Primeira_lista_Introdu__o_a__lgebra_linear_2022_1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA - DM - CCEN
DISCIPLINA: Introdução a Álgebra Linear - 2022.1
PROFESSORA: Flávia Jerônimo
ALUNO(A): MATRÍCULA:
1ª Lista
Exerćıcio 1. Defina subespaço.
Exerćıcio 2. Seja V = R2. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas
respostas.
a) W = {(x, y) ∈ R2 ; x− 3y = 0}.
b) W = {(x, y) ∈ R2 ; x+ y ≥ 2}.
c) W = {(x, y) ∈ R2 ; x = |y|}.
Exerćıcio 3. Seja V = R3. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas
respostas.
a) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ z = 0 e y = 0}.
b) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = z + 1}.
c) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; xy = 0}.
Exerćıcio 4. Seja V = P2. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas
respostas.
a) W = {p(x) ∈ P2 ; p(0) = 0}.
b) W = {p(x) ∈ P2 ; p(1) = 0}.
c) W = {p(x) = ax2 + bx+ c ∈ P2 ; a = 0}.
d) W = {p(x) = ax2 + bx+ c ∈ P2 ; p(−x) = p(x)}.
Exerćıcio 5. Seja V = R4. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas
respostas.
a) W = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x+ y = 0 e z + t = 0}.
b) W = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x− y + z = 0 e t = 0}.
Exerćıcio 6. Seja V = M2×2. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas
respostas.
a) W =
{(
a b
c d
)
∈ M2×2 ; a = c e b+ d = 0
}
.
b) W =
{(
a b
c d
)
∈ M2×2 ; a+ d ≤ d+ c
}
.
Exerćıcio 7. Encontre geradores para os seguintes subespaços de R3.
a) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− z = 0}.
b) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ z = x− 2y = 0}.
c) W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 2y − 3z = 0}.
Exerćıcio 8. Verifique se os seguintes subconjuntos de R3 são LI.
a) α = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}.
b) α = {(1, 2, 1), (0, 3, 5), (1,−1,−4)}.
c) α = {(1, 8, 1), (1, 9, 5), (0, 0, 0)}.
Exerćıcio 9. Considere p(x) = 2x2 − 3x+ 1. O conjunto α = {p(x), p′(x), p′′(x)} é LI em P2?
Exerćıcio 10. Defina base e dimensão de um espaço vetorial:
Exerćıcio 11. Sejam W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4; x + y = 0 e z + t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈
R4; x− y + z = 0 e t = 0} subespaços de R4.
a) Exiba uma base e a dimensão de W1 e W2. Justifique suas respostas.
b) Exiba uma base e a dimensão de W3 = {(x, y, z, t);x = y = z = t = 0}. Justifique sua resposta.