Lista de exercícios_Estática_Eliane

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS- ESTÁTICA 
 
Eliane Pereira de Morais 
Engenharia Química 
RA:7382458 
 
Livro: Estática de RC Hibbeller 12ª Edição (biblioteca virtual) 
Problemas: 2.1, 2.5, 2.31, 2.50, 2.86, 2.94, 2.110, 2.123, 3.5, 3.6, 3.7, 3.21, 3.35, 
3.42, 4.10, 4.23, 4.26, 4.35, 4.43, 4.47, 4.59, 4.63, 4.67, 4.74, 4.86, 4.99, 4.110, 
4.111, 4.114, 4.115. 
Problemas 
2.1. Determine a intensidade da força resultante que atua sobre a argola e sua, 
medida no sentido horário a partir do eixo x. 
 
F1= 6kN 
F2= 2Kn 
𝐹1𝑥 = 6 . cos 60° = −3𝑘𝑁 
𝐹2𝑥 = 2 . 𝐶𝑂𝑆 45° = √2𝑘𝑁 
𝐹𝑥 = −3 + √2 = −1,59𝑘𝑁 
 
𝐹1𝑦 = 6 . sen 60° = −3√3𝑘𝑁 
𝐹2𝑦 = 2 . 𝑠𝑒𝑛 45° = −√2𝑘𝑁 
𝐹𝑦 = −3√3 − √2 = −6,60𝑘𝑁 
𝑡𝑔(𝜃) = |
𝐹𝑦
𝐹𝑥
| 
F1x F2x 
60° 45° 
F2y 
F1y 
F1
y 
F2
y 
y 
x 
FX 
Fy F 
θ 
β 
𝑡𝑔(𝜃) =
6,60
1,59
 
𝑡𝑔(𝜃) = 4,151 
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(4,151) = 76,46° 
 
𝜃 + 𝛽 = 180º 
𝛽 = 180 − 74,34 = 103,5° 
 
𝐹 = √𝐹2𝑥 + 𝐹2𝑦 
𝐹 = √(−1,59)2 + (−6,60)2 
𝐹 = 6,79𝑘𝑁 
 
2.5. A força F = 900 N atua sobre a estrutura. Decomponha essa força nas 
componentes que atuam ao longo dos membros AB e AC, e determine a intensidade 
de cada componente. 
 
 
𝐹𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛(𝛽)
=
900
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
 
𝛼 = 30° 
90° = 45° + 𝜃 = 45° 
180° = 𝛼 + 𝜃 + 𝛽 = 105° 
𝐹𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛(105°)
=
900
𝑠𝑒𝑛(30°)
= 𝐹𝐴𝐵 = 1738,7 𝑁 
 
𝐹𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛(105°)
=
900
𝑠𝑒𝑛(30°)
= 𝐹𝐴𝐶 = 1272,8 𝑁 
. 
FAC 
45° 
45° 
β 
α
 
 β 
θ
 
 β 
FAB 
900 N 
 
2.31. Três cabos puxam um tubo de tal modo que geram uma força resultante com 
intensidade de 1800 N. S e dois dos cabos estiverem submetidos a forças conhecidas, 
como mostra a figura, determine o ângulo θ do terceiro cabo, de modo que a 
intensidade da força F neste cabo seja mínima. Todas as forças estão localizadas no 
plano x-y. Qual é a intensidade de F? Dica: Determine primeiro a resultante das duas 
forças conhecidas. 
 
𝐹1 = 200 𝑒 𝐹2 = 800 
𝐹𝑅1 = 𝐹1 + 𝐹2 
 
 
 
 
 
180° = 45° + 𝛼 + 30° = 105° 
𝐹𝑅 = √12002 + 8002 − 2 . 1200 . 800 . 𝑐𝑜𝑠105° 
𝐹𝑅 = 1605,28 𝑁 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
800 N 
30° 
45° 
1200 N 
𝐹𝑅1 
𝐹𝑅1 
30° 45° 
45° 
α 
𝑥′ 
𝑥 
y 
1200 N 
800 N 
𝐹𝑅1 θ 
α 
𝐹𝑅1 
y 
𝑥 𝜃 
30° 1200 N 800 N 
 
𝐹𝑅1 
 
1200 N 
800 N 
∅ 105° 
𝐹𝑅1 =
𝑠𝑖𝑛∅
1200
 
𝑠𝑖𝑛∅
1200
=
sin 105°
1605,28
= 46,22° 
∅ = 𝑠𝑖𝑛−1 [1200 .
𝑠𝑖𝑛105°
1605,28
] = 46,22° 
∅ = 𝜃 + 30° 
𝜃 = 46,22° − 30° = 16,2° 
 
𝐹𝑅 = 𝐹𝑅1 + 𝐹 
1800 = 1605,28 + 𝐹 
𝐹 = 194,72 𝑁 
2.50. As três forças aplicadas no suporte. Determine a faixa de valores para a 
intensidade da força P, de modo que a resultante das três forças não exceda 2400 N. 
 
