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USM Campus Santiago
Resumen Contenidos Certamen 4 MAT021
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Informáticos 09
Complementos
PolinomiosPolinomiosPolinomiosPolinomios
Definición
Un polinomio en la variable � es una expresión
algebraica de la forma:
���� � ! " #� " $�$ " … " &�&
Observación
�1� ) *:
+* , - . / �01*203*0 45 1 .6�7
+* , - 8 / �01*203*0 903�15:0 86�7
Generalizando:
+* = c 8 / =6�75+ 51 >02:?2@0 A5 @0A0+
10+ �01*203*0+ >02 >05B*>*52@5+ =.
�2� Si ���� � ! " #� " $�$ " … " &�&; & G 0
el grado del polinomio ���� es:
IJ AK����L � 2
Si ���� � > ; >: >02+@ 2@5
el grado del polinomio ���� es:
IJ AK����L � 0
Nota: el grado del polinomio constante 0
����� � 0� no está definido.
Operaciones con PolinomiosOperaciones con PolinomiosOperaciones con PolinomiosOperaciones con Polinomios
Sean ����y P��� - =6�7
�1� Suma
���� " P��� Q J5A?>>*ó2 A5 @5J3*20+
+535: 2@5+
�2� Producto
���� · P��� Q A*+@J*S?>*ó2 T J5A?>>*ó2
Teorema
Sean ����y P��� - =6�7, entonces:
�1� IJ A K���� " P���L W Xá� YIJ AK����L, IJ AKP���LZ
�2� IJ A K���� · P���L � IJ AK����L " IJ AKP���L
Observación
Sean ����y P��� - =6�7
Se dice que ����y P��� son iguales si y solo si sus
coeficientes son iguales.
División de División de División de División de PolinomiosPolinomiosPolinomiosPolinomios
Algoritmo de la divisiónAlgoritmo de la divisiónAlgoritmo de la divisiónAlgoritmo de la división
Teorema
Sean ����y +��� - =6�7, +��� G 0, entonces existen
polinomios P���y J��� únicos tales que:
���� � P��� · +��� " J���
>02 P���: >?0>*52@5 T J���: J5+@0
T IJ AKJ���L ^ IJ AK+���L ó J��� � 0
Metodologías de división
Ejemplo: Encontrar cociente y resto al dividir
���� � 3�d e 2�f " 5� e 7 por P��� � � " 2
Método 1:
�3�d e 2�f " 5� e 7� j �� " 2� � 3�f e 8�$ " 16� e 27
e�3�d " 6�f� m �� " 2��3�f�
e8�f " 5� e 7
e�8�f e 16�$� m �� " 2��e8�$�
16�$ " 5� e 7
e�16�$ " 32�� m �� " 2��16��
27� e 7
e�27� e 54� m �� " 2��27�
47
cociente: 3�f e 8�$ " 16� e 27 resto: 47
División SintéticaDivisión SintéticaDivisión SintéticaDivisión Sintética
Esta regla se aplica para dividir un polinomio
���� � &�& " &o#�&o# " … " $�$ " #� " !
por un polinomio lineal de la forma P��� � � e p,
obteniendo como resultado un polinomio
+��� � S&o#�&o# " … " S$�$ " S#� " S! y un
polinomio J��� llamado resto.
& &o# … $ # !
p S&o# · p … S$ · p S# · p S! · p
S&o# S&o$ … S# S! J���
S&o# � &
S&o$ � &o# " S&o# · p
q
S# � $ " S$ · p
S! � # " S# · p
J��� � ! " S! · p
Método 2: División Sintética
���� � 3�d e 2�f " 5� e 7 P��� � � e �e2� / p � e2
3 e2 0 5 e7
-2 e6 16 e32 54
3 e8 16 e27 47
cociente: 3�f e 8�$ " 16� e 27 resto: 47
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Informáticos 09
Raíz de un PolinomioRaíz de un PolinomioRaíz de un PolinomioRaíz de un Polinomio
Definición
Sea ���� - =6�7, se dice que p es raíz de ���� si y solo
si ��p� � 0
Observación
Las Raíces de un polinomio en .6�7 son los puntos
donde la curva T � ���� intercepta al 5:5 �.
