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RELATÓRIO III: CIRCUITO RLC COM ONDA QUADRADA
Campo Grande/MS
Setembro de 2021
SUMÁRIO
OBJETIVOS	3
I-INTRODUÇÃO TEÓRICA	4
II-MATERIAIS E MÉTODOS	7
II.1 – Constante de tempo e frequência de oscilação do circuito RLC	7
II.2 – Transição do regime subcrítico para o crítico	8
II.3 – Transição do regime subcrítico para o supercrítico	8
III-RESULTADOS E DISCUSSÕES	9
III.1- Constante de tempo e frequência de oscilação do circuito RLC	9
III.2- Transição do regime subcrítico para crítico	11
III.3- Transição do regime subcrítico para supercrítico	13
IV-CONCLUSÃO	14
V-REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS	15
OBJETIVOS
	O objetivo desta prática é o estudo do comportamento da voltagem em um capacitor, no domínio do tempo, num circuito RLC (resistor-indutor-capacitor) em série alimentado por uma fonte de corrente contínua de forma pulsada (onda quadrada) sob diferentes condições de amortecimento.
a velocidade do som e como ocorre a propagação do pulso longitudinal sobre a barra 
de metal
I-INTRODUÇÃO TEÓRICA
As ondas mecânicas são uma perturbação que se propaga em um meio 
elástico, ou seja, a propagação da onda em um meio material acontece por meio da 
propagação da energia da onda por meio das vibrações das partículas constituintes 
do meio. Na propagação das ondas mecânicas ocorre o transporte de dois tipos de 
energia: energia cinética e potencial. 
Uma onda mecânica é chamada de longitudinal, quando as vibrações das 
ondas são paralelas à direção de propagação. Por ser uma onda longitudinal, seu som 
se propaga por meio de pequenas variações do meio material. Uma onda é transversal 
somente quando produz vibrações que são perpendiculares à direção de propagação. 
Em um solido as perturbações podem fazer, não somente as ondas longitudinais e 
transversais, mas também as ondas de torção. 
São as propriedades de inércia e de elasticidade do meio material que vão 
definir a velocidade em que a onda mecânica vai se propagar. Essa elasticidade do 
meio que vai dar o início as forças restauradoras, já a inércia define como o meio 
material vai responde essas forças. 
Dependendo do meio material a velocidade do som varia, se propagando mais 
rápido ou mais lento. De modo geral, a velocidade do som se propaga de forma mais 
eficaz em sólidos do que em líquidos, e se propaga de maneira mais eficaz em líquidos 
do que em gases. A temperatura em que o meio se encontra também interfere na 
velocidade do som. 
Quando se solta uma barra verticalmente, pode-se ver que essa barra “pula” 
ao atingir o solo, ou seja, quando ela é solta e se choca contra o piso, ocorre um pulso 
de compressão em sua parte inferior. Como o pulso se propaga pela barra acaba 
atingindo sua parte superior, e assim é refletido, retornando à sua parte inferior. 
Quando esse pulso atinge a parte inferior da barra, acaba que restaurando a forma 
original dela, por isso, ela exerce uma força sobre o piso. Então o piso acaba 
exercendo uma força sobre a barra, fazendo assim a barra saltar para cima
As ondas mecânicas são uma perturbação que se propaga em um meio 
elástico, ou seja, a propagação da onda em um meio material acontece por meio da 
propagação da energia da onda por meio das vibrações das partículas constituintes 
do meio. Na propagação das ondas mecânicas ocorre o transporte de dois tipos de 
energia: energia cinética e potencial. 
Uma onda mecânica é chamada de longitudinal, quando as vibrações das 
ondas são paralelas à direção de propagação. Por ser uma onda longitudinal, seu som 
se propaga por meio de pequenas variações do meio material. Uma onda é transversal 
somente quando produz vibrações que são perpendiculares à direção de propagação. 
Em um solido as perturbações podem fazer, não somente as ondas longitudinais e 
transversais, mas também as ondas de torção. 
São as propriedades de inércia e de elasticidade do meio material que vão 
definir a velocidade em que a onda mecânica vai se propagar. Essa elasticidade do 
meio que vai dar o início as forças restauradoras, já a inércia define como o meio 
material vai responde essas forças. 
