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RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO E ANALÍTICO CONTÁBIL AULA 1 Profª Aline Purcote 2 CONVERSA INICIAL Utilizamos a lógica em várias situações de nosso dia a dia. Frequentemente, a palavra lógica é utilizada para afirmar que algo é obvio ou evidente. Mas o que significa lógica e como a utilizamos? Segundo Barbosa (2017), o que precisamos entender e aceitar a respeito da lógica é que ela não se refere a nenhum ser ou objeto em particular, nem mesmo a algum conteúdo, mas a um modo de dar forma ao pensamento, de forma que possamos chegar à verdade ou à falsidade sobre nós mesmos ou sobre algo. Dentro da lógica definida como a ciência do raciocínio, estudamos a lógica matemática, que tem como base o estudo de proposições que permite raciocinar na investigação da verdade. De acordo com Barbosa (2017), a lógica matemática, também conhecida como lógica simbólica, é a que se preocupa com o discurso da linguagem natural e seus enunciados. Foi desenvolvida por meio de símbolos matemáticos para se entender a estrutura lógica das proposições, dos argumentos e do desenvolvimento lógico-matemático. CONTEXTUALIZANDO A lógica estuda os conceitos de prova e verdade, tendo como objetivo determinar se a argumentação utilizada para se chegar a certa conclusão é válida ou não. Saiba mais Vamos conhecer um pouco mais sobre lógica? Acesse: CABREIRA, I. Você já percebeu o quanto a lógica faz parte do nosso dia a dia? Implantando Marketing, 11 de julho de 2017 Disponível em: <https://www.implantandomarketing.com/logica-faz-parte-do-nosso-dia-a-dia/>. Acesso em: 27 set. 2019. UMA BREVE história da Lógica | História da Ciência. Humor com Ciência, 2 de dezembro de 2012. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=ozMbm Bp3onE>. Acesso em: 27 set. 2019. Nesta aula estudaremos as proposições, os valores lógicos, os conectivos, as notações, as operações lógicas e a construção da tabela-verdade. 3 TEMA 1 – PROPOSIÇÃO E VALORES LÓGICOS Segundo Castanheira (2016), uma proposição é um conjunto de palavras ou de símbolos que exprime um pensamento de sentido completo. Chamamos de proposição toda sentença declarativa afirmativa que permite raciocinar na investigação da verdade. Dessa forma, sentenças exclamativas (“Que belo dia!”), sentenças interrogativas (“O jogo terminou empatado?”) e sentenças imperativas (“Estude mais!”) não são consideradas proposições. Para cada proposição, podemos atribuir um valor lógico, ou seja, atribuir um valor verdadeiro ou um valor falso. Assim, uma proposição só pode assumir um de dois valores lógicos: verdadeiro (V) ou falso (F). Na lógica matemática, consideramos três princípios fundamentais: 1. Princípio da identidade: uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. 2. Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 3. Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, sendo assim, não há um terceiro valor. As proposições são classificadas em simples ou compostas. A proposição simples não contém nenhuma proposição como parte integrante de si mesma. Já a proposição composta é formada pela combinação de duas ou mais proposições simples por meio de um elemento de ligação que chamamos de conectivo. Observe os exemplos: Proposição simples: Diego é médico. Ana é dentista. Brasília é a capital do Brasil. O número 2 é par. Proposição composta: Diego é médico e Ana é dentista. Se chover amanhã, então não irei à praia. O número 2 é par ou 6 + 8 = 14. 4 TEMA 2 – CONECTIVOS Segundo Barbosa (2017), as proposições simples podem ser combinadas com outras proposições por elementos de ligação que chamamos de conectivos, por meio dos quais, como o termo indica, elas se conectam umas às outras. Os conectivos são símbolos que representam letras ou palavras, sendo os mais usuais a negação, a conjunção, a disjunção, a condicional e a bicondicional, conforme veremos na Tabela 1: Tabela 1 – Conectivos Conectivos Símbolos Lê-se Exemplos Negação ~ Não ~p Conjunção ^ E p ^ q Disjunção v Ou p v q Condicional Se... então p q Bicondicional ↔ Se e somente se p ↔ q Disjunção exclusiva v Ou... ou p v q Vamos analisar alguns exemplos de proposições compostas destacando o uso dos conectivos: Não está chovendo. Diego é médico e Ana é dentista. O número 2 é par ou 6 + 8 = 14. Se chover amanhã, então não irei à praia. O esporte é saudável se e somente se for bem praticado. Ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta, mas não ambas. Ao verificar se uma proposição composta é verdadeira ou falsa, levamos em consideração os valores lógicos das proposições componentes e o tipo de conectivo que as une. TEMA 3 – NOTAÇÃO Uma proposição simples é designada por letras minúsculas (p, q, r, ...), chamadas letras proposicionais. Já uma proposição composta formada por duas ou mais proposições simples é representada pelas letras maiúsculas (P, Q, R, ...). Veja os exemplos: 5 Proposição composta (P): P: Diego vai trabalhar e está de terno. Proposições simples (p e q): p: Diego vai trabalhar. q: Diego está de terno. O valor lógico de uma proposição simples p qualquer é representado por: V(p) = V, se for verdadeira, ou V(p) = F, se for falsa. Vamos analisar duas proposições simples: p: 2 é um número ímpar. q: Um quadrado tem quatro lados. Analisando as proposições, temos que p é uma proposição falsa, assim V(p) = F e a proposição q é verdadeira, logo V(q) = V. Se considerarmos uma proposição composta, teremos os valores lógicos V(P) = V ou V(P) = F. Vamos analisar alguns exemplos: p: 3 + 4 = 9 q: 20 = 1 P: p ^ q: 3 + 4 = 9 e 20 = 1 Ao analisar o valor lógico de cada proposição simples, temos que V(p) = F, pois a soma de 3 + 4 é 7 e não 9. Já a proposição q tem resultado verdadeiro, pois todo número elevado ao expoente zero é 1, logo V(q) = V. Analisando a proposição composta p ^ q, temos V(P) = F. Quando utilizamos o conectivo e, a proposição composta só é verdadeira se as duas proposições simples forem verdadeiras. Quando formamos novas proposições ou temos proposições compostas, escrevemos as proposições na linguagem simbólica. Vamos considerar as seguintes proposições e indicar qual a linguagem simbólica de cada uma: P: Se 4 é par, então 7 é par. Primeiramente, verificamos qual o conectivo presente na proposição, neste exemplo é o se... então. Após, identificamos as proposições simples que chamaremos de p e q e, por fim, indicamos a linguagem simbólica: P: Se 4 é par, então 7 é par. p: 4 é par. 6 q: 7 é par. Logo, p q. P: 3 é ímpar se e somente se 4 é par Conectivo = se e somente se. Proposições: p: 3 é ímpar. q: 4 é par. Logo: p ↔ q. Aplicamos o mesmo raciocínio nas diferentes proposições compostas. Vamos analisar uma proposição composta e indicar qual a linguagem simbólica que a representa: P: Não é verdade que se Daniel não fez a prova então João estudou. Verificando quais são os conectivos presentes na proposição, temos a negação e o se... então: P: Não é verdade que se Daniel não fez a prova então João estudou. Agora, identificamos as proposições simples que chamaremos de p e q: p: Daniel fez a prova. q: João estudou. Por fim, indicamos a linguagem simbólica a qual vamos dividir em duas partes. Segue a primeira parte: Se Daniel não fez a prova então João estudou. Daniel não fez a prova = ~p. João estudou = q. Logo, ~p q. Para finalizar a linguagem simbólica, precisamos considerar a frase inteira, assim: P: Não é verdade que se Daniel não fez a prova então João estudou. Como temos um não no início da frase precisamos negar toda a sentença,logo: ~(~p q). 7 TEMA 4 – OPERAÇÕES LÓGICAS Segundo Castanheira (2016), as operações lógicas são as realizadas sobre as proposições. Entre as operações temos: negação, conjunção, disjunção, disjunção exclusiva, condicional e bicondicional. A negação, também chamada de modificador lógico de uma proposição, tem a função de inverter o valor lógico. Dessa forma, se a proposição é verdadeira, a negação a torna falsa e, se for falsa, fica verdadeira. O símbolo que a representa é o ~ (til), assim, se temos uma proposição p, sua negação será ~p, ou seja, “não p”. Vamos considerar a seguinte proposição e realizar a sua negação: p: Curitiba é a capital do Paraná ~p: Curitiba não é a capital do Paraná. A proposição p é verdadeira e a sua negação ~p tornou a proposição falsa. A conjunção, também definida como produto lógico de duas proposições, representa o conectivo e é indicada pelo símbolo ^. Quando temos duas proposições p e q, a conjunção é dada por p ^ q (p e q). O conectivo e só é verdadeiro quando as duas proposições são verdadeiras, pois, ao utilizar este conectivo, consideramos que as duas proposições precisam ocorrer simultaneamente, ou seja, ao mesmo tempo. Vamos avaliar as seguintes proposições: p: A Terra gira em torno do Sol. q: A Lua gira em torno da Terra. p ^ q: A Terra gira em torno do Sol e a Lua gira em torno da Terra. A proposição p é verdadeira e a proposição q também, assim p ^ q é uma proposição verdadeira. Vamos analisar mais um exemplo: p: A Terra gira em torno do Sol. q: O Sol gira em torno da Lua. p ^ q: A Terra gira em torno do Sol e o Sol gira em torno da Lua. A proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa, assim p ^ q é uma proposição falsa. 