Juros Simples e Compostos

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JUROS SIMPLES
Juros simples é aquele calculado unicamente so-
bre o capital inicial.
CÁLCULO DO JURO SIMPLES
Consideremos o problema:
Apliquei R$ 2.000,00 por 2 anos. Quanto recebe-
rei de juros se a taxa foi de 36% ao ano?
Solução:
Se me pagam 36% ao ano, isto significa que rece-
bo R$ 36,00 em 1 ano em cada R$ 100,00 aplicados
ou, então, que em 100 recebo 36 em 1 ano.
Temos então:
Como as grandezas são diretamente proporcio-
nais, vem:
isto é, receberei de juros R$ 1.440,00
Assim, designando por:
C o capital inicial ou principal;
j o juro simples;
n o tempo de aplicação;
r a taxa percentual;
i a taxa unitária,
temos: C = 2.000 / j = 1.440 / n = 2 / r = 36
Logo, de: 
ou:
Lembrando que: 
podemos escrever: j = C . n . i
Então, de um modo geral, podemos calcular os
juros simples pela fórmula: j = C . i . n
É importante observar que essa fórmula só pode
ser aplicada se o prazo de aplicação n for expresso
na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa
i considerada.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 - Tomou-se emprestada a importância de R$
12.000,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao
ano. Qual será o valor do juro a ser pago?
Solução: Temos:
C = 12.000,00 / n = 2 a / r = 30% a.a i = 0,3 a.a.
e, como: j = C . i . n
temos: j = 12.000 x 0,3 x 2
j = 7.200 isto é, o juro a ser pago é de R$ 7.200
2 . Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 pelo
prazo de 3 meses à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor
do juro a receber?
Solução: Temos:
C = 3.000,00 / n = 3 me / r = 1,2% a.m. i = 0,012
a.m.
donde: j = 3.000 x 0,012 x 3
j = 108 isto é, o juro a receber é de R$ 108,00
RESOLVA:
1 - Calcule os juros a serem pagos por um em-
préstimo de R$ 920,00 à taxa de 5% ao trimestre,
durante 3 trimestres.
2 - À taxa de 0,75% ao mês, foi empregado um
capital de R$ 5.680,00 durante 2,5 meses. Calcule os
juros produzidos.
GABARITO: 1 - R$ 138,00 / 2 - R$ 106,50
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no
sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálcu-
los de problemas do dia-a-dia.
Os juros gerados a cada período são incorporados
ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que
os juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P. (1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês
anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês
anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula: M = P . (1 + i) n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mes-
ma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao
mês para n meses.
Para calcular apenas os juros basta diminuir o
principal do montante ao final do período: J = M - P
Exemplo: Calcule o montante de um capital de
R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1
ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
Resolução:
P = R$6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M = P.(1+i)n, obtemos:
M = 6000. (1+0,035)12 = 6000 . (1,035)12
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, en-
contramos:
log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x
= 0,1788 => x = 1,509
Então M = 6000.1,509 = 9054.
Portanto o montante é R$ 9.054,00
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RELAÇÃO ENTRE JUROS E PROGRESSÕES
- num regime de capitalização a juros simples o
saldo cresce em progressão aritmética
- num regime de capitalização a juros compostos
o saldo cresce em progressão geométrica
TESTES
1) Uma pessoa deseja emprestar um Capital para
obter taxa de juros reais de 5% ao ano. Se a inflação
do ano em questão for 20%, qual a taxa de juros apa-
rentes a ser cobrada?
Solução:
FATOR DE JUROS APARENTES =
FATOR DE INFLAÇÃO x FATOR DE JUROS REAIS
FATOR DE JUROS APARENTES =
1,20 x 1,05 = 1,26
TAXA DE JUROS APARENTES =
26% ao ano
2) Se uma aplicação financeira, em um ano você
obteve rendimento de 30%, e no mesmo período a taxa
de inflação foi de 25%, qual foi a taxa de juros reais?
Solução:
FATOR INFLAÇÃO, FATOR JUROS REAIS =
FATOR JUROS APARENTES
1,25 + T = 1,30
 4% ao mês
CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS
A fórmula do montante para juros simples é:
S = P (1 + i . n) e para os juros J = Pin
Ex.
1) Calcular o rendimento obtido aplicando no re-
gime de juros simples um principal de R$ 12.000
durante 8 meses a uma taxa de 24% ao ano.
Solução:
J = Pin => 
J = 12.000 x 0,02 x 8 => J = 1920,00
Obtendo-se portanto um montante S = R$
13.920,00
2) Ao aplicarmos R$ 10.000,00 pelo prazo de 89
dias obtivemos um montante de R$ 10.445,00. Qual
a taxa anual de juros simples?
Solução:
S = P (1 + i . n)
10.445 = 10.000 (1 + i . 89)
10.445 = 10.000 + 10.000 x 89 x i
10.000 x 89 x i = 10.445 - 10.000
10.000 x 89 x i = 445
i = 445 / 10.000 x 89 = 5 / 10.000 = 0,0005
i = 00,5% ao dia
r - 00,5 x 360 = 18% ao ano
3) Qual é o investimento necessário para produzir
um montante de R$ 8.000,00 daqui a 3 anos a uma
taxa de juros simples de 20% ao ano?
Solução: S = P (1 + n . i)
 => 
 => P = R$ 5.000,00
DESCONTO "POR DENTRO"
E DESCONTO "POR FORA":
Desconto Por Fora:
DESCONTO "POR DENTRO" E DESCONTO
"POR FORA
Desconto é a diferença entre o valor futuro e o va-
lor atual de um título:
D = S - P
Associa-se ao desconto uma TAXA (d) e um perío-
do de tempo (n)
D em R$ d em %
(Normalmente utiliza-se o termo "DESCONTO"em
lugar de "TAXA DE DESCONTO")
Desconto Por Fora (Comercial):
DESCONTO POR FORA (D) = VALOR RESGATE
(S) x TAXA DESCONTO (d) x PRAZO (n).
D = S x d x n
Ex. 1) Qual o valor do desconto "por fora"de um
título de R$ 2.000.000,00, (valor futuro) com prazo de
2 meses. à taxa de 15% a.m.?
Solução: D = S x d x n
D = 2.000.000 x 0,15 x 2 => D = 600,000,00
Desconto Por "Dentro" ou Racional:
DESCONTO POR DENTRO = (VALOR ATUAL) x
(TAXA DESCONTO) x (PRAZO)
 D = P x d x n
Normalmente P é desconhecido, sendo mais utili-
zado a fórmula de D em função de S, d e n:
Exemplo: Calcular o desconto simples, "por
dentro"de um título de R$ 115.000,00 a uma taxa de
5% a.m., num prazo de 3 meses:
Solução:
Podemos interpretar a fórmula de Desconto Raci-
onal ou "Por Dentro" da seguinte forma:
d . n = % acumulado de desconto no prazo n:
Logo, o desconto "por dentro"é calculado rapida-
mente da seguinte forma:
Valor Atual: 
Desconto = 100.000 x 3 x 5% = 15% de 100.000 =
15.000,00
ou seja:
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Quando uma determinada soma de dinheiro está
aplicada a juros simples, os juros são sempre
calculados sempre sobre o montante inicial. quando
uma soma está aplicada a juros compostos, os juros
são calculados não apenas sobre o capital inicial, mas
sobre este capital acrescido dos juros já vencidos.
Capitalização composta é aquela em que a taxa
de juros incide sobre o principal acrescido dos juros
acumulados até o período anterior. Neste regime de
capitalização a taxa varia exponencialmente em função
do tempo.
O conceito de montante é o mesmo definido para
capitalização simples, ou seja, é a soma do capital
apl icado ou devido mais o valor dos juros
correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida.
A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, M,
