EXERCICIOS RESOLVIDOS - ANALISE REAL (ELON FINO)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE BRAGANÇA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
SOLUÇÕES DE ANÁLISE REAL - ELON FINO
(VOLUME 1)
Valdeir do Nascimento Cuité
BRAGANÇA – PA
2019
1 Soluções de Análise Real – Elon Fino (Volume 1)
1.1 Notações
• Denotamos (xn) uma sequência (x1, x2, ...). Uma n-upla (x1, x2, ..., xn) podemos
denotar como (xk)
n
1 ;
• O conjunto dos valores de aderência de uma sequência (xn) iremos denotar como
A[xn];
• Usaremos a abreviação PBO para Prinćıpio da Boa Ordenação;
• Denotamos f(x+ 1)− f(x) = ∆f(x);
• Usamos a Notação Qxn = xn+1xn ;
• Para simbolizar a k-ésima derivada da função f , usamos os śımbolos Dk ou f (k);
• Se a sequência (xn) converge para a, podemos usar as notações lim xn = a ou
xn → a.
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2 Conjuntos Finitos e Infinitos
2.1 Números Naturais
Axiomas de Peano
1) ∃ s : N ⇒ N injetiva, tal que a imagem s(n) de cada n ∈ N chama-se o sucessor de
n ∈ N. Isso quer dizer que todo número natural tem um sucessor que também é natural,
e que números naturais diferentes têm sucessores diferentes.
2) ∃ ! 1 ∈ N, tal que 1 6= s(n),∀ n ∈ N. Isso quer dizer o número 1 é o único natural que
não é sucessor de nenhum outro.
3) Se X ⊂ N é tal que 1 ∈ X e s(X) ⊂ X (isto é, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X), então X = N.
Isso quer dizer se um conjunto possui o número 1, e também contém o sucessor de cada
de um de seus elementos, então esse conjunto contém todos os naturais.
Proposição: ∀ n ∈ N, n 6= s(n).
Demonstração: Temos que é verdade para n = 1, pois, pelo Axioma 2, 1 6= s(n),∀ n ∈
N, e em particular, 1 6= s(1). Dessa forma, suponhamos que seja verdade para um certo
n ∈ N, de modo que n 6= s(n). Segue que, como s é injetiva, então, pelo Axioma 1,
n 6= s(n)⇒ s(n) 6= s(s(n)). Portanto, a afirmação é válida para s(n).
Prinćıpio de Indução ou Recorrência: Se uma propriedade P é válida para o número
1, e se, supondo verdade para um certo n ∈ N, resultar que é válida para seu sucessor
s(n), então P é válida para todos os naturais.
Definição de Soma e Produto: Dados m,n ∈ N, definimos: + : N → N, tal que
+ (m,n) = m+ n e · : N→ N, tal que · (m,n) = m · n, de forma que:
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s(m) = m+ 1
m+ s(n) = s(m+ n)⇔ m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1
m · 1 = m
m · s(n) = mn+ n = m · (n+ 1)
Propriedades de Soma e Produto: Dados m,n, p ∈ N, temos:
Comutatividade: m+ n = n+m; m · n = n ·m
Associatividade: (m+ n) + p = m+ (n+ p); (m · n) · p = m · (n · p)
Distributividade: m · (n+ p) = mn+mp
Lei do Corte: m+ n = m+ p⇒ n = p; m · n = m · p⇒ n = p
Relações de Ordem: Dados m,n, p ∈ N, temos:
1) Menor / Maior: m < n⇒ ∃ p ∈ N;n = m+ p.
2) Menor ou Igual / Maior ou Igual: m ≤ n⇒ m < n ou m = n.
3) Transitividade: m < n e n < p⇒ m < p.
4) Tricotomia: Vale somente uma das alternativas: m < n,m > n ou m = n.
Prinćıpio da Boa Ordenação (PBO): A ⊂ N e A 6= ∅;n0 ≤ n,∀ n ∈ A.
Demonstração: Para tanto, consideremos In o conjunto dos números naturais ≤ n. Se
1 ∈ A, então é o menor elemento de A. Mas, caso 1 6∈ A, então seja X o conjunto dos
naturais n, tais que In ⊂ N − A. Segue que I1 = {1} ⊂ N − A e 1 ∈ X. Como A 6= ∅,
então X 6= N. Logo, o axioma 3, de Peano, é inclusivo, para este caso. Então, deve existir
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n ∈ X, tal que n+1 6∈ X. Obtemos então que: In = {1, ...., n} ⊂ N−A e n0 = n+1 ∈ A.
Portanto, n0 é o menor elemento de A.
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Exerćıcios Resolvidos Sobre Números Naturais:
Questão 1. Usando indução, prove:
(a) 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+ 1)/2
Demonstração: Temos que:
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
.
Logo, para n = 1, a igualdade vale, pois:
1∑
k=1
k = 1 =
1 · (1 + 1)
2
=
1 · 2
2
= 1.
Supondo que valha para um certo n, tal que:
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
,
vamos provar que a proposição também é verdadeira para n+ 1, de modo que:
n+1∑
k=1
k =
(n+ 1)(n+ 2)
2
.
Desta feita, tem-se que:
n+1∑
k=1
k =
n+1∑
k=n+1
k +
n∑
k=1
k
= n+ 1 +
n(n+ 1)
2
=
2(n+ 1) + n(n+ 1)
2
=
(n+ 1)(n+ 2)
2
.
Portanto,
n+1∑
k=1
k =
(n+ 1)(n+ 2)
2
.
E dáı, conclúımos que a igualdade é válida ∀ n ∈ N.
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(b) 1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n− 1 = n2
Demonstração: Temos que:
n∑
k=1
(2k − 1) = n2.
Logo, a sentença é válida para n = 1, pois:
1∑
k=1
(2k − 1) = 1 = 12.
Suponhamos que valha para um certo n, tal que:
n∑
k=1
(2k − 1) = n2.
Então, provemos que seja verdade para n+ 1, de tal forma que:
n+1∑
k=1
(2k − 1) = (n+ 1)2.
Segue-se que:
n+1∑
k=1
(2k − 1) =
n+1∑
k=n+1
(2k − 1) +
n∑
k=1
(2k − 1)
= 2(n+ 1)− 1 + n2
= 2n+ 2− 1 + n2
= n2 + 2n+ 1
= (n+ 1)2.
Portanto,
n+1∑
k=1
(2k − 1) = (n+ 1)2.