Dependendo do meio material a velocidade do som varia, se propagando mais 
rápido ou mais lento. De modo geral, a velocidade do som se propaga de forma mais 
eficaz em sólidos do que em líquidos, e se propaga de maneira mais eficaz em líquidos 
do que em gases. A temperatura em que o meio se encontra também interfere na 
velocidade do som. 
Quando se solta uma barra verticalmente, pode-se ver que essa barra “pula” 
ao atingir o solo, ou seja, quando ela é solta e se choca contra o piso, ocorre um pulso 
de compressão em sua parte inferior. Como o pulso se propaga pela barra acaba 
atingindo sua parte superior, e assim é refletido, retornando à sua parte inferior. 
Quando esse pulso atinge a parte inferior da barra, acaba que restaurando a forma 
original dela, por isso, ela exerce uma força sobre o piso. Então o piso acaba 
exercendo uma força sobre a barra, fazendo assim a barra saltar para cima
Estudando o comportamento da voltagem em circuitos RC e RL, quando alimentados com uma fonte de onda quadrada, pôde-se observar que o capacitor e o indutor têm comportamentos opostos quando um transiente positivo de tensão é aplicado. A voltagem no capacitor (inicialmente descarregado) inicialmente é zero e vai aumentando à medida que o tempo passa, enquanto que a voltagem no indutor começa com o valor máximo e vai caindo à medida que o tempo passa. A taxa com que a voltagem (ou a corrente) varia em cada circuito depende da constante de tempo do circuito. O estudo a seguir refere-se ao que se passa quando colocamos um resistor, um capacitor e um indutor em série em um circuito como o mostrado na Figura 1 abaixo. 
Figura 1- Circuito: resistor(R), indutor (L) e capacitor (C) em série.
Fonte: Retirado do roteiro do professor.
No instante que a chave é posicionada na posição “A”, uma voltagem VB é aplicada ao circuito e quando a chave é posicionada na posição “B”, a fonte é desconectada. Neste caso, as cargas se movem usando a energia que foi armazenada no indutor e no capacitor quando a fonte estava ligada. Quando a chave é colocada na posição “A”, pela Lei das Malhas a conservação de energia é dada pela Equação 1:
 (1)
Substituindo-se i = dq/dt, obtemos a Equação 2:
 = VB (2)
A solução geral dessa equação diferencial é a solução qh da equação homogênea associada, somada a uma solução particular qp da equação completa, ou seja:
 (3)
A solução particular da Equação 2 é qp = aVB, que ao ser substituída na Equação 2 leva a a = C, ou seja:
 (4)
A equação homogênea associada à equação diferencial descrita na Equação 2 é:
 = 0 (5) 
Para encontrarmos a solução da equação diferencial representada pela Equação 5, observemos que ela envolve funções cujas derivadas primeira e segunda são proporcionais a elas mesmas. As funções que satisfazem a essas condições são a função exponencial e as funções seno e cosseno. Como podemos representar as funções seno e cosseno por exponenciais complexas, vamos supor uma solução geral do tipo, dado pela Equação 6:
, (6)
onde b e r são constantes, de forma que:
, (7)
e:
 (8) 
Assim, para que a equação diferencial descrita na Equação 5 seja satisfeita devemos ter: 
, (9)
Onde:
, (10)
e
, (11)
Resolvendo a Equação 9 encontramos parar os seguintes valores:
 (12)(13)
Temos, com isso, três regimes diferentes de soluções:
a) Regime supercrítico: neste caso >0 e a solução corresponde à soma de duas exponenciais que decaem com o tempo. 
b) Regime crítico: neste caso =0 e a solução corresponde à soma de uma exponencial que decai com o tempo (t) e uma função linear em t. 
