TÓPICOS INTEGRADORES I Elias Arcanjo - web 1 - Mod B 2021_2 - apresentação

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Tópicos Integradores I
WEBCONFERÊNCIA I
UNIDADE DE APRENDIZAGEM - 01
MSc. Elias Arcanjo
Cinemática
Equações da cinemática
• 𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
• 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Cinemática
Equações da cinemática
• 𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
• 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑥0(𝑡 = 0)
𝑣0
O
𝑥 𝑡 =?
𝑎(𝑡)
𝑣 𝑡
Análise do movimento 
da partícula
Cinemática
Equações da cinemática
• 𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
• 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑥0(𝑡 = 0)
𝑣0
O
𝑥 𝑡 =?
𝑎(𝑡)
𝑣 𝑡
Análise do movimento 
da partícula
𝑎(𝑡) =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡
𝑣 − 𝑣0 = න
𝑡1
𝑡2
𝑎 𝑡 𝑑𝑡
න
𝑣0
𝑣
𝑑𝑣 = න
𝑡1
𝑡2
𝑎 𝑡 𝑑𝑡
𝑣 = 𝑣0 +න
𝑡1
𝑡2
𝑎 𝑡 𝑑𝑡
Determinando a função velocidade
Cinemática
Equações da cinemática
• 𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
• 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑥0(𝑡 = 0)
𝑣0
O
𝑥 𝑡 =?
𝑎(𝑡)
𝑣 𝑡
Análise do movimento 
da partícula
𝑎(𝑡) =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡
𝑣 − 𝑣0 = න
𝑡1
𝑡2
𝑎 𝑡 𝑑𝑡
න
𝑣0
𝑣
𝑑𝑣 = න
𝑡1
𝑡2
𝑎 𝑡 𝑑𝑡
𝑣 = 𝑣0 +න
𝑡1
𝑡2
𝑎 𝑡 𝑑𝑡
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑥 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡
න
𝑥0
𝑥
𝑑𝑥 = න
𝑡1
𝑡2
𝑣 𝑡 𝑑𝑡
Determinando a função velocidade
Determinando a função posição
𝑥 − 𝑥0 = න
𝑡1
𝑡2
𝑣 𝑡 𝑑𝑡
𝑥 = 𝑥0 +න
𝑡1
𝑡2
𝑣 𝑡 𝑑𝑡
÷
Exemplo 1: A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dado por
x = (4 + 2t + 2t³) m. Determine:
a) a posição inicial da partícula;
b) a posição em t = 2s;
c) a velocidade inicial da partícula;
d) a velocidade instantânea em t = 2,0 s.
e) a aceleração em t = 2s;
f) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t = 0s a t = 2s.
g) a aceleração média da partícula durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 2s.
SOLUÇÃO:
s(t) = (4 + 2t + 2t³) m
a) a posição inicial da partícula;
b) a posição em t = 2s;
c) a velocidade inicial da partícula;
d) a velocidade instantânea em t = 2,0 s.
e) a aceleração em t = 2s;
f) a velocidade média durante o intervalo de 
tempo de t = 0s a t = 2s.
g) a aceleração média da partícula durante o 
intervalo de tempo de t = 0 a t = 2s.
Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
É o movimento caracterizado por possuir velocidade constante.
Equação do MRU:
𝑥0(𝑡 = 0)
𝑣
O
𝑥 𝑡 =?
𝑣
Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)
É o movimento caracterizado por possuir velocidade constante.
Equação do MRU:
𝑥0(𝑡 = 0)
𝑣
O
𝑥 𝑡 =?
𝑣
Exemplo 2. Um carro está no quilômetro 12 de uma rodovia a uma
velocidade constante de 72 Km/h. Determine a posição em que ele
estará após um tempo de 3 horas mantendo a mesma velocidade
durante todo o trajeto.
Movimento Retilíneo Uniformemente 
Variado (MRUV)
É o movimento caracterizado por possuir aceleração constante.
Equação horária da 
velocidade do MRUV:
𝑥0
a, 𝑣0
O 𝑥 𝑡 =?
