LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDA ESPAÇOS VETORIAIS

Prévia do material em texto

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDA – ESPAÇOS VETORIAIS
1- Abaixo são apresentados subconjuntos de ². Verifique quais deles são subespaços vetoriais do ²𝑅 𝑅
relativamente as operações de adição e multiplicação por escalar:
a) S = {(y ,y ); y }∈𝑅
u = (y1, y1) e v = (y2, y2)
(I) u+v = (y1, y1) + (y2, y2) = (y1+ y2 , y1+ y2)
(II) u = (y1, y1) = ( y1, y1)α α α α
Logo é um subespaço vetorial
b) b) S = {(x , y) | x=0}
u = (0, y1) e v = (0, y2)
u+v = (0, y1) + (0, y2) = (0 , y1+ y2)
u = (0, y1) = (0, y1)α α α
Logo é um subespaço vetorial
a) S = {(x, y, z)| z = 2x –y}
u = (x1, y1, 2x1 – y1) e v = (x2, y2, 2x2 – y2)
u+v =
= (x1, y1, 2x1 – y1) + (x2, y2, 2x2 – y2)
= (x1+ x2, y1+ y2, 2x1 – y1+2x2 – y2)
= (x1+ x2, y1+ y2, 2x1 +2x2– y1 – y2)
= (x1+ x2, y1+ y2, 2(x1 + x2)– (y1 + y2))
u =α
= (x1, y1, 2x1 – y1)α
= ( x1, y1, (2x1 – y1))α α α
= ( x1, y1, 2 x1 – y1))α α α α
Logo é um subespaço vetorial
2- Mostre que os vetores u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) e w = (0, 0, 1) geram o ³.𝑅
(x,y,z) = a. (1, 2, 3) + b(0, 1, 2) + c. (0, 0, 1)
(x,y,z) = (a, 2a, 3a) + (0, b, 2b) + (0, 0, c)
(x,y,z) = (a, 2a+b, 3a+2b+c)
{𝑎 = 𝑥 2𝑎 + 𝑏 = 𝑦 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 𝑧 
Como a = x, temos:
2x + b = y
b = -2x + y
e para z temos:
3x+2(-2x+y) + c = z
3x -4x +2y + c = z
c = x -2y + z
𝑣 = 𝑥( ). 𝑢 + − 2𝑥 + 𝑦( ). 𝑣 + 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧( ). 𝑤
Logo os vetores geram o ³.𝑅
3- Determine os subespaços do ³ gerados pelos seguintes conjuntos:𝑅
a) A = {(2, -1,3)}
)(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(2, − 1, 3
𝑥, 𝑦, 𝑧( ) = (2𝑎, − 𝑎, 3𝑎)
{2𝑎 = 𝑥 (− 1) − 𝑎 = 𝑦 3𝑎 = 𝑧 {− 2𝑎 = − 𝑥 − 𝑎 = 𝑦 3𝑎 = 𝑧 (+)
0 = − 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑆 = 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0){ }
b) A = {(-1, 3, 2), (2, -2,1)}
𝑥, 𝑦, 𝑧( ) = 𝑎 − 1, 3, 2( ) + 𝑏(2, − 2, 1)
𝑥, 𝑦, 𝑧( ) = − 𝑎, 3𝑎, 2𝑎( ) + (2𝑏, − 2𝑏, 𝑏)
𝑥, 𝑦 , 𝑧( ) = (− 𝑎 + 2𝑏, 3𝑎 − 2𝑏, 2𝑎 + 𝑏)
{− 𝑎 + 2𝑏 = 𝑥 3𝑎 − 2𝑏 = 𝑦 2𝑎 + 𝑏 = 𝑧 {− 𝑎 + 2𝑏 = 𝑥 3𝑎 − 2𝑏 = 𝑦 (+) 2𝑎 = 𝑥 + 𝑦 
𝑎 = 𝑥+𝑦2
− ( (𝑥+𝑦)2)+2𝑏=𝑥
−𝑥−𝑦
2 + 2𝑏 = 𝑥
−𝑦−𝑥+4𝑏=2𝑥
2
4𝑏 = 2𝑥 + 𝑥 + 𝑦 
𝑏 = 3𝑥+𝑦4
Voltando e substituindo:
2𝑎 + 𝑏 = 𝑧
