que o sinal de saída segue um sinal de entrada,
chamado de referência.
São sistemas destinados a seguir comandos, sendo
que qualquer alteração na referência, deve modificar
a saída.
Servossistemas
13
35
Basicamente, classificamos os servossistemas em:
- Servossistemacom integrador;
- Servossistema sem integrador.
Servossistemas
13
36
Considerando o sistema representado em espaço de
estados, dado por:
Sendo A, B e C as matrizes de estados, enquanto u(t) e
y(t), são respectivamente entrada e saída do sistema.
Projeto de servossistema com integrador
(1)
13
37
O sistema pode ser representado em diagrama de blocos
por:
Projeto de servossistema com integrador
13
38
Substituindo a entrada u(t) dada pela eq. (2) no sistema
dado pela eq. (1), tem-se:
Logo o novo sistema será dado por:
Projeto de servossistema com integrador
13
39
Exemplo 1
13
40
Iniciando com a transformação da FT para EE:
Exemplo 1
13
41
A partir do sistema já representado em EE, deve-se
determinar o vetor de ganhos K = [k1 k2 k3].
Como o sistema está na forma canônica, pode ser
aplicado o método da matriz de transformação linear
já estudado.
Exemplo 1
13
42
1º) Obtendo o determinante de (sI-A)
Exemplo 1
13
43
2º) Obtendo a equação característica:
Exemplo 1
13
44
3º) Obtendo o vetor de ganhos k:
Exemplo 1
13
45
Finalmente, pode-se montar o novo sistema
representado em espaço de estados:
Exemplo 1
13
46
Portanto, o sistema final com o projeto do 
servossistema será:
Exemplo 1
13
47
- Declarar: A, B, C, D;
- Alocar os polos: K = ppol(A,B,[p1,p2,p3]);
- k1 = K(1);
- G = A – BK;
- H = B*k1;
- Gservo=syslin(‘c’, G, H, C, D);
- t = 0:0.01:8;
- y = csim(‘step’, t, Gservo)
- plot(t, y);
- xgrid;
Projeto de servossistemas com integrador no 
Scilab
13
48
Determine o vetor de ganhos K e monte o sistema completo em
regime permanente para os servossistemas com integrador
dados a seguir:
a)
b)
Exercícios
13
49
Projeto de servossistema sem integrador
Inclusão do integrador, cuja entrada é o sinal de erro e a 
saída é o sinal de entrada da planta
13
50
Projeto de servossistema sem integrador
As equações matemáticas do sistema apresentado,
podem ser definidas como:
13
51
Passo para o projeto de servossistemas 
sem integrador
13
52
Verificar a controlabilidade da matriz P
Considere a matriz P dada por:
Para que possa ser implementado o projeto, P 
deve ser controlável.
13
53
As novas matrizes serão dadas por
13
54
Determinar o polinômio característico
O polinômio característico será dado por:
Obs.: utilizando o método da substituição direta.
13
55
Determinar a equação característica
O equação característica será dada por:
Mesmo que o sistema tenha originalmente apenas 
n estados, será inserido um novo estado, por isso 
o número de polos alocados será a dimensão do 
sistema + 1.
13
56
13
57
Montar o sistema completo em malha 
fechada
A novo sistema será dado por:
13
58
Considere o sistema apresentado a seguir:
Projete um servossistema sem integrador que faça a 
alocação dos polos em: -2,5 +j10; -2,5 – j10 e -4.
Exemplo 1
13
59
Verificar a controlabilidade da matriz P
13
60
As novas matrizes serão dadas por
13
61
Determinar o polinômio característico
13
62
Determinar a equação característica
O equação característica será dada por:
13
63
13
64
Montar o sistema completo em malha 
fechada
A novo sistema será dado por:
13
65
Montar o sistema completo em malha 
fechada
A novo sistema será dado por:
13
66
- Declarar: A, B, C, D;
- Ahat = [A zeros(2,1); -C 0];
- Bhat = [B; 0];
- Khat = ppol(Ahat,Bhat,[p1,p2,p3]);
- K = [Khat(1) Khat(2)];
- Ki = -Khat(3);
- G = [A – B*K B*Ki; -C 0];
- H = [0; 0; 1;];
- Cn = [C 0];
- Gservo=syslin(‘c’, G, H, Cn, D);
- t = 0:0.01:8;
- y = csim(‘step’, t, Gservo)
- plot(t, y);
- xgrid;
Projeto de servossistemas sem integrador no Scilab
13
67
Determine o vetor de ganhos K e monte o sistema completo em
regime permanente para os servossistemas sem integrador
dados a seguir:
a)
b)
Exercícios
13
68
Estimadores de Estados
13
69
Também são chamados de observadores de
estados;
São técnicas utilizadas para estimar estados,
quando um ou mais estados não são passíveis de
medição.
Estimadores de Estados
13
70
São baseados nas medidas da variáveis de saída
e de controle;
Além de que, só podem ser implementados em
sistemas observáveis;
Convenciona-se o uso do acento ‘~’ sobre as
variáveis que estão sendo estimadas.
Estimadores de Estados
13
71
Estimadores de Estados
13
72
Passos para o projeto do estimador de 
estados – Método 1
Verificar a observabilidade do sistema;
Determinar a equação característica;
Calcular o determinante de (sI-A+KeC);
Determinar o vetor de ganhos Ke;
Determinar a equação do estimador.
13
73
Passos para o projeto do estimador de 
estados – Método 2
Verificar a observabilidade do sistema;
Calcular o determinante de (sI-A);
Determinar a equação característica;
Obter Ke a partir da relação:
sendo
13
1
Profa. Carla de Moraes de Lara
Controle Discreto
Revisão
13
2
Mapeamento no plano F(s)
13
3
Mapeamento no plano F(s)
O mapeamento no plano F(s), consiste em mapear cada
ponto em s na função que descreve o plano F(s);
Na prática, basta substituir s em F(s).
13
4
Representação em Espaço de Estados
13
5
Representação em Espaço de Estados
13
6
Representação em Espaço de Estados – Exemplo 1
13
7
Representação em Espaço de Estados – Exemplo 1
13
8
Representação em Espaço de Estados – Exemplo 2
13
9
Dado o circuito elétrico a seguir, determine sua
representação em espaço de estados. Considere como
saída a tensão Vo.
Representação em Espaço de Estados – Exemplo 3
Variáveis de Estados:
Entrada e saída:
13
10
Representação em Espaço de Estados – Exemplo 3
1
13
11
Representação em Espaço de Estados – Exemplo 3
2
13
12
Representação em Espaço de Estados – Exemplo 3
13
13
Capacidade de controlar o valor de qualquer 
estado existente na planta;
Possibilidade de controlar suas variáveis de 
estado;
A maioria dos sistemas é completamente 
controlável.
Controlabilidade
13
14
Definir as matrizes A e B;
Determinar a matriz de controlabilidade Cm;
Cm = cont_mat(A,B)
Verificar o posto.
rank(Cm)
Determinando controlabilidade no Scilab
13
15
Exemplos
13
16
Sistema 1
Sistema 2
Determine se os sistemas são controláveis
13
17
Sistema 1
Como o determinante deu
igual a 0, o sistema não é
controlável.
13
18
Sistema 2
Como o determinante deu
diferente de 0, o sistema é
controlável.
𝑪𝑴 = 𝑩 𝑨𝑩 𝑨𝟐𝑩
13
19
Observabilidade
13
20
Um sistema é considerado observável, se é possível
estimar qualquer estado x(t) a partir de um sinal de
entrada e saída conhecidos, em um intervalo de tempo
finito.
Isto é útil na solução de problemas de reconstrução de
variáveis de estado não mensuráveis.
Observabilidade
13
21
Exemplos
13
22
Considere o sistema dado por
Determine se este é observável.
Exemplo
Como o determinante
deu diferente de 0, o
sistema é observável.
13
23
Definir as matrizes A e C;
Determinar a matriz de observabilidade Om;
Om = obsv_mat(A,C)
Verificar o posto.
rank(Om)
Determinando obsevabilidade no Scilab
13
24
Alocação de Polos
13
25
Considere as matrizes
Determine o vetor de ganhos k, que posiciona
os polos em malha fechada em: -2+j8; -2-j8 e -
2. Sabe-se que o sistema é controlável.
Exemplo – Método da Substituição Direta
13
26
Resolução
Agora passaremos aplicar os passos do método da 
substituição direta.
Passo 1) Calcular o determinante da matriz (sI-A+Bk)
13
27
Resolução
Passo 2) Determinar a equação característica.
13
28
Resolução
Passo 3) Comparar o determinante de (sI-A+Bk) 
obtido no passo 1 com a eq. característica obtida no 
passo 2.
13
29
Resolução
Passo 4) Logo o vetor de ganhos k, pode ser definido 
como:
Além disso, para verificar se os polos foram realmente 
alocados no lugar correto, basta verificar os 
autovalores da matriz (A-Bk).
13
30
1º) Calcular o determinante da matriz (sI-A);
2º) Determinar a equação característica;
3º) Determinar o vetor de ganhos k;
OBS: só fica mais fácil se o sistema estiver naforma
canônica.
Método da Matriz de Transformação
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTROLE DISCRETO 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Samuel Polato Ribas 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta disciplina, vamos estudar os sistemas de controle em tempo 
discreto. Entretanto, para se chegar a tal ponto, primeiramente devemos 
conhecer alguns conceitos ainda em tempo contínuo. Portanto, essa aula tem 
como objetivo realizar análises pertinentes à estabilidade e também trazer 
conceitos e conteúdos que serão válidos para os sistemas discretos. 
Dentre os assuntos abordados, começaremos pelo critério de Nyquist 
para a estabilidade. Na sequência, traremos a carte de Nichols. Com tais 
conceitos, podemos finalmente partir para a representação de sistemas em 
espaço de estados, por meio de variáveis de estado. Esse tipo de 
representação será fundamental para que terminemos esta aula com os 
conceitos de controlabilidade e observabilidade de sistemas. 
CONTEXTUALIZANDO 
Os sistemas de controle contínuo fazem parte do que é conhecido como 
teoria de controle clássico. São conceitos já consolidados, que formam uma 
teoria que serve de base para o desenvolvimento de novos conceitos e teorias. 
Entre eles, as noções de controle discreto e controle moderno. 
As técnicas de controle moderno têm sua teoria desenvolvida em tempo 
contínuo, porém a sua implementação prática é feita de forma discreta, 
utilizando plataformas digitais de desenvolvimento, como microcontroladores e 
microprocessadores. 
Por esse motivo, para compreender o controle discreto, é necessário 
conhecer a teoria que lhe deu origem, o que vem ao encontro dos temas desta 
aula. 
PROBLEMATIZANDO 
A teoria de controle clássico, por si só, não é algo simples de se 
compreender. Com a tendência de desenvolvimento de técnicas de controle 
moderno, e a decorrente necessidade de sua implementação, é indispensável 
conhece tais técnicas. 
Mais ainda, é sabido que em algumas situações os modernos 
controladores discretos tornam o sistema como um todo mais robusto, e com 
melhor desempenho. Assim, considera-se de extrema importância o 
 
