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Probabilidad III 
Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano 
 
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 
 
 
1 
Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
 
Licenciatura en matemáticas 
 
 
5° Semestre 
 
 
Programa de la asignatura: 
Probabilidad III 
 
 
Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento 
Browniano 
 
 
Clave: 
05143530/06143530 
 
 
Probabilidad III 
Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano 
 
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 
 
 
2 
Contenido 
Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano ........................................................3 
Presentación de la unidad ......................................................................................................................3 
Propósitos de la unidad ..........................................................................................................................3 
Competencia específica ..........................................................................................................................3 
Introducción ...............................................................................................................................................3 
Definición y ejemplos .......................................................................................................................... 4 
Movimiento Browniano ...........................................................................................................................8 
Definición y propiedades .................................................................................................................... 9 
Procesos derivados del movimiento Browniano ....................................................................... 15 
Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 17 
Para saber más....................................................................................................................................... 17 
Referencias Bibliográficas .................................................................................................................. 17 
 
 
Probabilidad III 
Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano 
 
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 
 
 
3 
Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano 
 
 
Presentación de la unidad 
 
En la presente unidad, titulada “Procesos estocásticos y Movimiento Browniano”, se presentan 
temas que son fundamentales para incursionar en el estudio del cálculo estocástico, el cual 
tiene diversas aplicaciones en áreas de conocimiento como son , la física, las finanzas, la 
economía y la econometría, entre otras. La presentación del contenido se realiza a través de 
dos subtemas: 
 
En el primero se te brindará el concepto de proceso estocástico y algunos ejemplos del mismo, 
con la finalidad de abordar el Movimiento Browniano, el cual es el objeto de estudio del segundo 
subtema, en el que se te proporcionará su concepto y algunas generalidades que éste 
presenta. 
 
Debes tener presente que a lo largo de la unidad, las definiciones, teoremas y propiedades se 
resaltan empleando un fondo de color, debiendo hacer énfasis en comprender cada uno de 
éstos, con la finalidad de que los emplees para ir construyendo un nivel de conocimientos 
óptimo acerca de la materia de estudio. 
 
 
Propósitos de la unidad 
 
 Identificar un proceso estocástico y sus características. 
 Identificar un proceso de Wiener (Movimiento Browniano) y algunos procesos derivados 
de éste. 
 Demostrar que un proceso estocástico es un proceso de Wiener. 
 
 
Competencia específica 
 
Utilizar la teoría de procesos estocásticos para identificar un Movimiento Browniano a través de 
sus definiciones y propiedades. 
 
 
Introducción 
 
En esta sección se te proporcionarán algunas de las definiciones fundamentales de la teoría de 
procesos estocásticos, algunas de las cuales ya trataste en la asignatura del séptimo Semestre 
que lleva el mismo nombre. 
 
Probabilidad III 
Unidad 1. Procesos estocásticos y Movimiento Browniano 
 
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías | Licenciatura en Matemáticas 
 
 
4 
Cabe mencionar que este curso muestra un grado mayor de rigurosidad con respecto a tus 
cursos anteriores de probabilidad, por lo que es necesario que al menos tengas presente todas 
las definiciones que contemplaste en dichas asignaturas, y además, pongas atención en las 
demostraciones que se exhiben para que posteriormente logres la capacidad de ir construyendo 
tu propio aprendizaje. 
 
Asimismo, no olvides apoyarte con tu docente en línea, cuando se te presente algún tipo de 
problemática, logrando con ello, reforzar el estudio de los temas de estudio, correspondiente a 
la unidad. 
 
 
Definición y ejemplos 
 
Un proceso estocástico (o aleatorio) sobre un espacio de probabilidad  , , P , es una 
familia de magnitudes aleatorias  tX  que dependen de un parámetro real t, el cual toma 
valores en un conjunto T que se le denomina “dominio de definición del proceso” o “espacio 
parametral” o “conjunto de índices del proceso”. Al conjunto S que contiene a todos los 
valores posibles que pueden tomar las variables aleatorias  tX  es llamado espacio de 
estados. 
 