c) Regime subcrítico: neste caso <0, as raízes r1 e r2 são complexas, a solução corresponde a oscilações amortecidas. Para o caso subcrítico podemos escrever a solução geral da Equação 2 como:
 (14)
com e:
 (15)
Apenas no regime subcrítico oscilações são observadas no sistema. Na Equação 14 o termo CVB corresponde ao valor da carga para um tempo muito grande e, portanto, podemos associá-lo à carga máxima que o capacitor pode acumular. As constantes c1 e c2 são determinadas a partir das condições iniciais do problema (t=0), por exemplo, q (t=0)= 0 e i(t =0) = 0. Para t ⟶ ∞ , podemos escrever q = CVB. Tomando a parte real da Equação 14 e substituindo as condições iniciais, a solução da equação diferencial pode ser escrita como:
 (16)
Como a voltagem VC no capacitor é proporcional à carga, podemos escrever:
 (17)
A Equação 16 nos mostra que a carga no capacitor é composta de duas partes. Uma parte oscilante, que é chamada de transiente (ou transitório), cuja frequência f’ = ω’/2 é aproximadamente a frequência de ressonância do circuito, que é modulada por uma função exponencial decrescente, que tende a zero. A outra parte é fixa, que é a carga que o capacitor terá após cessado o efeito do transiente. Novamente, para observarmos as oscilações no regime subcrítico devemos usar um gerador de sinais, que ao invés de gerar uma voltagem no circuito variando de 0V a VB, como assumimos em toda a discussão do problema, gera uma onda quadrada com amplitude variando de –V0 a V0. O efeito dessa mudança altera a condição inicial do problema. A nova condição inicial para a carga do capacitor quando o circuito é chaveado para a posição “B” passa a ser q(t =0) = - CV0 e não “zero”, como assumimos na discussão anterior. Isto faz com que a solução descrita pelas Equações 16 e 17 seja modificada para:
 (18)
e
 (19)
Assim a parcela da carga total que oscila no tempo, nos pontos de máximo ou mínimo da função “cosseno”, é dada em módulo por:
 (20)
onde qo =2CV0 e os instantes de tempo tn são aqueles que fazem cos( ω’tn)= 1, ou seja:
 (21)
com: 
 (22)
T’ é o período das oscilações da voltagem no capacitor. Assim, para os instantes de tempo tn, podemos escrever:
|𝐕𝐂(𝐭𝐧)| = 𝚫𝐕𝐞-𝛂𝐭𝐧, (23)
com ΔV = 2Vo.
II-MATERIAIS E MÉTODOS 
	O Estudo foi realizado em três etapas, utilizando o simulador de circuitos elétricos LTSpice, ver. XVII, de licença gratuita. Para as montagens experimentais, objeto do estudo do comportamento do um circuito RLC (resistor-indutor-capacitor) alimentado por uma fonte de corrente contínua de forma pulsada (onda quadrada), utilizou-se um resistor, e variou-se a resistência em cada etapa de estudo, um indutor de indutância, L= 2,32mH, um capacitor de capacitância, C=10nF, o gerador de sinais, com amplitude de -12V a 12V, com um tempo entre mínimo e máximo de tensão de 1µs, estável por 3ms e um período de 3ms.
	Calculou-se a constante de amortecimento, αteórico, obtido como previsto pela Equação 10, , substituindo os valores temos: 
 = 2155,17 ± 0,01 Ns/m (i)
Materiais
· Resistores 100 Ω;
· Indutor de 2,32mH;
· Capacitor de 10nF;
· Potenciômetro
Metodologia
II.1 – Constante de tempo e frequência de oscilação do circuito RLC
a) Construiu-se a montagem experimental, em simulador, de um circuito RLC em série, conforme Figura 2, utilizando um resistor de resistência, R= 100.
Figura 2-Circuito RLC em série, usando gerador de sinais, com resistor, R = 100Ω, indutor, L = 2,32mH e capacitor, C = 10nF, para estudo da tensão no capacitor, VC, em função do tempo.