 
3 
conhecimento dos princípios que regem as teorias de controle discreto. Tais 
teorias são originárias de análise em tempo contínuo, objeto de estudo nesta 
aula. 
Saiba mais 
Pesquise a diferença existente entre o controle clássico e o controle 
moderno. Veja também como são implementados os controladores discretos. 
Tente perceber como, atualmente, os sistemas de controle discreto dominam 
as aplicações e as suas vantagens em relação aos controladores analógicos. 
TEMA 1 – CRITÉRIO DE NYQUIST 
O critério de Nyquist, desenvolvido por Harry Nyquist, é um método 
utilizado para determinar a estabilidade de um sistema em malha fechada a 
partir de seus dados em malha aberta, mais precisamente da sua resposta em 
frequência e da localização dos polos em malha aberta. 
Antes de entrarmos especificamente na análise de estabilidade por este 
critério, é necessário conhecer a teoria que deu origem à análise, muito 
utilizada para análises de sistemas de controle. 
Comece considerando um sistema em malha fechada, cuja função de 
transferência direta é dada por G(s). A função de transferência de malha aberta 
é G(s)H(s), com sinais de entrada e saída iguais a R(s) e C(s), 
respectivamente. Assim, a função de transferência de malha fechada será dada 
por 
 
 
 
   sHsG
sG
sR
sC


1 
(1) 
Para que o sistema da equação (1) seja estável, os polos de 1+G(s)H(s) 
devem estar no lado direito do plano complexo, ou seja, devem possuir parte 
real negativa. A grande vantagem do critério de Nyquist é que não precisamos 
conhecer a função de transferência do sistema ou da planta a ser controlada. 
Conhecendo apenas a resposta em frequência, em malha aberta, podemos 
determinar a estabilidade. 
Vamos considerar agora que a função de transferência em malha aberta 
é um sistema composto por uma relação de polinômios, e que o sistema é 
realizável – ou seja, o grau do denominador é maior, ou igual, ao grau do 
 
 
4 
numerador. Assim a medida que s aumenta, a função de transferência em 
malha aberta tende ao zero ou a uma constante. 
Agora, define-se a função de transferência em malha aberta como sendo 
a equação característica, F(s), dada por: 
      01  sHsGsF
 
(2) 
A partir da equação (2), demonstra-se que uma trajetória contínua e 
fechada no plano s corresponde a uma trajetória contínua e fechada no plano 
F(s). Como exemplo, considere a função dada em Ogata (2010). 
   
1
2


s
sHsG
 
(3) 
A equação característica F(s) = 1 + G(s)H(s) fica da seguinte forma: 
  0
1
1
1
2
1 





s
s
s
sF
 
(4) 
Para o ponto s = 2+j1, por exemplo, tem-se da equação (4), que: 
  12
11
13
112
112
1
1
j
j
j
j
j
s
s
sF 









 
(5) 
Dessa forma, vemos que o ponto s = 2+j1, é mapeado como o ponto 2–
j1, no plano F(s). Assim, pode-se mapear pontos do plano s no plano F(s). 
Como exemplo, vamos considerar o plano F(s), para a linha de σ = +2, 
variando o valor de ω. Para cada valor de ω, encontra-se um valor mapeado no 
plano F(s). Em um determinado ponto, será completada uma trajetória fechada. 
Assim, para a linha ω = 0, o plano s, e mapeamento de F(s), ficam conforme 
mostrado na Figura 1. 
 
 
5 
Figura 1 – Mapeamento de F(s) para σ = +2 (b), de acordo com o plano s (a) 
 
Fonte: Elaborado com base em Ogata, 2010. 
Vamos supor agora que o ponto representativo em s resulte em um 
traçado no sentido horário. Se o contorno formado no plano s envolver o polo 
de F(s), então o contorno de F(s) envolverá a origem do plano F(s) com o 
contorno no sentido anti-horário. Agora, se o contorno de s envolver um zero 
de F(s), então o contorno de F(s) envolve a origem no sentido horário. Se o 
contorno do plano s envolver os polos e os zeros de F(s), não haverá 
envolvimento da origem pelo contorno de F(s). Vale ressaltar que não importa 
se os zeros e polos estão do lado esquerdo ou direito do plano s, pois o sentido 
do contorno de F(s) não sofrerá alteração. 
Agora que já conhecemos o que significa o mapeamento, vamos 
verificar como ele se aplica ao critério de Nyquist para análise de estabilidade. 
Para isso, fazemos o contorno do plano s abranger todo o lado direito do plano 
complexo, ou seja, ω vai de – até + . Fazendo isso, o contorno do plano s 
fica como na figura abaixo. 
 
