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Anel dos polinômios e Teorema 
Fundamental da Álgebra
Apresentação
O estudo de anel de polinômios implica conhecer sua definição e estrutura. A partir de um anel A, 
define-se o anel A[x] formado pelos polinômios na indeterminada x, com coeficientes em A.
É importante estudar as propriedades do grau de um polinômio para identificar a melhor estrutura 
algébrica para anéis de polinômios. Conhecer o Teorema Fundamental da Álgebra é essencial no 
campo da Matemática, da Física, da Economia, da Química, entre outras áreas. Com ele, 
conseguimos compreender melhor as estruturas algébricas e as operações envolvendo funções 
polinomiais. Por meio do teorema, pode-se aprofundar o estudo dos polinômios irredutíveis, 
reconhecendo suas operações.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário que conheça 
conceitos básicos de álgebra, as operações, as características, bem como a definição e as 
propriedades de anéis.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você conhecerá o anel dos polinômios e o Teorema Fundamental 
da Álgebra, suas definições, características, propriedades e teoremas. Exemplos são apresentados 
de forma detalhada e clara, de forma que possam auxiliar no entendimento do conteúdo. Você terá 
contato com aplicações práticas que evidenciam a relevância dos conhecimentos para a resolução 
de problemas em situações reais. Verificará que o Teorema Fundamental da Álgebra é essencial 
para a Matemática e para outras áreas do conhecimento, seja por meio das manipulações 
algébricas, seja pela compreensão das estruturas envolvidas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Demonstrar a construção do anel dos polinômios.•
Interpretar o Teorema Fundamental da Álgebra.•
Reconhecer operações com polinômios irredutíveis.•
Infográfico
Um importante teorema em Matemática denomina-se Teorema Fundamental da Álgebra. Ele afirma 
que qualquer polinômio com coeficientes complexos de uma variável e de grau n maior ou igual a 1 
tem alguma raiz complexa.
O problema de encontrar soluções para equações polinomiais surgiu cedo na história da 
Matemática e foi evoluindo ao longo dos anos por meio de estudos de pesquisadores. As 
demonstrações do teorema envolvem análise ou o conceito de continuidade de uma função real ou 
complexa; no entanto, ele também pode ser interpretado graficamente.
Neste Infográfico, você verá o Teorema Fundamental da Álgebra sob outra perspectiva e observará 
como se dá a sua interpretação gráfica que remete aos conceitos e a teoria associada.
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conteúdo ou clique no 
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Conteúdo do livro
A geometria, a análise e a álgebra são três grandes áreas que constituem a Matemática. A álgebra é 
uma ferramenta que contribui para o desenvolvimento do raciocínio, a resolução de problemas, as 
abstrações, a evolução de tecnologias, entre outras habilidades extremamente importantes aos 
estudantes e futuros profissionais.
O Teorema Fundamental da Álgebra é fundamental para manipulações matemáticas com equações 
polinomiais, por exemplo, e para compreender estruturas algébricas, bem como suas propriedades. 
Em se tratando da divisão de polinômio, pode-se contar com o algoritmo de Briot-Ruffini, que é 
uma maneira simplificada de resolver a operação de divisão entre polinômios. É importante saber 
que, em Matemática, trabalha-se também com polinômios irredutíveis. Informalmente, estes são 
polinômios que não podem ser fatorados no produto de dois polinômios não constantes.
No capítulo Anel dos polinômios e o Teorema Fundamental da Álgebra, do livro Álgebra, você vai 
conhecer como se dá a construção do anel dos polinômios, iniciando por sua definição, igualdade e 
divisibilidade entre polinômios. Você saberá como o importante Teorema Fundamental da Álgebra 
foi consolidado e conhecerá o eficiente método de Briot-Ruffini para a solução de divisão de 
polinômios. Por fim, verá os polinômios irredutíveis e suas operações.
Boa leitura.
ÁLGEBRA 
Cristiane da Silva
Anel dos polinômios e 
o teorema fundamental 
da álgebra
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Demonstrar a construção do anel dos polinômios.
 � Interpretar o teorema fundamental da álgebra.
 � Reconhecer operações com polinômios irredutíveis.
Introdução
Em álgebra, estudam-se alguns anéis especiais, como os anéis de matri-
zes e os anéis Z. Neste capítulo, você vai estudar a definição formal de 
polinômios com coeficientes em um anel, verificando a construção do 
anel dos polinômios. Você também vai compreender como são carac-
terizados os polinômios idênticos e quais são as propriedades de uma 
relação de divisibilidade.
Você vai estudar também o teorema fundamental da álgebra, que 
é muito importante para manipulações matemáticas com equações 
polinomiais e para o entendimento das estruturas algébricas e suas pro-
priedades. Esse teorema teve fundamental importância no processo 
de desenvolvimento da matemática e é estudado dentro do tópico de 
polinômios e equações algébricas no ensino médio. Assim, você vai 
compreender a aplicação desse teorema, bem como do algoritmo de 
Briot-Ruffini.
Por fim, você vai aprender sobre os polinômios irredutíveis, que são 
aqueles que não podem ser decompostos como produto de outros 
polinômios não inversíveis. Trata-se de um método bastante utilizado 
para a divisão de polinômios.