2 𝑥+𝑦2( ) + 3𝑥+𝑦4 = 𝑧
𝑥 + 𝑦 + 3𝑥+𝑦4 = 𝑧
4𝑥+4𝑦+3𝑥+𝑦=4𝑧
4
7𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 = 0
𝑆 = 7𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 = 0{ }
c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 1,0)}
𝑥, 𝑦, 𝑧( ) = 𝑎 1, 0, 1( ) + 𝑏 0, 1, 1( ) + 𝑐(− 1, 1, 0)
𝑥, 𝑦, 𝑧( ) = 𝑎, 0, 𝑎( ) + 0, 𝑏, 𝑏( ) + (− 𝑐, 𝑐, 0)
𝑥, 𝑦, 𝑧( ) = (𝑎 − 𝑐, 𝑏 + 𝑐, 𝑎 + 𝑏)
{𝑎 − 𝑐 = 𝑥 𝑏 + 𝑐 = 𝑦 𝑎 + 𝑏 = 𝑧 
|𝑎 − 𝑐 = 𝑥 − 1( ) 𝑎 + 𝑏 = 𝑧 + 𝑏 + 𝑐 =− 𝑥 + 𝑧 
|𝑏 + 𝑐 = 𝑦 𝑏 + 𝑐 =− 𝑥 + 𝑧 
𝑦 = − 𝑥 + 𝑧
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑆 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0{ }
4- Classificar os seguintes subconjuntos do 2 e 3 em LI ou LD, justificando sua resposta:𝑅 𝑅
a) A = {(2 ,3 ,5)}
R:Único vetor e não nulo, logo é LI.
b) B= {(-6 ,4), (9 ,-6)}
Se e , logo um vetor é múltiplo do outro, então é LD.−69 = 
−2
3
4
−6 = 
−2
3
c) C = {(1 ,0 ,0), (2 ,3 ,0), (5 ,1 ,1)}
𝑎 1, 0, 0( ) + 𝑏 2, 3, 0( ) + 𝑐 5, 1, 1( ) = (0, 0, 0)
𝑎, 0, 0( ) + 2𝑏, 3𝑏, 0( ) + 5𝑐, 𝑐, 𝑐( ) = (0, 0, 0)
𝑎 + 2𝑏 + 5𝑐, 3𝑏 + 𝑐, 𝑐( ) = (0, 0, 0)
{𝑎 + 2𝑏 + 5𝑐 = 0 3𝑏 + 𝑐 = 0 𝑐 = 0 
𝑐 = 0 
3𝑏 + 𝑐 = 0
𝑏 = 0
𝑎 + 2𝑏 + 5𝑐 = 0
𝑎 + 0 + 0 = 0
𝑎 = 0
Logo se é LI.𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0
d) D = {(2 ,3) , (5 ,4), (1 ,1)}
Como estamos no 2 e a dimensão é 2 e temos 3 vetores, logo é LD.𝑅
e) E = {(0 ,1 ,2), (0 ,0 ,0), (2, 3, 5)}
Como é vetor nulo pertence a E, logo é LD.
5- Classificar os seguintes conjuntos em LI ou LD, justificando sua resposta:
a) A={(2, -5, 3)}
LI – Único vetor e não nulo.
b) B={(1, -1, -2), (2, 1, 1), (-1, 0, 3)}
𝑎 1, − 1, 2( ) + 𝑏 2, 1, 1( ) + 𝑐 − 1, 0, 3( ) = (0, 0, 0)
𝑎, − 𝑎, 2𝑎( ) + 2𝑏, 𝑏, 𝑏( ) + − 𝑐, 0, 3𝑐( ) = (0, 0, 0)
𝑎 + 2𝑏 − 𝑐, − 𝑎 + 𝑏, − 2𝑎 + 𝑏 + 3𝑐( ) = (0, 0, 0)
{𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 0 –𝑎 + 𝑏 = 0 − 2𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 = 0 |𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 0 − 𝑎 + 𝑏 = 0 +
| 3𝑏 − 𝑐 = 0
| 𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 0 2( ) − 2𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 = 0 + |3𝑏 − 𝑐 = 0 5𝑏 + 𝑐 = 0 +
| 5𝑏 + 𝑐 = 0 |5𝑏 = 0
{𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 0 3𝑏 − 𝑐 = 0 5𝑏 = 0 
𝑏 = 0
3 0( ) − 𝑐 = 0
𝑐 = 0
𝑎 + 2 0( ) − 0 = 0
𝑎 = 0
Como a=b=c=0 logo é LI.