8 Na disjunção, ou soma lógica de duas proposições, temos o conectivo ou indicado pelo símbolo v. Quando temos duas proposições, p e q, a disjunção é dada por p v q (p ou q). O conectivo ou é verdadeiro quando pelo menos uma das proposições for verdadeira, pois, ao utilizá-lo, consideramos que ocorrendo uma das proposições, a proposição composta se torna verdadeira. A disjunção só será falsa quando as duas proposições forem falsas. Vamos avaliar as seguintes proposições: p: 4 > 2. q: 8 é um número ímpar. p v q: 4 > 2 ou 8 é um número ímpar. A proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa, assim p v q é uma proposição verdadeira, pois uma das proposições é verdadeira. Quando analisamos uma disjunção exclusiva, temos que a proposição só será verdadeira quando uma for verdadeira e a outra falsa. Isso ocorre porque temos a exclusividade, ou seja, duas proposições não podem ocorrer simultaneamente e só poderá ser verdade se for um caso ou outro, mas não os dois. Utilizamos o símbolo v e quando temos duas proposições, p e q, a disjunção exclusiva é dada por p v q (ou p ou q). Avaliando as seguintes proposições, temos: p: O estudante é curitibano. q: O estudante é carioca. p v q: Ou o estudante é curitibano ou o estudante é carioca. Na proposição condicional, também conhecida como implicação, utilizamos o símbolo → e teremos um resultado falso sempre que a primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa. Quando temos duas proposições, p e q, a condicional é dada por p → q (se p então q). Analisando as seguintes proposições, temos: p: O time venceu o jogo. q: O time empatou o jogo. p → q: Se o time venceu o jogo, então o time empatou o jogo. Por fim, temos a proposição bicondicional ou equivalência, que possui como símbolo ↔. Quando temos duas proposições, p e q, a bicondicional é dada por p ↔ q (p se e somente se q). Segundo Barbosa (2017), a equivalência em 9 lógica é uma relação de igualdade lógica ou implicação mútua entre duas proposições, de tal forma que cada uma delas só é verdadeira se a outra também o for. Assim, será verdadeira somente quando as proposições forem ambas verdadeiras ou falsas, ou seja, será verdadeira sempre que os valores lógicos forem iguais, caso contrário, será falsa. Analisando as proposições, temos: p: Aline é paranaense. q: Aline nasceu no Paraná. p ↔ q: Aline é paranaense se e somente se nasceu no Paraná. Após a análise de cada conectivo, temos a tabela a seguir, que resume as condições em que o valor lógico é verdadeiro e falso. Tabela 2 – Resumo das operações lógicas Conectivo Estrutura lógica Verdadeiro quando Falso quando Conjunção (e) p ^ q p e q são ambos verdadeiros um dos dois for falso ou ambos falsos Disjunção (ou) p v q um dos dois for verdadeiro ou ambos ambos são falsos Disjunção exclusiva (ou... ou) p v q p e q tiverem valores lógicos diferentes p e q tiverem valores lógicos iguais Condicional (se... então) p → q nos demais casos p é verdadeiro e q é falso Bicondicional (se e somente se) p ↔ q p e q tiverem valores iguais p e q tiverem valores diferentes TEMA 5 – TABELA-VERDADE A tabela-verdade é um dispositivo que demonstra os valores lógicos de uma proposição. Também é conhecida como matriz de verdade. Dessa forma, registram-se os valores lógicos, facilitando a verificação de proposições compostas e verificando a condição de verdade de todas as hipóteses possíveis. Vimos que quando temos apenas uma proposição simples há somente dois valores lógicos possíveis: V (verdadeiro) e F (falso). Assim, a tabela-verdade dessa proposição pode ser descrita como: p V F Segundo Barbosa (2017), para construir uma tabela-verdade, sempre começamos definindo o número de linhas que a compõem, o qual está em função do número de proposições simples (n), obedecendo à lei de formação de linhas = 2n. Logo, se tivermos uma proposição, temos n = 1 e 21 = 2, ou seja, 10 teremos duas linhas conforme a tabela anterior. Quando tivermos duas proposições, p e q, a tabela apresentará quatro linhas (22 = 4), como visto a seguir: p q V V V F F V F F Se tivermos uma proposição composta com três proposições, teremos oito linhas no total, pois 23 = 8. p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Já avaliamos cada conectivo, então vamos verificar a tabela-verdade para cada um, considerando as proposições p e q. Negação: inverte o valor lógico. p ~p V F F V Conjunção: só é verdadeira quando as duas proposições são verdadeiras. p q p ^ q V V V V F F F V F F F F Disjunção: é verdadeira quando pelo menos uma das proposições for verdadeira. p q p v q V V V V F V F V V F F F 11 Disjunção exclusiva: só será verdadeira quando uma for verdadeira e a outra falsa. p q p v q V V F V F V F V V F F F Condicional: falsa sempre que a primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa. p q p → q V V V V F F F V V F F V Bicondicional: será verdadeira sempre que os valores lógicos forem iguais, caso contrário, será falsa. p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V Considerando as proposições p e q, temos a seguinte tabela-resumo que representa o resultado para cada conectivo estudado: p q p ^ q p v q p v q p → q p ↔ q V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V Para elaborar a tabela, consideramos a seguinte ordem: negação, disjunção, conjunção, condicional e bicondicional. Quando temos parênteses, colchetes e chaves, consideramos esta ordem para a elaboração. Vamos analisar as seguintes proposições compostas e elaborar a tabela-verdade que representa cada proposição. 1. ~[(~p) ^ (~q)] Analisando a proposição composta, temos duas proposições simples, p e q. Assim, a tabela terá quatro linhas (22 = 4). Temos também a negação (~) e o conectivo e (^), além de parênteses e colchetes. Vamos iniciar com os possíveis resultados de p e q. Após, faremos a negação destas proposições, a negação de p (~p) e q (~q). Lembre-se quea negação troca o valor lógico. 12 p q ~p ~q V V F F V F F V F V V F F F V V Após a negação vamos analisar os resultados de [(~p) ^ (~q)], lembrando que no conectivo e só temos verdade se ambos forem verdadeiros. Para esta análise, utilizamos as colunas 3 (~p) e 4 (~q): p q ~p ~q (~p) ^ (~q) V V F F F V F F V F F V V F F F F V V V Para finalizar, precisamos resolver a proposição completa, ~[(~p) ^ (~q)], encontrando a negação da quinta coluna. p q ~p ~q (~p) ^ (~q) ~[(~p) ^ (~q)] V V F F F V V F F V F V F V V F F V F F V V V F 2. p ∨ ~(p ∧ q) Temos duas proposições, p e q. Assim, a tabela terá quatro linhas (22 = 4). Temos também a negação e os conectivos e (^) e ou (v), além de parênteses. Vamos iniciar com os possíveis resultados de p e q. Após, faremos p ^ q, a negação ~(p ^ q) e, por fim, p v ~(p ^ q). Possíveis resultados de p e q: p q V V V F F V F F Resolver p ^ q, lembrando que no conectivo e (^) só temos verdade se ambas proposições forem verdadeiras: p q p ^ q V V V V F F F V F F F F 13 Resolver a negação ~(p ^ q), ou seja, trocar os valores lógicos de p ^ q da terceira coluna: p q p ^ q ~(p ^ q) V V V F V F F V F V F V F F F V Por último, resolver p v ~(p ^ q). Lembrando que, no conectivo ou, é verdadeiro quando pelo menos uma das proposições for verdadeira. Neste último passo, analisamos a primeira coluna (p) com a quarta coluna ~(p ^ q). p q p ^ q ~(p ^ q) p v ~(p ^ q) V V V F V V F F V V F V F V V F F F V V 3. (p ^~ q) ↔ (~p v r) Neste exemplo, estamos trabalhando com três proposições (p, q e r), logo teremos oito linhas na tabela-verdade. Para resolver esta proposição composta, consideramos os seguintes passos: Indicar todas as combinações de p, q, r: p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Resolver a negação de p e q:~p e ~q: p q r ~p ~q V V V F F V V F F F V F V F V V F F F V F V V V F F V F V F F F V V V F F F V V 14 Resolver o primeiro parêntese (p ^ ~q), utilizando a primeira e quinta coluna: p q r ~p ~q (p ^ ~q) V V V F F F V V F F F F V F V F V V V F F F V V F V V V F F F V F V F F F F V V V F F F F V V F Resolver o segundo parêntese (~p v r), utilizando a quarta e a terceira coluna: p q r ~p ~q (p ^ ~q) (~p v r) V V V F F F V V V F F F F F V F V F V V V V F F F V V F F V V V F F V F V F V F F V F F V V V F V F F F V V F V Por fim, resolver a sentença completa (p ^ ~q) ↔ (~p v r). p q r ~p ~q (p ^ ~q) (~p v r) (p ^ ~q) ↔ (~p v r) V V V F F F V F V V F F F F F V V F V F V V V V V F F F V V F F F V V V F F V F F V F V F F V F F F V V V F V F F F F V V F V F TROCANDO IDEIAS Para aplicarmos a lógica, é importante conhecermos uma proposição e a utilização dos conectivos nas proposições compostas para assim construir e interpretar a tabela-verdade. Os conectivos são sinais de ligação entre as proposições e as tabelas-verdade são recursos que facilitam a verificação das proposições. 15 NA PRÁTICA Saiba mais A lógica é amplamente utilizada em diversas áreas, visto que constantemente precisamos tomar decisões. Podemos utilizá-la para nos auxiliar nesses processos, pois a lógica está relacionada ao modo de pensar. Leia um artigo sobre a importância do raciocínio lógico e assista a um vídeo sobre lógica no cotidiano nos links a seguir: VIDEOAULA Matemática: Lógica no Cotidiano. Mayara Farias, 21 de junho de 2015. Disponível em: < https://youtu.be/qFe9_YM8QFU>. Acesso em: 27 set. 2019. ARAÚJO, M. A. L. de. Raciocínio lógico: uma maneira diferente de usar a matemática e tomar decisões mais assertivas. Recanto das Letras, 3 de setembro de 2017. Disponível em: <https://www.recantodasletras.com.br/artigo s/6103684>. Acesso em: 27 set. 2019. Com base nos conteúdos apresentados nesta aula, vamos praticar os conceitos resolvendo alguns exercícios. 