𝑣, a
𝑣 𝑡 =?
Equação horária da 
posição do MRUV:
Exemplo 3: Uma partícula parte do repouso e em 5 segundos percorre 100 metros.
Considere que o movimento retilíneo e uniformemente variado. (a) Qual a aceleração
da partícula? (b) Qual é a velocidade da partícula na posição 25 m?
Exemplo 3: Uma partícula parte do repouso e em 5 segundos percorre 100 metros.
Considere que o movimento retilíneo e uniformemente variado. (a) Qual a aceleração
da partícula? (b) Qual é a velocidade da partícula na posição 25 m?
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡²
100 = 0 + 0 ∙ 5 +
1
2
𝑎 ∙ 5²
100 =
1
2
𝑎 ∙ 5²
𝑎 =
200
25
= 8𝑚/𝑠²
Solução:
a)
Exemplo 3: Uma partícula parte do repouso e em 5 segundos percorre 100 metros.
Considere que o movimento retilíneo e uniformemente variado. (a) Qual a aceleração
da partícula? (b) Qual é a velocidade da partícula na posição 25 m?
Solução:
a)
𝑣2 = 𝑣0
2 + 2𝑎∆𝑥
𝑣2 = 0 + 2 ∙ 8 ∙ 25
𝑣 = 16 ∙ 25
𝑣 = 4 ∙ 5 = 20𝑚/𝑠
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡²
100 = 0 + 0 ∙ 5 +
1
2
𝑎 ∙ 5²
100 =
1
2
𝑎 ∙ 5²
𝑎 =
200
25
= 8𝑚/𝑠²
b)
Exemplo resolvido 1: (a) Com que velocidade deve ser lançada uma bola
verticalmente a partir do solo para que atinja uma altura máxima de 45 m? (b)
Por quanto tempo a bola permanece no ar?
Exemplo resolvido 1:(a) Com que velocidade deve ser lançada uma bola
verticalmente a partir do solo para que atinja uma altura máxima de 45 m? (b)
Por quanto tempo a bola permanece no ar?
Solução:
a)
b)
𝑣 = 𝑣0 + 𝑔𝑡
−30 = 30 + (−10)𝑡
−30 − 30 = −10𝑡
𝑡 =
60
10
= 6 𝑠
𝑣2 = 𝑣0
2 + 2𝑔∆𝑥
02 = 𝑣0
2 + 2 ∙ (−10) ∙ 45
𝑣0 = 900 = 30 𝑚/𝑠
Exemplo resolvido 2: Um desordeiro joga uma pedra verticalmente para baixo com 
uma velocidade inicial de 10,0 m/s, a partir do telhado de um edifício, 40,0 m acima 
do solo. (a) Quanto tempo leva a pedra para atingir o solo? (b) Qual é a velocidade 
da pedra no momento do choque?
Exemplo resolvido 2: Um desordeiro joga uma pedra verticalmente para baixo com 
uma velocidade inicial de 10,0 m/s, a partir do telhado de um edifício, 40,0 m acima 
do solo. (a) Quanto tempo leva a pedra para atingir o solo? (b) Qual é a velocidade 
da pedra no momento do choque?
Solução:
a)
𝑡 =
−(−2) ± 36
2 ∙ 1
𝑡′ =
2 + 6
2
= 4 𝑠 𝑒 𝑡′ =
2 − 6
2
= −2 𝑠
b)
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
𝑣 = 10 − 10 ∙ 4
𝑣 = −30 m/s
5𝑡2 − 10𝑡 − 40 = 0
∆ = −2 2 − 4 ∙ 1 ∙ (−8)
𝑡2 − 2𝑡 − 8 = 0
∆= 36
∆ = 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑔𝑡²
0 = 40 + 10 ∙ 𝑡 +
1
2
(−10) ∙ 𝑡²
Cinética (Dinâmica)
Leis de Newton
# Lei da Inércia;
# Lei da Aceleração;
# Lei da Ação e Reação.
Leis de Newton: Lei da inércia
Primeira Lei de Newton, Princípio da Inércia ou Lei da Inércia
# Quando a força resultante sobre um corpo é igual a zero, ele tende a
permanecer no seu estado de REPOUSOU no estado de movimento
retilíneo e uniforme.(MRU).