o montante, C, o capital inicial, n, o período e i, a taxa.
A dedução da fórmula do montante para um único
pagamento é pouco mais complexa que aquela já
vista para a capitalização simples e para facilitar o
entendimento, vamos admitir que defrontamos com
o seguinte problema:
Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00,
aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.
Dados:
C = 1.000,00
n = 5 meses
i = 4% ao mês
M = ?
O quadro a seguir permite que visualizemos
claramente o cálculo do montante, mês a mês.
Mês capital inicio juros cor. montante final
(t) mês (Pt) mês (Jt) mês (mt)
1 1.000,00 1.000,00x 0,04 = 40,00 1.040,00
2 1.040,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,60
3 1.081,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26 1.124,86
4 1.124,86 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,86
5 1.169,86 1.169,86 x 0,04 = 46,79 1.216,65
O valor do montante no final do quinto mês é de
R$ 1.216,65. O montante final de cada mês é o valor
do capital inicial do mês seguinte. Entretanto, essa
forma de cálculo é bastante trabalhosa e demorada.
Vamos deduzir uma fórmula que permita um cálculo
mais fácil e rápido, partindo do desenvolvimento
anterior, sem no entanto efetuar os cálculos ali
demonstrados.
M
0
 = 1.000,00
M
1
 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00(1 +
0,04) = 1.000,00 (1.04)1
M
2
 = 1.000,00(1,04) + 0,04 x 1.000,00 x (1,04) =
1.000,00 (1,04)(1+0,04) = 1.000,00(1,04)2
..........
M
5
 = 1.000,00(1,04)4 + 0,04 x 1.000,00(1,04)4 =
1.000,00(1,04)4(1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)5
O valor do montante no final do quinto mês é dado
pela expressão: M
5
 = 1.000,00 (1,04)5. Como (1,04)5 =
1,21656 Þ m = 1.000,00 x 1,21656 = 1.216,65, que
confere com o valor determinado anteriormente.
Substituindo cada n da expressão M5 =
1.000,00(1,04)5 pelo seu símbolo correspondente,
temos M = C ( 1 + i) n, em que a expressão (1 + i) n é
chamada de fator de capitalização ou fator de
acumulação de capital para pagamento simples ou
único.
EXEMPLOS
1 - Qual o montante de uma aplicação de R$
15.000,00, pelo prazo de 9 meses, à taxa de 2% ao
mês.
Dados:
C = 15.000,00
n = 9 meses
i = 2% ao mês
M = ?
Solução:
M = C(1 + i)n
M = 15.000,00 (1 + 0,02)9
M = 15.000,00 x 1,19509 = 17.926,35
O valor atual (ou valor presente) de um pagamento
simples, ou único, cuja conceituação é a mesma já
definida para capitalização simples, tem sua fórmula
de cálculo deduzida da fórmula, como segue.
em que a expressão é chamada de:
Fator de valor atual para pagamento simples (ou
único)
2 - A loja “Topa Tudo” financia um bem de consumo
de uso durável no valor de R$ 16.000,00, sem entrada,
para pagamento em uma única prestação de R$
52.512,15 no final de 27 meses. Qual a taxa mensal
cobrada pela loja?
Dados:
M = 52.512,15
C =16.000,00
n = 27 meses
i = ?
Solução:
M = C (1 + i)n
52.512,15 = 16.000,00(1 + i )27
52.512,15 / 16.000,00 = (1 + i)27
3,28201 = (1 + i)27
i = 3,282011/
27
i = 1,045 = 1,045 - 1 x 100 = 4,5% ao mês.
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DESCONTO COMPOSTO
Desconto composto é aquele obtido em função de
cálculos exponenciais. São conhecidos dois tipos de
descontos: o desconto composto “por fora” e o
desconto composto “por dentro”, ou racional.
O desconto composto “por fora”, não possui, pelo
menos no Brasi l , nenhuma util ização prática
conhecida.
Quanto ao desconto “por dentro” ou racional, ele
nada mais é do que a diferença entre o valor futuro de
um título e o seu valor atual, determinado com base
no regime de capitalização composta; portanto de
aplicação generalizada.
Desconto Composto “Por Fora”
No caso do desconto simples “por fora”, a taxa de
desconto incide somente sobre o valor futuro dos
títulos, tantas vezes, quantos forem os períodos
unitários, ou seja, D = S x d x n. Como P = S - D, deduz-
se que P = S.(1 - d x n).
Já no caso do desconto composto, para n períodos
unitários, a taxa de desconto incide, no primeiro
período, sobre o valor do título; no segundo período,
sobre o valor futuro do título menos o valor de desconto
correspondente ao primeiro período; no terceiro
período sobre o valor futuro do título menos os valores
dos descontos referentes ao primeiro e ao segundo
período, e assim sucessivamente até o enésimo
período, de forma que:
P1 = S - D ou P = S(1 - d)
P2 = S(1-d)(1-d) = S(1-d)2
P3 = S(1-d)(1-d)(1-d)= S(1-d)3
. .
. .
Pn = S (1-d)n
Assim o valor líquido de um título, de prazo igual a
n períodos unitários que sofre um desconto composto
“por fora”, é dado pela expressão:
P = S(1-d)n
Exemplos:
1 - Uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o
conceito de desconto composto “por fora”. Calcular o
valor do desconto.
Dados:
S = 28.800,00
n = 120 dias = 4 meses
d = 2,5% ao mês
D = ?
Solução:
P = S(1-d)n
P = 28.800,00(1-0,025)4 = 28.800,00 x 0,903688
P = 26.026,21
D = S - P = 28.800,00 - 26.026,21 = 2.773,79
2 - Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado
à taxa de 3% ao mês, produzindo um desconto no
valor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do título.
Dados:
D = 1.379,77
d = 3% ao mês
n = 90 dias ou 3 meses
S = ?
Solução:
D = S - P = S - S(1-d)n = S [1-(1-d)n]
D = S [1-(1-d)n]
1.379,77 = S [ 1 - (1 - 0,03)3]
1.379,77 = S [ 1 - 0,912673]
1.379,77 = S x 0,087327
S = 1.379,77/0,087327 = 15.800,00
Desconto “Por Dentro ” ou Racional
Desconto “por dentro” ou racional, é dado pela
diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor
atual, calculado com base no regime de capitalização
composta, como segue:
Para manter a coerência no que se refere a
simbologia adotada, vamos continuar a representar
a taxa de desconto por d . Assim a fórmula anterior
pode ser escrita como segue:
Exemplo:
1 - Determinar o valor do desconto composto
racional de um título no valor de R$ 50.000,00,
sabendo-se que o seu prazo é de 5 meses e que a
taxa de desconto cobrada é de 3,5% ao mês.
Dados:
S = 50.000,00
n = 5 meses
d = 3,5% ao mês
D = ?
Solução:
D = S x (1 + d)n - 1/(1+d)n
D = 50.000,00 X (1 + 0,035)5-1/(1 + 0,035)5
D = 50.000,00 X (1,035)5-1/(1,035)5
D = 50.000,00 X 0,18769/1,18769
D = 50.000,00 X 0,15803
D = 7.901,50
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TAXAS DE JUROS: NOMINAL,
EFETIVA, EQUIVALENTES,
PROPORCIONAIS, REAL E APARENTE
TAXAS DE JURO E INFLAÇÃO
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas i
1
 e i
2
 são equivalentes, se aplicadas
ao mesmo Capital P durante o mesmo período de
tempo, através de diferentes sistemas de capitaliza-
ção, produzem o mesmo montante final.
- Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa
anual i
a
 .
- O montante M ao final do período de 1 ano será
igual a M = P(1 + i
a
 )
- Consideremos agora, o mesmo capital P aplica-
do por 12 meses a uma taxa mensal i
m
.
- O montante M' ao final do período de 12 meses
será igual a M' = P(1 + i
m 
)12 .
Pela definição de taxas equivalentes vista acima,
deveremos ter M = M'.
Portanto, P(1 + i
a
) = P(1 + i
m
)12
Daí concluímos que 1 + i
a
 = (1 + i
m
)12
Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual
equivalente a uma taxa mensal conhecida.
Exemplo:
1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