1. Inúmeras sentenças fazem parte da nossa linguagem usual, mas nem todas podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas. As sentenças que podem ser classificadas são chamadas de declarativas e toda sentença declarativa é uma proposição. Com base nesta afirmação, analise as seguintes sentenças e verifique qual é uma proposição. a. Saia já daqui! b. Não se esqueça de trabalhar. c. Como é seu nome? d. Todos os animais são mamíferos. Sabemos que uma proposição é toda sentença declarativa afirmativa que permite raciocinar na investigação da verdade. Dessa forma, sentenças exclamativas, sentenças interrogativas e sentenças imperativas não são consideradas proposições. Assim, analisemos cada sentença: a. Saia já daqui! Essa é uma sentença exclamativa, logo não é uma proposição. 16 b. Não se esqueça de trabalhar. Sentença imperativa, logo não é uma proposição. c. Como é seu nome? Sentença interrogativa, logo não é uma proposição. d. Todos os animais são mamíferos. É uma proposição cujo valor lógico é F. 2. Um posto de combustível funciona apenas nos feriados ou em dias que não sejam segundas-feiras. Do ponto de vista da lógica, conclui-se que esse posto não funciona (Leite; Castanheira, 2017, p. 31): a. aos domingos. b. às segundas-feiras. c. em sábados que sejam feriados. d. em sábados que não sejam feriados. e. às segundas-feiras, desde que não sejam feriados. Neste exercício, temos a utilização do conectivo ou, em que, para ser verdadeiro, basta uma das duas condições ser satisfeita. Assim, se for um feriado ou um dia que não seja segunda-feira, o posto funciona normalmente. Dessa forma, não ocorrerá atendimento nas segundas, mas não pode ser feriado. Logo, o atendimento não ocorrerá nas segundas- feiras, desde que não sejam feriados. 3. Analise as seguintes proposições compostas e verifique qual é falsa: a. 2 é par ou 8 > 12. b. 5 é ímpar se e somente se 6 é par. c. Se 5 > 3, então 5 < 2. Vamos analisar cada proposição simples para depois analisar a proposição composta, levando em consideração o conectivo: a. 2 é par ou 8 > 12. Nessa proposição, temos o conectivo ou, em que basta uma das proposições simples ser verdadeira para o resultado ser verdadeiro. Vamos analisar cada proposição: 2 é par = verdadeiro. 17 8 > 12 = falso. Assim, verdadeiro ou falso = verdadeiro. b. 5 é ímpar se e somente se 6 é par. Nesta proposição, temos o conectivo se e somente se, em que o resultado é verdadeiro sempre que os valores lógicos forem iguais. Vamos analisar cada proposição: 5 é ímpar = verdadeiro. 6 é par = verdadeiro Assim, verdadeiro se e somente se verdadeiro = verdadeiro. c. Se 5 > 3, então 5 < 2. Nesta proposição, temos o conectivo se então, em que o resultado é falso sempre que temos a combinação verdadeiro e falso, nesta ordem. Vamos analisar cada proposição: 5 > 3 = verdadeiro. 5 < 2 = falso. Assim, verdadeiro se então falso = falso. FINALIZANDO Estudamos aqui as proposições simples e compostas, os valores lógicos, os diferentes conectivos, a linguagem simbólica, as operações lógicas e os principais elementos para a construção de uma tabela-verdade. 18 REFERÊNCIAS BARBOSA, M. A. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: InterSaberes, 2017. CARVALHO, S.; CAMPOS, W. Raciocínio lógico simplificado. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010. CASTANHEIRA, N. P. Cálculo aplicado à gestão e aos negócios. Curitiba: InterSaberes, 2016. LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Raciocínio lógico e lógica quantitativa. Curitiba: InterSaberes, 2017. QUILELLI, P. Raciocínio lógico matemático. Rio de Janeiro: Ferreira, 2010. SÉRATES, J. Raciocínio lógico. Brasília: Jonofon, 2004. RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO E ANALÍTICO CONTÁBIL AULA 2Profª Aline Purcote CONVERSA INICIAL Anteriormente, estudamos os principais conceitos da lógica, entendemos a diferença entre proposição simples e composta, os valores lógicos, os diferentes conectivos e a elaboração de uma tabela-verdade. Com base nesses assuntos, vamos analisar as proposições compostas, classificando-as em tautologia, contradição e contingência. Ao estudar proposições compostas, veremos também que uma proposição pode ser equivalentes a outra, ou seja, é possível expressar a mesma sentença de maneiras distintas mantendo o significado lógico original. Mas como identificar se as proposições são equivalentes? Nesta aula, vamos classificar as proposições compostas, estudar as proposições equivalentes, além de abordar os principais conceitos relacionados à implicação lógica, dedução e argumento. CONTEXTUALIZANDO Uma proposição composta pode ser classificada em tautologia, contradição ou contingência. Para saber qual a diferença entre elas, assista ao vídeo: <https://www.youtube.com/watch?v=05-2-EQA73g>. Algumas situações podemos expressar a mesma sentença de formas distintas. Veja: Se estudo com frequência, aprendo com facilidade. Se não aprendo com facilidade, não estudo com frequência. Analisando as frases, percebemos que elas se equivalem, e é justamente essa situação que estudaremos na equivalência lógica. Nesta aula também abordaremos os principais conceitos relacionados à implicação lógica, dedução1 e argumento2. TEMA 1 – TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA De acordo com Carvalho et al. (2010), uma proposição composta formada por duas ou mais proposições simples p, q, r,... será dita uma tautologia se for 1 Veja o conceito em: <https://www.significados.com.br/metodo-dedutivo/>. Acesso em: 30 set. 2019. 2 Veja o conceito em: <https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/argumento.htm>. Acesso em: 30 set. 2019. 3 sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem. Para saber se uma proposição composta é uma tautologia vamos primeiro construir sua tabela-verdade e depois analisar a última coluna. Se na última coluna todos os valores lógicos forem verdadeiros, teremos uma tautologia. Lembre-se: para a construção da tabela-verdade, precisamos analisar as proposições e conectivos. Antes de resolver alguns exemplos, vamos recordar os valores lógicos considerando duas proposições para cada conectivo estudado: p q ~p p^q pvq pvq p→q p ↔q V V F V V F V V V F F F V V F F F V V F V V V F F F V F F F V V Agora vamos avaliar se as seguintes proposições compostas são uma tautologia construindo suas tabelas-verdade: Exemplo 1: p v ~p Temos a proposição p com o conectivo ou (v) e a negação. Vamos elaborar a tabela-verdade indicando os valores lógicos para p, após negar os valores de p (~p) e, por último, resolvendo p ou ~p (p v ~p). No conectivo ou basta ter um valor verdadeiro para a proposição composta ser verdadeira. p ~p p v ~p V F V F V V Analisando a última coluna da tabela, temos que todos os valores são verdadeiros (V), tratando-se, portanto, de uma tautologia. Exemplo 2: p v ~(p^q) Temos duas proposição p e q com os conectivos ou (v) e (^), além da negação. Vamos elaborar a tabela-verdade indicando os valores lógicos para p e q, após resolver p e q (p^q), negar os valores obtidos (~(p ^ q)) e, por último, resolver p v ~(p ^ q). 4 p q p ^ q ~(p ^ q) p v ~(p ^ q) V V V F V V F F V V F V F V V F F F V V Como na última coluna temos apenas valores lógicos verdadeiros, nossa proposição composta é uma tautologia. Exemplo 3: verifique se a seguinte proposição é uma tautologia: Se Pedro é alto, então Pedro é alto ou João é magro. Primeiramente, reescrevemos a proposição composta na forma simbólica, identificando as proposições simples e os conectivos: Proposições simples: p: Pedro é alto q: João é magro Conectivos: se...então (→), ou (v): Se Pedro é alto, então Pedro é alto ou João é magro. p → p v q Agora, vamos encontrar a tabela-verdade de p → (p v q): p q p v q p → (p v q) V V V V V F V V F V V V F F F V Analisando a tabela-verdade, temos que a proposição composta é uma tautologia. Além da tautologia, uma proposição composta pode ser uma contradição. Segundo Castanheira (2016), uma proposição é chamada de contradição quando o seu valor lógico é sempre falso quaisquer que sejam os valores lógicos 5 das proposições simples envolvidas. Analisando a tabela-verdade, a última coluna contém somente valores falsos. Vamos avaliar se as seguintes proposições compostas são uma contradição construindo suas tabelas-verdade: Exemplo 4: p ^ ~p Lembrando que no conectivo e (^) só temos verdadeiro (V) se os dois valores forem verdadeiros. p ~p p ^ ~p V F F F V F Como na última coluna apenas temos valores falsos, a proposição é uma contradição. Exemplo 5: (p v ~q) ↔ (~p ^ q) p q ~p ~q p v ~q ~p ^ q (p v ~q) ↔ (~p ^ q) V V F F V F F V F F V V F F F V V F F V F F F V V V F F Além da tautologia e da contradição, temos a contingência. Segundo Castanheira (2016), uma proposição composta é chamada de contingência quando não for uma tautologia nem uma contradição, ou seja, quando os valores lógicos não forem todos verdadeiros (tautologia) nem todos falsos (contradição). De acordo com Barbosa (2017), as contingências diferem da tautologia, em que o valor lógico das proposições compostas é sempre a verdade, e da contradição, em que há sempre falsidade na última coluna. As contingências apresentam tanto a verdade como a falsidade em seu