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William H. Hayt Jr. 
Jack E. Kemmerly 
Steven M. Durbin
Análise de 
Circuitos em 
Engenharia 8ª edição
Clássico da área, Análise de Circuitos em Engenharia chega à oitava edição com as credenciais 
de quem apresentou a milhares de estudantes o complexo mundo da análise de circuitos 
elétricos lineares do ponto de vista da prática da engenharia. Em paralelo, os alunos também 
têm contato com os detalhes do desenvolvimento de um método de solução de problemas 
por meio de abordagem pedagógica cuidadosamente elaborada e testada em sala de aula. Os 
alunos são ainda orientados para a aplicação de análise com auxílio de computador tanto para 
verifi car cálculos a mão quanto suas soluções para problemas de soluções múltiplas.
Destaques desta edição:
• Mais de 1.000 exercícios novos ou revisados ao fi nal dos capítulos.
• Uso de ícones para identifi car pontos de atenção: armadilhas comuns, 
problemas de projeto com mais de uma resposta e problemas que exigem 
análise com apoio de um computador.
• Novos exemplos e problemas práticos.
• Tratamento ampliado de fi ltros ativos, incluindo a análise e projeto de 
fi ltros Butterworth de múltiplos estágios.
• Uso ampliado do MATLAB® e do PSpice®.
A
nálise de Circuitos em
 Engenharia
Hayt Jr. 
Kemmerly 
Durbin
Hayt Jr. 
Kemmerly 
Durbin
H
ayt Jr. 
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D
urbin
8ª edição
8
ª ed.
Análise de 
Circuitos em 
Engenharia
A
nálise de 
Circuitos em
 
Engenharia
A Bookman Editora é um dos selos editoriais do 
Grupo A Educação, empresa que oferece soluções 
em conteúdo, tecnologia e serviços para a educação 
acadêmica e profi ssional. O Grupo A Educação 
publica com exclusividade obras com o selo 
McGraw-Hill Education em língua portuguesa.
ENGENHARIA ELÉTRICA
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8ª ed.
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Análise de circuitos em engenharia [recurso eletrônico] / 
William H. Hayt, Jr., Jack E. Kemmerly, Steven M. Durbin ; 
tradução: Juan Paulo Robles Balestero, Márcio Falcão Santos 
Barroso ; revisão técnica: Antonio Pertence Júnior. – 8. ed. – 
Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2014.
Capítulo 19 está disponível online.
Editado também como livro impresso em 2014.
ISBN 978-85-8055-384-0
1. Engenharia elétrica. 2. Circuitos elétricos. I. Kemmerly, 
Jack E. II. Durboin, Stevem M. III. Título. 
CDU 621.37
Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
INTRODUÇÃO
Neste capítulo, introduzimos dois novos elementos passivos de circuitos: o capa-
citor e o indutor, ambos com a habilidade de armazenar e fornecer quantidades finitas 
de energia. Nesse aspecto, eles diferem das fontes ideais, pois não podem manter 
um fluxo de potência finito durante um intervalo de tempo infinito. Embora sejam 
elementos lineares, as relações tensão-corrente desses novos elementos dependem 
do tempo, o que resulta em muitos circuitos interessantes. A faixa de valores de 
capacitância e indutância que podemos encontrar é muito grande, portanto, tais com-
ponentes podem, às vezes, dominar o comportamento de um circuito e, outras vezes, 
ser essencialmente insignificantes. Tais questões continuam a ser relevantes em apli-
cações de circuitos modernos, especialmente à medida que sistemas de computadores 
e de comunicação passam a operar em frequências cada vez mais altas e apresentam 
uma densidade de componentes cada vez maior. 
7.1 O CAPACITOR
Modelo do Capacitor Ideal
Já definimos anteriormente que as fontes independentes e dependentes são elementos 
ativos e que o resistor linear é um elemento passivo, embora nossas definições de 
ativo e passivo ainda estejam um pouco confusas e precisem ser mais bem focali-
zadas. Definimos agora elemento ativo como um elemento capaz de fornecer uma 
potência média maior do que zero a um dispositivo externo, sendo a média calculada 
em um intervalo de tempo infinito. As fontes ideais e o amplificador operacional são 
elementos ativos. O elemento passivo, no entanto, é definido como um elemento que 
não pode fornecer uma potência média maior do que zero durante um intervalo de 
tempo infinito. O resistor pertence a esta última categoria; a energia que ele recebe é, 
geralmente, transformada em calor e ele nunca fornece energia.