𝐹𝑅𝑥 = 𝑃 + 800 . 𝑐𝑜𝑠60° − 3000 . 𝑐𝑜𝑠30° = 𝑃 − 2198,08 
𝐹𝑅𝑦 = 800 . 𝑠𝑖𝑛60° + 3000 . 𝑠𝑖𝑛30° = 2192,82 
 
𝐹𝑅 = √𝐹2𝑅𝑥 + 𝐹2𝑅𝑦 = √(𝑃 − 2198,08)2 + 2192,822 
 
O valor máximo de 𝐹𝑅 é 2400𝑁 
𝐹𝑅 ≤ 2400 
√(𝑃 − 2198,08)2 + 2192,822 ≤ 2400 
(𝑃 − 2198,08)2 + 2192,822 ≤ 24002 
(𝑃 − 2198,08)2 ≤ 24002 − 2192,822 
 
|(𝑃 − 2198,08)| ≤ √951540,44 
−975,47 ≤ (𝑃 − 2198,08) ≤ 975,47 
1222,6 ≤ 𝑃 ≤ 3173,5 
2.86. Determine o vetor posição r direcionado do ponto A ao ponto B e o comprimento 
da corda AB. Considere z= 4 m. 
 
 
𝐴(3,0,2)𝑚 
𝐵(0,6,4)𝑚 
→
𝑟
= (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)𝑖 + (𝑦𝐵 + 𝑦𝐴)𝑗 + (𝑧𝐵 − 𝑧𝐴)𝑘 
→
𝑟
= {−3𝑖 + 6𝑗 + 2𝑘}𝑚 
 
|
→
𝑟
| = √(−3)2 + (6)2 + (2)2 
|
→
𝑟
| = 7𝑚 
 
 
 
 
2.94. O lustre é sustentado por três correntes que são concorrentes no ponto O. S e 
a força resultante em O possui uma intensidade de 650 N e é direcionada ao longo 
do eixo z positivo, determine a força em cada corrente. 
 
𝐹𝑅𝑥 = 𝐹𝑅𝑦 = 0 
𝐹𝑅𝑧 = 650𝑁 
 
𝐹𝑅𝑧 = 𝐹𝐴𝑧 + 𝐹𝐵𝑧 + 𝐹𝐶𝑧 = 650 
 
𝐹𝑧 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝐹𝑅𝑧 = 𝐹𝐴𝑧 + 𝐹𝐵𝑧 + 𝐹𝐶𝑧 = 650 
𝐹𝑅𝑧 = (𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃) + (𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃) + (𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃) = 650 
3𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 = 650 
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
1,8
√1,82 + 1,22
 
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0,832 
 
𝐹 =
650
3(0,832)
 
𝐹 = 260,4𝑁 
 
 
 
𝜃 
1,8m 
z 
y 
1,2m 
F 
2.110. O cabo conectado aos mastros de uma grua exerce uma força sobre a grua de 
F= 1,75 kN. Expresse essa força como um vetor cartesiano. 
 
 
𝑥𝐵 = 15𝑠𝑖𝑛30° 
𝑥𝐵 = 7,5 𝑚 
𝑦𝐵 = 15𝑠𝑐𝑜𝑠30° 
𝑦𝐵 = 13 𝑚 
𝑧𝐵 = 0 𝑚 
 
𝐴(0,10,5) 𝑚 
𝐵(7,5, 13, 0) 𝑚 
 
𝑟 = (𝑥𝑓 − 𝑥𝑖)𝑖 + (𝑦𝑓 − 𝑦𝑖) + (𝑧𝑓 − 𝑧𝑖)𝑘 
𝑟𝐴𝐵 = {(7,5 − 0)𝑖 + (13 − 0)𝑗 + (0 − 10,5)𝑘} 
𝑟𝐴𝐵 = {7,5𝑖 + 13𝑗 − 10,5𝑘}𝑚 
 
|𝑟𝐴𝐵| = √(7,5)2 + (13)
2 + (−10,5)2 
|𝑟𝐴𝐵| = 18 𝑚 
 
𝑢 =
𝑟
|𝑟|
 
𝑢𝐴𝐵 =
(7,5𝑖 + 13𝑗 − 10,5𝑘)
18
 
 
𝐹 = |𝐹|𝑢 
𝐹 = |𝐹|𝑢𝐴𝐵 = 1,75𝑘𝑁 (
(7,5𝑖 + 13𝑗 − 10,5𝑘
18
) 
𝐹 = {0,72𝑖 + 1,26𝑗 − 1,02}𝑘𝑁 
 
2.123. Determine as intensidades das componentes da força F= 400 N que atuam 
na paralela e na perpendicular ao segmento BC do encanamento. 
 
 
 
𝐹 = 400(−𝑐𝑜𝑠45° 𝑠𝑒𝑛30°𝑖 + 𝑐𝑜𝑠45°𝑐𝑜𝑠30°𝑗 + 𝑠𝑒𝑛45°𝑘 
𝐹 = {−141,42𝑖 + 244,95𝑗 + 282,84𝑘}𝑁 
 
𝐹𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 = 𝐹. 𝑢𝐵𝐶 = (−141,42𝑖 + 244,95𝑗 + 282,84𝑘). (𝑗) 
𝐹𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 = (−141,42)(0) + (244,95)(1) + (282,84). (0) 
𝐹𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 = 244,95𝑁 
 
 
 
 
 
𝐹𝑝𝑒𝑟𝑝 = √𝐹2 − 𝐹2𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙 = √(400)2 − (244,95)2 
𝐹𝑝𝑒𝑟𝑝 = 316,23 𝑁 
 
 
 
 
B 
A 
C 
F 
O 
3.5. Se a massa do cilindro C é 40 kg, determine a massa do cilindro A, de modo a 
manter a montagem na posição mostrada. 
 
 
 
𝑇 = 𝑃𝑎 
 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝑃𝑐 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑃𝑎 = 0 
 
𝑚𝑏𝑔 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑚𝑎𝑔 = 0 
𝑚𝑐𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑚𝑎 = 0 
𝑚𝑐𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑚𝑎 
 
Substituindo: 
𝑚𝑎 = 40 . 𝑠𝑖𝑛30 
𝑚𝑎 = 40 .
1
2
 
𝑚𝑎 = 20 𝑘𝑔 
 
 
3.6. Determine atração nos cabos AB, BC e CD necessária para suportar o semáforo 
de 10 kg e 15 kg em B e C, respectivamente. Além disso determine o ângulo θ. 
 
