2 LISTA DE EXERCÍCIOS - MATRIZES

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iii
LISTA DE EXERCÍCIOS - MATRIZES
01 Use escalonamento da matriz completa para classi�car e encontrar o conjunto solução dos sistemas
abaixo, caso exista.
a)
8><>:
x + 2y � z = 1
x + y + 2z = 2
2x + y + z = �1
Solução:0BB@
1 2 �1 ... 1
1 1 2
... 2
2 1 1
... �1
1CCA!
0BB@
1 0 0
... �2
0 1 0
... 2
0 0 1
... 1
1CCA
Posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coe�cientes. Logo o sistema é possível (possui
solução).
Como posto é igual a 3 que é igual a quantidade de incógnitas, temos que o sistema possui uma única
solução que é (�2; 2; 1)
b)
8>>><>>>:
x + y + z + t = 1
x � y + z + t = �1
y � z + 2t = 2
2x + z � t = �1
Solução: Sistema possível e determinado com solução
��1
5
; 1;�1
5
; 2
5
�
Façam as contas ...
c)
8><>:
x � y + z = 4
3x + 2y + z = 0
5x + 5y + z = �4
Solução: Sistema impossível. Façam as contas para justi�car
d)
8>>><>>>:
x + y + z + t = 0
x + y + z � t = 4
x + y � z + t = �4
x � y + z + t = 2
Solução: Sistema possível e determinado com solução (1;�1; 2;�2)
Façam as contas!!!
iv
e)
8>>>>>><>>>>>>:
x � y + z + t = 0
x + y + z � t = 0
x + y � z + t = 0
x � y + z + t = 0
x � 3y + 4z � t = 0
Solução:0BBBBBBBB@
1 �1 1 1 ... 0
1 1 1 �1 ... 0
1 1 �1 1 ... 0
1 �1 1 1 ... 0
1 �3 4 �1 ... 0
1CCCCCCCCA
l3 ! �l1 + l3
l4 ! �l1 + l4
l5 ! �l1 + l5
l2 ! �l1 + l2
����������!
0BBBBBBBB@
1 �1 1 1 ... 0
0 2 0 �2 ... 0
0 2 �2 0 ... 0
0 0 0 0
... 0
0 �2 3 �2 ... 0
1CCCCCCCCA
l3 ! l5 + l3
l2 ! l5 + l2
���������!
0BBBBBBBB@
1 �1 1 1 ... 0
0 0 3 �4 ... 0
0 0 1 �2 ... 0
0 0 0 0
... 0
0 �2 3 �2 ... 0
1CCCCCCCCA
l2 ! �3l3 + l2����������!
0BBBBBBBB@
1 �1 1 1 ... 0
0 0 0 2
... 0
0 0 1 �2 ... 0
0 0 0 0
... 0
0 �2 3 �2 ... 0
1CCCCCCCCA
l2 ! 12 l2�����!
0BBBBBBBB@
1 �1 1 1 ... 0
0 0 0 1
... 0
0 0 1 �2 ... 0
0 0 0 0
... 0
0 �2 3 �2 ... 0
1CCCCCCCCA�!
0BBBBBBBB@
1 �1 1 0 ... 0
0 0 0 1
... 0
0 0 1 0
... 0
0 0 0 0
... 0
0 �2 3 0 ... 0
1CCCCCCCCA
�!
0BBBBBBBB@
1 �1 0 0 ... 0
0 0 0 1
... 0
0 0 1 0
... 0
0 0 0 0
... 0
0 �2 0 0 ... 0
1CCCCCCCCA�!
0BBBBBBBB@
1 �1 0 0 ... 0
0 1 0 0
... 0
0 0 1 0
... 0
0 0 0 1
... 0
0 0 0 0
... 0
1CCCCCCCCA
Terminem e concluam.
02 Classi�que as alternativas abaixo em Verdadeiro V ou Falso F.
a) ( ) Todo sistema impossível admite in�nitas soluções;
b) ( ) Um sistema possível e determinado admite uma única solução;
c) ( ) Um sistema homogêneo é sempre possível e determinado;
d) ( ) Se um sistema é possível e determinado, então o determinante da matriz incompleta associado ao
sistema é igual a zero.
03 Considere a matriz A =
0B@ 6 �3 0�3 6 0
1 �1 2
1CA. xy = 0
v
a) Determine todos os números � tais que det (A� �I) = 0, onde I é a matriz identidade de ordem 3:
Solução:
det
264
0B@ 6 �3 0�3 6 0
1 �1 2
1CA� �
0B@ 1 0 00 1 0
0 0 1
1CA
375 = 0, det
264
0B@ 6� � �3 0�3 6� � 0
1 �1 2� �
1CA
375 = 0
(6� �) (6� �) (2� �)� 9 (2� �) = 0) (2� �) [(6� �) (6� �)� 9] = 0
Continue....
b) Tomando x = �2; encontre todas as soluções do sistema.8><>:
(6� �)x� 3y = 0
�3x+ (6� �) y = 0
x� y + (2� �) z = 0
Sugestão: Use os valores de � encontrados na alternativa (a) :
04 Dada uma matriz A 2 Rn�n, a transposta da matriz dos cofatores de A é chamamos de matriz
adjunta de A e denotamos por adjA. Além disso, se A for inversível, então A�1 = 1
detA
(adjA) : Sabendo
disso, considere A =
0B@ 2 1 �30 2 1
5 1 3
1CA e use os conceitos anteriores para calcular.
a) adjA
b) detA
c) A�1
Solução:
A matriz dos cofatores de A será dada por:0B@ A11 A12 A13A21 A22 A23
A31 A32 A33
1CA
Assim
adjA =
0B@ A11 A12 A13A21 A22 A23
A31 A32 A33
1CA
t
=
0B@ A11 A21 A31A12 A22 A32
A13 A23 A33
1CA
Continue...
b)
�������
2 1 �3
0 2 1
5 1 3
������� = 45
c) A�1 = 1
detA
(adjA) = 1
45
0B@ A11 A21 A31A12 A22 A32
A13 A23 A33
1CA =
continue...