Em um ano temos dois semestres, então tere-
mos: 1 + i
a
 = (1 + i
s
)2
1 + i
a
 = 1,082
i
a
 = 0,1664 = 16,64% a.a.
TAXAS NOMINAIS
A taxa nominal é quando o período de formação e
incorporação dos juros ao Capital não coincide com
aquele a que a taxa está referida.
Alguns exemplos:
- 340% ao semestre com capitalização mensal.
- 1150% ao ano com capitalização mensal.
- 300% ao ano com capitalização trimestral.
Exemplo: Uma taxa de 15% a.a., capitalização
mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:
15/12 = 1,25 1,2512 = 1,1608
TAXAS EFETIVAS
 A taxa Efetiva é quando o período de formação e
incorporação dos juros ao Capital coincide com aque-
le a que a taxa está referida. Alguns exemplos:
- 140% ao mês com capitalização mensal.
- 250% ao semestre com capitalização semestral.
- 1250% ao ano com capitalização anual.
TAXA REAL
É a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do
período da operação.
JUROS APARENTES / INFLAÇÃO / JUROS REAIS:
- TAXAS DE JUROS APARENTE OU CORRENTE. É a
taxa "total", embutido o efeito da inflação (mais juros).
TAXAS DE INFLAÇÃO: Taxa para fins de correção
monetária.
TAXA DE JUROS REAIS: Taxa de juros além da
inflação (juros correntes, descontada a inflação).
Suponha que você vai emprestar a uma pessoa
R$ 1.000,00, por um prazo de 1 ano e deseja cobrar
juros reais de 2% ao ano.
Considerando que a taxa de inflação prevista é de
20% ao ano, qual o valor da dívida ao final de um mês?
1º) Efetuar a correção monetária de 20%.
1.000,00 x 1,20 = R$1.200,00
(Até aqui, você não "ganhou"nada!).
2º) Incidir os juros reais de 2% sobre o valor corrigido.
1.200,00 x 1,02 = R$ 1.224,00
(Aqui, você "cobrou"os juros reais de 2%)
1,20 = FATOR DE INFLAÇÃO
1,02 = FATOR DE JUROS REAIS
1,224 = 1,20 X 1,02 = FATOR DE JUROS CORRENTES
FATOR DE JUROS APARENTES = FATOR DE IN-
FLAÇÃO x FATOR DE JUROS REAIS
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
1) As taxas anuais de inflação nos últimos dois
anos foram respectivamente iguais a 60% e 5%. Se
os salários dos empregados de uma empresa foram
reajustados em 40% no primeiro ano, qual deverá
ser o reajuste no 2º ano para equilibra-lo à inflação?
ANO I ANO II ANO I ANO II
REAJUSTE 40% X 1,40 T
INFLAÇÃO 60% 5% 1,60 1,05
O reajuste deverá ser de 20%
Observe que: 1) 40% + 20%  60% + 5%
2) 1,40 x 1,20 = 1,60 x 1,05 = 1,68  68%
2) Uma pessoa deseja empresatar um Capital
para obter taxa de juros reais de 5% ao ano. Se a
inflação do ano em questão for 20%, qual a taxa de
juros aparentes a ser cobrada?
Solução:
FATOR DE JUROS APARENTES = FATOR DE IN-
FLAÇÃO x FATOR DE JUROS REAIS
FATOR DE JUROS APARENTES =1,20 x 1,05 = 1,26
TAXA DE JUROS APARENTES = 26% ao ano
3) Se uma aplicação financeira, em um ano você
obteve rendimento de 30%, e no mesmo período a taxa
de inflação foi de 25%, qual foi a taxa de juros reais?
Solução:
FATOR INFLAÇÃO, FATOR JUROS REAIS = FATOR
JUROS APARENTES
1,25 + T = 1,30
 4% ao mês
TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são proporcionais quando seus valo-
res formam uma proporção com os tempos a elas
referidos, reduzidos à mesma unidade.
Assim, as taxas de 18% ao ano e 1,5% ao mês
são proporcionais, pois: (1 ano = 12 meses)
Generalizando: 
onde n e n' estão referidos à mesma unidade.
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37
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1 - Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.
Solução: Temos, lembrando que 1 a = 12 me:
30
r 
12
1 
r = r = 2,5 
30
12 
 isto é: 2,5% a.m.
NOTA: basta dividir a taxa anual por 12.
2 - Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia.
Solução: Temos, lembrando que 1 me = 30d:
0,08
r 
1
30 
r = 0,08 x 30 r = 2,4 isto é:
2,4% a.m.
NOTA: basta multiplicar a taxa diária por 30.
SÉRIES DE PAGAMENTOS / RECEBIMENTOS
RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS
1) DEFINIÇÃO
Uma renda uniforme é uma série de recebimentos
e pagamentos iguais realizados em períodos ou in-
tervalos de tempo iguais.
2) TIPOS DE RENDAS UNIFORMES: existem três
tipos de rendas uniformes:
POSTECIPADAS
ANTECIPADAS
DIFERIDAS
3) VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE POSTECIPADA
A expressão é denominada: FATOR
DE VALOR ATUAL DE SÉRIES UNIFORMES e é
representada por ou FVA (i,n)
Valor este que pode ser obtido em tabelas ou
calculadoras científicas ou financeiras.
P = R x ou P = R x FVA (i,n)
Exercício de Aplicação
Uma pessoa adquiriu uma geladeira, financiada
em 12 prestações mensais iguais, sem entrada, no
valor de $ 100,00.
Sabendo-se que a taxa de financiamento é de 10%
a.m., qual seria o preço à vista desta geladeira?
Solução:
P = R x 
ou P = R x (i,n)
Consultando a tabela, para taxa de 10% e n = 12
temos: a n i = FVA (i,n) = 6,813692
Logo: P = 100 x 6,813692
P = 681,3692
P = $ 681,37
4) CÁLCULO DE R:
Da fórmula anterior, tiramos:
denominada FATOR DE RECUPERAÇÃO DE
CAPITAL, e representada por:
 = FRC (i,n). Logo temos: R = P x
a-1 n i = P x FRC (i,n) observar que: 
Exercícios de Aplicação
Um automóvel custa à vista $ 12.500,00 e é
financiado da seguinte forma: 20% de entrada e o
restante financiado em 36 prestações mensais iguais,
a uma taxa de 10% a.m.. Qual o valor da prestação?
Solução:
Entrada: 20% de 12.500 = 2.500,00
Valor Financiado = P = $ 10.000,00
Valor da Prestação = P x a-1 n i = P x FRC (i,n)
Valor da Prestação = 10.000 x 0,103343 = $
1033,43
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MATEMÁTICA
38
PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE
EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS
1) EMPRÉSTIMO SEM ATUALIZAÇÃO MONETÁRIA
As prestações para pagamento de um empréstimo
consistem em duas parcelas:
Prestação = Amortização + Juros
Os juros sempre serão calculados sobre o saldo
devedor!
Os principais Sistemas de Amortizacão são:
- Sistema Francês de Amortização
- Tabela “Price”
- Sistema de Amortização Constante (SAC)
- Sistema Americano de Amortização
- Sistema Misto
2) SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO
(Prestações Iguais)
O mutuário pagará o principal mais juros em
prestações iguais e períodos iguais postecipada
(série uniforme).
Exemplo:
Um empréstimo de $ 10.000,00 será pago em 4
prestações mensais iguais postecipadas, sem perí-
odo de carência. Se a taxa de juros contratada for de
10% a.m., construir a planilha de Saldo Devedor,
amortização e juros:
Solução: Valor da Prestação:
R = P x = P x FRC (i,n)
R = 10.000,00 x 0,315471
R = $ 3154,71
SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO
Exemplo: No exemplo anterior, considera a taxa
como nominal de 120% ao ano.
Teríamos:
Taxa Nominal = 120% ao ano com capitalização
mensal.
Taxa Nominal = 120%/12 = 10% ao mês.
Os cálculos a partir daí são idênticos ao do Sistema
Francês de Amortização.
4) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
Nesta modalidade de financiamento, as
amortizações são constantes.
O valor da amortização é igual ao valor do principal
dividido pelo número de prestações:
; considerando o mesmo principal, prazo e
taxa do exemplo anterior temos:
Amortização = = 2500,00
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE - (SAC)
Observação:
