ENGENHARIA ECONÔMICA

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ENGENHARIA ECONÔMICA
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Maria Albertina Ferreira do 
Nascimento
Diretoria EAD:
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Fernando Sachetti Bomfim
Marta Yumi Ando
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Aliana de Araújo Camolez
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande re-
sponsabilidade sobre as escolhas que fazemos, 
e essas nos guiarão por toda a vida acadêmica 
e profissional, refletindo diretamente em nossa 
vida pessoal e em nossas relações com a socie-
dade. Hoje em dia, essa sociedade é exigente 
e busca por tecnologia, informação e conhec-
imento advindos de profissionais que possuam 
novas habilidades para liderança e sobrevivên-
cia no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino 
a Distância, a proporcionar um ensino de quali-
dade, capaz de formar cidadãos integrantes de 
uma sociedade justa, preparados para o mer-
cado de trabalho, como planejadores e líderes 
atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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U N I D A D E
01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................4
1. PORCENTAGEM E REGRA DE TRÊS ........................................................................................................................5
2. SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES .............................................................................................................. 11
3. SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO .......................................................................................................... 15
4. TAXAS EQUIVALENTES NO SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO E RENDIMENTO REAL ...................20
5. OPERAÇÕES DE DESCONTO ..................................................................................................................................25
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................... 31
SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
E COMPOSTO
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
ENGENHARIA ECONÔMICA
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INTRODUÇÃO
Saber investir e planejar-se financeiramente é fundamental para a realização de planos 
e concretização de projetos. O curso de Engenharia Econômica proporciona a você, futuro 
engenheiro, a capacidade de analisar a viabilidade econômica de projetos e comparar opções de 
investimento por meio do cálculo do valor de prestações e do saldo devedor de financiamentos.
Nesse sentido, os engenheiros, no exercício de sua função, deverão tomar decisões 
acerca de em quais projetos investir, ou ainda, acerca de quando um dado equipamento deve ser 
substituído por outro. Além dos aspectos técnicos, o engenheiro deve fazer, também, a análise 
de viabilidade econômica. A engenharia econômica e a matemática financeira fornecem, assim, 
ferramentas úteis para que você, futuro engenheiro, tome essas decisões de forma correta.
Prezado aluno, na nossa primeira unidade, apresentar-se-ão informações básicas que serão 
úteis ao entendimento e conhecimento da Engenharia Econômica. Estudaremos porcentagem, 
sistema de capitalização simples, sistema de capitalização composto, operações de desconto e as 
taxas equivalentes. Sejam bem-vindos à Unidade I e bons estudos!
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1. PORCENTAGEM E REGRA DE TRÊS
A ideia de porcentagem tem sido empregada desde épocas distantes, a exemplo do antigo 
Império Romano. O imperador Augusto cobrava um imposto de sobre o preço da venda de 
todos os bens. No século XV, manuscritos italianos utilizavam expressões como “20 p 100” e 
“XX p cento” para indicar vinte por cento. Em 1650, o sinal “per ” era utilizado para indicar 
porcentagem. Posteriormente, esse sinal entrou em desuso, até que sobreveio o sinal que se utiliza 
atualmente: “%”. 
 Diversos assuntos ligados à Matemática Financeira requerem o uso de porcentagem, 
a exemplo de cálculo de juros em compras financiadas ou empréstimos bancários. 
A porcentagem é uma fração cujo denominador é 100 e sua utilização se faz por regra de 
três simples. Assim: 
• 50% é a mesma coisa que 50/100 ou 0,5.
• 30% é a mesma coisa que 30/100 ou 0,3.
• 70% é a mesma coisa que 70/100 ou 0,7.
 Seguindo o raciocínio anterior, para se calcular a porcentagem de um número total, 
considerando o “universo”, basta multiplicar a fração (porcentagem) pelo total.
Exemplo 1
“Na semana passada, o dólar ultrapassou a cotação de R$ 4 pela primeira vez na história, 
devido a preocupações com o ajuste fiscal no Brasil e à possibilidade de o Federal Reserve, 
o banco central dos Estados Unidos, elevar a taxa de juros do país.” Com base nisso, ana-
lise o gráfico da Figura 1.
Figura 1 – Variação do valor do dólar. Fonte: Adaptado de G1 (2015).
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Com base nessas informações, marcar C para as afirmativas certas e E para as erradas. 
Após, assinalar a alternativa que apresenta a sequência CORRETA.
( ) O aumento percentual no preço do dólar, de 21/09 para 23/09, foi superior a 4%.
( ) De 23/09 a 25/09, houve desvalorização do preço do dólar superior a 4,5%.
( ) De 21/09 a 28/09, o dólar sofreu valorização superior a 4%.
(A) C - C - E.
(B) E - C - C.
(C) C - E - E.
(D) E - C - E.
(E) nenhuma das alternativas anteriores.
Solução: De 21/09 a 23/09, o dólar sofreu um aumento, em relação ao preço do dia 21/09, 
de
ou seja, superior a 4%. Logo, a primeira afirmação está certa. De 23/09 a 25/09, houve 
desvalorização do preço do dólar e essa desvalorização foi, em relação a 23/09, de
ou seja, desvalorização inferior a 4,5%. Portanto, a afirmação está errada. De 21/09 a 28/09, 
o dólar sofreu valorização de 
ou seja, a valorização foi inferior a 4%. Logo, a afirmação está errada. Portanto, alternativa 
(C).
A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem 
quatro valores, dos quais três são conhecidos. Assim, determina-se um quarto valor com 
base nos outros três já conhecidos. Para resolver uma regra de três, usa-se o seguinte 
roteiro:
(1º) Construir uma tabela, agrupando-se, em colunas, as grandezas da mesma espécie e 
mantendo-se, em linha, as grandezas de espécie diferentes em correspondência.
(2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
(3º) Montar a proporção e resolver a equação.