valor lógico. Dessa forma, na tabela-verdade, a última coluna contém valores mistos, verdadeiros e falsos. Exemplo 6: p → ~p p ~p p → ~p 6 V F F F V V Analisando a última coluna, temos verdadeiro e falso, isto é, uma contingência. Exemplo 7: p ^ (~q →p) p q ~q ~q →p p ^ (~q →p) V V F V V V F V V V F V F V F F F V F F Verificamos que uma proposição composta pode ter três classificações conforme o resultado final obtido na tabela-verdade. Vamos verificar um diagrama que resume essa classificação: TEMA 2 – IMPLICAÇÃO LÓGICA De acordo com Carvalho et al. (2010), a implicação lógica trata de um conjunto de afirmações, proposições simples ou compostas, cujo encadeamento lógico resultará em uma conclusão a ser descoberta. Segundo Barbosa (2017), implicação é a relação estabelecida entre dois conceitos ou proposições, de tal forma que a afirmação da verdade de um deles conduz à inferência necessária da veracidade do outro. A implicação de duas proposições ocorre quando, em suas tabelas- verdade, não ocorrer VF nessa ordem, ou seja, a proposição P(p,q,r,...) implica logicamente a proposição Q(p,q,r,...) quando Q é verdadeira todas as vezes que P for verdadeira. Proposição Composta Tautologia Valor Lógico = verdadeiro Contradição Valor Lógico = Falso Contingência Valor Lógico = misto (V e F) 7 Para representar a relação entre duas proposições, utilizamos o símbolo ⇒. Se considerarmos as proposições p ̂ q e p v q, a relação de implicação lógica é dada por p ^ q⇒ p v q. Vamos verificar se p ⇒q→p, ou seja, p implica em q→p. Para avaliar vamos construir a tabela verdade. p q q→p V V V V F V F V F F F V Analisando os valores lógicos da primeira coluna (p) com a última (q→p), verificamos que não há valor VF, logo ocorre à implicação p ⇒ q→p. Exemplo 8: verifique as seguintes implicações: a) p ^ q ⇒p v q Para avaliar a implicação vamos construir a tabela verdade: p q p ^ q p v q V V V V V F F V F V F V F F F F Avaliando a terceira coluna (p ̂ q) com a quarta (p v q), temos que sempre que (p ^ q)for verdadeiro, (p v q) também precisa ser verdadeiro. Podemos também avaliar que se a terceira (p ^ q) tiver V, não podemos ter F na quarta coluna (p v q). Como a condição é satisfeita, temos que p ^ q ⇒ p v q, ou seja, p ^ q implica em p v q. p q p ^ q p v q V V V V V F F V F V F V 8 F F F F b) p ^ q ⇒p ↔q Vamos elaborar a tabela-verdade e realizar a mesma análise na terceira e quarta colunas: p Q p ^ q p ↔q V V V V V F F F F V F F F F F V Avaliando a terceira e quarta colunas, sempre que uma for verdadeira, a outra também deve ser. Como a condição é satisfeita, temos que p ^ q ⇒p ↔q. Exemplo 9: verifique se a proposição p ↔~q implica a proposição p→q Para analisar a implicação, vamos elaborar a tabela-verdade e analisar os valores lógicos: p q ~q p ↔~q p→q V V F F V V F V V F F V F V V F F V F V Analisando a quarta e quinta colunas, precisamos ter verdadeiro e verdadeiro, ou seja, não pode aparecer VF. Na segunda linha, temos um VF, logo p ↔~q não implica a proposição p→q. TEMA 3 – EQUIVALÊNCIA LÓGICA Podemos considerar equivalência como algo que possui o mesmo significado, que expressa algo com igual valor ou que tem o mesmo sentido. Segundo Barbosa (2017), a relação de equivalência é entendida sempre que temos duas proposições com o mesmo valor lógico. Assim, concluímos que duas proposições são equivalentes quando apresentam a mesma tabela-verdade. 9 A equivalência lógica entre duas proposições é representada simbolicamente por P⇔Q, ou seja, P equivale a Q ou P é equivalente a Q. Vamos analisar o seguinte exemplo: Exemplo 10: (p →q) ⇔(~q → ~p) Para verificar a equivalência, vamos elaborar a tabela-verdade das duas proposições compostas e comparar os resultados obtidos. Se as tabelas forem iguais, temos uma equivalência lógica. 1) (p →q) p q (p →q) V V V V F F F V V F F V 2) (~q →~p) p q ~p ~q (~q →~p) V V F F V V F F V F F V V F V F F V V V Comparando a última coluna das duas tabelas, temos que os resultados são iguais. Dessa forma, as proposições são equivalentes. Exemplo 11: (p ↔q) ⇔(p →q)^(q →p) Para avaliar a equivalência, vamos elaborar a tabela-verdade. 1) (p ↔q) p q (p ↔q) V V V V F F F V F F F V 10 2) (p →q)^(q →p) p q (p →q) (q →p) (p →q)^(q →p) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Comparando a última coluna das duas tabelas, temos que as proposições são equivalentes. Outra forma de verificar a equivalência lógica é analisar a bicondicional, ou seja, P só será equivalente a Q se a bicondicional P ↔Q for uma tautologia. Vamos testar este conceito no exemplo 2 e trocar o símbolo de equivalência ⇔ pela condicional ↔ e elaborar a tabela-verdade. (p ↔q) ⇔(p →q)^(q →p) (p ↔q) ↔(p →q)^(q →p) p q (p ↔q) (p →q) (q →p) (p →q)^(q →p) (p ↔q) ↔(p →q)^(q →p) V V V V V V V V F F F V F V F V F V F F V F F V V V V V Analisando a última coluna, verificamos que todos os resultados são verdadeiros, tratando-se, portanto, de uma tautologia. Como a bicondicional é uma tautologia, concluímos que as proposições são equivalentes. TEMA 4 – DEDUÇÃO Segundo Barbosa (2017), o método dedutivo consiste em fazer uso de deduções com base em implicações ou equivalências para validar proposições. Por meio de uma regra e uma premissa, utilizamos a dedução para determinar uma conclusão. 11 Exemplos: Quando chove, a grama fica molhada. Choveu hoje. Portanto, a grama está molhada. Todo homem é mortal (premissa maior). Daniel é homem (premissa menor). Logo, Daniel é mortal (conclusão). Todo combustível é inflamável. Etanol é um combustível. Logo, etanol é inflamável. O método dedutivo é utilizado para simplificar proposições compostas complexas, pois possui o mesmo papel que a tabela-verdade e é usado quando temos várias proposições. O método consiste na aplicação de regras de inferência e equivalências para validar argumentos. TEMA 5 – ARGUMENTOS Segundo Barbosa (2017), argumentos são declarações que servem para afirmar ou negar um fato por meio de duas ou mais proposições. Normalmente, na linguagem coloquial, dizemos que, com base em hipóteses (premissas), podemos concluir (tese) afirmando ou negando um argumento. De acordo com Sérates (2004), chama-se argumento toda afirmação de que uma dada sequência finita de proposições P1, P2, P3,..., Pn tem como consequência uma proposição final Q. As proposições P1, P2, P3,..., Pn são chamadas de premissas do argumento, e a proposição final Q chama-se conclusão do argumento. Um argumento pode ser indicado na forma simbólica por: P1, P2, P3,..., Pn ┣ Q, ou podemos utilizar a forma padronizada: P1 P2 P3 . . . Pn -------- 12 Q Quando temos um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão, trata-se de um silogismo. Vamos analisar alguns exemplos: Exemplo 1 P1: Hoje é sábado ou domingo. P2: Hoje não é domingo. Q: Hoje é sábado. Exemplo 2 P1: Todos os paranaenses são brasileiros. P2: Aline é paranaense. Q: Aline é brasileira. Exemplo 3 P1: Jogamos futebol no sábado ou no domingo. P2: Não jogamos futebol no sábado. Q: Jogamos futebol no domingo. Podemos escrever um argumento na forma padronizada utilizando símbolos, dessa forma identificamos as proposições associadas a esse argumento. Vamos avaliar o exemplo 3: p: Jogamos futebol no sábado. q: Jogamos futebol no domingo. ~p: Não jogamos futebol no sábado. Considerando as proposições, temos a representação na forma simbólica e padronizada: P1: Jogamos futebol no sábado ou no domingo = p v q P2: Não jogamos futebol no sábado = ~p Forma simbólica: p v q, ~p ┣ q Forma padronizada: p v q ~p ________ q 13 Para avaliar se um argumento é válido, construímos a tabela-verdade da condicional (P1^ P2 ^ P3 ^...^ Pn→ Q). Se a condicional associada for uma tautologia, temos um argumento válido. Vamos analisar o seguinte exemplo. Exemplo 4 Se chove então faz frio. Não faz frio. Logo, não chove. Vamos identificar as proposições para escrever o nosso argumento: p: Chove q: Faz frio P1: Se chove então faz frio = p →q P2: Não faz frio = ~q Q: Logo, não chove = ~p Forma simbólica: p →q, ~q ┣~p Considerando a forma simbólica, vamos indicar a condicional para elaborar a tabela-verdade: p →q, ~q ┣~p ((p →q) ^ ~q) →~p p q ~p ~q p →q (p →q) ^ ~q ((p →q) ^ ~q) →~p V V F F V F V V F F V F F V F V V F V F V F F V V V V V Analisando a tabela-verdade, temos na última coluna apenas valores verdadeiros. Assim, temos uma tautologia e o argumento é válido. Quando temos um argumento não válido, chamamos de sofisma ou falácia. A validade de um argumento depende somente da relação existente entre as premissas e a sua conclusão. Exemplo 5 Se chove então faz frio. 14 Não chove. Logo, não faz frio. Vamos identificar as proposições para escrever o nosso argumento: p: Chove q: Faz frio P1: Se chove então faz frio = p →q P2: Não chove = ~p Q: Logo, não faz frio = ~q Forma simbólica: p →q, ~p ┣~q Considerando a forma simbólica, vamos indicar a condicional para elaborar a tabela-verdade: ((p →q) ^ ~p) →~q p q ~p ~q p →q (p →q) ^ ~p ((p →q) ^ ~p) →~q V V F F V F V V F F V F F V F V V F V V F F F V V V V V Analisando a última coluna, não temos uma tautologia, assim, o argumento não é válido e trata-se, então, de uma falácia. TROCANDO IDEIAS Vimos que, por meio de uma regra e uma premissa, utilizamos a dedução para determinar uma conclusão. Você já utilizou a dedução no seu dia a dia para chegar a conclusões e tomar decisões? NA PRÁTICA A forma como pensamos e chegamos a conclusões é extremamente importante no cotidiano e nos ajuda a tomar decisões mais assertivas. Com a dedução, conseguimos organizar do geral para o particular, partindode uma verdade geral para chegar a conclusões mais individuais. Acesse o link a seguir e entenda um pouco mais como a lógica nos ajuda em nosso dia a 15 dia: <https://educacao.uol.com.br/disciplinas/filosofia/logica---deducao-partindo- do-geral-para-chegar-ao-particular.htm>. Com base nos conceitos apresentados na aula, vamos praticar resolvendo o seguinte exercício: 1) Analise a proposição e classifique em tautologia, contradição e contingência: Se hoje fez calor, então hoje fez calor e choveu. Para resolver esse exercício, precisamos elaborar a tabela-verdade e avaliar se os resultados serão todos verdadeiros, falsos ou mistos. Para isso, vamos transformar a frase na linguagem simbólica. Nessa proposição, temos dois conectivos, se ... então e e, além de duas proposições simples: Se hoje fez calor, então hoje fez calor e choveu. p: fez calor q: choveu Assim, temos a seguinte linguagem simbólica: p → (p ^ q) Agora vamos elaborar a tabela-verdade: p q p ^ q p → (p ^ q) V V V V V F F F F V F V F F F V Analisando a última coluna, temos valores mistos. Assim, a proposição é uma contingência. 