c) {(2, -1), (3, 5)}
, Como temos dois vetores e lês não são múltiplos, logo é LI.23 ≠ 
−1
5
d) {(1, 0), (-1, 1), (3, 5)}
Como são vetores do 2, a dimensão é 2 e temos 3 vetores, logo é LD.𝑅
6- Verificar quais dos conjuntos formam uma base do 2:𝑅
a) {(1, 2), (-1, 3)}
I – verificar se é LI:
Como são dois vetores e um não é múltiplo do outro logo é LI.
1
−1 =− 1 𝑒 
2
3
II – Verificar se gera :𝑅2
𝑎 1, 2( ) + 𝑏 − 1, 3( ) = (𝑥, 𝑦)
 𝑎, 2𝑎( ) + − 𝑏, 3𝑏( ) = 𝑥, 𝑦( )
𝑎 − 𝑏, 2𝑎 + 3𝑏( ) = (𝑥, 𝑦)
{𝑎 − 𝑏 = 𝑥 (3) 2𝑎 + 3𝑏 = 𝑦 
{3𝑎 − 3𝑏 = 3𝑥 2𝑎 + 3𝑏 = 𝑦 +
{5𝑎 = 3𝑥 + 𝑦
𝑎 = 3𝑥+𝑦5
3𝑥+𝑦
5 − 𝑏 = 𝑥
3𝑥+𝑦−5𝑏=5𝑥
5
5𝑏 = 3𝑥 + 𝑦 − 5𝑥
𝑏 = −2𝑥+𝑦5
, logo gera𝑤 = 3𝑥+𝑦5( )𝑣1 + −2𝑥+𝑦5( )𝑣2 𝑅2
e então é Base.
b) {(0, 0), (2, 3)}
I- Verificar se é LI:
Como possui o vetor nulo é LD, Logo não é base.
7- Verificar se o conjunto A = {v1=(1, 4, 5), v2=(0, -2, 3), v3=(0, 0, 1)} forma uma base do 3:𝑅
I- Verificar se é LI:
𝑎 1, 4, 5( ) + 𝑏 0, − 2, 3( ) + 𝑐 0, 0, 1( ) = (0, 0, 0)
𝑎, 4𝑎, 5𝑎( ) + 0, − 2𝑎, 3𝑎( ) + 0, 0, 𝑐( ) = 0, 0, 0( )
{𝑎 = 0 4𝑎 − 2𝑏 = 0 5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0 𝑎 = 0
4 0( ) − 2𝑏 = 0 𝑏 = 0
5 0( ) + 3 0( ) + 𝑐 = 0 𝑐 = 0
Logo é LI
II- Verificar se gera o espaço:
𝑎 1, 4, 5( ) + 𝑏 0, − 2, 3( ) + 𝑐 0, 0, 1( ) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑎, 4𝑎, 5𝑎( ) + 0, − 2𝑎, 3𝑎( ) + 0, 0, 𝑐( ) = 𝑥, 𝑦, 𝑧( )
{𝑎 = 𝑥 4𝑎 − 2𝑏 = 𝑦 5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 𝑧 𝑎 = 𝑥
4𝑥 − 2𝑏 = 𝑦
2𝑏 = 4𝑥 − 𝑦
𝑏 = 4𝑥−𝑦2
5𝑥 + 3 4𝑥−𝑦2( ) + 𝑐 = 𝑧
5𝑥 + 12𝑥−3𝑦2 + 𝑐 = 𝑧 
10𝑥 + 12𝑥 − 3𝑦 + 2𝑥 = 2𝑧
2𝑐 = − 22𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧
𝑐 = −22+3𝑦+2𝑧2
Logo:
, GERA 3.𝑤 = 𝑥( )𝑣1 + 4𝑥−𝑦2( )𝑣1 + −22+3𝑦+2𝑧2( )𝑣2 𝑅
Por fim, se é LI e gera 3 , então é BASE.𝑅
8- Verificar quais dos conjuntos formam uma base do 2:𝑅
a) {(1, 2, 3), (0, -1, 3), (1, 1, 1)}
I- Ver se é LI
𝑎 1, 2, 3( ) + 𝑏 0, − 1, 3( ) + 𝑐 1, 1, 1( ) = (0, 0, 0)
𝑎, 2𝑎, 3𝑎( ) + 0, − 𝑏, 3𝑏( ) + 𝑐, 𝑐, 𝑐( ) = (0, 0, 0)
𝑎 + 𝑐, 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐, 3𝑎 + 3𝑏 + 𝑐( ) = (0, 0, 0)