 
6 
Figura 2 – Contorno do plano s com ω de – até + 
 
Fonte: Elaborado com base em Ogata, 2010. 
O contorno da Figura 2 é chamado de percurso de Nyquist, e é sempre 
traçado no sentido horário. Sabemos que a equação característica é dada por 
F(s) = 1 + G(s)H(s), e que o contorno do plano s abrange todo o lado direito. 
Assim, o número de zeros dentro do contorno do lado direito do plano s será 
igual ao número de polos do lado direito do plano complexo, mais o número de 
vezes que o traçado contorna a origem de 1 + G(s)H(s), no sentido horário. 
Perceba que o contorno de 1 + G(s)H(s), com ω de – até + , é 1 + 
G(jω)H(jω). Sendo 1 + G(jω)H(jω) a soma do vetor G(jω)H(jω) com um vetor 
unitário, então seu traçado é o mesmo do vetor traçado a partir de –1+j0. 
Como o envolvimento da origem por 1 + G(jω)H(jω) é igual ao 
envolvimento de –1+j0, a estabilidade de um sistema em malha fechada pode 
ser determinada ao considerarmos os envolvimentos do ponto –1+j0. 
De forma resumida, toda a teoria em torno do critério de estabilidade de 
Nyquist pode ser descrita por alguns critérios. Um dos critérios pode ser 
descrito como: 
PNZ 
 
(6) 
Nessa equação, Z é o número de zeros de 1 + G(s)H(s) no semiplano 
direito do plano s, N é o número de vezes que o ponto –1+j0 é envolvido no 
sentido horário, e P é o número de polos G(s)H(s) no semiplano direito do 
plano s. 
Se P for diferente de zero, para que o sistema de controleseja estável, Z 
deve ser igual a 0 ou N igual a –P, o que significa que devemos ter P 
envolvimentos de –1+j0 no sentido anti-horário. 
 
 
7 
Caso G(s)H(s) não possua nenhum polo no semiplano direito do plano, 
então Z igual a N; assim, para que o sistema seja estável, não podem haver 
envolvimentos no ponto –1+j0. 
Se o lugar das raízes de G(jω)H(jω), passar exatamente sobre o ponto –
1+j0, então os polos de malha fechada estarão exatamente sobre o eixo 
imaginário, o que pode levar o sistema à instabilidade muito facilmente. 
TEMA 2 – CARTA DE NICHOLS 
A carta de Nichols é uma forma de se obter as informações de 
magnitude e fase do diagrama de Bode, em um único gráfico parametrizado 
pela frequência. Em outras palavras, as informações de magnitude e ângulo do 
diagrama de Bode são transferidas para um gráfico de uma única curva em 
função de um valor de frequência ω. 
Considerando o que foi apresentado no diagrama de Bode, a carta de 
Nichols apresenta uma escala logarítmica para o ganho e linear para a fase. O 
princípio da construção da carta de Nichols é semelhante ao processo de 
representação de um ponto no plano complexo, com parte real e imaginária, o 
que dá origem ao conceito do diagrama de Nyquist. No mais, a escala 
logarítmica da magnitude da carta de Nichols permite uma interpretação mais 
detalhada do comportamento do sistema. 
O gráfico da carta de Nichols é mostrado na Figura 3. 
Figura 3 – Carta de Nichols 
 
Fonte: Franklin; Powell; Emami-Naeni, 2013. 
 
 
8 
O gráfico da carta de Nichols contém os contornos de magnitude e fase 
constantes em malha fechada, e é, portanto, diferente do diagrama de Nyquist, 
que contém círculos. A carta de Nichols é composta por gráficos de escala 
semilog na magnitude, e por uma escala linear na fase. 
Assim, é possível determinar a banda de um sistema em malha fechada, 
a partir de dados do gráfico de malha aberta, verificando onde a curva de 
malha aberta cruza o contorno de malha fechada com magnitude de 0,7 e 
determinando a frequência deste ponto. 
Da mesma forma, a magnitude do pico de ressonância, Mr, é 
determinado observando-se o valor da magnitude do maior contorno em malha 
fechada tangente à curva. A frequência neste ponto é a frequência de 
ressonância ωr. 
Ainda, a margem de ganho é determinada observando-se o valor do 
ganho onde o gráfico da carta de Nichols cruza a linha de –180º. Já a margem 
de fase é obtida verificando a fase em que o gráfico cruza a linha de amplitude 
1. 
A carta de Nichols é uma ferramenta importante quando se deseja 
realizar cálculos sem utilizar recursos computacionais. Para verificar o efeito de 
uma alteração de ganho, por exemplo, basta deslizar a curva desenhada em 
um papel transparente sobre a carta de Nichols. 
Como exemplo, de aplicação da carta de Nichols, considere o sistema 
dado na figura abaixo. 
Figura 4 – Diagrama de blocos do sistema de controle de uma aeronave 
 
Fonte: Franklin; Powell; Emami-Naeni, 2013. 
 
 
9 
A Figura 4 representa o diagrama de blocos para o controle de uma 
aeronave. O compensador D(s) é um PID cuja função de transferência é dada 
por: 
     005,0110
05,0
 ss
s
sD
 
(7) 
As especificações do PID e a resposta em frequência do sistema da 
Figura 4 são mostradas na Figura 5. 
Figura 5 – Resposta em frequência do sistema mostrado na Figura 4. 
 
Fonte: Franklin; Powell; Emami-Naeni, 2013. 
Ao representar a resposta em frequência da Figura 5 por meio da carta 
de Nichols, o que se tem é um gráfico como o da Figura 6. 
 
 
10 
Na Figura 6, é fácil perceber alguns pontos relevantes ao sistema. 
Primeiramente, é fácil observar a margem de fase de 65º. Note que a curva 
cruza a linha de amplitude igual a 1 em –115º, o que caracteriza uma margem 
de fase de 65º, conforme mostrado no diagrama de Bode da Figura 5. 
Note ainda que não há cruzamento da curva do sistema com a curva de 
–180º na carta de Nichols, o que caracteriza uma margem de ganho infinita. 
Figura 6 – Carta de Nichols do sistema da Figura 4 
 
Fonte: Franklin; Powell; Emami-Naeni, 2013. 
Além disso, percebe-se pela curva do gráfico que o valor da magnitude 
de maior contorno é tocado pela curva de 1,2, o que caracteriza uma 
magnitude de pico de ressonância, Mr, igual a 1,2. 
Por fim, percebe-se que a curva em malha aberta cruza o contorno de 
malha fechada com magnitude de 0,7 em ω = 0,8 rad/s, determinando assim a 
banda passante do sistema em malha fechada. 
 
 
11 
TEMA 3 – VARIÁVEIS DE ESTADO 
As variáveis de estado são elementos utilizados para realizar a 
representação matemática de um sistema, por um meio diferente do da função 
de transferência. 
Estamos habituados a representar um sistema a partir das equações 
diferenciais que descrevem o seu comportamento, e então aplicar a 
transformada de Laplace, para isolar a função de transferência que nos 
interessa. 
 As variáveis de estado são utilizadas para representar um sistema por 
espaço de estados. Essa representação é feita por meio de matrizes, de modo 
que a representação de um sistema físico fica da seguinte forma: 
     
     tDutCxty
tButAxtx



 
(8) 
Na equação (8) tem-se: 
 x(t): vetor contendo as variáveis de estado 
 u(t): sinal de controle ou sinal de entrada 
 y(t): saída do sistema 
 A: matriz com os coeficientes das variáveis de estado chamada de 
matriz de estados 
 B: matriz de entrada 
 C: matriz de saída 
 D: matriz de transição direta 
Vale ressaltar que o “ponto” sobre x(t) indica uma derivação em relação 
ao tempo. 
As matrizes A, B, C e D aparecem naturalmente durante o processo de 
modelagem de um sistema físico. O vetor x(t) é o vetor de estados, cuja 
dimensão dependerá da quantidade de variáveis de estado que são inerentes 
ao sistema a ser controlado. 
O sistema da equação (8) pode ser representado por um diagrama de 
blocos, conforme mostrado na Figura 7. 
 