 
 
 
En virtud de lo anterior, podemos formalizar la definición de proceso estocástico como se 
muestra a continuación: 
 
Definición 1.1.1.1 
 
Un proceso estocástico X es una colección de variables aleatorias 
    , , ,t tX t T X t T     
 
Proceso en tiempo discreto 
Cuando el conjunto T es numerable. Por ejemplo. T = {1, 2, 3, ……} 
Proceso en tiempo continuo 
Cuando T es un intervalo de y es usual emplear como T al conjunto 
 
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Definida en algún espacio muestral  . 
 
 
Como puedes ver, la definición nos indica que un proceso estocástico es una función de dos 
variables t y  , definidas de la siguiente manera: 
 
1) Para un instante fijo de tiempo t, es la variable aleatoria  ,t tX X    . 
2) Para un suceso aleatorio fijo  , es una función del tiempo dada por 
  ,t tX X t T  . 
Esta función recibe el nombre de “realización”, “trayectoria” o “camino muestral” del 
proceso X. 
 
Debido a que a cada elemento  se le asocia una realización del proceso, es posible 
considerar a un proceso estocástico como una función aleatoria. 
 
Debes tener claro que las variables aleatorias que conforman un determinado proceso 
estocástico no son, en general, independientes, lo que significa que éstas presentan algún tipo 
de relación, siendo ésta la que determina las diferencias entre dos o más clases de procesos. 
 
Ejemplo 
 
Si consideramos la sucesión de observaciones medidas en ciertos momentos de tiempo, 
ordenados de manera cronológica a iguales espacios entre sí de forma uniforme. 
 
Dichas observaciones pueden representarse por 
 ,tX t T , donde [0, )T   . 
 
Claramente el conjunto anterior es un proceso estocástico. Este tipo de procesos se conoce 
como series temporales y pueden ser empleados, por ejemplo, para predecir y pronosticar 
resultados de un fenómeno natural determinado. 
 
Las temperaturas ambientales diarias de una determinada ciudad mexicana representan una 
serie temporal, donde, si la temperatura medida al tercer día fue de 30° Celsius, entonces se 
dice que 30° es el estado del proceso al tiempo t = 3. 
 
 
Considerando un subconjunto A del espacio de estados S, indicamos que el proceso 
estocástico toma un valor determinado en A para el tiempo i, a través del suceso iX A . Es 
por ello que si consideramos distintos tiempos se pueden tener vectores como sucesos, con lo 
que ahora debe ser fácil de comprender por qué es posible interpretar a un proceso estocástico 
como una colección de vectores aleatorios. 
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Todo proceso estocástico cuenta con características no aleatorias, como por ejemplo: una 
distribución, un valor esperado, una varianza, etc. A continuación definiremos el concepto de 
“distribuciones finito dimensionales” de un proceso estocástico multidimensional. 
 
Definición 1.1.1.2. 
 
Si X es un proceso estocástico, entonces sus distribuciones finito dimensionales son las 
distribuciones de los vectores finito dimensionales  
1 1
,..., , ,...,
nt t n
X X t t T , para todos los 
posibles valores que pueden tomar los tiempos 
1,..., nt t T y cada 1n  . 
 
A menudo se hace referencia a las colecciones de distribuciones finito dimensionales de un 
proceso estocástico, como su distribución. Cabe mencionar que la distribución de un proceso 
aleatorio puede ser útil para realizar su clasificación. 
 
En seguida proporcionaremos tres definiciones importantes que es necesario que conozcas. 
 
Definición 1.1.1.3. 
 