16 FINALIZANDO Nesta aula estudamos as proposições compostas classificando-as em tautologia, contradição e contingência. Vimos também os principais conceitos relacionados à implicação, equivalência lógica, dedução e argumentos. 17 REFERÊNCIAS BARBOSA, M. A. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: InterSaberes, 2017. CARVALHO, S; CAMPOS, W. Raciocínio lógico simplificado. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010. CASTANHEIRA, N. P. Cálculo aplicado à gestão e aos negócios. Curitiba: InterSaberes, 2016. SÉRATES, J. Raciocínio lógico. Brasília: Jonofon, 2004. RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO E ANALÍTICO CONTÁBIL AULA 3 Profª Aline Purcote Quinsler 2 CONVERSA INICIAL Você sabe o que são conjuntos e quais os conjuntos numéricos existentes? Um conjunto pode ser uma coleção de objetos, números, pessoas e que possui uma característica em comum. Constantemente, trabalhamos com esta teoria, mas quais as relações e as operações que são utilizadas na teoria de conjuntos? Em algumas situações não trabalhamos com um único valor, mas com um conjunto de valores que estão em um intervalo. Na previsão do tempo falamos em temperatura em um intervalo com valor máximo e mínimo; podemos também falar de um intervalo de preço de um produto ou intervalo de faturamento. Nesta aula estudaremos a teoria de conjuntos, suas representações, as relações de pertinência e inclusão, subconjuntos, operações envolvendo conjuntos, além dos conjuntos numéricos e os intervalos. CONTEXTUALIZANDO A todo o momento trabalhamos com números para realizar contagens, pagamentos, fazer uma medida, mas você já parou para pensar como surgiram os números? Vamos assistir a um vídeo que conta como tudo começou. Vídeo Assista ao vídeo “Como surgiram os números”. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=G-0mhe2x1lc>. Acesso em: 9 out. 2019. Agora que já sabemos como surgiram os números vamos conhecer um pouco mais sobre conjuntos, os conjuntos numéricos e os intervalos. TEMA 1 – CONJUNTOS E SUAS RELAÇÕES Conjuntos são indicados por letras maiúsculas do alfabeto e definidos como uma coleção de objetos, números, pessoas que possuem alguma característica em comum. Os itens que constituem um conjunto são chamados de elementos e indicados por letras minúsculas ou algarismos. Um conjunto pode ser representado entre chaves com seus elementos separados por vírgula ou podemos representá-los por um diagrama chamado 3 Diagrama de Venn, que reúne os elementos em uma curva fechada. Vamos verificar as duas representações considerando o conjunto A. Representação entre chaves com seus elementos separados por vírgula: A = {1, 2, 3, 4, 5} Representação pelo Diagrama de Venn: A Quando trabalhamos com conjuntos, podemos ter diferentes tipos deles: Conjunto unitário: é aquele que contém apenas um único elemento. Exemplo: A={2} Conjunto vazio: aquele que não tem elementos. Podemos representar esse conjunto pelo símbolo { } ou (phi). Conjunto universo: formado por todos os elementos do contexto com o qual se está trabalhando. Exemplo: quando estudamos a população humana, o conjunto universo é formado por todos os seres humanos. Dados dois conjuntos que possuem os mesmos elementos em qualquer ordem, dizemos que eles são iguais, assim, os conjuntos A={2,5,4} e B={2,4,5} são conjuntos iguais, pois possuem os mesmos elementos, ou seja, (A =B). Quando trabalhamos com conjuntos consideramos a relação de pertinência e a relação de inclusão. A relação de pertinência relaciona elemento com um conjunto já a relação de inclusão relaciona um conjunto com outro conjunto. Segundo Leite e Castanheira (2014), a palavra pertinência nos transmite a ideia de pertencer, ou seja, quando dizemos que um elemento faz parte de um conjunto, podemos dizer que tal elemento pertence ao conjunto. A relação de pertinência utiliza os símbolos (pertence) e (não pertence). Vamos considerar o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, o número 5 pertence ao conjunto A; logo, 5 A; já o número 6 não pertence ao conjunto assim 6 A. Dessa forma, quando queremos indicar que um elemento pertence ao conjunto A escrevemos x A, e quando o elemento não pertence x A, em que x é uma variável que representa todos os elementos do conjunto A. Exemplos: 1 3 5 2 4 6 4 1. A = {conjuntos dos números pares} 2 A 3 A 2. B = {conjuntos das cidades do Paraná} Curitiba B Campinas B A relação de inclusão, utilizamos sempre que um conjunto pode conter ou não conter outro conjunto. Essa relação é representada pelos símbolos (está contido) e (não está contido). Considerando o conjunto A={1, 2, 3} e o conjunto B={0,1,2,3,4} percebemos que todos os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B. Dessa forma, AB, ou seja, A está contido em B. Exemplos: 3. AB 4. AB O conjunto A não está contido no conjunto B, pois no conjunto A temos o número 2, que não está no conjunto B. Para representar a noção de inclusão podemos utilizar também os símbolos (contém) e ⊅ (não contém). Assim, AB ou BA, ou seja, A está contido em B ou B contém A. Considerando as relações de pertinência e inclusão temos: Relação de pertinência: Elemento Conjunto Elemento Conjunto Relação de inclusão: Conjunto Conjunto Conjunto Conjunto 5 Tabela 1 – Símbolos de conjuntos e suas respectivas descrições Símbolo Descrição Pertence Não pertence Está contido Não está contido Contém ⊅ Não contém TEMA 2 – SUBCONJUNTO Já estudamos a relação de inclusão, em que relacionamos um conjunto a outro, e agora veremos que dessa relação surge a noção de subconjunto. De acordo com Macedo, Castanheira e Rosa (2006), dados dois conjuntos A e B, podemos dizer que o conjunto A é subconjunto do conjunto B, quando todo elemento do conjunto A for também elemento do conjunto B. Assim, dizemos que A está contido em B (A ⊂ B), ou seja, A é subconjunto de B. Podemos representar um subconjunto utilizando o seguinte diagrama: Considerando o conjunto A={2,7} e o conjunto B={2,3,4,5,6,7,8,9}, temos que os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B, assim, A ⊂ B e A é subconjunto de B. Exemplos: 1. A ⊂ B, então A é subconjunto de B. 6 2. A B, então A não é subconjunto de B, pois o elemento 2 pertence ao conjunto A, mas não é elemento do conjunto B. Segundo Macedo, Castanheira e Rocha (2006), os elementos de um conjunto A que satisfazem a uma dada propriedade constituem um subconjunto de A, definido por essa propriedade.Considerando que qualquer um dos elementos de um conjunto pode ser chamado de variável e representado por x, podemos formar subconjuntos por meio de propriedades. Analisando o conjunto A={1,2,3,4,5,6}, a notação x A indica que x pode assumir qualquer um dos valores 1,2,3,4,5 ou 6, e a partir desse conjunto podemos encontrar o conjunto B formado pelos elementos de A que são pares, logo: B = {x A | x é par }. Portanto, B é um conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A tais que x é um número par. Assim: B = {2,4,6}. Exemplos: 3. Considerando o seguinte conjunto A encontrar os subconjuntos B e C definidos pelas propriedades: A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} B = { x ∈ A | x é ímpar} B = {1,3,5,7,9} C= { x ∈ A | x≤ 3} C = {1,2,3} TEMA 3 – OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Estudamos os conjuntos e os subconjuntos e agora vamos trabalhar com as operações de união, interseção, diferença e complementar. Considerando dos conjuntos A e B, na união ou reunião temos um conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B, ou seja, é um conjunto formado por todos os elementos que pertencem a cada um desses conjuntos sem repetir os elementos que aparecem nos dois conjuntos ao mesmo 7 tempo. A união de dois ou mais conjuntos é representada pelo símbolo U. Exemplos: 1. Considerando os conjuntos A={1,2,3,4} e B = {3,4,5,6}, vamos indicar a união de A com B (AUB): AUB = {1,2,3,4,5,6} 2. Considerando os conjuntos A={-1,0,3} e B = {-3,0,5,6}, vamos indicar a união de A com B (AUB): AUB = {-3,-1,0,3,5,6} Podemos representar a união de dois conjuntos pelo seguinte diagrama: A interseção de dois ou mais conjuntos é um conjunto composto pelos elementos que aparecem simultaneamente, ou seja, pelos elementos comuns a todos os conjuntos. Representamos a interseção pelo símbolo e verificamos sua representação pelo diagrama seguinte, em que a área em azul representa a interseção dos conjuntos A e B: Vamos considerar o conjunto A={5,6,7} e o conjunto B={7,8,9}; o conjunto interseção AB vai ser formado pelo número 7, pois esse número aparece nos dois conjuntos, ou seja, AB = {7}. Exemplos: 3. Considerando os conjuntos A={1,2,3,4} e B = {3,4,5,6}, vamos descrever a interseção de A com B (AB). Como os números 3 e 4 pertencem a dois conjuntos, temos AB = {3,4}. 