1 Anel dos polinômios
Iniciaremos os estudos deste capítulo demonstrando a construção do anel 
dos polinômios. De acordo com Domingues e Iezzi (2018), seja A um anel de 
integridade infinito, esse anel pode ser um corpo infinito. Os exemplos mais 
importantes de anéis de integridade infinitos são Z, Q, R ou C. Chama-se 
função polinomial sobre A uma função f: A → A quando existirem elementos 
a0, a1, ⋯, ar em A tais que, para todo x ∈ A: f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ⋯ + arx
r. A 
função, quando escrita dessa forma, terá os expoentes da variável em ordem 
crescente. A expressão do segundo membro é referida como uma forma-padrão 
para a função polinomial, e os elementos a0, a1, ⋯, ar são os coeficientes de f.
Domingues e Iezzi (2018) levantam o seguinte questionamento: poderia 
uma função polinomial ter mais do que uma forma padrão? Em outras pala-
vras, pode outra sequência b0, b1, b2, ⋯, bs de elementos de A definir a mesma 
função polinomial f? Isso implicaria em f(x) = b0 + b1x + b2x
2 + ⋯ + bsx
s para 
todo x ∈ A.
Veremos que, no caso em estudo, sendo A um anel de integridade infinito, 
isso não é possível. Usamos a expressão polinômio sobre A com o mesmo sen-
tido de função polinomial sobre A. A ideia de polinômio como uma expressão 
formal do tipo a0 + a1x + a2x
2 + ⋯ + arx
r, em que x é um símbolo que pode 
representar um elemento do anel ou não, pressupõe a unicidade da sequência 
a0, a1, ⋯ , ar (DOMINGUES; IEZZI, 2018).
Janesch (2008, p. 15) apresenta a seguinte definição: “Seja A um anel. 
Um polinômio sobre A, na variável (ou indeterminada) x, é uma expressão da 
forma: a0 + a1x + a2x
2 + ⋯ onde ai ∈ A, ∀i ∈ N, e existe n ∈ N tal que aj = 0, 
para j > nʹ .́ Dizemos que a0 é o termo independente, a1 é o coeficiente de x, 
a2 é o coeficiente de x2 e assim por diante.
Janesch (2008) explica que, sendo p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ⋯ um polinômio 
sobre o anel A na variável x, como existe n ∈ N tal que aj = 0, para j > n, podemos 
escrever p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ⋯ + anx
n, deixando subentendido que p(x) = 
a0 + a1x + a2x
2 + ⋯ + anx
n + 0xn+1 + ⋯. Observe que escrevemos p(x) = a0 + a1x 
+ a2x
2 + ⋯ + anx
n, não excluindo a possibilidade de ai = 0 para i ∈ {1, 2, ⋯, n}. 
Quando p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ⋯ + anx
n e an ≠ 0, dizemos que o coeficiente 
dominante de p(x) é an. Chamamos polinômio mônico um polinômio com 
coeficiente dominante 1. Vejamos alguns exemplos de Janesch (2008).
Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra2
Exemplo 1
O polinômio sobre o anelZ p(x) = 2 + 0x + 1x2 + 3x3 + 0x4 + 0x5 + ⋯ pode ser escrito 
de várias maneiras. Em particular:
p(x) = 2 + 0x + 1x2 + 3x3
p(x) = 2 + 0x + 1x2 + 3x3 + 0x4
Exemplo 2
Seja A um anel. Para cada a ∈ A, o polinômio p(x) = a + 0x + 0x2 + ⋯ é chamado 
polinômio constante a, indicado por p(x) = a. Em particular, quando a = 0, temos o 
polinômio p(x) = 0, que é chamado polinômio nulo.
Fonte: Janesch (2008, p. 16).
Janesch (2008) afirma que cada polinômio na variável x sobre o anel A pode 
ser escrito como p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ⋯ + anx
n, para algum n ∈ N. Vemos 
que o conjunto dos polinômios na variável x sobre o anel A é A[x] = {a0 + a1x 
+ a2x
2 + ⋯ + anx
n; n ∈ N, aj ∈ A ∀i ∈ {1, 2, ⋯, n}}. Então, sendo A um anel, 
cada elemento a ∈ A pode ser identificado como o polinômio constante p(x) 
= a. Assim, temos A ⊆ A[x].
Janesch (2008) define a igualdade no conjunto A[x] da seguinte forma: 
os polinômios p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ⋯ ∈ A[x] e q(x) = b0 + b1x + b2x
2 + ⋯ ∈ 
A[x] são iguais quando ai = bi, ∀i ∈ N. A adição de dois polinômios quaisquer, 
f e g, dados respectivamente por f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ⋯ + arx
r e g(x) = b0 
+ b1x + b2x
2 + ⋯ + btx
t, se enquadra no conceito de adição de funções, cujo 
contradomínio é um anel: a soma f + g é definida por:
( f + g)(x) = f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x
2 + ⋯
Convém observar que, ao escrever a expressão final, já levamos em conta as 
propriedades operatórias de um anel. A expressão obtida para ( f + g)(x) mostra 
que f + g também é um polinômio sobre A. Agora é possível demonstrar que o 
par formado pelo conjunto dos polinômios sobre A e a adição assim introduzida 
é um grupo abeliano. O elemento neutro é a função identicamente nula de 
A — ou seja, o polinômio nulo definido por 0 + 0x + 0x2 + ⋯, em que 0 indica 
o zero do anel A. Já o simétrico aditivo de um polinômio f, com forma padrão 
3Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra
f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ⋯ + arx
r, é o polinômio –f, definido por –( f )(x) = a0 
+ (–a1)x + (–a2)x
2 + ⋯ + (–ar)x
r (DOMINGUES; IEZZI, 2018).