𝐹𝐷 
𝑇 
𝑃𝑎 
𝑇 
𝑃𝑐 
30° 
 
 
 
 
 
∑𝑭𝒚 = 𝟎 
𝑇𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑃𝑏 = 0 
𝑇𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑚𝑎𝑔 = 0 
𝑇𝑎 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑚𝑎𝑔 
𝑇𝑎 =
𝑚𝑎𝑔
𝑠𝑒𝑛𝛼
 
 
Substituindo: 
𝑇𝑎 =
(10)(9,81)
𝑠𝑒𝑛15
 
𝑇𝑎 = 379 𝑁 
 
∑𝑭𝒙 = 𝟎 
𝑇 − 𝑇𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 0 
𝑇 = 𝑇𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛼 
 
Substituindo: 
𝑇 = (379) 𝑐𝑜𝑠 15 
𝑇 = 366 𝑁 
 
∑𝑭𝒙 = 𝟎 
𝑇𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑇 = 0 
𝑇𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑇 
𝑇𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 366 
𝑇𝑑 =
366
𝑐𝑜𝑠 𝜃
 
 
 
𝑇𝑎 
y 
X 
𝑃𝑏 
𝛼 = 15° 
𝑇 
y 
X 
𝑇 
𝑇𝑑 
𝑃𝑐 
𝜃 
∑𝑭𝒚 = 𝟎 
𝑇𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑃𝑐 = 0 
𝑇𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑃𝑐 
𝑇𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚𝑐𝑔 
𝑇𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = (15)(9,81) 
𝑇𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 147 
 
 
(
366
𝑐𝑜𝑠𝜃
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 147 
𝑡𝑔𝜃 =
147
366
 
𝑡𝑔𝜃 = 0,402 
𝜃 = 21,9° 
 
𝑇𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 147 
𝑇𝑑 𝑠𝑒𝑛 21,9° = 147 
𝑇𝑑 (0,373) = 147 
𝑇𝑑 = 
147
0,373
 
𝑇𝑑 = 394 𝑁 
 
3.7. O pendente de reboque AB está submetido à força de 50 kN exercida por um 
rebocador. Determine a força em cada um dos cabos de amarração, BC e DB, se o 
navio está se movendo para frente em velocidade constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑𝑭𝒙 = 𝟎 
𝑇𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑛 30° − 𝑇𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛 20° = 0 
𝑇𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑛 30° − 𝑇𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛 20° 
𝑇𝐵𝐶 =
𝑇𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛 20°
𝑠𝑒𝑛 30°
 
𝑇𝐵𝐶 =
(32,6)𝑠𝑒𝑛 20°
𝑠𝑒𝑛 30°
 
𝑇𝐵𝐶 = 22,3𝑘𝑁 
 
 
 
20° 30° 
𝑇𝐵𝐷 
𝑇𝐵𝐶 
𝑇𝐴𝐵 = 50kN 
y 
x 
∑𝑭𝒚 = 𝟎 
𝑇𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑇𝐵𝐷 𝑐𝑜𝑠 20° − 𝑇𝐴𝐵 = 0 
𝑇𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑇𝐵𝐷 𝑐𝑜𝑠 20° − 50 = 0 
 
(
𝑇𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛 20°
𝑠𝑒𝑛 30°
) cos 30° +𝑇𝐵𝐷 cos 20° − 50 = 0 
(
𝑇𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛 20°
𝑡𝑔 30°
) + 𝑇𝐵𝐷 𝑐𝑜𝑠 20° − 50 = 0 
𝑇𝐵𝐷 = (
𝑠𝑒𝑛 20°
𝑡𝑔 30°
+ cos 20°) = 50 
𝑇𝐵𝐷 =
50
(
𝑠𝑒𝑛 20°
𝑡𝑔 30° + cos 20°
)
 
𝑇𝐵𝐷 = 32,6𝑘𝑁 
 
 
3.21. Se a tração desenvolvida em cada um dos quatro fios não pode exercer 600 N, 
determine a maior massa do candelabro que pode ser suportada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐹𝑅𝑥 = 0 
𝐹𝑅𝑦 = 0 
𝐹𝑅𝑥 = 𝐹𝐶𝐷 . 𝐶𝑂𝑆30° − 𝐹𝐵𝐷 . 𝐶𝑂𝑆45° = 0 
𝐹𝑅𝑦 = 𝐹𝐶𝐷 . 𝑠𝑒𝑛30° + 𝐹𝐵𝐷 . 𝑠𝑒𝑛 45° − 𝑚 . 𝑔 = 0 
 
𝐹𝐶𝐷 . 𝑐𝑜𝑠30° − 𝐹𝐵𝐷 . 𝑐𝑜𝑠45° + 𝐹𝐶𝐷 . 𝑠𝑒𝑛30° + 𝐹𝐵𝐷 . 𝑠𝑒𝑛45° − 50 . 𝑔 = 0 
𝐹𝐶𝐷 . 𝑐𝑜𝑠30° − 𝐹𝐶𝐷 . 𝑠𝑒𝑛30° − 𝐹𝐵𝐷 . 𝑐𝑜𝑠 45° + 𝐹𝐵𝐷 . 𝑠𝑒𝑛 45° − 50 . 𝑔 = 0 
𝐹𝐶𝐷 . 𝑐𝑜𝑠30° + 𝐹𝐶𝐷 . 𝑠𝑒𝑛30° = 𝑚 . 𝑔 
𝐹𝐶𝐷 . (𝑐𝑜𝑠30° + 𝑠𝑒𝑛30°) = 𝑚 . 𝑔 
 