{𝑎 + 𝑐 = 0 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0 3𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0 
|𝑎 + 𝑐 = 0(− 2) 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0 +
 − 𝑏 − 𝑐 = 0
|𝑎 + 𝑐 = 0(3) 3𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0 
3𝑏 − 2𝑐 = 0
| − 𝑏 − 𝑐 = 0(3) 3𝑏 − 2𝑐 = 0 +
− 5𝑐 = 0
{𝑎 + 𝑐 = 0 𝑏 + 𝑐 = 0 − 5𝑐 = 0 
𝑐 = 0
𝑏 = 0
𝑎 = 0
Se a=b=c=0 logo é LI
II- Verificar se gera 3 .𝑅
𝑎 1, 2, 3( ) + 𝑏 0, − 1, 3( ) + 𝑐 1, 1, 1( ) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑎, 2𝑎, 3𝑎( ) + 0, − 𝑏, 3𝑏( ) + 𝑐, 𝑐, 𝑐( ) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑎 + 𝑐, 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐, 3𝑎 + 3𝑏 + 𝑐( ) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
{𝑎 + 𝑐 = 𝑥 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 𝑦 3𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 𝑧 
|𝑎 + 𝑐 = 𝑥(− 2) 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 𝑦 +
| − 𝑏 − 𝑐 =− 2𝑥 + 𝑦
|𝑎 + 𝑐 = 𝑥(3) 3𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 𝑧 
3𝑏 − 2𝑐 = 3𝑥 + 𝑧
| − 𝑏 − 𝑐 =− 2𝑥 + 𝑦(3) 3𝑏 − 2𝑐 = 3𝑥 + 𝑧 +
− 5𝑐 =− 9𝑥 − 2𝑐 + 𝑧
𝑐 = −9𝑥−2𝑐+𝑧5
𝑎 + 9𝑥−3𝑦−𝑧5 = 𝑥
5𝑎+9𝑥−3𝑦−𝑧=5𝑥
5
5𝑎 = 5𝑥 − 9𝑥 + 3𝑦 + 𝑧
𝑎 = −4𝑥+3𝑦+𝑧5
Logo 𝑤 = −4𝑥+3𝑦+𝑧5( )𝑣1 + 𝑥−2𝑦+𝑧5( )𝑣2 + 9𝑥−3𝑦−𝑧5( )𝑣3
Gera o 3 e portanto é Base.𝑅
b) {(1, 3, -1), (2, 3, 2), (3, 6, 1)}
𝑎 1, 3, − 1( ) + 𝑏 2, 3, 2( ) + 𝑐 3, 6, 1( ) = (0, 0, 0)
𝑎, 3𝑎, − 𝑎( ) + 2𝑏, 3𝑏, 2𝑏( ) + 3𝑐, 6𝑐, 𝑐( ) = (0, 0, 0)
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐, 3𝑎 + 3𝑏 + 6𝑐, − 𝑎 + 2𝑏 + 𝑐( ) = (0, 0, 0)
{𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 0 3𝑎 + 3𝑏 + 6𝑐 = 0 − 𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 
|𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 0(− 3) 3𝑎 + 3𝑏 + 6𝑐 = 0 +
| 3𝑏 − 3𝑐 = 0
|𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 0 − 𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 +
 4𝑏 + 4𝑐 = 0
|3𝑏 − 3𝑐 = 0(4) 4𝑏 + 4𝑐 = 0(3) 
{𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 0 3𝑏 − 3𝑐 = 0 
{𝑎 + 2𝑏 =− 3𝑐 3𝑏 =− 3𝑐 
Como temos uma variável livre é LD, Logo não é Base.