E, indutivamente, conclúımos que a proposição é verdadeira, pois é válida para n + 1 e
por fim ∀ n ∈ N.
Questão 2. Dados m,n ∈ N com n > m, prove que ou n é múltiplo de m ou existem
q, r ∈ N tais que n = mq + r e r < m. Prove que q e r são únicos com esta propriedade.
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Demonstração: Temos que, se n > m, então ou n é múltiplo de m, ou está entre dois
múltiplos consecutivos de m, isto é, ∃ q ∈ N, tal que qm < n < (q + 1)m. Neste último
caso, ∃ r ∈ N, tal que n = mq + r, com r < m, pois n < m(q + 1)⇒ ∃ p ∈ N;m(q + 1) =
n+ p⇒ mq+m = n+ p. Como n = mq+ r, então: mq+m = (mq+ r) + p⇒ mq+m =
mq + (r + p) ⇒ m = r + p. Quanto à unicidade, procedemos da seguinte forma: Seja
n = mq + r = mq′ + r′, com r, r′ < m. Logo, mq + r = mq′ + r′ ⇒ mq −mq′ = r′ − r ⇒
m(q − q′) = r′ − r ⇒ r′ − r = m(q − q′)⇒ m|(r′ − r). Como r, r′ < m, então r′ − r < m.
E dáı, r′ − r = 0 ⇒ r′ = r. Segue que r′ − r = 0 = m(q − q′) ⇒ 0 = m(q − q′) ⇒ 0 =
mq −mq′ ⇒ mq = mq′ ⇒ q = q′. Portanto, q = q′ e r′ = r.
Questão 3. Seja X ⊂ N um subconjunto não-vazio tal que m,n ∈ X ⇔ m,m + n ∈ X.
Prove que ∃ k ∈ N, tal que X é o Conjunto dos Múltiplos de k.
Demonstração: Seja k o menor elemento de X. Se n ∈ X, então k ≤ n. Assim ou n é
múltiplo de k ou ∃ q, r ∈ N tais que n = kq+ r e r < k. Neste último caso, pela definição
de X, segue que kq, r ∈ X, o que é um absurdo, pois k é o menor elemento de X e r < k.
Logo, todo elemento n ∈ X é múltiplo de k.
Questão 4. Dado n ∈ N, prove que @ x ∈ N tal que n < x < n+ 1.
Demonstração: Suponhamos que ∃ x ∈ N tal que n < x < n + 1. Logo, tem-se que
x = n+q, para algum q ∈ N. Por outro lado, temos que ∃ r ∈ N, tal que n+1 = x+r, para
algum r ∈ N. Com isso, vem que: n+ 1 = (n+ q) + r ⇒ n+ 1 = n+ (q+ r)⇒ 1 = q+ r,
o que é um absurdo. Portanto, conclúımos que @ x ∈ N tal que n < x < n+ 1.
Questão 5. Prove o Prinćıpio da Indução como uma consequência do Prinćıpio da Boa
Ordenação (PBO : A ⊂ N, A 6= ∅ ⇒ ∃ n0 ∈ A;n0 ≤ n,∀ n ∈ A).
Demonstração: Seja X ⊂ N, com a seguinte propriedade X = {1 ∈ X, e se n ∈ X,
então n + 1 ∈ X}. Queremos provar que X = N. Suponhamos que X 6= N. Logo
N − X 6= ∅. Seja Y = N − X 6= ∅, então Y ⊂ N e Y 6= ∅. Segue-se que pelo PBO,
∃ k ∈ Y , tal que k ≤ y, ∀ y ∈ Y . Como 1 ∈ X, temos que k = p + 1, com p < k. Logo,
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p ∈ X, pois k é o menor elemento de Y . Como p+ 1 = k e k 6∈ X, então p+ 1 6∈ X. Isto
é um absurdo, pois se p ∈ X, temos que p+ 1 ∈ X. Portando, X = N.
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2.2 Conjuntos Finitos
Definição – Conjunto Finito: Um conjunto X diz-se Finito quando X 6= ∅ ou quando
∃ n ∈ N, tal que f : In → X é bijeção. Dessa forma, f bijetiva chama-se uma contagem
dos elementos de X, e o número n é denominado de cardinal ou número de elementos
do conjunto X finito. Nota-se ainda que: x1 = f(1), x2 = f(2), ..., xn = f(n) ⇔ X =
{x1, x2, ..., xn}.
Lema: Se ∃ f : X → Y bijetiva, então dados a ∈ X e b ∈ Y , também ∃ g : X → Y
bijetiva, tal que g(a) = b.
Demonstração: Seja f(a) = b′. Como f é sobre, então ∃ a′ ∈ X, tal que f(a′) = b.
Definamos, então, g : X → Y , pondo g(a) = b, g(a′) = b′ e g(x) = f(x), se x ∈ X é tal
que x 6= a e x 6= a′. Claramente, g é bijeção.
Teorema 01: A In ⇒ @ f : A→ In bijetiva.
Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que o teorema seja falso, e consideremos
n0 ∈ N o menor naturalpara o qual ∃ A In0 e f : A → In0 bijetiva. Se n0 ∈ A,
então pelo Lema, ∃ g : A → In0 bijetiva, tal que g(n0) = n0. Logo, temos: g|A−{n0} :
A − {n0} → In0−1 bijetiva, com A − {n0} In0−1, o que contraria a minimalidade de
n0. Caso tivermos n0 6∈ A, então tomemos a ∈ A, tal que f(a) = n0. Logo, obtemos o
seguinte: f |A−{a} : A − {a} → In0−1 é bijetiva, com A − {a} In0−1, o que contraria a
minimalidade de n0.
Corolário 01: f : Im → X e g : In → X são bijeções ⇒ m = n.
Demonstração: Com efeito, sejam card Im = m e card In = n, com m,n ∈ N. Logo,
caso m < n, então Im In, o que violaria o Teorema 01, pois ϕ : g−1 ◦ f : Im → In é
bijeção. De modo análogo, mostramos que não é posśıvel para m > n. Logo, m = n.
Corolário 02: Seja X finito, ϕ : X → X é injetiva ⇔ ϕ : X → X é sobre.