Sea  ,tX X t T  el proceso estocástico representado por la colección de vectores aleatorios 
 
1 1
,..., , ,..., 1
nt t n
X X t t T y n  , entonces 
1. La función de esperanzas de X está dada por 
  ,X t tt x EX t T    
 
2. La función de covarianzas de X es 
          , cov , , ,X t s t X s Xc t s X X E X t X s t s T        
En este caso, es válido aplicar la igualdad 
           t X s X t s X XE X t X s E X X t s         
Lo anterior se debe a que:
              t X s X t s t X s X X XE X t X s E X X X s X t t s               
         t s t X s X X XE X X E X s E X t E t s                 
             t s X t X s X XE X X s E X t E X t s       
             t s X X X X X XE X X s t t s t s         
     t s X XE X X t s   
 
3. La función de varianzas de X se define como 
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7 
     2 , ,X X tt c t t Var X t T    
 
Como puedes notar, las funciones anteriores se pueden calcular a través de cada componente 
del vector aleatorio que representa al proceso estocástico en un instante fijo t. 
 
Ejemplo 
 
Considerando el proceso estocástico 
 X A sen t , donde   (0,1)A Uniforme . 
Calcula: 
 
 La función de esperanzas de X. 
 La función de varianzas de X. 
 
Solución: 
    
1
,
2
X tt EX E A sen t sen t t T     
          
222 ,X t X t Xt Var X c t t E X t      
 
  
2
2 1
2
E A sen t sen t
       
 
     
2 22 2 21 1
4 4
E A sen t sen t sen t E A 
                  
 
2 21 1 1
3 4 12
sen t sen t
 
   
  
Nota:Recuerda que si 
  (0,1)A Uniforme
 
Entonces 
  
1
2
0
1 1
1 0 2 2
x
E A x dx x dx
 
 
   
  
Y además 
  
1
3
2 2 2
0
1 1
1 0 3 3
x
E A x dx x dx
 
 
     
   
 
 
Cuando dos elementos aleatorios (variables aleatorias, vectores aleatorios o procesos 
estocásticos) X y Y tienen la misma distribución, lo denotaremos por el símbolo 
d
 . Cabe aclarar 
que para el caso de dos vectores aleatorios o variables aleatorias, significa que sus funciones 
de distribución son iguales. 
 
Definición 1.1.1.4. 
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8 
 
Un proceso aleatorio  ,tX X t T y T   se dice que es estacionario en sentido estricto si 
sus distribuciones finito dimensionales son invariantes bajo cambios del índice t: 
   
1 1
,..., ,...,
n n
d
t t t h t hX X X X  
Para todas las posibles elecciones de los índices 
1,..., 1nt t T con n  y h de tal manera que 
1 ,..., nt h t h T   . 
 
En otras palabras, un proceso es estacionario en sentido estricto si la función de distribución 
conjunta de cualquier subconjunto de variables es constante respecto a un desplazamiento en 
el tiempo. 
 
Definición 1.1.1.5. 
 
Si  ,tX X t T  es un proceso estocástico y T  es un intervalo, entonces diremos que 
 
1. X tiene incrementos estacionarios si 
d
t s t h s hX X X X    para todos los valores de ,t s T y h tales que ,t h s h T   
Para todas las posibles elecciones de los índices 
1,..., 1nt t T con n  y h de tal manera que 
1 ,..., nt h t h T   . 
 
2. X presenta incrementos independientes si para cada elección que se realice de 
it T
de tal manera que 
1 ... nt t  con 1n  , las variables aleatorias 2 1 1,..., n nt t t tX X X X   
son independientes. 
 
 
 
Movimiento Browniano 
 
Ahora que ya has revisado la teoría de procesos estocásticos, detallaremos un tipo especial de 
dichos procesos, el llamado “Movimiento Browniano” o “Proceso de Wiener”, el cual es 
fundamental para modelar muchos fenómenos de la vida real, y además para tratar la integral 
estocástica de Itô. 
 