Teorema del RestoTeorema del RestoTeorema del RestoTeorema del Resto
El resto que resulta de dividir ���� - =6�7 por el
polinomio �� e p� es ��p�
Demostración
���� y �� e p� por el Algoritmo de la división, existen
polinomios P���y J��� únicos tales que:
��p� � �� e p� P�p� " J�p�
��p� � J�p�
T IJ AKJ���L � 0 ó J��� � 0
Factores y DivisibilidadFactores y DivisibilidadFactores y DivisibilidadFactores y Divisibilidad
Sean ���� y +��� - =6�7
Si +���es factor de ���� / v P��� tal que
���� � +��� · P���
/ J��� � 0 �51 J5+@0 A5 1 A*w*+*02 5+ 0�
Teorema del FactorTeorema del FactorTeorema del FactorTeorema del Factor
p es raíz de ���� si y solo si �� e p� es factor de ����
Irreductibilidad y FactorizacionesIrreductibilidad y FactorizacionesIrreductibilidad y FactorizacionesIrreductibilidad y Factorizaciones
Sea ���� - =6�7, ���� es irreductible sobre = si NONONONO
existen polinomios +#��� y +$��� - =6�7 tales que:
���� � +#��� · +$���
1 W IJ AK+#���L, IJ AK+$���L ^ IJ AK����L
Teoremas
�1� Los únicos Polinomios Irreductibles sobre . son:
�i� Polinomios lineales �Grado 1�
�ii� Polinomios cuadráticos con discriminante
negativa
�2� Todo polinomio - .6�7 puede escribirse como
producto de factores irreductibles - .6�7
Raíces y MultiplicidadRaíces y MultiplicidadRaíces y MultiplicidadRaíces y Multiplicidad
Definición
Se dice que p es raíz de ����, de multiplicidad 3, si
�� e p�y es factor de ���� y �� e p�yz# no es factor
Teorema
Todo Polinomio - .6�7 de grado 2, tiene a lo más 2
raíces.
Algunos Criterios para determinar raícesAlgunos Criterios para determinar raícesAlgunos Criterios para determinar raícesAlgunos Criterios para determinar raíces
Teorema 1
Sea ���� � &�& " … " $�$ " #� " ! - =6�7
Si p � {| es una raíz racional de ���� >02 , S - } ,
entonces divide a ! y S divide a &
~* p � S - � 5+ J í� A5 �, 52@02>5+:
!⁄ T S &⁄
Teorema 2
Sea ���� - .6�7
Si ���� tiene una raíz compleja p, entonces p� también
es raíz de ����
Consecuencia: Si ���� - .6�7 es de grado impar, debe
tener al menos una raíz real �No es siempre válido si
����tiene coeficientes - 8 �
Teorema 2
Sea ���� - .6�7
Si ���� tiene como raíz � " �P; p, q racionales;
entonces � e �P también es raíz de ����
Teorema Fundamental del AlgebraTeorema Fundamental del AlgebraTeorema Fundamental del AlgebraTeorema Fundamental del Algebra
Todo Polinomio en =6�7 con = c 8, de grado 2, tiene
exactamente 2 raíces en 8
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Informáticos 09
Descomposición en Fracciones ParcialesDescomposición en Fracciones ParcialesDescomposición en Fracciones ParcialesDescomposición en Fracciones Parciales
Sea la función �������� ; ����, P��� polinomios reales y sea IJ AK����L ^ IJ AKP���L.
En caso contrario; primero se divide ���� por P���
Caso I: El denominador q�x� se descompone en factores lineales distintos
����
P��� �
����
�� e #��� e $� … �� e &�
����
P��� �
�#
� e #
" �$� e $
" � " �&� e &
Caso II: El denominador q�x� se descompone en factores lineales iguales
����
P��� �
����
�� e �&
����
P��� �
�#
� e "
�$
�� e �$ "
�f
�� e �f " � "
�&
�� e �&
Caso III: El denominador q�x� se descompone en factores cuadráticos irreductibles �∆^ 0� distintos
����
P��� �
����
� #�$ " S#� " >#�� $�$ " S$� " >$� … � &�& " S&� " >&�
����
P��� �
�#� " �#
#�$ " S#� " >#
" �$� " �$ $�$ " S$� " >$
" � " �&� " �& &�& " S&� " >&
Caso IV: El denominador q�x� se descompone en factores cuadráticos irreductibles �∆^ 0� iguales
����
P��� �
����
� �$ " S� " >�&
����
P��� �
�#� " �#
�$ " S� " > "
�$� " �$
� �$ " S� " >�$ "
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� �$ " S� " >�&
El Autor de este resumen no se hace responsable por errores u omisiones de los
contenidos mínimos para el certamen.
Se recomienda complementar con los textos “Calculo” de Stewart, “Algebra
Uno” de Luis Tapia u otro similar.