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Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 1 Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en matemáticas 5° Semestre Programa de la asignatura: Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Clave: 05143530/06143530 Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 2 Contenido Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano ........................................................3 Presentación de la unidad ......................................................................................................................3 Propósitos de la unidad ..........................................................................................................................3 Competencia específica ..........................................................................................................................3 Introducción ...............................................................................................................................................3 Definición y ejemplos .......................................................................................................................... 4 Movimiento Browniano ...........................................................................................................................8 Definición y propiedades .................................................................................................................... 9 Procesos derivados del movimiento Browniano ....................................................................... 15 Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 17 Para saber más....................................................................................................................................... 17 Referencias Bibliográficas .................................................................................................................. 17 Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 3 Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Presentación de la unidad En la presente unidad, titulada “Procesos estocásticos y Movimiento Browniano”, se presentan temas que son fundamentales para incursionar en el estudio del cálculo estocástico, el cual tiene diversas aplicaciones en áreas de conocimiento como son , la física, las finanzas, la economía y la econometría, entre otras. La presentación del contenido se realiza a través de dos subtemas: En el primero se te brindará el concepto de proceso estocástico y algunos ejemplos del mismo, con la finalidad de abordar el Movimiento Browniano, el cual es el objeto de estudio del segundo subtema, en el que se te proporcionará su concepto y algunas generalidades que éste presenta. Debes tener presente que a lo largo de la unidad, las definiciones, teoremas y propiedades se resaltan empleando un fondo de color, debiendo hacer énfasis en comprender cada uno de éstos, con la finalidad de que los emplees para ir construyendo un nivel de conocimientos óptimo acerca de la materia de estudio. Propósitos de la unidad Identificar un proceso estocástico y sus características. Identificar un proceso de Wiener (Movimiento Browniano) y algunos procesos derivados de éste. Demostrar que un proceso estocástico es un proceso de Wiener. Competencia específica Utilizar la teoría de procesos estocásticos para identificar un Movimiento Browniano a través de sus definiciones y propiedades. Introducción En esta sección se te proporcionarán algunas de las definiciones fundamentales de la teoría de procesos estocásticos, algunas de las cuales ya trataste en la asignatura del séptimo Semestre que lleva el mismo nombre. Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 4 Cabe mencionar que este curso muestra un grado mayor de rigurosidad con respecto a tus cursos anteriores de probabilidad, por lo que es necesario que al menos tengas presente todas las definiciones que contemplaste en dichas asignaturas, y además, pongas atención en las demostraciones que se exhiben para que posteriormente logres la capacidad de ir construyendo tu propio aprendizaje. Asimismo, no olvides apoyarte con tu docente en línea, cuando se te presente algún tipo de problemática, logrando con ello, reforzar el estudio de los temas de estudio, correspondiente a la unidad. Definición y ejemplos Un proceso estocástico (o aleatorio) sobre un espacio de probabilidad , , P , es una familia de magnitudes aleatorias tX que dependen de un parámetro real t, el cual toma valores en un conjunto T que se le denomina “dominio de definición del proceso” o “espacio parametral” o “conjunto de índices del proceso”. Al conjunto S que contiene a todos los valores posibles que pueden tomar las variables aleatorias tX es llamado espacio de estados. En virtud de lo anterior, podemos formalizar la definición de proceso estocástico como se muestra a continuación: Definición 1.1.1.1 Un proceso estocástico X es una colección de variables aleatorias , , ,t tX t T X t T Proceso en tiempo discreto Cuando el conjunto T es numerable. Por ejemplo. T = {1, 2, 3, ……} Proceso en tiempo continuo Cuando T es un intervalo de y es usual emplear como T al conjunto Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 5 Definida en algún espacio muestral . Como puedes ver, la definición nos indica que un proceso estocástico es una función de dos variables t y , definidas de la siguiente manera: 1) Para un instante fijo de tiempo t, es la variable aleatoria ,t tX X . 2) Para un suceso aleatorio fijo , es una función del tiempo dada por ,t tX X t T . Esta función recibe el nombre de “realización”, “trayectoria” o “camino muestral” del proceso X. Debido a que a cada elemento se le asocia una realización del proceso, es posible considerar a un proceso estocástico como una función aleatoria. Debes tener claro que las variables aleatorias que conforman un determinado proceso estocástico no son, en general, independientes, lo que significa que éstas presentan algún tipo de relación, siendo ésta la que determina las diferencias entre dos o más clases de procesos. Ejemplo Si consideramos la sucesión de observaciones medidas en ciertos momentos de tiempo, ordenados de manera cronológica a iguales espacios entre sí de forma uniforme. Dichas observaciones pueden representarse por ,tX t T , donde [0, )T . Claramente el conjunto anterior es un proceso estocástico. Este tipo de procesos se conoce como series temporales y pueden ser empleados, por ejemplo, para predecir y pronosticar resultados de un fenómeno natural determinado. Las temperaturas ambientales diarias de una determinada ciudad mexicana representan una serie temporal, donde, si la temperatura medida al tercer día fue de 30° Celsius, entonces se dice que 30° es el estado del proceso al tiempo t = 3. Considerando un subconjunto A del espacio de estados S, indicamos que el proceso estocástico toma un valor determinado en A para el tiempo i, a través del suceso iX A . Es por ello que si consideramos distintos tiempos se pueden tener vectores como sucesos, con lo que ahora debe ser fácil de comprender por qué es posible interpretar a un proceso estocástico como una colección de vectores aleatorios. Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 6 Todo proceso estocástico cuenta con características no aleatorias, como por ejemplo: una distribución, un valor esperado, una varianza, etc. A continuación definiremos el concepto de “distribuciones finito dimensionales” de un proceso estocástico multidimensional. Definición 1.1.1.2. Si X es un proceso estocástico, entonces sus distribuciones finito dimensionales son las distribuciones de los vectores finito dimensionales 1 1 ,..., , ,..., nt t n X X t t T , para todos los posibles valores que pueden tomar los tiempos 1,..., nt t T y cada 1n . A menudo se hace referencia a las colecciones de distribuciones finito dimensionales de un proceso estocástico, como su distribución. Cabe mencionar que la distribución de un proceso aleatorio puede ser útil para realizar su clasificación. En seguida proporcionaremos tres definiciones importantes