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Exemplo 2
(CESGRANRIO)
Figura 2 – Produção e reciclagem de lixo. Fonte: Adaptado de Veja (2011).
Os gráficos da Figura 2 apresentam dados sobre a produção e a reciclagem de lixo em 
algumas regiões do planeta. Baseando-se nos dados apresentados, qual é, em milhões 
de toneladas, a diferença entre as quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em 
um ano?
(A) 9,08 (B) 10,92 (C) 12,60 (D) 21,68(E) 24,80
Solução: Usando regra de três simples, temos que a quantidade de lixo, em milhões de 
toneladas, reciclada pela China é dada por:
ou seja,
 milhões de toneladas
Analogamente, temos que a quantidade de lixo, em milhões de toneladas, reciclada pelos 
EUA é
 milhões de toneladas
Assim, a diferença entre as quantidades de lixo recicladas pela China e EUA, em milhões 
de toneladas, é dada por . Portanto, alternativa (A).
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Exemplo 3
Vinte e quatro operários fazem uma tarefa industrial em 5 dias. Em quantos dias quarenta 
operários, igualmente capacitados, fariam a mesma tarefa industrial?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 4,5
Solução: Seja X o número de dias que os quarenta operários gastarão para concluir a obra. 
Segue do enunciado que
Observe que, ao aumentar o número de operários, o tempo necessário para concluir a 
obra será diminuído, ou seja, trata-se de grandezas inversamente proporcionais. Ou seja, 
invertemos uma coluna para resolvermos a regra de três. Assim,
Portanto, alternativa (C). 
A regra de três composta é usada em situações-problema com mais de duas grandezas, 
sejam elas direta ou inversamente proporcionais. Trata-se de um processo prático para se 
resolverem problemas que envolvem N valores, dos quais é conhecido um total de N-1 desses 
valores. Assim, determina-se um valor com base nos outros N-1 já conhecidos.
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Exemplo 4
Admita que 4 máquinas de terraplanagem, todas com a mesma capacidade operacional, 
sejam capazes de nivelar uma superfície de 4.000 metros quadrados em 4 dias, se fun-
cionarem ininterruptamente durante 4 horas por dia. Nas mesmas condições, quantos 
metros quadrados poderiam ser nivelados por 8 daquelas máquinas em 8 dias de tra-
balho e durante 8 horas por dia de funcionamento ininterrupto?
(A) 16.000 (B) 32.000 (C) 64.000 (D) 78.000 (E) 84.000
Solução: Vamos montar uma tabela colocando, em cada coluna, as grandezas de mesma 
espécie.
O aumento no número de máquinas aumenta a área de terraplanagem; logo, as grande-
zas são diretamente proporcionais. O aumento no número de horas diárias trabalhadas 
aumenta a área de terraplanagem; logo, as grandezas são diretamente proporcionais. O 
aumento no número de dias trabalhados aumenta a área de terraplanagem; logo, as gran-
dezas são diretamente proporcionais. Assim, a tabela é a mesma. 
Logo, x = 32.000 m2. Portanto, alternativa (B).
Quando uma mercadoria sofre n acréscimos de taxas i1, i2, ..., in, cada um deles calculado 
sobre o valor anterior, diz-se que a mercadoria sofreu acréscimos sucessivos. Assim, o valor final 
(VF), depois de cada acréscimo, passa a ser o valor inicial (VI) do acréscimo seguinte. Logo, o 
valor final, após os n acréscimos, é apresentado pela Eq. (01).
Eq.(01)
Quando uma mercadoria sofre n abatimentos de taxas i1, i2, ..., in, cada um deles calculado 
sobre o líquido anterior, diz-se que a mercadoria sofreu abatimentos sucessivos. Assim, o valor 
final, depois de cada abatimento, passa a ser o valor inicial do abatimento posterior. O valor final 
é calculado pela Eq.(02).
Eq.(02)
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Exemplo 5
As ações de uma empresa em crise do Vale do Silício desvalorizaram 20% a cada mês, 
por três meses seguidos. Quanto foi a desvalorização total dessa empresa nesses três 
meses?
(A) 60%. (B) 56,6%. (C) 53,4%. (D) 51,2%. (E) 48,8%.
Solução: Segue do enunciado que a desvalorização é de 20% em cada um dos três meses. 
Assim,
Ou seja, as ações valem 51,2% do preço inicial, e isso representa desvalorização de 
48,8%. Portanto, alternativa (E).
Exemplo 6
Um bem de consumo durável apresentou, em seu preço, dois aumentos sucessivos de 
30% e 40%. O aumento total no preço desse bem corresponde a um acréscimo de:
(A) 70%. (B) 75%. (C) 78%. (D) 80%. (E) 82%.
Solução: Segue do enunciado que, primeiro, ocorre a valorização de 30% e, depois, de 
40%. Assim, 
Ou seja, o valor final está acrescido de 82%. Portanto, alternativa (E).
Exemplo 7
O preço de uma commodity subiu 10% ao mês, em cada um dos dois primeiros meses 
do ano, e caiu 10% ao mês, em cada um dos dois meses seguintes. Ao fim desses quatro 
meses, o preço dessa commodity sofreu variação de, aproximadamente,
(A) menos 4%. (B) menos 2%. (C) 0%. (D) mais 2%. (E) mais 4%.
Solução: Segue do enunciado que , , e . 
Assim, o valor final será
ou seja,
Ou seja, o valor final é 98,01% do valor inicial, e isso significa que o preço do barril de 
petróleo sofreu redução de menos de 2%. Portanto, alternativa (B).
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2. SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
 
A capitalização é uma operação de adição de juros ao capital. Dessa forma, o sistema de 
capitalização simples é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial, e os juros 
devidos a um período não rendem mais juros. 
Considere o capital inicial PV aplicado no sistema de capitalização simples em uma taxa 
i por período, durante n períodos. Lembrando-se de que, no sistema de capitalização simples, os 
valores devidos a juros incidem sempre sobre o capital inicial, pode-se escrever a Tabela 1.