 
12 
Figura 7 – Representação de um sistema no espaço de estados por diagrama 
de blocos 
 
A Figura 7 mostra a o diagrama de blocos completo de um sistema em 
espaço de estados; entretanto, na maioria dos casos a matriz D é igual a zero, 
fazendo assim desaparecer o bloco D. 
Como exemplo de modelagem de um sistema e representação por 
espaço de estados, considere o circuito RLC série, da figura abaixo. 
Figura 8 – Circuito RLC série 
 
Vamos admitir que a saída é a tensão sobre o capacitor, vo(t). Neste 
caso, teremos duas variáveis de estado: a corrente no indutor, iL(t), e a tensão 
sobre o capacitor, vo(t), que são duas variáveis representadas por derivadas. 
Assim, aplicando a Lei de Kirchhof das malhas, tem-se que: 
       tvtvtvtv ioLR  
 
 
   tvtv
dt
tdi
LtRi io
L
L  
 
     tv
L
ti
L
R
tv
Ldt
tdi
iLo
L 11 
 
(9) 
Temos ainda: 
 
 
dt
tdv
Cti oL  
 
 ti
Cdt
tdv
L
o 1 
(10) 
 
 
13 
As equações (9) e (10) podem ser escritas na forma de um sistema de 
equações. Vejamos: 
 
 
 
     








tv
L
ti
L
R
tv
Ldt
tdi
ti
Cdt
tdv
iLo
L
L
o
11
1
 (11) 
Agora, representamos o sistema da equação (11) na forma matricial: 
 
 
 
 
 tv
L
ti
tv
L
R
L
C
ti
tv
i
L
o
L
o 





































1
0
1
1
0
 (12) 
Perceba que a representação matricial da equação (12) condiz com a 
representação por espaço de estados da equação (8). Admitindo a tensão 
sobre o capacitor, e vo(t) como saída, como mencionado anteriormente, temos: 
 
 
 
 
 
   
 
 











































ti
tv
tv
tv
L
ti
tv
L
R
L
C
ti
tv
L
o
o
i
L
o
L
o
01
1
0
1
1
0
 (13) 
A equação (13) já é a representação por espaço de estados do circuitoda Figura 8. Se for feita uma analogia da equação (8) com a equação (13), 
teremos: 
   
 
 
 
 
       tvtutvty
ti
tv
tx
ti
tv
tx io
L
o
L
o 


















;;;
  0;01;1
0
;
1
1
0





















 DC
L
B
L
R
L
CA 
(14) 
Perceba que, nesta representação, não foi aplicada a transformada de 
Laplace, o que deixa as equações no domínio do tempo. Portanto, a 
representação por variáveis de estado não é indicada para o projeto de 
controladores clássicos, projetados no domínio da frequência, e sim para o 
projeto de controladores modernos, principalmente os que são baseados na 
realimentação de estados. 
 
 
14 
É possível ainda, a partir da representação em espaço de estados, obter 
a função de transferência do sistema. Considerando o exemplo em questão, se 
o objetivo fosse determinar a função de transferência do circuito RLC da Figura 
8, bastaria fazer: 
 
 
  DBAsIC
sR
sC

1
 (15) 
Aqui, R(s) e C(s) são os sinais de entrada e saída, respectivamente, e I 
representa uma matriz identidade. Substituindo na equação (15) as matrizes, A, 
B, C e D, dadas na equação (14), temos: 
 
 
  01
0
1
1
0
10
01
01
1










































L
L
R
L
Cs
sV
sV
i
O
 (16) 
O resultado: 
 
  1
1
2
0


RCLCssV
sV
i
 (17) 
Perceba que, para executar os cálculos da equação (16), são envolvidos 
conceitos de matrizes, como determinantes e matriz inversa. Neste ponto, vale 
ressaltar uma observação da mais extrema relevância. Os autovalores da 
matriz A são os valores dos polos da planta, ou seja, determinando os 
autovalores de A, é possível determinar a estabilidade do sistema. 
TEMA 4 – CONTROLABILIDADE 
O conceito de controlabilidade está relacionado à capacidade que um 
sistema tem de alterar o valor de qualquer estado, em um instante inicial, t0, 
para um outro valor qualquer em um tempo finito. Em outras palavras, trata-se 
da capacidade de controlar o valor de qualquer estado existente na planta ou 
no sistema de controle. 
Sabe-se que nem todos os sistemas físicos são controláveis por 
completo, ou seja, não é possível controlar todos os seus estados. Entretanto, 
a grande maioria dos sistemas é completamente controlável. 
Entende-se por completamente controlável um sistema no qual todas as 
variáveis de estado possam ser controladas. Entretanto, mesmo não sendo 
 
 
15 
completamente controlável, um sistema pode ter uma ou mais variáveis que 
possam ser controladas. Vamos estudar as situações mais relevantes para o 
problema da controlabilidade. 
4.1 Controlabilidade completa de estados 
Para entendermos este conceito, vamos considerar um sistema em 
tempo contínuo, na forma de espaço de estados, dado por: 
     tButAxtx 

 
(18) 
Este sistema será considerado completamente controlável se, em t0, 
houver um sinal de controle que altere o sistema como um todo, do estado 
atual para um outro estado qualquer, em um intervalo de tempo finito. Para 
determinar se um sistema possui controlabilidade completa de estados, ou se é 
completamente controlável, deve-se primeiramente determinar a matriz de 
controlabilidade do sistema. 
A matriz de controlabilidade, chamada de CM, é dada por: 
 BAABBC nM 1 
 
(19) 
Para que o sistema seja completamente controlável, a matriz CM deve 
existir para qualquer valor inicial das variáveis de estado. Para que essa 
condição seja satisfeita, o posto da matriz de controlabilidade n x n deve ser 
igual a n, ou seja, a matriz de controlabilidade deve ser quadrada, e o seu 
posto deve ser igual à sua dimensão. 
Tal conceito pode ser estendido para o caso em que a entrada u(t) é um 
vetor de dimensão r. Neste caso, para que o sistema seja totalmente 
controlável, a matriz de controlabilidade de dimensão n x nr deve ter posto n ou 
conter n vetores-coluna que sejam linearmente independentes. 
Com exemplo, considere o sistema dado por: 
 
 
 
 
 tu
tx
tx
tx
tx






























0
1
10
11
2
1
2
1
 
(20) 
Portanto, tem-se que: 
  






00
11
ABBCM singular
 
(21) 
 
 
16 
Se a matriz é singular, ou seja, se não admite inversa, o determinante é 
igual a zero, o que indica a existência de linhas linearmente dependentes. 
Portanto, o posto n da matriz é diferente da sua dimensão n x n. Assim, pode-
se afirmar que o sistema não é totalmente controlável. 
Entretanto, vejamos: 
 
 
 
 
 tu
tx
tx
tx
tx






























1
0
12
11
2
1
2
1
 
(22) 
Portanto, tem-se que: 
  







11
10
ABBCM não-singular
 
(23) 
Portanto, se CM é não-singular, significa que o posto é igual à sua 
dimensão, e portanto o sistema é totalmente controlável. 
Os cálculos para verificar o posto da matriz podem se tornar complexos 
e extensos. Por isso, programas computacionais podem ser uma ferramenta 
muito útil. O Scilab, por exemplo, possui o comando “cont_mat”. Esse comando 
retorna o valor da matriz de controlabilidade do sistema. 
Após a declaração das matrizes A e B, o comando pode ser utilizado 
como “Cm = cont_mat(A,B)”, onde “Cm” será a matriz de controlabilidade. Na 
sequência, é possível determinar o posto da matriz digitando o comando 
“rank(Cm)”. Assim, o valor retornado deve ser igual ao número de linhas e de 
colunas da matriz de controlabilidade. 
4.2 Forma alternativa para determinação da controlabilidade 
Uma outra forma de determinar a controlabilidade de um sistema é por 
meio da utilização de uma matriz de transformação linear, que chamaremos de 
P. Comece considerando o sistema: 
     tButAxtx 

 
(24) 
Se os autovetores de A são distintos entre si, então existe uma matriz de 
transformação linear, tal que: 
 
 
17 













n
APP



0
0
2
1
1
 
(25) 
Nela, λ1, λ2, ..., λn são os autovalores de A. 
Para entender a suposição de forma completa, vamos definir: 
Pzx 
 
(26) 
Portanto, substituindo a equação (26) no sistema da equação (24), tem-
se que: 
BuPAPzPz 11 