Considerando: 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠2 
𝐹𝐶𝐷 = 𝑚 .
𝑔
(𝑐𝑜𝑠30° + 𝑠𝑒𝑛 30°)
= 7,1814 . 𝑚 
 
Y 
X
 
𝐹𝐵𝐷
 Y 
𝐹𝐷𝐶
 Y 
D
 
P
 
45° 30° 
𝐹𝐶𝐷 . 𝑐𝑜𝑠30° − 𝐹𝐵𝐷 . 𝑐𝑜𝑠45° = 0 
𝐹𝐵𝐷 = 𝐹𝐶𝐷 .
𝑐𝑜𝑠30°
𝑐𝑜𝑠45°
= 7,1814 .𝑚 .
𝑐𝑜𝑠30°
𝑐𝑜𝑠45°
= 8,7954 .𝑚 
 
𝐹𝑅𝑦 = 𝐹𝐴𝐵 . 𝑠𝑒𝑛30° − 𝐹𝐵𝐷 . 𝑠𝑒𝑛45° = 0 
𝐹𝐴𝐵 . 𝑠𝑒𝑛30° = 𝐹𝐵𝐷 . 𝑠𝑒𝑛45° 
𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐵𝐷 .
𝑠𝑒𝑛45°
𝑠𝑒𝑛30°
= 8,7954 .𝑚 .
𝑠𝑒𝑛45°
𝑠𝑒𝑛30°
= 12,4386 .𝑚 
 
𝐹𝑅𝑥 = 𝐹𝐵𝐶 . 𝑐𝑜𝑠45° + 𝐹𝐵𝐷 . 𝑐𝑜𝑠45° − 𝐹𝐴𝐵 . 𝑐𝑜𝑠30° = 0 
𝐹𝐵𝐶 . 𝑐𝑜𝑠45° = 𝐹𝐴𝐵 . 𝑐𝑜𝑠30° − 𝐹𝐵𝐷 . 𝑐𝑜𝑠45° 
𝐹𝐵𝐶 =
𝐹𝐴𝐵 . 𝑐𝑜𝑠30° − 𝐹𝐵𝐷 . 𝑐𝑜𝑠45°
cos 45°
=
12,4386 .𝑚 . 𝑐𝑜𝑠30° − 8,7954 .𝑚 . 𝑐𝑜𝑠45°
𝑐𝑜𝑠45°
 
𝐹𝐵𝐶 = 4,5528 .𝑚 
 
𝐹𝐴𝐵 = 600 = 12,4386 .𝑚 
𝑚 =
600
12,4386
= 48,2𝑘𝑔 
3.35. O quadro tem um peso de 50 N e deve ser suspenso pelo pino liso B. se um 
cordão for amarrado ao quadro nos pontos A e C, a força máxima que o cordão pode 
suportar é 75 N, determine o cordão mais curto que pode ser usado com segurança. 
 
∑𝐹𝑥 = 0 
𝑇𝐶 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑇𝐴 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 
𝑇𝐶 =
𝑇𝐴 . 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
 
𝑇𝐶 = 𝑇𝐴 
∑𝐹𝑦 = 0 
−𝑇𝐴 . 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑇𝐶 . 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 50 = 0 
−𝑇𝐴 . 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑇𝐴 . 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 50 = 0 
−2.−𝑇𝐴 . 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 50 = 0 
𝜃 = 𝑠𝑒𝑛−1 (
50
2𝑇𝐴
) 
𝜃 = 𝑠𝑒𝑛−1 (
50
2 . 75
) 
𝜃 = 19,47° 
𝑐𝑜𝑠19,47° =
225
𝑙
2
 
𝑙 = (
225
𝑐𝑜𝑠19,47
) . 2 
𝑙 = 477,29𝑚𝑚 
3.42. Determine a massa de cada um dos dois cilindros se eles causam um 
deslocamento s = 0,5 m quando suspensos pelos anéis em A e B. Observe que s= 0 
quando os cilindros são removidos. 
 
 
Usando Pitágoras para os seguintes triângulos 
 
 
 
 
 
𝑇𝐴𝐶 = 100(2,828 − 2,5) = 32,84 𝑁 
𝐹𝑅𝑦 = 0 
𝐹𝑅𝑦 = 32,84 . 𝑠𝑒𝑛 45° − 𝑚 . 9,81 = 0 
𝑚 = 2,37 𝑘𝑔 
 
1,5 
C 
2 
C 
2 
2 
4.10. O cubo da roda pode ser conectado ao eixo com deslocamento negativo 
(esquerda) ou com deslocamento positivo (direita). Se o pneu está sujeito às cargas 
normal e radial conforme mostrado, determine o momento resultante dessas cargas 
em relação ao ponto 0 no eixo para os 2 casos. 
 