Capacitores e Indutores7
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
A Relação Tensão-Corrente de um 
Capacitor Ideal
A Relação Tensão-Corrente de um Indutor 
Ideal
Cálculo da Energia Armazenada em 
Capacitores e Indutores
Análise da Resposta de Capacitores e 
Indutores a Formas de Onda Variáveis 
no Tempo
Combinações em Série e Paralelo 
Circuitos AOP Usando Capacitores
Modelagem de Elementos 
Armazenadores de Energia no PSpice
Circuitos do Comparador Básico e do 
Amplificador de Instrumentação
Capítulo 7 u Capacitores e Indutores210
Introduzimos agora um novo elemento passivo de circuito, o capacitor. 
Definimos a capacitância C pela relação tensão-corrente:
[1]i = C dv
dt
onde υ e i satisfazem as convenções para um elemento passivo, como mostra 
a Figura 7.1. Devemos ter em mente que υ e i são funções do tempo; se neces-
sário, podemos enfatizar esse fato escrevendo υ(t) e i(t). Da Equação [1], 
podemos determinar a unidade de capacitância como o ampère-segundo por 
volt ou o Coulomb por volt. Definiremos agora farad1 (F) como um Coulomb 
por volt e vamos usá-lo como nossa unidade de capacitância.
O capacitor ideal definido pela Equação [1] é somente um modelo mate-
mático para um dispositivo real. Um capacitor consiste em duas superfícies 
condutoras nas quais pode ser armazenada carga elétrica, separadas por uma 
fina camada isolante com resistência muito elevada. Supondo que essa resistên-
cia seja suficientemente alta para ser considerada infinita, então, cargas iguais 
e opostas colocadas nas “placas” do capacitor nunca podem se recombinar, 
pelo menos não por um caminho interno ao elemento. A construção física de 
um capacitor real é sugerida pelo símbolo de circuito mostrado na Figura 7.1. 
Vamos visualizar um dispositivo externo conectado a esse capacitor 
causando um fluxo de corrente positiva que entre em uma de suas placas e 
saia da outra. Correntes iguais entram e saem dos dois terminais, e isso não é 
nada mais do que aquilo que esperamos para qualquer elemento de circuito. 
Agora, examinaremos o interior do capacitor. A corrente positiva que entra 
em uma das placas representa a carga positiva movendo-se para aquela placa 
através do fio que a conecta ao restante do circuito;essa carga não pode pas-
sar por dentro do capacitor e, portanto, acumula-se na placa. Na realidade, 
a corrente e o aumento da carga estão relacionados pela equação familiar
i = dq
dt
Vamos agora considerar essa placa como um nó à parte e aplicar a lei de 
Kirchhoff das correntes. Aparentemente, essa lei não vale; a corrente se apro-
xima da placa pelo circuito externo, mas não sai dela pelo “circuito interno”. 
Esse dilema preocupou um famoso cientista escocês, James Clerk Maxwell, há 
mais de um século. A teoria eletromagnética unificada que ele desenvolveu em 
seguida supõe a existência de uma “corrente de deslocamento” que estará pre-
sente sempre que um campo elétrico ou uma tensão variar no tempo. A corrente 
de deslocamento que flui internamente entre as placas do capacitor é exatamen-
te igual à corrente de condução que flui externamente em seus terminais; a lei 
de Kirchhoff das correntes é, portanto, satisfeita se incluirmos as correntes de 
condução e de deslocamento. Porém, a análise de circuitos não está preocupada 
com essa corrente de deslocamento interna, e, como ela é, felizmente, igual à 
corrente de condução, podemos considerar a hipótese de Maxwell ao relacionar 
a corrente de condução à variação da tensão nos terminais do capacitor.