Fonte: Próprio autor utilizando software gratuito pelo site Multisim.com
b) Selecionou-se um gerador de tensão pulsada e executou o simulador para um tempo de 3ms, suficiente para um semiperíodo com cerca de 10 picos de amplitude de oscilação de tensão no capacitor, maiores que 4V. 
c) Com a função osciloscópio clicou-se no ramo do gerador até terra, sendo apresentado pelo simulador a tensão no gerador.
d) Posteriormente mediu-se com o osciloscópio sobre o ramo do capacitor até terra, sendo apresentado as curvas de carga e descarga do capacitor.
e) Foram exportados os dados e, a partir deles, construído um gráfico em escala linear da tensão no capacitor, VC, em função do tempo, t, e comparado se o comportamento obtido corresponde ao previsto pela Equação 19.
f) A partir do gráfico II.1.e, construiu-se um gráfico em escala linear dos módulos das amplitudes máximas em função dos respectivos tn, e verificado se o comportamento está de acordo com a Equação 23. Foi determinado o valor da constante da Equação 23, e comparado com o valor da constante de amortecimento, , obtido pela Equação 10 com valores de R, L e C dados a partir das características dos componentes. 
g) A partir do gráfico obtido no item II.1.e, determinou-se o período de oscilação, T, da curva de tensão do capacitor em função do tempo. E a partir deste valor determinou-se a frequência angular, =2/T(rad/s), comparando com o valor previsto pela Equação 15.
h) Determinou-se o valor da oscilação natural do circuito o pela Equação 11, utilizando os valores de R, L e C para o regime subcrítico.
i) Comparou-se os valores das frequências de oscilação obtidos nos itens II.1.g e II.1.h;
II.2 – Transição do regime subcrítico para o crítico 
a) Utilizando o mesmo circuito da Figura 2, migrando o circuito de um regime subcrítico para o regime critico de amortecimento, foram reajustados os valores de resistência para as seguintes condições, α = ωo/4, α = ωo/2 e α = ωo.
b) A partir dos dados exportados do simulador LTSpice, das reconfigurações, construiu-se um gráfico das respectivas curvas, e discutidos os comportamentos no item III.2 deste.
II.3 – Transição do regime subcrítico para o supercrítico 
a) Utilizando o mesmo circuito da Figura 2, migrando o circuito de um regime subcrítico para o regime supercrítico de amortecimento, sendo reajustado o valor de resistência para a seguinte condição, α = 2ωo.
b) A partir dos dados exportados do simulador LTSpice, construiu-se um gráfico da respectiva curva, e discutido o comportamento da tensão no capacitor no item III.3 deste relatório para os regimes crítico (α=ωo) e supercrítico (α =2ωo).
III-RESULTADOS E DISCUSSÕES
III.1- Constante de tempo e frequência de oscilação do circuito RLC
	Á partir da configuração construída em ambiente simulado, da Figura 2, com o software LTSpice, obteve-se o as curvas de tensão no gerador e no capacitor conforme a Figura 3, referente a um período de oscilação completo do circuito RLC:
Figura 3- Representação das curvas da tensão, do gerador de sinais, Vg, e da tensão no capacitor, VC, por um período completo.
Fonte: Próprio autor utilizando software gratuito LTSpice. (LTspice®)
A partir dos dados exportados pelo simulador, construiu-se um gráfico da relação da tensão no capacitor, Vc, e do gerador, Vg em função do tempo, t(ms), para o estudo do comportamento do circuito RLC no regime de oscilação subcrítico, conforme Figura 4.
 (
Figura 
4
-Tensão no 
capacitor
, V
C
, e no gerado
r
 de sinais, V
g
, em função do tempo
, t,
 por um 
semi
período de oscilação.
) 
 (
Fonte: 
Próprio autor, utilizando software Origin.
)
A Figura 4 mostra um aspecto muito interessante, próprio de circuitos RLC operando em regime subcrítico. À medida que o capacitorse descarrega, parte de sua energia é transferida para o indutor e parte é dissipada pelo resistor. Depois que o capacitor é completamente descarregado, o indutor descarrega a energia armazenada no ciclo anterior, carregando novamente o capacitor e dissipando parte dessa energia através do resistor. Dessa forma, temos uma transferência periódica de energia entre o capacitor e o indutor, que é amortecida pelo resistor. A Figura 4 mostra, portanto, todas as características do comportamento descrito pela Equação 19.
A partir do gráfico da Figura 4, construiu-se um gráfico em escalar linear dos módulos das amplitudes máximas, |Vc(tn)|, em função dos respectivos tempos, tn, conforme Figura 5, para o estudo do comportamento e determinação constante de amortecimento, . 
 (
Figura 
5
 
–
 
Amplitude máxima de oscilação, V
c
(t
n
), em função do tempo, t
n
.