Agora, ao introduzir a multiplicação de dois polinômios quaisquer, f e g, 
vale a construção do parágrafo anterior. Mantidas as notações, o produto fg 
é definido por:
( fg)(x) = f(x)g(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x
2 + ⋯ + (arbs)
xr+s
Para obter a expressão final, utilizamos as propriedades algébricas de A. Pela 
expressão obtida, vemos que fg também é um polinômio sobre A. Acompanhe 
a seguir um exemplo de Domingues e Iezzi (2018).
Se f(x) = 1 + 2x – 2x3 e g(x) = –x + 3x2, então:
(fg)(x) = 1 ∙ 0 + [1 ∙ (–1) + 2 ∙ 0]x + [1 ∙ 3 + 2 ∙ (–1) + 0 ∙ 0]x2 + [1 ∙ 0 + 2 ∙ 3 + 0 ∙ (–1) + 
(–2) ∙ 0]x3 + [1 ∙ 0 + 2 ∙ 0 + 0 ∙ 3 + (–2)(–1) + 0 ∙ 0]x4 + [(–2) ∙ 3]x5 = –x + x2 + 6x3 + 2x4 – 6x5
É importante destacar que, para a multiplicação de polinômios, valem a 
associatividade e a comutatividade, e que o polinômio definido por 1 + 0 ∙ x 
+ 0 ∙ x2 + ⋯, em que 0 e 1 indicam respectivamente o zero e a unidade de A, é 
o elemento neutro dessa operação. Além disso, a multiplicação é distributiva 
em relação à adição. Sendo assim, conclui-se que o conjunto das funções 
polinomiais sobre um anel de integridade A, com a adição e a multiplicação 
definidas anteriormente, é um anel comutativo com unidade. Indica-se esse 
anel por A[x] (DOMINGUES; IEZZI, 2018).
Domingues e Iezzi (2018) demonstram que A[x] não é um corpo. Para 
isso, eles partem do polinômio f(x) = x e afirmam que f(x) não é o polinômio 
identicamente nulo, pois, se f(x) fosse invertível, existiria um polinômio g(x) 
= a0 + a1x + a2x
2 + ⋯ + arx
r, com ar ≠ 0, tal que f(x) ∙ g(x) = a0x + a1x
2 + ⋯ + 
arx
r+1 = 1 (unidade do anel), para todo x ∈ A. Assim, para x = 0 (zero do anel), 
teríamos um absurdo, 0 = 1, evidenciando um polinômio não nulo de A[x] 
que não é invertível, provando que esse anel não é um corpo. No entanto, 
a definição de produto de dois polinômios garante que A[x] é um anel de 
Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra4
integridade, pois, em ( fg)(x) = f(x)g(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + 
a2b0)x
2 + ⋯ +(arbs)x
r+s, arbs ≠ 0 se ar ≠ 0 e bs ≠ 0.
Se a ∈ A, o polinômio f definido por f(x) = a, para qualquer x ∈ A, é chamado 
polinômio constante determinado por a. Se a ≠ 0 é um elemento invertível 
de A, o polinômio constante correspondente f é necessariamente invertível: 
seu inverso é o polinômio constante g definido por a–1, pois, para todo x ∈ A, 
vale ( fg)(x) = f(x)g(x) = aa–1 = 1 (unidade de A). No caso de A ser um corpo, 
todos os polinômios constantes, exceto o polinômio nulo, são invertíveis. No 
que segue, a rotação L(x), em que L é um anel de integridade, pressupõe a 
infinitude de L (DOMINGUES; IEZZI, 2018).
Domingues e Iezzi (2018) destacam uma proposição que garante que, em um 
polinômio f, dado na forma padrão por f(x) = a0 + a1x + ⋯ + arx
r, a sequência 
a0, a1, ⋯, ar dos coeficientes está univocamente determinada. Em particular, 
se f não é o polinômio identicamente nulo, então, para algum índice m, com 0 
≤ m ≤ r, tem-se am ≠ 0 (zero do anel) e am+1 = ⋯ = ar = 0 (zero do anel). Nesse 
caso, am é chamado coeficiente dominante de f.
Outro elemento importante é o grau do polinômio não nulo — ele será 
o índice de seu coeficiente dominante. Utiliza-se a notação ∂ para indicar o 
grau. Observe dois exemplos: ∂(1 + x2) = 2 e ∂(5) = 0. Dessa forma, se o grau 
de um polinômio f sobre o anel de integridade infinito A é r, então o número 
de raízes de f em A é menor que ou igual a r.
Se f e g são polinômios não nulos, então ∂( f ∙ g) = ∂( f ) + ∂(g). De fato, 
se os coeficientes dominantes de f e g são, respectivamente, ar e bs, então 
f(x) = ⋯ + arx
r e g(x) = ⋯ + bsx
s, e, portanto, a forma padrão de fg é do tipo 
( fg)(x) = ⋯ + arbsx
r+s. Como arbs ≠ 0, já que os fatores são elementos não nulos 
do anel de integridade A, então ∂( fg) = r + s = ∂( f ) + ∂(g). Outro ponto impor-
tante é lembrar que, se f ∈ A[x] é um polinômio constante definido por f(x) = a, 
em que a ≠ 0A, então ∂( f ) = 0. Quanto ao polinômio nulo, fica fora do conceito 
de grau (DOMINGUES; IEZZI, 2018).
Trataremos agora da divisibilidade em A[x]. Considerando-se f, g ∈ A[x], 
diz-se que um polinômio f divide g se existe um polinômio h ∈ A[x] tal que 
g = fh. Também dizemos nesse caso que f é divisor de g, ou que g é divisível 
por f. Para indicar essa relação, usa-se a notação f |g. Se f não é divisor de 
g, isso é indicado por f∤g. É importante observar que, se f |g, g ≠ 0, então 
g = fq e, portanto, ∂(g) = ∂( f ) + ∂(q). Em particular, ∂( f ) ≤ ∂(g) (DOMINGUES; 
IEZZI, 2018). Veja a seguir alguns exemplos.
5Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra
Exemplo 1
Em R[x], o polinômio x – 1 divide o polinômio x2 – 1, pois x2 – 1 = (x – 1)(x + 1). De modo 
geral, (x – u)|(xn – un), ∀u ∈ R.
Exemplo 2
Em qualquer anel A[x], os polinômios constantes não nulos, definidos por elementos 
invertíveis de A, dividem todos os polinômios. De fato, qualquer que seja o polinômio 
f, se c é invertível em A, vale a igualdade:
Como f pertence ao anel dos polinômios a que pertence f, pois pertence ao 
anel de coeficientes, a afirmação feita fica justificada.
Fonte: Domingues e Iezzi (2018, p. 307).
A relação de divisibilidade em A[x] tem as seguintes propriedades:
 � f | f (reflexiva);
 � se f |g e g|h, então f |h (transitiva);
 � se f |g1 e f |g2, então f |(g1h1 + g2h2), quaisquer que sejam os polinômios 
h1 e h2.
Dois polinômios f, g ∈ A[x], tais que f |g e g|f, são ditos associados. Quando f e g são 
associados, diz-se também que g é associado de f e vice-versa. Seja f ∈ A[x] um polinômio 
não nulo. Então um polinômio g ∈ A[x] é associado de f se, e somente se, g = cf, para 
algum polinômio constante invertível c (DOMINGUES; IEZZI, 2018).
Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra6
Conforme Domingues e Iezzi (2018), os associados de um polinômio f e os 
polinômios invertíveis de A[x] são chamadosdivisores triviais de f. 
2 Teorema fundamental da álgebra
Apresentaremos nesta seção o teorema fundamental da álgebra, um dos 
mais importantes teoremas da matemática. A consolidação e validação do 
teorema se deu pela tese de doutorado de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), 
em 1799, denominada “Uma demonstração do teorema de que toda equação 
algébrica racional inteira de uma variável pode ser decomposta em fatores 
reais de primeiro ou segundo graus, o conhecido teorema fundamental da 
álgebra” (GÓES; GÓES, 2015).
Segundo Góes e Góes (2015), o teorema afirma que qualquer equação 
polinomial com coeficientes reais ou complexos, de grau restritamente posi-
tivo, aceita, no campo dos números complexos, pelo menos uma raiz. Góes e 
Góes (2015, p. 153-154) formalizam o teorema conforme apresentado a seguir.
 � O teorema fundamental da álgebra garante a existência de, ao menos, 
uma raiz.
 � O teorema fundamental da álgebra não mostra como determinar as raízes 
do polinômio. Para isso, utilizam-se métodos de obtenção de raízes de 
um polinômio, como as fórmulas de Bháskara, Cardano-Tartaglia e 
Ferrari, as equações biquadradas etc.
 � O teorema fundamental da álgebra afirma que existe, ao menos, uma 
raiz no campo dos números complexos. Já para os números reais não 
existe essa afirmação — ou seja, a existência de raiz em ℜ é incerta.
Alves (2015) destaca a importância do teorema fundamental da álgebra 
como ferramenta para equações e funções polinomiais que estão associadas 
às mais variadas situações, como a formação de sons, os ajustes de curvas 
para projetar situações que envolvem crescimento e decrescimento de popu-
lações, a maximização de lucro em economia, e em diversas outras áreas do 
conhecimento. Vejamos, a seguir, a demonstração do teorema fundamental 
da álgebra apresentada por Alves (2015).
7Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra
Teorema fundamental da álgebra
Toda função polinomial p(z) = anz
n + an–1z
n–1 + ⋯ + a1z + a0, com an, an–1, ⋯, a0 ∈ C, 
n ≥ 1 e an ≠ 0, possui uma raiz em C. 
Demonstração
Seja p(z) = anz
n + an–1z
n–1 + ⋯ + a1z + a0 uma função polinomial em C de grau 
n ≥ 1, isto é, com an ≠ 0. Se a0 = 0, então p(0) = 0, e assim 0 é uma raiz de p(z). 
Vamos supor a partir deste momento que a0 = P(0) ≠ 0.
1º passo: vamos demonstrar que a função g: C → (0, +∞) definida por 
g(z) = |p(z)|, z ∈ C, admite um valor mínimo absoluto em um ponto z0 ∈ C 
— isto é, g(z0) ≤ g(z) para qualquer z ∈ C. Temos a seguinte proposição: seja 
p(z) uma função polinomial de grau n ≥ 1, então lim┬(|z|→+∞)|p(z)| = +∞. 
Assim, temos que:
Portanto, segue pela definição de limite que existe r ∈ R, r > 0 tal que 
g(z) = |p(z)| > |a0| se z ∈ C e |z| > r. Logo, temos:
g(z) > |a0|, se |z| > r
Denotamos por g— a restrição da função g ao disco fechado D—(0, r) — isto é, 
g— é a função g—: D—(0, r) → (0, +∞), definida por g— (z) = g(z) = |p(z)| para todo 
z ∈ D—(0, r). Como p(z) é uma função polinomial e, portanto, contínua, então 
a função composta g(z) = |p(z)|, z ∈ C, é contínua. Segue imediatamente que 
g— = D—(0, r) → [0, +∞) é contínua. Como D—(0, r) é um conjunto compacto, o 
teorema de Weierstrass diz que existe z0 ∈ D—(0, r) tal que:
g(z0) ≤ g(z), se |z| ≤ r
Mas 0 ∈ D—(0, r) e, assim, g(z0) ≤ g(0) = |a0|. Portanto, segue que g(z0) ≤ 
g(z) para todo z ∈ C.
Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra8
2º passo: vamos demonstrar que p(z0) = 0. Supomos então por absurdo que 
p(z0) ≠ 0. Tomamos q(z) = p(z + z0), z ∈ C e temos que q(0) = p(z0) = c ≠ 0, pela 
proposição, que considera uma função polinomial p(z) = anz
n + an–1z
n–1 + ⋯ + a1z 
+ a0, onde n ≥ 1, an, an–1, ⋯ , a0 ∈ C, com an ≠ 0. Então, fixamos z0 ∈ C. Seja q(z) 
= p(z + z0), z ∈ C, então existe 1 ≤ k ≤ n, tal que q(z) = p(z0) + zk[a + r(z)], onde 
a ∈ C, a ≠ 0 e r(z) é uma função polinomial satisfazendo r(0) = 0. Existem 
k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n, a ∈ C, a ≠ 0 e uma função polinomial r(z) satisfazendo r(0) 
= 0, tal que:
q(z) = c + zk [a + r(z)], z ∈ C
Seja w uma raiz k-ésima do número complexo –c/a — ou seja, wk = –c/a 
—, então awk + c = 0 e, assim, awk ∈ D(–c, |c|). Considere a função f: C → 
C definida por f(z) = zwk, z ∈ C. Como f é contínua e f(z) = awk = –c, então, 
tomando ϵ = |c|, existe δ > 0 tal que, se z ∈ C e |z – a| < δ, temos:
|zwk + c| = | f(z) – f(a)| < ϵ = |c|
Seja agora r1: C → C a função polinomial r1(z) = a + r(z), z ∈ C. Sabemos 
que a ≠ 0 e que r(0) = 0. Como r1 é contínua em 0, existe μ > 0 tal que, se z ∈ 
C e |z| = |z – 0| < μ, então:
|r1(z) – a| = |r1(z) – r1(0)| < δ
Assim, obtemos que, se |z| < μ, então:
|r1(z)w
k + c| = | f(r1(z)) – f(a)| < |c|
Seja agora 0 < t < 1 tal que |tw| < μ. Segue que:
|wk(a + r(tw) + c| = |r1(tw)wk + c| < |c|
Como 0 < t < 1, então 0 < tk < 1, e, assim, obtemos,
|q(tw)| = |(tw)k(a + r(tw)) + c| = |tk[wk(a + r(tw))] + c| < |c|
Tomamos z1 = z0 + tw e temos q(tw) = p(z1). Logo, 
|p(z1)| = |q(tw)| < |c| = |p(z0)|
9Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra
O que contradiz o fato de que |p(z0)| = g(z0) é o valor mínimo absoluto da 
função g(z) = |p(z)|. Portanto, devemos ter p(z0) = c = 0 — isto é, z0 é uma 
raiz de p(z).
Agora veremos um método prático para efetuar a divisão de polinômios, 
conhecido como algoritmo de Briot-Ruffini. Esse algoritmo é utilizado para 
efetuar a divisão de um polinômio f de grau n ≥ 1 por um polinômio do tipo 
x – u (DOMINGUES; IEZZI, 2018). Representaremos f(x) da seguinte forma:
f(x) = a0x
n + a1x
n–1 + a2x
n–2 + ⋯ + an–1x
n + an (∴ a0 ≠ 0)
Usaremos uma representação semelhante para o quociente:
q(x) = b0x
n–1 + b1x
n–2 + ⋯ + bn–2x + bn–1
Assim, se o resto for indicado por r, tem-se a seguinte igualdade:
a0x
n + a1x
n–1 + a2x
n–2 + ⋯ + an–1x
n + an = (x – u)(b0x
n–1 + b1x
n–2 + ⋯ + 
bn–2x + bn–1) + r = b0x
n + (b1 – ub0)x
n–1 + ⋯ + (bn–1 – ubn–2)x + (r – ubn–1)
Pelo princípio de identidade de polinômios:
b0 = a0, b1 – ub0 = a1(∴ b1 = ub0 + a1), ⋯ , bn–1 – ubn–2 = an–1 (∴ bn–1 = ubn–2 + an–1)
e,
r – ubn–1 = an(∴ r = ubn–1 + an)
Sendo assim, o quociente e o resto podem ser obtidos pelo dispositivo 
mostrado na Figura 1, em que o primeiro elemento da terceira linha é a0, e os 
demais são as somas dos elementos correspondentes da primeira linha com o 
produto de u pelo elemento da terceira linha e coluna anterior.
Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra10
Figura 1. Dispositivo de Briot-Ruffini.
Fonte: Domingues e Iezzi (2018, p. 315).
Veja a seguir um exemplo de Domingues e Iezzi (2018) utilizando o dis-
positivo de Briot-Ruffini.
A divisão de x4 – 1 por x – 2 pode ser efetuada assim (DOMINGUES; IEZZI, 2018, p. 315):
Portanto, o quociente é dado por q(x) = x3 + 2x2 + 4x + 8, e o resto é r = 15.
3 Polinômios irredutíveis
Para que possamos reconhecer operações com polinômios irredutíveis, vamos 
iniciar conceituando-os. Se K é um corpo infinito, os anéis de integridade K[x] 
apresentam importantes semelhanças algébricas com o anel Z dos números 
inteiros. O conceito de polinômio irredutível corresponde, no anel dos inteiros, 
ao de número primo (DOMINGUES; IEZZI, 2018).