8 4. Considerando os conjuntos A={1,2,3,4} e B = {5,6,7,8}, vamos descrever a interseção de A com B (AB). Como não temos elementos que pertencem aos dois conjuntos simultaneamente, o conjunto interseção será um conjunto vazio, logo AB = { }. Considerando dois conjuntos A e B, a diferença entre esses dois conjuntos é representada por A-B e formada pelos elementos que aparecem no conjunto A, mas que não pertencem ao conjunto B. A diferença é representada pela parte verde do seguinte diagrama: Exemplos: 5. Considerando os conjuntos A={1,2,3,4} e B = {3,4,5,6}, vamos encontrar A-B formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Os números 1 e 2 pertencem apenas ao conjunto A, então A-B = {1,2}. 6. Vamos encontrar a diferença entre os conjuntos A={0,1,2} e B={0,1,2,6,7}. Observamos que todos os elementos de A também pertencem ao conjunto B, assim A-B é igual ao conjunto vazio, A-B ={ }. Nossa última operação é o conjunto complementar, considerando dois conjuntos A e B, em que A está contido em B, chamamos de complementar a diferença B – A ou ABC , que indica o complementar de A em relação a B. Exemplo: 7. Considerando os conjuntos A={4,5,6} e B = {3,4,5,6,7}, vamos encontrar B-A formado pelos elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Observamos que A está contido em B (A⊂B), pois todos os elementos de A aparecem no conjunto B. Assim, os números 3 e 7 pertencem apenas ao conjunto B, então: A BC =B – A = {3,7} 9 TEMA 4 – CONJUNTOS NUMÉRICOS Os números podem ser classificados e separados nos seguintes conjuntos numéricos: números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. O primeiro conjunto numérico a surgir foi o conjunto dos números naturais, advindo da necessidade do ser humano de realizar contagens. Esse conjunto é representado pela letra N, começa com zero e ao acrescentar sempre uma unidade obtemos todos os elementos: N = {0,1,2,3,4,5,…}. O conjunto dos números naturais apresenta uma limitação sempre que subtraímos uma quantidade maior que a existente, por exemplo, 5 – 10. Diante dessa necessidade surgiram os números inteiros que são formados pelos números naturais mais os respectivos simétricos, ou seja, temos os números positivos e os números negativos. Esse conjunto é representado pela letra Z: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} O conjunto dos números inteiros resolveu a limitação apresentada pelo conjunto dos números naturais, mas apresentava uma limitação sempre que ocorresse uma divisão que não tivesse um resultado inteiro, por exemplo, ¾. Assim surgiu o conjunto dos números racionais, que contém os números que podem ser escritos na forma de divisão. Esse conjunto é representado pela letra Q e formado pelos números na forma 𝑎 𝑏 , em que a e b são números inteiros e b um número diferente de zero. Assim: 0,,, bZbZa b a Q ,... 2 3 .1, 5 3 ,0, 3 1 , 4 5 ,2...,Q Temos também o conjunto dos números irracionais que é formado por números que não podem ser escritos na forma de uma fração e é representado pela letra I. Esses números são os decimais infinitos e não periódicos, por exemplo, √2 = 1,4142135…, π = 3,1415926535… I = {…, -π,…, -√3,…, -√2,…, √3,…, π,…} O nosso último conjunto é o conjunto dos números reais representado por R e formado pelos números racionais com os números irracionais. Dessa forma, 10 os números reais são: todos os números irracionais, racionais, inteiros e naturais. Podemos representar este conjunto por: R = Q U I = {x | x Q ou x I} Além dos números reais, há outros números como a raiz de índice par de um número negativo. Por exemplo, é impossível nos números reais resolver a raiz quadrada de – 4 (√−4 ), pois não existe número real que elevado ao quadrado dê um número negativo, assim surgem os números complexos ou imaginários. TEMA 5 – INTERVALOS Muitas vezes não trabalhamos com um único valor mais com um conjunto de valores. Sempre que um conjunto numérico precisa ser representado com uma quantidade infinita de valores, usamos os intervalos. De acordo com Leite e Castanheira (2014), sejam a e b dois números reais tais que a<b, chama-se intervalo entre a e b o conjunto de todos os números reais desde a até b, sendo a e b os extremos do intervalo. O número a pode ser chamado de limite inferior do intervalo e b de limite superior. Para representar os intervalos utilizamos os seguintes símbolos: ( ): indica que os extremos não estão incluídos no intervalo. [ ]: indica que os extremos estão incluídos no intervalo. ] [: indica que os extremos não estão incluídos no intervalo. : bolinhas vazias significam que os valores informados junto a elas não fazem parte do intervalo. : bolinhas cheias significam que os valores informados junto a elas fazem parte do intervalo. Os intervalos podem ser classificados nos seguintes tipos: Intervalo fechado: conjunto de todos os números reais compreendidos entre a e b, inclusive a e b. Representamos esse intervalo da seguinte maneira, em que as bolinhas cheias indicam que os extremos pertencem ao intervalo: Assim, {x R | a bx } ou [a,b]. 11 Exemplo: 1. Uma pesquisa realizada indica que um candidato possui 60% das intenções de voto com uma margem de erro de 2% para mais ou para menos. Assim as intenções de voto desse candidato variam entre 58% e 62%. Podemos representar o resultado dessa pesquisa utilizando intervalos: 58% x 62% [58%, 62%] Intervalo aberto: conjunto de todos os números reais compreendidos entre a e b, não considerando a e b. Representamos esse intervalo da seguinte maneira, em que as bolinhas abertas indicam que os extremos não pertencem ao intervalo. Assim, {x R | a < x < b} ou ]a,b[ ou (a,b). Exemplo: 2. Uma pesquisa indica que a taxa de juros para compra de imóveis ficará entre 6,5% e 9,5% ao ano. Podemos representar o resultado desta pesquisa por meio de intervalo observando que a taxa de juros ficará entre os valores, assim não inclui os extremos. Portanto: 6,5 < x < 9,5 ]6,5,9,5[ Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda ou semiaberto à direita: temos os números entre a e b, incluindo o valor de a e não incluindo b, ou seja, a x < b. Podemos representar esse intervalo por [a,b[ ou [a,b). 12 Exemplo: 3. Uma loja de utensílios domésticos vende itens a partir de R$ 1,99 até valores inferiores a R$ 30. Podemos representar a faixa de preço dos produtos por meio de intervalo considerando que tenho produtos com preço inicial de R$ 1,99 até inferiores a R$ 30, ou seja, considera-se no intervalo R$ 1,99, mas o R$ 30 não pertence ao intervalo. Assim: Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda ou semiaberto à esquerda: neste intervalo não incluímos o valor de a e consideramos o valor de b, ou seja, a < x b. Podemos representar esse intervalo por ]a,b] ou (a,b]. Intervalo infinito ou semifechado: quando não definimos um dos extremos ou os dois extremos do intervalo. Podemos representar esse intervalo das seguintes maneiras: O conjunto dos números reais pode ser representado pelo intervalo: ]- , + [ ou (- , ). 13 Considerando os diferentes tipos de intervalos, temos os dados da Tabela 2. Tabela 2 – Representação dos diferentes tipos de intervalos TROCANDO IDEIAS Nesta aula vimos os diferentes conjuntos numéricos e os intervalos que estão presentes em diversas situações do nosso cotidiano. Você se recorda de alguma situação em que utilizou ou podemos utilizar os intervalos numéricos? E onde utilizamos os diferentes conjuntos numéricos? NA PRÁTICA Diariamente utilizamos os diferentes tipos de conjuntos numéricos em nossas atividades ou analisamos intervalos numéricos que representam determinada situação. Podemos analisar o intervalo da temperatura, o intervalo de taxa de juros, o intervalo de preço de um determinado item ou até mesmo o intervalo de faturamento ou lucro de uma organização. Com esses conceitos nossas análises e decisões são cada vez mais assertivas. Vamos assistir a um vídeo (indicado a seguir) que mostra algumas aplicações envolvendo conjuntos. 14 Vídeo Assista ao vídeo “Os números irracionais, reais e suas aplicações”. Disponível em: <https://edulivre.org.br/videos/13388/os-numeros-irracionais- reais-e-suas-aplicacoes>. Acesso em: 9 out. 2019. Agora que já conhecemos as diferentes operações envolvendo conjuntos, vamos resolver o seguinte exercício que trata destes conceitos. 