Tabela 1 – Planilha de monitoramento de capital no regime de capitalização simples. Fonte: O autor.
A soma de todos os elementos da terceira coluna da Tabela 1 resulta na equação para 
cálculo de juros J no sistema de capitalização simples:
Eq. (3)
No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos 
juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado 
Valor Futuro, FV. Logo, tem-se:
Eq. (4)
 
A equação (4) é básica tanto para o cálculo do valor futuro como para o cálculo do valor 
presente, período de aplicação e taxa de juros por meio de manipulação algébrica dos valores 
financeiros. Assim, obtém-se:
Eq. (5)
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Eq. (6)
Eq. (7)
No sistema de capitalização simples, os acréscimos de juros são constantes, pois a taxa incide 
sempre sobre o valor inicial de aplicação - o que faz com que a série dos montantes se comporte 
como uma progressão aritmética. Dessa forma, a representação gráfica do comportamento do 
valor futuro se dá por uma reta, como mostra a Figura 3.
Figura 3 – Comportamento gráfico do sistema de capitalização simples. Fonte: O autor.
No sistema de capitalização simples, duas taxas de juro, e , são consideradas 
equivalentes quando, ao se aplicarem dois capitais iniciais iguais, digamos , por dois 
períodos distintos de capitalização, digamos e , os montantes finais resgatados são iguais 
após determinado período de tempo, ou seja:
 Eq. (8) Eq. (9)
 
Como os montantes são iguais, podemos igualar as equações (8) e (9). Assim,
Eq. (10)
Depreende-se da equação (10) que existe relação de proporcionalidade entre as taxas de 
juros e . Assim, pode-se transformar a taxa de juros, no sistema de capitalização simples, 
dividindo-se a taxa de juros dada pela constante proporcional de períodos .
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Exemplo 8
Aldo realizou uma aplicação de R$ 25.000,00 pelo prazo de 6 meses e, ao final da apli-
cação, obteve um lucro de R$ 1.500,00. Para que isso ocorresse, a taxa de juros simples 
mensal usada na aplicação foi
(A) 1,00%. (B) 1,25%. (C) 1,33%. (D) 1,50%. (E) 1,66%.
Solução: As informações dadas foram: PV = 25.000,00, n = 6 meses e J = 1500,00. Substi-tuindo os valores na Eq. (3) obtemos:
Portanto, alternativa (A).
Exemplo 9
(FGV) Francisco estava devendo R$ 2.100,00 à operadora do cartão de crédito, que 
cobra taxa mensal de juros de 12%. No dia do vencimento, pagou R$ 800,00 e prometeu 
não fazer nenhuma compra nova até liquidar a dívida. No mês seguinte, no dia do venci-
mento da nova fatura, pagou mais R$ 800,00 e, um mês depois, fez mais um pagamento, 
terminando a dívida. Sabendo-se que Francisco havia cumprido a promessa feita, o valor 
desse último pagamento, desprezando-se os centavos, foi de:
(A) R$ 708,00 (B) R$ 714,00 (C) R$ 720,00 (D) R$ 728,00 (E) R$ 734,00
Solução: Segue do enunciado que Francisco estava devendo R$ 2.100,00, pagando R$ 
800,00. Assim, sua dívida com a operadora de cartão de crédito ficou em R$ 1.300,00. 
Após um mês, sua dívida com a operadora de cartão de crédito é de
Como no dia do vencimento ele pagou R$ 800,00, segue que sua dívida, agora, é de R$ 
656,00. Após um mês, sua dívida é de 
Logo, o valor do último pagamento, desprezando-se os centavos, é de R$ 734,00. Portan-
to, alternativa (E).
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Exemplo 10
(FGV) O número de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% 
ao mês, juros simples, é de 
(A) 6,00. (B) 4,50. (C) 7,50. (D) 3,8. (E) 5,0.
Solução: As informações dadas foram: i = 5% a.m. Note que o valor do capital não foi 
fornecido, porém, sabemos que ele será quadruplicado. Assim, se X for o capital inicial 
(PV = X), então o valor do montante será 4.X (FV = 4.X). Substituindo essas infor-
mações na Eq. (6), obtemos:
Portanto, alternativa (E).
Exemplo 11
(CESGRANRIO) Um aplicador obterá de resgate em um título o valor de R$ 30.000,00. 
Sabendo-se que a operação rendeu juros simples de 5% ao mês, por um período de 6 me-
ses, o valor original da aplicação foi, em reais, de
(A) 21.066,67 (B) 21.500,00 (C) 22.222,66 (D) 23.076,93 (E) 23.599,99
Solução: Segue do enunciado que , e O valor 
original da aplicação pode ser calculado usando a equação (5). Assim,
Portanto, alternativa (D).
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Exemplo 12
(FGV) Para pagamento de boleto com atraso de período inferior a um mês, certa institu-
ição financeira cobra, sobre o valor do boleto, multa de 2% mais 0,4% de juros de mora 
por dia de atraso no regime de juros simples. Um boleto com valor de R$ 500,00 foi pago 
com 18 dias de atraso. O valor total do pagamento foi, em reais,
(A) 542,00. (B) 546,00. (C) 548,00. (D) 552,00. (E) 554,00.
Solução: Segue do enunciado que o valor da multa é de 2% sobre o valor do boleto. As-
sim, o valor da multa é de Temos, agora, que o valor dos juros 
devido aos 18 dias de atraso é Logo, o valor do 
pagamento é dado por Portanto, alternativa (B).
Exemplo 13
(FGV) A taxa de juros simples de 0,05% ao dia equivale à taxa semestral de:
(A) 15%. (B) 1,5%. (C) 18%. (D) 9%. (E) 12%.
Solução: No sistema de capitalização simples, as taxas de juro são proporcionais. Foi infor-
mada a taxa de 0,05% ao dia. Aplicando a equação (10), segue que
Logo, a taxa é de 9% ao semestre. Alternativa (D).
3. SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO
 
O sistema capitalização composto é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, 
o mais útil para resolução de problemas do dia a dia. Nesse sistema de capitalização, os juros 
gerados em cada período são incorporados ao capital inicial e usados para o cálculo dos juros do 
período seguinte; ou seja, o juro do período é incorporado ao valor do capital e passa a render 
juros. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de 
juros.
 Considere o capital inicial PV aplicado no sistema de capitalização composto, em 
uma taxa i por período, durante n períodos. Lembrando-se de que, no sistema de capitalização 
composto, os valores devidos a juros de um período são acrescidos ao capital e passam a render 
juros no período seguinte, pode-se escrever a Tabela 2.
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Tabela 2 – Planilha de monitoramento de capital no regime de capitalização composto. Fonte: O autor.
Na Tabela 2, tendo-se que o último elemento da coluna refere-se ao saldo devedor ao final 
de cada período, obtém-se a seguinte equação:
Eq. (11)
A equação (11) é básica tanto para o cálculo do valor futuro como para o cálculo do valor 
presente, período de aplicação e taxa de juros por meio de manipulação algébrica dos valores 
financeiros. Assim, obtém-se:
Eq. (12)
Eq. (13)
Eq. (14)
 
A Eq. (14) é empregada quando . Para o caso de empregar-se-á a Eq. (15):
Eq. (15)
No sistema de capitalização composto, os acréscimos de juros não são de valores constantes, 
pois o capital no início de cada período é corrigido pelo acréscimo dos juros (cobrados sobre 
capital + juros do período anterior). Isso faz com que a série dos montantes se comporte como 
uma progressão geométrica. A representação gráfica do comportamento do valor futuro se dá 
por uma curva exponencial, como mostra a Figura 3.
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Figura 4 – Comportamento gráfico do sistema de capitalização composto. Fonte: O autor.
Exemplo 14
Uma dívida de R$ 500,00 será quitada, e uma de juros compostos de 10% ao mês será 
cobrada. Após três meses, o valor dessa dívida é, em reais,
(A) 675,00. (B) 650,00. (C) 665,50. (D) 680,50. (E) 645,50.
Solução: Do enunciado, obtemos as seguintes informações: PV = 500, i = 10% a.m., n = 3 
meses. Note que o período de capitalização e o período da taxa estão na mesma unidade. 
Aplicando a equação (11), obtemos:
ou seja,
Portanto, alternativa (C).
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Exemplo 15
(FCC) O montante referente à aplicação de um capital, durante 2 anos, a uma taxa de juros 
compostos de 10% ao ano, apresentou o valor de R$ 15.125,00. O valor dos juros desta 
aplicação foi, em reais,
(A) 3.125,00. (B) 2.625,00. (C) 2.500,00. (D) 2.250,00. (E) 1.825,00.
Solução: Do enunciado, obtemos as seguintes informações: FV = 15.125, n = 2 anos e i 
= 10% ao ano. Note que o período de capitalização e o período da taxa estão na mesma 
unidade. Aplicando a equação (12), obtemos
Lembrando-se de que a diferença entre FV e PV resulta no total de juros obtido pela apli-
cação, então Portanto, alternativa (B).
Exemplo 16
Se um engenheiro aplicar R$ 50.000,00 por um prazo de 150 dias, que taxa mensal de 
juros compostos precisará obter para dobrar o capital?
(A) 25,99% (B) 25,67% (C) 23,33% (D) 22,50% (E) 16,67%
Solução: Do enunciado, obtemos as seguintes informações: PV = 50.000, n = = 150 dias = 
3 meses e FV = 100.000. Aplicando a equação (14), obtemos
Portanto, alternativa (A).
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Exemplo 17
Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 recebendo um montante de R$ 1.331,00, à taxa de 10% ao 
semestre. Calcule o tempo, em semestre, durante o qual esse capital ficou aplicado.
Solução: Segue do enunciado que , e Aplicando a 
equação (13), segue que
Portanto, o tempo de aplicação foi igual a 3 semestres.
Exemplo 18
(FCC) Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, 
apresentando um montante igual a R$ 13.200,00 no final do prazo. Se esse mesmo capital 
tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então 
o montante, em reais, no final deste prazo seria igual a
(A)17.853,75. (B)17.192,50. (C)16.531,25. (D)15.870,00. (E)15.606,50.
Solução: Do enunciado, obtemos as seguintes informações: PV = X, n = 8 meses, i = 15% 
a.a = 1,25% a.m. e FV = 13.200, em que X denota o valor, em reais, do capital aplicado. 
Aplicandoa equação (12), segue que
Ainda, depreende-se do enunciado que, para a aplicação no sistema de capitalização com-
posto, i = 15% a.a e n = 2 anos. Assim, aplicando a Eq. (11)
Logo, o montante será igual a R$ 15.870,00. Portanto, alternativa (D).
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Exemplo 19
(FCC) Uma pessoa aplicou metade de seu capital, durante um ano, a juros simples e com 
uma taxa de 0,75% ao mês, verificando que, no final do período, o total dos juros foi 
igual a R$ 1.350,00. O restante do capital ela aplicou, também durante um ano, a juros 
compostos e com uma taxa de 4% ao semestre. O valor do montante, em reais, referente 
à aplicação a juros compostos, no final do período, foi igual a
(A)16.150,00. (B)16.168,50. (C)16.187,00. (D)16.205,50. (E)16.224,00.
Solução: Digamos que o valor do capital dessa pessoa seja PV = 2X. Para a aplicação a 
juros simples, temos as seguintes informações: J = 1.350; PV = X; n = 1 ano = 12 meses e 
i = 0,75% a.m. Assim, aplicando a equação (3), encontramos o valor dos juros no sistema 
de capitalização simples. Daí,
Por outro lado, para a aplicação a juros compostos, temos as seguintes informações: 
PV = 15.000; n = 1 ano = 2 semestres e i = 4% a.s. Assim, aplicando-se a equação (11), 
encontramos o valor do montante a juros compostos. Daí,
Portanto, alternativa (E).
