Teoria de Controle Moderno

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TEORIA DE CONTROLE
Controle
“Supervisionar e manter o processo em um 
determinado ponto de operação. Tomada de decisão, 
envia sinais de correção para os atuadores.”
“Medir o valor da variável controlada e aplicar 
o valor conveniente a variável manipulada (sinal de 
correção) de modo a limitar o erro ou desvio.”
Benefícios do controle bem realizado: diminuição de 
funções repetitivas, melhora de produtividade, 
diminuição de erros e perdas no processo.
Introdução
TEORIA DE CONTROLE
Exemplos de Sistemas de Controle 
-sistema de controle de velocidade 
-sistema de controle de robô 
-sistema de controle de temperatura 
-sistema de controle de posição 
-sistema de controle de seleção de peças
Hoje o Controle Automático, entre outras, está
presente: na indústria manufatureira (comando de 
máquinas), na indústria aeroespacial (sistemas 
automáticos inteligentes), na indústria automobilística 
(linha de produção), na indústria química e petroquímica 
(vazão, pressão, nível, temperatura, densidade, etc)
Introdução
TEORIA DE CONTROLE
Controle em Processo Discreto
“Tomada de decisão baseado em eventos. 
Abertura e fechamento de contatos, acionamentos, 
temporizações, sistemas de alarme e proteção. 
Indústria de fabricação por lote.”
Controle em Processo Contínuo
“Manter os valores dentro do ponto de 
operação. Envolve variáveis como temperatura, 
pressão, nível e vazão. Indústria química.”
Introdução
TEORIA DE CONTROLE
Exemplos de Sistemas de Controle de Processos Discretos
-Separação de Peças, Contagem de Peças por Lote, etc. 
-Controle a partir de Eventos.
Esteira Separadora de Caixas
Introdução
TEORIA DE CONTROLE
Exemplos de Sistemas de Controle de Processos Contínuos
-Controle de temperatura, vazão, nível, pressão, etc. 
-Controle Variáveis Analógicas. 
Sistema de Controle de Nível
Introdução
TEORIA DE CONTROLE
Processo 
“Trata-se do objetivo do sistema de automação, a 
finalidade.”
“Operação que evolui continuamente para atingir 
uma meta. Todas as ações são realizadas para se 
conseguir este objetivo.”
Sistema
“Combinação de componentes que atuam em 
conjunto com um objetivo. Não necessita ser algo físico. 
Sistema a Controlar é conhecido como Planta.”
Introdução
TEORIA DE CONTROLE
Variável Controlada
“Grandeza que é medida e controlada”
Variável Manipulada
“Grandeza variada pelo controle de modo a afetar a 
variável controlada”
Distúrbio
“Perturbação que afeta de modo adverso a variável 
controlada. Ruído.”
Introdução
TEORIA DE CONTROLE
Exemplo: Controle de Temperatura de um Tanque. 
Objetivo manter a temperatura da água a 35oC. O controle 
atua aquecendo por meio do aumento da vazão de vapor 
que circula em uma serpentina.
+- CONTROLE PLANTA
SENSOR
PONTO DE SOMA
X YC
R
+ +
D
E
Elementos de uma 
Malha de Controle
TEORIA DE CONTROLE
X – sinal de referência (set-point). No exemplo 35oC. 
Y – variável controlada. Temperatura da água do tanque. 
C –variável manipulada. Vazão do Vapor. 
E –sinal de erro. Diferença entre o medido e o desejado. 
R –sinal medido (sinal de retroação). Valor do sensor. 
D – distúrbio do sistema. Temperatura ambiente.
Elementos de uma 
Malha de Controle
TEORIA DE CONTROLE
Exemplo: Controle de Posição. Objetivo manter a 
“bolinha” em 40 cm. O controle atua em um ventilador.
Elementos de uma 
Malha de Controle
TEORIA DE CONTROLE
Conceito de Retroação 
“Trata-se de um sistema que mantém uma relação 
entre a grandeza sinal de saída e um valor de referência. A 
grandeza variável controlada é medida e é comparada com 
um valor de referência (set-point), a diferença obtida a 
partir desta comparação é informada ao controle que atua 
na planta de modo a diminuir ou anular tal desvio.”
Sistemas em Malha Fechada são Sistemas com Retroação
Sistemas em Malha Aberta, o valor do sinal de saída não 
afeta o controle.
Malha Aberta e 
Malha Fechada
TEORIA DE CONTROLE
Controle em Malha Aberta (MA)
“Neste sistemas o sinal de saída não é medido, e não 
afeta a ação de controle. A exatidão do sistema depende de 
uma calibração. Portanto são usados quando não existe 
distúrbio atuando.”
CONTROLE PLANTA
Calibração
Exemplo: Máquina de lavar roupas
Malha Aberta e 
Malha Fechada
TEORIA DE CONTROLE
Controle em Malha Fechada (MF)
“Neste sistemas o sinal de retroação da variável 
controlada é comparado com o set-point. A diferença 
obtida desta comparação (o erro) é utilizada como 
parâmetro de entrada do controle, que então atua na 
planta com o objetivo de diminuir o próprio erro.”
+- CONTROLE PLANTA
SENSOR
X
YC
R
E
Malha Aberta e 
Malha Fechada
TEORIA DE CONTROLE
Controle MF
“Este tipo de controle torna o sistema insensível as 
perturbações externas. A partir da medição da variável 
controlada e da comparação do seu valor com o set-point
atua para garantir a estabilidade. Contudo esta 
estabilidade nem sempre é fácil de se garantir, e para isto 
torna-se necessário sintonizar o controle de tal modo que 
atue o suficiente para corrigir os erros, nem mais nem 
menos.”