1. Em uma escola de idiomas que possui 510 estudantes, 350 estudam inglês e 220, espanhol. Com base nos dados apresentados calcule: a. Quantos alunos estudam inglês e espanhol? Se somarmos a quantidade de alunos apresentados temos: 350 + 220 = 570 Avaliando o valor obtido, percebemos que é maior que 510 que é o número total de estudantes da escola; isso ocorre porque temos os alunos que fazem ambos os cursos assim precisamos descontar esse valor da quantidade total: 570 – 510 = 60 Logo temos 60 alunos que estudam inglês e espanhol. b. Quantos alunos estudam apenas inglês? Temos que 350 estudantes estudam inglês, mas sabemos que 60 fazem ambos os cursos, então precisamos descontar essa quantidade para encontrarmos a quantidade de estudantes que fazem apenas inglês, assim: 350 – 60 = 290 Logo, 290 estudantes fazem apenas inglês. c. Quantos alunos estudam apenas espanhol? Temos que 220 estudantes estudam espanhol, mas sabemos que 60 fazem ambos os cursos então precisamos vamos descontar esta quantidade para encontrarmos a quantidade de estudantes que fazem apenas espanhol, assim: 220 – 60 = 160 Logo, 160 estudantes fazem apenas espanhol. Podemos representar esse problema pelo seguinte diagrama: 15 FINALIZANDO Estudamos aqui os principais conceitos envolvendo conjuntos e trabalhamos os seguintes temas: Conjuntos Relação pertinência Relação inclusão Subconjunto Operações União Interseção Diferença Complentação Conjuntos numéricos Intervalos Inglês Espanhol 16 REFERÊNCIAS LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Teoria dos números e teoria dos conjuntos. Curitiba: InterSaberes, 2014. MACEDO, L. R. D.; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de Matemática Aplicada. Curitiba: Ibpex, 2006. RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO E ANALÍTICO CONTÁBIL AULA 4 Profª Aline Purcote 2 CONVERSA INICIAL Anteriormente, estudamos os diferentes conjuntos numéricos e, agora, vamos estudar algumas operações que envolvem esses conjuntos, como a potenciação e a radiciação. A ideia de potência é muito antiga e representa uma multiplicação de fatores iguais, já a radiciação é a operação inversa da potenciação. Nesta aula, estudaremos também razão e proporção, que são utilizadas para realizar comparações ou estabelecer igualdade entre grandezas diferentes. Veremos, ainda, que, em situações que envolvem proporções, utilizamos a regra de três e entenderemos a diferença entre regra de três simples e composta. CONTEXTUALIZANDO Imagine que você convidou 14 amigos para um churrasco, mas não sabe exatamente quanto de carne comprar e lembra que, quando fez um churrasco para 6 pessoas, comprou 3 kg de carne. Com essa informação, como encontrar a quantidade de carne a ser comprada? Vamos considerar uma aplicação de R$ 400,00 na poupança, em que o valor do juro em um mês foi de R$ 3,50. Se a aplicação fosse de R$ 2.100,00, qual seria o valor do juro? Nas duas situações, podemos utilizar a regra de três, que permite encontrar um valor desconhecido e é muito útil para a solução de questões cotidianas de forma simples e prática. Além da regra de três simples e composta, estudaremos potenciação, radiciação, razão e proporção. TEMA 1 – POTENCIAÇÃO A potenciação representa a multiplicação de fatores iguais, ou seja, representa um número que é multiplicado por ele mesmo várias vezes. Nessa operação, trabalhamos com uma base e um expoente que vai indicar o número de vezes que a base será multiplicada, ou seja: an = a.a.a.a. ... .a em que a é a base e n o expoente. 3 Exemplos: 1) 3² = 3.3 = 9 2) 4³ = 4.4.4 = 64 3) a4= a.a.a.a Ao trabalhar com potências, temos as seguintes regras: 1) Quando o expoente é um número par, o resultado será sempre positivo: (3)² = 3.3 = 9 (-5)² = (-5).(-5) = 25 Obs.: nesse caso, utilizamos a regra de sinal da multiplicação: 2) Quando o expoente é um número ímpar, o resultado terá sempre o mesmo sinal da base. (2)³ = 2.2.2 = 8 (-7)³ = (-7). (-7). (-7) = - 343 Obs.: nesse caso, utilizamos duas regras de sinal da multiplicação: 1º - multiplicado por - = +, ou seja, (-7).(-7) = 49 2º+ multiplicado por - = -, ou seja, 49. (-7) = -343 (-7). (-7). (-7) 3) Quando um número negativo for elevado a um expoente par ou ímpar e não estiver entre parênteses, o resultado será sempre negativo. Isso ocorre, pois o sinal negativo é de toda a expressão e não da base. -4² = -(4.4) = -16 4 -4³ = -(4.4.4) = -64 Desta forma, (-4)² é diferente de -4². Isso ocorre, pois, no primeiro, o sinal de menos também está elevado ao quadrado, então, a base a ser multiplicada é -4 e a resposta é 16 (-4.-4 = 16). No segundo caso, o menos não está elevadoao quadrado, assim, a base a ser multiplicada é 4 e a resposta será -16 (-(4.4)=- 16). Agora, vamos analisar algumas propriedades da potenciação: 1) Potência elevada a zero: Toda base diferente de zero elevada ao expoente zero é igual a 1: 20 = 1 1500 = 1 1 2 1 0 (-2)0 = 1 Obs.: 00 é uma indeterminação. 2) Potência elevada a 1: Toda base elevada ao expoente 1 é igual à própria base: 21 = 2 501 = 50 2 1 2 1 1 (-2)1 = -2 3) Potência de expoente negativo: Uma base elevada a um expoente negativo é igual ao inverso da base com expoente positivo: 4 1 2 1 . 2 1 2 1 2 2 2 8 125 2 5 . 2 5 . 2 5 2 5 5 2 33 4) Multiplicação de potências de base diferente: a potência de um produto é o produto das potências: 5 (3.5)² = 3² . 5² = 9 . 25 = 225 (x.y)³ = x³ . y³ [(-2).(5)]² = (-2)² . (5)² = 4 . 25 = 100 5) Divisão de potências de base diferente: a potência de uma divisão é a divisão das potências: 125 27 5 3 5 3 3 33 9 1 3 1 3 1 2 22 6) Multiplicação de potência de mesma base: repete a base e soma os expoentes: 2². 2³ = 22+3 = 25 ou seja: 2². 2³ = (2.2). (2.2.2) = 25 3125 32 5 2 5 2 5 2 5 2 . 5 2 5 553232 7) Divisão de potências de mesma base: repete a base e subtrai os expoentes: 222 2 2 134 3 4 ou seja: 2 2.2.2 2.2.2.2 2 2 3 4 333 3 3 123 2 3 8 1 2 1 22 2 2 3 352 5 2 Com essa propriedade, conseguimos exemplificar a propriedade número 1 da potência elevada a zero. Vamos supor a seguinte divisão: 6 122 2 2 022 2 2 ou seja: 1 4 4 2.2 2.2 2 2 2 2 8) Potência de potência: repete a base e multiplica os expoentes: (2³)² = 23.2 = 26 ou seja: (2³)² = 2³. 2³ = (2.2.2). (2.2.2) = 26 (x²)5 = x2.5= x10 Uma importante aplicação da potenciação é a notação científica, utilizada para expressar valores muito grandes ou muito pequenos em que usamos as potências de 10 como fator multiplicativo junto aos dígitos não nulos, de maneira que o valor a ser denotado esteja entre 0 e 10. Ao escrever um número na forma de notação científica, a vírgula será deslocada para a direita ou para a esquerda. Quando deslocamos a vírgula para a direita, o expoente da base 10 será negativo e igual ao número de casas decimais que a vírgula deslocou. Caso o deslocamento ocorra para esquerda, o expoente será positivo e igual ao número de casas decimais que a vírgula deslocou. Exemplos: 1) 367 = 3,67 x 10² A vírgula foi deslocada duas casas para a esquerda. 2) 0,0035 = 3,5 x 10-3 A vírgula foi deslocada três casas para direita. 7 TEMA 2 – RADICIAÇÃO Já estudamos os principais conceitos e propriedades da potenciação, agora estudaremos radiciação, que é a operação inversa da potenciação. Vimos que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais, já a radiciação é a operação utilizada quando queremos descobrir qual o número que multiplicado por ele mesmo várias vezes resulta em um valor que conhecemos. Segundo Macedo, Castanheira e Rocha (2006), denomina-se raiz de índice n de A o número ou expressão que, elevado à potência n, reproduz A: AxxA nn em que: A = radicando n = índice x = raiz √= radical Exemplos: 1) 416 , pois 4² = 16 ou -4, pois (-4)² = (-4). (-4) = 16 2) 283 , pois 2³ = 8 3) 283 , pois (-2)³ = -2.-2.-2 = -8 De acordo com Macedo, Castanheira e Rocha (2006), ao trabalhar com a radiciação, deduzimos que: Se o índice do radical é um número ímpar, a sua raiz é única e tem o mesmo sinal do radicando. Os números negativos não têm raiz de índice par no campo dos números reais. Por exemplo, 4 . Isso ocorre porque não temos um número real que elevado ao quadrado resulte em um número negativo. Essas raízes podem ser resolvidas utilizando o conjunto dos números complexos. Se o índice do radical é par, os números positivos têm sempre duas raízes reais diferentes e simétricas. https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-potenciacao.htm https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-multiplicacao.htm 8 Sabemos que a radiciação é o inverso da potenciação. Assim, podemos transformar uma raiz em uma potência, utilizando expoente fracionário e facilitando facilitar os cálculos, pois podemos utilizar as mesmas propriedades que estudamos na potenciação. Para realizar essa transformação, dividimos o expoente do radicando pelo índice do radical: n b n b aa Exemplos: 1) 4 3 4 3 88 2) 3 1 3 1414 3) 16444 24 8 4 8 Para resolver problemas envolvendo radiciação, utilizamos algumas propriedades: 1) Multiplicação de radicais de mesmo índice: multiplicar os radicandos e atribuir ao resultado o índice comum: nnn baba .. 155.3 333 2439.27 2) Divisão de radicais de mesmo índice: dividir os radicandos e atribuir ao resultado o índice comum: 0, b b a b a n n n 3 2 6 2 6 3 3 3 5 3 5 3 9 3) Raiz de raiz: multiplicar os índices das raízes: nmm n aa . 