Para o componente horizontal da força, a distância até o braço do momento para 
ambos os casos será de: 
𝑦1,2 = 0,4𝑚 
Componente vertical da força será: 
𝑥1,2 = 0,5𝑚 
 
𝑀1 = −4000(0,05) + 800(0,4) 
𝑀1 = 120 𝑁 .𝑚 (𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖 − ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
 
𝑀2 = 4000(0,05) + 800(0,4) 
𝑀2 = 520 𝑁 . 𝑚(𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖 − ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜) 
 
4.23. Determine o momento mínimo produzido pela força F em relação ao ponto A. 
Especifique o ângulo θ=(0°≤ θ ≤180°). 
 
 
 
 
 
 
 
 
∅ = 𝑡𝑔−1 (
2
3
) = ∅ = 33,69° 
𝜃 = 180° − ∅ − 33,69° 
𝜃 = 146,31° 
𝑀𝐴 = 0 
4.26. A região do pé está sujeita à contração dos dois músculos plantarflexor. 
Determine o momento de cada força em relação ao ponto de contato A no chão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3m 
2m 
F=400N 
𝜃 
∅ 
100 mm 
60° 
70° 
30° 
𝐹1 
𝐹2 
87,5 mm 
25 mm 
A 
 
𝐹1𝑥 = 𝐹1 𝑠𝑒𝑛𝜃1 
𝐹1𝑦 = 𝐹1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 
 
𝐹2𝑥 = 𝐹2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 
𝐹2𝑦 = 𝐹2 𝑠𝑒𝑛𝜃2 
 
𝑀 = 𝐹𝑑 
𝑀𝐴1 = 𝐹1𝑦 (0,1125 𝑚) + 𝐹1𝑥 (0,1𝑚) 
𝑀𝐴1 = 𝐹1𝑐𝑜𝑠30° (0,1125 𝑚) + 𝐹1 𝑠𝑒𝑛 30° (0,1𝑚) 
𝑀𝐴1 = 100 𝑐𝑜𝑠30° (0,1125 𝑚) + 100 𝑠𝑒𝑛 30° (0,1𝑚) 
𝑀𝐴1 = 14,74 𝑁 . 𝑚 (ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜) 
𝑀𝐴2 = 𝐹2𝑥(0,1𝑚) + 𝐹2𝑦(0,0875𝑚) 
𝑀𝐴2 = 𝐹2 𝑐𝑜𝑠 70°(0,1𝑚) + 150 𝑠𝑒𝑛 70° (0,0875𝑚) 
𝑀𝐴2 = 150 cos 70° (0,1𝑚) + 150 𝑠𝑒𝑛 70°(0,0875 𝑚) 
𝑀𝐴2 = 17,46 𝑁.𝑚 (ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜) 
 
 
4.35. O carrinho de mão e seu conteúdo possuem uma massa de 50 kg e um centro 
de massa em G. Se o momento resultante produzido pela força F e o peso em relação 
ao ponto A deve ser igual a zero, determine a intensidade necessária da força F. 
 
 
𝐹𝑥 = 𝐹 . 𝑐𝑜𝑠 30° 
𝐹𝑦 = 𝐹 . 𝑠𝑒𝑛 30° 
‘ 
𝑀𝑂𝑝 = 𝐹𝑝 . 𝑦𝐺 
= −490,5 𝑁 . 0,3𝑚 
= −147,15 𝑁.𝑚 
 
𝑀𝑂𝑇 = 𝑀𝑂𝑥+𝑀𝑂𝑦+𝑀𝑂𝑝 
𝑀𝑂𝑇 = 𝐹 . 0,999 + 𝐹. 0,75 − 147,15 𝑁.𝑚 
𝐹 . 0,999 + 𝐹 . 0,75 − 147,15 𝑁 .𝑚 = 0 
𝐹 (0,999 + 0,75) = 147,15 
𝐹 =
147,15
1,749
= 84,13𝑁 
𝐹𝑝 = 𝑀.𝑔 
= 50𝑘𝑔 . 9,81
𝑚
𝑠2
 
= 490,5 𝑁 
 
𝑀𝑂𝑥 = 𝐹𝑥 . 𝑦 
= 𝐹 . cos 30° . (0,5 + 0,65) 
= 𝐹 . cos 30° . 1,15 
= 𝐹 . 0,999 
 
𝑀𝑂𝑦 = 𝐹𝑦 . 𝑥 
= 𝐹 . sen 30° . 1,15 
= 𝐹 . 0,75 
 
4.43. Determine o momento produzido por cada força em relação ao ponto O 
localizado na broca da furadeira. Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
 
 
𝐴 = {150 . 10−3, 300 . 10−3, 0} 
𝑂 = {0,0,0} 
𝑟𝐴 = {(𝑥𝑓 − 𝑥𝑖)𝑖 + (𝑦𝑓 − 𝑦𝑖)𝑗 + (𝑧𝑓 − 𝑧𝑖)𝑘} 
𝑟𝐴 = {(0,15 − 0)𝑖 + (0,3 − 0)𝑗 + (0 − 0)𝑘}𝑚 
𝑟𝐴 = {0,15𝑖 + 0,3𝑗 + 0𝑘}𝑚 
 
𝑟𝐵 = {0,600 . 10
−3, −150 . 10−3} 
𝑟𝐵 = {(𝑥𝑓 − 𝑥𝑖)𝑖 + (𝑦𝑓 − 𝑦𝑖)𝑗 + (𝑧𝑓 − 𝑧𝑖)𝑘} 
𝑟𝐴 = {(0 − 0)𝑖 + (0,6 − 0)𝑗 + (0,15 − 0)𝑘}𝑚 
𝑟𝐴 = {0𝑖 + 0,6𝑗 − 0,15𝑘}𝑚 
 
𝑀𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑟𝐴⃗⃗ ⃗ . 𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗ 
𝑀𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = |
𝑖 𝑗 𝑘
0,15 0,3 0
−400 −100 −60
| 
𝑀𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = {−18𝑖 + 9𝑗 − 3𝑘}𝑁.𝑚 
 
𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗ . 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ 
𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = |
𝑖 𝑗 𝑘
0 0,6 −0,15
−50 −120 60
| 
𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = {18𝑖 + 7,5𝑗 + 30𝑘}𝑁.𝑚 
 
 
4.47. A força F= {6i + 8j + 2k} N. m. Se a força passa por um ponto tendo uma 
coordenada x de 1 m, determine as coordenadas y e z do ponto. Além disso, 
observando que Mo = {-14i + 8j + 2k} N. m. Se a força passa por um ponto tendo uma 
coordenada x de 1 m, determine as coordenadas y e z do ponto. Além disso, 
observando que Mo =Fd, determine a distância d do ponto o à linha de ação de F. 
 