4. TAXAS EQUIVALENTES NO SISTEMA DE 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO E RENDIMENTO REAL
Em transações comerciais e bancárias, a taxa é empregada em diferentes situações no que 
diz respeito ao conceito. A taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro a ser cobrado 
e está sempre em uma unidade de tempo. No sistema de capitalização composto, as taxas de juro 
devem ser observadas com muita atenção. Isso porque, no sistema de capitalização composto, 
elas ocorrem na forma nominal ou efetiva. Diz-se que duas taxas de juro são equivalentes no 
sistema de capitalização composto quando, aplicadas a um mesmo capital ( ) por período 
equivalente, geram o mesmo montante.
Quando o período de pagamento de uma dívida for não inteiro, utiliza-se o sistema 
de capitalização composto na parte inteira e o sistema de capitalização simples 
para a parte não inteira. Isto é o que chamamos de Capitalização Mista. Mesmo o 
prazo não sendo um número inteiro, é possível utilizar a capitalização composta em 
todo o período. Chamamos esse tipo de capitalização de Convenção Exponencial.
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Considere que o capital é aplicado por um ano a uma taxa anual . O montante , 
ao final do período de um ano, será, no sistema de capitalização composto, igual a
Eq. (16)
 
Considere, agora, que o mesmo capital PV é aplicado por 12 meses a uma taxa mensal 
igual a . Ao final do período de 12 meses (equivalente a um ano), o montante será igual a
Eq. (17)
 
Segue da definição de taxas equivalentes que . Logo, 
Eq. (4.3)
Analogamente, pode-se mostrar que
Eq. (18)
em que é a taxa anual; é a taxa semestral; é a taxa quadrimestral; é a taxa trimestral; 
é a taxa bimestral; é a taxa mensal (considerando o mês comercial, com 30 dias) e é a taxa 
diária (considerando o ano comercial, ou seja, com 360 dias).
Exemplo 20
(FGV) A taxa de juros compostos anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é
(A) 114,70%. (B) 107,55%. (C) 109,90%. (D) 90,00%. (E) 119,70%.
Solução: Temos a taxa de 30% a.q. e queremos obter a taxa equivalente anual. Usando a 
equação (16), escrevemos
Portanto, alternativa (E).
Ao adquirir um empréstimo em uma instituição financeira, o indivíduo é informado de 
que a taxa de juros anual é de 12% a.a., com capitalização composta trimestral. Nessa situação, 
o indivíduo terá de pagar juros compostos, sendo que o acréscimo dos juros ao montante será 
realizado trimestralmente. 
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Assim, diz-se que uma taxa de juros é nominal quando o período de capitalização dos 
juros não coincide com o período de capitalização da taxa. São exemplos de taxas nominais: (i) 
7% ao ano capitalizado semestralmente, (ii) 30% ao semestre capitalizados bimestralmente. 
Para a situação descrita acima, sendo a taxa nominal de juros igual 12% a.a. e visto que a 
capitalização é trimestral, a pergunta que surge é: qual é a taxa de juros paga em cada trimestre? 
O cálculo é simples. 
Veja: como um ano tem quatro trimestres, a taxa de juros trimestral é obtida efetuando-se 
o quociente do valor da taxa nominal por 4. Assim, 12% 4 = 3%; ou seja, diz-se que a taxa de 
juros é igual a 3% a.t. Note que a taxa de juros nominal é uma taxa proporcional, uma vez que a 
taxa de juros 12% a.a. com capitalização trimestral pode ser obtida a partir da soma da taxa de 3% 
a.t. para cada trimestre durante um ano (lembrando 1 ano = 4 trimestres). Assim, 3% a.t. + 3% a.t. 
+ 3% a.t. + 3% a.t. = 12 % a.a com capitalização trimestral. 
A taxa nominal não é empregada nos cálculos financeiros. Para essas situações, faz-se o 
uso da taxa efetiva. Diz-se que uma taxa de juros é efetiva quando o período de capitalização 
dos juros coincide com o período de capitalização da taxa, ou seja, um indivíduo que adquiriu 
o empréstimo com taxa de juros de 12% a.a., com capitalização composta anual, deverá pagar 
juros compostos, sendo que o acréscimo dos juros ao montante será realizado anualmente. 
São exemplos de taxas efetivas: (i) 7% ao ano capitalizados anualmente, (ii) 30% ao semestre 
capitalizados semestralmente.
Exemplo 21
(FCC) Um contrato de financiamento de imóvel foi celebrado considerando-se uma taxa 
anual nominal de 12%, capitalizada quadrimestralmente. A taxa efetiva anual é de
(A) 12,49%. (B) 12,55%. (C) 13,00%. (D) 15,12%. (E) 16,99%.
Solução: Temos uma taxa nominal igual a 12% ao ano, capitalizada quadrimestralmente, 
e queremos determinar a taxa efetiva anual. Assim, a taxa de 12% ao ano é proporcional 
à taxa de 4% ao quadrimestre (12% 3 quadrimestres). Agora, temos uma taxa de 4% ao 
quadrimestre com capitalização quadrimestral (que é efetiva) e vamos determinar a taxa 
efetiva anual. Usando a equação (18), segue que
Portanto, alternativa (A).
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Exemplo 22
(CESGRANRIO) Qual é a taxa efetiva trimestral correspondente a juros de 30% ao tri-
mestre com capitalização mensal?
(A) 30% (B) 31% (C) 32,5% (D) 32,8% (E) 33,1%
Solução: Temos uma taxa nominal igual a 30% ao trimestre, capitalizada mensalmente, e 
queremos determinar a taxa efetiva trimestral. Assim, a taxa de 30% ao trimestre é pro-
porcional à taxa de 10% ao mês (30% 3 meses). Agora, temos uma taxa de 10% ao mês 
com capitalização mensal (que é taxa efetiva) e vamos determinar a taxa efetiva trimestral. 