Por definição, um polinômio não nulo e não invertível p ∈ K[x] se diz 
irredutível sobre K se uma decomposição de p em um produto de dois fatores 
de K[x] só for possível com um dos fatores invertíveis. Ou seja, se p = fg, então 
f é invertível ou g é invertível. Todo polinômio de grau 1 sobre um corpo K 
é irredutível.
11Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra
Outra definição importante se refere à irredutibilidade sobre um corpo 
algebricamente fechado. Seja K um corpo infinito. Se todo polinômio não 
constante de K[x] tem pelo menos uma raiz em K, diz-se que K é um corpo 
algebricamente fechado. Um polinômio sobre um corpo K algebricamente 
fechado é irredutível se, e somente se, tem grau 1 (DOMINGUES; IEZZI, 2018).
Domingues e Iezzi (2018) explicam também que, sejam K um corpo alge-
bricamente fechado e f um polinômio de grau n ≥ 1 sobre K, cujo coeficientedominante se denota por a, então existem elementos u1, u2, ⋯ , un ∈ K tais 
que f(x) = a(x – u1)(x – u2) ⋯ (x – un). Os ui que aparecem na proposição são 
as raízes (todas) de f.
Mas é preciso levar em conta a possibilidade de existência de raízes múl-
tiplas. Supondo então que as raízes distintas f sejam ui1
, ui2
, ⋯ , uir
 e que suas 
multiplicidades sejam, respectivamente, α1, α2, ⋯ , αr, então podemos reunir 
os fatores iguais de f(x), obtendo:
Pode-se dizer que o número de raízes de um polinômio de grau n sobre 
um corpo algebricamente fechado é n, convencionando-se que uma raiz de 
multiplicidade αi seja contada αi vezes (DOMINGUES; IEZZI, 2018).
Vejamos agora o critério de irredutibilidade apresentado por Domingues 
e Iezzi (2018). Se o grau de um polinômio f sobre um corpo K é 2 ou 3, então 
ou f é irredutível sobre K ou tem uma raiz, pelo menos, em K. Supondo que 
f não fosse irredutível, então f poderia ser decomposto não trivialmente em 
um produto f = gq, em que os fatores têm grau ≥ 1.
Por outro lado, como ∂( f ) = ∂(gq) = ∂(g) + ∂(q) e ∂( f ) = 3, então ∂(g) + ∂(q) = 3. 
Isso só é possível se ∂(g) = 1 e ∂(q) = 2, ou vice-versa. Supondo, por exemplo, 
que ∂(g) = 1, então a expressão que define g será do tipo g(x) = ax + b (a ≠ 0). 
Como –b/a, que pertence a K, é raiz de g, então também é raiz de f (DOMIN-
GUES; IEZZI, 2018).
O polinômio f(x) = 1 + x + x3 ∈ Q[x] é irredutível sobre Q. De fato, as possíveis raízes 
racionais de f são ±1 (divisores de 1), mas f(1) = 3 e f(–1) = –1. Como não tem nenhuma 
raiz em Q, então f é irredutível sobre esse corpo (DOMINGUES; IEZZI, 2018, p. 333).
Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra12
A seguinte proposição determina quais polinômios reais são irredutíveis 
sobre R: um polinômio f ∈ R[x] é irredutível sobre R se, e somente se, ∂( f ) = 
1 ou ∂( f ) = 2. Nesse caso, seu discriminante é menor do que zero (DOMIN-
GUES; IEZZI, 2018). Não existem polinômios irredutíveis de grau maior que 
1 em C[x], assim como não existem polinômios irredutíveis de grau maior 
do que 2 em R[x]. Em Q[x], a situação é diferente: o polinômio f(x) = x3 – 2 é 
irredutível em Q porque não tem raízes racionais. Em Q[x], existem polinômios 
irredutíveis de graus arbitrariamente grandes (DOMINGUES; IEZZI, 2018).
Domingues e Iezzi (2018) explicam que um polinômio não constante per-
tencente a Z[x] é chamado polinômio primitivo se o máximo divisor comum 
(MDC) de seus coeficientes é 1. Se f(x) = a0 + a1x + ⋯ + anx
n — com n > 0 e 
an ≠ 0 — é um polinômio do anel Z[x], e d é o MDC dos seus coeficientes, 
então ∃b0, b1, ⋯ , bn ∈ Z, tais que ai = dbi(i = 0, 1, ⋯, n) e MDC(b0, b1, ⋯ , 
bn) = 1. Logo,
f(x) = (db0) + (db1)x + ⋯ + (dbn)x
n = d(b0 + b1x + ⋯ + bnx
n)
em que g(x) = b0 + b1x + ⋯ + bnx
n é primitivo e ∂(g) = ∂( f ). Veja os exemplos 
a seguir.
Exemplo 1:
Observe:
6 + 4x + 12x2 = 2(3 + 2x + 4x2)
Considere agora o polinômio f(x) = 6 + (3/5)x + x2 – 3x3 – (3/2)x6 ∈ Q[x]. Note que o 
mínimo múltiplo comum dos denominadores, ou seja, o menor dos múltiplos comuns 
positivos dos inteiros 1, 2 e 5 é 10. Então 10f(x) = 60 + 6x + 10x2 – 30x3 – 15x6 ∈ Z[x] 
(DOMINGUES; IEZZI, 2018).