)
 (
Fonte: 
Próprio autor
 utilizando software Origin
.
)
A onda quadrada corresponde à excitação do circuito. Durante um certo tempo a carga do capacitor mostra um comportamento oscilante que decai exponencialmente. Após esse tempo, o circuito sai do regime transitório e entra no regime permanente, com o capacitor carregado com o valor máximo de carga, justamente o comportamento apontado pela Equação 23, para cada instante de tempo, tn.
A Figura 5 nos permite observar um comportamento de decaimento exponencial com o tempo, ou seja, a amplitude máxima decai com o tempo. Pela regressão exponencial obtivemos a Equação 24 que representa a melhor curva dos dados experimentais, como pode ser observado:
 (24)
Tomando que a equação é do tipo , temos pela Equação 24 que:
t = 6,6·10-4s (ii)
A determinação experimental de α pode ser feito usando-se os mesmos métodos empregados para a determinação dos tempos de decaimento de circuitos RC e RL, quando = 1/, portanto temos que a constante de amortecimento é:
 = 1,52·103 Ns/m (iii)
Considerando o valor de referência, (i), de 1,53·103 Ns/m, obteve-se um valor com erro associado para (iii), 
E(%) = ×100= 0,65% (iv)
A diferença de (iv) para o valor teórico é aceitável mesmo pra uma simulação, por ter intervalos de tempo muito pequenos, da ordem de 10-3s, e grande possibilidade de alguma imprecisão devido a arredondamentos.
Na Figura 4 os pontos indicados são de elongação máxima (amplitude) em cada uma das 9 oscilações acontecidas no intervalo de tempo compreendido entre t = 0,09901ms até t = 1,79ms, portanto um intervalo de 1,69·10-3s. Temos então que o período de oscilação, T = 1,87·10-4s, e a frequência, f = 5,35 kHz. Pela Equação 22, temos que a frequência angular de oscilação, 𝝎 = 𝟐𝛑/𝐓 (𝐫𝐚𝐝/𝐬), é: 33.599(rad/s).
Com forme a Equação 15 reescrita, temos:
 (25)
Substituindo os valores temos:
 𝝎’ = 33.675 (rad/s) (v)
Considerando o valor de referência, (v), obteve-se um valor com erro associado:
 
E(%) = ×100= 0,23% (vi)
A diferença de (vi) pode ser atribuída a uma média insuficiente de pontos selecionados, como amplitudes máximas, e/ou devido arredondamentos.
A frequência de oscilação natural do circuito, ω0, obtido pela Equação 11, , com valor de 33.709 (rad/s) em relação aos valores de 𝝎 e 𝝎’, tem uma discrepância máxima de menos de 1%.
III.2- Transição do regime subcrítico para crítico
Utilizando o mesmo circuito, da Figura 2, para realizar uma transição do regime subcrítico para crítico, estabelecemos 3 condições, reajustando um novo valor para a resistência, como se segue: 
· A condição (α=ω0 /4);
· A condição (α=ω0 /2);
· A condição (α=ω0 ).
Onde respectivamente seus valores obtidos foram: 
 R= 1.483 (vii)
 R= 2.966 (viii)
 R= 5.932 (ix)
Reconfigurando o circuito RLC com os novos valor de resistência, R, obteve-se o gráfico da Figura 6, com regime crítico de amortecimento.
 (
Figura 
6
-Tensão no 
capacitor
, V
C
, e no gerado
r
 de sinais, V
g
, em função do tempo
, t,
 por um 
semi
período de oscilação
, em regime crítico de amortecimento na condição, A: 
, B: 
 e C: 
.
.
)
Fonte: Próprio autor utilizando software Origin.
	Comparando os gráficos da Figura 6 fica evidente que se um sistema elétrico, capaz de oscilar, for excitado (retirado da sua condição de equilíbrio) esse sistema vai oscilar em uma frequência particular, e pode ser mais de uma, que se chama frequência natural do sistema. Introduzindo uma resistência no circuito LC, ideal, a cada oscilação parte da energia é perdida na resistência, de tal forma, que o sistema (carga, corrente e tensões) continua oscilando, mas as amplitudes, ou valores de pico, tanto da carga, quanto da corrente, ou tensões, vão diminuindo, até se anularem. Tal sistema é dito amortecido. Quando existe um amortecimento a frequência com que o sistema vai oscilar até parar, é menor que sua frequência natural de oscilação. Quão menor vai depender basicamente da intensidade do amortecimento.