Um capacitor formado por duas placas condutoras paralelas com área A, 
separadas por uma distancia d, tem uma capacitância C = εA/d, onde ε	é a 
1 Nome dado em homenagem a Michael Faraday.
i
υ+ –
C
p FIGURA 7.1 Símbolo elétrico e convenções 
corrente-tensão para um capacitor.
Seção 7.1 u O capacitor 211
permissividade, uma constante do material isolante entre as placas. Assume-
-se aqui que as dimensões lineares das placas condutoras sejam muito 
maiores do que a distância d. No ar ou no vácuo, ε	= ε0 8,854pF/m. Muitos 
capacitores usam uma fina camada dielétrica com uma permissividade 
maior do que a do ar para diminuir o tamanho do componente. A Figura 7.2 
mostra vários exemplos de capacitores disponíveis comercialmente, embo-
ra devamos lembrar que qualquer par de superfícies condutoras que não 
estejam em contato direto possa ser caracterizado por uma capacitância não 
nula (embora provavelmente pequena). Devemos notar também que uma 
capacitância de várias centenas de microfarads (µF) é considerada “grande”.
Várias características importantes do nosso novo modelo matemático 
podem ser descobertas a partir da equação que o define, a Equação [1]. 
Uma tensão constante nos terminais de um capacitor resulta em uma cor-
rente nula através dele; o capacitor é, portanto, um circuito aberto para CC. 
Esse fato é ilustrativamente representado pelo símbolo do capacitor. Fica 
claro também que um salto brusco na tensão requer uma corrente infinita. 
Como isso é fisicamente impossível, proibimos, portanto, que a tensão no 
capacitor varie em um intervalo de tempo igual a zero. 
Determine a corrente i que flui através do capacitor da Figura 7.1 para as 
duas formas de onda de tensão da Figura 7.3 se C = 2 F.
(b)
υ (V)
–6
–4
–2
0
2
4
6
–1 0 1
t (s)
2 3 4 5
(a)
–2
–1 0 1
t (s)
υ (V)
2 3 4 5–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
u EXEMPLO 7.1
(a) (b) (c)
p FIGURA 7.2 Vários exemplos de capacitores disponíveis comercialmente. (a) Da esquerda para a direita: 270 pF cerâmico, 20 µF de tântalo, 15 nF 
de poliéster, 150 nF de poliéster. (b) Esquerda: 2.000 µF 40 VCC eletrolítico, 25.000 µF 35 VCC eletrolítico. (c) No sentido horário, a partir do menor: 
100 µF 63 VCC eletrolítico, 2.200 µF 50 VCC eletrolítico, 55 F 2,5 VCC eletrolítico e 4.800 µF 50 VCC eletrolítico. Note que, de forma geral, grandes valores 
de capacitância requerem maiores invólucros, com uma notável exceção acima. O que se perde nesse caso específico?
t FIGURA 7.3 (a) Tensão CC aplicada nos terminais 
do capacitor. (b) Forma de onda da tensão senoidal 
aplicada nos terminais do capacitor.
Capítulo 7 u Capacitores e Indutores212
A corrente i está relacionada à tensão υ nos terminais do capacitor pela 
Equação [1]: 
i = C dυ
dt
Para a forma de onda ilustrada na Figura 7.3a, dυ/dt = 0 e, portanto, i = 0; o 
resultado está traçado no gráfico da Figura 7.4a. No caso da forma de onda 
senoidal da Figura 7.3b, esperamos que uma corrente com forma de onda cos-
senoidal flua em resposta, tendo a mesma frequência e uma intensidade duas 
vezes maior (pois C = 2F). O resultado é mostrado no gráfico da Figura 7.4b.
p FIGURA 7.4 (a) i = 0, porque a tensão aplicada é CC. (b) A corrente tem forma 
cossenoidal em resposta a uma tensão senoidal.
(a)
–2
–1 0 1
t (s)
i (A)
2 3 4 5
–1,5
–1
–0,5
0
0,5
1
1,5
2
(b)
i (A)
–10
–5
0
5
10
–1 0 1
t (s)
2 3 4 5
 
u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
7.1 Determine a corrente que flui através de um capacitor de 5 mF em res-
posta a uma tensão υ = (a) –20 V; (b) 2e–5t V.
Resposta: (a) 0 A; (b) –50e–5t mA.
