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Página 1 de 3 GRUPO SER EDUCACIONAL GRADUAÇÃO EAD GABARITO SEGUNDA CHAMADA 2017.2A 04/11/2017 1. Os métodos diretos ou exatos de resolução de sistemas lineares são aqueles caracterizados por fornecer a solução com um número finito de operações elementares. São considerados métodos diretos, exceto: a) Elimininação de Gauss. b) Gauss- Jordan. c) Método de Fatoração LU. d) Método de Jacobi. e) Sistema triangular superior. Alternativa correta: Letra D Identificação do conteudo: Métodos Iterativos- Resolução de sistemas lineares -método de Jacobi. Págs. 61-81 Comentário: O método de Jacobi é um método iterativo, e que determina uma sequência de soluções para o sistema de equações lineares. 2. Suponha que uma máquina opere com quatro dígitos significativos, calcule a operação aritmética de X-Y, aplicando o processo de truncamento. Considere o valor de X=0,6321 x104 e Y= 0,261 x102. a) 1,831 b) 0,9017 c) 0,6294 d) 0,5247 e) 0,7412 Alternativa correta: Letra C Identificação do conteudo: Aritmética de pontos flutuantes . Páginas 14 - 18 Comentário: X= 0, 6321 e Y= 0,261, Y= 0,00261 Z = X -Y X = 0,62949, aplicando truncamento X = 0,6294 3. Um engenheiro de produção supervisiona a fabricação de três tipos de bolsas. Existem três espécies de recursos para produção: borracha, couro e algodão. As quantidades destes recursos e temperaturas necessárias para produção de cada bolsa, estão representados no sistema: Sendo assim, utilize o método de triangulação de sistema, e determine a quantidade de cada bolsa produzida por minuto. A alternativa que representa esses valores é: a) X=-3, y=5, z=0 b) X=1, y=2, z=3 c) X=5, y=4, z=3 d) X=3, y=3, z=2 e) X=5, y=15, z=5 Alternativa correta: Letra A Identificação do conteudo: Métodos diretos(exatos) resolução de sistemas lineares, páginas 62 e 63 GABARITO QUESTÕES COMENTADAS Disciplina CÁLCULO NUMÉRICO Professor (a) KARLA ADRIANA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A C E D C D C B Página 2 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA Comentário: Resolvendo o sistema: Teremos a triangulação X=-3, Y=5 e z=0 4. Considere uma máquina, cujo sistema de representação numérica é definido por: F(2, 5, -9, 9). Qual é a maior representação possível para esta máquina? a) 1,0001 X 23 b) - 0,1111111 X c) 0,11111 X d) 0,0011 X 23 e) - 0,1111 X Alternativa correta: Letra C Identificação do conteudo: Sistema de pontos flutuantes . Páginas 5 e 12 Comentário: A maior representação é o simétrico da menor representação. Base Binário: 0 ou 1 Quantidade de casas decimais (mantissa): 5 O limite para expoente: 9 Então 0,11111 x 29 5. Aplicando o método do meio intervalo na função f(x) = 2x2-4x. Encontre uma raíz real no intervalo de [0,020; 1,000]. Realize 3 interações dessa operação, ou seja, k irá de 0 até 2. a) X2 = 0,563 e |f(x2)| = 0,283. b) X2 = 0,874 e |f(x2)| = 0,028. c) X2 = 1,228 e |f(x2)| = 0,220. d) X2 = 0,739 e |f(x2)| = 0,001. e) X2 = 1,882 e |f(x2)| = 0,444. Alternativa correta: Letra E Identificação do conteudo: Método de isolamento de raiz- método do meio intervalo (bisseção). Páginas 27 – 35 Comentário: k ak bk xk f(ak) f(bk) f(xk) sina l Erro |f(xk) | 0 0,02 0 3,00 0 1,51 0 - 0,07 9 6,00 0 - 1,47 9 + 1,47 9 1 1,51 0 3,00 0 2,25 5 - 1,47 9 6,00 0 1,15 0 + 1,15 0 2 1,51 0 2,25 5 1,88 2 - 1,47 9 1,15 0 - 0,44 4 + 0,44 4 6. Dada função f(x) = x2+ ln(x), considerando que a raíz esteja no intervalo [0,1 ; 2]. Aplicando o método da Bisseção, qual seria, aproximadamente, o número mínimo de iterações necessárias para conseguir uma precisão inferior a 0,01 ? a) 4 b) 10 c) 9 d) 8 e) 15 Alternativa correta: Letra D Identificação do conteudo: Método de isolamento de raiz- método do meio intervalo (bisseção). Páginas 27 até 34. Comentário: K = ( log(2 -0.1) – log(0.01) ) / log(2) = 8 7. Considerando a função f(x) = 2x2 + x – 15, levando em consideração as raízes iniciais x0 = 1.400 e x1=1,900 e o critério de parada K3, ou seja, desenvolva K0, K1, K2 e k3. Aplique o método da secante para encontrar o resultado, levando em consideração 3 dígitos significativos. a) 2,050 b) 1,864 c) 2,479 d) 3,574 e) 0,194 Alternativa correta: Letra C Identificação do conteudo: Método de isolamento de raiz- método da secante. Páginas 48 até 51 Página 3 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA Comentário: K Xk f(xk) |f(xk)| erro 0 1,400 -9,680 9,680 1 1,900 -5,880 5,880 0,357 2 2,674 1,971 1,971 0,407 3 2,479 -0,225 0,225 0,073 8. O método da Falsa Posição é um caso particular. Qual o método de determinação de raíz? a) Fatoração LU. b) Bisseção. c) Triangulação superior . d) Secante. e) Jacobi. Alternativa correta: Letra D Identificação do conteudo: Método de isolamento de raiz- método da secante.Páginas 48 até 51. Comentário: Para identificação, deve-se levar em consideração as definições dos métodos de isolamento de raíz. No caso, o método da falsa posição é um caso particular do método das secantes. 9. Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Jacobi Richardson. Para isso, use como valores iniciais x0 = [1,000 1,000 1,000] (realize os cálculos com três casas decimais) e o critério de parada é K2, ou seja, K0, k1 e k2 . a) X = [0, 306 0, 365 0,403] b) X = [-0,872 -2,208 1,884] c) X = [0,625 0,708 0,583] d) X = [-0,511 -0,802 0,999] e) X = [-1,712 -1,589 2,451] Alternativa correta: Letra C Identificação do conteudo: Métodos Iterativos- Resolução de sistemas lineares -método de Jacobi. Páginas 83 até 88 Comentário: K X Y Z erro 0 1,000 1,000 1,000 1 0,000 0,125 0,333 1,000 2 0,625 0,708 0,583 0,625 10.Suponha que a resolução do sistema linear a seguir, e que tenha que ser determinada pelo método de fatoração LU. Qual deveria ser as condições que o sistema deve atender para ser resolvido por tal método? a) Uma raíz no intervalo Δ1 e Δ2. b) Δ1 ≠ 0 e Δ2 ≠ 0 (Δ1 e Δ2, determinantes submatriz coeficientes). c) Sistema de pontos flutuantes. d) A mantissa. e) Δ1=0 e Δ2=0 (Δ1 e Δ2, determinantes submatriz coeficientes). Alternativa correta: Letra B Identificação do conteudo: Métodos diretos(exatos) resolução de sistemas lineares – Método da fatoração LU . Páginas 65-69 Comentário: Os determinantes das submatrizes de A devem ter determinantes diferentes de zero, para admitir a utilização da fatoração LU. Página 1 de 5 GRUPO SER EDUCACIONAL GRADUAÇÃO EAD GABARITO AV2-2017.1A – 08/04/2017 1. Observando a tabela abaixo que mostra a produção de uma empresa de água mineral, onde a primeira linha informa a hora e a segunda linha a produção. Ao analisar a tabela pode-se perceber que em uma determina hora a produção aumenta. Então, qual a produção em 4,6 horas? Aplique o método de interpolação linear. Horas 1 2 3 4 5 6 Produção/L 35 70 104 139 189 224 a) 145 b) 65 c) 169 d) 235 e) 54 Alternativa correta: Letra C. Identificação do conteúdo: Páginas 104 a 106. Comentário: Resolvendo com interpolação linear P1(x ) = (4, 139); p2(x) = (5, 189) Função do 1º grau P(x) = ax + b 139 = a*4 + b = Multiplica por (-1) -139 = -4*a -b 189 = a*5 +b Subtrai a = 50 (encontrado o valor de a); Agora encontrar o valor de b. 139 = 50*4 + b => b= -61 Agora aplica na função o tempo que deseja encontrar P1(4.6) = 50*4.6 – 61 = P1(4.6) = 169 GABARITO QUESTÕESCOMENTADAS Disciplina CÁLCULO NUMÉRICO Professor (a) JOSIVAN REIS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C E C B D A B C D B Página 2 de 5 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): JOSIVAN REIS 2. Considere uma máquina cujo sistema de representação numérica é definido por: F(2, 7, -6, 6). Represente o número (42,25) nessa máquina aplicando o método de truncamento. a) Underflow b) 0,0110101 c) 0,110100 X 105 d) 0,000010 X 2-6 e) 0,1010100 x 26 Alternativa correta: Letra E. Identificação do conteúdo: Páginas 5 a 12. Comentário: Parte inteira Numero Quociente Resto 42 / 2 21 0 21/2 10 1 10/2 5 0 5/2 2 1 2/2 1 0 101010 Parte da mantissa 0,25x2 = 0,50 0,50x2 = 1,00 0,00x2 = 0,00 010 Temos 101010,010 Agora normalizado 0,1010100 x 26 3. A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por um valor aproximado" apresenta a definição de: a) Erro fundamental. b) Erro conceitual. c) Erro absoluto. d) Erro relativo. e) Erro derivado. Alternativa correta: Letra C. Identificação do conteúdo: Páginas 12 e 13. Comentário: O erro absoluto é a subtração entre um valor exato de um número x e seu valor aproximado. EA = x –x. 4. Quando aplicado o Método de Newton-Raphson para encontrar a raiz aproximada da função f(x) = x2 - cos(x) e usando como valor x0 = 6,000, qual o valor encontrado para a raiz com erro |(f(xk)|<=0,015? Use três casas decimais. a) 0,209 b) 0,829 c) 1,949 d) -0,452 e) 2,919. Alternativa correta: Letra B Identificação do conteúdo: Páginas 44 a 48. Página 3 de 5 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): JOSIVAN REIS Comentário: k x(k) f(xk) f'(xk) |f(xk)| 0 6,000 35,040 11,721 35,040 1 3,010 10,054 6,152 10,054 2 1,376 1,700 3,733 1,700 3 0,921 0,242 2,637 0,242 4 0,829 0,011 2,395 0,011 f(xk) = x2 –cos(x) f´(xk) = 2x + sen(x) 5. Aplicando o método da falsa posição na função f(x) = x-3*cos(x) + 2. Encontre uma raiz real no intervalo de [-0,500 2,000], de modo que o critério de parada seja |(f(xk)|<€=0,085. a) Xk = 1,663 e |f(x3)| = 0,083. b) Xk = 0,989 e |f(x3)| = 0,088. c) Xk = 2,228 e |f(x3)| = 0,220. d) Xk = 0,524 e |f(xk)| = 0,073. e) Xk = 1,891 e |f(x3)| = 0,094. Alternativa correta: Letra D. Identificação do conteúdo: Páginas 35 a 43. Comentário: k ak bk f(ak) f(bk) xk f(xk) Sinal erro |f(xk)| 0 -0,500 2,000 -1,133 5,248 -0,056 -1,051 + 1,051 1 -0,056 2,000 -1,051 5,248 0,287 -0,590 + 0,590 2 0,287 2,000 -0,590 5,248 0,460 -0,228 + 0,228 3 0,460 2,000 -0,228 5,248 0,524 -0,073 + 0,073 6. Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Gauss Seidel. Para isso, use como valores iniciais x0 = [1,000 2,000 0,900 ] (realize os cálculos com três casas decimais) e Erro < 0,009. a) X = [-0,158 1,928 -2,644] b) X = [-0,871 -3,208 2,884] c) X = [-1,171 -0,569 0,854] d) X = [-2,011 -1,502 0,999] e) X = [-2,712 -0,529 1,451] Alternativa correta: Letra A. Identificação do conteúdo: Páginas 88 a 94. Página 4 de 5 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): JOSIVAN REIS Comentário: 7. No sistema de armazenamento de ponto flutuante, quando acontece um Overflow? a) Quando o expoente é menor que o expoente mínimo. b) Quando o expoente é maior que o expoente máximo. c) Quando o expoente encontrado é maior que o expoente mínimo e menor que o expoente máximo. d) Quando é inserido um valor negativo. e) Quando é inserido um valor 0 no final. Alternativa correta: Letra B. Identificação do conteúdo: Páginas 11 e 12. Comentário: Sempre que uma operação aritmética produz um número com expoente superior ao expoente máximo, tem-se o fenômeno de “overflow”. 8. Considere o valor de W=0,7321 x104 e Z= 0,3241 x103. Calcule a operação aritmética de W-Z, suponha que uma máquina opere com quatro dígitos significativo, aplicando o processo de truncamento. a) 1,9780 b) 0,9874 c) 0,6996 d) 0,0808 e) 0,1691 Alternativa correta: Letra C. Identificação do conteúdo: Páginas 17 e 18. Comentário: W= 0,7321 e Z= 0,3241 Z = 0,03241 X = W – Z X = 0,7321 - 0,03241 X = 0,69969, aplicando truncamento X = 0,6996 9. Considere o valor exato 1,036 e o valor aproximado 1,020. Determine, respectivamente, o erro absoluto e o erro relativo. Se necessário, utilize o método de truncamento. a) 0,019 e 0,061 b) 0,101 e 0,015 c) 0,061 e 0,578 d) 0,016 e 0,015 e) 0,125 e 0,584 Alternativa correta: Letra D. Identificação do conteúdo: Páginas 12 a 14. Comentário: |EA| = 1,036 -1,020 = 0,016. |ER| = EA /1,020 = 0,0157, aplicando o método de truncamento. |ER| = 0,015 K X Y Z erro 1,000 2,000 0,900 1 1,192 1,033 -3,367 4,267 2 -0,300 2,057 -2,583 1,492 3 -0,156 1,921 -2,644 0,144 4 -0,158 1,928 -2,644 0,007 Página 5 de 5 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): JOSIVAN REIS 10. Dada função f(x) = 2*x-sen(x), aplique o método do meio intervalo para encontrar uma raiz real no intervalo [0,010 1,500]. Realize 4 interações dessa operação, ou seja, k irá de 0 até 3. a) x3 = 3,978 b) x3 = 1,407 c) x3 = 2,897 d) x3 = 0,588 e) x3 = 2,162. Alternativa correta: Letra B Identificação do conteúdo: Páginas 27 a 35. Comentário: k ak bk xk f(ak) f(bk) f(xk) sinal erro |f(xk)| 0 0,010 1,500 0,755 0,010 2,003 0,825 + 0,825 1 0,755 1,500 1,128 0,825 2,003 1,352 + 1,352 2 1,128 1,500 1,314 1,352 2,003 1,660 + 1,660 3 1,314 1,500 1,407 1,660 2,003 1,827 + 1,827 Página 1 de 3 GRUPO SER EDUCACIONAL GRADUAÇÃO EAD GABARITO AV2-2016.2A – 08/10/2016 1. Considere uma máquina cujo o sistema de representação numérica é definido por: F(2, 4, -5, 5), responda: Qual é a maior representação possível para esta máquina ? Questão Anulada ( pontos redistribuídos) a) 0,000001 x 10 -5. b) 0,99999 x 10 -5. c) 0,100000 x 10 -5. d) 0,00001 x 2 -5. e) 0,10000 x 2 -5. 0,1111 x 2^5, Justificativa: 4 casas decimais na mantissa, dessa forma por ser binária, o resultado seria (0 ou 1), e a maior é 1. 2. Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz até k=3, considere os valores iniciais para pesquisa -1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor, levando em consideração o erro |(f(xk)|<€=0,001. a) -1,093. b) -0,112. c) 1,222. d) 1,038 e) 1,093. Alternativa correta: Letra E. Identificação do conteúdo: Páginas 27 e 37. Comentário: k ak bk f(ak) f(bk) xk f(xk) sinal Erro |f(xk)| 0 -1,000 2,000 10,000 -2,000 1,500 -1,250 - 1,250 1 -1,000 1,500 10,000 -1,250 1,222 -0,617 - 0,617 2 -1,000 1,222 10,000 -0,617 1,093 0,270 - 0,270 Nível da questão: Médio. 3. Determine a conversão de base de (0,0625)10 para binário : Questao anulada ( pontos redistribuídos) a) (0,1011)2. b) (1,1000)2. c) (0,1000)2. d) (0,1001)2. e) (0,0011)2. Justificativa: se aplicarmos a normalização de operações aritméticas, o resultado seria (0,1000) e sem a normalização ficaria (0,0001). 4. Considere o valor exato 2,026 e o valor aproximado 2,010. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo, aplicando o método de arredondamento: a) 0,016 e 0,007. b) 0,024 e 0,026. c) 0,015 e 0,087. GABARITO QUESTÕES COMENTADAS Disciplina CÁLCULO NUMÉRICO Professor (a) JOSIVAN REIS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E C D B C D B A D Anulada Página 2 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): JOSIVAN REIS d) 0,016 e 0,008. e)0,026 e 0,024. Alternativa correta: Letra D. Identificação do conteúdo: Páginas 12 a 14. Comentário: EA = 2,026 – 2,010 = 0,016 ER = EA /2,010 = 0,008 5. Determine a conversão do número 8510 para binário. a) (10100100111100)2 b) (10000100111110)2 c) (10100100001110)2 d) (01111100100001)2 e) (00001001111101)2 Alternativa correta: Letra B. Identificação do conteúdo: Páginas 5 e 6 Comentário: Valor Quociente Resto 8510/2 4255 0 4255/2 2127 1 2127/2 1063 1 1063/2 531 1 531/2 265 1 265/2 132 1 132/2 66 0 66/2 33 0 33/2 16 1 16/2 8 0 8/2 4 0 4/2 2 0 2/2 1 0 6. Quando aplicado o Método de Newton-Raphson para encontrar a raiz aproximada da função f(x) = x3 -8 e usamos como valor x0 = 2,500, qual o valor encontrado para a raiz com erro |(f(xk)|<€=0,010. Use três casas decimais. a) 2,500 b) 2,004 c) 2,000 d) 1,173 e) 0,049 Alternativa correta: Letra C. Identificação do conteúdo: Páginas 45 a 48. Comentário: k Xk f(xk) f'(xk) | f(xk)| erro 0 2,500 7,625 18,750 7,625 0,163 1 2,093 1,173 13,146 1,173 0,043 2 2,004 0,049 12,049 0,049 0,002 3 2,000 0,000 12,000 0,000 0,000 7. Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Jacobi Richardson. Para isso use como valores iniciais x0 = [0,700 -1,600 0,600 ] (realize os cálculos com três casas decimais) e Erro = 0,05. a) X = [0,995 -1,050 0,920 ] b) X = [1,000 -2,000 0,970 ] c) X = [0,978 -1,980 0,940 ] d) X = [0,999 -1,989 0,998]. e) Esse sistema não converge. Alternativa correta: Letra D. Identificação do conteúdo: Páginas 83 a 88. Comentário: k X1 X2 X3 erro 0 0,700 -1,600 0,600 - 1 0,960 -1,860 0,940 0,340 2 0,978 1,980 0,966 0,120 3 0,999 -1,989 0,998 0,032 8. Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Gauss Seidel. Para isso use como valores iniciais x0 = [0,700 -1,600 0,600 ] (realize os cálculos com três casas decimais) e Erro < 0,054. (Questão anulada: pontos redistribuídos) a) X = [0,705 -1,650 0,620 ] b) X = [1,075 -2,491 1,132 ] c) X = [1,025 -2,980 0,250 ] d) X = [1,129 -2,459 0,998] e) X = [0,960 -2,152 1,054] Justifivativa: a questão 8 está anulada, pois há um erro de digitação. O sistema digitado foi: 10x1 + 2x2 + x3 = 7 x1 + 5x2 + x3 = -8 2x1 + 3x2 + 10x3 = 10 Página 3 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): JOSIVAN REIS e o sistema correto seria: 10x1 + 2x2 + x3 = 7 x1 + 5x2 + 3x3 = -8 2x1 + 3x2 + 10x3 = 10 Seria 3x3 e não x3, por isso não há resposta correta. 9. Dada a função f(x) = sen(x)+x-5, usando como valor inicial x0=7,000. Faça duas iterações usando o Método de Newton-Raphson com três casas decimais. a) 5,621 b) 5,541. c) 2,683. d) 5,484 e) 1,697 Alternativa correta: Letra A. Identificação do conteúdo: Páginas 45 a 48. Comentário: k Xk f(xk) f'(xk) | f(xk)| 0 7,000 2,657 1,753 2,657 1 5,484 -0,232 1,697 5,621 10. Considere o valor de W=0,398 x103 e Z= 55,27 x101. Calcule a operação aritmética de W+Z, suponha que uma máquina opere com três dígitos signitivatio, aplicando o processo de Truncamento. a) 0,8097. b) 55,597. c) 0,951 d) 0,950. e) 55,598. Alternativa correta: Letra D. Identificação do conteúdo: Páginas 17 e 18. Comentário: W=0,398 e Z= 55,27. X = W+Z X = 0,398 + 0,5527 = 0,9507 X = 0, 950 Página 1 de 3 GRUPO SER EDUCACIONAL GRADUAÇÃO EAD GABARITO AV2-2016.2A – 08/10/2016 1. Considere uma máquina cujo o sistema de representação numérica é definido por: F(2, 4, -5, 5), responda: Qual é a maior representação possível para esta máquina ? a) 0,000001 x 10 -5. b) 0,99999 x 10 -5. c) 0,100000 x 10 -5. d) 0,00001 x 2 -5. e) 0,10000 x 2 -5. Alternativa correta: Letra B. Identificação do conteúdo: páginas 12 e 13. 2. Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz até k=3, considere os valores iniciais para pesquisa -1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor, levando em consideração o erro |(f(xk)|<€=0,001. a) -1,093. b) -0,112. c) 1,222. d) 1,038 e) 1,093. Alternativa correta: Letra E. Identificação do conteúdo: Páginas 27 e 37. Comentário: k ak bk f(ak) f(bk) xk f(xk) sinal Erro |f(xk)| 0 -1,000 2,000 10,000 -2,000 1,500 -1,250 - 1,250 1 -1,000 1,500 10,000 -1,250 1,222 -0,617 - 0,617 2 -1,000 1,222 10,000 -0,617 1,093 0,270 - 0,270 Nível da questão: Médio. 3. Determine a conversão de base de (0,0625)10 para binário : a) (0,1011)2. b) (1,1000)2. c) (0,1000)2. d) (0,1001)2. e) (0,0011)2. Alternativa correta: Letra C. Identificação do conteúdo: Páginas 7 a 9. Comentário: = 0,025 x 2 = 0,125 = 0,125 x 2 = 0,25 = 0,25 x 2 = 0,5 = 0,5 x 2 = 1 GABARITO QUESTÕES COMENTADAS Disciplina CÁLCULO NUMÉRICO Professor (a) JOSIVAN REIS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B E C D B C D B A D Página 2 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): JOSIVAN REIS 4. Considere o valor exato 2,026 e o valor aproximado 2,010. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo, aplicando o método de arredondamento: a) 0,016 e 0,007. b) 0,024 e 0,026. c) 0,015 e 0,087. d) 0,016 e 0,008. e) 0,026 e 0,024. Alternativa correta: Letra D. Identificação do conteúdo: Páginas 12 a 14. Comentário: EA = 2,026 – 2,010 = 0,016 ER = EA /2,010 = 0,008 5. Determine a conversão do número 8510 para binário. a) (10100100111100)2 b) (10000100111110)2 c) (10100100001110)2 d) (01111100100001)2 e) (00001001111101)2 Alternativa correta: Letra B. Identificação do conteúdo: Páginas 5 e 6 Comentário: Valor Quociente Resto 8510/2 4255 0 4255/2 2127 1 2127/2 1063 1 1063/2 531 1 531/2 265 1 265/2 132 1 132/2 66 0 66/2 33 0 33/2 16 1 16/2 8 0 8/2 4 0 4/2 2 0 2/2 1 0 6. Quando aplicado o Método de Newton-Raphson para encontrar a raiz aproximada da função f(x) = x3 -8 e usamos como valor x0 = 2,500, qual o valor encontrado para a raiz com erro |(f(xk)|<€=0,010. Use três casas decimais. a) 2,500 b) 2,004 c) 2,000 d) 1,173 e) 0,049 Alternativa correta: Letra C. Identificação do conteúdo: Páginas 45 a 48. Comentário: k Xk f(xk) f'(xk) | f(xk)| erro 0 2,500 7,625 18,750 7,625 0,163 1 2,093 1,173 13,146 1,173 0,043 2 2,004 0,049 12,049 0,049 0,002 3 2,000 0,000 12,000 0,000 0,000 7. Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Jacobi Richardson. Para isso use como valores iniciais x0 = [0,700 -1,600 0,600 ] (realize os cálculos com três casas decimais) e Erro = 0,05. a) X = [0,995 -1,050 0,920 ] b) X = [1,000 -2,000 0,970 ] c) X = [0,978 -1,980 0,940 ] d) X = [0,999 -1,989 0,998]. e) Esse sistema não converge. Alternativa correta: Letra D. Identificação do conteúdo: Páginas 83 a 88. Comentário: k X1 X2 X3 erro 0 0,700 -1,600 0,600 - 1 0,960 -1,860 0,940 0,340 2 0,978 1,980 0,966 0,120 3 0,999 -1,989 0,998 0,032 8. Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Gauss Seidel. Para isso use como valores iniciais x0 = [0,700 -1,600 0,600 ] (realize os cálculos com três casas decimais) e Erro < 0,054. a) X = [0,705 -1,650 0,620 ] b) X = [1,075 -2,491 1,132 ] c) X = [1,025 -2,980 0,250 ] d) X = [1,129 -2,459 0,998] e) X = [0,960 -2,152 1,054] Página 3 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): JOSIVAN REIS Alternativa correta: Letra B. Identificação do conteúdo: Páginas 88 a 94. Comentário: k X1 X2 X3 erro 0 0,700 -1,600 0,600 - 1 0,960 -2,152 1,054 0,552 2 1,025 -2,437 1,126 0,285 3 1,075 -2,491 1,132 0,053 9. Dada a função f(x) = sen(x)+x-5, usando como valor inicial x0=7,000.Faça duas iterações usando o Método de Newton-Raphson com três casas decimais. a) 5,621 b) 5,541. c) 2,683. d) 5,484 e) 1,697 Alternativa correta: Letra A. Identificação do conteúdo: Páginas 45 a 48. Comentário: k Xk f(xk) f'(xk) | f(xk)| 0 7,000 2,657 1,753 2,657 1 5,484 -0,232 1,697 5,621 10. Considere o valor de W=0,398 x103 e Z= 55,27 x101. Calcule a operação aritmética de W+Z, suponha que uma máquina opere com três dígitos signitivatio, aplicando o processo de Truncamento. a) 0,8097. b) 55,597. c) 0,951 d) 0,950. e) 55,598. Alternativa correta: Letra D. Identificação do conteúdo: Páginas 17 e 18. Comentário: W=0,398 e Z= 55,27. X = W+Z X = 0,398 + 0,5527 = 0,9507 X = 0, 950 Página 1 de 2 GRADUAÇÃO EAD SEGUNDA CHAMADA 2018.2A 20/10/2018 QUESTÃO 1. Quando aplicado o Método de Newton-Raphson para encontrar a raiz aproximada da função f(x) = x2 - cos(x) e usando como valor x0 = 6,000, qual o valor encontrado para a raiz com erro |(f(xk)|<=0,015? Use três casas decimais. R: 0,829 QUESTÃO 2. Considere o valor de Calcule a operação aritmética de X*Y; suponha que uma máquina opere com quatro dígitos significativo, aplicando o processo de arredondamento. R: 0,2243 QUESTÃO 3. Dada função . Considerando que a raiz esteja no intervalo [0,020 2,000]. Aplicando o método da Bissecção, qual o número mínimo de iterações necessárias para conseguir uma precisão inferior a 0,004 ? R: 9 QUESTÃO 4. Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Gauss Seidel. Para isso, use como valores iniciais x0 = [0,800 0,800 0,800 ] (realize os cálculos com três casas decimais) e o critério de parada é Erro <= 0,09. R: X = [0,262 2,222 -3,099] QUESTÃO 5. Os métodos iterativos de resolução de sistemas lineares, são aqueles caracterizados por fornecer aproximações sucessivas, partindo de uma condição inicial. Assinale a alternativa que apresenta um método iterativo de resolução de sistemas lineares. R: Método de Jacobi. QUESTÃO 6. O método de Jacobi é um método iterativo que gera aproximações sucessivas para a solução do sistema de equações lineares. Determine pelo método de Jacobi, a solução aproximada, partindo da solução , com precisão de , ou seja, realizando as iterações, . CÁLCULO NUMÉRICO Página 2 de 2 R: X=1, 125, y= 0,875 QUESTÃO 7. Suponha que a resolução do sistema linear a seguir, tenha que ser determinada pelo método de fatoração LU. Qual deveria ser as condições que o sistema deve atender para ser resolvido por tal método? R: Δ1 ≠ 0 e Δ2 ≠ 0 (Δ1 e Δ2,determinantessubmatriz coeficientes). QUESTÃO 8. O método da Falsa Posição é um caso particular de que método de determinação de raiz? R: Secante. QUESTÃO 9. Um engenheiro de produção supervisiona a fabricação de três tipos de bolsas. Existem três espécies de recursos para produção: borracha, couro e algodão. As quantidades destes recursos e temperaturas necessárias para produção de cada bolsa estão representados no sistema: Sendo assim, utilize o método de triangulação de sistema, e determine a quantidade de cada bolsa produzida por minuto. A alternativa que representa esses valores é: R: X=-3, y=5, z=0 QUESTÃO 10. R: 2,479 Página 1 de 4 GRUPO SER EDUCACIONAL GRADUAÇÃO EAD GABARITO FINAL 2017.1A 13/05/2017 1. No sistema de armazenamento de ponto flutuante, quando acontece um Underflow? a) Quando é inserido um valor 0 no final. b) Quando o expoente encontrado tem o valor igual ao valor da base. c) Quando o expoente é menor que o expoente mínimo. d) Quando é inserido um valor negativo. e) Quando se armazena valores da base 2. Alternativa correta: Letra C. Identificação do conteúdo: Páginas 11 a 12. Comentário: Sempre que uma operação aritmética produz um número com expoente inferior ao expoente mínimo, tem- se o fenômeno de “underflow”. 2. Considere o valor de X=0,8221 x104 e Y= 0,161 x102. Calcule a operação aritmética de X+Y; suponha que uma máquina opere com quatro dígitos significativo, aplicando o processo de arredondamento. a) 1,831 b) 0,9017 c) 0,2146 d) 0,8237 e) 0,7412 Alternativa correta: Letra D. Identificação do conteúdo: Páginas 17 e 18. Comentário: X= 0, 8221 e Y= 0,161 Y= 0,00161 Z = X + Y X = 0,82371, aplicando arredondamento X = 0,8237 GABARITO QUESTÕES COMENTADAS Disciplina CÁLCULO NUMÉRICO Professor (a) JOSIVAN REIS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B B E C C E A D Página 2 de 4 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): JOSIVAN REIS 3. Considere o valor de X=0,9268 x104 e Y= 0,242 x102. Calcule a operação aritmética de X*Y; suponha que uma máquina opere com quatro dígitos significativo, aplicando o processo de arredondamento. a) 0,0035 b) 0,2243 c) 0,8751 d) 0,5741 e) 1,2536 Alternativa correta: Letra B. Identificação do conteúdo: páginas 17 e 18. Comentário: X= 0, 9268 e Y= 0, 242 Z = X * Y X = 0,2242856, aplicando arredondamento X = 0, 2243 4. Considere uma máquina, cujo sistema de representação numérica é definido por: F(2, 4, -3, 3), responda: Qual é a maior representação possível para esta máquina? a) 1,0001 X 23 b) 0,1111 X 23 c) 0,949 X 23 d) 0,0011 X 23 e) 0,1000 X 23 Alternativa correta: Letra B. Identificação do conteúdo: Páginas 5 e 12. Comentário: A maior representação Base Binário: 0 