Exemplo: A maioria dos sistemas industriais atua em 
controle MF (controle de pressão, de nível, de vazão, de 
separação de peças, etc)
Malha Aberta e 
Malha Fechada
TEORIA DE CONTROLE
-OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno.3a Edição. Editora 
LTC. Rio de Janeiro. 1998.
-SILVEIRA, P. R., SANTOS, W. E. Automação e Controle Discreto.
7a Edição. Editora Érica. São Paulo. 1998.
Referências
TEORIA DE CONTROLE
Introdução
“Um Sistema é uma combinação de componentes que 
atuam em conjunto para atingir um objetivo.”
“O Modelo Matemático consiste em um conjunto de 
equações que representam com certa precisão a dinâmica 
do sistema.”
“O Modelo deve ser adequado para resolver um problema 
específico.”
“Um Modelo Matemático deve aliar simplicidade e 
precisão.”
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Introdução
“O Modelo simplificado ignora alguma propriedades 
físicas. Para que os resultados matemáticos sejam 
semelhantes aos práticos o efeito destas propriedades 
para o sistema é pequeno.”
“A equivalência linear para os sistemas não-lineares, 
visando facilitar a análise matemática do sistema, faz com 
que o modelo seja validado apenas para determinadas 
faixas de operação, por exemplo válido para baixas 
freqüências ou para baixas velocidades (muitas relações 
físicas são não-lineares).”
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Introdução
“O Modelo simplificado ignora alguma propriedades 
físicas. Para que os resultados matemáticos sejam 
semelhantes aos práticos o efeito destas propriedades 
para o sistema é pequeno.”
“A equivalência linear para os sistemas não-lineares, 
visando facilitar a análise matemática do sistema, faz com 
que o modelo seja validado apenas para determinadas 
faixas de operação, por exemplo válido para baixas 
freqüências ou para baixas velocidades (muitas relações 
físicas são não-lineares).”
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Teoria de Controle Moderna 
“A abordagem é centrada no domínio do tempo. Aplicável em 
sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas, lineares 
ou não-lineares, variantes ou invariantes no tempo.”
Teoria de Controle Convencional
“A abordagem é no domínio da freqüência. Aplicável em 
sistemas com uma entrada e uma saída, lineares e invariantes
no tempo.”
Modelagem por Espaço de Estados
Teoria de Controle Moderna
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Modelagem por Espaço de Estados
Conceitos
Estado, Variáveis de Estado, Vetor de Estado, 
Espaço de Estado, Equações no Espaço de Estados.
a) Estado
“É o menor conjunto de valores das variáveis ditas 
variáveis de estado. O conhecimento deste valores para 
t>to e t=to determina o comportamento do sistema em 
qualquer instante nesta faixade tempo.”
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
b) Variáveis de Estado
“Conjunto de valores que determina o estado do sistema. 
Pode ser um conjunto de variáveis x1, x2, x3 e xn. É
desejável que sejam variáveis mensuráveis e observáveis.”
c) Vetor de Estado
“Vetor que determina o estado x(t) do sistema para 
qualquer instante de tempo t=to e t>to.”
d) Espaço de Estados e Equações de Espaço de Estados
“Envolve 3 tipos de variáveis na modelagem: variáveis de 
entrada, variáveis de saída e variáveis de estado.”
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
“A representação de um sistema em espaço de estados não 
é única, exceto que o número de variáveis de estado é o 
mesmo para qualquer representação.”
Exemplo
Suponha:
-sinais de entrada: u1(t), u2(t), ..., ur(t)
-sinais de saída: y1(t), y2(t), ..., ym(t)
-variáveis de estado: x1(t), x2(t), ..., xn(t)
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
O sistema pode ser descrito como: 
x1(t) = f1(x1, x2, ..., xn; u1, u2, ..., ur; t)
x2(t) = f2(x1, x2, ..., xn; u1, u2, ..., ur; t) 
xn(t) = fn(x1, x2, ..., xn; u1, u2, ..., ur; t)
Os valores dos sinais de saída: 
y1(t) = g1(x1, x2, ..., xn; u1, u2, ..., ur; t) 
y2(t) = g2(x1, x2, ..., xn; u1, u2, ..., ur; t)
ym(t) = gm(x1, x2, ..., xn; u1, u2, ..., ur; t)
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Então:
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
As equações: 
x(t) = f(x, u, t) Equação de Estado
y(t) = g(x, u, t) Equação de Saída
Linearizando as equações: 
x(t)= A(t).x(t) + B(t).u(t)
y(t)= C(t).x(t) + D(t).u(t)
Onde: 
- A é a matriz de estado - B é a matriz de entrada 
- C é a matriz de saída - D é a matriz de transmissão
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Representação em Diagrama em Blocos 
y(t)
D(t)
B(t) d(t)
A(t)
C(t)x(t) x(t)u(t)
Se as funções vetoriais f e g não envolvem tempo t o 
sistema é dito invariante no tempo e então:
x(t)= A.x(t) + B.u(t) y(t) = C.x(t) + D.u(t)
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Exemplo de Modelamento de Sistema 
Sistema do “Carrinho” - Força X Velocidade 
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Equação de Saída
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Diagrama em Blocos do Sistema
d(t)
v(t)=y(t)F(t)=u(t) v(t)1 
m
b 
m
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Exemplo de Modelamento de Sistema 
Sistema do Motor – Tensão x Velocidade 
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Desenvolvendo as Equações 
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Deste Modo: 
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Comparando com as Equações 
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
Diagrama em Blocos do Sistema
y(t)=w(t)
d(t) 1 0x(t) x(t)
u(t)=V(t)
-b K 
J J
-K -R 
L L
0
1 
L
Modelagem 
Matemática
TEORIA DE CONTROLE
-OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno.3a Edição. Editora 
LTC. Rio de Janeiro. 1998.