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Demonstração: Com efeito, ∃ h : In → X bijetiva. Notemos ainda que uma aplicação
ϕ : X → X é injetiva ou sobre se, e somente se, h−1 ◦ ϕ ◦ h : In → In o é. Consideremos
f : In → In. Se f é injetiva, então pondo B = f(In) ⊂ In, temos que f−1|B : B → In é
bijetiva e dáı pelo Teorema 01, temos que B = In. Logo, f é sobre. Reciprocamente, se
f é sobre, então ∀ y ∈ In,∃ x ∈ In; f(x) = y. Desse modo, para cada y ∈ In, podemos
escolher um x ∈ In, tal que g(y) = x. Segue que obtemos: g : In → In injetiva, com
g(f(x)) = x, ∀ x ∈ In. E, pelo que acabamos de provar, temos que g também é sobre.
Logo, sejam x1, x2 ∈ In, então: f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = g(f(x1)) = g(f(x2)) = x2.
Portanto, f é injetiva.
Corolário 03: @ f : Y → X bijetiva, com Y X, e X finito.
Demonstração: Com efeito, sejam X finito e Y X. Logo, ∃ ϕ : In → X bijetiva.
Segue que: Y = ϕ(A) X e dáı: A = ϕ−1(Y ) In. Então, temos ϕ|A : A→ Y bijetiva.
Desse modo, se ∃ f : Y → X bijetiva, então temos: ϕ−1 ◦ f ◦ϕ|A : A→ In bijetiva, o que
contraria o Teorema 01.
Podeŕıamos também enunciar e demonstrar o Corolário 03 da seguinte forma:
Corolário 03: Não existe uma bijeção g : X → Y bijetiva, onde X 6= ∅ é finito e Y X.
Demonstração: Como X é finito, existe f : In → X bijetiva. Seja A = f−1(Y ) = {p ∈
In; f(p) ∈ Y }. Observe que A ( In e temos a bijeção f |A : A→ Y . Supondo por absurdo
que exista g : X → Y bijetiva, teŕıamos que a composta f−1 ◦ g−1 ◦ f |A : A → In seria
uma bijeção, o que nos levaria a um absurdo (pois contraria o Teorema 01).
Teorema 02: X finito e Y ⊂ X ⇒ Y é finito, ∀ Y .
Demonstração: Particularmente, se X é finito e a ∈ X, então X − {a} ⊂ X é finito.
Com efeito, ∃ f : In → X bijetiva, onde, pelo Lema, f(n) = a. Logo, se n = 1, então
X−{a} = ∅ é finito. Mas se n > 1, então f |In−1 : In−1 → X−{a} é bijeção. Logo: X−{a}
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é finito, onde card (X − {a}) = n − 1 (por definição). De modo geral, indutivamente,
temos: É evidente quando X = ∅ ou n = 1. Agora, supondo verdade para um certo n,
seja X tal que card X = n + 1 e Y ⊂ X. Se Y = X, não há nada para provar. Mas se
Y X, então ∃ a ∈ X com a 6∈ Y . Logo, Y ⊂ X − {a}. Como card (X − {a}) = n,
segue que Y é finito.
Corolário 01: Sendo f : X → Y ,
i) Y finito e f injetiva ⇒ X finito.
Demonstração: Com efeito, se f é injetiva, então temos f |X : X → f(X) bijetiva. Mas
como Y é finito, então f(X) ⊂ Y é finito, pelo Teorema 2. Logo, ∃ m ∈ N, tal que
ϕ : Im → f(X) é bijetiva. E dáı: f−1|X ◦ ϕ : Im → X é bijeção, e então X é finito.
ii) X finito e f sobrejetiva ⇒ Y finito.
Demonstração: Seja f sobre, então ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X; f(x) = y. Dessa forma, para
cada y ∈ Y , podemos escolher um x ∈ X, tal que g(y) = x. Isto define uma g : Y → X
injetiva, tal que f(g(y)) = y,∀ y ∈ Y . Logo, pelo que foi provado, obtemos que Y é finito.
Definição – Conjunto Limitado: Um conjunto X ⊂ N diz-se limitado, quando ∃ p ∈ N,
tal que x ≤ p, ∀ x ∈ X.
Corolário 02: X finito, com X ⊂ N⇔ X limitado, com X ⊂ N.
Demonstração: Com efeito, se X = {x1, x2, ..., xn} ⊂ N é finito, então pondo p =
x1 + x2 + ... + xn, vemos que ∀ x ∈ X, x ≤ p. Logo, X é limitado. Reciprocamente,
se X ⊂ N for limitado, então ∃ q ∈ N, tal que x ≤ q,∀ x ∈ X. Logo, consideremos
Iq = {1, 2..., q}. Segue que X ⊂ Iq. Agora, basta notar que Iq é finito. Desse modo, pelo
Teorema 02, obtemos que X é finito.
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Exerćıcios Resolvidos Sobre Conjuntos Finitos:
Questão 1. Indicando com card X o número de elementos do conjunto finito X, prove:
(a) Se X é finito e Y ⊂ X, então card Y ≤ card X.
Demonstração: Basta provarmos o caso em que X = Im e Y = In. Suponha que
card Y > card X, ou seja, n > m. Por ser Y finito e card Y = n, temos que ∃ f : In → Y
bijetiva. Como Y ⊂ X = Im In, temos que f é uma bijeção entre In e Y In, o que é
um absurdo. Logo, card Y ≤ card X.
(b) Se X e Y são finitos, então X ∪ Y é finito e card (X ∪ Y ) = card X + card Y −
card (X ∩ Y ):
Demonstração: Primeiramente, provemos o seguinte: Se X e Y são finitos e disjuntos
com card X = n e card Y = m, então X ∪ Y é finito, com card (X ∪ Y ) = m + n.
Para tanto, notemos que existem bijeções f : In → X e g : Im → Y . Definamos então
h : Im+n → X ∪ Y , como: h(x) = f(x), se 1 ≤ x ≤ n e h(x) = g(x) = g(x − n), se
1 + n ≤ x ≤ m + n (1 ≤ x − n ≤ m). Como h é bijeção, segue o resultado. Agora, se
X∩Y 6= ∅, então: X = (X−Y )∪(X∩Y ). Logo: card X = card (X−Y )+card (X∩Y )⇒
card X − card (X ∩ Y ) = card (X − Y ). E ainda: X ∪ Y = (X − Y ) ∪ Y . E dáı:
card (X ∪ Y ) = card (X − Y ) + card Y ⇒ card (X ∪ Y ) − card Y = card (X − Y ).
Portanto: card X − card (X ∩ Y ) = card (X ∪ Y ) − card Y ⇒ card (X ∪ Y ) =
card X + card Y − card (X ∩ Y ).
(c) Se X e Y são finitos, então X × Y é finito e card (X × Y ) = card X · card Y .