Usando a equação (4.3), simplificada para os expoentes, segue que
Portanto, alternativa (E).
Exemplo 23
(FCC) Um principal de R$ 600,00 é aplicado, por um ano, a juros compostos de 40% a.a., 
com capitalização semestral. Sabendo-se que foi utilizado o regime de capitalização com-
posta, conclui-se que o montante produzido, após um ano, em reais, é de
(A) 864,00 (B) 840,00 (C) 784,00 (D) 720,00 (E) 624,00
Solução: A taxa de 40% a.a. com capitalização semestral é uma taxa nominal e é equiva-
lente à taxa efetiva de 20% a.s. com capitalização semestral. Assim, temos as seguintes 
informações: PV = 600; i = 20% a.s; n = 1 ano = 2 semestres. Aplicando a equação (11)
Logo, o montante será igual a R$ 864,00. Portanto, alternativa (A).
A inflação é um processo em que ocorre aumento generalizado nos preços de bens e 
serviços, o que, por sua vez, provoca perda do poder aquisitivo da moeda. Tal processo faz com 
que o dinheiro valha cada vez menos, sendo requisitada, portanto, uma quantidade cada vez 
maior dele para que se adquiram os mesmos produtos. A taxa real dejuros é a apuração do ganho 
ou perda em relação à taxa de inflação, ou seja, a taxa real mede o verdadeiro ganho financeiro. 
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Digamos que um investimento de $ 100 tenha rendido 20% num período e que, nesse 
período, a inflação tenha sido de 5% (ou seja, o investimento desvalorizou-se em 5%). Assim, 
temos que o montante, ao final do período, referente à taxa de 20% é igual a $120 e o montante 
de correção em relação à inflação no período é igual a $105. Observe que o ganho real foi de $15 
e pode-se determinar o ganho real efetuando-se a divisão entre o ganho real e o montante de 
correção da inflação, que, nesse caso, será igual a 14,3%. Nessas condições, diz-se que a taxa de 
20% é a taxa aparente de juros referente ao rendimento.
Podem-se determinar a taxa real de juros, a taxa aparente e a inflação de uma forma 
simples, utilizando-se da seguinte expressão matemática:
Eq. (19)
em que é a taxa real de juros no período; é a taxa de inflação no período e i 
é a taxa aparente de juro no período.
Exemplo 24
(CESGRANRIO) A política de aumento salarial de uma empresa fez com que, em dez 
anos, os salários dos seus funcionários aumentassem nominalmente 274%. Se, nesse 
mesmo período, a inflação foi de 87%, o ganho real foi de
(A) 87%. (B) 100%. (C) 187%. (D) 200%. (E) 215%.
Solução: Temos que i = 274% no período e = 87% no período. Usando a equação 
(19), segue que o ganho real será
Portanto, alternativa (B).
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Exemplo 25
(FCC) Uma pessoa aplicou R$ 25.000,00 em certa data e resgatou o respectivo montante 
depois de um determinado período. A taxa de inflação no período de aplicação foi igual 
a 3%, e a taxa real de juros correspondente foi igual a 10%. O montante resgatado foi, em 
reais, de
(A)28.650. (B)28.500. (C)28.250. (D)28.325. (E) 28.000.
Solução: Temos que PV = 25.000, = 3% no período e = 10% no período. 
Para o cálculo do montante no final do período, precisamos do valor da taxa aparente. 
Usando a equação (19), segue que
Usando a equação (11) para o cálculo do valor montante, com n = 1, referente a um 
período, segue que
Portanto, a alternativa (D).
5. OPERAÇÕES DE DESCONTO
Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito 
é resgatado (pago) antes do vencimento. É uma operação habitual no mercado financeiro e 
no setor comercial, por meio da qual o portador de um título de crédito (tais como letras de 
câmbio, notas promissórias, cheques pré-datados, dentre outros) pode levantar fundos em um 
banco descontando o título antes da data de vencimento. O banco, a factoring ou financeira, 
naturalmente, liberam uma quantia menor do que o valor nominal FV do título. Assim,
Eq. (20)
Um aspecto interessante sobre a taxa real de juros é que ela pode ser, inclusive, 
negativa. Isso ocorre quando a taxa de inflação é maior que a taxa do investimento 
no período. Nessa situação, dizemos que o capital sofreu depreciação. 
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Existem duas formas de proceder a este desconto: uma é levando-se em consideração o 
sistema de capitalização simples, e outra é levando-se em consideração o sistema de capitalização 
composto. Ambas as metodologias de desconto podem, ainda, ser classificadas como racional (ou 
“por dentro” ) e comercial (ou “por fora”).
O desconto racional simples, DRS, é a modalidade de desconto aplicado sobre o valor 
líquido do título, VL, utilizando-se para o cálculo uma taxa efetiva no sistema de capitalização 
simples. O cálculo desse desconto funciona analogamente ao cálculo de juros no sistema de 
capitalização simples. Dessa forma:
Eq. (21)
em que i é a taxa de desconto a juros simples e n é o número de períodos em que o título 
negociado é descontado antes de seu vencimento. 
No entanto, não conhecemos, a priori, o valor líquido (VL) do título. Para resolver a 
situação, vamos nos valer do fato de que, na modalidade de DRS, vale a equação que descreve o 
sistema de capitalização simples, efetuando-se as substituições FV por VN e PV por VL. Assim, 
Eq. (22)
em que VN é o valor nominal do título. 
 Combinando as equações (21) e (22) obtém-se:
Eq. (23)
Exemplo 26
Um título de valor nominal igual a R$ 50.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu ven-
cimento, à taxa de 5% ao mês. Determine o valor do descontado e o valor líquido do título, 
considerando a metodologia de desconto racional simples.