# Inércia é a tendência dos corpos de permanecerem em repouso ou 
em movimento retilíneo uniforme (MRU).
# A grandeza física que representa a inércia é a MASSA do corpo. 
https://www.instagram.com/p/CHGAi
wpgBn0/?igshid=1p094p924rv4v
https://www.instagram.com/p/CHGAiwpgBn0/?igshid=1p094p924rv4v
Leis de Newton : Lei da aceleração 
# Princípio Fundamental da Dinâmica (P.F.D.)
# Ԧ𝐹𝑅 = 𝑚 Ԧ𝑎
# Força resultante é a soma vetorial de todas as forças quem atuam na 
partícula 
# Ԧ𝐹𝑅 = Ԧ𝐹1 + Ԧ𝐹2 +⋯+ Ԧ𝐹𝑛
# Regra do paralelogramo
# Notação Vetorial
# Regra do polígono
Leis de Newton : Lei da ação e Reação 
# Se um corpo A exerce uma força sobre o corpo B, este também exerce 
em A uma força com mesma intensidade, mesma direção e sentido 
contrário.
# Par Ação e Reação: 
# Mesmo módulo
# Sentidos opostos
# Mesma direção
# Atuam em corpos Diferentes 
Ԧ𝐹𝐴𝐵
𝐴çã𝑜
Ԧ𝐹𝐵𝐴
𝑅𝑒𝑎çã𝑜
𝑃
𝑁
Atenção: Força peso e força 
normal Não formam um par 
de ação e reação.
Exemplo 4: O bloco de 2 kg tem uma velocidade inicial de 0,4 m/s sobre uma
superfície lisa. Uma força F = (12t² + 4) N, onde t é dado em segundos, age sobre
o bloco durante 2s. Determine a velocidade do bloco no instante de tempo t = 2s.
F = (12t² + 4) N
v0 =0,4 m/s
Exemplo resolvido 3. Um bloco, de massa 5kg, com velocidade de 10 m/s entra
em uma região com atrito. Determine a velocidade do bloco após um
deslocamento de 16m sobre a superfície rugosa. Considere g = 10 m/s², o
coeficiente de atrito cinético de 0,2.
Exemplo resolvido 3. Um bloco, de massa 5kg, com velocidade de 10 m/s entra
em uma região com atrito. Determine a velocidade do bloco após um
deslocamento de 16m sobre a superfície rugosa. Considere g = 10 m/s², o
coeficiente de atrito cinético de 0,2.
𝐹𝑅𝑦 = 0
𝐹𝑁 −𝑚𝑔 = 0
𝐹𝑁 = 𝑚𝑔
𝐹𝑅𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
−𝑓𝑎𝑡= 𝑚𝑎𝑥
−𝜇𝐹𝑁 = 𝑚𝑎𝑥
−𝜇𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑥
𝑎𝑥 = −𝜇𝑔
𝑎𝑥 = −0,2 ∙ 10
𝑎𝑥 = −2𝑚/𝑠²
𝑣2 = 10² + 2 −2 16
𝑣2 = 100 − 64
𝑣 = 36
𝑣 = 6 𝑚/𝑠
5 kg
𝑣0 = 10 𝑚/𝑠
5 kg
𝑣 =?
16 𝑚
Exemplo 5: A figura mostra um bloco D (o bloco deslizante), de massa M = 3,0 kg.