 
(27) 
Nesse caso, a condição para que o sistema seja completamente 
controlado é que os autovetores de A sejam distintos. Assim, o sistema terá 
todos os seus estados controláveis, se nenhuma linha de P-1B possuir todos os 
elementos iguais a zero. 
Vale ressaltar que tais condições só serão válidas se a condição da 
equação (25) for válida. 
4.3 Controlabilidade da variável de saída 
Em sistemas de controle clássicos, e na maioria dos sistemas de 
controle modernos, a única variável a ser controlada é a de saída. Por isso, em 
grande parte das aplicações, não há a necessidade de que todas as variáveis 
de estado sejam controladas. O que interessa em tais casos é que a variável 
de saída seja controlável, independentemente das demais. 
Para compreender o conceito da controlabilidade da variável de saída, 
considere o seguinte sistema: 
     
     tDutCxty
tButAxtx



 
(28) 
O sistema é dito de saída controlável, se para qualquer valor inicial da 
saída, y(t0), seja possível estabelecer um sinal de controle no vetor u(t) que 
leve à saída y(t) para qualquer valor, sendo t um tempo finito. 
O sistema da equação (28) possui saída controlável se, e somente se, a 
matriz de controlabilidade, dada por: 
 
 
18 
 DBCABCACABCBC nM 12  
 
(29) 
de dimensões m x (n + 1)r, tiver posto m. 
Neste caso, o termo Du tem um papel fundamental para estabelecer a 
controlabilidade da variável de saída, mesmo que D seja igual a zero. 
TEMA 5 – OBSERVABILIDADE 
O conceito de observabilidade vem da possibilidade de um sistema de 
permitir a reconstrução de uma variávelde estado, a partir do conhecimento de 
variáveis que possam ser medidas, no menor intervalo de tempo possível. 
Na prática, alguns sistemas não permitem a medição direta das suas 
variáveis. No controle por realimentação de estados, é necessário ter o 
conhecimento de tais variáveis. Assim, o conceito de observabilidade vem ao 
encontro da necessidade de elaborar projetos de estimadores de estado, que 
permitem estimar qual será o valor das variáveis de estados que não foram 
medidas diretamente. 
O conceito de estabilidade é aplicado a um sistema do seguinte tipo: 
   
   tCxty
tAxtx



 
(30) 
Diz-se que o sistema será completamente observável se todo estado, no 
instante de tempo inicial, x(t0), puder ser estimado em função da observação da 
variável de saída, y(t), em um intervalo de tempo menor que infinito. 
Devido à dualidade existente entre a controlabilidade e a 
observabilidade, a matriz de observabilidade pode ser calculada da seguinte 
forma: 













1n
M
CA
CA
C
O
 
(31) 
Aqui, OM é chamada de matriz de observabilidade. 
Para que o sistema seja completamente observável, é necessário que o 
posto da matriz de observabilidade, de dimensões n x nm, seja igual a n. 
Como exemplo, considere o sistema dado por: 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 





























































tx
tx
tx
ty
tu
tx
tx
tx
tx
tx
tx
3
2
1
3
2
1
3
2
1
150
1
0
0
234
100
010
 
(32) 
Assim, a matriz de controlabilidade será a seguinte: 























91312
334
150
2CA
CA
C
OM
 
(33) 
Assim como no caso da controlabilidade, por envolver em alguns casos 
cálculos complexos e algumas vezes longos, os programas computacionais 
para controle trazem uma função que retorna como resultado a matriz de 
observabilidade. No caso do Scilab, o comando que deve ser utilizado é o 
“obsv_mat”, que retorna a matriz de observabilidade a partir das entradas das 
matrizes A e C. 
Para o problema em questão, bastaria declarar as matrizes A e C, e 
então solicitar a matriz de observabilidade por meio do comando em questão. 
Poderia ser feito, por exemplo, “Om = obsv_mat(A,C)”, sendo A e C as matrizes 
da equação (31). 
Assim como no caso da controlabilidade, uma matriz de transformação 
linear pode ser utilizada para determinar a observabilidade de um sistema de 
controle. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, estudamos duas formas de análise de sistemas no domínio 
da frequência. Fizemos a introdução à representação de um sistema por 
espaço de estados. Os critérios de Nyquist e da Carta de Nichols, temas de 
controle clássico, trazem uma nova forma de resposta em frequência e um 
novo olhar para os sistemas. 
A partir do Tema 3, inicia-se o trabalho com a representação em espaço 
de estados. Esse tipo de representação proporciona, ao projetista de controle, 
a possibilidade de obter diferentes dados, e também de aplicar novas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTROLE DISCRETO 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Samuel Polato Ribas 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Agora que já conhecemos a representação por espaço de estados, 
nesta parte da disciplina vamos tratar de aplicações em que esta 
representação é utilizada. 
Esta aula começa com a técnica de alocação de polos. Trata-se de uma 
técnica de controle moderna. É necessário conhecer as variáveis da planta a 
ser controlada, sendo que o controlador é projetado baseando-se na 
representação por espaço de estado. 
Na sequência, apresentamos o controlador tipo regulador, e logo após 
os tipos de estimadores de estado e o modo de projetá-los. Lembramos que os 
estimadores de estado têm seu projeto vinculado ao conceito de 
observabilidade. 
Para finalizar a aula, apresentamos o problema de controle tipo servo, 
ou controlador de servossistemas, suas características e diferenças em relação 
ao controlador do tipo regulador. 
CONTEXTUALIZANDO 
Cada vez mais, as técnicas de controle e os recursos para implementá-
las se modernizam, e assim o desempenho dos novos controladores melhora. 
Com relação a isso, a redução de custos de implementação, além da 
velocidade e da precisão em um processo industrial, são cada vez mais 
exigidas. 
Todas essas ferramentas e exigências citadas vêm ao encontro aos 
temas desta aula. A alocação de polos é uma técnica de controle moderno que 
exige alta capacidade e desempenho do dispositivo que irá aplicá-la, assim 
como a redução de custos está associada ao uso de estimadores de estado, os 
quais eliminam a necessidade de utilização de sensores. 
Associado a tudo isso, os controladores tipo servo e tipo regulador, 
quando aplicados de forma correta e bem projetados, proporcionam um 
excelente desempenho ao sistema que estão controlando. 
 
 
3 
PROBLEMATIZANDO 
As técnicas de controle moderno já existem há alguns anos na literatura; 
já se sabe que são funcionais e que têm um bom desempenho. Entretanto, o 
que ainda faltava, até há pouco tempo, eram dispositivos capazes de 
implementá-las em sistemas físicos. Tal problema não existe mais. 
Por outro lado, o hábito de utilizar os chamados controladores clássicos 
é tão grande, que há certa resistência em aplicar técnicas de controla moderno. 
Não queremos dizer, com isso, que o controle moderno é melhor que o controle 
clássico; mas, em alguns casos, é fato que o desempenho deles é melhor. 
Assim, um dos objetivos desta aula é quebrar paradigmas e incentivar o 
uso dos recursos disponíveis que podem melhorar o controle e o desempenho 
de um processo. 
Saiba mais 
 Pesquise sobre técnicas de controle implementadas a partir do modelo 
em espaço de estados. Também pesquise sobre os estimadores de estado e 
suas aplicações em sistemas de controle. 
TEMA 1 – ALOCAÇÃO DE POLOS 
A alocação de polos é uma técnica de controle que tem seu projeto 
baseado em sistemas representados em espaço de estados. O controlador 
resultante de um projeto por alocação de polos é um controlador do tipo 
realimentador de estados. Isso significa que haverá um ganho para cada 
estado do sistema, tal que a lei de controle resultante será na forma: 
Kxu 
 
(1) 
Nessa equação, K é um vetor de ganhos, e x é o vetor de estados. Já u 
será um escalar, que é o resultado da soma dos produtos resultantes dos 
ganhos com seus referidos estados. Generalizando a equação (1) para n 
ganhos e n estados, tem-se: 
 