Solução: Temos as seguintes informações: VN = 50.000,00, i = 5% e n = 4 meses. Para o 
cálculo do DRS, usaremos a equação (23) e, assim, obteremos:
Já para o cálculo do VL, usaremos a equação (20). Assim,
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
O desconto comercial simples, DCS, é a modalidade de desconto aplicado sobre o valor 
nominal do título, VN, utilizando-se, para o cálculo, uma taxa efetiva no sistema de capitalização 
simples. Dessa forma,
Eq. (24)
O valor líquido recebido pode ser obtido substituindo-se a equação (24) pela equação 
(20). Efetuando-se algumas manipulações algébricas, tem-se:
Eq. (25)
Exemplo 27
Um título de valor nominal igual a R$ 50.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu ven-
cimento, à taxa de 5% ao mês. Determine o valor do descontado e o valor líquido do título, 
considerando a metodologia de desconto comercial simples.
Solução: Temos as seguintes informações: VN = 50.000,00, i = 5% e n = 4 meses. Para o 
cálculo do DCS, usaremos a equação (25) e, assim, obteremos:
Já para o cálculo do VL, usaremos a equação (20). Assim,
O desconto racional composto, DRC, é a modalidade de desconto aplicado sobre o valor 
líquido do título, VL, utilizando-se para o cálculo uma taxa efetiva no sistema de capitalização 
composto. O cálculo deste desconto funciona analogamente ao cálculo de juros no sistema de 
capitalização composto. Dessa forma,
Eq. (26)
 Combinando as equações (20) e (26), obtemos:
Eq. (27)
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Exemplo 28
Um título de valor nominal igual a R$ 50.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu ven-
cimento, à taxa de 5% ao mês. Determine o valor do descontado e o valor líquido do título, 
considerando a metodologia de desconto racional composto.
Solução: Temos as seguintes informações: VN = 50.000,00, i = 5% e n = 4 meses. Para o 
cálculo do VL, usaremos a equação (27) e, assim, obteremos:
Já para o cálculo do VL, usaremos a equação (20). Assim,
O desconto comercial composto, DCC, é a modalidade de desconto aplicado 
sucessivamente sobre o valor nominal do título, VN, utilizando-se para o cálculo uma taxa efetiva 
no sistema de capitalização composto. Nessa modalidade de desconto, a taxa de juros composta 
De acordo com o exposto, o DCC apresenta os seguintes resultados para a imediata sucessão de 
períodos, como mostrado na Tabela 3
Tabela 3 – Planilha de monitoramento de desconto comercial composto. Fonte: O autor.
Assim, escrevemos a equação (28):
Eq. (28)
 
Agora, combinando as equações (20) e (28), escrevemos:
Eq. (29)
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Exemplo 29
Um título de valor nominal igual a R$ 50.000,00 foi descontado 4 meses antes do seu ven-
cimento, à taxa de 5% ao mês. Determine o valor do descontado e o valor líquido do título, 
considerando a metodologia de desconto comercial composto.
Solução: Temos as seguintes informações: VN = 50.000,00, i = 5% e n = 4 meses. Para o 
cálculo do DCC, usaremos a equação (29) e, assim, obteremos:
Já para o cálculo do VL, usaremos a equação (20). Assim,
A Tabela 4 apresenta os resultados de valor descontado e valor líquido para os exemplos 
referentes às operações de desconto.
Metodologia dedesconto Valor descontado Valor líquido
Desconto racional simples (DRS) 8.333,33 41.666,67
Desconto comercial simples (DCS) 10.000,00 40.000,00
Desconto racional composto (DRC) 8.864,88 41.135,22
Desconto comercial composto (DCC) 9.274,69 40.725,31
Tabela 4 - Planilha de monitoramento de descontos. Fonte: O autor.
A análise da Tabela 4 permite afirmar que, do ponto de vista de quem liberará o recurso 
financeiro, a modalidade de desconto comercial simples é a mais vantajosa, pois o valor descontado 
é maior e, consequentemente, o valor pago é menor. Por outro lado, sob a ótica de quem receberá 
o recurso financeiro, a modalidade de desconto racional simples é a preferida, porque o valor 
descontado é menor e, consequentemente, o valor recebido é maior.
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Você, certamente, já se deparou com estas siglas: CDB, CDI, 
SELIC, LCI, LCA, LC, FGC, COE. Aprenda, de uma vez por todas, 
o que significam as siglas mais comuns que encontramos 
no mundo dos investimentos no vídeo Siglas Financeiras, de 
Bruno Perini. O vídeo está disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=YFtVqRts-Ic .
O conhecimento acerca de finanças é de grande valia no mundo contemporâneo. O 
artigo Matemática financeira: alguns elementos históricos e contemporâneos, dos 
autores Neiva Ignês Grando e Ido José Schneider, aborda elementos históricos, 
a fim de que se possa compreender a origem da matemática financeira. Além 
disso, faz-se uma discussão sobre alguns conceitos da matemática financeira, 
correlacionando-os à atualidade. O artigo está disponível em: 
https://bit.ly/2TrQSXX
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Estimado(a) aluno(a), esta Unidade teve como objetivo explorar a origem e os fundamentos 
da engenharia econômica. Estudamos sobre os sistemas de capitalização simples e composto, 
além de termos aprendido as diferenças entre esses sistemas de capitalização. Estudamos e 
aplicamos as operações de transformações de taxas de juros no sistema de capitalização composto 
e discutimos as aplicações das operações de descontos. Todo o conteúdo estudado nesta Unidade 
será aplicado nos capítulos seguintes, em particular, o sistema de capitalização composto.
Assim, finalizamos a Unidade I. Agora, você deve testar o conhecimento adquirido por 
meio da resolução de alguns exercícios referentes a esta Unidade. Bons estudos e até à Unidade II.