𝑀𝐴 = 𝑟𝑎 . 𝐹 
𝑀𝑂 = 𝑟𝑜 . 𝐹 → [−14𝑖 + 8 + 2𝑘] = (
𝑖 𝑗 𝑘
1 𝑦 𝑧
6 81 10
) 
−14𝑖 + 8𝑗 + 2𝑘 = (10𝑦 − (8𝑧))𝑖 + (6𝑧 − (10))𝑗 + (8 − (6𝑦))𝑘 
−14 = 10𝑦 − 8𝑧 
8 = −10 + 6𝑧 
2 = 8 − 6𝑦 
𝑦 = 1𝑚 
𝑧 = 3𝑚 
 
𝐹 = √62 + 82 + 102 → 𝐹 = 14,4𝑁 
𝑀𝑂 = √(−14)2 + 82 + 22 → 𝑀𝑂 = 16,25 𝑁𝑚 
𝑑 =
16,25
14,14
 → 𝑑 = 1,15𝑚 
 
4.59. O atrito na luva A pode fornecer um momento de resistência máximo de 125 
N.M em relação ao eixo x, determine a maior intensidade da força F que pode ser 
aplicada no braço de modo que ele não gire. 
 
 
𝐹𝑦 = 𝐹 . 𝑐𝑜𝑠60° 
𝐹𝑧 = 𝐹 . 𝑐𝑜𝑠45° 
𝑑𝑧 = 0,3 
𝑑𝑦 = 0,1 
 
𝑀𝑥 = −𝐹𝑦𝑑𝑦 + 𝐹𝑧𝑑𝑧 
⇒ 125 = −𝐹 . 𝑐𝑜𝑠60° . 0,1 + 𝐹 . cos 45° . 0,3 
⇒ 125 = −𝐹(−𝑐𝑜𝑠60° . 0,1 + 𝑐𝑜𝑠45° . 0,3 
⇒ 125 = 𝐹(−0,05 + 0,212 
⇒ 125 = 𝐹(0,162) 
⇒ 𝐹 = 771,6𝑁 
4.63. A estrutura na forma de um A está sendo suspensa para uma posição ereta pela 
força vertical F= 400 N. Determine o momento dessa força em relação ao eixo y’ 
passando pelos pontos A e B quando a estrutura está na posição mostrada. 
 
 
𝑀0 = 𝑢𝑎⃗⃗ ⃗⃗ . (𝑟 . 𝐹 ) = [
𝑢𝑎𝑥′ 𝑢𝑎𝑦′ 𝑢𝑎𝑧
𝑟𝑥′ 𝑟𝑦′ 𝑟𝑧
𝐹𝑥′ 𝐹𝑦′ 𝐹𝑧
] 
𝑟 = {−2𝑐𝑜𝑠15°𝑖′ + 1𝑗′ + 2𝑠𝑒𝑛15°𝑘} 
= {−1,93𝑖′ + 1𝑗′ + 0,51𝑘} 
�⃗� = −𝑠𝑒𝑛30°𝑖′ + 𝑐𝑜𝑠30° 𝑗′ 
= −0,5𝑖 + 0,86𝑗′ 
𝑀0 = 𝑢𝑎⃗⃗ ⃗⃗ . (𝑟 . 𝐹 ) = [
𝑢𝑎𝑥′ 𝑢𝑎𝑦′ 𝑢𝑎𝑧
𝑟𝑥′ 𝑟𝑦′ 𝑟𝑧
𝐹𝑥′ 𝐹𝑦′ 𝐹𝑧
] 
= [
−0,5 0,86 0
−1,93 1 0,51
0 0 400
] 
= −0,5[1. 400 − (0,51 . 0)] − 0,86[−1,93 . 400 − (0,51 . 0)] + 0[−1,93 . 0 − (1 . 0)] 
= −0,5(400 − 0) − 0,86(−772 − 0) + 0(0 + 0) 
= −200 + 663,92 = 463,92𝑁 .𝑚 
4.67. Se um torque ou momento de 10 N.m é necessário para afrouxar o parafuso em 
A, determine a força P que precisa ser aplicada perpendicularmente ao cabo da chave 
de boca articulável. 
 
 
r 
Z 
Y 
X 
 
𝑀0 = 𝐹𝑑 
𝑑𝑥 = 0,02 + 0,25 . 𝑐𝑜𝑠30° 
= 0,02 + 0,2165 = 0,2365 
 
𝑀𝑧 = 𝐹𝑥𝑑𝑥 
⇒ 10 = 𝐹 . 0,2365 
⇒ 𝐹 =
10
0,2365
= 42,28 𝑁 
 
 
4.74. O rodízio está sujeito aos dois binários. Determine as forças F que os rolamentos 
exercem sobre o eixo de modo que o momento de binário resultante sobre o rodízioseja zero. 
𝑂 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑭 𝑒𝑠𝑡á 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 ℎó𝑟á𝑟𝑖𝑜, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑖𝑠𝑠𝑜 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑜 
𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠. 
𝑀 = 𝐹. 𝑑 
𝑑1 = 0,04𝑚 
𝑀1 = 𝐹𝑑1 = 0,04𝐹 
𝑑2 = 0,05 𝑚 
𝑀2 = −0,05 . 500 
𝑀𝑅 = 𝑀1 + 𝑀2 
0 = 𝐹(0,04) − 500(0,05) 
F 
M 
F 
⇒ 0 = −25 + 0,04𝐹 
⇒ 0,04𝐹 = 25 
⇒ 𝐹 = 625𝑁 
4.86. Dois binários agem sobre o suporte da viga, Se F = 6 kN, determine o momento 
de binário resultante. 
 