123 4 2020 217 3 55 4) Potência de expoente nde raiz n-ésima: se uma raiz de índice n está elevada a um expoente n, o resultado será o radicando: aa nn 2222 17 7 7 7 33 1010 5) Raiz de uma potência: elevar o radicando ao expoente indicado e conservar o índice: n mmn aa 44 334 2733 33 223 2555 33 2423 2 1443.23.2 Quando efetuamos operações de adição e subtração envolvendo radicais, somamos e subtraímos radicais de mesmo índice e mesmo radicando, ou seja, realizamos as operações com radicais semelhantes operando os coeficientes e mantendo o radical. Exemplos: 1) 3324132343 2) 532256322456532224 10 TEMA 3 – RAZÕES E PROPORÇÕES Razão e proporção estão relacionadas à operação da divisão em que a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, e a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões. A razão entre dois números é a divisão entre a e b, com b≠0 e indicada por b a em que a é chamado de antecedente e b de consequente. Exemplos: 1) Em um campeonato, um jogador realizou 15 arremessos e acertou 9. Qual a razão do número de acertos para o número total de arremessos? Qual a razão entre o número de acertos e o número de erros? Para resolver essa questão, vamos verificar os dados fornecidos: Totais de arremessos = 15 Totais de acertos = 9 Agora vamos encontrar a razão de acertos para o total de arremesses, dividindo o número de acertos pelo total: 5 3 15 9 Observe que simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por 3, assim, para a cada 5 arremessos, o jogador acerta 3. Para encontrar a razão entre o número de acertos e o número de erros, precisamos saber quantos arremessos o jogador errou, assim, diminuímos o total pelo número de acertos: 15 – 9 = 6 Para encontrar a razão, dividimos o número de acertos pelo número de erros: 2 3 6 9 Logo, para cada 3 acertos, o jogador erra 2 arremessos. 11 2) O salário de um funcionário é de R$ 2.000, e um segundo funcionário recebe R$ 1.000. Qual a razão do salário do primeiro para o segundo funcionário? Para encontrar a razão, vamos dividir o salário do primeiro pelo salário do segundo: 2 1000 2000 Desta forma, o primeiro funcionário recebe o dobro do segundo funcionário. A razão também pode ser representada na forma percentual (%), sendo essa representação muito utilizada na área financeira no cálculode juros e descontos. Assim a razão b a , com b=100 pode ser escrita na forma de porcentagem. Exemplos: 1) %3030,0 100 30 2) Uma fábrica produziu no ano de 2015 um total de 2.000 veículos e em 2016 produziu 2.200 veículos. Qual foi o percentual de aumento em 2016 comparado com 2015? Considerando a produção nos dois anos, foram produzidos 200 veículos a mais em 2016 comparado com 2015 (2.200 – 2000 = 200), assim, temos a seguinte razão entre o aumento da produção em 2016 e o número de veículos produzidos em 2015: %1010,0 100 10 2000 200 Desta forma, o crescimento na produção dessa fábrica foi de 10%. Além da porcentagem no nosso dia a dia, trabalhamos com várias razões, entre elas, destacamos: 12 Vimos que a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, e a relação de igualdade entre duas razões chamamos de proporção. As proporções podem ser representadas como: d c b a Em que a e d são os extremos e b e c os meios. Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja, a.d = b.c. Exemplos: 1) 20 15 16 12 12.20 = 240 16.15 = 240 2) Um vendedor recebe a cada 2 itens vendidos R$ 200,00 de comissão. Quanto ele receberá de comissão no mês que vender 15 itens? Sabemos que a cada 2 itens ele recebe R$ 200 assim temos 200 2 . Para 15 itens não conhecemos o valor, então chamamos de x, logo x 15 . Agora, vamos montar a proporção e utilizar a propriedade para encontrar o valor de x: x 15 200 2 2.x = 200. 15 Isolando o xe, utilizando as operações inversas, temos: 13 1500 2 3000 2 15.200 x Logo, o vendedor receberá R$ 1.500 de comissão pela venda dos 15 itens. As proporções são a base dos cálculos envolvendo regra de três simples e composta que veremos a seguir. TEMA 4 – REGRA DE TRÊS A regra de três simples é um processo prático usado em situações que envolvem quatro valores dos quais só conhecemos três, sendo que essas quatro medidas formam uma proporção. Segundo Rodrigues (2010), a regra de três é a operação de cálculo na qual estão envolvidas duas grandezas ou mais grandezas de forma direta ou inversamente proporcionais. Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais quando, aumentando uma das grandezas, a outra também aumenta na mesma proporção ou, quando o valor de uma diminui, a outra também diminui. Exemplos: 1) Distância e tempo: quanto maior a distância, maior será o tempo para percorrer o trajeto. 2) Produção e tempo: quanto mais horas disponíveis para produção, mais produtos serão produzidos. Duas grandezas são consideradas inversamente proporcionais quando, aumentando uma das grandezas, a outra diminui na mesma proporção ou, quando o valor de uma diminui, a outra aumenta. Exemplos: 1) Velocidade e tempo: se aumentar a velocidade em uma viagem, diminuímos o tempo gasto para chegar ao destino. 2) Número de funcionário e tempo: se aumentarmos o número de funcionários desempenhando a mesma atividade, reduzimos o tempo de finalização dessa atividade. Para resolver uma regra de três, utilizamos os seguintes passos: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-tres-simples.htm https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-proporcao.htm 14 1) Representar o termo desconhecido por x. 2) Construir uma tabela com as grandezas posicionadas em razões. 3) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 4) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Uma pessoa aplicou R$ 500,00 na poupança e recebeu de juros, em um mês, R$2,50. Ela pretende aplicar R$2.100 no mesmo mês, qual será o valor dos juros que receberá? Vamos seguir os passos para resolução utilizando regra de três: 1) Representar o termo desconhecido por x: queremos saber qual o valor do juro quando aplicado R$ 2.100, então o juro será igual a x. 2) Construir uma tabela com as grandezas, posicionadas em razões. Tabela 1 - Grandezas Aplicação Juro 500 2,50 2.100 X 3) Verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais: se aumentarmos o valor da aplicação o valor de juros que iremos receber também aumenta, assim temos grandezas diretamente proporcionais. Tabela 2 – Grandezas 2 Aplicação Juro 500 2,50 2.100 X 4) Montar a proporção e resolver a equação. x 50,2 2100 500 500x = 2100.2,50 500x = 5250 5,10 500 5250 x 15 O valor dos juros será de R$ 10,5 na aplicação de R$ 2.100. 2) Uma equipe, trabalhando 8 horas por dia, realiza um projeto em 20 dias. Se a equipe trabalhar apenas 5 horas por dia, em que prazo entregará o projeto? Vamos seguir os passos para resolução: 1) Representar o termo desconhecido por x: queremos saber em quanto tempo a equipe entregará o projeto se trabalhar apenas 5 horas, então o tempo será x. 2) Construir uma tabela com as grandezas posicionadas em razões: Tabela 3 – Grandezas 3 Horas Dias 8 20 5 x 3) Verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais: se diminuirmos a quantidade de horas trabalhadas, o prazo aumentará, dessa forma, temos grandezas inversamente proporcionais. Tabela 4 – Grandezas 4 Horas Dias 8 20 5 x 4) Montar a proporção e resolver a equação: como as grandezas são inversamente proporcionais, precisamos inverter a razão antes de resolver a equação, assim: x 20 5 8 205 8 x 8.20 = 5x 160 = 5x 32 5 160 x Reduzindo as horas de trabalho para 5 horas diárias, o prazo para entrega do projeto será de 32 dias. 16 TEMA 5 – REGRA DE TRÊS COMPOSTA Já vimos que a regra de três simples é utilizada quando temos duas grandezas que envolvem quatro valores em que um deles é desconhecido. Já na regra de três composta, trabalhamos com problemas que envolvem três ou mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para resolver uma regra de três composta, utilizamos os seguintes passos: 1) Representar o termo desconhecido por x. 2) Construir uma tabela com as grandezas posicionadas em razões. 3) Verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, comparando as grandezas duas a duas sendo uma delas a variável. 4) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Em uma empresa, 6 funcionários produzem 500 itens em 10 dias. Quantos itens serão produzidos por 10 funcionários trabalhando por 12 dias? Analisando esse problema, temos três grandezas: número de funcionários, quantidade de itens e dias trabalhados. Para resolver esse problema, vamos seguir os passos: 1) Representar o termo desconhecido por x: a nossa variável x será a quantidade de itens produzidos por 10 funcionários em 12 dias. 2) Construir uma tabela com as grandezas, posicionadas em razões: Tabela 5 – Grandezas 5 Número de funcionários Números de dias Quantidade de itens 6 10 500 10 12 x 3) Verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, comparando as grandezas duas a duas sendo uma delas a variável. 17 Vamos comparar o número de funcionários com a quantidade de itens: se aumentarmos a quantidade de funcionários, produzimos mais itens, assim, as grandezas são diretamente proporcionais: Tabela 6 – Grandezas 6 Número de funcionários Quantidade de itens 6 500 10 x Agora vamos comparar o número de dias com a quantidade de itens, se aumentamos o número de dias, produzimos mais itens, logo, as grandezas também são diretamente proporcionais: Tabela 7 – Grandezas 7 Número de dias Quantidade de itens 10 500 12 x 4) Montar a proporção e resolver a equação: 12 10 . 10 6500 x 120 60500 x 60x = 60000 1000 60 60000 x Se 10 funcionários trabalharem por 12 dias, eles produzirão 1000 itens. 2) Uma empresa possui 6 impressoras que gastam 40 minutos para impressão de 1.000 cópias, quanto tempo 3 impressoras gastarão
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