1) Cálculo dos juros: 10% do Saldo Devedor do
mês anterior.
Cálculo de Amortização: Valor de prestação menos
juros = 3.154,71 menos juros.
Cálculo do Saldo Devedor = Saldo Devedor do
mês anterior menos amortização.
2) A soma das amortizações é sempre igual ao
principal.
3) As amortizações aumentam e os juros
diminuem a cada mês.
3) TABELA “PRICE” (PRESTAÇÕES IGUAIS)
É praticamente o mesmo sistema do Plano
Francês de Amortização, porém a taxa de juros é dada
em termos nominais, com capitalização em um
período inferior a que se refere a taxa de juros.
Observação:
1) As prestações no sistema SAC são decrescentes
e formam uma P.A. (Progressão Aritmética).
5) SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO
Nesta modalidade de financiamento, o principal é
pago em uma única parcela ao final do prazo.
Os juros podem ser pagos ao longo do contrato,
ou capitalizado e pago ao final, junto com o principal.
Exemplos:
1) Juros pagos ao final do mês:
2) Juros pagos após prazos de carência
Obs.: 14641 = 10.000 x (1,10)4
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MATEMÁTICA
39
Em contextos inflacionários são muitos usadas
as expressões, “em preços correntes” (valores no-
minais) e “em preços constantes”.
A primeira representa poder aquisitivo da data
respectiva do fluxo considerado, enquanto a segunda
representa poder aquisitivo de uma única data
(preços constantes de uma única data).
ÍNDICES DE PREÇOS
Um índice de preços procura meidr a mudança que
ocorre nos níveis de preços de um período para outro.
No Brasil, a maioria dos cálculos de índices de
preços está a cargo da Fundação Getúlio Vargas do
Rio de Janeiro.
Os índices nacionais e regionais são publicados
mensalmente na revista Conjuntura Econômica.
Outras instituições também têm elaborado índices
de preços: o IBGE, a FIPE e o DIEESE em São Paulo, a
FUNDARJ em Recife, o IPEAD - UFMG em Belo Horizonte.
Para comparações específicas e obtenção de
taxas reais de crescimento em determinados
setores, devem ser utilizados índices de preços
particulares de cada setor, como, por exemplo,
construção civil, produtos agropecuários etc.
O índice mais geral disponível é o Índice Geral de
Preços - disponibilidade interna da FGV (IGP-di).
Para inflacionar ou deflacionar uma série de valores
monetários cujas causas foram devidas a muitos
fatores, o mais indicado é usar o IGP-di que mede ainflação do país.
O processo de “inflacioinar” ou “deflacionar” uma
série de pagamentos/recebimentos para uma deter-
minada data de referência traduz em si uma
comparação entre as evoluções dos valores
monetários em análise e o comportamento dos
preços dos produtos enfeixados no índice escolhido.
Assim, se um investimento teve um rendimento
de 15% real, tomando-se como referência um
determinado índice de preços, isso significa que este
rendimento superou em 15% a evolução do índice
escolhido, ou seja, a evolução média dos preços dos
bens e serviços que compõem o índice.
REPRESENTAÇÃO
DOS VALORES FINANCEIROS
O processo inflacionário obriga a quem faz cálculo
financeiro ou toma decisões de investimento ou
financiamento a prestar especial atenção ao significado
econômico dos lucros e contas nominais apresentados
pelas empresas, ao impacto da inflação na avaliação
dos investimentos e com o processo decisório é afetado.
Como resultado da inflação, o significado das
medidas contábeis e econômicas de rentabilidade,
lucros e custos diverge, e esta divergência é maior à
medida que a inflação se acelera.
No Brasil, diversos mecanismos foram desenvol-
vidos para atenuar o impacto da inflação nas peças
contábeis das empresas (correção monetária do Ba-
lanço Patrimonial, correção integral etc.).
6) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)
O valor da prestação é a média aritmética entre a
prestação calculada pelo Sistema Francês e o Sistema
SAC.
Exemplo:
Calcular, no f inanciamento dos exemplos
anteriores, os valores das prestações pelo Sistema
Misto (SAM):
Observações:
1) No sistema misto, como no Sistema SAC, as
prestações são decrescentesem P.A. Progressão Arit-
mética.
2) As prestações, no quadro acima, mostrem que:
(Prest. Sist. Francês) < (Prest. Sistema Misto) < (Pres-
tação do Sistema SAC).
CÁLCULO FINANCEIRO: CUSTO REAL
EFETIVO DE OPERAÇÃO DE FINANCIAMENTO,
EMPRÉSTIMO E INVESTIMENTO
Nos financiamentos incide uma série de custos
adicionais, como IOF, despesas administrativas de
elaboração do contrato, comissões, etc.
Tais fatores elevam o custo (ou taxa) efetivo e devem
ser considerados ao se tomar um empréstimo.
Em contextos inflacionários inflacionários, deve-
se ficar atento para a denominada ilusão monetária,
ou rendimento aparente.
Nesta situação é importante determinar a taxa
real de juros e o custo ou rendimento real de um
financiamento ou aplicação.
No processo de cálculo da taxa real, é necessário
homogeneizar os valores das séries financeiras, de
forma a retirar os efeitos corrosivos da inflação nos
valores aplicados ou recebidos em cada data,
traduzindo-os ao mesmo padrão monetário de refe-
rência em uma determinada época, ou seja, é
necessário “datar” a moeda; dizer, por exemplo,
moeda de 1994, moeda de 1995 etc.
O processo de homogeneização dos valores
monetários uti l iza índices de preços a f im de
deflacionar ou inflacioinar as séries de valores
nominais ou aparentes.
O deflacionamento permite reduzir todos os
valores da série a uma base comum de referência,
situada preteritamente no início da série.
Os índices de preços permitem calcular
deflatores, ou seja, operadores que, multiplicados
pelos valores monetários das diversas épocas,
reduzem-nos a valores correspondentes ao nível de
preços da data inicial de referência.
O inflacionamento (indexação ou atualização
monetária), inversamente, traduz a colocação dos di-
versos valores correntes nominais, em termos de
moeda de poder aquisitivo do final da série; isto é, a
indexação (inflacionar) transforma os valores nominais
de cada época em valores compatívels com a
capacidade de compra verificada numa data superior.
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MATEMÁTICA
40
Mas, são mecanismos imperfeitos que aliviam,
mas não curam o mal. Enquanto a inflação estiver
presente na economia, o tomador de decisões deve
saber lidar com ela.
Deve-se compreender o significado dos valores
nominais, taxas de juros aparentes e reais, custos
efetivo aparente e real dos financiamentos,
rentabilidade efetiva e real das aplicações, taxas de
crescimento nominal e real, atualização monetária e
cambial etc.
Exemplos:
1) Um eletrodoméstico, cujo valor à vista é $
1000,00, foi financiado em 3 prestações mensais (Sis-
tema Francês) sem entrada, a uma taxa de 10% a.m.
Calcule o valor das prestações, sabendo-se que as
mesmas serão corrigidas mensalmente pelo IGPM.
Supor variação mensal do IGPM 1% a.m.
Solução: Cálculo da Prestação:
R = P x a-1 i = P x FRC (i,n)
R = 1000 x 0,402115
R = 402,12
AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS
DE INVESTIMENTO
TAXAS DE RETORNO
1) TAXA DE RETORNO DE UM FLUXO DE CAIXA -
DEFINIÇÃO
Taxa de retorno, ou taxa interna de retorno de um
fluxo de caixa é a taxa de juros compostos que anula
seu valor atual, considerando os valores positivos e
