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BIK0102-2020.QS - Lista de Exercícios 
 
Tópico 7 - Partícula na caixa, átomo de hidrogênio, números quânticos para o átomo de hidrogênio, estados 
quânticos para o átomo de hidrogênio. 
 
1) Use o modelo da par�cula em uma caixa, considerando o elétron em uma caixa unidimensional de comprimento L = 
150 pm e: 
 
(a) prediga o comprimento de onda (λ) da radiação emi�da quando o elétron passa do nível n = 3 para n = 2; 
(b) repita o cálculo para a transição entre n = 4 e n = 2; 
 
Resp.: (a) λ ≈ 14,85 nm ; (b) λ ≈ 6,18 nm 
 
Resolução: 
Primeiro precisamos encontrar a energia da radiação emi�da pela transição eletrônica: 
E −E E −E Δ = Ef i ⇒ Δ = E2 3 
A energia para o elétron em uma caixa unidimensional é dada por: 
E = n ·h2
2
8·m·L2
 
Assim: 
E − 1, 38 0 J 83, 6 eVΔ =
2 · 6,626×102 ( −34)2
8·9,109×10 · 150×10−31 ( −12)2
3 · 6,626×102 ( −34)2
8·9,109×10 · 150×10−31 ( −12)2
= − 3 × 1 −17 ≈ − 5 
Para calcular o comprimento de onda atrelado a essa energia, basta aplicar a relação de Planck: 
4, 5 nmE = λ
h·c
⇒ λ = E
h·c = 83,56
4,136×10 ·3×10−15 8
⇒ λ ≈ 1 8 
Para a transição n = 4 e n = 3: 
E − 3, 13 0 J 200, 3 eVΔ =
2 · 6,626×102 ( −34)2
8·9,109×10 · 150×10−31 ( −12)2
4 · 6,626×102 ( −34)2
8·9,109×10 · 150×10−31 ( −12)2
= − 2 × 1 −17 ≈ − 8 
, 8 nmE = λ
h·c
⇒ λ = E
h·c = 200.83
4,136×10 ·3×10−15 8
⇒ λ ≈ 6 1 
 
2) Considere um elétron preso a uma caixa unidimensional de tamanho L. Supondo que sua função de onda seja ψ(x) = 
Asen(3πx/2L), para quais valores de x a probabilidade de encontrar o elétron seja nula? 
 
Resp.: x = 2kL/3, com k = 0, 1, 2, 3… 
 
Resolução: 
Uma forma simples de verificar os valores de x para que a probabilidade de encontrar o elétron na caixa seja nula é 
garan�r que a densidade de probabilidade também seja nula. Calculando a densidade de probabilidade, temos: 
 
en en en ψ| |2 = ψ · ψ = A · s ( 2·L3·π·x) · A · s ( 2·L3·π·x) = A2 · s 2 ( 2·L3·π·x) 
 
Assim, para que ela seja nula devemos garan�r que o sen seja igual a zero. Essa condição é sa�sfeita se: ( 2·L3·π·x) 
 
 , com k = 0, 1, 2, 3... 2·L
3·π·x = k · π ⇒ x = 3
2·k·L 
 
3) Considere uma função de onda dada por ψ(x) = A sen(kx) onde k = 2π/λ e A é uma constante real. 
 
(a) Para quais valores de x ocorre a probabilidade máxima de encontrar a par�cula descrita por essa função de onda? 
(b) Para quais valores de x ocorre a probabilidade é nula? 
 
Resolução: 
 
(a) Para 0 < x < λ. 
 
(b) Para x = 0 ou x = λ. 
 
4) O princípio da incerteza é desprezível para objetos macroscópicos. As partes eletrônicas estão, entretanto, sendo 
fabricadas em escalas cada vez menores e as propriedades das nanopar�culas (par�culas com tamanhos entre alguns 
poucos nanômetros e algumas centenas de nanômetros), podem ser diferentes das par�culas maiores em 
consequência de fenômenos quân�cos. 
 