- SITE http://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/examples.html. 
Acesso em: 02/03/2007. 
Referências
TEORIA DE CONTROLE
Transformada de Laplace
“Resolução de equações diferenciais de uma maneira 
mais vantajosa.”
“Converte-se funções temporais como seno, cosseno, etc 
em funções algébricas de uma variável complexa S. 
Operações como integração e diferenciação também pode 
ser resolvidas de forma algébrica no domínio S.”
“Auxilia na análise dos sistemas de controle, permitindo o 
estudo do comportamento dos sistemas sem a necessidade 
de resolver as equações diferenciais.”
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
Transformada de Laplace
“A Transformada de Laplace possui um conjunto de 
propriedades para a resolução de sinais originalmente no 
tempo. Por exemplo a convolução de 2 sinais no tempo é a 
multiplicação deste sinais na Transformada de Laplace.”
x(t) y(t)= x(t)*h(t)
h(t)
X(S) Y(S)= X(S).H(S)
H(S)
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
Plano S e variável S
“A análise da Transformada de Laplace é feita no domínio 
da freqüência complexa S.”
“A representação da freqüência complexa é dada em um 
plano S.”
“Por meio do Plano S pode-se analisar um sistema em 
relação à causalidade, estabilidade e resposta em 
freqüência.”
“Estas características são influenciadas pela localização 
dos pólos (xxxx) e zeros (o) no Plano S.”
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
Plano S
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
Definição da Transformada de Laplace
Transformada Direta
Transformada Inversa
Propriedade
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
Transformada de Laplace Unilateral
“Existem muitas aplicações da TL nas quais é razoável 
pensar que os sinais envolvidos sejam causais, ou seja, 
zero para t<0.”
Transformada Direta Transformada Inversa
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
Sinais Típicos de Sistemas de Controle
“Existem sinais típicos que são utilizados no estudo do 
controle. São importantes para controle porque modelam 
muitos sinais físicos que ocorrem na natureza.”
a) Função Impulso (Função Delta de Dirac)
“Quando o sistema 
é submetido a ações 
do tipo surto.”
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
b) Função Degrau 
“Quando o sistema é
submetido a mudanças 
abruptas do sinal de entrada. 
Mudança de set-point.”
“Trata-se de um sinal simples de ser aplicado, pode ser 
visto como um sinal DC sendo aplicado a um circuito 
após o fechamento de uma chave em t=0.”
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
c) Função Rampa 
“Quando o sistema é
submetido a uma excitação 
resultante de uma função 
que varia gradualmente no 
tempo.”
“A função rampa é o resultado da integral do sinal da 
função degrau no tempo.”
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
“Sistema que tem como sinal de entrada o deslocamento angular de 
um eixo com rotação constante. Presumindo que o sistema teve um 
ponto de partida onde o eixo iniciou a rotação partindo da 
velocidade 0 (zero) para a velocidade final (wf) de forma 
instantânea em t0 (tempo inicial).”
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
d) Sinal Senoidal 
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
e) Sinal Exponencial 
Exponencial 
Decrescente b < 0 
Exponencial 
Crescente b > 0 
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
f) Sinal Senoidal Amortecido 
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
- HAYKIN, S., VAN VEEN, B. Sinais e Sistemas. Editora Bookman. 
Porto Alegre. 2001
- OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno.3a Edição. Editora 
LTC. Rio de Janeiro. 1998.
Referências
TEORIA DE CONTROLE
Algumas Propriedades da Transformada de Laplace
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
Pares da Transformada de Laplace
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
Transformada Inversa de Laplace
“Trata-se de um cálculo que pode ser complexo. 
Deste modo utiliza-se o Método das Frações Parciais.”
Transformada de 
Laplace e Plano S
TEORIA DE CONTROLE
Função de Transferência (FT) 
“Modela o sistema caracterizando uma relação 
entrada/saída dos seus componentes.”
“Requisito para utilizar FT: sistema linear e 
invariante no tempoe descrito por equações diferenciais.”
H(S)
X(S) Y(S)
H(S)=Y(S)
X(S)
Y(S) – Função Resposta. 
Transformada de Laplace do sinal 
de saída do sistema
X(S) –Função Excitação. 
Transformada de Laplace do sinal 
de entrada do sistema
H(S) –Função de Transferência. 
Transf. de Laplace e 
Função de Transferência
TEORIA DE CONTROLE
Função de Transferência 
“Representa a dinâmica dos sistemas através de 
equações algébricas em S.”
“Onde n é a ordem do sistema.”
Propriedades da FT 
“Modelo matemático. Expressa operacionalmente a 
equação diferencial que relaciona entrada e saída.”
“É uma propriedade intrínseca do sistema. Independe 
da natureza do sinal de entrada (Função Excitação).”
Transf. de Laplace e 
Função de Transferência
TEORIA DE CONTROLE
Propriedades da FT 
“As FT´s de sistemas fisicamente diferentes podem 
ser idênticas. Não fornece informação quanto a estrutura 
do sistema.”