negativos deste fluxo.
Na prática, esta taxa é aquela em que, feito um
investimento - que gerará saídas (-) e entradas (+) de
capital - o mesmo não resultará um ganho nem perda.
Comparando-se a taxa de retorno de um projeto
ou negocio com a taxa de mercado, podemos proceder
à análise daquele investimento.
O investimento trará resultados positivos, se a taxa
de retorno for maior do que a taxa de mercado.
O investimento trará resultados negativos, se a taxa
de retorno for menor do que a taxa de mercado.
Se a taxa de retorno do investimento for igual a de
mercado, aplicar neste investimento é equivalente a
aplicar no mercado. O valor atual de um fluxo de caixa
varia com a taxa adotada.
Representando graficamente, por exemplo,
poderíamos ter a seguinte situação:
NO GRÁFICO 5% A.M. REPRESENTA A TAXA
INTERNA DE RETORNO - Observamos que se a taxa
de mercado foi inferior a 5%, o negócio em pauta trará
resultados positivos, porém, se a taxa de mercado for
superior a 5%, é mais vantagem apicar o capital no
mercado do que no investimento em questão.
2) FLUXOS DE CAIXA EM VALORES CONSTANTES
E VALORES CORRENTES
Para se descontar um fluxo de caixa deve-se
observar se o mesmo está:
a) EM VALORES CORRENTES - preços
referenciados às datas respectivas (preço histórico)
b) EM VALORES CONSTANTES - preços de hoje
(atualizados monetariamente para a data atual)
Devemos utilizar a TAXA APARENTE para fluxos em
VALORES CORRENTES e a TAXA REAL para fluxos
em VALORES CONSTANTES.
É importante salientar que, se a inflação afeta por
igual todas as variáveis, é indiferente descontar os fluxos
de caixa.
- Em valores constantes c/ custo real
- Em valores correntes c/ custo aparente; pois
ambos os cálculos conduzirão ao mesmo valor atual.
2) Numa aplicação financeira, um investidor obteve
uma taxa aparente de 10%. Sendo a inflação do
período de 25%, qual a taxa de juros reais desta
aplicação?
Solução:
FATOR JUROS REAIS =
1 + i = 0,88 ---- i = 0,88 - 1 = -0,12 TAXA DE
JUROS REAIS = -12% no período
3) Uma pessoa aplicou seu capital de $ 10.000,00
na caderneta de poupança por 1 mês e obteve um
montante de $ 1025,00.
Sendo a taxa de inflação do mês em questão igual
a 2%, qual a taxa de juros reais desta aplicação?
 = 1,0251 ---- 2,51% ao mês
= Taxa de Juros Aparente
 = 1,005 --- 0,5% ao mês
= Taxa de Juros Reais:
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MATEMÁTICA
41
i = 10%
n (1+i)n (1+i)n S S 1 a a 1
 n i n i n i
1 1.100000 0.909091 1.000000 1.000000 0.909091 1.1000000
2 1.210000 0.826446 2.100000 0.476190 1.735537 0.576190
3 1.331000 0.751315 3.310000 0.302115 2.486852 0.102115
4 1.464100 0.683013 4.641000 0.215471 3.169865 0.315471
5 1.610510 0.620921 6.105100 0.163797 3.790787 0.263797
6 1.771561 0.564474 7.715610 0.129607 4.355261 0.229607
7 1.948717 0.513158 9.487171 0.105405 4.868419 0.205405
8 2.143589 0.466507 11.435888 0.087444 5.334926 0.187440
9 2.357948 0.424098 13.579477 0.073611 5.750924 0.173641
10 2.593742 0.385543 15.937425 0.062745 6.145467 0.162745
11 2.853117 0.350494 18.531167 0.053963 6.195061 0.153963
12 3.138428 0.318631 21.384284 0.046763 6.813692 0.146763
13 3.452271 0.289664 24.5227120.010779 7.103356 0.140779
14 3.797498 0.263331 27.974983 0.035746 7.366687 0.134474
15 4.177248 0.239392 31.772482 0.031474 7.606080 0.134474
16 4.594973 0.217629 35.949730 0.027817 7.823709 0.127817
17 5.054470 0.197815 40.544703 0.021930 8.201412 0.121930
18 5.559917 0.179859 45.599173 0.021930 8.204442 0.121930
19 6.115909 0.163508 54.459090 0.049547 8.364920 0.449547
20 6.727500 0.148644 57.274999 0.047460 8.543564 0.417460
21 7.400250 0.435434 64.002499 0.045624 8.648694 0.445624
22 8.140275 0.422846 71.402749 0.014005 8.771540 0.114005
23 8.954302 0.444678 79.543024 0.012572 8.883218 0.112572
24 9.849733 0.401526 88.479327 0.011300 8.984744 0.444300
25 10.834706 0.092296 98.347059 0.010168 9.077040 0.110168
26 11.918177 0.083905 109.181765 0.009159 9.160945 0.109159
27 13.109994 0.076278 12l.099942 0.008258 9.237223 0.108258
28 14.420994 0.069343 134.209936 0.007451 9.306567 0.107451
29 15.863093 0.63039 148.630930 0.006728 9.369606 0.106728
30 17.449402 0.057309 164.491023 0.006079 9.426914 0.106079
31 19.194342 0.052099 181.943425 0.005496 9.479013 0.105196
32 21.113777 0.047362 201.137767 0.004972 9.526376 0.104972
33 23.225154 0.043057 222.251544 0.004499 9.569432 0.104499
34 25.547670 0.039143 245.476699 0.004074 9.608575 0.104071
35 28.102437 0.035584 271.024368 0.003690 9.644159 0.103690
36 30.912681 0.032349 299.126805 0.003343 9.676508 0.103341
37 34.003949 0.029408 330.039486 0.003030 9.705917 0.103030
38 37.404343 0.026735 364.043434 0.002747 9.732651 0.102717
39 41.144778 0.024304 401.447778 0.002491 9.756956 0.102191
40 45.259256 0.022095 442.592556 0.002259 9.779051 0.102259
41 49.785181 0.020086 487.851811 0.002050 9.799137 0.102050
42 54.763699 0.018260 537.636992 0.001860 9.817397 0.101860
43 60.240069 0.016600 592.400692 0.001688 9.833998 0.101688
44 66.264076 0.015091 652.640761 0.001532 9.819089 0.101532
45 72.890484 0.013719 718.904837 0.001391 9.862808 0.101391
46 80.179532 0.012472 791.795321 0.001263 9.875280 0.101263
47 88.197485 0.011338 871.974853 0.001147 9.886618 0.101147
48 97.017234 0.010307 960.172338 0.001041 9.896926 0.101041
49 106.718957 0.009370 1057.1895720.000946 9.906296 0.100946
50 117.390853 0.008519 1163.908529 0.000859 9.914814 0.100859
51 129.129938 0.007744 1281.2993820.000780 9.922559 0.100780
52 142.042932 0.007040 1410.4293200.000709 9.929599 0.100709
53 156.247225 0.006400 1552.4722520.000644 9.935999 0.100644
54 171.871948 0.005818 1708.7194770.000585 9.944817 0.100585
55 189.059142 0.005289 1880.5914250.000532 9.947106 0.100532
56 207.965057 0.004809 2069.6505670.000483 9.951915 0.100483
57 228.761562 0.004371 2277.6156240.000439 9.956286 0.100439
58 251.637719 0.003974 2506.3771860.000399 9.960260 0.100399
59 276.801490 0.003613 2758.0149050.000363 9.963873 0.100363
60 304.481640 0.003284 3034.8163950.000330 9.967157 0.100330
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
MATEMÁTICA
42
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO
LÓGICA SENTENCIAL E DE PRIMEIRA ORDEM
PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS
PROPOSIÇÃO
Chama-se proposição todo o conjunto de palavras
ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido
completo.
Exemplos:
a) A Lua é um satélite da Terra
b) é um número irracional
c) 3 > 5
d) Vasco da Gama descobriu o Brasil
VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES
Chama-se de valor lógico de uma proposição a
verdade se a proposição for verdadeira e a falsidade se
a proposição for falsa.
Os valores lógicos verdade e falsidade são
representados por V e F respectivamente.
Por exemplo: as proposições a) e b) são verdadeiras
enquanto que as proposições c) e d) são falsas.
PRINCÍPIOS DA LÍNGUA MATEMÁTICA
I - PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao
mesmo tempo.
II - PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO
Toda proposição é verdadeira ou falsa, isto é, verifica-
se sempre um desses casos e nunca um terceiro.
PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS
Chama-se proposição simples aquela que não
contém nenhuma outra proposição como parte integrante
de si mesma. São representadas pelas letras minúsculas
p, q, r, ...
Exemplos: p: Pedro é careca
 q: 49 é quadrado perfeito
PROPOSIÇÃO COMPOSTA é aquela formada pela
combinação de outras proposições.
São representadas pelas letras maiúsculas
P, Q, R, ...
Exemplos: P: Carlos é estudante e Pedro é careca
Q: Se André é médico então sabe biologia
OBS.:
1. Escrevemos P (p, q, r,...) para indicar que a
proposição composta P é combinação das proposições
simples p, q, r, ...
2. O valor lógico de uma proposição simples p indica-
se por V (p) e o de uma proposição composta P indica-
se por V (P).
CONECTIVOS
Chamam-se conectivos as palavras usadas para
formar novas proposições a partir de outras.
Os conectivos usuais em lógica são:
não _____________ negação ____________ ~
e _______________ conjunção___________ ^
ou ______________ disjunção ___________ v
Se... então ________ condicional __________ 
Se e somente se __ bicondicional ________ 
Exemplos:
Não tenho carro.
Pedro é estudante e Carlos professor.
Se Roberto é engenheiro então sabe matemática.
O triângulo ABC é retângulo ou Isósceles.
O triângulo ABC é equilátero se e somente se é
equiângulo.
OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES
- NEGAÇÃO (~)
Chama-se negação de uma proposição p a
proposição representada por não p cujo valor lógico é a
verdade (v) se p é falsa e a falsidade (f) se p é verdadeira.
Simbolicamente: ~p
O valor lógico da negação de uma proposição p é
definido pela seguinte tabela-verdade:
Em linguagem comum a negação efetua-se, nos
casos mais simples, antepondo o advérbio não ao verbo
da proposição dada.
Por exemplo, a negação da proposição
p : o sol é uma estrela
~p: o sol não é uma estrela
Observe entretanto que a negação de
"Todos os homens são elegantes"
é
"Nem todos os homens são elegantes"
e a de
"Nenhum homem é elegante"
é
"Algum homem é elegante".
- CONJUNÇÃO ( ^ )
Chama-se conjunção de duas proposições p e q
a proposição representada por p e q, simbolizada por
p ^ q, cujo valor lógico é dado pela seguinte tabela-
verdade:
- DISJUNÇÃO ( v )
Chama-se disjunção ou disjunção inclusiva de duas
proposições p e q a proposição representada por p ou
q, simbolizada por p v q, cujo valor lógico é dado pela
tabela-verdade.
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS
MATEMÁTICA
43
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA ( V )
Considere as proposições:
P : Carlos é médico ou professor.
Q : Mário é alagoano ou gaúcho.
A proposição P indica que pelo menos uma das
proposições Carlos é médico, Carlos é professor é
verdadeira podendo ser ambas verdadeiras, Carlos é
médico e professor. Neste caso, o ou é inclusivo e usa-
se o símbolo v.
Assim, a proposição P é a disjunção inclusiva ou
disjunção das proposições simples Carlos é médico,
Carlos é professor, isto é:
P : Carlos é médico v Carlos é professor.
Por outro lado, a proposição Q indica que somente
uma das proposições simples Mário é alagoano, Mário
é gaúcho é verdadeira pois não é possível ocorrer Mário
é alagoano e gaúcho. Dizemos, neste caso, que o ou é
exclusivo e usa-se o símbolo v.
Assim, a proposição Q é a disjunção exclusiva das
proposições simples Mário é alagoano, Mário é gaúcho,
isto é: Q : Mário é alagoano v Mário é gaúcho
A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é
simbolizada por p v q e se lê ou p ou q mas não ambos.
Seu valor lógico é definido pela tabela-verdade:
CONDICIONAL ( )
Chama-se proposição condicional de duas
proposições p e q a proposição se p então q cujo valor
lógico é dado pela tabela-verdade abaixo.
Notação: p q que se lê de uma das seguintes
maneiras:
- se p então q
- p somente se q
- q se p
- p é condição suficiente para q
- q é condição necessária para p
Obs.:
1. Na condicional p q, p é chamado antecedente,
q é chamado conseqüente e o símbolo é chamado
símbolo de implicação.
2. Uma condicional p q não afirma que o
conseqüente q se deduz do antecedente p, apenas
estabelece uma relação entre os valores lógicos do
antecedente e do conseqüente de acordo com a tabela
verdade acima.
BICONDICIONAL ( )
Chama-se proposição bicondicionalde duas
proposições p e q a proposição p se e somente se q cujo
valor lógico é dado pela seguinte tabela-verdade.
Notação: p q que se lê:
- p se e somente se q
- p é condição necessária e suficiente para q
- q é condição necessária e suficiente para p
- p se q, e p somente se q
- se p então q e se q então p.
ENUMERAÇÃO POR RECURSO
Enumeração é a seqüência de pelo menos dois
elementos de mesmo status sintático no discurso. Há
três tipos de enumeração:
Aditiva - representada pelo conetivo ‘e’.
Optativa exclusiva - representada pelo conetivo
‘ou’.
Optativa não exclusiva - representada pela
conexão ‘e/ou’.
Geralmente os elementos de uma enumeração são
comuns a uma classe.
Quando isso ocorre temos uma enumeração com
paralelismo de similaridade.
Hipoteticamente pode-se supor uma enumeração
caótica, aquela em que os elementos são totalmente
disjuntos. 
Enumeração ordenada: é aquela em que a
disposição dos elementos na seqüência admite algum
tipo de ordem.
Enumeração na enumeração: há casos em que
um ou mais elementos da enumeração são
enumeração.
Enumeração classificada: ocorre quando os
termos da enumeração são classes de uma taxonomia.
Diferencia-se da enumeração com paralelismo pois,
no paralelismo, não existe a obrigatoriedade de atender
às regras que definem uma taxonomia, como conter
todos os elementos do universo considerado e não
haver interseção de domínios.
CLASSIFICAÇÃO DE PROPOSIÇÕES
Tautologia: proposição cuja tabela verdade é V em
todas as linhas, ou seja, ela é sempre verdadeira
independentemente do valor lógico das proposições
simples que a compõem.
Contingência ou indeterminação: proposição cuja
tabela verdade tem linhas V e linhas F, dependendo
das componentes.
Contradição: é uma proposição que é sempre falsa,
independentemente das componentes.
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS44
MATRIZES
1. DEFINIÇÃO:
As matrizes são tabelas de números reais utiliza-
das em quase todos os ramos da ciência e da enge-
nharia.
Várias operações executadas por cérebros eletrô-
nicos são computações por matrizes. São utilizadas
na Estatística, na Economia, na Física Atômica, etc.
Vejamos um exemplo:
Considere a tabela ao lado, que indica o número
de vendas efetuadas por uma agência de automóveis
durante o primeiro trimestre.
Se quisermos saber a quantidade de carros Voyage
vendidos em janeiro, iremos procurar o número que
está na quarta linha e na primeira coluna desta tabela.
No quadro indicado, os números colocados nas
disposições horizontais formam o que denominamos
linha e os colocados nas disposições verticais cha-
mamos de coluna.
O conjunto ordenado dos números que formam a
tabela é denomado matriz e cada número é chamado
elemento da matriz.
20 18 25
12 10 15
15 9 20
18 15 21
Neste exemplo, temos uma matriz do tipo 4 x 3 (lê-
se: quatro por três), isto é, uma matriz formada por 4
linhas e três colunas.
Representa-se uma matriz colocando-se seus ele-
mentos entre parênteses ou entre colchetes.