Isso pôde ser melhor observado através do gráfico da Figura 6, onde aumentando a resistência do circuito e por consequência aumentando o coeficiente de amortecimento, a iminência do sistema em parar de oscilar em Figura 6.A e B, e em C quando a resistência aumenta o suficiente para que o circuito assuma um regime crítico de amortecimento.
III.3- Transição do regime subcrítico para supercrítico
Utilizando o mesmo circuito, da Figura 2, para realizar uma transição do regime subcrítico para supercrítico, estabelecemos a condição α=ω0, reajustando um novo valor para a resistência:
 R= 11.865 (x)
Reconfigurando o circuito RLC para o novo valor de resistência, R, obteve-se o gráfico da Figura 8, com regime crítico de amortecimento.
 (
Figura 
7
-Tensão no 
capacitor
, V
C
, e no gerado
r
 de sinais, V
g
, em função do tempo
, t,
 por um 
semi
período de oscilação
, em regime crítico de amortecimento na condição de 
.
.
)
Fonte: Próprio autor utilizando software Origin.
O limite entre o amortecimento subcrítico e supercrítico é quando α = ωo​, ou seja, o fator de amortecimento e a frequência de ressonância estão em equilíbrio. Considerando o, neste caso, α > ωo​, temos a condição de amortecimento supercrítico. Também nesta condição a corrente no circuito se comporta monotonicamente, sem oscilação, mas de forma menos intensa que o amortecimento crítico, que decai mais rapidamente a situação de equilíbrio. Sob esta condição o capacitor demora um tempo maior para ser totalmente carregado.
IV-CONCLUSÃO
Foi mostrado que as equações formuladas, as simulações e as aplicações praticadas em laboratório são perfeitamente coesas entre si, atingindo resultados experimentais satisfatórios na análise de nosso circuito RLC com aplicação de uma equação diferencial ordinária como base de resolução teórica e seus respectivos casos de amortecimentos. Estando em concordância com a hipótese formulada, com erro associado abaixo de 1%, ou seja, dentro de uma margem considerável, levando em conta intervalos de tempo muito pequenos, da ordem de 10-3 s, e grande possibilidade de alguma imprecisão devido a arredondamentos, ou alguma imprecisão de configuração de período para um semiperíodo de oscilação. 
Quanto à resposta temporal, pode-se afirmar que os dados obtidos no osciloscópio são confiáveis visto que a constante de amortecimento teórica e a constante experimental tiveram uma concordância algébrica de 100%. Portanto, com base na comparação feita entre o valor teórico esperado e o valor obtido experimentalmente em todos os resultados, pode-se dizer que o experimento foi bem realizado.Concluiu-se que quando o amortecimento é modificado através do ajuste do valor da resistência do paralelo dos elementos do circuito, a amplitude máxima da resposta é tanto menor quanto maior for o amortecimento. Quando existe um amortecimento subcrítico, a resposta torna-se oscilatória, enquanto nas formas de amortecimento crítico e supercrítico não oscila. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V-REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]- Transientes em Circuitos RC e RL, https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&ved=2ahUKEwi0 17TH
jcjvAhVrF7kGHVROBwwQFjAAegQIARAD&url=https%3A%2F%2Fcaxias.ufrj.br%2Fimages%
2FLab_Didatico%2FFisica%2FFISEXP_3%2FExp_3- 
 [2]- Transientes_em_circuitos_RC_e_RL_alimentados_com_onda_quadrada.pdf&usg=AOvVaw0l mzpY1oV5t-HkfGYY62L5, consultado em 15/03/2021.
 [3]- Robert L. Boylestad, Introdução à Análise de Circuitos, 12ª. Edição, Pearson Prentice Hall, 2012. 
[4]- Young, Hugh D.; Freedman, Roger A., Física IV - Ótica e Física Moderna, 12a ed. São Paulo, Addison Wesley, 2008;
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