“Se a FT de um sistema for conhecida, esta pode 
ser estudada para diferentes tipos de sinal de entrada.”
“Se a FT for desconhecida pode ser obtida a partir 
de sinais de entrada conhecidos.”
“Descreve as características físicas do sistema de 
forma relativamente precisa.”
Transf. de Laplace e 
Função de Transferência
TEORIA DE CONTROLE
Modelagem por 
meio da FT
Sistema do 
“Carrinho” -
Força X Velocidade
Modelos Matemáticos de 
Sistemas Físicos (Conversão)
TEORIA DE CONTROLE
Modelagem por meio da FT 
Sistema do Motor – Tensão 
x Velocidade
Modelos Matemáticos de 
Sistemas Físicos (Conversão)
TEORIA DE CONTROLE
Modelagem por meio da FT Sistema Elétrico – Circuito RLC
Modelos Matemáticos de 
Sistemas Físicos (Conversão)
TEORIA DE CONTROLE
Modelagem por meio da FT 
Sistema de Fluído – Planta de Nível
Modelos Matemáticos de 
Sistemas Físicos (Conversão)
TEORIA DE CONTROLE
Considerando: 
Q – valor da vazão quando sistema estável 
qi - pequeno desvio de vazão na entrada 
qo- pequeno desvio de vazão na saída 
N – valor do nível quando sistema estável 
n – pequeno desvio de nível
E ainda: 
R e C
Modelos Matemáticos de 
Sistemas Físicos (Conversão)
TEORIA DE CONTROLE
Outras considerações: 
“O sistema é linear se o fluxo for laminar (no de 
Reynolds < 2000). Mesmo sendo turbulento (no de 
Reynolds > 3000) pode ser linearizado se as variações de 
qo, qi e n forem muito pequenas.”
“Considerando o sistema linear a equação 
diferencial para o sistema pode ser obtida como: vazão 
de entrada menos a vazão de saída em pequeno intervalo 
de tempo é a quantidade armazenada.”
Modelos Matemáticos de 
Sistemas Físicos (Conversão)
TEORIA DE CONTROLE
Então para se obter a FT da planta:
Modelos Matemáticos de 
Sistemas Físicos (Conversão)
TEORIA DE CONTROLE
Y(S)
+-
Controle (Kp)
Proporcional
R
RCS + 1
Ganho da Bóia
R(S)
X(S) E(S) Qi(S)
Modelos Matemáticos de 
Sistemas Físicos (Conversão)
TEORIA DE CONTROLE
Y(S)
+- 2
1
S + 2
2
R(S)
X(S) E(S) C(S)
Exemplo: Para o sistema da figura abaixo obtenha a
resposta y(t)(equação e esboço gráfico) devido a 
ocorrência de: 
a) um surto na entrada 
b)uma mudança abrupta de set-point (calcular o erro 
quando o sistema está estável) 
c)um rampeamento de set-point. 
Modelos Matemáticos de 
Sistemas Físicos (Conversão)
TEORIA DE CONTROLE
-HAYKIN, S., VAN VEEN, B. Sinais e Sistemas. Editora Bookman. 
Porto Alegre. 2001
- SITE http://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/examples.html. 
Acesso em: 01/03/2007. 
-OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno.3a Edição. Editora 
LTC. Rio de Janeiro. 1998.
Referências
TEORIA DE CONTROLE
Diagrama em Blocos
“Utilizado para mostrar as funções desempenhadas 
por cada componente do sistema.”
“Setas indicam o fluxo dos sinais dentro do sistema. 
Propriedade unilateral.”
“Cada Bloco Funcional (Bloco) representa a 
operação matemática que ocorre no sinal de entrada para 
produzir o sinal de saída.”
“Permite analisar a contribuição de cada bloco 
individualmente, ou permite analisar o sistema como um 
todo por meio da obtenção do diagrama global do 
sistema.”
Álgebra de Blocos -
Diagrama em Blocos
TEORIA DE CONTROLE
Diagrama em Blocos para Malha Aberta (MA)
Y(S)
G1(s)
X(S) X1(S) X2(S)
G2(s) G3(s)
Álgebra de Blocos -
Diagrama em Blocos
TEORIA DE CONTROLE
Diagrama em Blocos para Malha Fechada (MF)
Y(S)
+-
R(S)
X(S) E(S)
G(S)
H(S)
“H(S) converte o sinal de saída para a mesma grandeza 
física do sinal de entrada.”
Álgebra de Blocos -
Diagrama em Blocos
TEORIA DE CONTROLE
Efeito do Distúrbio em um Diagrama em Blocos para MA
Y(S)
G1(s)
X(S) X1(S) X2(S)
G2(s) G3(s) + +
D(S)
Álgebra de Blocos -
Diagrama em Blocos
TEORIA DE CONTROLE
Efeito do Distúrbio em um Diagrama em Blocos para MF
Y(S)
H(S)
+-
R(S)
X(S) E(S)
G(S) + +
D(S)
Álgebra de Blocos -
Diagrama em Blocos
TEORIA DE CONTROLE
Regras para a Álgebra de Blocos
Álgebra de Blocos -
Diagrama em Blocos
TEORIA DE CONTROLE
Regras para a Álgebra de Blocos
Álgebra de Blocos -
Diagrama em Blocos
TEORIA DE CONTROLE
Múltiplas Entradas
- considera apenas uma entrada ativa por vez (as outras são 
iguais a zero) 
- encontra o valor de saída para cada entrada 
-soma todas as saídas parciais
Álgebra de Blocos -
Diagrama em Blocos
TEORIA DE CONTROLE
Múltiplas Entradas – Múltiplas Saídas
Y1 e Y2 são distintas não 
podem ser somadas 
Álgebra de Blocos -
Diagrama em Blocos
TEORIA DE CONTROLE
-DISTEFANO, J. J., STUBBERUD, A. R., WILLIAMS, I. J. Sistemas 
de Retroação e Controle. Editora McGraw-Hill. São Paulo. 1972.
-OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno.3a Edição. Editora 
LTC. Rio de Janeiro. 1998.
Referências
TEORIA DE CONTROLE
Introdução
“Na prática os sinais de entrada em geral não são 
conhecidos. Mesmo assim os sistemas são testados com sinais 
conhecidos a priori.”
“Com o uso destes sinais típicos tanto a análise 
matemática quanto a análise experimental podem ser feitas 
mais facilmente.”
Resposta ao Degrau: sistemas que sofrem transições bruscas 
Resposta ao Impulso: sofrem ações tipo surto
Reposta a Rampa: sofrem ações com variação gradual
Análise da Resposta 
Temporal
TEORIA DE CONTROLE
Introdução
“Resposta temporal de um sistema consiste de duas 
partes: parte transitória e parte estacionária.”
Parte Transitória:ocorre desde um estado inicial até um 
estado final. 
Parte Estacionária:ocorre quando o sistema tende ao 
infinito.
“A análise da resposta temporal considera tanto a 
parte transitória (tempo de subida, tempo de acomodação, 
sobressinal), quanto a parte estacionária (erro em regime 
permanente).
Análise da Resposta 
Temporal
TEORIA DE CONTROLE
Estabilidade 
“Da observação da resposta temporal pode-se 
definir um sistema quanto a sua situação de estabilidade 
(para sistemas lineares e invariantes no tempo).”
Sistema Estável:a saída do sistema retorna ao estado de 
equilíbrio mesmo após o sistema ser submetido a uma 
condição inicial. 
Sistema Criticamente Estável:apresenta oscilações que se 
conservam indefinidamente. 
Sistema Instável:a saída diverge após o sistema ser 
submetido a uma nova condição (na prática ocorre 
saturação da saída).
Análise da Resposta 
TemporalTEORIA DE CONTROLE
Sistemas de 1ª Ordem
Y(S)
+- 1
1
T.S 
1
R(S)
X(S) E(S) C(S)
1
T.S + 1 
Y(S)X(S)
Aplicando a Álgebra de Blocos para encontrar a FT global
Análise da Resposta 
Temporal
TEORIA DE CONTROLE
Resposta ao Degrau
1
T.S + 1 
Y(S)X(S)
T- constante de tempo. y(T) = 63% 
Quando t=2.T, 3.T e 4.T a saída é
respectivamente 86.5%, 95% e 98,2%. 
Quando t> 4.T, erro<2%. Regime 
Estacionário.
Análise da Resposta 
Temporal
TEORIA DE CONTROLE
Resposta ao Impulso
1
T.S + 1 
Y(S)X(S)
X(S)=1
Análise da Resposta 
Temporal
TEORIA DE CONTROLE
Resposta a Rampa
1
T.S + 1 
Y(S)X(S)
X(S)=1/S2
Análise da Resposta 
Temporal
TEORIA DE CONTROLE
Sistemas de 2ª Ordem
Y(S)
+- 1
wn2
S.(S+2.ζ.wn)
1
R(S)
X(S) E(S) C(S)
wn2
S2 + 2.ζ.wn.S + wn2
Y(S)X(S)
Aplicando a Álgebra de Blocos para encontrar a FT global
Análise da Resposta 
Temporal
TEORIA DE CONTROLE
Sistemas de 2ª Ordem
wn2
S2 + 2.ζ.wn.S + wn2
Y(S)X(S)
“Pólos reais ou complexos.”
“wn é a frequência natural não amortecida.”
“ ζ é o coeficiente de amortecimento.”
Sistema subamortecido: 0 < ζ < 1
Sistema criticamente amortecido: ζ = 1
Sistema superamortecido: ζ > 1
Análise da Resposta 
Temporal
TEORIA DE CONTROLE
Sistemas de 2ª Ordem wn=1 e ζ variável 
Análise da Resposta 
Temporal
TEORIA DE CONTROLE
Sistemas de 2ª Ordem ζ = 0,5 e wn variável
Análise da Resposta 
Temporal
TEORIA DE CONTROLE
-OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno.3a Edição. Editora 
LTC. Rio de Janeiro. 1998.
Referências
TEORIA DE CONTROLE
Introdução 
“A característica da resposta transitória de um sistema 
está relacionada a localização dos pólos em MF.”
“Quando tal sistema está sujeito a ação de um ganho 
variável a localização dos pólos em MF depender do valor 
deste ganho.”
“É importante saber como os pólos em MF se movem 
no plano S quando o ganho é variado.”
“A ferramenta para esta tarefa é o método do lugar das 
raízes. É uma ferramenta gráfica que torna possível prever a 
localização dos pólos em MF devido à variação do ganho e a 
localização de pólos e zeros em MA.”