Relações Tensão-Corrente na Forma Integral
Integrando a Equação [1], a tensão no capacitor pode ser expressa em ter-
mos da corrente. Primeiro, obtemos
dυ = 1
C
i(t) dt
e, depois, integramos2 entre os instantes t0 e t e entre as tensões υ(t0) e υ(t) 
correspondentes:
[2]υ(t) =
1
C
t
t0
i(t ) dt + υ(t0)
A Equação [2] também pode ser escrita como uma integral indefinida 
mais uma constante de integração:
υ(t) = 1
C
i dt + k
2 Note que estamos empregando o procedimento matematicamente correto de definir uma 
variável auxiliar t´ em situações nas quais a variável de integração t também é um limite.
Seção 7.1 u O capacitor 213
Por fim, veremos em muitos problemas reais que não é possível definir 
υ(t0), a tensão inicial no capacitor. Em tais circunstâncias, será matematica-
mente conveniente definir t0 = – ∞ e υ(– ∞) = 0, de forma que
υ(t) = 1
C
t
−∞
i dt
Como a integral da corrente durante qualquer intervalo de tempo é 
a carga acumulada correspondente na placa do capacitor durante aquele 
mesmo período, também podemos definir a capacitância como
q(t) = Cυ(t)
onde q(t) e υ(t) representam os valores instantâneos da carga acumulada e 
da tensão entre as placas, respectivamente.
Determine a tensão nos terminais de um capacitor associada à corrente 
ilustrada na Figura 7.5a. O valor da capacitância é 5 μF.
20
10 2 3 4–1
(a)
i (t) (mA)
t (ms)
8
10 2 3 4–1
(b)
υ (t) (V)
t (ms)
p FIGURA 7.5 (a) Forma de onda de corrente aplicada a um capacitor de 5 µF. (b) Forma de 
onda de tensão resultante obtida por integração gráfica.
A Equação [2] é a expressão apropriada aqui:
υ(t) = 1
C
t
t0
i(t ) dt + υ(t0)
mas agora ela precisa ser interpretada graficamente. Para fazer isso, observa-
mos que a diferença entre as tensões em t e t0 é proporcional à área abaixo 
da curva da corrente entre esses dois instantes de tempo. A constante de 
proporcionalidade é 1/C. 
A partir da Figura 7.5a, vemos três intervalos diferentes: t ≤ 0, 0 ≤ t ≤ 2 ms 
e t ≥ 2 ms. Definindo o primeiro intervalo mais especificamente entre – ∞ e 
0, de modo que t0 = – ∞, notamos duas coisas, ambas uma consequência do 
fato de a corrente ter sido sempre zero até t = 0: Primeiro,
υ(t0) = υ(−∞) = 0
Segundo, a integral da corrente entre – ∞ e 0 é simplesmente zero, já que i = 0 no 
intervalo. Assim,
υ(t) = 0 + υ(−∞) −∞ ≤ t ≤ 0
ou
υ(t) = 0 t ≤ 0
u EXEMPLO 7.2
Capítulo 7 u Capacitores e Indutores214
Se agora considerarmos o intervalo de tempo representado pelo pulso retan-
gular, obtemos
υ(t) = 1
5 × 10− 6
t
0
20 × 10− 3 dt + υ(0)
Como v(0) = 0,
υ(t) = 4000t 0 ≤ t ≤ 2 ms
Ao longo do intervalo semi-infinito que sucede o pulso, a integral de i(t) é 
novamente zero, de forma que
υ(t) = 8 t ≥ 2 ms
Os resultados são expressos de forma muito mais simples por meio de um 
desenho do que pelas expressões analíticas, como mostra a Figura 7.5b.
u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
7.2 Determine a corrente através de um capacitor de 100 pF, sendo a tensão 
em seus terminais em função do tempo dada pela Figura 7.6.
Resposta: 0 A, – ∞ ≤ t ≤ 1 ms; 200 nA, 1 ms ≤ t ≤ 2 ms; 0 A, t ≥ 2 ms.