 
Robert 
Brown.(2009)obtenido el 07 
 
 
Su nombre se debe a los estudios del botánico Robert 
Brown (1773 - 1858), quien encontró, con ayuda de un 
microscopio, que los granos de polen de la flor silvestre 
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9 
de mayo 2013 desde 
http://astrojem.com/teorias
materia.html 
 
Clarkia Pulcella, suspendidos en una cierta sustancia, se 
movían errática e inexplicablemente. Aunque de manera 
posterior a su muerte se llevaron a efecto diversos 
estudios con la finalidad de brindar una explicación 
satisfactoria a este fenómeno, no se contaba con una 
estructura rigurosa de este problema, y es aquí donde el 
matemático Norbert Wiener (1894–1964) jugó un papel 
primordial en el estudio del fenómeno propuesto por 
Brown, pues es él quien le confiere una estructura 
matemática, situación por la cual actualmente se da su 
nombre a este tipo de procesos estocásticos. 
 
 
Norbert Weiner.(2008). 
obtenido el 07 de mayo 
desde http://canalhypatia-
pensamientosciencia.blogsp
ot.mx/2009/03/norbert-
wiener.html 
 
 
 
Definición y propiedades 
 
Definición 1.2.1.1. 
 
El proceso de Wiener( Movimiento Browniano) es un proceso estocástico   , 0,tW W t   
que satisface las siguientes condiciones: 
1. 
0 0W  c.s. 
 
2. Los caminos muestrales
tt W son continuos c.s. 
 
3. Para cualquier sucesión finita de tiempos 
10 ... nt t   y para cualesquiera conjuntos 
de Borel
0 ,..., nA A  se tiene que la probabilidad 
       
1
1
1 1 1 2 1 1 2 1 1 1, ..., ... , 0, , , , ,n
n
t t n n n n n n
A A
P W A W A p t x p t t x x p t t x x dx dx        
donde la expresión 
 
 
2
2
1
, ,
2
x y
tp t x y e
t


 
Está definida para cualesquiera ,x y y 0t  . A dicha expresión se le llama la 
densidad de transición. 
 
 
http://astrojem.com/teoriasmateria.html
http://astrojem.com/teoriasmateria.html
http://canalhypatia-pensamientosciencia.blogspot.mx/2009/03/norbert-wiener.html
http://canalhypatia-pensamientosciencia.blogspot.mx/2009/03/norbert-wiener.html
http://canalhypatia-pensamientosciencia.blogspot.mx/2009/03/norbert-wiener.html
http://canalhypatia-pensamientosciencia.blogspot.mx/2009/03/norbert-wiener.html
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10 
Nota: Recuerda que una sucesión de variables aleatorias 
1,..., nX X converge casi seguramente 
(c.s.) a una variable aleatoria X , si para cada 0  , se tiene que 
 lim 1n
n
P X X 

  
 
Esta definición establece que n
X
 converge c.s. a X si las funciones 
 nX s convergen a  X s 
para todos los elementos s de un espacio muestral 
S
, excepto posiblemente para aquellos 
elementos s de 
A S
 en los que 
  0P A 
.
 
 
Es necesario acordar que en lo sucesivo cada vez que un proceso estocástico presente la letra 
W mayúscula, se tratará de un proceso de Wiener. 
 
Teorema 1.2.1.2. 
 
La función 
 
2
2
1
2t
x
t
Wf x e
t

 
Es la densidad de probabilidades de   , 0,tW W t   . 
 
Demostración 
Si consideramos un tiempo t y un Boreliano A fijos, tenemos, por la condición 3 de la definición 
anterior, que 
   , 0,t
A
P W A p t x dx  
 
de donde 
   
2
2
1
, 0,
2 t
x
t
Wp t x e f x
t

 
 
Que es lo que se quería probar.
 
