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Processo dos Esforços em Treliças

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PROCESSO DOS ESFORÇOS
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2015
Processo dos esforços
Processo dos Esforços
Aplicado a treliças
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
2
Aplicado a treliças
Treliças
Chama-se de treliça ideal ao sistema 
reticulado cujas barras tem todas as 
extremidades rotuladas e cujas cargas 
estejam aplicadas apenas em seus nós.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
estejam aplicadas apenas em seus nós.
Com estas hipóteses só aparecem forças 
normais constantes em cada barra. 
Treliça
Momento = 0
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
Momento = 0
Esforço cortante = 0
Classificação
Seja: b = no. de barra + reações
n = no. de nó
Treliça hipostática b < 2n
b = 7
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
b = 7
n = 4
b = 7 < n = 2 . 4 = 8
Treliça isostática b = 2n
Classificação
b = 8
n = 4
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
n = 4
b = 8 = n = 2 . 4 = 8
Treliça hiperestática externamente 
b > 2n
Classificação
b = 9
n = 4
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7
n = 4
b = 9 > n = 2 . 4 = 8
Método de cálculo
Os métodos de cálculo para treliças isostáticas 
são:
1) Equilíbrio de nós
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8
2) Cremona – processo de gráfico
Método de cálculo
Para treliças hiperestáticas pode ser aplicado o 
processo dos esforços:
A solução de treliças hiperestáticas é feita 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9
através de uma superposição de efeitos e 
estabelecimento de um sistema de equações 
de compatibilidade de deslocamentos...
Processo dos esforços
No caso de treliças só haverá a parcela do 
esforço normal:
∆i0 = � Ni∙N0EA dxEstr = �
Ni∙N0
EA
∙L
Barras
 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
10
�
Estr
�
Barras
ij = �
Ni∙Nj
EA
dx
Estr
= � Ni∙Nj
EA
∙L
Barras
 
Processo dos esforços
Quando se tem uma treliça uma vez 
hiperestática externamente...
b=11
n=5
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
11
n=5
11>2.5
11>10
GH=1
Processo dos esforços
Deve-se retirar apenas um vínculo incógnito 
interno ou externo:
ou
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
12
ou
Treliças isostáticas fundamentais possíveis...
Processo dos esforços
Escolhe-se retirar o apoio móvel do nó 5 
que passa a ser chamada de incógnita 
hiperestática X1...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
13
≡
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
14
(r) = ( r’) = (0) + X1(1)
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
externo...
→ O problema (1) fica com o carregamento 
unitário...
Processo dos esforços
Sistema de equação de 
compatibilidade de deslocamento:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
15
∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0 X1 = - 
∆10
δ11
 
Processo dos esforços
Generalizando...
Caso se tenha uma estruturas “n” vezes 
hiperestática, adota-se “n” incógnitas 
hiperestáticas X1, X2, ..., Xn definindo uma 
Estrutura Isostática Fundamental... 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
16
Estrutura Isostática Fundamental... 
A aplicação conveniente do Princípio de 
Superposição de Efeitos conduz à equação 
de superposição:
(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2) +...+ Xn(n)
Processo dos esforços
Sistema de equações de compatibilidade de 
deslocamentos...
∆1,real = ∆10 + δ11 X1 + δ12 X2 +...+ δ1n Xn
∆ = ∆ + δ X + δ X +...+ δ X
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
17
∆2,real = ∆20 + δ21 X1 + δ22 X2 +...+ δ2n Xn
⋅
⋅
⋅
∆n,real = ∆n0 + δn1 X1 + δn2 X2 +...+ δnn Xn
Processo dos esforços
O sistema de equações de compatibilidade 
de deslocamentos usando a notação 
matricial pode ser escrito:
�δij�∙�Xi�=�∆i,real-∆i0� 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
18
� � � � � �
Obs → i indica a incógnita hiperestática
j indica qual o problema 
Processo dos esforços
Exemplo GH=2
δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10
δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20
	 δ11 δ12
δ21 δ22
 	X1
X2
= �∆1,real-∆10
∆2,real-∆20
� 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira
19
	
δ21 δ22
 	
X2
 �
∆2,real-∆20
�
Obs 1 → Os deslocamentos δij são denominados 
coeficientes de flexibilidade e [δij] é a matriz de 
flexibilidade.
Obs 2 → A matriz é simétrica δij = δji, 
portanto δ12 = δ21

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