Demonstração: Seja card X = m e card Y = n. Denotemos Y = {y1, · · · , yn}. Assim,
X×Y = X1∪· · ·∪Xn, onde Xi = X×{yi}. Note que card Xi = card X = m. Além disso,
observe que, por ser Xi dois a dois disjuntos: card (X × Y ) = card X1 + · · ·+ card Xn =
m+ · · ·+m = n ·m = card Y · card X = card X · card Y .
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Questão 2. Seja P (X) o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de X. Prove por
indução que se X é finito, então card P (X) = 2card X .
Demonstração: Para n = 1 é verdade, pois X = {x1} ⇒ card X = 1. E dáı, P (X) =
{∅, {x1}} ⇒ card P (X) = 2 = 21 = 2card X . Suponhamos que ∀ Y com n elementos,
card P (Y ) = 2n. Então, provemos que dado Z com n+ 1 elementos tem-se card P (Z) =
2n+1. Tomemos x ∈ Z, então Z − {x} possui 2n subconjuntos. Porém, notemos que Z −
{x} ∪ {x} possui mais 2n subconjuntos. Portanto, obtemos 2n + 2n = 2n+1 subconjuntos.
Questão 3. Seja F(X;Y ) o conjunto das funções f : X → Y . Se card X = m e
card Y = n, prove que card F(X;Y ) = nm.
Demonstração: Sem perda de generalidade, podemos supor queX = Im = {1, 2, · · · ,m}.
Agora, procedendo por indução sobre m: Para m = 1, temos que cada elemento de
F(I1;Y ) corresponde à escolha de um elemento de Y e, card F(I1;Y ) = card Y = n. Su-
ponha que card F(Im;Y ) = nm. Note que, para cada f ∈ F(Im+1;Y ), ∃! f |Im ∈ F(Im;Y )
tal que f é extensão de f |Im . Por outro lado, cada g ∈ F(Im;Y ) pode ser estendida a
exatamente card Y funções em F(Im+1;Y ). Portanto, card F(Im+1;Y ) = nm · card Y =
nm · n = nm+1.
Questão 4. Prove que todo conjunto finito não-vazio X de números naturais contém um
elemento máximo (isto é, existe x0 ∈ X tal que x ≤ x0 ∀ x ∈ X).
Demonstração: Seja Y = {n ∈ N;n > x,∀ x ∈ X}. Logo: Y 6= ∅ e Y ⊂ N. Então, pelo
PBO, Y possui um elemento mı́nimo. Tal elemento não pode se 1, então é sucessor de
algum número natural, que denotaremos por t + 1. Logo, t tem que satisfazer uma das
seguintes propriedades: ∃ a ∈ X; t < a ou ∃ a ∈ X; t = a. A primeira opção não pode
valer, pois teŕıamos: t < a < t + 1 que é absurdo. Mostremos que tal a é o máximo de
X. Seja z ∈ X, com z 6= a, então z < a, pois se t = a < z, então: a < z < a + 1, que é
absurdo.
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2.3 Conjuntos Infinitos
Definição – Conjunto Infinito: Diz-se que um conjuntoé infinito, quando não é finito.
Assim, X é infinito, quando não é vazio e nem existe uma bijeção f : In → X, seja qual
for n ∈ N.
Simbolicamente, temos: X infinito⇔ X não é finito / X infinito⇔ X 6= ∅ e @ f : In → X
bijetiva, ∀ n ∈ N.
Teorema 03: Se X é um conjunto infinito, então ∃ f : N→ X injetiva.
Demonstração: Primeiramente, para cada subconjunto A ⊂ X, com A 6= ∅, escolhemos
um xA ∈ A. Definamos então f : N→ X indutivamente. Ponhamos f(1) = xX e, supondo
já definidos f(1), ..., f(x), escrevemos: An = X−{f(1), ..., f(n)}. Como X é infinito, então
An 6= ∅. Definamos f(n+ 1) = xAn , completando assim a definição de f . Para provar que
f é injetiva, sejam m,n ∈ N, digamos com m < n. Então f(m) ∈ {f(1), ..., f(n − 1)} e
f(n) ∈ X − {f(1), ..., f(n− 1)}. Logo, f(m) 6= f(n).
Corolário 01: Um conjunto X é infinito se, e somente se, ∃ ϕ : X → Y bijetiva, com
Y X.
Demonstração: Com efeito, sejam X infinito e f : N → X injetiva. Escrevamos para
cada n ∈ N, f(n) = xn. Consideremos Y = X − {x1} X. Definamos a bijeção
ϕ : X → Y pondo ϕ(x) = x, se x 6= xn e ϕ(xn) = xn+1(n ∈ N). Reciprocamente, se
∃ ϕ : X → Y bijetiva, com Y X, então X é infinito, devido o Corolário 03 do Teorema
01 (Contra-positiva).
Observações:
i) N1 = N− {1} ⇒ ϕ : N→ N1, tal que ϕ(n) = n+ 1, é bijeção.
ii) Fixando p ∈ N;Np = {p+ 1, p+ 2, ...} ⇒ ϕ : N→ Np, tal que ϕ(n) = n+ p, é bijeção.
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iii) Galileu Galilei: Há tantos números pares quantos números naturais.
iv) P = {2, 4, 6, ...} ⇒ ϕ : N→ P , tal que ϕ(n) = 2n, é bijeção.
v) I = {1, 3, 5, ...} ⇒ ψ : N→ I, tal que ψ(n) = 2n− 1, é bijeção.
vi) N− P = I e N− I = P são infinitos, enquanto que: N− Np = {1, 2, 3, ..., p} é finito.
Observação: O conjunto N dos números naturais é infinito.
Prova 1: Com efeito, suponhamos que N não o seja. Dessa forma ∃ n ∈ N, tal que
ϕ : In → N é bijeção, isto é, N é finito. Seja p = ϕ(1)+...+ϕ(n). Então ϕ(x) < p,∀ x ∈ In,
donde p 6∈ ϕ(In). Logo, nenhuma função ϕ : In → N é sobrejetiva. Portanto, N é infinito,
ou seja, não ∃ ϕ : In → N bijetiva.
Prova 2: Com efeito, consideremos P = {2, 4, 6, ...}, o conjunto dos números pares,
sendo este um subconjunto próprio de N, ou seja, P N. Definamos: f : N→ P , tal que
f(n) = 2n. Logo, f é bijetiva. Segue que como P N, então do Corolário 3 do Teorema
1, N é infinito.