Armazenamento de Energia
Para determinar a potência armazenada em um capacitor, começamoscom 
a potência entregue a ele
p = υi = Cυ dυ
dt
A mudança na energia armazenada em seu campo elétrico é simplesmente
t
t0
p dt = C
t
t0
υ dυ
dt
dt = C
υ(t)
υ(t0)
υ dυ = 1
2
C [υ(t)]2 − [υ(t0)]2
Assim,
C (t) − C (t0) = 12 C [υ(t)]
2 − [υ(t0)]2 [3]
onde a energia armazenada é C(t0) em joules (J) e a tensão em t0 é υ(t0). Se 
escolhermos uma referência zero de energia em t0, implicando que a tensão 
no capacitor também seja zero naquele instante, então,
[4]C (t) = 12 Cυ
2
Vamos considerar um exemplo numérico. Conforme representado na 
Figura 7.7, temos uma fonte de tensão senoidal em paralelo com um resis-
tor de 1 MΩ e um capacitor de 20 μF. Pode-se assumir que o resistor em 
paralelo represente a resistência finita do dielétrico entre as placas de um 
capacitor real (um capacitor ideal tem resistência infinita).
2
10 2 3 4–1
v (t) (V)
t (ms)
p FIGURA 7.6
Seção 7.1 u O capacitor 215
Determine a máxima energia armazenada no capacitor da Figura 7.7 e a 
energia dissipada no resistor no intervalo 0 < t < 0,5 s.
 f Identifique o objetivo do problema.
A energia armazenada no capacitor varia com o tempo; o problema nos 
pede o valor máximo durante um intervalo de tempo específico. Também 
temos que encontrar a quantidade total de energia dissipada no resistor 
durante esse intervalo de tempo. Há, na realidade, duas questões comple-
tamente diferentes.
 f Colete as informações conhecidas.
A única fonte de energia no circuito é a fonte de tensão independente, que 
tem um valor de 100 sen 2πt V. Estamos interessados apenas no intervalo 
de tempo 0 < t < 0,5 s. O circuito está devidamente identificado.
 f Trace um plano.
Determine a energia no capacitor calculando a tensão. Para calcular a 
energia dissipada no resistor durante o mesmo intervalo de tempo, integre 
a potência dissipada, PR = iR2 · R.
 f Construa um conjunto apropriado de equações.
A energia armazenada no capacitor é simplesmente
C (t) = 12 Cv
2 = 0,1 sen2 2πt J
Obtemos uma expressão para a potência dissipada no resistor em termos 
da corrente iR:
iR =
υ
R
= 10− 4 sen 2πt A
assim,
pR = i2R R = (10− 4)(106) sen2 2πt
de forma que a energia dissipada no resistor entre 0 e 0,5 s é
R =
0,5
0
pR dt =
0,5
0
10− 2 sen2 2πt dt J
 f Determine se são necessárias informações adicionais.
Temos uma expressão para a energia armazenada no capacitor; a Figura 
7.8 mostra o gráfico correspondente. A expressão deduzida para a energia 
dissipada no resistor não envolve quaisquer grandezas desconhecidas e, 
portanto, pode ser facilmente calculada.
 f Tente uma solução.
De nosso gráfico que mostra a energia armazenada no capacitor, vemos 
um aumento de zero em t = 0 até um máximo de 100 mJ em t = 1/4 s 
e, depois, uma queda até zero também em 1/4 s. Logo, Cmáx = 100mJ.
Avaliando nossa expressão integral para a energia dissipada no resistor, 
encontramos R = 2,5 mJ.
u EXEMPLO 7.3
iCiR
20 mF1 MV100 sen 2pt V υ
+
–
+
–
p FIGURA 7.7 Uma fonte de tensão senoidal 
é aplicada em uma rede RC paralela. O resistor de 
1 MΩ poderia representar a resistência finita da camada 
dielétrica de um capacitor “real”.
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,1 0,2 0,3 0,4 0,50
wC (t) = 0,1 sen2 2pt (J)
t (s)
p FIGURA 7.8 Gráfico da energia armazenada no 
capacitor em função do tempo.
Capítulo 7 u Capacitores e Indutores216
 f Verifique a solução. Ela é razoável ou esperada?