O bloco está livre para se mover em uma superfície horizontal com atrito e está
ligado, por uma corda que passa por uma polia sem atrito, a um segundo bloco P
(o bloco pendente), de massa m = 2,0 kg. As massas da corda e da polia podem
ser desprezadas em comparação com a massa dos blocos. Enquanto o bloco
pendente P desce, o bloco deslizanteD acelera para a direita. Determine (a) a
aceleração do bloco D, (b) a aceleração do bloco P, (c) a tração da corda e (d) a
velocidade de P em t= 2s. (𝜇𝑐 = 0,2 e g =10m/s²)
SOLUÇÃO:
M = 3,0 kg
m = 2,0 kg
𝝁𝒄 = 𝟎,2 
g =10m/s²
mg
T
T
𝑓𝑎𝑡 Mg
FN
𝐹𝑅𝑦 = 0
𝐹𝑁 −𝑀𝑔 = 0
𝐹𝑁 = 𝑀𝑔
Corpo de massa M:
• 𝑓𝑎𝑡 = 𝜇𝐹𝑁 = 𝜇𝑚𝑔
SOLUÇÃO:
M = 3,0 kg
m = 2,0 kg
𝝁𝒄 = 𝟎,2 
g =10m/s²
mg
T
T
𝑓𝑎𝑡 Mg
FN
𝐹𝑅𝑦 = 0
𝐹𝑁 −𝑀𝑔 = 0
𝐹𝑁 = 𝑀𝑔
Corpo de massa M:
Aplicando a força
resultante na direção
do movimento, temos:
𝑚: 𝑚𝑔 − 𝑇 = 𝑚𝑎
𝑀: 𝑇 − 𝑓𝑎𝑡 = 𝑀𝑎
• 𝑓𝑎𝑡 = 𝜇𝐹𝑁 = 𝜇𝑀𝑔
SOLUÇÃO:
M = 3,0 kg
m = 2,0 kg
𝝁𝒄 = 𝟎,2 
g =10m/s²
mg
T
T
𝑓𝑎𝑡 Mg
FN
𝐹𝑅𝑦 = 0
𝐹𝑁 −𝑀𝑔 = 0
𝐹𝑁 = 𝑀𝑔
Corpo de massa M:
Aplicando a força
resultante na direção
do movimento, temos:
𝑚: 𝑚𝑔 − 𝑇 = 𝑚𝑎
𝑀: 𝑇 − 𝑓𝑎𝑡 = 𝑀𝑎
• 𝑓𝑎𝑡 = 𝜇𝐹𝑁 = 𝜇𝑀𝑔
𝑚𝑔 − 𝑓𝑎𝑡 = 𝑚𝑎 +𝑀𝑎
𝑚𝑔 − 𝜇𝑀𝑔 = (𝑚 +𝑀)𝑎
𝑎 =
𝑚𝑔 − 𝜇𝑀𝑔
𝑚 +𝑀
SOLUÇÃO:
M = 3,0 kg
m = 2,0 kg
𝝁𝒄 = 𝟎,2 
g =10m/s²
mg
T
T
𝑓𝑎𝑡 Mg
FN
𝐹𝑅𝑦 = 0
𝐹𝑁 −𝑀𝑔 = 0
𝐹𝑁 = 𝑀𝑔
Corpo de massa M:
Aplicando a força
resultante na direção
do movimento, temos:
𝑚: 𝑚𝑔 − 𝑇 = 𝑚𝑎
𝑀: 𝑇 − 𝑓𝑎𝑡 = 𝑀𝑎
• 𝑓𝑎𝑡 = 𝜇𝐹𝑁 = 𝜇𝑀𝑔
𝑚𝑔 − 𝑓𝑎𝑡 = 𝑚𝑎 +𝑀𝑎
𝑚𝑔 − 𝜇𝑀𝑔 = (𝑚 +𝑀)𝑎
𝑎 =
𝑚𝑔 − 𝜇𝑀𝑔
𝑚 +𝑀
𝑎 =
2 ∙ 10 − 0,2 ∙ 3 ∙ 10
2 + 3
𝑎 =
20 − 14
5
= 1,2 𝑚/𝑠²
𝑇 = 𝑚𝑔 −𝑚𝑎 = 𝑚(𝑔 − 𝑎)
𝑇 = 2 10 − 1,2 = 17,6 𝑁
𝑣 = 𝑣0 + 𝑔𝑡
𝑣 = 0 + 10 ∙ 2 = 20 𝑚/𝑠
OBRIGADO(A)