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Estatística 
Aplicada 
Aula 6
MEDIDAS DE T EN DÊNCIA 
CEN TRAL – MÉDIA, MEDIANA E 
MODA
Mediana - Md
Para resolver a distorção de números discrepantes e assimétricos, utiliza-se da
mediana, o número no meio dos números (ou a média dos dois números no meio).
Numa relação de números ordenados do maior para o menor existe um número
que separa todos os números em dois grupos iguais, os números maiores que a
mediana e os números menores. Os analistas argumentam que a mediana é
melhor do que a média para representar a tendência central dos números na
presença de dados muito diferentes que os outros. Isso ocorre porque a mediana é
insensível aos valores muito grandes ou muito pequenos.
Mediana para dados não agrupados (Dados Brutos ou Rol)
O objetivo da mediana é calcular valor central da série. Para representar a
mediana usamos: Md. Por definição, a mediana separa o número de elementos
da série em dois grupos, contendo cada um deles 50% dos elementos.
Para obter a mediana, primeiro coloca a sequência numérica em ordem
crescente ou decrescente. Depois, verificamos se a amostra é par ou ímpar e
adotamos um dos procedimentosa seguir.
• Se o número de elementos da série for ímpar, o valor da mediana é o número
central da sequencia, para encontrar este número você irá usar a seguinte
fórmula: 𝑛+1
2
• Se o número de elementos da série for par, o valor da mediana é os dois
números centrais da sequencia, para encontrar este número você irá usar as
seguintes fórmulas:
𝑛
2
𝑒 𝑛
2
+ 1 , os números que ocupam estas posições você irá calcular a
média para obter o resultado.
Exemplo1: Determinar a mediana do conjunto:
X: 2, 20, 12, 23, 20, 8, 12.
Solução: ordenando estes elementos obtemos o Rol: X: 2, 8, 12, 12, 20, 20, 23.
O número de elementos é n = 7 (ímpar), a posição do termo central é º4º
2
17
=




 +
A mediana é o 4º elemento do Rol: md= 12.
O valor 12 deixa à sua esquerda e à sua direita o mesmo número de elementos,
sendo, portanto, o elemento central da série.
Interpretação: “50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 12 e
50% dos valores da série são valores maiores ou iguais a 12”.
Exemplo2: Determinar a mediana do conjunto: X: 8, 12, 15, 2, 7, 4, 20, 21.
Como decidir quem é a mediana neste caso? Vamos localizar o 4º elemento e
o 5º elemento na série:
X: 2, 4, 7, 8, 12, 15, 20, 21. 8 é o quarto elemento e 12 é o quinto elemento,
então nossa decisão será a média aritmética simples entre esses dois valores:
Como interpretamos esta Mediana?
Resposta: 50% dos valores do Rol são valores menores ou iguais a
10 e 50% dos valores do Rol são valores maiores ou iguais a 10.
Uma máquina produz peças que são embaladas em caixas contendo 48 unidades.
Uma pesquisa realizada com 59 caixas revelou a existência de peças defeituosas
seguindo a tabela:
Nº de peças 
defeituosas por caixa
Número de caixas 
(fi) fac
0 20 20
1 15 35
2 12 47
3 6 53
4 4 57
5 2 59
Total 59 ------
Determine o valor mediano da série.
Dados agrupados – Variável discreta (sem intervalo de classe)
(n+1)/2 = (59+1)/2 = 
60/2 = 30ª
30ª posição está 
dentro do fac 35, que 
corresponde ao xi = 1
Ou seja, Md = 1 peça 
defeituosa por caixa. 
Exemplo:
Calcule a idade mediana dos alunos de uma classe de primeiro semestre de
determinada Universidade, em anos.
Idade (xi) Quantidade (fi) Fac
23 5 5
24 6 11
26 8 19
27 7 26
29 4 30
Total 30 -----
n/2 = 30/2 = 15º
(n/2)+1 = (30/2)+1 = 
15+1=16º
15º e 16º elementos estão 
no fac 19.
O elemento mediano é o 
26.
Md = 26 anos. 
Dados agrupados – Variável contínua (com intervalo de classe)
Já para variável contínua, uma tabela com intervalo de classes, utilizaremos a seguinte
metodologia:
1º Calcular a frequência acumulada da tabela;
2º Calcule n
2
, independente de n ser par ou ímpar
3 º Através da frequência acumulada, encontramos a classe mediana, aplicando a seguinte 
fórmula:
h
fi
facn
liMd ant .2 






 −
+=
Onde:
Md = mediana
li = limite inferior da classe
𝑓𝑎𝑐𝑎𝑛𝑡 = frequência acumulada da classe anterior
h = amplitude do intervalo de classe.
Exemplo: Determinar a mediana da distribuição.
Classe Intervalo de classe 𝒇𝒊 fac
1 2 |--------------- 5 1 1
2 5 |--------------- 8 10 11
3 8 |--------------- 11 8 19
4 11 |--------------- 14 1 20
-- Total 20 ----
h
fi
facn
liMd ant .2 