Lugar das Raízes
TEORIA DE CONTROLE
Construção do Lugar das Raízes (resumo das regras) 
-localize os pólos e zeros em MA no plano S; 
-os pontos onde o ganho K=0 são os pólos, portanto cada 
lugar das raízes do sistema se origina num pólo e termina em 
um zero; 
-se o número de pólos em MA excede o número de zeros supõe 
que os zeros restantes estão no infinito; 
-lugar das raízes no eixo real: se o número de raízes (pólos ou 
zeros) a direita do ponto de teste for ímpar, o ponto em 
questão é ponto de lugar das raízes; 
Lugar das Raízes
TEORIA DE CONTROLE
Construção do Lugar das Raízes (resumo das regras) 
-no eixo real, se o lugar das raízes ocorre entre 2 pólos existe 
um ponto de separação; 
-no eixo real, se o lugar das raízes ocorre entre 2 zeros um 
existe um ponto de chegada; 
-no eixo real, se o lugar das raízes ocorre entre 1 pólo e um 1 
zero o ponto pode ser de chegada ou de separação;
Lugar das Raízes
TEORIA DE CONTROLE
Exemplo de Lugar das Raízes
Lugar das Raízes
TEORIA DE CONTROLE
Pólos em MF
Lugar das Raízes
TEORIA DE CONTROLE
Projetos de Sistemas d Controle 
“Para o projeto de um sistema de controle algumas 
especificações de desempenho são desejadas, especificações 
que se relacionam com exatidão, estabilidade relativa e 
velocidade de resposta.”
“Visando atender estas especificações surge a 
compensação, que diz respeito a modificações na dinâmica do 
sistema.”
“A primeira opção para ajustar um sistema de controle 
é a alteração do ganho, contudo somente isto pode ser 
insuficiente, e neste caso surge a necessidade de re-projetar o 
sistema alterando a sua estrutura (compensação).”
Lugar das Raízes
TEORIA DE CONTROLE
Projetos de Sistemas d Controle 
“A questão primordial é escolher pólos e zeros para o 
compensador de modo que altere o formato do lugar das 
raízes, e deste modo permita-se que o sistema alcance as 
especificações de desempenho desejadas.”
“O Lugar das Raízes pode indicar que não se consegue 
alcançar as especificações desejadas apenas pela alteração 
do ganho. Ou ainda pode ser que o sistema não seja estável 
para todos os valores de ganho. Nestes casos a compensação 
com pólos e zeros torna-se interessante, pois permite alterar a 
forma do lugar das raízes e com isso chegar também a valores 
de ganho que faça o sistema atender as especificações.”
Lugar das Raízes
TEORIA DE CONTROLE
Inserção de Pólos e Zeros
-adição de pólo:tende a puxar o lugar das raízes para a 
direita diminuindo a estabilidade. 
Lugar das Raízes
TEORIA DE CONTROLE
Inserção de Pólos e Zeros
-adição de zero:tende a puxar o lugar das raízes para a 
esquerda tornando o sistema mais estável. 
Lugar das Raízes
TEORIA DE CONTROLE
-OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno.3a Edição. Editora 
LTC. Rio de Janeiro. 1998.
Referências
TEORIA DE CONTROLE
Introdução 
“A resposta em freqüência em regime estacionário é
obtida a partir da excitação do sistema por meio de uma 
entrada senoidal.”
“Aplica-se uma variação da freqüência do sinal de 
entrada e observa-se o comportamento da resposta do 
sistema. Na prática pode-se colocar um gerador de funções na 
entrada do sistema, e variar a freqüência do sinal.”
“Um sistema linear a invariante no tempo quando 
submetido a uma excitação senoidal em determinada 
freqüência terá na saída um sinal também senoidal na mesma 
freqüência, mas em geral, com fase e amplitudes diferentes.”
Domínio da Freqüência
TEORIA DE CONTROLE Domínio da Freqüência
TEORIA DE CONTROLE
Cálculos de Amplitude e Fase 
“A FT senoidal é uma grandeza complexa e pode ser 
representada por magnitude e por fase.”
“Ângulo negativo – atraso de fase.”
“Ângulo positivo – avanço de fase.”
Domínio da Freqüência
TEORIA DE CONTROLE
“A FT senoidal pode ser representada de forma gráfica 
por Diagrama de Bode (ou diagrama de Nyquist).”
“Os Diagramas de Bode são gráficos logarítmicos 
(diagramas de Nyquist – gráficos polares).”
Diagramas de Bode
“Neste diagrama a FT senoidal pode ser representada 
por meio de 2 gráficos: gráfico do módulo e gráfico de fase.”
“Ambos os gráficos são constituídos em função da 
freqüência e em uma escala logarítmica.”
“A representação do módulo é dada por 20.log/G(jw)/ e 
a unidade é o dB(decibel).”
“Para a fase a unidade utilizada é graus.”
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
“A escala logarítmica facilita o desenho da curva de 
resposta em freqüência.”
Entre os fatores que influenciam a construção do 
diagrama de Bode estão:
- ganho K 
- fatores integral e derivativo 
- fatores de primeira ordem 
- fatores quadráticos
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
a) Ganho K
“O valor do módulo para um ganho K é 20.logK em dB, 
e o ângulo de fase é nulo.”
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
“Número maior que a unidade, o valor em dB é
positivo. Número menor que a unidade, o valor em dB é
negativo.”
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
b) Gráficos de Bode (s+a)
Fazendo s=jw tem-se:
G(jw) = jw + a 
Sendo w a freqüência em análise. 
