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Simulado IME - Prova 2 - 2a fase - Matemática
Questão 1
Determine as equações das duas retas tangentes à parábola de equação que passam pelo
ponto .
feli
pe1
3ga
me
s@
gm
ail.
com
Questão 2
a) Prove que um número inteiro positivo possui uma quantidade ímpar de divisores positivos se, e
somente se, é um quadrado perfeito.
b) Sejam e números inteiros positivos com . Prove que, se é um quadrado perfeito,
então e são quadrados perfeitos. 
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com
Questão 3
Um tetraedro possui como base o triângulo equilátero , cujos lados têm medida 1. Suas
faces laterais são tais que , com .
a) Expresse em função de .
b) Determine, em função de , a medida da altura deste tetraedro traçada a partir de .feli
pe1
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Questão 4
Um quadrilátero tem os seus vértices sobre cada um dos lados de um quadrado, cujo lado tem
medida 1. Sabendo que as medidas dos lados desse quadrilátero são e , prove que
feli
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Questão 5
Para todo inteiro positivo, seja
Prove, por indução em , que , para todo .
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Questão 6
Resolva a equação , em .
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Questão 7
Resolva o sistema a seguir:
sabendo que são números reais.
feli
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com
feli
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Questão 8
Considere todos os pontos de coordenadas que pertençam à circunferência de equação 
. Determine o maior valor possível de .
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Questão 9
Considere a sequência: , , , 
Determine o produto dos 20 primeiros termos desta sequência.
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Questão 10
Três problemas A, B e C foram aplicados numa Olimpíada de Matemática. Todos os 25 estudantes
presentes resolveram pelo menos um desses problemas. O número de estudantes que resolveram o
problema B e não resolveram o problema A é o dobro do número de estudantes que resolveram o
problema C e não resolveram o problema A. O número de estudantes que resolveram apenas o
problema A é 1 a mais do que o número de estudantes que resolveram, além do problema A, pelo
menos mais um problema. Dentre os estudantes que resolveram somente um problema, metade
resolveu A. Quantos estudantes resolveram apenas o problema B?
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	Simulado IME - Prova 2 - 2a fase - Matemática