( 
 
Es fácil ver que el valor esperado del Movimiento Browniano   , 0,tW W t   , cuya función 
de densidad de probabilidades se muestra en el teorema anterior, es igual a cero, pues: 
   
2 2
2 2
1
, 0, 0
2 2
x x
t t
t
t
E W x p t x dx xe dx e
t t 

 
 
  
      
Y además la varianza será t debido a que: 
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11 
    
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
, 0,
2 2 2
x x x
t t t
t
t t
E W x p t x dx x e dx xe e dx
t t t  

  
  
  
       
Donde, del hecho de que 
2
2 2
x
e dx 



 , y haciendo la sustitución 
x
u
t
 , se obtiene que 
  
2
2
20
2
u
t
t
E W e du t
t



   
 
Teorema 1.2.1.3. 
 
   min ,s tE W W s t  
 
Demostración 
Para dos tiempos fijos s , t tales que 0 s t  , y dos Borelianos fijos, entonces, por la 
condición 3 de la definición de proceso de Wiener se tiene que 
     , , , 0, , ,s tW Wf x y p s x p t s x y  
Y por tanto 
         , 0, , , , 0, , ,s tE W W x y p s x p t s x y dy dx x p s x p t s x y dy dx
   
   
 
     
  
    
Sustituyendo en la integral entre los corchetes y x u  se tiene 
       , 0, , ,s tE W W x p s x x u p t s x x u du dx
 
 
 
     
  
  
     , 0, , 0,x p s x x u p t s u du dx
 
 
 
   
  
  
     , 0, , 0, , 0,x p s x x p t s u du u p t s u du dx
  
  
 
    
  
   
        22, 0, 0 , 0, sx p s x x dx x p s x dx E W s
 
 
      
De donde se infiere que para valores arbitrarios ,s t mayores o iguales que cero se debe 
cumplir que 
   min ,s tE W W s t  
 
En este caso también existe una definición de movimiento Browniano para el caso n-
dimensional, y se define de la siguiente manera: 
 
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12 
Definición 1.2.1.4. 
 
Si 
1
, ...,
nt t
W W es una colección de movimientos Brownianos independientes unidimensionales, 
entonces al vector aleatorio  
1
, ...,
nt t
W W W se le conoce como movimiento Browniano en 
n
. 
 
La siguiente proposición nos proporciona una propiedad de los incrementos de los procesos de 
Wiener. 
 
Proposición 1.2.1.5. 
 
Si consideramos un incremento de movimientos Brownianos, 
t sW W , para cualesquiera 
valores 0 s t  tiene distribución con media cero y varianza t s . 
 
Demostración 
 
La densidad conjunta de 
sW y tW está dada por: 
     , , , 0, , ,s tW Wf x y p s x p t s x y  
Considerando un conjunto de Borel A se tiene: 
      
 ( , ):
, 0, , ,s t
x y x y A
P W W A p s x p t s x y dy dx
 
    
   
 
   
:
, 0, , , , 0, , ,
y x y A A
p s x p t s x y dy dx p s x p t s x x u du dx
 
   
   
       
    
    
       , 0, , 0, , 0, , 0,
A A
p s x p t s u du dx p t s u du p s x dx
 
 
 
    
 
    
 , 0,
A
p t s u du  
De aquí se puede ver que    , 0,f u p t s u  es la densidad de la distribución normal con 
media 0 y varianza t s , lo cual nos indica que  0,t sW W N t s  para cualesquiera 
0 s t  , culminando así la demostración. 
 
La proposición anterior establece que el movimiento Browniano   , 0,tW W t   tiene 
incrementos estacionarios. 
 
Proposición 1.2.1.6. 
 
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13 
Para cualesquiera tiempos tales que 
0 10 ... nt t t    los incrementos 
1 0 1
, ...,
n nt t t t
W W W W

  
Son independientes. 
 
Demostración 
 
De la proposición 1.2.1.5. Los incrementos de movimientos Brownianos tienen distribución 
normal. Además, debido a que variables aleatorias que se distribuyen bajo normalidad son 
independientes si y sólo si con incorrelacionadas, entonces es suficiente probar que 
    0u t s rE W W W W   
Para cualesquiera 0 r s t u    
 
Pero
 
           u t s r u s u r t s t rE W W W W E W W E W W E W W E W W      
       min , min , min , min ,u s u r t s t r    
0s r s r     
 
Que es lo que se quería probar. 
 