21 15 18
20 9 15
15 10 12
25 18 20
 ou 












21 15 18
20 9 15
15 10 12
25 18 20
Uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), com m,
1 n  , é uma tabela formada por m . n elementos dis-
postos em m linhas e n colunas.
Observação:
Para indicar a ordem de uma matriz, dizemos primeiro
o número de linhas e, em seguida, o número de colunas.
1ª coluna
2ª coluna
3ª coluna
1ª linha
2ª linha
3ª linha
4ª linha
Exemplo:
 
colunas) 3 e linha (1
3 x 1 ordem de matriz : 2 1 4
2. REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA
Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes
genéricas e letras minúsculas correspondentes para
os elementos.
Algebricamente, uma matriz A pode ser representa-
da por:
*IN n e m com 
mna ... m3a m2a m1a
. . . . 
. . . . 
. . . . 
3na ... 33a 32a 31a
2na ... 23a 22a 21a
1na ... 13a 12a 11a
 A 



























Como o quadro A é bastante extenso, a matriz m X n
será representada abreviadamente por:
n x m )(a A ji
Os elementos da matriz A são indicados por a
ij
, em
que:
    n. , ... 3, 2, 1, j e m , ... 3, 2, 1, i 
O elemento a
ij
 possui dois índices: o primeiro i,
representa a linha, e o segundo, j, indica a coluna.
Com essas duas informações (linha e coluna) pode-
mos localizar o elemento.
Assim, temos:
a
11
 (lê-se: a um um)  elemento localizado na 1ª
linha e 1ª coluna
a
32
 (lê-se: a três dois)  elemento localizado na 3ª
linha e 2ª coluna
Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (a
ij
)
3 x 2
em que a
ij
 = 3i - j.
Resolução: A representação genérica da matriz é:











3231
2221
1211
a a
a a
a a
 A
 
7 2 - 3 . 3 a 
8 1 - 3 . 3 a 
4 2 - 2 . 3 a 
5 1 - 2 . 3 a 
1 2 - 1 . 3 a 
2 1 - 1 . 3 a j - 3i a
32
31
22
21
12
11 ij






Monza
Janeiro Fevereiro Março
20 18 25
Fiat 12 10 15
Gol 15 9 20
Voyage 18 15 21
Resposta: 











7 8
4 5
1 2
 A
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS45
3 - MATRIZ QUADRADA
Se o número de linhas de uma matriz for igual ao
número de colunas, a matriz é dita quadrada.
Quando nos referimos a uma matriz quadrada n x
n, podemos dizer que a sua ordem é n em vez de n x n.
Exemplos:







0 1-
4 3 
 A é uma matriz de ordem 2











9 8 7
6 5 4
3 2 1
 B
 é uma matriz de ordem 3.
Observações:
1ª) Quando uma matriz tem todos os seus elemen-
tos iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula
Assim, C é uma matriz nula de ordem 4.
2ª) Os elementos a
ij
 de uma matriz quadrada, em
que i = j, formam uma diagonal denominada diagonal
principal.
A outra diagonal é chamada diagonal secundária.
































mnm2m1
3n3231
2n2221
1n1211
a ... a a
. . . 
. . . 
. . .
 
a ... a a
a ... a a
a ... a a
4 - MATRIZ UNIDADE OU MATRIZ IDENTIDADE
A matriz quadrada de ordem n, em que todos os
elementos da diagonal principal são iguais a 1 (um) e
os demais elementos são iguais a 0 (zero), é denomi-
nada matriz unidade ou matriz identidade.
Representa-se a matriz unidade por I
n
.
Exemplos:
3. ordem de unidade matriz uma é 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 I
2. ordem de matriz uma é 
1 0
0 1
 I
3
2


















5 MATRIZ COMPOSTA
Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos
transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela
troca ordenada das linhas pelas colunas.
Indica-se a transposta de A por At.
Exemplo:
3x2
t
2x3
0 5 2
2 3- 1
 A é a transpostsua a 
0 2
5 3-
2 1 
 A




















Observe que:
a 1ª linha de A é igual à 1ª coluna de At.
a 2ª linha de A é igual à 2ª coluna de At.
a 3ª linha de A é igual à 3ª coluna de At.
6 - IGUALDADE DE MATRIZES
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada
elemento de A for igual ao elemento correspondente
(elemento que ocupa a mesma posição) de B, as
matrizes A e B são ditas iguais.
Assim, sendo A = (a
ij
)m x n e B = (b
ij
)
m x n
,
 
 n ..., 3, 2, 1, j 
m ..., 3, 2, 1, i , b a B A ijij


Exemplo: Dadas as matrizes
B. A que paray e calcular x ,
1y -3x 
5y x 
 B e 
1 10
5 2 
 A 




 







Resolução: 




 







1y -3x 
5y x 
 
1 10
5 2 
 B A







 12x4
10yx3
2yx
Resposta: x = 3 e y = -1
7 - OPERAÇÕES COM MATRIZES
A adição ou a subtração de duas matrizes, A e B, do
mesmo tipo é efetuada somndo-se ou subtraindo-seos seus elementos correspondentes.
Exemplo:
: temos,
7 5
2- 1
 B e 
1 2-
3 4 
 A Sendo 







































8 3
1 5
 
71 52-
2-3 1 4 
 
7 5
2- 1
 
 1 2-
3 4 
 BA



























6- 7-
5 3 
 
71 52-
23 1 4 
 
7 5
2- 1
 
 1 2-
3 4 
 BA
De uma forma geral, se A = (a
ij
)
m x n
, B = (b
ij
)
m x n
 e C =
(c
ij
)
m x n
, temos:
 b a c B A C Subtração
b a c B A C Adição
ijijij
ijijij


com
 
 n ..., 3, 2, 1, j
m ..., 3, 2, 1, i


 diagonal diagonal
 principal secundária
 3 + y = 2  y = -1
 x = 3
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS46
Podemos, também, efetuar a subtração da seguin-
te forma:
 C = A - B  C = A + (-b)
Isto é matriz C é igual à matriz A adicionada à opos-
ta da matriz B.
Matriz oposta
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A a ma-
triz -A cujos elementos são os simétricos dos elemen-
tos correspondentes de A.
Exemplo:
 
7- 6 
5 2-
 A - 
7 6-
5- 2 
 A 












Observe que a oposta da matriz A é obtida trocan-
do-se os sinais de todos os elementos de A.
A tabela dada será representada pela matriz A:











7 4
2 3
8 5
 A
Suponha que sejam fabricados 50 doces do tipo A
e 20 dozes do tipo B, por dia. Essa quantidade de do-
ces pode ser representada prla matriz coluna:







20
50
 B .
Se quisermos determinar a quantidade de ingredi-
entes X, Y e Z utilizada por dia, devemos proceder da
seguinte forma:
Ingrediente X: 5 . 50 + 8 . 20 = 410
Ingrediente Y: 3 . 50 + 2 . 20 = 190
Ingrediente Z: 4 . 50 + 7 . 20 = 340
Essas quantidades podem ser representadas pela
matriz:
D OCES
A B
X 5 8
Y 3 2
Z 4 7
Propriedades:
1ª) A + B = B + A (comutativa)
2ª) (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
3ª) A + 0 + A (elemento neutro)
4ª) A + (-A) = 0 ( elemento oposto)
Exemplo:
Dadas as matrizes 





















2 
4-
1-
 B e 
5 
2-
3 
 A
, calcular
a matriz X tal que X - A + B = 0.
Resolução: O 2º membro da equação é uma matriz
nula de ordem 3 x 1.


































3
2
4
 
2-
4 
1 
 
5 
2-
3 
 (-B) A X
B -A X B A - X Se
Resposta: 










3
2
4
 X
Multiplicação de um número real por uma matriz
Para multiplicar uma matriz por um número real
basta multiplicar todos os seus elementos pelo nú-
mero, e o resultado é uma matriz de mesma ordem.
Dada uma matriz A = (a
ij
) e um número real k, cha-
ma-se produto de K por A a matriz B = (b
ij
), em que b
ij
 =
k . a
ij
.  
 






n ..., 3, 2, 1, j
m ..., 3, 2, 1, i
a .k b A .k B ijij
Exemplo: Calcular: 





6 3 4-
0 1- 2 
 .5
Resolução: 











30 15 20-
0 5- 10 
 
6 3 4-
0 1- 2 
 .5
Multiplicação de matrizes
Exemplo prático: uma doceira produz dois tipos de
doces, A e B. Para a produção desses doces são utiliza-
dos os ingredientes X, Y e Z, conforme indica a tabela.