que es necesario que conozcas. Definición 1.1.1.3. Sea ,tX X t T el proceso estocástico representado por la colección de vectores aleatorios 1 1 ,..., , ,..., 1 nt t n X X t t T y n , entonces 1. La función de esperanzas de X está dada por ,X t tt x EX t T 2. La función de covarianzas de X es , cov , , ,X t s t X s Xc t s X X E X t X s t s T En este caso, es válido aplicar la igualdad t X s X t s X XE X t X s E X X t s Lo anterior se debe a que: t X s X t s t X s X X XE X t X s E X X X s X t t s t s t X s X X XE X X E X s E X t E t s t s X t X s X XE X X s E X t E X t s t s X X X X X XE X X s t t s t s t s X XE X X t s 3. La función de varianzas de X se define como Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 7 2 , ,X X tt c t t Var X t T Como puedes notar, las funciones anteriores se pueden calcular a través de cada componente del vector aleatorio que representa al proceso estocástico en un instante fijo t. Ejemplo Considerando el proceso estocástico X A sen t , donde (0,1)A Uniforme . Calcula: La función de esperanzas de X. La función de varianzas de X. Solución: 1 , 2 X tt EX E A sen t sen t t T 222 ,X t X t Xt Var X c t t E X t 2 2 1 2 E A sen t sen t 2 22 2 21 1 4 4 E A sen t sen t sen t E A 2 21 1 1 3 4 12 sen t sen t Nota:Recuerda que si (0,1)A Uniforme Entonces 1 2 0 1 1 1 0 2 2 x E A x dx x dx Y además 1 3 2 2 2 0 1 1 1 0 3 3 x E A x dx x dx Cuando dos elementos aleatorios (variables aleatorias, vectores aleatorios o procesos estocásticos) X y Y tienen la misma distribución, lo denotaremos por el símbolo d . Cabe aclarar que para el caso de dos vectores aleatorios o variables aleatorias, significa que sus funciones de distribución son iguales. Definición 1.1.1.4. Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 8 Un proceso aleatorio ,tX X t T y T se dice que es estacionario en sentido estricto si sus distribuciones finito dimensionales son invariantes bajo cambios del índice t: 1 1 ,..., ,..., n n d t t t h t hX X X X Para todas las posibles elecciones de los índices 1,..., 1nt t T con n y h de tal manera que 1 ,..., nt h t h T . En otras palabras, un proceso es estacionario en sentido estricto si la función de distribución conjunta de cualquier subconjunto de variables es constante respecto a un desplazamiento en el tiempo. Definición 1.1.1.5. Si ,tX X t T es un proceso estocástico y T es un intervalo, entonces diremos que 1. X tiene incrementos estacionarios si d t s t h s hX X X X para todos los valores de ,t s T y h tales que ,t h s h T Para todas las posibles elecciones de los índices 1,..., 1nt t T con n y h de tal manera que 1 ,..., nt h t h T . 2. X presenta incrementos independientes si para cada elección que se realice de it T de tal manera que 1 ... nt t con 1n , las variables aleatorias 2 1 1,..., n nt t t tX X X X son independientes. Movimiento Browniano Ahora que ya has revisado la teoría de procesos estocásticos, detallaremos un tipo especial de dichos procesos, el llamado “Movimiento Browniano” o “Proceso de Wiener”, el cual es fundamental para modelar muchos fenómenos de la vida real, y además para tratar la integral estocástica de Itô. Robert Brown.(2009)obtenido el 07 Su nombre se debe a los estudios del botánico Robert Brown (1773 - 1858), quien encontró, con ayuda de un microscopio, que los granos de polen de la flor silvestre Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 9 de mayo 2013 desde http://astrojem.com/teorias materia.html Clarkia Pulcella, suspendidos en una cierta sustancia, se movían errática e inexplicablemente. Aunque de manera posterior a su muerte se llevaron a efecto diversos estudios con la finalidad de brindar una explicación satisfactoria a este fenómeno, no se contaba con una estructura rigurosa de este problema, y es aquí donde el matemático Norbert Wiener (1894–1964) jugó un papel primordial en el estudio del fenómeno propuesto por Brown, pues es él quien le confiere una estructura matemática, situación por la cual actualmente se da su nombre a este tipo de procesos estocásticos. Norbert Weiner.