Ahora, proporcionemos un teorema que nos ayudará a probar que un proceso estocástico es de 
Wiener, en el que se emplean algunas de las propiedades que ya hemos demostrado. 
 
Teorema 1.2.1.7. 
 
Un proceso estocástico , 0tW t  es un proceso de Wiener (o Movimiento Browniano) si y sólo si 
cumple las siguientes condiciones: 
1. 
0 0W  c.s. 
 
2. Los caminos muestrales
tt W son continuos c.s. 
 
3. 
tW tiene incrementos estacionarios. 
 
4. Los incrementos
t sW W tienen una distribución normal con valor esperado 0 y varianza 
t s para cualesquiera 0 s t  . 
 
Demostración 
Debemos probar dos condiciones 
i) , 0tW t  es un proceso de Wiener 

 
, 0tW t  cumple las condiciones 1 a 4
 
ii) Se cumplen las condiciones 1 a 4 para un proceso , 0tW t   
, 0tW t  es de Wiener
 
Probabilidad III 
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14 
 
Demostración. i) 
 
Como , 0tW t  es un proceso de Wiener, entonces debe cumplir las condiciones 1 y 2, además 
por la proposición 1.2.1.5. y 1.2.1.6. de que tiene se cumplen las condiciones 3 y 4. 
 
Demostración ii) 
Acerca de las condiciones 1 y 2 no hay nada que probar. Ahora, si un proceso , 0tW t  tiene 
incrementos estacionarios (definición 1.1.1.5.) distribuidos bajo una normal con valor esperado 
0 y varianza t s para 0 s t  , entonces 
   
1 1 2 1 1
,..., 1 , ,..., 1 2 1 1,..., , ...,t t t t t t t
n n n
W W n W W W n nf x x f x x x x x 

   
     
1 2 1 1
1 2 1 1t t t t t
n n
W W W n nf x f x x f x x 

    
     1 1 2 1 2 1 1 1, 0, , 0, , 0,n n n np t x p t t x x p t t x x       
     1 1 2 1 1 2 1 1, 0, , , , ,n n n np t x p t t x x p t t x x     
Y por tanto 
       
1
1
1 1 1 2 1 1 2 1 1 1, ..., ... , 0, , , , ,n
n
t t n n n n n n
A A
P W A W A p t x p t t x x p t t x x dx dx        
 
para cualquier sucesión finita de tiempos 
10 ... nt t   y para cualesquiera conjuntos de Borel
0 ,..., nA A 
 De las pruebas de i) y ii) inferimos que el teorema queda demostrado. 
 
Para cerrar este tema, presentaremos una definición de suma importancia, así como una 
proposición sobre los procesosde Wiener, en el entendido de que ésta se presentará sin 
demostración. 
 
Definición 1.2.1.8. 
 
Un proceso estocástico   , 0,tX t  se dice H – auto – similar, para algún 0H  , si sus 
distribuciones finito dimensionales satisfacen la siguiente condición 
   
1 1
, ..., , ...,
n n
d
H H
t t Tt TtT W T W W W
 
 
Para cada 0T  , y cualquier elección de 0, 1,...,it i n  , y n positivo o cero. 
 
Debes considerar que la propiedad anterior corresponde a la distribución de un proceso. La 
propiedad de auto – similaridad es una cualidad fractal, y nos indica que los modelos 
propiamente escalonados de un camino muestral en un intervalo de tiempo, se asemejan en 
forma pero no son idénticos. 
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15 
 
Se puede verificar que los procesos de Wiener son 0.5 – auto – similares, lo cual trae como 
consecuencia que sus caminos muestrales no sean diferenciables en ninguna parte, en el 
sentido de la siguiente proposición. 
 
Proposición 1.2.1.9. (No diferenciabilidad de procesos auto – similares) 
 
Si  tX es un proceso H – auto – similar, con incrementos estacionarios para algún  0, 1H , 
entonces para cada valor 
0t fijo se cumple que 
0
0 0
lim sup
t t
t t
X X
t t

 

 
 
Lo cual significa que los caminos muestrales de un proceso H – auto – similar no son 
diferenciables en ninguna parte con probabilidad igual a 1. 
 