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Exerćıcios Resolvidos Sobre Conjuntos Infinitos:
Questão 1. Dada f : X → Y , prove:
(a) Se X é infinito e f é injetiva, então Y é infinito.
Demonstração: Notemos que f : X → f(X) é bijeção. ComoX é infinito, f(X) também
o é, pois, do contrário, ∃ n ∈ N, tal que g : In → f(X) é bijeção. Dáı, f−1 ◦ g : In → X
também o é, afirmando que X é finito, o que é absurdo. Dessa forma, f(X) é infinito e Y
também, pois se Y fosse finito, f(X) também seria, o que nos levaria a uma contradição.
(b) Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito.
Demonstração: Como f é sobre, ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X, tal que f(x) = y. Escolhamos então
para cada y ∈ Y , um x ∈ X, tal que g(y) = x. Com isso, definimos a função g : Y → X
injetiva. Logo, pelo resultado anterior, item (a), segue que X é infinito.
Questão 2. Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existe uma
função injetiva f : X → Y e uma função sobrejetiva g : Y → X.
Demonstração: Seja X = {x1, · · · , xm}. Escolhamos m elementos distintos de Y, a
saber y1, · · · , ym. Dessa forma, definamos: f : X → Y pondo f(xi) = yi. Claramente,
vemos que f é injetiva. Agora, denotemos A = {y1, · · · , ym} ⊂ Y e consideremos g : Y →
X definida por g(yi) = xi, se yi ∈ A e g(y) = xm, se y 6∈ A. Dessa maneira, claramente g
é sobrejetiva.
Questão 3. Prove que o conjunto P dos números primos é infinito.
Demonstração: Suponha que existam n primos, onde (pk)
n
1 . Vamos mostrar que existe
mais um primo distinto dos anteriores. Considere:
s =
(
n∏
k=1
pk
)
+ 1 = a+ 1.
17
Se esse número é primo, a demonstração termina. Se não, ele é composto e irá existir um
número primo p tal que p|s. Tal p não pode ser nenhum dos pk dados, pois se pk|s, então
pk|(s− a) = 1, o que é absurdo. Assim, existe um fator primo p 6= pk.
Questão 4. Dê exemplo de uma sequência decrescente X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · de
conjuntos infinitos cuja interseção
∞⋂
n=1
Xn seja vazia.
Demonstração: Seja In = {p ∈ N; p ≤ n}. Considere o conjunto: Xn = N− In = {p ∈
N; p > n}. Desta forma, temos que X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · e
∞⋂
n=1
Xn = ∅. Pois
dizer n0 ∈ N e ainda n0 ∈
∞⋂
n=1
Xn significa afirmar que n0 é maior que todos os números
naturais, o que é um absurdo.
18
2.4 Conjuntos Enumeráveis
Definição – Conjuntos Enumeráveis: Um conjunto X diz-se enumerável quando é
finito ou quando existe uma bijeção f : N→ X. Dessa forma, f chama-se uma enumeração
dos elementos de X. Escrevendo f(1) = x1, f(2) = x2, ..., f(n) = xn, ..., tem-se então
X = {x1, x2, ..., xn, ...}.
Podemos observar em śımbolos que, X enumerável:
(1) X finito: X = ∅ ou ∃ n ∈ N;h : In → X é bijeção.
(2) ∃ f : N→ X bijetiva. Note que N é infinito.
(3) f chama-se uma enumeração dos elementos de X.
(4) Enumeração: f(1) = x1, f(2) = x2, ..., f(n) = xn, ...⇔ X = {x1, x2, ..., xn, ...}.
Teorema 04: Todo subconjunto X ⊂ N é enumerável.
Demonstração: Se X for finito, é enumerável. Se for infinito, definiremos indutiva-
mente uma bijeção f : N → X. Pondo f(1) como menor elemento de X, suponhamos
f(1), ..., f(n) definidos de tal forma a satisfazerem as condições: (i) f(1) < f(2) < ... <
f(n) e (ii) pondo Bn = X − {f(1), f(2), ..., f(n)}, tem-se f(n) < x, ∀ x ∈ Bn. Notemos
que Bn 6= ∅, pois X é infinito. Então definamos: f(n+ 1) como sendo o menor elemento
de Bn. Logo, completamos a definição de f : N → X, satisfazendo (i) e (ii), ∀ n ∈ N.
Segue de (i) que f é injetiva. E de (ii), temos que f é sobre, pois se ∃ x ∈ N − f(N),
teŕıamos x ∈ Bn, e dáı x > f(n),∀ n ∈ N. Logo, f(N) ⊂ N, que é infinito, seria limitado,
o que é absurdo, pois contraria o Corolário 2, do Teorema 2.
Podeŕıamos também demonstrar o Teorema acima da seguinte forma:
Teorema 04: Todo subconjunto X ⊂ N é enumerável.
19
Demonstração: Se X é finito, então, por definição, é enumerável. Supondo X infinito,
então X 6= ∅ e pelo PBO, X tem um menor elemento, o qual denotaremos por x1.
Definamos A1 = X−{x1 6= ∅ ⊂ N}. Novamente, pelo PBO, A1 tem um menor elemento,
o qual chamaremos de x2, onde x1 < x2. Definamos A2 = X = {x1, x2} 6= ∅ ⊂ N.
Supondo definidos x1 < x2 < x3 < ... < xn e An = X − {x1, x2, x3, ..., xn} 6= ∅ ⊂ N, tem-
se, pelo PBO, que An possui um menor elemento, o qual denotaremos por xn+1. Agora,
definamos f : N → X, tal que f(n) = xn. Note que f está bem definida. Além disso, f
é injetiva, pois, dados m,n ∈ N, tal que m 6= n, com f(m) = xm e f(n) = xn, e supondo
m < n, então xm < xn. E dáı, por construção, xm 6= xn. Por outro lado, f também é
sobre, pois, caso contrário, existiria um elemento x ∈ X, tal que x > xn,∀ n ∈ N. Assim,
o conjunto X = {x1, x2, x3, ..., xn, ...} é limitado. Logo, N seria limitado, o que é um
absurdo. Portanto, f é sobrejetiva.
Corolário 01: Seja f : X → Y injetiva. Se Y é enumerável, então X também é. Em
particular, todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.
Demonstração: Com efeito, basta considerar o caso em que ∃ ϕ : Y → N bijetiva. Então
ϕ ◦ f : X → N é uma bijeção de X sobre um subconjunto de N, o qual é enumerável,
devido o teorema 4. No caso particular de X ⊂ Y , tomamos f : X → Y como a função
inclusão.