(2008). obtenido el 07 de mayo desde http://canalhypatia- pensamientosciencia.blogsp ot.mx/2009/03/norbert- wiener.html Definición y propiedades Definición 1.2.1.1. El proceso de Wiener( Movimiento Browniano) es un proceso estocástico , 0,tW W t que satisface las siguientes condiciones: 1. 0 0W c.s. 2. Los caminos muestrales tt W son continuos c.s. 3. Para cualquier sucesión finita de tiempos 10 ... nt t y para cualesquiera conjuntos de Borel 0 ,..., nA A se tiene que la probabilidad 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1, ..., ... , 0, , , , ,n n t t n n n n n n A A P W A W A p t x p t t x x p t t x x dx dx donde la expresión 2 2 1 , , 2 x y tp t x y e t Está definida para cualesquiera ,x y y 0t . A dicha expresión se le llama la densidad de transición. http://astrojem.com/teoriasmateria.html http://astrojem.com/teoriasmateria.html http://canalhypatia-pensamientosciencia.blogspot.mx/2009/03/norbert-wiener.html http://canalhypatia-pensamientosciencia.blogspot.mx/2009/03/norbert-wiener.html http://canalhypatia-pensamientosciencia.blogspot.mx/2009/03/norbert-wiener.html http://canalhypatia-pensamientosciencia.blogspot.mx/2009/03/norbert-wiener.html Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas,Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 10 Nota: Recuerda que una sucesión de variables aleatorias 1,..., nX X converge casi seguramente (c.s.) a una variable aleatoria X , si para cada 0 , se tiene que lim 1n n P X X Esta definición establece que n X converge c.s. a X si las funciones nX s convergen a X s para todos los elementos s de un espacio muestral S , excepto posiblemente para aquellos elementos s de A S en los que 0P A . Es necesario acordar que en lo sucesivo cada vez que un proceso estocástico presente la letra W mayúscula, se tratará de un proceso de Wiener. Teorema 1.2.1.2. La función 2 2 1 2t x t Wf x e t Es la densidad de probabilidades de , 0,tW W t . Demostración Si consideramos un tiempo t y un Boreliano A fijos, tenemos, por la condición 3 de la definición anterior, que , 0,t A P W A p t x dx de donde 2 2 1 , 0, 2 t x t Wp t x e f x t Que es lo que se quería probar. ( Es fácil ver que el valor esperado del Movimiento Browniano , 0,tW W t , cuya función de densidad de probabilidades se muestra en el teorema anterior, es igual a cero, pues: 2 2 2 2 1 , 0, 0 2 2 x x t t t t E W x p t x dx xe dx e t t Y además la varianza será t debido a que: Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , 0, 2 2 2 x x x t t t t t t E W x p t x dx x e dx xe e dx t t t Donde, del hecho de que 2 2 2 x e dx , y haciendo la sustitución x u t , se obtiene que 2 2 20 2 u t t E W e du t t Teorema 1.2.1.3. min ,s tE W W s t Demostración Para dos tiempos fijos s , t tales que 0 s t , y dos Borelianos fijos, entonces, por la condición 3 de la definición de proceso de Wiener se tiene que , , , 0, , ,s tW Wf x y p s x p t s x y Y por tanto , 0, , , , 0, , ,s tE W W x y p s x p t s x y dy dx x p s x p t s x y dy dx Sustituyendo en la integral entre los corchetes y x u se tiene , 0, , ,s tE W W x p s x x u p t s x x u du dx , 0, , 0,x p s x x u p t s u du dx , 0, , 0, , 0,x p s x x p t s u du u p t s u du dx 22, 0, 0 , 0, sx p s x x dx x p s x dx E W s De donde se infiere que para valores arbitrarios ,s t mayores o iguales que cero se debe cumplir que min ,s tE W W s t En este caso también existe una definición de movimiento Browniano para el caso n- dimensional, y se define de la siguiente manera: Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 12 Definición 1.2.1.4. Si 1 , ..., nt t W W es una colección de movimientos Brownianos independientes unidimensionales, entonces al vector aleatorio 1 , ..., nt t W W W se le conoce como movimiento Browniano en n . La siguiente proposición nos proporciona una propiedad de los incrementos de los procesos de Wiener. Proposición 1.2.1.5. Si consideramos un incremento de movimientos Brownianos, t sW W , para cualesquiera valores 0 s t tiene distribución con media cero y varianza t s . Demostración La densidad conjunta de sW y tW está dada por: , , , 0, , ,s tW Wf x y