ou 1 Quantidade de casas decimais (mantissa): 3 Então 0,1111 x 23 5. Aplicando o método da bissecção na função f(x) = 2x2-4x. Encontre uma raiz real no intervalo de [0,020 2,000]. Realize 5 interações dessa operação, ou seja, k irá de 0 até 4. a) X3 = 0,563 e |f(x3)| = 0,283. b) X3 = 0,874 e |f(x3)| = 0,028. c) X3 = 1,228 e |f(x3)| = 0,220. d) X3 = 0,739 e |f(x3)| = 0,001. e) X3 = 1,938 e |f(x3)| = 0,240. Alternativa correta: Letra E. Identificação do conteúdo: Páginas 27 e 35. Comentário: k ak bk xk f(ak) f(bk) f(xk) sinal Erro |f(xk)| 0 0,020 2,000 1,010 -0,079 0,000 -2,000 + 2,000 1 1,010 2,000 1,505 -2,000 0,000 -1,490 + 1,490 2 1,505 2,000 1,753 -1,490 0,000 -0,867 + 0,867 3 1,753 2,000 1,876 -0,867 0,000 -0,464 + 0,464 4 1,876 2,000 1,938 -0,464 0,000 -0,240 + 0,240 Página 3 de 4 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): JOSIVAN REIS 6. Dada função f(x) = 2x2-4x. Considerando que a raiz esteja no intervalo [0,020 2,000]. Aplicando o método da Bissecção, qual o número mínimo de iterações necessárias para conseguir uma precisão inferior a 0,004 ? a) 6 b) 10 c) 9 d) 2 e) 15 Alternativa correta: Letra C. Identificação do conteúdo: Páginas 27 até 34 e slides número 18. Comentário: K = ( log(2 -0.020) – log(0.004) ) / log(2) = 9 7. Considerando a função f(x) = 2x2 + x – 15, levando em consideração as raízes iniciais x0 = 1.400 e x1=1,900 e o critério de parada € < 0,01. Aplique o método da secante para encontrar o resultado, levando em consideração 3 dígitos significativos. a) 2,050 b) 1,864 c) 2,499 d) 3,574 e) 0,194 Alternativa correta: Letra C. Identificação do conteúdo: Páginas 48 até 51. Comentário: k Xk f(xk) |f(xk)| erro 0 1,400 -9,680 9,680 1 1,900 -5,880 5,880 0,357 2 2,674 1,971 1,971 0,407 3 2,479 -0,225 0,225 0,073 4 2,499 -0,007 0,007 0,008 8. Aplicando o método da Falsa Posição na função f(x) = 2x2 - 3x +2. Encontre uma raiz, levando em consideração o intervalo inicial [0,600 2,000]. Realize 4 interações dessa operação, ou seja, k irá de 0 até 3. a) Xk = 0,865 b) Xk = 0,958 c) Xk = 0,458 d) Xk = 2,685 e) Xk = 1,459 Alternativa correta: Letra E. Identificação do conteúdo: Páginas 27 até 37. Comentário: k ak bk f(ak) f(bk) xk f(xk) sinal Erro |f(xk)| 0 0,600 2,000 0,920 4,000 0,862 0,900 + 0,900 1 0,862 2,000 0,900 4,000 1,071 1,081 + 1,081 2 1,071 2,000 1,081 4,000 1,269 1,413+ 1,413 3 1,269 2,000 1,413 4,000 1,459 1,882 + 1,882 Página 4 de 4 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): JOSIVAN REIS 9. Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Jacobi Richardson. Para isso, use como valores iniciais x0 = [1,000 1,000 1,000] (realize os cálculos com três casas decimais) e o critério de parada é Erro <= 0,070. a) X = [0,454 0,497 0,510] b) X = [-0,872 -2,208 1,884] c) X = [-0,121 -1,569 2,854] d) X = [-0,511 -0,802 0,999] e) X = [-1,712 -1,589 2,451] Alternativa correta: Letra A. Identificação do conteúdo: Páginas 83 até 88. Comentário: K X Y Z erro 1,000 1,000 1,000 1 0,000 0,125 0,333 1,000 2 0,625 0,708 0,583 0,625 3 0,306 0,365 0,403 0,344 4 0,510 0,547 0,525 0,205 5 0,388 0,429 0,472 0,122 6 0,454 0,497 0,510 0,068 10. Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Gauss Seidel. Para isso, use como valores iniciais x0 = [0,800 0,800 0,800 ] (realize os cálculos com três casas decimais) e o critério de parada é Erro <= 0,09. a) X = [-0,627 -2,243 0,713] b) X = [2,827 2,445 2,317] c) X = [-1,627 -1,243 1,713] d) X = [0,262 2,222 -3,099] e) X = [1,001 2,147 3,113] Alternativa correta: Letra D. Identificação do conteúdo: Páginas 88 até 94. K X Y Z erro 0,800 0,800 0,800 1 1,640 0,578 -3,543 4,343 2 0,860 1,976 -3,479 1,398 3 0,314 2,265 -3,157 0,546 4 0,262 2,222 -3,099 0,058 GRADUAÇÃO EAD GABARITO PROGRAMA RECUPERAÇÃO 2016.1 AV2 –15/07/2016 CURSO DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR(A) TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B E D D A B C B D B ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 2. Esta avaliação possui 10 questões. 3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira página. 6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para conferência posterior à realização da avaliação. 9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. Página 2 de 3 CÁLCULO NUMÉRICO 1. Que valor será encontrado ao converter o número (28,35)10 na sua forma de base binária correspondente, com quatro casas decimais? a) (11110,1100)2 b) (11100,0101)2 c) (101011,1101)2 d) (1000110,0001)2 e) (11,1101)2 2. Que valor será encontrado ao converter o número de base binária (1011,101)2 na sua forma de base decimal correspondente? a) (51,422)10 b) (13,0723)10 c) (8,621)10 d) (21,423)10 e) (11,625)10 3. Uma determinada máquina opera com um sistema de aritmética de ponto flutuante dado por F (2,5, -6,6). Se inseríssemos o valor (43,127)10 nesta mesma máquina, como seria escrito este valor de acordo com o sistema? a) O valor seria padronizado na forma 101,011 x 2111, mas estaria na região de overflow. b) O valor seria padronizado na forma 1,010011 x 2001, mas estaria na região de underflow. c) O valor seria padronizado na forma 0,1111 x 2101 e a máquina poderia o processar. d) O valor seria padronizado na forma 0,101011 x 2110 e a máquina poderia o processar. e) O valor seria padronizado na forma 0,1011 x 2100 e a máquina poderia o processar. 4. Encontre o erro absoluto e o relativo cometido ao inserir o valor (730654,80742)10 em uma máquina que opera segundo o sistema de aritmética de ponto flutuante F (10, 6, -9,9). a) O erro absoluto é da ordem de 10-7 e o erro relativo é da ordem de 10-8. b) O erro absoluto é da ordem de 10-2 e o erro relativo é da ordem de 10-5. c) O erro absoluto é da ordem de 10-1 e o erro relativo é da ordem de 10-2. d) O erro absoluto é da ordem de 10-1 e o erro relativo é da ordem de 10-6. e) O erro absoluto é de 10-² e o erro relativo é de 10³. 5. Supondo que uma máquina opere com quatro dígitos significativos e que são inseridos os valores x = 2,37 . 104 e y = 0,8467 . 103. Calcule o erro absoluto devido à operação de subtração x - y (suponha que esta máquina usa o processo de truncamento para armazenar os valores). a) O erro absoluto será de 6,7 b) O erro absoluto será de 1,85 c) O erro absoluto será de 0,45 d) O erro absoluto será de 8,05 e) O erro absoluto será de 2,63 6. Dada a função , identifique por meio do método gráfico, quantas raízes reais existem. a) Nenhuma raiz real b) Uma raiz real c) Duas raízes reais d) Três raízes reais e) Quatro raízes reais 7. Quando aplicamos o Método de Newton-Raphson para encontrar a raiz aproximada da função , e usamos como valor inicial , que valores encontramos para a raiz e o erro quando ). a) e b) e c) e d) e e) e 8. Dada a função , se aplicarmos o Método do Meio Intervalo, que valores serão encontrados para a raiz e o erro quando ) ? Admita como intervalo inicial contendo a raiz [1,500; 2,500]. ”observação: use o modo radiano da calculadora” a) e b) e Página 3 de 3 CÁLCULO NUMÉRICO c) e d) e e) e 9. Analisando os métodos de determinação de raízes reais de funções, podemos afirmar que? a) O Método da Falsa Posição é um método aberto, pois não utiliza intervalos para de localização de raiz, apenas necessita de um valor inicial. b) Para que o Método de Newton-Raphson possa ser empregado é necessário que a derivada seja igual a zero. c) O Método da Secante é exclusivamente aplicado a funções lineares. d) A escolha de um novo intervalo, referente ao Método do Meio Intervalo, depende dos sinais da função aplicada ao extremo esquerdo “ ” e ao valor médio “ ”. e) Em relação ao Método de Newton-Raphson, o número de iterações necessário para se obter um erro predefinido [ ] não depende do valor inicial. 10. Por meio da utilização de algum dos métodos diretos, determine solução do sistema linear: a) b) c) d) e) GRADUAÇÃO EAD GABARITO 16/04/2016 AV2. 2016.1A CURSO DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C D B C B E C C ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 2. Esta avaliação possui 10 questões. 3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira página. 6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para conferência posterior à realização da avaliação. 9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. Página 2 de 4 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR(a): BRAULIOANCHIETA 1. Que valor será encontrado ao converter o número de base binária (101,101)2 na sua forma de base decimal correspondente? a) (17,17)10 b) (9,401)10 c) (5,625)10 d) (18,413)10 e) (6,106)10 2. Qual o menor valor e o maior valor (ambos positivos) que poderá ser representado em uma máquina que opera em um sistema de aritmética de ponto flutuante F (10, 4, -6, 6)? a) Menor valor = 0,0001 . 10-6 e Maior valor = 9999 . 106 b) Menor valor = 0,1010 . 10-4 e Maior valor = 0,9999 . 104 c) Menor valor = 0,1111 . 10-6 e Maior valor = 9999,0 . 106 d) Menor valor = 0,1000 . 10-6 e Maior valor = 0,9999 . 