Não esperaríamos obter como resultado uma energia armazenada nega-
tiva, o que não seria confirmado por nosso gráfico. Além disso, como o 
valor máximo de sen 2πt é 1, a máxima energia esperada seria de (1/2)
(20 × 10–6)(100)2. 
O resistor dissipou 2,5 mJ no período de 0 a 500 ms, embora o capacitor 
tenha armazenado um máximo de 100 mJ em um ponto durante aquele 
intervalo. O que aconteceu com os “outros” 97,5 mJ?
Para responder a essa questão, calculamos a corrente no capacitor:
iC = 20 × 10− 6
dυ
dt
= 0,004π cos 2πt
e a corrente is entrando no terminal positivo da fonte de tensão
is = − iC − iR
ambas traçadas no gráfico da Figura 7.9. Observamos que a corrente no 
resistor é uma pequena fração da corrente na fonte; isso não é inteira-
mente surpreendente, pois 1 MΩ é um valor de resistência relativamente 
alto. À medida que a corrente flui a partir da fonte, uma pequena porção 
é desviada para o resistor, e o restante vai para o capacitor enquanto ele 
se carrega. Após t = 250 ms, o sinal da corrente na fonte se inverte; a 
corrente flui agora do capacitor para a fonte. A maior parte da energia 
armazenada no capacitor volta para a fonte de tensão ideal, exceto a 
pequena fração dissipada no resistor.
p FIGURA 7.9 Gráfico das correntes no resistor, no capacitor e na fonte durante o 
intervalo de 0 a 500 ms.
–0,015
–0,010
–0,005
0
0,005
0,010
0,015
0,10
0,08
Co
rre
nt
e (
m
A
)
Co
rre
nt
e (
A
)
0,06
0,04
0,02
0
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
t (s)
0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
iCiC
iSiS
iRiR
u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
7.3 Calcule a energia armazenada em um capacitor de 1.000 μF em t = 50 μs 
se a tensão em seus terminais for de 1,5 cos 105 t volts. 
Resposta: 90,52 μJ.
Seção 7.2 u O indutor 217
Características Importantes de um Capacitor Ideal
1. Não há fluxo de corrente através de um capacitor se a tensão em seus
terminais não variar no tempo. Um capacitor é, portanto, um circuito aberto
para CC.
2. Uma quantidade finita de energia pode ser armazenada em um capacitor
mesmo que a corrente através dele seja zero, como no caso em que a tensão
em seus terminais é constante.
3. É impossível promover uma mudança finita na tensão nos terminais de
um capacitor em um intervalo de tempo nulo, pois isso demandaria uma cor-
rente infinita. Um capacitor resiste a mudanças abruptas na tensão em seus
terminais da mesma forma que uma mola se opõe a mudanças abruptas em
seu alongamento.
4. Um capacitor nunca dissipa energia, somente a armazena. Isto é verdade
para o modelo matemático desse dispositivo, mas deixa de ser para um capa-
citor real devido à resistência finita associada ao dielétrico e ao encapsula-
mento.
7.2 O INDUTOR
Modelo do Indutor Ideal
No início do século XIX, o cientista dinamarquês Oersted mostrou que 
um condutor conduzindo uma corrente produzia um campo magnético (a 
agulha de uma bússola era afetada pela presença de um fio quando este 
era percorrido por uma corrente). Pouco tempo depois, Ampère fez algu-
mas medições cuidadosas que demonstraram uma relação linear entre o 
campo magnético e a corrente que o produzia. O próximo passo ocorreu 
praticamente 20 anos depois, quando o cientista inglês Michael Faraday e 
o inventor americano Joseph Henry descobriram quase simultaneamente3
que um campo magnético variável podia induzir uma tensão em um circuito
próximo. Eles mostraram que essa tensão era proporcional à taxa de varia-
ção temporal da corrente que produzia o campo magnético. A constante
de proporcionalidade é aquilo que agora chamamos de indutância, cujo
símbolo é L, portanto
[5]υ = L
di
dt
onde devemos notar que υ e i são funções do tempo. Quando quisermos 
enfatizar esse aspecto, poderemos fazê-lo usando os símbolos υ(t) e i(t).