340
190
410
 C
.
Podemos obter a matriz C, denominada matriz pro-
duto de A por B, da seguinte forma:
Cada elemento da matriz C é a soma dos produtos
ordenados de uma linha da matriz A pela coluna da
matriz B, isto é:
410 = 5 . 50 + 8 . 20
190 = 3 . 50 + 2 . 20
340 = 4 . 50 + 7 . 20
Observe que a multiplicação de matrizes só é pos-
sível quando o número de colunas da 1ª matriz é igual
ao número de linhas da 2ª matriz.
Podemos definir:
Dada uma matriz A = (a
ij
)
m x n
 e uma matriz B =
(b
jk
)
n x p
, denomina-se produto de A por B a matriz C
= (c
ik
)
m x p
, tal que o elemento c
ik
 é a soma dos produtos
da i-ésima linha de A pelos elementos corresponden-
tes da j-ésima coluna de B.
nkin2ki2lkilij b a ... b a b a C B .A C 
Exemplo: Dadas as matrizes



























340
190
410
 
20
50
 . 
7 4
2 3
8 5
 C B . A


















2221
1211
3231
2221
1211
b b
b b
 B e 
a a
a a
a a
 A 
,
determine a matriz C = A . B.
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS47
Resolução: Vamos utilizar um raciocínio análogo para as matrizes.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir
uma matriz B tal que A . B - B . A = I, dizemos que a matriz
B é a matriz inversa de A e indicamos por A-1.
Portanto:
A . A-1 = A-1 . A = I
n
Observações:
1ª) I é uma matriz identidade de mesma ordem que
as matrizes A e B.
2ª) Se existir a inversa, dizemos que a matriz A é
inversível e, em caso contrário, não inversível ou sin-
gular.
3ª) Se a matriz quadrada A é inversível, a sua inver-
sa é única.
Exemplo: Dterminar a inversa da matriz







5 1
4 2
 A
  
232232123121321131
2222122121221121
2212121121121111
222221
1211
233231
2221
1211
ba ba ba ba
ba ba ba ba
ba ba ba ba
 
 
b b
b b
 . 
a a
a a
a a
 B .A C
x
x
x































Observe que a operação de multiplicação é efetua-
da multiplicando-se linha por coluna, isto é, cada ele-
mento de uma linha é multiplicado pelo elemento cor-
respondente de uma coluna e, em seguida, os produ-
tos são adicionados.
Portanto, o elemento c
11
 (1ª linha e 1ª coluna) da
matriz produto é encontrado multiplicando-se os ele-
mentos da 1ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna
de B e somando-se os produtos obtidos.
Na multiplicação de duas matrizes A e B, o número
de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de
B; o produto AB terá o mesmo número de linhas de A e
o mesmo número de colunas de B.
 A
m x n
 . B
n x p
 = (A . B)
m x p
Se A é de ordem 3 x 2 e B é de ordem 2 x 2,
então A . B é de ordem 3 x 2.
Se A é de ordem 5 x 3 e B é de ordem 3 x 1,
então A . B é de ordem 5 x 1.
Se A é de ordem 3 x 4 e B é de ordem 2 x 5,
então não existe A . B.
Propriedades:
A multiplicação de matrizes possui as seguintes
propriedades, se existirem os produtos envolvidos:
1ª) A . (BC) = (AB) . C (associativa)
2ª) A . (B + C) = AB + AC (distributiva à direita)
3ª) (B + C) . A = BA + CA (distributiva à esquerda)
Observações:
1ª) A multiplicação de matrizes não é comutativa,
isto é, existem matrizes A e B tais que BA AB .
2ª) Se ocorrer AB = BA, dizemos que as matrizes A e
B comutam.
3ª) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do
anulamento do produto, isto é, podemos ter AB = 0,
mesmo com 0 B e 0 A  .
4ª) Não vale também a lei do cancelamento, isto é,
podemos ter AB = AC, mesmo com C B e 0 A  .
Exemplo: Efetuar: 











6 5 4
3 2 1
 . 
8 0
7 9
Resolução:



































48 40 32
69 53 37
 
48 0 40 0 32 0
42 27 35 18 28 9
 
 
6 . 8 3 . 0 5 . 8 2 . 0 4 . 8 1 . 0
6 . 7 3 . 9 5 . 7 2 . 9 4 . 7 1 . 9
 
6 5 4
3 2 1
 . 
8 0
7 9
8 - MATRIZ INVERSA
Sejam dois números reais, a e b, com a  0 e b  0.
Se a . b = b . a = 1, dizemos que a e b são inversos, ou,
ainda, que b é o inverso de a e vice-versa.
Resolução: Fazemos 






d c
b a
 A 1 .
Sabemos que 2
-1 I A . A 

































1 0
0 1
 
5d b 5c a 
4d 2b 4c 2a
 
1 0
0 1
 
d c
b a
 
5 1
4 2
Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:
(1) 6
1
- c e 
6
5
 a 
0 5ca 
1 4c a2






(2) 3
1
- d e 
3
2
 b 
1 5d b 
0 4d b2






Resposta: 














 
3
1
 
6
1
3
2
- 
6
5
 A 1
Exercícios propostos:
1) (Cescem-SP) O produto M . N da matriz M = 









1
1
1
pela matriz N = ( 1 1 1):
a) não se define
b) é uma matriz identidade de ordem 3
c) é uma matriz de cada linha e uma coluna
d) é uma matriz quadrada de ordem 3
e) não é uma matriz quadrada.
2) 






















1
2
1
 B e 
x
1
2
 A
então a matriz Y = At . B será nula para:
a) x = 0 b) x = -1 c) x = -2 d) x = -3 e) x - 4.
3) (FEI-SP) As matrizes abaixo comutam.












3 3
3 0
 e 
2 a
a a
 O valor de a é:
a) 1 b) 0 c) 2 d) -1 e) 3
Respostas: 01 - D 02 - E 03 - A
MATEMÁTICA
MANUAL DE ESTUDOS MANUAL DE ESTUDOS48
DETERMINANTES
1 - INTRODUÇÃO:
Determinante é um número real que se associa a
uma matriz quadrada.
A teoria dos determinantes surgiu quase simulta-
neamente na Alemanha e no Japão. Foi desenvolvida
por dois matemáticos, Leibniz (1646 - 1716) e Seki
Shinsuke Kowa (1642 - 1708) ao solucionarem um
problema de eliminações necessárias à resolução d
eum sistema de m equações lineares com m incógni-
tas.
2 - DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRA-
DA DE 2ª ORDEM
Dada a matriz quadrada de 2ª ordem







2221
1211
a a
a a
 A ,
Chama-se determinante associado à matriz A (ou
determinante de 2ª ordem) o número real obtido pela
diferença entre o produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da diagonal se-
cundária.
Então, determinante de A = a
11
 . a
22
 - a
12
 . a
21
produto dos
elementos
da diagonal
secundária
produto dos
elementos da
diagonal principal
2) Resolver a equação: 0 5 1 - x 
 2 3 

x
Resolução:
 
 
3
17
- x 17- 3x 
0 2 2x - 15 5x 
0 1) -2(x - 3) 5(x 0 
 5 1 - x 
2 3 



x
Resposta: 






3
17
- S
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) Achar o valor dos determinantes:
 1 d)
 
 5 - 1 2 
1- 5 1 
 c)
 
 3 2 
4- 6 
 b)
 
 1- 3 
 2 5- 
 )

a
2) Resolva as equações:
0
 1 - x 1 
5 3 x 
 c)
 0 
 x 5 
 x x 
 b)
 0
7 5 
 2 x x 
 )





a
3) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de 2ª or-
dem tal que a
ij
 = j2 + i. j.
Calcule det A.
Respostas:
1) a) -1 b) 26 c) -2 d) 5
2) a) 5 b)  5,0 c)  2,4
3) -2
Indica-se:
Observação:
Dada a matriz A = (a
ij
), de ordem 1, define-se como
determinante de A o seu próprio elemento, isto é:
Assim, na matriz A = (4), temos 4 4 A det  .
Vejamos alguns exemplos:
1) Achar o valor do determinante 1- 6
3- 4
.
Resolução: 14 18 4- (-3) . 6 - (-1) . 4 1- 6
3- 4

Resposta: 14
11a A A det 
212211
 22
1211 a . a . a 
a a21 
a a 
 A A det 
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