Corolário 02: Seja f : X → Y sobrejetiva. Se X é enumerável, então Y também é.
Demonstração: Como f é sobre, então ∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X, tal que f(x) = y. Dessa
forma, podemos escolher para cada y ∈ Y , um x ∈ X, tal que x = g(y). Isto define
uma g : Y → X injetiva, tal que f(g(y)) = y,∀ y ∈ Y . Segue do Corolário1, que Y é
enumerável.
Corolário 03: O Produto Cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto
enumerável.
20
Demonstração: Com efeito, se X e Y são enumeráveis, então existem sobrejeções f :
N → X e g : N → Y . Logo: ϕ : N × N → X × Y , dada por ϕ(m,n) = (f(m), f(n)) é
sobrejetiva. Dessa forma, basta provar que N× N é enumerável. Para isso, consideremos
a aplicação ψ : N × N → N, dada por ψ(m,n) = 2m · 3n. Logo, pela unicidade da
decomposição de um número em fatores primos, ψ é injetiva. Segue-se que N × N é
enumerável.
Corolário 04: A reunião de uma famı́lia enumerável de conjuntos enumeráveis é enu-
merável.
Demonstração: Com efeito, dados X1, ..., Xn, ... enumeráveis, existem sobrejeções: f1 :
N→ X1, ..., fn : N→ Xn, .... Tomando X =
⋃∞
n=1Xn, definimos a sobrejeção f : N×N→
N, pondo f(m,n) = fn(m). O caso de uma reunião finita X = X1 ∪ ... ∪Xn, reduz-se ao
anterior. Basta considerar: Xn+1 = Xn+2 = ... = ∅.
Observação: O conjunto enumerável é o menor dos infinitos. Dessa forma, todo conjunto
infinito contém um subconjunto infinito enumerável.
Exemplo 01: O conjunto Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...} dos números inteiros é enumerável.
Uma bijeção f : N→ Z pode ser definida pondo f(n) = n− 1
2
para n ı́mpar e f(n) = −n
2
para n par.
Formalmente, temos: Mostre que Z é enumerável.
Demonstração. Seja a função f : N → Z definida por f(n) = n− 1
2
, se n é ı́mpar
e f(n) = −n
2
se n é par. Desse modo, temos que f é bijeção e consequentemente Z é
enumerável. Com efeito, f é injetiva, pois dados m,n ∈ N tais que são ı́mpares, então
f(m) = f(n)⇒ m− 1
2
=
n− 1
2
⇒ m− 1 = n− 1⇒ m = n. Mas se m,n ∈ N são pares,
então f(m) = f(n) ⇒ −m
2
= −n
2
⇒ −m = −n ⇒ m = n. E f também é sobre, pois
∀ y ∈ Z+, y =
n− 1
2
⇒ 2y = n − 1 ⇒ n = 2y + 1, onde f(n) = y e n ∈ N é ı́mpar; e
ainda, ∀ w ∈ Z∗−, w = −
n
2
⇒ 2w = −n ⇒ n = −2w, onde f(n) = w e n ∈ N é par. E
dáı, Z+ ∪ Z∗− = Z = f(N).
21
Exemplo 02: O conjunto Q =
{
m
n
,m, n ∈ Z, n 6= 0
}
dos números racionais é enu-
merável. Com efeito, escrevendo Z∗ = Z − {0}, podemos definir uma função sobrejetiva
f : Z× Z∗ → Q, pondo f(m,n) = m
n
.
Formalmente, temos: Mostre que Q é enumerável.
Demonstração. Com efeito, escrevendo Z∗ = Z−{0}, temos que Z∗ ⊂ Z é enumerável.
Temos ainda que Z∗ × Z é enumerável, pois é o produto cartesiano de dois conjuntos
enumeráveis. Definamos a função sobrejetiva f : Z∗ × Z → Q, pondo f(m,n) = m
n
. De
fato, f é sobre, pois ∀ y ∈ Q, y = m
n
⇒ m = ny, onde f(ny, n) = y. Logo, como f é
sobre e Z∗ × Z é enumerável, temos que Q é enumerável.
Exemplo 03 – Um Conjunto Não Enumerável: Seja S o conjunto de todas as
sequências infinitas, como por exemplo: s : (0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, ...), formadas com os
śımbolos 0 e 1. Noutras palavras, S é o conjunto de todas as funções s : N→ {0, 1}. Para
cada n ∈ N, o valor s(n), igual a 0 ou 1, é o n-ésimo termo da sequência s. Afirmamos
que nenhum subconjunto enumerável X = {s1, s2, ..., sn, ...} ⊂ S é igual a S. Com efeito,
dado X, indiquemos com snm o n-ésimo termo da sequência sm ∈ X. Formamos uma
nova sequência s∗ ∈ S, tomando o n-ésimo termo de s∗ igual a 0 se for snn = 1, ou igual a
1, se for snn = 0. A sequência s
∗ não pertence ao conjunto X porque seu n-ésimo termo
é diferente do n-ésimo termo de sn.
22
Exerćıcios Resolvidos Sobre Conjuntos Enumeráveis:
Questão 1. Defina f : N×N pondo f(1, n) = 2n− 1 e f(m+ 1, n) = 2m(2n− 1). Prove
que f é uma bijeção.
Demonstração: Seja f : N× N→ N definida por
f(x, y) =
 2n− 1, se x = 1 e y = n2m(2n− 1), se x = m+ 1 e y = n.
Primeiramente, provemos que f é injetiva. Tomemos (1, n), (1, k) ∈ N × N. Logo, se
f(1, n) = (1, k), então n = k. Agora, tomemos (m + 1, n), (p + 1, q) ∈ N × N. Caso,
f(m + 1, n) = f(p = 1, q), temos que 2m(2n − 1) = 2p(2q − 1). Logo, pelo Teorema
Fundamental da Aritmética, m = p. Segue que temos 2n− 1 = 2q− 1, e dáı n = q. Dessa
forma, f é injetiva. Agora, mostremos que f é sobre. Seja r ∈ N. Se r é ı́mpar, então
r = 2n − 1, e dáı n = r + 1
2
, ou seja, ∃ (1, n) ∈ N × N, tal que f
(
1,
r + 1
2
)
= r. Mas
se r é par, então r = 2k(2n − 1), e dáı n = r + 2
k
2k+1
. Isto é, ∃ (k + 1, n) ∈ N × N, tal que
f
(
k + 1,
r + 2k
2k+1
)
= r. Desse modo, f é sobre. Portanto, obtemos que f é bijetiva.