Debido a que, para llevar a efecto la demostración de los hechos anteriores se requieren 
algunos otros contenidos, los cuales no están contemplados en el desarrollo de esta unidad, es 
necesario que, por el momento los consideres una propiedad más de los procesos de Wiener 
de forma axiomática. 
 
 
Procesos derivados del movimiento Browniano 
 
Esta sección tiene como finalidad mostrarte algunos modelos probabilísticos que se derivan del 
Movimiento Browniano, con la finalidad de proporcionarte algunos elementos más acerca de 
este tema. Reiteremos que en el presente documento se emplea la letra W para los procesos 
aleatorios que son Brownianos, aunque se debe contemplar el hecho de que existen autores 
que los denotan con la letra B , lo cual es totalmente válido. 
 
Definición 1.2.2.1. 
 
El proceso estocástico definido por: 
1, 0 1t tX W tW t    
Se llama puente Browniano. 
 
Las funciones de esperanzas y covarianzas que presenta son, respectivamente 
  0X t  
   , min ,Xc t s t s t s  
 
Este tipo de procesos reciben su nombre debido a que cumplen la siguiente propiedad: 
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0 1 0X X  
Las distribuciones finito dimensionales de esta clase de procesos son Gaussianas. 
 
Definición 1.2.2.2. 
 
El proceso aleatorio definido por: 
, 0t tX t W t    
 
Para escalares 0  y  , recibe el nombre de movimiento Browniano con dirección. 
Su función de esperanzas está dada por 
 X t t  , donde , 0s t  
 
y su función de covarianzas es 
   2, min ,Xc t s t s , con , 0s t  
 
La dirección en este modelo es proporcionada por la función de esperanzas. 
 
El siguiente proceso fue propuesto por Black, Scholes y Merton (1973), y es empleado para 
modelar la “especulación de precios” en el área de las finanzas. 
 
 
Definición 1.2.2.3. 
 
El proceso aleatorio definido por: 
, 0t
t W
tX e t
 
 
 
 
Para escalares 0  y  , se denomina movimiento Browniano Geométrico. 
Su función de esperanzas está dada por 
 
 20.5 t
X t e
 



 
y su función de varianzas es 
 
   
2
222 1
t t
X t e e
  

  
 
Es fácil darse cuenta de que se trata de un modelo exponencial para el movimiento Browniano 
con dirección. 
 
El Movimiento Browniano Geométrico permite calcular el valor esperado de un proceso en un 
cierto momento, determinado por un valor para el tiempo t, dado el historial del proceso al 
tiempo t. 
 
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Cierre de la unidad 
 
En esta unidad 1, aprendiste a utilizar la teoría de procesos estocásticos para identificar un 
movimiento Browniano a través de sus definiciones y propiedades. 
 
En la unidad 2, el objetivo es aprender a aplicar el concepto de la esperanza condicional para 
resolver diversos problemas probabilísticos, utilizando sus propiedades. 
 
 
Para saber más 
 
Revisa los contenidos de la asignatura Probabilidad I, y II, así como la de Procesos 
Estocásticos. 
 
Modelo Estocástico Wiener Gauss: una Aplicación a la Economía Financiera en el Mercado de 
Capitales de España 
http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=11400805 
 
Integración estocástica con respecto al movimiento browniano 
http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=46814206 
 
 
Referencias Bibliográficas 
 
 Brzezniak, Z. y Zastawniak, T. (1999). Basic stochastic processes. Great Britain: 
Springer. 
 Chung, K. L. y Williams R. J. (1990). Introduction to Stochastic Integration. USA: 
Birkhäuser. 
 Klebaner, F. (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial 
CollegePress. 
 Mikosch, T. (2000). Elementary stochastic calculus with finance in view. Singapore: 
WorldScientific Publishing. 
http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=11400805
http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=46814206

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