106 e) Menor valor = 0,000001 . 10-4 e Maior valor = 0,999999 . 104 3. Uma determinada máquina opera com um sistema de aritmética de ponto flutuante dado por F (2,4, -5,5). Se inseríssemos o valor (14,63)10 nesta mesma máquina, como seria escrito este valor de acordo com o sistema? a) O valor seria padronizado na forma 1,0110 x 2101, mas estaria na região de overflow. b) O valor seria padronizado na forma 0,00101 x 2010, mas estaria na região de underflow. c) O valor seria padronizado na forma 0,11101 x 2100 e a máquina poderia o processar. d) O valor seria padronizado na forma 10101 x 2100 e a máquina poderia o processar. e) O valor seria padronizado na forma 0,10001 x10² e a máquina poderia o processar. 4. Encontre o erro absoluto e o relativo cometido ao inserir o valor (730654,80742)10 em uma máquina que opera segundo o sistema de aritmética de ponto flutuante F (10, 6, -9,9). a) O erro absoluto é da ordem de 10-7 e o erro relativo é da ordem de 10-8. b) O erro absoluto é da ordem de 10-2 e o erro relativo é da ordem de 10-5. c) O erro absoluto é da ordem de 10-1 e o erro relativo é da ordem de 10-2. d) O erro absoluto é da ordem de 10-1 e o erro relativo é da ordem de 10-6. e) O erro absoluto é da ordem de 10-3 e o erro relativo é da ordem de 10-5. 5. Supondo que uma máquina opere com seis dígitos significativos e que são inseridos os valores x = 0,170346 . 103 e y = 0,213210 . 101. Determine o resultado final da operação z = x + y (suponha que esta máquina usa o processo de truncamento para armazenar os valores). a) z = 0,383556 . 104 b) z = 0,172478 . 103 c) z = 0,170210 . 101 d) z = 0,074280 . 103 e) z = 0,263105 . 104 6. Dada a função , identifique, por meio do método gráfico, quantas raízes reais existem. a) Nenhuma raiz real. b) Uma raiz real. c) Duas raízes reais. d) Três raízes reais. e) Infinitas raízes reais. Página 3 de 4 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR(a): BRAULIO ANCHIETA 7. Por meio da utilização de algum dos métodos diretos, determine a solução do sistema linear: a) b) c) d) e) 8. Se aplicarmos o Método de Newton-Raphson para encontrar a raiz aproximada da função , usando como valor inicial e três casas decimais, qual será o valor encontrado para e ? (ou seja, na primeira iteração quando ). a) e b) e c) e d) e e) e 9. Dada a função , se aplicarmos o Método do Meio Intervalo, que valores serão encontrados para a raiz e o erro quando )? Admita como intervalo inicial contendo a raiz [0,500; 1,000]. a) e b) e c) e d) e e) e 10. O que se pode dizer a respeito dos métodos diretos de solução de sistemas lineares? Página 4 de 4 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR(a): BRAULIO ANCHIETA a) Todo sistema linear pode apresentar no máximo três soluções. b) Se calcularmos o determinante de um sistema linear do tipo e verificarmos que , isso implica que o sistema terá duas soluções. c) Caso o sistema linear do tipo seja compatível e o determinante for diferente de zero. Neste caso teremos solução única. d) Caso o sistema linear do tipo tenha o determinante nulo, a única solução será . e) Em um sistema em que o número de equações é igual ao número de incógnitas terá sempre solução única. Página 1 de 3 GRUPO SER EDUCACIONAL GRADUAÇÃO EAD GABARITO FINAL 2017.2A 18/11/2017 1. Os métodos iterativos de resolução de sistemas lineares, são aqueles caracterizados por fornecer aproximações sucessivas, partindo de uma condição inicial. Assinale a alternativa que apresenta um método iterativo de resolução de sistemas lineares. a) Eliminação de Gauss. b) Gauss- Jordan. c) Método de Fatoração LU. d) Sistema triangular superior. e) Método de Jacobi. Alternativa Correta: Letra E. Identificação de conteúdo: UNIDADE II- RESOLUÇÃO SISTEMAS LINEARES- MÉTODO DE JACOBI, Páginas 61-81. Comentário: O método de Jacobi é um método iterativo que determina uma sequência de soluções para o sistema de equações lineares. 2. Suponha que uma máquina opere com quatro dígitos significativos, calcule a operação aritmética de X-Y, aplicando o processo de truncamento. Considere o valor de X=0,6321 x104 e Y= 0,261 x102. a) 1,831 b) 0,9017 c) 0,6294 d) 0,5247 e) 0,7412 Alternativa Correta: Letra C. Identificação de conteúdo: UNIDADE I- ARITMÉTICA DE PONTOS FLUTUANTES, Páginas 14 - 18. Comentário: X= 0, 6321 e Y= 0,261, Y= 0,00261 Z = X -Y X = 0,62949, aplicando truncamento X = 0,6294 3. O método de Jacobi é um método iterativo que gera aproximações sucessivas para a solução do sistema de equações lineares. Determine pelo método de Jacobi, a solução aproximada, partindo da solução = (0,0), com precisão de , ou seja, realizando as iterações, a) X=1, 125, y= 0,875 b) X=1, 008, y=0,992 c) X=0,5, y=1,5 d) X=0,998, y=1,002 e) X=0, y=0, Alternativa Correta: Letra A. Identificação de conteúdo: UNIDADE II- RESOLUÇÃO SISTEMAS LINEARES- MÉTODO DE JACOBI, Páginas 81-83. GABARITO QUESTÕES COMENTADAS Disciplina CÁLCULO NUMÉRICO Professor (a) KARLA ADRIANA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E C A D A C B B D D Página 2 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA Comentário: k x y 0 0 0 1 0,5 1,5 2 1,25 1,25 4. Considerando uma máquina cujo sistema de representação numérica é definido por: F(2, 7, -7, 7), qual é a maior representação possível para esta máquina? a) 1,0001 X 23 b) 0,1111 X c) 0,949 X 23 d) 0,1111111 X e) 0,1000 X 23 Alternativa Correta: Letra D. Identificação de conteúdo: UNIDADE I- ARITMÉTICA DE PONTOS FLUTUANTES, Páginas 5-12. Comentário: A maior representação é o simétrico da menor, utilizando todas as potências. Base Binário: 0 ou 1 Quantidade de casas decimais (mantissa): 7 O limite para expoente: 7 Então 0,1111111 x 5. Aplicando o método do meio intervalo na função f(x) = x2 -3, encontre uma raiz real no intervalo de [1, 2]. Realize 3 interações dessa operação, ou seja, k irá de 0 até 2. a) = 1,625 e |f(x2)| = 0,359. b) = 0,874 e |f(x2)| = 0,028. c) = 1,228 e |f(x2)| = 0,220. d) = 0,739 e |f(x2)| = 0,001. e) = 1,882 e |f(x2)| = 0,444. Alternativa Correta: Letra A. Identificação de conteúdo: UNIDADE II- MÉTODO DO MEIO INTERVALO(BISSEÇÃO), Páginas 27 - 35 Comentário: k ak bk xk f(ak ) f(bk) f(xk) sina l Erro |f(xk)| 0 1 2 1,5 --2 1 --0,75 0,75 1 1,5 2 1,75 - 0,7 5 1 0,062 5 0,062 5 2 1,5 1,7 5 1,62 5 - 0,7 5 0,062 5 - 0,359 0,359 6. Dada função f(x) = 2x2-4x. Considerando que a raiz esteja no intervalo [0,020 ; 3,000]. Aplicando o método da Bissecção, qual seria aproximadamente o número mínimo de iterações necessárias para conseguir uma precisão inferior a 0,004? a) 6 b) 10 c) 9 d) 2 e) 15 Alternativa Correta: Letra C. Identificação de conteúdo: UNIDADE II- MÉTODO DO MEIO INTERVALO(BISSEÇÃO), Páginas 27-34. Comentário:K = ( log(2 -0.020) – log(0.004) ) / log(3) = 9 7. Considerando a função f(x) = 2x³ + ln(x) – 5, levando em consideração o intervalo (1,2) e o critério de parada K2, ou seja, desenvolva K0, K1, K2 . Aplique o método de Newton( método das tangentes) para encontrar o resultado, levando em consideração 4 dígitos significativos. a) 2,050 b) 1,3501 c) 2,479 d) 3,574 e) 0,194 Alternativa Correta: Letra B Identificação de conteúdo: UNIDADE II- MÉTODO DE NEWTON, Páginas 48-51. Comentário: K Xk f(xk) |f(xk)| erro 0 2 11,9631 11,9631 1 1,5117 2,3225 2,3225 2 1,3501 0,2222 0,2222 8. Suponha que a resolução do sistema linear a seguir, tenha que ser determinada pelo método de fatoração LU. Qual deveria ser as condições que o sistema deve atender para ser resolvido por tal método? a) Uma raiz no intervalo Δ1 e Δ2. Página 3 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): KARLA ADRIANA b) Δ1 ≠ 0 e Δ2 ≠ 0 (Δ1 e Δ2, determinantes submatriz coeficientes). c) Sistema de pontos flutuantes. d) A mantissa. e) Δ1=0 e Δ2=0 (Δ1 e Δ2, determinantes submatriz coeficientes). Alternativa Correta: Letra B. Identificação de conteúdo: UNIDADE III- MÉTODO DA FATORAÇÃO LU, Páginas 65-69. Comentário: Os determinantes das submatrizes de A, devem ter determinantes diferentes de zero, para admitir a utilização da fatoração LU. 9. Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Jacobi Richardson. Para isso use como valores iniciais x0 = [1,000 1,000 1,000] (realize os cálculos com três casas decimais) e o critério de parada é K2, ou seja, K0, k1 e k2. a) X = [0, 306 0, 365 0,403] b) X = [-0,872 -2,208 1,884] c) X = [-0,121 -1,569 2,854] d) X = [0,625 0,708 0,583] e) X = [-1,712 -1,589 2,451] Alternativa Correta: Letra D. Identificação de conteúdo: UNIDADE III- MÉTODO DE JACOBI, Páginas 83-88. Comentário: K X Y Z erro 0 1,000 1,000 1,000 1 0,000 0,125 0,333 1,000 2 0,625 0,708 0,583 0,625 10. O método da Falsa Posição é um caso particular de que método de determinação de raiz? a) Fatoração LU. b) Bisseção. c) Triangulação superior . d) Secante. e) Jacobi. Alternativa Correta: Letra D. Identificação de conteúdo: UNIDADE II- MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO, Páginas 48-51. Comentário: Para identificação deve-se levar em consideração, as definições dos métodos de isolamento de raiz. No caso, o método da falsa posição, é um caso particular do método das secantes. Página 1 de 2 GRADUAÇÃO EAD AV2 2018.2A 20/10/2018 QUESTÃO 1. A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por um valor aproximado" apresenta a definição de: R: Erro absoluto. QUESTÃO 2. No sistema de armazenamento de ponto flutuante, quando acontece um Overflow? R: Quando o expoente é maior que o expoente máximo. QUESTÃO 3. Considere o valor de Calcule a operação aritmética de W-Z, suponha que uma máquina opere com quatro dígitos significativo, aplicando o processo de truncamento. R: 0,6996 QUESTÃO 4. Considere uma máquina cujo o sistema de representação numérica é definido por: F(2, 3, {-3, 3}), responda: Qual o menor número representável? R: QUESTÃO 5. Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Jacobi Richardson. Para isso use como valores iniciais x0 = [0,600 -1,800 0,700 ] (realize os cálculos com três casas decimais) e Erro = 0,056. R: X = [1,341 -2,755 1,680] QUESTÃO 6. Aplicando o método da bissecção na função Encontre uma raiz real no intervalo de [0,020 2,000]. Realize 5 interações dessa operação, ou seja, k irá de 0 até 4. R: QUESTÃO 7. Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Gauss Seidel. Para isso, use como valores iniciais x0 = [0,800 0,800 0,800 ] (realize os cálculos com três casas decimais) e o critério de parada é Erro <= 0,09. R: X = [0,262 2,222 -3,099] QUESTÃO 8. Os métodos iterativos de resolução de sistemas lineares, são aqueles caracterizados por fornecer aproximações sucessivas, partindo de uma condição inicial. Assinale a alternativa que apresenta um método iterativo de resolução de sistemas lineares. R: Método de Jacobi. QUESTÃO 9. O método da Falsa Posição é um caso particular de que método de determinação de raiz? R: Secante. CÁLCULO NUMÉRICO Página 2 de 2 QUESTÃO 10. Dada a função f(x) = ln(x) + 4x – 5 identifique, por meio do método gráfico, quantas raízes reais existem. R: Uma raiz real. CÁLCULO NUMÉRICO - 113517 Questão 1 Código 968549 Quando aplicado o Método de Newton-Raphson para encontrar a raiz aproximada da função e usando como valor x0 = 6,000, qual o valor encontrado para a raiz com erro Use três casas decimais. a) 0,209 b) 0,829 c) 1,949 d) 2,919. e) -0,452 Detalhes questão 1 Valor da Questão: 1.00 Nível: Difícil Assunto: ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE** Competência: CONHECER AS FERRAMENTAS DE APRENDIZAGEM USADAS EM EAD;; Questão 2 Código 970700 Considere uma máquina cujo sistema de representação numérica é definido por: F(2, 3, -3, 3), responda: Qual é a maior representação possível para esta máquina. a) b) c) d) Overflow. e) Detalhes questão 2 Valor da Questão: 1.00 Nível: Fácil Assunto: ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE** Competência: CONHECER AS FERRAMENTAS DE APRENDIZAGEM USADAS EM EAD;; Questão 3 Código 970730 Considerando a função levando em consideração as raízes iniciais e . Aplique o método da secante para encontrar o resultado, levando em consideração 4 dígitos significativos. a) 0,1001. b) 1,7959. c) 2,0357. d) 2,0000. e) 1,7000. Detalhes questão 3 Valor da Questão: 1.00 Nível: Médio Assunto: ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE** Competência: CONHECER AS FERRAMENTAS DE APRENDIZAGEM USADAS EM EAD;; Questão 4 Código 970734 Dada a função Considerando que a raiz esteja no intervalo [1.5, 2]. Aplicando o método da Bissecção qual o número mínimo de iterações necessárias para conseguir uma precisão inferior a 0.05 a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) Essa função não converge. Detalhes questão 4 Valor da Questão: 1.00 Nível: Fácil Assunto: ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE** Competência: CONHECER AS FERRAMENTAS DE APRENDIZAGEM USADAS EM EAD;; Questão 5 Código 970738 Considere uma máquina cujo sistema de representação numérica é definido por: F(2, 3, -3,3). Represente o número (8,25) nesta máquina aplicando o método de truncamento: a) b) c) Overflow. d) e) Underflow. Detalhes questão 5 Valor da Questão: 1.00 Nível: Médio Assunto: ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE** Competência: CONHECER AS FERRAMENTAS DE APRENDIZAGEM USADAS EM EAD;; Questão 6 Código 970782 Considere o valor de Calule a operação aritmética de Y-X, suponha que uma máquina opere com três dígitos signitivatio, aplicando o processo de arredondamento. a) 63,507. b) 0,385. c) 0,384. d) 1,038 . e) 0,484. Detalhes questão 6 Valor da Questão: 1.00 Nível: Médio Assunto: ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE** Competência: CONHECER AS FERRAMENTAS DE APRENDIZAGEM USADAS EM EAD;; Questão 7 Código 970806 No sistema de armazenamento de ponto flutuante, quando acontece um Underflow? a) Quando é inserido um valor 0 no final. b) Quando o expoente encontrado tem o valor igual ao valor da base. c) Quando o expoente é menor que o expoente mínimo. d) Quando se armazena valores da base 2. e) Quando é inserido um valor negativo. Detalhes questão 7 Valor da Questão: 1.00 Nível: Fácil Assunto: ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE** Competência: CONHECER AS FERRAMENTAS DE APRENDIZAGEM USADAS EM EAD;; Questão 8 Código 970809 Considere o valor de . Calcule a operação aritmética de X+Y; suponha que uma máquina operecom quatro dígitos significativo, aplicando o processo de arredondamento. a) 1,831 b) 0,9017 c) 0,2146 d) 0,7412 e) 0,8237 Detalhes questão 8 Valor da Questão: 1.00 Nível: Médio Assunto: ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE** Competência: CONHECER AS FERRAMENTAS DE APRENDIZAGEM USADAS EM EAD;; Questão 9 Código 970869 Considerando a função levando em consideração as raízes iniciais e o critério de parada . Aplique o método da secante para encontrar o resultado, levando em consideração 3 dígitos significativos. a) 2,050 b) 1,864 c) 2,499 d) 0,194 e) 3,574 Detalhes questão 9 Valor da Questão: 1.00 Nível: Médio Assunto: ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE** Competência: CONHECER AS FERRAMENTAS DE APRENDIZAGEM USADAS EM EAD;; Questão 10 Código 970879 Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Jacobi Richardson. Para isso, use como valores iniciais x0 = [1,000 1,000 1,000] (realize os cálculos com três casas decimais) e o critério de parada é Erro <= 0,070. a) X = [0,454 0,497 0,510] b) X = [-0,872 -2,208 1,884] c) X = [-0,121 -1,569 2,854] d) X = [-1,712 -1,589 2,451] e) X = [-0,511 -0,802 0,999] Detalhes questão 10 Valor da Questão: 1.00 Nível: Difícil Assunto: ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE** Competência: CONHECER AS FERRAMENTAS DE APRENDIZAGEM USADAS EM EAD;; Página 1 de 3 GRUPO SER EDUCACIONAL GRADUAÇÃO EAD GABARITO SEGUNDA CHAMADA-2016.2A – 22/10/2016 1. A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de? a) Erro fundamental. b) Erro absoluto. c) Erro relativo. d) Erro conceitual. e) Erro derivado. Alternativa correta: Letra C. Identificação do conteúdo: Páginas 12 e 13. Comentário: o erro relativo é o módulo da subtração entre um valor exato de um número x e seu valor aproximado, divido pelo valor aproximado, ou seja, é o erro absoluto dividido pelo valor aproximado. 2. Dada a função f(x) = x-cos(x), se aplicamos o método do meio intervalo, que valores serão encontardos para raiz de xk e o erro |(f(xk)|, quando (k=3)? Admita que o intervalo inicial da raiz [0,000 1,500] a) X3 = 0,563 e |f(x3)| = 0,283. b) X3 = 0,874 e |f(x3)| = 0,028. c) X3 = 1,068 e |f(x3)| = 0,054. d) X3 = 0,739 e |f(x3)| = 0,001. e) X3 = 0,891 e |f(x3)| = 0,054. Alternativa correta: Letra A. Identificação do conteúdo: Páginas 27 a 35. Comentário: k ak bk xk f(ak) f(bk) f(xk) sinal Erro |f(xk)| 0 0,000 1,500 0,750 -1,000 1,429 0,018 - 0,018 1 0,000 0,750 0,375 -1,000 0,018 -0,556 + 0,556 2 0,375 0,750 0,563 -0,556 0,018 -0,283 + 0,283 3. Considere uma máquina cujo sistema de representação numérica é definido por: F(2, 6, {-6, 6}), responda: Qual é a menor representação possível para esta máquina: a) 0,000001 x 10 -6. b) 0,999999 x 10 -6. c) 0,100000 x 10 -6. d) 0,111111 x 2 -6. e) 0,100000 x 2 -6. Alternativa correta: Letra E. Identificação do conteúdo: Páginas 5 a 12. Comentário: A menor representação Base Binário: 0 ou 1 Quantidade de casas decimais (mantissa): 6 Após a virgula tem que ter um valor diferente de 0, então: 0,100000 x 2-6 GABARITO QUESTÕES COMENTADAS Disciplina CÁLCULO NUMÉRICO Professor (a) JOSIVAN REIS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A E C D D D B A D Página 2 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): JOSIVAN REIS 4. Considere o valor exato 1,026 e o valor aproximado 1,000. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo: a) 0,024 e 0,024. b) 0,024 e 0,026. c) 0,026 e 0,026. d) 0,026 e 0,025. e) 0,026 e 0,024. Alternativa correta: Letra C. Identificação do conteúdo: Páginas 12 a 14. Comentário: EA = 1,026 – 1,000 = 0,026 ER = EA /1,000 = 0,026 5. Considere o valor de W=0,9371 x104 e Z= 0,1274 x103. Calule a operação aritmética de W-Z, suponha que uma máquina opere com quatro dígitos signitivatio, aplicando o processo de arredondamento. a) 0,8097. b) 0,8098. c) 0,9499 d) 0,9244. e) 0,9190. Alternativa correta: Letra D. Identificação do conteúdo: Páginas 17 e 18. Comentário: W=0,9371 e Z= 0,1274. X = W-Z X = 0,9371 - 0,01274 = 0,92436 X = 0, 9244 6. Que valor será encontrado ao converter o número (-3,625)10 para base binária de ponto flutuante com representação normalizado. a) (-11,100) 10 b) (-11,110) 2 c) (-1,1010 x 23) d) (-0,11101 x 2²) e) (-0,1101 x 10 2) Alternativa correta: Letra D. Identificação do conteúdo: Páginas 5 a 10. Comentário: Parte inteira Numero Quociente Resto 3/2 1 1 Parte da mantissa 0,625 x 2 = 1,250 0,250 x 2 = 0,500 0,5 x 2 = 1,0 -1,101 Agora normalizado -0,11101 x 22 7. Considere o valor de X=0,2135 x102 e Y= 0,3064 x10-2, realize a operação aritmética em ponto fluante (X * Y), levando em consideração F(10, 4, -7- 7) (utilize o método de arredondamento). a) 0,06542 x 102. b) 0,0654135. c) 0,06541 x 10-1. d) 0,6542 x 10-1. e) Essa operação não pode ser representada na máquina. Alternativa correta: Letra D. Identificação do conteúdo: Páginas 5 e 10. Comentário: X * Y = (0,2135)*(0,3064) x 100 = 0,0654164 x 100 =0,6542 x 10-1 8. A sentença: "Valor do módulo da diferença numérica entre um número exato e sua representação por um valor aproximado" apresenta a definição de. a) Erro fundamental. b) Erro absoluto. c) Erro conceitual. d) Erro derivado. e) Erro relativo . Alternativa correta: Letra B. Identificação do conteúdo: Páginas 12 e 13. Comentário: O erro absoluto é a subtração entre um valor exato de um número x e seu valor aproximado. EA = x –x. 9. Quando aplicado o Método de Newton-Raphson para encontrar a raiz aproximada da função f(x) = 3x2 +sen(x)-20 e usamos como valor x0 = 4,000, qual o valor encontrado para a raiz com erro |(f(xk)|<€=0,010, quando K=3. Use três casas decimais. a) 2,546 b) 3,541. c) 2,683. d) 0,049 e) 1,808 Alternativa correta: Letra A. Identificação do conteúdo: Páginas 45 a 48. Comentário: k Xk f(xk) f'(xk) | f(xk)| erro 0 4,000 27,243 23,346 27,243 0,292 1 2,833 4,383 16,046 4,383 0,096 2 2,560 0,209 14,524 0,209 0,006 3 2,546 0,001 14,446 0,001 0,000 Página 3 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR (A): JOSIVAN REIS 10. Dado o sistema linear, resolva aplicando o Método de Gauss-Seidel. Para isso use como valores iniciais x0 = [1,000 1,000 1,000 ] (realize os cálculos com três casas decimais) e Erro = 0,01. a) X = [2,000 1,250 -2,000] b) X = [1,000 0,750 -0,875] c) X = [0,991 1,205 1,000] d) X = [1,000 2,000 -1,000] e) X = [1,067 2,011 -1,400] Alternativa correta: Lera D. Identificação do conteúdo: Páginas 88 a 94 Comentário: k X1 X2 X3 erro 0 1 1 1 - 1 2,000 1,400 -1,400 2,400 2 1,067 2,013 -1,013 0,933 3 0,991 2,005 -0,997 0,076 4 1,000 2,000 -1,000 0,008 . GRADUAÇÃO EAD GABARITO PROGRAMA RECUPERAÇÃO 2016.1 FINAL – 23/07/2016 CURSO DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR(A) TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C D B C B E C C ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 2. Esta avaliação possui 10 questões. 3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira página. 6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhumaespécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para conferência posterior à realização da avaliação. 9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. Página 2 de 3 CÁLCULO NUMÉRICO 1. Que valor será encontrado ao converter o número de base binária (101,101)2 na sua forma de base decimal correspondente? a) (17,17)10 b) (9,401)10 c) (5,625)10 d) (18,413)10 e) (6,106)10 2. Qual o menor valor e o maior valor (ambos positivos) que poderá ser representado em uma máquina que opera em um sistema de aritmética de ponto flutuante F (10, 4, -6, 6)? a) Menor valor = 0,0001 . 10-6 e Maior valor = 9999 . 106 b) Menor valor = 0,1010 . 10-4 e Maior valor = 0,9999 . 104 c) Menor valor = 0,1111 . 10-6 e Maior valor = 9999,0 . 106 d) Menor valor = 0,1000 . 10-6 e Maior valor = 0,9999 . 106 e) Menor valor = 0,000001 . 10-4 e Maior valor = 0,999999 . 104 3. Uma determinada máquina opera com um sistema de aritmética de ponto flutuante dado por F (2,4, -5,5). Se inseríssemos o valor (14,63)10 nesta mesma máquina, como seria escrito este valor de acordo com o sistema? a) O valor seria padronizado na forma 1,0110 x 2101, mas estaria na região de overflow. b) O valor seria padronizado na forma 0,00101 x 2010, mas estaria na região de underflow. c) O valor seria padronizado na forma 0,11101 x 2100 e a máquina poderia o processar. d) O valor seria padronizado na forma 10101 x 2100 e a máquina poderia o processar. e) O valor seria padronizado na forma 0,10001 x10² e a máquina poderia processar. 4. Encontre o erro absoluto e o relativo cometido ao inserir o valor (730654,80742)10 em uma máquina que opera segundo o sistema de aritmética de ponto flutuante F (10, 6, -9,9). a) O erro absoluto é da ordem de 10-7 e o erro relativo é da ordem de 10-8. b) O erro absoluto é da ordem de 10-2 e o erro relativo é da ordem de 10-5. c) O erro absoluto é da ordem de 10-1 e o erro relativo é da ordem de 10-2. d) O erro absoluto é da ordem de 10-1 e o erro relativo é da ordem de 10-6. e) O erro absoluto é da ordem de 10-3 e o erro relativo é da ordem de 10-5 5. Supondo que uma máquina opere com seis dígitos significativos e que são inseridos os valores x = 0,170346 . 103 e y = 0,213210 . 101. Determine o resultado final da operação z = x + y (suponha que esta máquina usa o processo de truncamento para armazenar os valores). a) z = 0,383556 . 104 b) z = 0,172478 . 103 c) z = 0,170210 . 101 d) z = 0,074280 . 103 e) z = 0,263105 . 104 6. Dada a função , identifique por meio do método gráfico, quantas raízes reais existem. a) Nenhuma raiz real b) Uma raiz real c) Duas raízes reais d) Três raízes reais e) Infinitas raízes reais 7. Por meio da utilização de algum dos métodos diretos, determine solução do sistema linear: a) b) c) d) e) 8. Se aplicarmos o Método de Newton-Raphson para encontrar a raiz aproximada da função , usando como valor inicial e três casas decimais, qual será o valor encontrado para e ? (ou seja, na primeira iteração quando ). a) e b) e c) e Página 3 de 3 CÁLCULO NUMÉRICO d) e e) e 9. Dada a função , se aplicarmos o Método do Meio Intervalo, que valores serão encontrados para a raiz e o erro quando ) ? Admita como intervalo inicial contendo a raiz [0,500; 1,000]. a) e b) e c) e d) e e) e 10. O que se pode dizer respeito dos métodos diretos de solução de sistemas lineares? a) Todo sistema linear apresenta linear pode apresentar no máximo três soluções. b) Se calcularmos o determinante de um sistema linear do tipo e verificarmos que , isso implica que o sistema terá duas soluções. c) Caso o sistema linear do tipo Ax = b seja compatível e o determinante det (A ) for diferente de zero. Neste caso estaremos termos solução única. d) Caso o sistema linear do tipo tema o determinante nulo, a única solução será . e) Em um sistema em que o número de equações é igual ao número de incógnitas terá sempre solução única. Página 1 de 3 GRUPO SER EDUCACIONAL GRADUAÇÃO EAD GABARITO FINAL - 2018.2A 24/11/2018 1. A calculadora padrão de uma empresa de contabilidade utiliza o sistema binário como método de conversão de base. Em uma determinada planilha, uma informação apareceu com a seguinte representação binária: 1111,1. Para completar a planilha o número deve está na base dez. Sendo assim, assinale a alternativa que aparece o número binário informado, na forma decimal. a) 13,5 b) 15,5 c) 12,5 d) 10,5 e) 11,5 2. Aplicando o método do meio intervalo na função f(x) = 2x2-4x. Encontre uma raiz real no intervalo de [0,020; 1,000]. Realize 2 interações dessa operação, ou seja, k irá de 1 até 2. a) X2 = 0,563 b) X2 = 0,874 c) X2 = 1,228 d) X2 = 0,739 e) X2 = 1,882 Disciplina CÁLCULO NUMÉRICO GABARITO QUESTÕES COMENTADAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B E A B C C C C B B Página 2 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO 3. Um engenheiro de produção supervisiona a fabricação de três tipos de bolsas. Existem três espécies de recursos para produção: borracha, couro e algodão. As quantidades destes recursos e temperaturas necessárias para produção de cada bolsa, estão representados no sistema abaixo. Sendo assim, utilize o método de triangulação de sistema e determine a quantidade de cada bolsa produzida por minuto. A alternativa que representa esses valores é: a) X=-3, y=5, z=0 b) X=1, y=2, z=3 c) X=5, y=4, z=3 d) X=3, y=3, z=2 e) X=5, y=15, z=5 4.Considere uma máquina cujo sistema de representação numérica é definido por: F(2,4, -4, 4). Qual é a menor representação possível para esta máquina? a) 1,0001 X 23 