p s x p t s x y Considerando un conjunto de Borel A se tiene: ( , ): , 0, , ,s t x y x y A P W W A p s x p t s x y dy dx : , 0, , , , 0, , , y x y A A p s x p t s x y dy dx p s x p t s x x u du dx , 0, , 0, , 0, , 0, A A p s x p t s u du dx p t s u du p s x dx , 0, A p t s u du De aquí se puede ver que , 0,f u p t s u es la densidad de la distribución normal con media 0 y varianza t s , lo cual nos indica que 0,t sW W N t s para cualesquiera 0 s t , culminando así la demostración. La proposición anterior establece que el movimiento Browniano , 0,tW W t tiene incrementos estacionarios. Proposición 1.2.1.6. Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 13 Para cualesquiera tiempos tales que 0 10 ... nt t t los incrementos 1 0 1 , ..., n nt t t t W W W W Son independientes. Demostración De la proposición 1.2.1.5. Los incrementos de movimientos Brownianos tienen distribución normal. Además, debido a que variables aleatorias que se distribuyen bajo normalidad son independientes si y sólo si con incorrelacionadas, entonces es suficiente probar que 0u t s rE W W W W Para cualesquiera 0 r s t u Pero u t s r u s u r t s t rE W W W W E W W E W W E W W E W W min , min , min , min ,u s u r t s t r 0s r s r Que es lo que se quería probar. Ahora, proporcionemos un teorema que nos ayudará a probar que un proceso estocástico es de Wiener, en el que se emplean algunas de las propiedades que ya hemos demostrado. Teorema 1.2.1.7. Un proceso estocástico , 0tW t es un proceso de Wiener (o Movimiento Browniano) si y sólo si cumple las siguientes condiciones: 1. 0 0W c.s. 2. Los caminos muestrales tt W son continuos c.s. 3. tW tiene incrementos estacionarios. 4. Los incrementos t sW W tienen una distribución normal con valor esperado 0 y varianza t s para cualesquiera 0 s t . Demostración Debemos probar dos condiciones i) , 0tW t es un proceso de Wiener , 0tW t cumple las condiciones 1 a 4 ii) Se cumplen las condiciones 1 a 4 para un proceso , 0tW t , 0tW t es de Wiener Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 14 Demostración. i) Como , 0tW t es un proceso de Wiener, entonces debe cumplir las condiciones 1 y 2, además por la proposición 1.2.1.5. y 1.2.1.6. de que tiene se cumplen las condiciones 3 y 4. Demostración ii) Acerca de las condiciones 1 y 2 no hay nada que probar. Ahora, si un proceso , 0tW t tiene incrementos estacionarios (definición 1.1.1.5.) distribuidos bajo una normal con valor esperado 0 y varianza t s para 0 s t , entonces 1 1 2 1 1 ,..., 1 , ,..., 1 2 1 1,..., , ...,t t t t t t t n n n W W n W W W n nf x x f x x x x x 1 2 1 1 1 2 1 1t t t t t n n W W W n nf x f x x f x x 1 1 2 1 2 1 1 1, 0, , 0, , 0,n n n np t x p t t x x p t t x x 1 1 2 1 1 2 1 1, 0, , , , ,n n n np t x p t t x x p t t x x Y por tanto 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1, ..., ... , 0, , , , ,n n t t n n n n n n A A P W A W A p t x p t t x x p t t x x dx dx para cualquier sucesión finita de tiempos 10 ... nt t y para cualesquiera conjuntos de Borel 0 ,..., nA A De las pruebas de i) y ii) inferimos que el teorema queda demostrado. Para cerrar este tema, presentaremos una definición de suma importancia, así como una proposición sobre los procesosde Wiener, en el entendido de que ésta se presentará sin demostración. Definición 1.2.1.8. Un proceso estocástico , 0,tX t se dice H – auto – similar, para algún 0H , si sus distribuciones finito dimensionales satisfacen la siguiente condición 1 1 , ..., , ..., n n d H H t t Tt TtT W T W W W Para cada 0T , y cualquier elección de 0, 1,...,it i n , y n positivo o cero. Debes considerar que la propiedad anterior corresponde a la distribución de un proceso. La propiedad de auto – similaridad es una cualidad fractal, y nos indica que los modelos propiamente escalonados de un camino muestral en un intervalo de tiempo, se asemejan en forma pero no son idénticos. Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 15 Se puede verificar que los procesos de Wiener son 0.5 – auto – similares, lo cual trae como consecuencia que sus caminos muestrales no sean diferenciables en ninguna parte, en el sentido de la siguiente proposición. Proposición 1.2.1.9. (No diferenciabilidad de procesos auto – similares) Si tX es un proceso H – auto – similar, con incrementos estacionarios para algún 0, 1H , entonces para cada valor 0t fijo se cumple que 0 0 0 lim sup t t t t X X t t Lo cual significa que los caminos muestrales de un proceso H – auto – similar no son diferenciables en ninguna parte con probabilidad igual a 1. Debido a que, para llevar a efecto la demostración de los hechos anteriores se requieren algunos otros contenidos, los cuales no están contemplados en el desarrollo de esta unidad, es necesario que, por el momento los consideres una propiedad más de los procesos de Wiener de forma axiomática. Procesos derivados del movimiento Browniano Esta sección tiene como finalidad mostrarte algunos modelos probabilísticos que se derivan del Movimiento Browniano, con la finalidad de proporcionarte algunos elementos más acerca de este tema. Reiteremos que en el presente documento se emplea la letra W para los procesos aleatorios que son Brownianos, aunque se debe contemplar el hecho de que existen autores que los denotan con la letra B , lo cual es totalmente válido. Definición 1.2.2.1. El proceso estocástico definido por: 1, 0 1t tX W tW t Se llama puente Browniano. Las funciones de esperanzas y covarianzas que presenta son, respectivamente 0X t , min ,Xc t s t s t s Este tipo de procesos reciben su nombre debido a que cumplen la siguiente propiedad: Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 16 0 1 0X X Las distribuciones finito dimensionales de esta clase de procesos son Gaussianas. Definición 1.2.2.2. El proceso aleatorio definido por: , 0t tX t W t Para escalares 0 y , recibe el nombre de movimiento Browniano con dirección. Su función de esperanzas está dada por X t t , donde , 0s t y su función de covarianzas es 2, min ,Xc t s t s , con , 0s t La dirección en este modelo es proporcionada por la función de esperanzas. El siguiente proceso fue propuesto por Black, Scholes y Merton (1973), y es empleado para modelar la “especulación de precios” en el área de las finanzas. Definición 1.2.2.3. El proceso aleatorio definido por: , 0t t W tX e t Para escalares 0 y , se denomina movimiento Browniano Geométrico. Su función de esperanzas está dada por 20.5 t X t e y su función de varianzas es 2 222 1 t t X t e e Es fácil darse cuenta de que se trata de un modelo exponencial para el movimiento Browniano con dirección. El Movimiento Browniano Geométrico permite calcular el valor esperado de un proceso en un cierto momento, determinado por un valor para el tiempo t, dado el historial del proceso al tiempo t. Probabilidad III Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 17 Cierre de la unidad En esta unidad 1, aprendiste a utilizar la teoría de procesos estocásticos para identificar un movimiento Browniano a través de sus definiciones y propiedades. En la unidad 2, el objetivo es aprender a aplicar el concepto de la esperanza condicional para resolver diversos problemas probabilísticos, utilizando sus propiedades. Para saber más Revisa los contenidos de la asignatura Probabilidad I, y II, así como la de Procesos Estocásticos. Modelo Estocástico Wiener Gauss: una Aplicación a la Economía Financiera en el Mercado de Capitales de España http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=11400805 Integración estocástica con respecto al movimiento browniano http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=46814206 Referencias Bibliográficas Brzezniak, Z. y Zastawniak, T. (1999). Basic stochastic processes. Great Britain: Springer. Chung, K. L. y Williams R. J. (1990). Introduction to Stochastic Integration. USA: Birkhäuser. Klebaner, F. (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial CollegePress. Mikosch, T. (2000). Elementary stochastic calculus with finance in view. Singapore: WorldScientific Publishing. http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=11400805 http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=46814206