Questão 2. Prove que existe g : N → N sobrejetiva tal que g−1(n) é infinito, para cada
n ∈ N.
Demonstração: Seja g : N→ N definida como minEn, com En = {k ∈ N; k é o expoente
da decomposição de n em números primos} e g(n) = n, caso contrário. Então provemos
que g é sobre. De fato, tomando n ∈ N,∃ r = 2n · 3n+k ∈ N, tal que g(r) = n, e k ∈ N.
Agora, mostremos que g−1(n) é infinito, ∀ n ∈ N. Com efeito, pela definição de g, temos
que g(2n ·3n+k) = n,∀ n, k ∈ N. Seja M = {r ∈ N; r = 2n ·3n+k,∀ n, k ∈ N}. Logo, M ⊂ N
é infinito e enumerável. Mas g−1(n) ⊂M , e por transitividade, tem-se g−1(n) ⊂ N, donde
conclúımos que g−1(n) é infinito e enumerável, ∀ n ∈ N.
Questão 3. Exprima N = N1∪N2∪N3∪· · ·∪Nn∪· · · como união infinita de subconjuntos
infinitos, dois a dois disjuntos.
23
Demonstração: Seja Ap = {pk; p é primo e ∀ k ∈ N}. Temos então definidos: A2 =
{2, 4, 8, 16, ...}, A3 = {3, 9, 27, ...}, A5 = {5, 25, 125, ...}, A7 = {7, 49, ...}, ..., os quais são
infinitos e Aj ∩ Ai = ∅, com j 6= i. Definamos ainda: A1 = N − A2 ∪ A3 ∪ A5 ∪ A7 ∪ ....
Agora, tomando A1 = N1, A2 = N2, A3 = N3, A5 = N4, A7 = N5, ..., temos: N1 =
N−N2∪N3∪N4∪N5∪ ... = N−
∞⋃
k=2
Nk. Portanto, segue o resultado, ou seja, N =
∞⋃
k=1
Nk,
com Nk infinito, ∀ k ∈ N e Nj ∩ Ni = ∅, com j 6= i.
Questão 4. Para cada n ∈ N, seja Pn = {X ⊂ N; card X = n}. Prove que Pn é
enumerável. Conclua que o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N é enumerável.
Demonstração: Seja Pn = {X ⊂ N; card X = n}, Definamos f : Pn → Nn, onde
f(X) = (m1,m2, · · · ,mn), com X = {m1 < m2 < · · · < mn}. Notemos que Nn =
N×N×N×...×N é enumerável, pois é produto cartesiano finito de conjuntos enumeráveis.
Notemos ainda que f é injetiva. Com efeito, dados X, Y ∈ Pn, tem-se f(X) = f(Y ) ⇒
(x1, x2, x3, ..., xn) = (y1, y2, y3, ..., yn) ⇒ x1 = y1, x2 = y2, x3 = y3, ..., xn = yn. Segue
que X = Y . E dáı, como f é injetiva e Nn é enumerável, temos que Pn é enumerável.
Como Pf é o conjunto de todos os subconjuntos finitos de N, isto é, Pf =
∞⋃
n=1
Pn, então
Pf é enumerável, pois é reunião de uma famı́lia enumerável de subconjuntos enumeráveis,
sendo que X ⊂ N é enumerável.
Questão 5. Prove que o conjunto P (N) de todos os subconjuntos de N não é enumerável.
Demonstração: Definimos a função f : X → P (N), onde X é o conjunto de sequências
de elementos 0 ou 1, da seguinte forma: Para cada sequência (xk), definimos: f(xk) = V =
{k;xk 6= 0}. Tal função é bijeção, pois dados duas sequências distintas (xk) e (yk), então
∃ k;xk 6= yk, e sem perda de generalidade, yk = 0, então k 6∈ f(yk) e k ∈ f(xk). Logo, as
imagens são distintas. A função também é sobrejetiva, pois dado um subconjunto V ⊂ N,
a ele está associado a sequência (xk), onde xk = 0 se k 6∈ V e xk = 1, se k ∈ V . Como tal
função é bijeção e X é não enumerável, segue que P (N) também é não numerável.
Questão 6. Sejam Y enumerável e f : X → Y tal que, para cada y ∈ Y, f−1(y) é
enumerável. Prove que X é enumerável.
24
Demonstração: Notemos que X =
⋃
y∈Y f
−1(y), então X é União Enumerável de Con-
juntos Enumeráveis. Logo, X é Enumerável.
25
3 Preliminares Para Construção do Conjunto dos Números
Reais
Definição 3.1. Anel. Um sistema matemático constitúıdo de um conjunto não-vazio
X e um par de operações sobre A, respectivamente uma adição (x, y) 7−→ x + y e uma
multiplicação (x, y) 7−→ x · y = xy, é chamado anel se:
(i) (X,+) é um grupo Abeliano, isto é: Se a, b, c ∈ X, então a + (b + c)= (a + b) + c;
Se a, b ∈ X, então a + b = b + a;∃ 0X ∈ X;∀ a ∈ X, a + 0X = a; e, ∀ a ∈ X, ∃ − a ∈
X; a+ (−a) = 0X , onde −a é o elemento inverso e 0X é o elemento neutro.
(ii) Na multiplicação, temos: Se a, b, c ∈ X, então a(bc) = (ab)c.
(iii) A multiplicação é distributiva em relação à adição: Se a, b, c ∈ X, então a(b + c) =
ab+ ac e (a+ b)c = ac+ bc.
Definição 3.2. Anel Com Unidade. Seja X um anel. Se X conta com elemento
neutro para a multiplicação, ou seja, se existe um elemento 1X ∈ X, 1X 6= 0X , tal que
a · 1X = 1X · a = a,∀ a ∈ X, então se diz que 1X é a unidade de X e que X é um Anel
Com Unidade.
Definição 3.3. Anel Comutativo Com Unidade. Um anel cuja multiplicação é co-
mutativa e que possui unidade chama-se anel comutativo com unidade.
Definição 3.4. Anel de Integridade. Seja X um anel comutativo com unidade. Se
para esse anel vale a lei do anulamento do produto, ou seja, se uma igualdade do tipo
ab = 0X em que a, b ∈ X, só for posśıvel para a = 0X ou b = 0X , então se diz que X é
um anel de integridade ou domı́nio de integridade. A contra-positiva é: Se a 6= 0 e b 6= 0,
então ab 6= 0.
