Aula 2 - Vetores

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Vetores
Grandezas escalares: grandezas totalmente determinadas por um valor numérico e uma unidade. Ex.: volume, massa, densidade.
Grandezas vetoriais: grandezas que, além do valor numérico e da unidade, precisam de uma orientação espacial (direção e sentido). Ex.: velocidade, aceleração, força.
	Vetor é um ente matemático constituído de um módulo, uma direção e um sentido, utilizado para representar as grandezas vetoriais.
Ciências da Natureza – Física Prof: Mayronne Coutinho 
Para o vetor temos: 
Para o vetor temos: 
Adição de vetores
Considere dois vetores de módulos a e b. O vetor soma (também chamado de resultante) será dado por:
regra do polígono 
origem
(“bundinha”)
extremidade
(“cabecinha”)
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Regra do paralelogramo: considere dois vetores de módulos A e B. O vetor soma (também chamado de resultante) será dado por
O módulo do vetor resultante (soma) será dado por:
De acordo com a Trigonometria temos que , logo:
Pela lei dos cossenos no triangulo DEF, temos: 
D
F
E
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Casos particulares
Vetores de mesma direção e sentido 
Nesse caso temos α = 00, logo:
Obs.: nesse caso, as equações algébrica e vetorial coincidem!!!
Vetores de mesma direção e sentidos contrários 
Nesse caso temos α = 1800, logo:
Obs.: em termos vetoriais, foi feita uma soma!!! Contudo, o valor (módulo) do vetor soma (resultante) é dado pela diferença entre os vetores!!! 
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Vetores perpendiculares entre si 
Nesse caso temos α = 900, logo:
(UNIFENAS-2017/2) Levando-se em consideração que cada quadradinho possua aresta equivalente a uma unidade, qual será o valor da soma de todos os vetores?
RESOLUÇÃO
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Treine 
Somando os vetores restantes, temos:
Logo:
D
Determine o módulo da resultante dos vetores dados: 
RESOLUÇÃO
	Como a regra do paralelogramo nos permite que façamos a resultante apenas de 2 em 2, então comecemos obtendo o vetor resultante entre a e b. 
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Usando a equação da regra do paralelogramo, temos:
Logo:
Será feita agora a resultante entre os vetores c e Rab. Dessa forma, temos:
Logo:
Subtração de vetores
Por definição, o vetor oposto é aquele que tem sentido contrário ao do vetor , logo 
Uma subtração vetorial consistirá então na seguinte operação:
o vetor D é o resultante entre os vetores A e o oposto de B
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Considere os dois vetores e da figura, cujos módulos são iguais a 5 e 6. 
Determine o módulo do vetor , tal que:
Resolvendo a equação vetorial, temos:
RESOLUÇÃO
Representando os vetores, temos:
De acordo com a regra do paralelogramo, temos:
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Decomposição de um vetor
Considere um vetor . Decompor esse vetor significa obter suas projeções nos eixos perpendiculares, de tal forma que: 
Para as componentes do vetor temos:
(UFLA) Os vetores a, b, c, representados na figura têm resultante nula. Quais os módulos dos vetores
RESOLUÇÃO
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Fazendo a decomposição dos vetores “a” e “b”, temos:
teremos o mesmo valor para a componente y
Substituindo os vetores resultantes por suas componentes, temos:
Como a resultante dos três deve ser nula, temos:
EIXO Y
EIXO X
A
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Obs.: versores são vetores de módulo unitário
O vetor então terá a seguinte representação:
EXEMPLOS e
(UEFS-2016) Grandezas vetoriais são frequentemente expressas em termos de vetores unitários que são os que não possuem dimensão, mas têm módulo igual a +1 e são utilizados para especificar uma determinada direção e sentido, não tendo nenhum outro significado físico. Considerando-se os três vetores velocidades:
Então o vetor tem módulo, em m/s, de, aproximadamente:
a) 14,5 		b) 14,7 		c) 14,9 		d) 15,1 		e) 15,3 
RESOLUÇÃO
A velocidade pedida será:
Logo:
E
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0
: 13
: 30 
: 
móduloBB
direçãoaquelaqueformacomoeixoxpositivo
sentidoaproximadamentenordeste
ì
=@
ï
ï
í
ï
ï
î
ur
A
ur
: 2
: 
: ()
móduloAA
direçãohorizontal
sentidoparaadireitaleste
ì
==
ï
ï
í
ï
ï
î
ur
B
ur
RAB
=+
ururur
Sab
=+
urrr
Sabc
=++
urrrr
00
180180
qaqa
+=Þ=-
(
)
222222
2cos2.cos
SababSabab
aa
=+--Þ=++
(
)
2
222022
2.cos02
SabababababSab
=++=++=+Þ=+
(
)
222220
2.cos2.cos180
Sabababab
qa
=+-=+--
(
)
0
cos180cos
aa
-=-
(
)
2
222022
2.cos1802
SabababababSab
=++=+-=-Þ=-
22202222
2.cos90
RABABABRAB
=++=+Þ=+
(
)
(
)
RBFCE
=+++
ururururur
222
133178
RR
=+Þ=
R
ur
CE
+
urur
BF
+
urur
ab
R
uuur
2220
2cos120
ab
Rabab
=++
5
ab
R
=
c
r
55
ab
RRcR
=-Þ=-
0
R
=
(
)
2222222
1
55255555
2
abab
RR
-
=++××Þ=+-
0
120
b
r
a
r
242
bax
=-
rrr
b
r
x
r
(
)
242222
baxbaxxabxab
=-Þ=-Þ=-Þ=+-
rrrrrrrrrrrr
a
-
r
a
r
(
)
DABAB
=-=+-
ururururur
x
r
(
)
2
220222
1
22.2..cos1201062.10.6.
2
xababx
æö
=++Þ=++-
ç÷
èø
22
13660764.19219
xxx
=-Þ==Þ=
xy
aaa
=+
ruuruur
222
xy
aaa
=+
cos.cos
x
x
a
aa
a
qq
=Þ=
.
y
y
a
senaasen
a
qq
=Þ=
0
60
0
120
2
a
r
b
-
r
0
332
.s606.
22
YYY
bbenbb
=Þ=Þ=
0
2
.cos45
2
XX
a
aaa
=Þ=
b
r
Y
b
uur
X
b
uur
a
r
Y
a
uur
X
a
uur
0
45
0
60
0
16
.cos606.
22
XXX
bbbb
=Þ=Þ=
c
r
$
$
rxiyjzk
=++
r
$
32
aij
=+
rrr
24
bij
=--
rrr
a
r
b
r
232
3
22
YY
a
aba
=Þ=Þ=
326326
222
XX
cabcc
+
=+Þ=+Þ=
(
)
(
)
(
)
123
222434813
vvvvvijijijvij
=-+Þ=+---++Þ=+
ruruururrrrrrrrrrr
8
13
2222
813233
vv
=+Þ=
15,3
v
@
v
r
(
)
1
24
m
vij
s
=+
urrr
(
)
2
34
m
vij
s
=--
uurrr
(
)
3
m
vij
s
=+
urrr
123
2
vvvv
=-+
ruruurur