 −
+=
1º - calcular a coluna do fac.
2º - utilizar a fórmula n/2, 
para ímpar ou par.
n/2 = 20/2 = 10º elemento
3º - identificar a qual fac
pertence o 10º elemento. 
No caso o 10º elemento está 
no fac 11.
li = 5
n/2 = 20/2=10
Fac ant=1
fi = 10
h = Ls – Li = 8-5=3
𝑀𝑑 = 5 +
10 − 1
10
. 3 = 𝑀𝑑 = 7,7
Exercícios
1) Uma empresa preocupada com a qualidade de vida do seu quadro de diretores
resolveu adequar o plano de saúde para a faixa etária em que eles se encontravam,
mas precisava fazer um plano único para eles. Para isso precisa conhecer os valores
das medidas de posicionamento, considerando as idades: 74, 73, 89, 40, 41, 49, 50,
64. Calcule a mediana.
2) Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de uma 
faculdade, revelou a seguinte tabela:
Idade 
(anos) xi
Número de 
alunos fi
fac
17 3
18 18
19 17
20 8
21 4
∑ 50
Determine a idade mediana dos calouros.
3) Calcule a mediana para a distribuição representativa dos salários de 25
funcionários selecionados em uma empresa.
Cla
sse
Salários US$
Nº de 
funcionár
ios
fac
1 1.000,00 |------ 1.200,00 2
2 1.200,00 |------ 1.400,00 6
3 1.400,00 |------ 1.600,00 10
4 1.600,00 |------ 1.800,00 5
5 1.800,00 |------ 2.000,00 2
25
4) O departamento de recursos humanos de uma empresa, tendo em vista o aumento de
produtividade de seus vendedores, resolveu premiar com um aumento de 5% no salário, a
metade de seus vendedores mais eficientes. Para isto, fez um levantamento de vendas
semanais, por vendedor, obtendo a tabela:
Classe Vendas US$
Nº de 
vendedores
fac
1 0 |------ 10.000,00 1 1
2 10.000,00 |------ 20.000,00 12 13
3 20.000,00 |------ 30.000,00 27 40
4 30.000,00 |------ 40.000,00 31 71
5 40.000,00 |------ 50.000,00 10 81
---- Total 81 -----
A partir de qual volume de vendas o vendedor será premiado?
5) A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho, por dia, em
uma indústria Petroquímica, verificados durante um mês. Calcule o número mediano
de acidentes por dia.
Classe Nº de acidentes Nº de dias fac
1 0|--------- 2 20 20
2 2|--------- 4 5 25
3 4|--------- 6 6 31
4 6|--------- 8 2 33
-- Total 33 ---
Moda - Mo
A moda é o valor que apresenta maior frequência no conjunto de números em
questão, ou seja, que se repetem mais vezes. Desta forma podemos ter conjuntos
de números:
✓ unimodal, quandoum único valor se repete, por exemplo: { 1, 2, 3, 2}, Mo = 2
✓ bimodal, quando dois valores se repetem com a mesma frequência, por exemplo:
{ 3, 2, 5, 4, 8, 2, 4}, Mo = 2 e 4.
✓ multimodal, quando três ou mais valores se repetem com a mesma frequência,
por exemplo: { 3, 6, 7, 6, 4, 5, 4, 3, 1}, Mo = 3, 4 e 6.
✓ amodal, quandonenhumvalor se repete.
Moda – Dados não agrupados (Dados Brutos ou Rol)
Exemplo 1:
X: 2, 8, 3, 5, 4, 5, 3, 5, 5, 1.
O elemento de maior frequência é 5. Portanto, Mo = 5. É uma sequencia
unimodal.
Exemplo 2:
X: 6, 10, 5, 6, 10, 2.
Esta sequencia apresente o elemento 6 e o elemento 10 como elementos de
maior frequência. Portanto, Mo = 6 e Mo = 10. É uma sequencia bimodal.
Moda – Variável Discreta
Na variável discreta segue o mesmo padrão, ou seja, a moda será o elemento 
que indicar a maior frequência. No exemplo abaixo Mo = 7.
Moda – Variável Contínua
Para uma distribuição com intervalo de classe, variável contínua, temos que seguir os 
seguintes passos:
1º Identifica-se a classe modal (aquela que possui maior frequência).
2º Encontrar os valores de ∆1 e ∆2, onde: 
3º Aplica-se a fórmula (Moda de Czuber) : 
hliMo .
21
1






+

+=
Exemplo:
Classe Intervalo de Classe fi
1 0 |------------- 4 3
2 4 |-------------8 5
3 8 |------------- 12 7
4 12 |------------- 16 4
∑ ------------- 19
hliMo .
21
1






+

+=
∆1 = 7 – 5 = 2
∆2 = 7 – 4 = 3
𝑀𝑜 = 8+
2
2 + 3
. 4
Mo = 9,6
Exercícios
1) Calcule a moda da distribuição do número de acidentes diários, observados em um 
cruzamento, durante 40 dias:
Nº de acidentes 
por dia
Nº de dias
0 30
1 5
2 3
3 1
4 1
2) Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de uma 
faculdade, revelou a seguinte tabela:
Idade (anos) xi Número de alunos fi
17 3
18 18
19 17
20 8
21 4
∑ 50
Determine a idade modal dos calouros.
3) Calcule a moda para a distribuição representativa dos salários de 25 funcionários
selecionados em uma empresa.
Classe Salários US$ Nº de funcionários
1 1.000,00 |------ 1.200,00 2
2 1.200,00 |------ 1.400,00 6
3 1.400,00 |------ 1.600,00 10
4 1.600,00 |------ 1.800,00 5
5 1.800,00 |------ 2.000,00 2
25
4) A empresa X-Tec solicitou ao RH que realizasse um levantamento dos salários de seus
vendedores e apurasse a moda salarial entre eles.
Classe Salário US$ Nº de vendedores
1 0 |------ 10.000,00 1
2 10.000,00 |------ 20.000,00 12
3 20.000,00 |------ 30.000,00 27
4 30.000,00 |------ 40.000,00 31
5 40.000,00 |------ 50.000,00 10
---- Total 81
OBRIGADA!
Prof. Denise Benino