(a) Calcule a incerteza mínima na velocidade (v) de um elétron confinado em uma nanopar�cula de diâmetro 200 nm e 
compare essa incerteza com a de um elétron confinado em um poço de comprimento 1,00 mm; 
 
(b) Calcule a incerteza mínima na velocidade (v) de um íon Li+ confinado em uma nanopar�cula com 200 nm de 
diâmetro, composta de um derivado de lí�o pelo qual os íons de lí�o podem se deslocar em temperaturas elevadas 
(condutor iônico); 
 
Resp.: (a) Δ v (200 nm) = 289,43 m/s e Δ v (1,00 mm) = 0,058 m/s ; (b) Δ v = 0,023 m/s 
 
Resolução: 
xΔp xΔ xmΔv v Δ ≥ h4·π ⇒ Δ (m )· v ≥
h
4·π ⇒ Δ ≥
h
4·π ⇒ Δ ≥
h
4·π·Δx·m 
No caso de mínima incerteza: 
v v 89, 3Δ = h4·π·Δx·m =
6,626×10−34
4·π·200×10 ·9,109×10−9 −31 ⇒ Δ ≈ 2 4 s
m 
Para o caso de 1 mm de comprimento: 
v v , 58Δ = h4·π·Δx·m =
6,626×10−34
4·π·1×10 ·9,109×10−3 −31
⇒ Δ = 0 0 s
m 
Para o Li+: 
v v , 23Δ = h4·π·Δx·m =
6,626×10−34
4·π·200×10 ·1,163×10−9 −26 ⇒ Δ ≈ 0 0 s
m 
 
5) De acordo com a mecânica quân�ca, a natureza ondulatória das par�culas faz com que par�culas confinadas em 
uma caixa possuam apenas comprimentos de onda que resultam de ondas estacionárias na caixa, e as paredes da caixa 
são necessariamente nós dessas ondas. 
 
(a) Mostre que um elétron confinado em uma caixa de comprimento L em uma dimensão possui níveis de energia 
dados por ;En = n h
2 2
8mL2 
 
(b) Se um átomo de hidrogênio for imaginado como uma caixa em uma dimensão cujo comprimento seja igual ao raio 
de Bohr, qual será a energia (em elétron-volt) do nível mais baixo de energia do elétron? 
 
Resp.: (b) E = 2,15 × 10 -17 J = 134,2 eV 
 
Resolução: 
(a) Das ondas estacionárias: 
 
E do momento de de Broglie: 
 
Juntando na equação da energia: 
 
(b) Com o comprimento da caixa igual ao raio de Bohr temo: .2, 2 pm , m L = 5 9 = 5 3 · 10−11 
O mais baixo nível corresponde a n=1. 
 
6) Dentre os conjuntos de números quân�cos a seguir, iden�fique os que não seriam possíveis (ou proibidos) para um 
elétron em um átomo e explique porque: 
 
(a) (4,2,-1,+½) 
(b) (5,0,-1,+ ½) 
(c) (4,4,-1,+ ½) 
(d) (2,2,-1,+ ½) 
(e) (5,4,+5,+½) 
 
Resp.: (a) É possível; (b) Não é possível; (c) Não é possível; (d) Não é possível; (e) Não é possível 
 
Resolução: 
 
{4,2,-1,+½} → É possível! 
{5,0,-1,+ ½} → Não é possível! O terceiro número quân�co (número quân�co magné�co) só permite valores inteiros 
entre -l e l, ou seja, nesse caso somente 0 seria permi�do. 
{4,4,-1,+ ½} → Não é possível! O segundo número quân�co (número quân�co de momento angular) só pode assumir 
valores inteiros entre 0 e n - 1. Ou seja, 0, 1, 2 e 3. 
{2,2,-1,+ ½} → Não é possível! O segundo número quân�co (número quân�co de momento angular) só pode assumir 
valores inteiros entre 0 e n - 1. Ou seja, 0 e 1. 
{5,4,+5,+½} → Não é possível! O terceiro número quân�co (número quân�co magné�co) só permite valores inteiros 
entre -l e l, ou seja, nesse caso -4, -3… 0… 3, 4.