b) -0,1111 X c) 0,949 X 23 d) 0,0011 X 24 e) 0,1000 X 2-4 5.Sabendo que o sistema Ux= y foi gerado pela fatoração LU apresentando a matriz U= e y = . Assinale a alternativa que apresenta a matriz solução do sistema Ux=y. a) x= b) x= c) x= d) e) . Página 3 de 3 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO 6.A modelagem de um problema resultou na seguinte equação: - 5 , dividindo a equação original em outras duas, e representando as mesmas no mesmo gráfico, encontraremos o ponto de interseção. Supondo que = 1,4 e = 1,5, determine pelo método das secantes, com erro inferior a , o valor de . a) -0, 05 b) 0,11 c) 1,43 d) 2,432 a) e)0,432 7.Seja o sistema linear Ax= b de ordem 3 determinado, onde A satisfaz as condições de decomposição LU. Sendo A= , determine a solução do sistema Ly, para b= . a) y= b) y= c) y= d) y= e) y= 8. Considerando a função f(x) = 2x2 + x – 15, e levando em consideração as raízes iniciais x1 = 1.900 e x2=2,674, sabendo do critério de parada K3, desenvolva k3 aplicando o método da secante para encontrar o resultado, levando em consideração 3 dígitos significativos. a) 2,050 b) 1,864 c) 2,479 d) 3,574 e) 0,194 9. Dado o número 13 que está na base 10, represente o mesmo na base 5. Assinale a alternativa que apresenta o número na base 5. a) 60 b) 23 c) 11 d) 30 e) 15 10. Determine pelo método da bisseção a raiz positiva da função f(x)=(x+1)² . . Iniciando no intervalo de [0,5; 1], temos que f(0,5)< 0 e f(1)> 0. Assinale a alternativa que apresenta o ponto médio desse intervalo, e o novo intervalo a ser trabalhado, respectivamente. a) 0,5; [0; 0,5] b) 0,75; [0,75; 1,0] c) 0,75; [ 0,5; 1] d) 1,0; [0; 0,5] e) 0,25; [ 0,75; 1] Página 1 de 2 GRADUAÇÃO EAD AVALIÇÃO FINAL 2018.2A 24/11/2018 QUESTÃO1. A calculadora padrão de uma empresa de contabilidade utiliza o sistema binário como método de conversão de base. Em uma determinada planilha, uma informação apareceu com a seguinte representação binária: 1111,1. Para completar a planilha o número deve está na base dez. Sendo assim, assinale a alternativa que aparece o número binário informado, na forma decimal. R: 15,5 QUESTÃO 2. Aplicando o método do meio intervalo na função f(x) = 2x2-4x. Encontre uma raiz real no intervalo de [0,020; 1,000]. Realize 2 interações dessa operação, ou seja, k irá de 1 até 2. R: X2 = 1,882 QUESTÃO 3. Um engenheiro de produção supervisiona a fabricação de três tipos de bolsas. Existem três espécies de recursos para produção: borracha, couro e algodão. As quantidades destes recursos e temperaturas necessárias para produção de cada bolsa, estão representados no sistema abaixo. Sendo assim, utilize o método de triangulação de sistema e determine a quantidade de cada bolsa produzida por minuto. A alternativa que representa esses valores é: R: X=-3, y=5, z=0 QUESTÃO 4. Considere uma máquina cujo sistema de representação numérica é definido por: F(2,4, -4, 4). Qual é a menor representação possível para esta máquina? R: -0,1111 X QUESTÃO 5. Sabendo que o sistema Ux= y foi gerado pela fatoração LU apresentando a matriz U= e y = . Assinale a alternativa que apresenta a matriz solução do sistema Ux=y. R: x= CÁLCULO NUMÉRICO Página 2 de 2 QUESTÃO 6. A modelagem de um problema resultou na seguinte equação: - 5 , dividindo a equação original em outras duas, e representando as mesmas no mesmo gráfico, encontraremos o ponto de interseção. Supondo que = 1,4 e = 1,5, determine pelo método das secantes, com erro inferior a , o valor de . R: 1,43 QUESTÃO 7. Seja o sistema linear Ax= b de ordem 3 determinado, onde A satisfaz as condições de decomposição LU. Sendo A= , determine a solução do sistema Ly, para b= . R: y= QUESTÃO 8. Considerando a função f(x) = 2x2 + x – 15, e levando em consideração as raízes iniciais x1 = 1.900 e x2=2,674, sabendo do critério de parada K3, desenvolva k3 aplicando o método da secante para encontrar o resultado, levando em consideração 3 dígitos significativos. R: 2,479 QUESTÃO 9. Dado o número 13 que está na base 10, represente o mesmo na base 5. Assinale a alternativa que apresenta o número na base 5. R: 23 QUESTÃO 10. Determine pelo método da bisseção a raiz positiva da função f(x)=(x+1)² . . Iniciando no intervalo de [0,5; 1], temos que f(0,5)< 0 e f(1)> 0. Assinale a alternativa que apresenta o ponto médio desse intervalo, e o novo intervalo a ser trabalhado, respectivamente. R: 0,75; [0,75; 1,0] GRADUAÇÃO EAD GABARITO FINAL 2016.1A 28/05/2016 CURSO DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR(A) BRÁULIO ANCHIETA TURMA DATA DA PROVA ALUNO(A) MATRÍCULA POLO GABARITO OBRIGATÓRIO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E D D D B B A A C A ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 2. Esta avaliação possui 10 questões. 3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resp osta. 5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira página. 6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos d o aluno” e leve-a para conferência posterior à realização da avaliação. 9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação. 10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. Página 2 de 4 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR(A): BRÁULIO ANCHIETA 1. Que valor será encontrado ao converter o número de base binária (1011,101)2 na sua forma de base decimal correspondente? a) (51,422)10 b) (13,0723)10 c) (8,621)10 d) (21,423)10 e) (11,625)10 JUSTIFICATIVA: Transformação de base 2 para base decimal- processo no guia pag. 5 e pag. 6 guia- módulo 01. LETRA E 2. Uma determinada máquina opera com um sistema de aritmética de ponto flutuante dado por F(2,5,-6,6). Se inseríssemos o valor (43,127)10 nesta mesma máquina, como seria escrito este valor de acordo com o sistema? a) O valor seria padronizado na forma 101,011 x 2111, mas estaria na região de overflow. b) O valor seria padronizado na forma 1,010011 x 2001, mas estaria na região de underflow. c) O valor seria padronizado na forma 0,1111 x 2101 e a máquina poderia o processar. d) O valor seria padronizado na forma 0,101011 x 2110 e a máquina poderia o processar. e) O valor seria padronizado na forma 0,1011 x 2100 e a máquina poderia o processar. JUSTIFICATIVA : Aritmética de ponto flutuante pag .5-6-7-8, semelhante ao exemplo da pag. 8 do guia 1. Lembre-se que caso seja necessário transforma-se também o expoente. RESPOSTA: LETRA D 3. Encontre o erro absoluto e o relativo cometido ao inserir o valor (730654,80742)10 em uma máquina que opera segundo o sistema de aritmética de ponto flutuante F (10, 6, -9,9). a) O erro absoluto é da ordem de 10-7 e o erro relativo é da ordem de 10-8. b) O erro absoluto é da ordem de 10-2 e o erro relativo é da ordem de 10-5. c) O erro absoluto é da ordem de 10-1 e o erro relativo é da ordem de 10-2. d) O erro absoluto é da ordem de 10-1 e o erro relativo é da ordem de 10-6. e) O erro absoluto é da ordem de 10-3 e o erro relativo é da ordem de 10-5 . JUSTIFICATIVA : Teoria dos erros pags. 9 e 10. Na pag. 10, você tem a definição de valor absoluto e valor relativo. Observe que a mantissa é 4. Os expoentes: maior +6 e menor -6. Fazendo as devidas operações obtemos: RESPOSTA: LETRA D 4. Qual o menor valor e o maior valor (ambos positivos) que poderá ser representado em uma máquina que opera em um sistema de aritmética de ponto flutuante F (10, 4, -6, 6)? a) Menor valor = 0,0001 . 10-6 e Maior valor = 9999 . 106 b) Menor valor = 0,1010 . 10-4 e Maior valor = 0,9999 . 104 c) Menor valor = 0,1111 . 10-6 e Maior valor = 9999,0 . 106 d) Menor valor = 0,1000 . 10-6 e Maior valor = 0,9999 . 106 e) Menor valor = 0,000001 . 10-4 e Maior valor = 0,999999 . 104 JUSTIFICATIVA: O sistema de aritmética de ponto flutuante f (10, 4, -6, 6) indica uma máquina que opera na base decimal, trabalha com quatro dígitos na mantissa e os valores mínimo e máximo estão limitados pelos expoentes -6 e 6. Assim, a representação do menor valor e do maior valor será: menor valor = 0,1000 . 10 -6 e maior valor = 0,9999 . 10 6 RESPOSTA: LETRA D 5. Supondo que uma máquina opere com seis dígitos significativos e que são inseridos os valores x = 0,170346 . 103 e y = 0,213210 . 101. Determine o resultado final da operação z = x + y (suponha que esta máquina usa o processo de truncamento para armazenar os valores). a) z = 0,383556 . 104 b) z = 0,172478 . 103 c) z = 0,170210 . 101 d) z = 0,074280 . 103 e) z = 0,263105 . 104 Página 3 de 4 DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR(A): BRÁULIO ANCHIETA JUSTIFICATIVA: Sendo x = 0,170346 . 10 3 e y = 0,213210 . 10 1 . Para realizar esta soma deveremos escrever esses valores em uma mesma potência, Assim, teremos x = 0,170346 . 10 3 e y = 0,00213210 . 10 3 Realizando essa soma: x + y = 0,170346 . 10 3 + 0,00213210 . 10 3 = 0,1724781 . 10 3 Como a máquina opera com seis dígitos na mantissa o valor será truncado em 0,172478 . 10 3 , perdendo
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