Para baixas freqüências:
G(jw) ~ a
Então o módulo é:
20log/G(jw)/ = 20log a
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Para w >> a
G(jw) = jw ou w 90º
Módulo
20log w
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Para o gráfico de fase tem-se:θ = tg-1(w/a)
w << a -> θ = 0o
w = a -> θ = 45º
w>> a -> θ = 90o
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
c) Gráficos de Bode 1/(s+a)
De modo análogo: G(jw) = 1/(jw + a) 
w << a :G(jw) = 1/a = a-1 Módulo:20log(a-1) = -20log /a/
w >> a:G(jw) = 1/jw = jw-1 Módulo: -20log w
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Para o gráfico de fase tem-se:
G(jw) = (a-jw)/(a2+w2) então θ = - tg-1 w/a
w<<a-> θ = 0o w=a-> θ = -45º w>>a-> θ = -90o
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
d) Gráficos de Bode de s
G(s) = s G(jw)=jw Módulo:20log w
θ=tg-1 w/0 = 90o
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
e) Gráficos de Bode de 1/s
G(s) = 1/s G(jw)=1/jw=jw-1 Módulo: -20log w
θ=-tg-1 w/0 = - 90o
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
-NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle.3a Edição. Editora
LTC. Rio de Janeiro. 2002
-OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno.3a Edição. Editora
LTC. Rio de Janeiro. 1998.
Referências
TEORIA DE CONTROLE
f) Gráficos de Bode de (s2+2 ζwnS+wn2)
ζ=0,5 wn=2 
G(S)= S2+2S+4
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
f) Gráficos de Bode de (s2+2 ζwnS+wn2)
ζ=1 wn=2 
G(S)= S2+4S+4
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
f) Gráficos de Bode de (s2+2 ζwnS+wn2)
ζ=1,5 wn=2 
G(S)= S2+6S+4
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
g) Gráficos de Bode de (1/s2+2 ζwnS+wn2)
ζ=0,5 wn=4 
G(S)= 1/(S2+4S+16)
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
g) Gráficos de Bode de (1/s2+2 ζwnS+wn2)
ζ=1 wn=4 
G(S)= S2+8S+16
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
g) Gráficos de Bode de (1/s2+2 ζwnS+wn2)
ζ=2 wn=4 
G(S)= S2+16S+16
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Estabilidade
“Se um sistema tem seus pólos no semi-plano 
esquerdo ele é estável para MA.”
“Para que seja estável em MF a resposta em 
freqüência do sistema deve apresentar uma magnitude 
menor que a unidade quando a fase é +/-180º.”
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Estabilidade Exemplo: G(S) = 1/[(S+2)(S+4)(S+5)]
G dB = -52dB
Estabilidade 
entre-52dB e 
0dB para fase 
em -180º. 
Então:
Ganho K pode 
aumentar em 
até 400. Pois 
20logK=52dB
Estabilidade : 
0 < K < 400
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Estabilidade Exemplo: G(S) = 1/[(S+2)(S+4)(S+5)]
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Margem de Ganho e Margem de Fase
“A margem de ganho (MG) é obtida a partir da 
observação do gráfico de fase, quando a fase é 180º.”
“A margem de fase (MF) é obtida a partir da 
observação do diagrama de magnitude, quando o ganho 
é 0 dB.”
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Exemplo: G(S) = K/[(S+2)(S+4)(S+5)] com K = 200
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Exemplo: G(S) = 1/[(S+2)(S+4)(S+5)] com K = 200
MG = 0dB - 5,5 dB = 5,5dB
MF = -156º - (-180º) = 24º
EXERCÍCIO
G(S) = K/[(S+5)(S+20)(S+50)]
Encontre: 
a) a faixa de valores de K para a estabilidade a partir do 
diagrama de Bode. 
b) margem de ganho, margem de fase, freqüência de 0dB 
e freqüência de 180o para K=10.000 .
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
-NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle.3a Edição. Editora 
LTC. Rio de Janeiro. 2002
Referências
TEORIA DE CONTROLE
Resposta Transitória e Resposta de Freqüência em MF
“Para a análise do sistema existe uma relação entre a resposta 
transitória e a resposta de freqüência em malha fechada (MF).”
“As características extraídas a partir da análise da resposta em 
freqüência são relacionadas com características temporais como tempo 
de pico, tempo de acomodação, tempo de subida, entre outros.”
Considere a seguinte Malha de Controle
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Para wn=1 e ζ=0.1 Gráfico de Bode em Malha Aberta
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Para wn=1 e ζ=0.1 Gráfico de Bode em Malha Fechada
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
MP(magnitude de pico), wp(freqüência de pico), wBw(banda passante) 
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
MP, wp, wBw Equações
“A magnitude máxima está relacionada ao amortecimento. Portanto, 
também relacionada ao sobre-sinal da resposta temporal.”
“A freqüência de pico não é a freqüência natural. Pode ser 
consideradas iguais apenas para baixos valores de amortecimento.”
“Não ocorre pico de magnitude para valores de ζ > 0,707. ATENÇÃO: 
este pico se refere ao pico de magnitude do gráfico de Bode, contudo 
ocorre pico de reposta temporal (sobre-sinal) para 0< ζ<1.
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Velocidade de Resposta Temporal e Resposta de Freqüência em MF
“Ta e Tp são os tempos da 
resposta temporal, sendo Tp o 
tempo de pico e Ta o tempo de 
acomodação.”
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Sobre-sinal da Resposta Temporal e Amortecimento ζ
“O valor de pico UP (sobre-sinal) da resposta 
temporal é influenciado pelo coeficiente de 
amortecimento ζ. O sobre-sinal UP deixa de 
ocorrer quando ζ > 1.”