O símbolo do indutor é mostrado na Figura 7.10, e deve-se notar que foi 
usada a convenção de sinal passivo, assim como no caso do resistor e do 
capacitor. A unidade de medida da indutância é o henry (H), e a equação 
que a define mostra que o henry é apenas uma expressão abreviada para 
volt-segundo por ampère.
3 Faraday venceu.
p FIGURA 7.10 Símbolo elétrico e convenções
corrente-tensão para um indutor.
iL L
υL+ –
Capítulo 7 u Capacitores e Indutores228
ou
Leq =
N
n= 1
Ln [11]
O indutor equivalente aos vários indutores conectados em série possui 
uma indutância que é a soma das indutâncias no circuito original. Esse é 
exatamente o mesmo resultado que obtivemos para resistores em série.
Indutores em Paralelo
A combinação de um conjunto de indutores em paralelo é obtida escrevendo-se 
uma única equação nodal para o circuito original mostrado na Figura 7.19a.
is =
N
n= 1
in =N
n= 1
1
Ln
t
t0
υ dt + in(t0)
=
N
n= 1
1
Ln
t
t0
υ dt +
N
n= 1
in(t0)
Comparando-a com o resultado para o circuito equivalente da Figura 7.19b,
is =
1
Leq
t
t0
υ dt + is(t0)
Como a lei de Kirchhoff das correntes exige que is (t0) seja igual à soma 
das correntes dos ramos em t0, os dois termos integrais também devem ser 
iguais; daí,
Leq =
1
1/ L1 + 1/ L2 + · · · + 1/ L N
[12]
Para o caso especial de dois indutores em paralelo,
Leq =
L1L2
L1 + L2
[13]
e notamos que indutores em paralelo combinam-se exatamente como resis-
tores em paralelo.
Capacitores em Série
Para encontrar um capacitor que seja equivalente a N capacitores em série, usa-
mos o circuito da Figura 7.20a e seu equivalente na Figura 7.20b para escrever
υs =
N
n= 1
υn =
N
n= 1
1
Cn
t
t0
i dt + υn(t0)
=
N
n= 1
1
Cn
t
t0
i dt +
N
n= 1
υn(t0)
e
υs =
1
Ceq
t
t0
i dt + υs(t0)
Porém, a lei de Kirchhoff das tensões estabelece a igualdade entre υs(t0) 
e a soma das tensões nos capacitores em t0; logo
(a)
is LNL1 L2
iNi2i1
υ
+
–
(b)
Leqis υ
+
–
p FIGURA 7.19 (a) Combinação de N indutores em 
paralelo. (b) circuito equivalente, onde Leq = [1/L1 + 1/L2 
+ ... + 1/LN]
–1.
p FIGURA 7.20 (a) Circuito contendo N capacitores 
em série. (b) O circuito equivalente desejado, onde Ceq = 
[1/C1 + 1/C2 + ... + 1/CN]
–1.
+
–
i
υN
+
–
υs CN
(a)
υ2+ –υ1+ –
C2C1
+
–
i
(b)
Ceqυs
Seção 7.3 u Combinações de indutâncias e capacitâncias 229
Ceq =
1
1/C1 + 1/C2 + · · · + 1/CN
[14]
e capacitores em série combinam-se como condutâncias em série ou resistores 
em paralelo. O caso especial de dois capacitores em série, é claro, resulta em
Ceq =
C1C2
C1 + C2
[15]
Capacitores em Paralelo
Por fim, os circuitos da Figura 7.21 nos permitem estabelecer o valor do 
capacitor, que é equivalente a N capacitores em paralelo como
Ceq = C1 + C2 + · · · + CN [16]
e não causa admiração perceber que capacitores em paralelo combinam-se 
da mesma maneira que resistores em série, bastando simplesmente somar 
todas as capacitâncias individuais.
Vale a pena memorizar essas fórmulas. As fórmulas que se aplicam às 
combinações em série e paralelo de indutores são idênticas àquelas para 
resistores; com isso, elas parecem “óbvias”. No entanto, é preciso ter cui-
dado no caso das expressões correspondentes às combinações em série e 
paralelo de capacitores, pois elas são opostas àquelas de resistores e induto-
res, levando frequentemente a erros quando os cálculos são feitos de forma 
apressada.