 
4 
 













n
n
x
x
x
KKKu

 2
1
21
 
(2) 
Tal que: 
 332211 xKxKxKu  
 
(3) 
Entretanto, para que essa leide controle seja implementada, são 
necessários alguns requisitos. O primeiro deles é que todos os estados da 
planta sejam conhecidos. Portanto, todos eles devem medidos, ou deve-se 
utilizar um observador de estados. O segundo requisito é que o sistema seja 
completamente controlável. Se essas duas condições forem atendidas, então é 
possível alocar os polos no plano s em qualquer posição, mediante valores de 
ganho K que levem os polos em malha fechada até a posição desejada. 
Sendo assim, a técnica de alocação de polos resume-se em determinar 
uma posição para os polos em malha fechada, e projetar o vetor de ganhos K, 
que leva os polos em malha fechada até a posição desejada. Lembrando que 
isso é possível se as duas condições descritas no parágrafo anterior forem 
atendidas. 
De forma geral, o projeto por alocação de polos consiste em uma 
representação em espaço de estados na seguinte forma: 
     
     tDutCxty
tButAxtx



 
(4) 
Os elementos da matriz foram definidos no Tema 3 da Aula 1. 
O sinal de controle para um sistema com alocação de polos é dado na 
equação (1). Substituindo a equação (1) na equação (4), tem-se: 
     txBKAtx 

 
(5) 
A solução é dada por: 
     0xetx tBKA
 
(6) 
Nela, x(0) é um vetor com o valor inicial dos estados da planta. 
Os polos do sistema em malha fechada são os autovalores de (A–BK); 
portanto, podemos afirmar que, se existir uma matriz (ou vetor) que satisfaça a 
 
 
5 
alocação de polos, então A–BK determinará a estabilidade do sistema em 
malha fechada. Os autovalores de A–BK são chamados de polos reguladores. 
Em malha fechada, o sistema da equação (4), com uma lei de controle 
por realimentação de estados (como é a alocação de polos), pode ser 
representado conforme a Figura 1. 
Figura 1 – Sistema em malha fechada para lei de controle u = –Kx 
 
Fonte: Ogata, 2010. 
Há basicamente três maneiras de determinarmos o conjunto de ganhos 
K utilizando a alocação de polos. Tais métodos serão vistos a seguir. 
1.1 Determinação de K por matriz de transformação T 
Considere um sistema dado por: 
     tButAxtx 

 
(7) 
Considere-se também o sinal de controle igual à equação (1). O vetor de 
ganhos K, se os autovalores de A–BK são μ1, μ2, ..., μn, pode ser determinado 
pelos seguintes passos: 
a) Verificar se o sistema é totalmente controlável. 
b) Pela equação característica da matriz A, determinar a matriz de 
transformação linear T. Vejamos a equação: 
nn
nn asasasAsI  

1
1
1 
 
(8) 
c) Com os polos desejados em malha fechada, escreve-se o polinômio 
característico e determina-se os valores de α1, α2,...., αn. 
 
 
6 
     nn
nn
n ssssss   

1
1
121 
 
(9) 
d) Determinar o vetor de ganhos K 
  1112211

  TaaaaK nnnn  
 
(10) 
1.2 Determinação de K por substituição direta 
Pode-se determinar o vetor de ganhos K substituindo diretamente o 
vetor K no polinômio característico. Essa substituição pode simplificar a 
determinação dos ganhos. Este método só é recomendado para sistemas de 
baixa ordem (menor ou igual a 3). 
Como exemplo, considere um sistema de ordem 3; portanto, a matriz de 
ganhos será: 
 321 kkkK 
 
(11) 
Substituindo o vetor K no polinômio característico, dado por |sI – A + 
BK|, e igualando (s – μ1) (s – μ2) (s – μ3), tem-se: 
   321   sssBKAsI
 
(12) 
Como os dois lados da igualdade da equação (12) são polinômios em s, 
basta igualar os coeficientes e, por analogia, determinar os valores de k1, k2 e 
k3. 
1.3 Determinação de K pela fórmula de Ackermann 
A fórmula de Ackermann é um método utilizado para determinar o vetor 
de ganhos K. Por se tratar de um cálculo propício para a utilização em sistemas 
computacionais, a grande parte dos programas matemáticos que calculam 
ganhos para controladores por alocação de polos usam em seu algoritmo a 
fórmula de Ackermann. 
De forma extremamente resumida, a fórmula de Ackermann, que 
determina o vetor de ganhos K, é dada por: 
     ABAABBK n 11000  
 
(13) 
O significado de ϕ(A), bem como a dedução da fórmula de Ackermann, 
estão descritos no livro de Ogata (2010, p. 664). 
 
 
7 
1.4 Exemplo 
Como exemplo de aplicação dos métodos de alocação de polos 
descritos nas Subseções 1.1 e 1.2, considere um sistema na seguinte forma: 
     tButAxtx 

 
(14) 
Nele, teremos: 























1
0
0
;
651
100
010
BA
 
(15) 
Deseja-se projetar um sistema de controle por realimentação de 
estados, com o sinal de controle dado por u = –Kx, de modo que os polos em 
malha fechada fiquem em –2±j4 e em –10. 
Independentemente do método utilizado para determinar o conjunto de 
ganhos K, deve-se verificar se o sistema é totalmente controlável. A matriz de 
controlabilidade fica assim: 
 












3161
610
100
2 BAABBCM
 
(16) 
A matriz da equação (16) tem posto igual a 3, portanto ela é 
completamente controlável, o que significa que podemos projetar ganhos para 
alocar os polos em malha fechada em qualquer ponto do plano complexo. 
Pelo método da matriz de transformação T, a equação característica do 
sistema será: 
0156
651
10
01
32
2
1
323 



 asasassss
s
s
s
AsI
 
(17) 
Portanto, a1 = 6, a2 = 5 e a3 = 1. 
A equação característica é dada por: 
    02006014104242 32
2
1
323   sssssssjsjs
 
(18) 
E assim temos que α1 = 14, α2 = 60, α2 = 200. 
Por fim, da equação (10) tem-se: 
 
 
8 
    11112233 6145601200
  TTaaaK 
 
(19) 
Como a equação e os estados já estão na forma canônica controlável 
(Ogata, 2010, p. 662), a matriz T é igual à matriz identidade. Portanto: 
 855199K
 
(20) 
Pelo segundo método, da substituição direta, também é possível chegar 
nos valores de ganho K. Para isso, iniciamos definindo o vetor K como na 
equação (11), já que se trata de um sistema de terceira ordem. Igualando a 
equação a [sI – A + BK] à equação característica desejada, tem-se: 
 
   
2006014
156
651
10
01
1
0
0
651
100
010
00
00
00
23
12
2
3
3
321
321










































sss
ksksks
kskk
s
s
kkk
s
s
s
BKAsI
 
(21) 
Da equação (21), por analogia, tem-se: 
2001;605;146 123  kkk
 
(22) 
Ou seja, 
8;55;199 321  kkk
 
(23) 
O Scilab possui a função “ppol”, que realiza o cálculo do vetor de 
ganhos, mediante o conhecimento das matrizes A e B e da localização 
desejada para os polos. As linhas de código a seguir, se digitadas no Scilab, 
retornarão o vetor de ganhos K para o exemplo em questão: 
--> A = [0 1 0 ; 0 0 1 ; -1 -5 -6] 
--> B = [0 ; 0 ; 1] 
--> K = ppol(A,B,[-2+4*%i,-2-4*%i,-10]) 
 K = 
 199. 55. 8. 
 
 
9 
TEMA 2 – PROJETO DE SERVOSSISTEMAS 
Antes de iniciarmos a descrição e a formulação de projetos de 
controladores para servossistemas, vamos entender o que é um 
servossistema. 
Um servossistema é um sistema de controle em que, a um sinal de 
saída, deve-se seguir um sinal de entrada, que será chamado de referência. 
Em outras palavras, são destinados a seguir comandos, pois se houver uma 
alteração na referência, a saída deve ser corrigida, de modo que seu sinal seja 
igual ao da entrada. 
Neste tema, vamos abordar o projeto de servossistemas por meio da 
alocação de polos. Em tais casos, o sinal de controle u, assim como o sinal de 
saída y, são escalares, e serão tratados como tal. 
2.1 Servossistemas com integrador 
Primeiramente, vamos realizar a análise de projetos de servossistemas 
cuja planta já possui um integrador em seu modelo. Para isso, comece 
considerando um sistema dado por: 
Cxy
BuAxx



 
(24) 
Nele, A, B e C são matrizes constantes, x é o vetor de estadosda planta 
e u e y são os sinais escalares de controle e de saída, respectivamente. 
Esse tipo de servossistema é descrito, de forma geral, pelo diagrama de 
blocos da Figura 2. 
 