𝑀 = 𝐹. 𝑑 
𝑀 = −𝐹𝑠𝑒𝑛30°(3) − (−𝐹𝑐𝑜𝑠30°(1)) + 5 (
4
5
) (3) − 5 (
3
5
) (1) 
𝑀 = −6 𝑠𝑒𝑛30°(3) + 6 𝑐𝑜𝑠30°(1) + 5 (
4
5
) (3) − 5 (
3
5
) (1) 
𝑀 = −9 + 5,19 + 12 − 3 
𝑀 = 5,19 𝑘𝑁 . 𝑚 
4.99. Determine a distância d entre A e B tal que o momento de binário resultante 
tenha uma intensidade de MR =20 N . m. 
 
�⃗⃗� = 𝑟 . 𝐹 
𝐵 = (50,−𝑑𝑐𝑜𝑠30°, 𝑑𝑠𝑒𝑛30°) 
𝐴 = (50,0,0) 
𝑟1⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (50,−𝑑𝑐𝑜𝑠30°, 𝑑 𝑠𝑒𝑛30°) − (50,0,0) = (0,−𝑑𝑐𝑜𝑠30°, 𝑑 𝑠𝑒𝑛30°) 
𝑟1⃗⃗⃗ = −𝑑𝑐𝑜𝑠30°𝑗̂ + 𝑑 𝑠𝑒𝑛30°�̂� 
𝑟 2 = 𝐶 − 𝐴 = ((300,−𝑑𝑐𝑜𝑠30°, 𝑑 𝑠𝑒𝑛30°) − (50,0,0) = (250,−𝑑𝑐𝑜𝑠30°, 𝑑 𝑠𝑒𝑛30°) 
𝑟2⃗⃗ ⃗ = (250𝑖̂ − 𝑑𝑐𝑜𝑠30°𝑗̂ + 𝑑𝑠𝑒𝑛30°�̂�) 
 
𝑀1⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−𝑑𝑐𝑜𝑠30°𝑗̂ + 𝑑𝑠𝑒𝑛30°�̂�).(𝐹1�̂�) = −𝐹1𝑑𝑐𝑜𝑠30°𝑖̂ 
�⃗⃗� 2 = 250𝑖̂ − 𝑑𝑐𝑜𝑠30°𝑗̂ + 𝑑𝑠𝑒𝑛30°�̂� . (−𝐹2𝑖̂) = 𝐹2𝑑(−𝑐𝑜𝑠30°�̂� − 𝑠𝑒𝑛30°𝑗̂ 
 
�⃗⃗� = 𝑀1⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑀2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = −𝑑(𝐹1𝑐𝑜𝑠30°𝑖̂ + 𝐹2𝑠𝑒𝑛30°𝑗̂ + 𝐹2𝑐𝑜𝑠30°�̂�) 
= 𝑑√(𝐹1𝑐𝑜𝑠30°)2) + (𝐹2𝑠𝑒𝑛30°)2 + (𝐹2𝑐𝑜𝑠30°)2 
𝑀 = 𝑑√(𝐹1𝑐𝑜𝑠30°)2 + (𝐹2)2 
𝑑 =
𝑀
√(𝐹1𝑐𝑜𝑠30°)2 + (𝐹2)2
 
Substituindo 𝑀 = 20𝑁 . 𝑚, 𝐹1 = 35 𝑁𝑒𝐹2 = 50𝑁, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 
𝑑 =
20
√352.
3
4 + 50
2
≈ 0,342𝑚𝑚 
 
4.110. Substitua o sistema de forças e momentos de binário que agem sobre a viga 
por uma força e momento de binário resultante no ponto A. 
 
𝐹1⃗⃗ ⃗ = 26000 {
5
13
𝑖̂ −
12
13
𝑗̂} 𝑁 = {10000𝑖̂ − 24000𝑗̂} 𝑁 
𝐹2⃗⃗ ⃗ = 30000{−𝑠𝑒𝑛30°𝑖̂ − 𝑐𝑜𝑠30°𝑗̂}𝑁 = {−15000𝑖̂ − 25980𝑗̂}𝑁 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝐹1⃗⃗ ⃗ + 𝐹2⃗⃗ ⃗ 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = {(10000 − 15000)𝑖̂ + (−24000 − 25980)𝑗̂}𝑁 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = {−5000𝑖̂ − 49980𝑗̂}𝑁 
�⃗⃗� = 𝑟 . 𝐹 
𝑟1⃗⃗⃗ = {6𝑖̂ + 0,3𝑗̂}𝑚 
𝑟2⃗⃗ ⃗ = {2𝑖̂ + 0,3𝑗̂}𝑚 
 
𝑀1⃗⃗⃗⃗ ⃗ = {6𝑖̂ + 0,3𝑗̂} . {10000𝑖̂ − 24000𝑗̂}𝑁.𝑚 = {−147000�̂�}𝑁.𝑚 
𝑀2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = {2𝑖̂ + 0,3𝑗̂} . {15000𝑖̂ − 25980𝑗̂}𝑁.𝑚 = {−47460�̂�}𝑁.𝑚 
�⃗⃗� = {−45000�̂�}𝑁.𝑚 
𝑀𝑅𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = {(−147000 − 47460 − 45000)�̂�}𝑁.𝑚 = {−239460�̂�} 𝑁.𝑚 
4.111. Substitua o sistema de forças por uma força e momento de binário resultante 
no ponto O. 
 