Simplifique a rede da Figura 7.22a usando combinações em série/paralelo.
Os capacitores de 6 µF e 3 µF em série são primeiro combinados em um equi-
valente de 2 µF, e esse capacitor é, então, combinado com o elemento de 1 µF 
em paralelo para produzir uma capacitância equivalente de 3 μF. Além disso, 
os indutores de 3 H e 2 H são substituídos por um equivalente de 1,2 H, que, 
depois, é somado ao elemento de 0,8 H para dar uma indutância equivalente 
total de 2 H. A rede equivalente muito mais simples (e provavelmente mais 
barata) é mostrada na Figura 7.22b.
u EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
7.8 Calcule Ceq na rede da Figura 7.23.
0,4 µF
2 µF
1 µF
0,8 µF
7 µF
5 µF
12 µF 5 µFCeq
t FIGURA 7.23
Resposta: 3,18 μF.
u EXEMPLO 7.8
p FIGURA 7.21 (a) Combinação de N capacitores 
em paralelo. (b) circuito equivalente, onde Ceq = C1 + C2 
+ ... + CN.
(a)
is CNC1 C2
iNi2i1
υ
+
–
(b)
Ceqis υ
+
–
p FIGURA 7.22 (a) Uma rede LC. (b) Circuito 
equivalente mais simples.
(a)
2 H
3 H
0,8 H
1 µF
6 µF
3 µF
(b)
2 H
3 µF
Capítulo 7 u Capacitores e Indutores230
A rede mostrada na Figura 7.24 contém três indutores e três capacito-
res, mas não é possível obter combinações em série ou paralelo de indu-
tores nem de capacitores. Não é possível simplificar essa rede usando as 
técnicas aqui apresentadas.
3 H 5 H
4 µF 6 µF
1 H
2 µF
7.4 CONSEQUÊNCIAS DA LINEARIDADE
Vamos em seguida passar às análises nodal e de malha. Como já sabemos 
aplicar as leis de Kirchhoff com segurança, podemos aplicá-las ao escre-
ver um conjunto de equações que sejam suficientes e independentes. No 
entanto, elas serão equações íntegro-diferenciais lineares com coeficientes 
constantes, que, se já são difíceis de pronunciar, imagine resolvê-las! Por 
conta disso, vamos escrevê-las agora para ganhar familiaridade com o uso 
das leis de Kirchhoff em circuitos RLC, mas deixaremos para discutir sua 
solução ao longo dos próximos capítulos, em casos mais simples.
Escreva equações nodais apropriadas para o circuito da Figura 7.25. 
As tensões nodais já estão escolhidas, então, somamos as correntes que saem 
do nó central:
1
L
t
t0
(υ1 − υs) dt + iL (t0) +
υ1 − υ2
R
+ C2
dυ1
dt
= 0
onde iL(t0) é o valor da corrente no indutor no instante em que começa a 
integração. No nó da direita,
C1
d(υ2 − υs)
dt
+ υ2 − υ1
R
− is = 0
Reescrevendo essas duas equações, temos
υ1
R
+ C2
dυ1
dt
+ 1
L
t
t0
υ1 dt −
υ2
R
= 1
L
t
t0
υs dt − iL (t0)
− υ1
R
+ υ2
R
+ C1
dυ2
dt
= C1
dυs
dt
+ is
Essas são as equações íntegro-diferenciais que prometemos, nas quais observa-
mos vários pontos interessantes. Em primeiro lugar, a tensão υs da fonte entra 
nas equações como uma integral e uma derivada, e não simplesmente como υs. 
Visto que ambas as fontes são especificadas em todo o tempo, somos capazes de 
avaliar sua derivada ou sua integral. Em segundo lugar, o valor inicial da corren-
te no indutor iL(t0) atua como uma fonte de corrente (constante) no nó central.
u EXEMPLO 7.9
p FIGURA 7.25 Circuito RLC com quatro nós e 
tensões nodais assinaladas.
RL
C1
υs
υs
υ2
υ1
is
iL+
– C2
u FIGURA 7.24 Rede LC na qual não é possível 
obter combinações em série ou paralelo de indutores e 
de capacitores.