 
10 
Figura 2 – Diagrama de blocos de um servossistema com integrador. 
 
Fonte: Ogata, 2010. 
Matematicamente, o sinal de controle u, que é igual a u(t), na Figura 2 
pode ser escrito como: 
    rkKxxrk
x
x
x
kkku
n
n 111
2
1
320 















 
(25) 
Suponha agora que o sinal de referência seja aplicado no instante t = 0. 
Então, para t > 0, o sistema é descrito conforme a equação (24), ou ainda por: 
  rBkxBKABuAxx 1

 
(26) 
Em projeto de servossistemas, deseja-se que, em t = ∞, o sinal de 
controle seja nulo. Nesse caso, o sinal de entrada, r, será igual ao sinal de 
saída, y. Em regime permanente, ou seja, em t = ∞, os valores de x(t) e u(t) 
podem ser determinados da maneira que segue. Da equação (25), tem-se que: 
      rBkxBKAx 10 

 
(27) 
Considerando que o sistema em questão é totalmente controlável, então 
é possível alocar os polos em qualquer parte do plano s. Sendo assim, 
considerando que todos os polos estão localizados no lado esquerdo do plano 
complexo, a matriz A–BK admite inversa, e portanto x(∞) pode ser escrito 
como: 
 
 
11 
    rBkBKAx 1
1

 
(28) 
Da mesma maneira como pode ser obtido: 
    01  rkKxu
 
(29) 
Para ilustrar o raciocínio, considere um sistema dado pela equação (24), 
tal que: 
 001;
1
0
0
;
320
100
010























 CBA
 
(30) 
Esse sistema possui um integrador no seu modelo. Sabendo que o posto 
da matriz de controlabilidade é 3, então o sistema é totalmente controlável, e 
assim o sinal de controle pode ser escrito como: 
    rkKxxrkxkxku 1113322 
 
(31) 
Nele, temos: 
 321 kkkK 
 
(32) 
O vetor de ganhos K pode ser obtido utilizando um dos métodos 
descritos no Tema 1, ou com o auxílio de programas computacionais, como o 
Scilab, por exemplo. Realizando os cálculos do vetor K, para que os polos em 
malha fechada fiquem posicionados em –2±j3,464 e em –10, o resultado é: 
 1154160K
 
(33) 
Feito isso, vamos considerar que o sinal de entrada é do tipo degrau 
unitário, de tal forma que o valor da entrada seja 1; portanto, em regime 
permanente a saída deve ser 1 também. Fazemos: 
 



































1456160
100
010
1154160
1
0
0
320
100
010
BKA
 
(34) 
Dessa forma, de acordo com a equação (27), tem-se: 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
r
tx
tx
tx
tx
tx
tx



















































160
0
0
1456160
100
010
3
2
1
3
3
1
 
(35) 
A saída seria: 
 
 
 
 










tx
tx
tx
y
3
2
1
001
 
(36) 
Para verificar a validade do projeto, a Figura 3 apresenta a saída do 
sistema da equação (35) quando submetido a uma entrada do tipo degrau 
unitário. 
O projeto pode ser executado por intermédio do Scilab, por exemplo, 
utilizando os comandos vistos no Tema 1 desta aula para obter o vetor de 
ganhos K. Depois, basta declarar as matrizes das equações (35) e (36) como 
sistemas lineares e aplicar uma entrada do tipo degrau unitário. 
Figura 3 – Reposta do sistema em malha fechada com alocação de polos 
 
2.1 Servossistemas sem integrador 
Quando o servossistema não tem integradores na sua planta, deve-se 
inserir um entre o sinal de erro e a planta. Dessa forma, o sinal de erro será a 
entrada do integrador, e a sua saída será o sinal de entrada da planta. A Figura 
 
 
13 
4 apresenta o diagrama de blocos de um servossistema com a inserção de um 
integrador conforme a descrição. 
Figura 4 – Servossistema com a inclusão de um integrador 
 
Fonte: Ogata, 2010. 
O servossistema da Figura 4 pode ser descrito matematicamente pelas 
seguintes equações: 
BuAxx 

 
(37) 
Cxy  (38) 
1kKxu  (39) 
Cxryr 

 (40) 
Nele, ξ é o sinal de saída do integrador. 
Vamos considerar, como no exemplo anterior, o sinal de entrada como 
um degrau unitário. Combinando as equações (37) e (38), tem-se: 
 
 
 
 
   trtu
B
t
tx
C
A
t
tx




































1
0
00
0

 (41) 
A equação corresponde à representação do sistema da Figura 4 em 
espaço de estados. Para compreendermos melhor como será projetado o 
controle para este servossistema, vamos diretamente para um exemplo. A 
teoria para a dedução das equações utilizadas está disponível em Ogata (2010, 
p. 676). 
Assim, vamos começar considerando uma planta cujas matrizes das 
equações (37), (38), (39) e (40) são dadas por: 
 
 
14 
 0100;
5,0
0
1
0
;
0004905,0
1000
000601,20
0010




























 CBA (42) 
O próximo passo é determinar a equação de estado de erro, dada por: 
euBeAe
^^


 (43) 
De tal forma que: 
eKue
^
 (44) 
E considerando: 
   II kkkkkkKK  |4321
^
 (45) 
Finalmente, temos: 


















































0
5,0
0
1
0
0
;
00100
00004905,0
01000
0000601,20
00010
0
0 ^^ B
B
C
A
A (46) 
Para que o sistema tenha o desempenho desejado em malha fechada, 
os polos devem ser alocados em –1+j1,732, –1–j1,732, –5, –5 e –5. 
Para determinar o vetor de ganhos K, deve-se verificar a controlabilidade 
da matriz P, dada por: 



























00100
5,00004905,0
01000
1000601,20
00010
0C
BA
P (47) 
O posto da matriz P é 5, e portanto o sistema é totalmente controlável. 
Calculando o vetor de ganhos K, e utilizando as matrizes dadas na 
equação (46), que aloca os polos em malha fechada na posição desejada, tem-
se: 
   
 96,5071,3606,5637,3563,157
^
4321
^


K
kkkkkkKK II
 (48) 
 
 
15 
Portanto, temos kI = –50,9684. 
Após a determinação do vetor de ganho K, é possível verificar a 
resposta do sistema a uma entrada do tipo degrau unitário, com kI, o ganho da 
parcela integral. Para obter tal resposta, é necessário descrever o sistema em 
espaço de estados. Em malha fechada, qualquer sistema como o que estamos 
trabalhando fica da seguinte forma: 
 
 
 
 
r
t
tx
C
BkBKA
t
tx I































1
0
0 
 (49) 
A saída do sistema é dada por: 
 
 
 
 r
t
tx
y 000100 







 (50) 
Assim, definindo as matrizes A, B, C e K da equação (50), é possível 
utilizar um programa como o Scilab, por exemplo, para determinar como se 
comportará a resposta do sistema. 
Perceba, pela equação (50), que a variável de saída é o estado 3 do 
vetor x, e que portanto x3(t). A Figura 5 mostra o comportamento do estado x3(t) 
em relação a uma entrada do tipo degrau unitário. 
Figura 5 – Reposta do sistema em malha fechada com alocação de polos 
 
 
 