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Margem de Fase e Amortecimento ζ
“ΦM = 65,52º para ζ=0,707, ou seja, para 
que a resposta de freqüência em MF não 
apresente pico de magnitude o valor da 
ΦM em MA deve ser >= 65,53o.”
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
Para ζ=0,8 ΦM = 69,9o
Diagrama de Bode
TEORIA DE CONTROLE
-NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle.3a Edição. Editora 
LTC. Rio de Janeiro. 2002
Referências
TEORIA DE CONTROLE
Introdução
“Um controle automático é aplicado na MF com o objetivo de 
aumentar a eficiência no processo.”
“O controle automático compara o valor real da variável 
controlada, que é medida, com o valor de set-point. A partir desta 
comparação obtém um desvio, e a parir deste desvio age por meio da 
ação de controle com o objetivo de reduzir este desvio.”
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
“Ou seja, a maneira pela qual o controlador atua é chamada de 
ação de controle.”
“O sinal de correção é o sinal de saída do controlador, é o 
resultado da interação da ação de controle com o sinal de erro 
(desvio).”
“Este sinal de correção (c(t)) é o sinal que vai atuar em uma 
válvula ou em algum motor.”
“Sinal de Correção e Variável Manipulada.”
“As ações de controle são classificadas da seguinte forma: 
ação de controle on-off; 
ação de controle proporcional; 
ação de controle integral; 
ação de controle proporcional-integral; 
ação de controle proporcional-derivativo; 
ação de controle proporcional-integral-derivativo.”
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
a) Ação de Controle ON-OFF
“Sinal de saída faz que o elemento atuante opere apenas em duas 
posições: ligado e desligado.”
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
“Resposta típica de uma ação de controle ON-OFF. A variável 
controlada oscila entre um valor máximo e um mínimo.”
“O controle com ação ON-OFF trata-se de uma opção barata.”
“Caso seja o objetivo diminuir a amplitude de oscilação da variável 
controlada, pode-se diminuir o diferencial entre SP Max e SP min. 
Com isso a atuação com controle, que apresenta apenas um valor 
máximo C1 ou um valor mínimo C2, irá modificar de valor com 
maior freqüência podendo diminuir a vida útil do atuador.”
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
Controle ON-OFF sem histerese
Variável lenta 
Controle de Temperatura
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
Controle ON-OFF com histerese
Variável rápida 
Controle de Pressão
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
b) Ação de Controle Proporcional
“Sinal de saída c(t), em controle contínuo também chamado de sinal 
de correção, faz que o elemento atuante opere em uma faixa de 
valoresde 0 a 100%. Kp é um amplificador com ganho ajustável. ”
“No controle ON-OFF PV varia em 
torno do SP. No controle contínuo 
PV se mantém constante. ”
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
Controle Proporcional em MA
“A análise ocorre entre o sinal de erro e(t) e o sinal de correção 
c(t).”
“Po é o valor que c(t) assume quando o erro é nulo, é chamado 
de polarização inicial do controlador.”
“Ação Direta: o valor do erro e(t) é somado à polarização.”
“Ação Reversa: o valor do erro e(t) é subtraído da polarização.”
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
Banda Proporcional e Ganho Kp
“A Banda Proporcional (BP) é definida com a faixa de erro 
responsável pela variação de 0 à 100 % da saída do controlador. 
Existe uma relação entre Banda Proporcional e Kp.”
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
c) Ação de Controle Integral
“Sinal de saída c(t) varia com uma taxa proporcional ao sinal de 
erro atuante.”
“Ki é o ganho integral.”
“Erro nulo, variação de 
saída nula. Porém o sinal c(t) 
é constante.”
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
d) Ação de Controle Proporcional-Integral
“Ti é chamado tempo de 
integração, e é ajustável assim 
como Kp.”
“Efeito da ação proporcional: 
tende a estabilizar o sistema. 
Efeito da ação integral: elimina 
o erro em regime permanente. A 
inserção da ação integral pode 
tornar o sistema instável para 
valores grandes de Kp.”
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
e) Ação de Controle Proporcional-Derivativo
“Td é chamado constante de 
tempo derivativo, e é ajustável 
assim como Kp.”
“Efeito da ação derivativa: 
antecipa a correção da ação 
proporcional. Também é
conhecida como ação 
antecipatória.”
“A ação derivativa é efetiva em 
períodos transitórios.”
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
f) Ação de Controle Proporcional-Integral-Derivativo
“Combina as vantagens 
das 3 ações de controle 
individuais.”
“Kp, Ti e Td são os 
parâmetros ajustáveis da 
ação de controle PID.”
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
Características da Ação de Controle PID
“Quando a resposta transitória e em regime permanente é
satisfatória sem a necessidade de compensação dinâmica basta a 
utilização do controle proporcional.”
“Para melhorar a resposta em regime permanente utiliza-se a ação 
PI.”
“Para melhorar a resposta transitória do sistema utiliza-se a ação 
PD.”
“A ação de controle PID é utilizada para melhorar a resposta 
transitória e a resposta em regime permanente, adicionando 2 zeros 
e 1 pólo ao sistema.”
3 aspectos relevantes do controlador PID: 
“adição de controle P melhora o tempo de subida”
“adição de controle D melhora o efeito da sobre-elevação.”
“adição de controle I elimina o erro em regime permanente (offset).”
Ações de Controle
TEORIA DE CONTROLE
Equação no tempo do controle PID
Referência 
-OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno.3a Edição. 
Editora LTC. Rio de Janeiro. 1998.
Ações de Controle