Exemplo 2:
Se f(x) = 6 + (3/5)x + x2 – 3x3 – (3/2)x6 ∈ Q[x], o mínimo múltiplo comum de 1, 2 e 5 
é 10. Logo, 10f(x) = 60 + 6x + 10x2 – 30x3 – 15x6 ∈ Z[x]. Como MDC(60, 6, 30, –15) = 3, 
então 10f(x) = 3(20 + 2x + 10x3 – 5x6) ∈ Z[x]. Logo:
em que g(x) = 20 + 2x + 10x2 – 5x6 ∈ Z[x] é primitivo (DOMINGUES; IEZZI, 2018).
13Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra
Veja a seguir dois lemas importantes apresentados por Domingues e Iezzi 
(2018, p. 335).
 � Seja f(x) ∈ Q[x] um polinômio não constante. Se n é o mínimo múltiplo 
comum dos denominadores dos coeficientes não nulos de f(x), então 
nf(x) ∈ Z[x].
 � Seja f(x) ∈ Q[x] um polinômio não constante. Então existem dois núme-
ros inteiros positivos m, n e um polinômio primitivo g(x) ∈ Z[x], para 
os quais se verifica a igualdade f(x) = (m/n)g(x).
Veja a seguir mais alguns critérios importantes sobre a temática deste capítulo.
 � Sejam f, g ∈ Z[x] polinômios primitivos. Se, para algum par de inteiros c, d ∈ Z – {0}, 
verifica-se a igualdade cf = dg, então c e d são associados em Z, e f e g são associados 
em Z[x]. Ou seja, d = ±c e f = ±g.
 � De acordo com o lema de Gauss, o produto de dois polinômios primitivos f, 
g ∈ Z[x] também é um polinômio primitivo. Se um polinômio f ∈ Z[x] é irredutível 
sobre Z, então também é irredutível sobre Q.
 � De acordo com o critério de Eisenstein, seja f(x) = a0 + a1x + ⋯ + anxn ∈ Z[x] um 
polinômio primitivo de grau n > 0, e supondo que exista um número primo p que 
divida os coeficientes a0, a1, a2, ⋯ , an–1 de f(x), mas não divida an, e que p2 não seja 
divisor de a0, então f(x) é irredutível sobre Q (DOMINGUES; IEZZI, 2018).
ALVES, A. P. Desmistificando o teorema fundamental da álgebra. 2015. 65 f. Dissertação 
(Mestrado em Matemática) - Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientí-
fica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2015. Disponível em: http://www.
repositorio.unicamp.br/handle/REPOSIP/306555. Acesso em 02 nov. 2020.
DOMINGUES, H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 5. ed. São Paulo: Atual, 2018.
GÓES, A. R. T.; GÓES, H. C. Números complexos e equações algébricas. Curitiba: InterSa-
beres, 2015. E-book.
JANESCH, O. R. Álgebra II. Florianópolis: UFSC/EAD/CED/CFM, 2008. Disponível em: 
https://mtm.grad.ufsc.br/files/2014/04/%C3%81lgebra-II.pdf. Acesso em: 02 nov. 2020.
Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra14
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15Anel dos polinômios e o teorema fundamental da álgebra
Dica do professor
Uma das maneiras de realizar a divisão de polinômios é por meio do algoritmo euclidiano. Na 
divisão euclidiana dos polinômios, temos um polinômio D(x), que é o dividendo, o polinômio d(x), 
que é o divisor, Q(x), que é o quociente, e R(x), que é o resto, tal que D(x) = d(x) . Q(x) + R(x) ocorre.
Na aritmética básica, o resto precisa ser menor que o divisor; no entanto, na divisão de polinômios, 
isso não faz sentido. Na divisão de polinômios vale o seguinte: ou o grau do resto gr[R(x)] é menor 
que o grau do divisor gr[d(x)], ou o resto é polinômio nulo. Quando o resto é o polinômio nulo, 
dizemos que o polinômio D(x) é divisível por d(x).
Nesta Dica do Professor, você verá o algoritmo euclidiano, suas particularidades, proposições e o 
corolário envolvendo a divisão. Além disso, serão detalhados dois exemplos como forma de auxiliar 
na compreensão desse processo de divisão.
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Exercícios
1) A definição de polinômios irredutíveis diz que, sendo K um corpo e p∈K[x], dizemos que o 
polinômio p é irredutível em K[x] ou irredutível sobre K, quando p não é um polinômio 
constante, e, se existirem f,g∈K[x] tais que p=f·g, então f é constante ou g é constante. 
Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta:
I. Um polinômio que não é irredutível sobre K é denominado redutível sobre K.
II. Os polinômios redutíveis sobre K são aqueles polinômios que podem ser fatorados.
III. Nenhum polinômio de grau 1 é irredutível em R[x].
IV. f=x2-9 é irredutível em R[x].
A) Apenas III e IV estão corretas.
B) Apenas I está correta.
C) Apenas I e II estão corretas.
D) Apenas III está correta.
E) Apenas II, III e IV estão corretas.
O estudo de anéis teve origem a partir de duas classes importantes: a classe dos anéis de 
polinômios em n variáveis sobre o corpo dos números complexos e a classe dos anéis 
inteiros algébricosde um corpo de números algébricos. Ambas são responsáveis por vários 
resultados da álgebra, alguns muito sofisticados. Nesse contexto, avalie as afirmações a 
seguir e assinale a alternativa correta:
I. Seja R um anel e R[x] um anel de polinômios, se R é comutativo (domínio), então 
R[x] também será comutativo (domínio).
II. Se F é um corpo, então existe um algoritmo que permite dividir um polinômio por outro, 
obtendo um quociente e um resto.
III. O conjunto R[x] de todos os polinômios com coeficientes em R forma um anel, 
denominado anel de polinômios sobre R.