16 
Perceba, pela Figura 4, que há uma estabilização da variável x3 em 1. 
Isso comprova a eficácia do projeto por alocação de polos, mesmo que a planta 
não tenha integrador. 
TEMA 3 – ESTIMADOR DE ESTADOS 
Os estimadores de estado, também chamados de observadores de 
estado, ou simplesmente observadores, são técnicas utilizadas para estimar o 
valor de um estado de uma planta. Essas técnicas são utilizadas quando um ou 
mais estados da planta não são passíveis de medição, ou seja, quando não 
podem ser medidos diretamente por sensores. 
De forma geral, um estimador de estados se baseia nas medidas de 
variáveis de saída e de controle. Além disso, como o próprionome sugere, os 
observadores de estado só podem ser implementados se o sistema for 
observável. 
A partir desse ponto, vamos utilizar o acento “~” sobre uma variável, 
vetor ou matriz, para indicar que se trata de uma grandeza estimada, ou de um 
estado observado. 
Se considerarmos um sistema como o mostrado na equação (24), então 
o estimador de estado será um subsistema que reconstrói o vetor de estados 
da planta. Matematicamente, o modelo do estimador é igual ao da planta, 
sendo diferente da planta física por um termo a mais, que é o erro de 
estimação, o qual compensa as variações paramétricas a que podem estar 
sujeitas as matrizes A e B, considerando a inexistência de erro no início de seu 
funcionamento. 
O erro de estimação é a diferença entra a o sinal real e o sinal estimado, 
e o erro inicial é a diferença entre o valor inicial de um estado e o valor da 
estimação inicial. 
Matematicamente, um observador de estados pode ser dado por: 
  yKBuxCKAxCyKBuxAx eee 







~~~~
 (51) 
Nele, 
~
x é o vetor de estados estimados,
~
xC é a saída estimada. As 
entradas do estimador são a saída y, e o sinal de controle u. O vetor Ke é o 
vetor de ganhos do estimador, cujos valores envolvem o erro entre a saída 
medida e a saída estimada. 
 
 
17 
Utilizando a representação por diagrama de blocos, a equação (51) pode 
ser representada pela Figura 5. Note que o estimador, delimitado pela linha 
tracejada, possui uma estrutura muito semelhante a da planta. 
Na Figura 5 é mostrado um observador de ordem plena, conforme 
descrito pela equação (51). Neste tipo de estimador, a sua ordem deve ser a 
mesma da planta. O comportamento dinâmico do estimador, é determinado 
pela posição dos autovalores da matriz A–KeC. Se esta matriz for estável, 
então o erro convergirá para zero.para qualquer valor inicial de erro. 
Figura 5 – Estimador de estados de ordem plena 
 
 
Fonte: Ogata, 2010 
Se a planta for totalmente observável, então existirá um vetor Ke do 
estimador, tal que as dinâmicas do erro serão definidas por: 
 eCKAe e

 (52) 
Considera-se qualquer valor inicial do erro. 
A idéia básica do estimador é esta que foi apresentada, ou seja, 
determinar o valor de estados não mensuráveis de uma planta de forma a 
conhecê-los e assim ser possível utilizá-los para realizar o controle da planta. 
 
 
18 
A seguir, mostraremos como realizar o projeto de estimadores de 
estado. 
TEMA 4 – PROJETO DE ESTIMADOR DE ESTADOS 
Existem várias formas de executar o projeto de estimadores de estados. 
Portanto, ao invés de vermos a teoria por trás desse tipo de projeto, vamos 
diretamente resolver exemplos. Assim, caso seja desejável projetar 
estimadores de estado, este tema servirá como um roteiro para tal. 
Sendo assim, vamos considerar um exemplo disponível em Ogata 
(2010). Ele traz um sistema do seguinte tipo: 
Cxy
BuAxx



 
(53) 
Ele terá as matrizes: 
 10,
1
0
,
01
6,200












 CBA
 
(54) 
E vai utilizar uma lei de controle por realimentação de estados, tal que: 
Kxu 
 
(55) 
Deseja-se projetar um estimador de estados pleno, cujos autovalores da 
matriz do estimador sejam –10 e –10. Perceba que os autovalores da matriz A, 
da equação (55), são –4,53 e +4,53. Perceba que os polos do estimador estão 
mais afastados da origem do plano complexo, o que torna a sua dinâmica mais 
rápida que a da planta. A propósito, a dinâmica do estimador sempre deve ser 
mais rápida que a da planta. Deve-se iniciar o projeto verificando a 
observabilidade do sistema da equação (54): 













01
10
CA
C
OM
 
(56) 
Verifica-se que seu posto é 2; portanto, é completamente observável. 
Após isso, devemos verificar qual é a equação caraterística do sistema, 
fazendo: 
  06,20
1
6,20
21
22 







 asass
s
s
AsI (57) 
 
 
19 
Resulta-se em a1 = 0 e a2 = –20,6. Além disso, sabe-se que a equação 
característica do estimador é: 
   0100201010 21
22   ssssss (58) 
Temos que α1 = 20 e α2 = 100. 
O primeiro método de determinação do vetor de ganhos do estimador 
consiste em utilizar a seguinte equação: 
 eCKAe e

 (59) 
A equação característica do estimador é: 
0 CKAsI e (60) 
Se considerarmos que o vetor Ke é composto pelos ganhos ke1 e ke2, 
então a equação (58) fica da seguinte forma: 
  06,20
1
6,20
10
01
6,200
0
0
12
2
2
1
2
1





















ee
e
e
e
e
ksks
ks
ks
k
k
s
s
 (61) 
Com a equação característica do estimador, dada na equação (58), 
podemos fazer uma comparação direta na seguinte forma: 
06,2010020 12
22  ee ksksss (62) 
Resulta-se que ke1 = 120,6 e ke2 = 20, o que leva ao vetor de ganhos Ke: 







20
6,120
eK (63) 
O segundo método utilizado para o projeto de estimadores parte do 
pressuposto de que o vetor de ganho Ke pode ser escrito em função da 
observabilidade do sistema. Segundo esse método, o vetor Ke pode ser escrito 
como: 
 

















11
111
a
a
a
OWK
nn
nn
Me




 (64) 
Nele, OM é a matriz de observabilidade e W é uma matriz na seguinte 
forma: 
 
 
20 



















0001
001
01
1
1
32
121





a
aa
aaa
W
nn
nn
 (65) 
Como os coeficientes a1, a2, α1 e α2 já foram determinados, o vetor de 
ganhos Ke, de acordo com a equação (64), fica na forma: 
 
 













































20
6,120
020
6,20100
01
10
01
1
1
1
11
221 a
a
a
OWK Me


 (66) 
Independentemente do método de projeto adotado, o fato é que a 
equação do observador, dada pela equação (51), pode ser escrita como: 
  yu
x
x
x
x
yKBuxCKAx ee 







































 


20
6,120
1
0
201
1000
~
2
~
1
~
2
~
1
~~
 (67) 
A equação (67) descreve o diagrama de blocos da Figura 5, ou seja, 
trata-se de um observador de estado pleno, no qual todos os estados podem 
ser estimados. 
Vale lembrar que é adequado escolher os autovalores do estimador, 
mais afastados do plano complexo do que os autovalores da planta, pois a sua 
dinâmica deve ser maior, de forma a obter o valor do estado estimado mais 
rapidamente. 
TEMA 5 – PROJETO DE SISTEMAS TIPO REGULADOR 
Assim como no caso do Tema 4, sobre projetos de estimadores, aqui 
vamos explicar como elaborar o projeto de sistemas do tipo regulador por meio 
de exemplos. 
Antes de iniciar, é preciso relembrar o que é um sistema desse tipo. Ele 
não tem um valor de referência – a sua entrada é nula. Neste caso, o sistema 
de controle tem como objetivo manter a planta, ou um processo, em uma 
condição pré-determinada de operação. Um exemplo de sistema do tipo 
regulador é apresentado abaixo. 
 
 
21 
Figura 6 – Sistema do tipo regulador 
 
Fonte: Ogata, 2010. 
O projeto de controladores do tipo regulador pode ser realizado utilizando 
estimadores de estados conforme o que foi estudado nos temas anteriores. 
Segundo Ogata (2010), um projeto deste tipo pode ser realizado executando as 
seguintes etapas: 
1. Obter o modelo da planta em espaço de estados. 
2. Escolher os polos em malha fechada, considerando um projeto por 
alocação de polos, e escolher os polos do estimador. 
3. Determinar o vetor de ganhos K, da alocação de polos, e o vetor Ke dos 
ganhos do estimador. 
4. Após determinadas as matrizes de ganho K e Ke, basta obter a função 
de transferência do conjunto controlador-estimador e verificar se o 
resultado atende aos requisitos de desempenho. 
Como exemplo, considere uma planta cuja função de transferência é dada 
por: 
 
 
 
  64
210



sss
s
sU
sY
 (68) 
A primeira