26
Definição 3.5. Corpo. Seja K um anel comutativo com unidade. Se U(K) = K∗ =
K − {0}, então K recebe o nome de corpo. A notação U(X) indica os elementos de um
anel X que tem inverso, os quais são chamados de inverśıveis. Desse modo, U(X) 6= ∅, e
não inclui o zero.
Definição 3.6. Definição Mais Conveniente Para Corpo. Um objeto matemático
constitúıdo de um conjunto não-vazio K, uma adição e uma multiplicação sobre K recebe
o nome de corpo: Se K é um grupo Abeliano no que se refere à adição; Se 0 indica o
elemento neutro da adição e K∗ = K − {0} é um grupo Abeliano no que se refere à
multiplicação e se a multiplicação é distributiva em relação à adição.
Definição 3.7. Outra Definição Posśıvel Para Corpo. Seja K um anel comuta-
tivo com unidade. Este é denominado corpo se todo elemento não-nulo possuir inverso
multiplicativo, isto é, ∀ x ∈ K, x 6= 0⇒ ∃ x−1 ∈ K;x · x−1 = 1.
27
4 Números Reais
Para ińıcio de conversa, o conjunto dos números reais será simbolizado por R.
Dessa forma, vamos descrever suas propriedades e as consequências destas, as quais serão
utilizadas posteriormente.
4.1 R é Um Corpo
Quando se diz que R é um corpo, então estão definidas em R duas operações,
chamadas Adição e Multiplicação, que cumprem certas condições:
(i) A adição faz corresponder a cada par x, y ∈ R, sua soma x+ y ∈ R;
(ii) A multiplicação associa a cada par x, y ∈ R, seu produto x · y ∈ R.
Essas operações obedecem os seguintes axiomas:
(1) Associatividade: ∀ x, y, z ∈ R, (x+ y) + z = x+ (y + z) e (x · y) · z;
(2) Comutatividade: ∀ x, y ∈ R, x+ y = y + x e x · y = y · x;
(3) Elementos Neutros: ∃ 0, 1 ∈ R, distintos, tais que x+ 0 = x e x · 1 = x,∀ x ∈ R;
(4) Inversos: ∀ x ∈ R,∃! − x ∈ R, tal que x + (−x) = 0, onde −x é chamado inverso
aditivo. E se x 6= 0, ∃! x−1 ∈ R, tal que x · x−1 = 1, onde x−1 é denominado inverso
multiplicativo;
(5) Distributividade: ∀ x, y,∈ R, x · (y + z) = x · y + x · z.
28
Há de se notar que dos axiomas acima tem-se todas as regras comumente conhecidas
de manipulação com números reais. A seguir temos algumas dessas regras:
(i) Da Comutatividade: ∀ x ∈ R, 0 + x = x e −x+ x = 0, e ainda: 1 · x = x e x−1 · x = 1,
quando x 6= 0.
(ii) Diferença: A soma x + (−y) será indicada por x − y e denomina-se diferença entre
x, y ∈ R.
(iii) Quociente: Se y 6= 0, o produto x · y−1 pode ser representado também por x
y
e é
denominado quociente de x por y.
(iv) Subtração e Divisão: As operações (x, y) 7−→ x − y e (x, y) 7−→ x
y
são denominadas
respectivamente, subtração e divisão, com y 6= 0 para esta última.
(v) Da Distributividade: ∀ x ∈ R, x · 0 +x = x · 0 +x · 1 = x · (0 + 1) = x · 1 = x. Ou seja,
x · 0 + x = x. E somando −x a ambos os membros desta igualdade, obtemos: x · 0 = 0.
(vi) De x · y = 0, conclui-se que x = 0 ou y = 0. De fato, se y 6= 0, então pode-se
multiplicar ambos os membros de x ·y = 0 por y−1 e dáı: x ·y ·y−1 = 0 ·y−1, donde x = 0.
(vii) Da Distributividade, tem-se ainda as “regras de sinais”: x ·(−y) = (−x) ·y = −(x ·y)
e (−x) · (−y) = xy. De fato, temos: x · (−y) + x · y = x · (−y + y) = x · 0 = 0. Donde
x · (−y) + x · y = 0. Agora, somando ambos os membros desta igualdade por −(x · y),
temos: x · (−y) = −(x · y). De modo análogo, obtemos (−x) · y = −(x · y). E destas
igualdades, obtém-se: (−x) · (−y) = −[x · (−y)] = −[−(x · y)] = x · y. Em particular,
temos: (−1) · (−1) = 1.
(viii) A igualdade −(−z) = z, resulta de somar-se z a ambos os membros da igualdade:
−(−z) + (−z) = 0.
(ix) Se x, y ∈ R é tal que x2 = y2, então x = ±y. De fato, de x2 = y2, tem-se 0 =
29
x2 − y2 = (x+ y) · (x− y) e, como sabemos, o produto de dois números só é zero quando
no mı́nimo um dos fatores é zero.
4.2 R é Um Corpo Ordenado
Em outras palavras, ∃ R+ ⊂ R, denominado o Conjunto dos Números Reais Posi-
tivos, o qual cumpre as seguintes condições:
P1. A Soma e o Produto de números reais positivos são positivos, isto é: Dados x, y ∈ R+
então x+ y ∈ R+ e x · y ∈ R+.
P2. Dado x ∈ R, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou x = 0, ou
x ∈ R+ ou −x ∈ R+.
Observações:
(1) Tomando R− como o conjunto dos números −x onde x ∈ R+, da condição P2, tem-se
R = R+ ∪ R− ∪ {0}, e ainda: R+,R− e {0} são conjuntos dois a dois disjuntos, ou seja,
R+ ∩ R− = R+ ∩ {0} = R− ∩ {0} = ∅. Podemos representar também R+ como R∗+,
e R− como R∗−, onde ∗ indica a exclusão de 0 ∈ R. E ainda, os números y ∈ R− são
denominados de negativos.
(2) Todo x ∈ R, com x 6= 0, tem quadrado positivo. De fato, se x ∈ R+, então x2 = x ·x ∈
R+, devido P1. Se x 6∈ R+, então −x ∈ R+, e ainda devido P1, tem-se x2 = (−x) · (−x) ∈
R+. E em particular, 1 é um número positivo, pois 1 = 12 = 1 · 1.
Definição 4.1. Menor/Maior. Escreve-se x < y e diz-se que x é menor do que y,
quando y − x ∈ R+, ou seja, ∃ z ∈ R+, tal que y = x+ z.
30