𝐹1⃗⃗ ⃗ = 500 {
3
5
𝑖̂ +
4
5
𝑗̂} 𝑁 = {300𝑖̂ + 400𝑗̂}𝑁 
𝐹2⃗⃗ ⃗ = {200𝑖̂}𝑁 
𝐹3⃗⃗ ⃗ = {−200𝑖̂}𝑁 
𝐹4⃗⃗ ⃗ = {750𝐽}𝑁 
 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝐹1⃗⃗ ⃗ + 𝐹2⃗⃗ ⃗ + 𝐹3⃗⃗ ⃗ + 𝐹4⃗⃗ ⃗ 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = {(300 + 200 − 200)𝑖̂ + (400 − 750)𝑗̂}𝑁 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = {300𝑖̂ − 350𝑗̂}𝑁 
𝑀1 = 750 . 1,25 = 937,5 𝑁 .𝑚 
𝑀2 = 200 . 1 = 200 𝑁.𝑚 
𝑀3 = 300 . 1 = 300 𝑁.𝑚 
𝑀4 = −400 . 2,5 = −1000 𝑁.𝑚 
 
𝑀 = 937,5 + 200 + 300 − 1000 = 437,5 𝑁.𝑚 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = {300𝑖̂ − 350𝑗̂}𝑁 
𝑀 = 437,5 𝑁.𝑚 
4.114. As três forças atuam no encanamento. Se F1 = 50 N e F2 = 80 N, substitua 
esse sistema de forças por uma força e momento de binário resultante equivalente 
agindo em O. Expresse o resultado na forma do vetor cartesiano. 
 
𝐹1⃗⃗ ⃗ = {50�̂�}𝑁 
𝐹2⃗⃗ ⃗ = {−80�̂�}𝑁 
𝐹3⃗⃗ ⃗ = {−180�̂�}𝑁 
 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝐹1⃗⃗ ⃗ + 𝐹2⃗⃗ ⃗ + 𝐹3⃗⃗ ⃗ + 𝐹4⃗⃗ ⃗ 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = {(50 − 80 − 180)�̂�}𝑁 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = {−210�̂�}𝑁 
�⃗⃗� = 𝑟 . 𝐹 
𝑟1⃗⃗⃗ = {2𝑖̂ + 0,5𝑗̂}𝑚 
𝑟2⃗⃗ ⃗ = {1,25𝑖̂ + 0,5𝑗̂}𝑚 
𝑟3⃗⃗ ⃗ = {1,25𝑖̂}𝑚 
 
𝑀1⃗⃗⃗⃗ ⃗ = {2𝑖̂ + 0,5𝑗̂}. {50�̂�}𝑁.𝑚 = {−100𝑗̂ + 25𝑖̂}𝑁.𝑚 
𝑀2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = {1,25𝑖̂ + 0,5𝑗̂}. {80�̂�}𝑁.𝑚 = {100𝑗̂ + 40𝑖̂}𝑁.𝑚 
𝑀3⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = {1,25𝑖̂}. {−180�̂�}𝑁.𝑚 = {225𝑗̂}𝑁.𝑚 
𝑀𝑅𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = {(25 − 40)𝑖̂ + (−100 + 100 + 225)𝑗̂}𝑁 .𝑚 
𝑀𝑅𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = {−15𝑖̂ + 225𝑗̂}𝑁.𝑚 
4.115. As forças F1 e F2 são aplicadas, nas manoplas da furadeira elétrica. Substitua 
esse sistema de forças por uma força em momento de binário resultante equivalente 
agindo em O. Expresse o resultado na forma do vetor cartesiano. 
 
𝐹1⃗⃗⃗⃗ = {6�̂� − 3�̂� − 10�̂�}𝑁 
𝐹2⃗⃗⃗⃗ = {2�̂� − 4�̂�}𝑁 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝐹1⃗⃗⃗⃗ + 𝐹2⃗⃗⃗⃗ 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = {6�̂� + (−3 + 2)�̂� + (−10 − 4)�̂�}𝑁 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = {6�̂� − �̂� − 14�̂�}𝑁 
 
�⃗⃗� = 𝑟 ⃗⃗ . 𝐹 
𝑟1⃗⃗⃗ = {0,15𝑖̂ + 0,3�̂�}𝑚 
𝑟2⃗⃗ ⃗ = {−0,25𝑗̂ + 0,3�̂�}𝑚 
𝑀1⃗⃗⃗⃗ ⃗ = {0,15𝑖̂ + 0,3�̂�}. {6𝑖̂ − 3𝑗̂ − 10�̂�}𝑁 . 𝑚 = {0,9𝑖̂ + 3,3𝑗̂ − 0,45�̂�} 
𝑀2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = {0,25𝑗̂ + 0,3�̂�}. {2𝑗̂ − 4�̂�}𝑁 . 𝑚 = {0,4𝑖̂}𝑁 .𝑚 
𝑀𝑅𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = {(0,9 − 0,4)𝑖̂ + 3,3𝑗̂ − 0,45�̂�}𝑁 .𝑚 
𝑀𝑅𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = {1,3𝑖̂ + 3,3𝑗̂ − 0,45�̂�}𝑁.𝑚