2) 
IV. Um domínio de integridade é um anel R no qual o produto de quaisquer dois elementos 
não nulos é um elemento nulo.
A) Apenas III e IV estão corretas.
B) Apenas II está correta.
C) Apenas I e IV estão corretas.
D) Apenas I, II e III estão corretas.
E) Apenas IV está correta.
3) O dispositivo de Briot Ruffini é um dos métodos utilizados para realizar a divisão de um 
polinômio de grau n>1 por um binômio do primeiro grau da forma x-a. Nesse contexto, use o 
dispositivo prático de Briot-Ruffini para encontrar o quociente e o resto de 
P(x)=3x3+2x2+x+5 dividido por D(x)=x+1, assinalando a alternativa correta.
A) Quociente3x2-2x+1 e resto 5.
B) Quociente x2-2x+1 e resto 5.
C) Quociente x3-x2+2x e resto 3.
D) Quociente -x2+2x+3 e resto 0.
E) Quociente 3x2-x+2 e resto 3.
O método de Ruffini foi inventado por Paolo Ruffini, médico e matemático dedicado a ambas as 
áreas, com resultados importantes para a área em que atuava. Ele desenvolveu a regra básica para 
determinar o quociente e o resto que resultam da divisão de um polinômio na variável x por um 
binomial da forma x-a. Considere o seguinte problema envolvendo seu método de resolução: na 
divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x-a), encontrou-se:
4) 
Nesse contexto, considerando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, assinale a alternativa que 
contém os valores de a, b, c e d, respectivamente.
A) -2; 1; -6 e 6.
B) -2; 1; -2 e-6.
C) 2; -2; -2 e-6.
D) 2; -2; 1 e 6.
E) 2; 1; -4 e 4.
Em se tratando da divisão de polinômios, o método de Briot-Ruffini é muito utilizado. Nesse 
dispositivo, o resto e o quociente da divisão podem ser obtidos seguindo alguns passos: a) 
desenhar dois segmentos de reta, um na horizontal e outro na vertical; b) colocar os 
coeficientes do polinômio no segmento de reta horizontal e à direita do segmento vertical e 
repetir o primeiro coeficiente na parte de baixo. No lado esquerdo do segmento vertical, 
coloca-se a raiz do binômio. Importante lembrar que, para determinar a raiz de um binômio, 
basta igualá-lo a zero; c) multiplica-se a raiz do divisor pelo primeiro coeficiente localizado 
abaixo da linha horizontal e, em seguida, soma-se o resultado pelo próximo coeficiente 
localizado acima da linha horizontal, repetindo-se esse processo até o último coeficiente.
5) 
Nesse contexto, divida o polinômio P(x)=x4-1 pelo binômio D(x)=x-1, verificando o 
quociente Q(x) e o resto R(x), e assinale a resposta correta, respectivamente:
A) Q(x) = x3+x2+x+1 e R(x) = 0.
B) Q(x) = x3 e R(x) = -1.
C) Q(x) = x3+x2+x+1 e R(x) = -1.
D) Q(x) = 2x3+x2+x e R(x) = 1.
E) Q(x) = x2+x+1 e R(x) = 1.
Na prática
A tecnologia é um caminho sem volta e vem com muitos pontos positivos no ensino da 
Matemática, que está constantemente em contato com profissionais dos mais variados campos do 
saber.
Para o ensino de álgebra, por exemplo, pode-se contar com conhecimento de programação e 
softwares disponíveis que permitem apresentar e/ou complementar diferentes conteúdos em sala 
de aula de forma dinâmica, clara, objetiva e atraente.
Neste Na Prática, você perceberá a importância do diálogo com outros profissionais da academia 
com o objetivo de pensar estratégias práticas na busca por soluções. Acompanhe o professor Fábio 
na implementação do dispositivo de Briot-Ruffini no software GeoGebra.
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acessar.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
O anel de polinômios
Neste vídeo, você acompanha o professor explicando a origem dos polinômios na história da 
Matemática, bem como a sua relevância em álgebra. Em seguida, você verá o polinômio no 
contexto de anéis. O objetivo do vídeo é definir o conjunto dos polinômios sobre um anel e dar a 
esse conjunto uma estrutura de anel também. A apresentação está organizada da seguinte forma: 
1) séries formais; 2) o anel de polinômios em uma indeterminada sobre um anel; 3) quando o anel 
de polinômios é um domínio; 4) o grau de um polinômio; 5) propriedades do grau no anel de 
polinômios.
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Teorema Fundamental da Álgebra
Neste vídeo, a professora aborda dois teoremas importantes para o estudo das equações 
algébricas. Inicia com o Teorema Fundamental da Álgebra, que diz que todo polinômio de grau 
maior ou igual a 1 tem pelo menos uma raiz complexa. O Teorema Fundamental da Álgebra 
possibilita que relacionemos as raízes complexas de um polinômio complexo com a sua forma 
fatorada, por meio de um teorema chamado Teorema da Decomposição.
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Polinômios irredutíveis – introdução às estruturas algébricas
Neste vídeo, você verá a definição de polinômios irredutíveis. Após conhecer os conceitos e 
definições, exemplos serão resolvidos detalhadamente, retomando os conhecimentos abordados, 
de modo que seja possível associar as definições à prática dos exercícios. Ao longo das explicações, 
o professor alerta para pontos de atenção importantes no trabalho com polinômios irredutíveis.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Lista de exercícios
Para aprender anel dos polinômios e Teorema Fundamental da Álgebra, é importante que você 
treine fazendo diversos exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as 
questões.
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