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................33
1. CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES DE PAGAMENTOS .................................................................................................34
2. SÉRIES UNIFORMES ..............................................................................................................................................35
2.1 SÉRIES UNIFORMES POSTECIPADAS .................................................................................................................35
2.2 SÉRIES UNIFORMES ANTECIPADAS .................................................................................................................42
2.3 SÉRIES UNIFORMES DIFERIDAS ........................................................................................................................46
2.4 SÉRIES UNIFORMES PERPÉTUAS ......................................................................................................................48
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................52
SÉRIES DE PAGAMENTOS
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
ENGENHARIA ECONÔMICA
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INTRODUÇÃO
Na Unidade I, estudaram-se situações em que o fluxo de caixa apresentava sempre dois 
pagamentos, o capital (PV) e o montante (FV). Agora, na Unidade II, estudar-se-ão situações 
em que há mais de um pagamento, isto é, operações em que há pagamentos e/ou recebimentos 
periódicos.
Nessas situações de pagamentos e/ou recebimentos periódicos, podem-se levar em 
consideração tanto o sistema de capitalização simples como o composto. No entanto, na Unidade 
II, far-se-á a abordagem dos pagamentos e/ou recebimentos levando-se em consideração, tão 
somente, o sistema de capitalização composto, por ser o mais empregado no mercado financeiro. 
Nesta unidade, estudar-se-ão as séries de pagamentos uniformes antecipadas e 
postecipadas, imediatas e diferidas, além das séries de pagamentos infinitos. Sejam bem-vindos 
à Unidade II e bons estudos!
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1. CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES DE PAGAMENTOS
Define-se uma série de pagamentos como a sucessão finita ou infinita de recebimentos, 
desembolsos ou prestações, dividida em um período de tempo. Por exemplo, empréstimos e 
financiamentos de diferentes tipos costumam envolver uma sequência de desembolsos periódicos 
de caixa. 
Essas séries de pagamentos são classificadas com relação:
(i)
ao tempo: 
(a) temporária - séries de pagamentos nas quais o número de pagamentos ou recebi-
mentos é limitado.
(b) Infinita - séries de pagamentos nas quais o número de pagamentos ou recebimen-
tos é infinito.
(ii)
ao valor dos pagamentos:
(a) uniformes - séries de pagamentos nas quais o valor dos pagamentos ou recebimen-
tos é igual.
(b) variáveis - séries de pagamentos nas quais o valor de pelo menos um dos paga-
mentos ou recebimentos não é igual aos demais.
(iii)
à periodicidade:
(a) periódicas - séries de pagamentos nas quais os intervalos de tempo de pagamento 
são iguais.
(b) não periódicas - séries de pagamentos nas quais os intervalos de tempo de paga-
mento ocorrem de forma variável.
(iv)
ao primeiro pagamento: 
(a) imediatas - o primeiro pagamento ocorre no início ou final do primeiro período. 
(b) diferidas - o primeiro pagamento não ocorre no início ou final do primeiro perío-
do.
(v)
ao momento do primeiro pagamento:
(a) antecipadas - são séries cujo primeiro pagamento ocorre no início do primeiro 
período.
(b) postecipadas - são séries cujo primeiro pagamento ocorre no final do primeiro 
período.
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2. SÉRIES UNIFORMES
Num primeiro momento, consideremos as séries de pagamentos ou recebimentos 
uniformes, ou seja, aquelas nos quais os valores dos pagamentos ou recebimentos são iguais. 
Podemos representar, graficamente, as séries uniformes como mostra a Figura 1.
(a) (b)
Figura 1 – Representação gráfica das séries uniformes. Fonte: O autor.
2.1 Séries Uniformes Postecipadas
As séries de pagamentos ou recebimentos postecipadas são aquelas em que os pagamentos 
ou recebimentos são efetuados ao final de cada intervalo de tempo, referentes à taxa de juros 
considerada. 
Consideremos, para demonstração das equações, uma série de recebimentos tal como 
apresentado na Figura 1 (a). Nessa situação, temos as seguintes hipóteses:
 (i) os valores dos pagamentos, PMT, são iguais e ocorrem em períodos iguais;
(ii) o número de pagamentos, n, é finito;
(iii) o primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período;
(iv) o sistema de capitalização composto será considerado.
O cálculo do valor presente em uma série de pagamentos, como anteriormente 
considerada, consiste em trazer cada um dos valores de PMT para o tempo focal zero e, em 
seguida somá-los, como segue:
Eq. (1)
 
Simplificando a equação (1), temos:
Eq. (2)
 
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Note que a expressão entre colchetes ao lado direitoda equação (2) é uma progressão 
geométrica cujo primeiro termo é , a razão é e o número de termos é n. Substituindo-
se essas informações na equação para soma de uma progressão geométrica e realizando-se 
manipulações algébricas, obtemos:
Eq. (3)
Exemplo 1
Um investimento apresenta horizonte temporal de 3 anos e com entradas postecipadas 
anuais no valor de R$ 2.000,00 a cada ano. Considerando a taxa interna de retorno do in-
vestimento de 10% ao ano, a juros compostos, determine o valor do desembolso efetuado 
na data zero, em reais.
Solução: Trata-se de uma série postecipada e temos as seguintes informações: n = 3 anos, 
PMT = R$ 2.000,00 e i = 10% ao ano. Desejamos determinar o valor presente, ou seja, o 
valor do desembolso inicial. Para tal, empregaremos a equação (3). Assim,
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Exemplo 2
(CESPE-UnB) Uma pessoa comprou um veículo pagando uma entrada, no ato da com-
pra, de R$ 3.500,00, e mais 24 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 750,00. A 
primeira prestação foi paga um mês após a compra e o vendedor cobrou 2,5% de juros 
compostos ao mês. É correto afirmar que o preço à vista, em reais, do veículo foi
(A) inferior a 16.800.
(B) superior a 16.800 e inferior a 17.300.
(C) superior a 17.300 e inferior a 17.800.
(D) superior a 17.800 e inferior a 18.300.
(E) superior a 18.300.
Solução: Nessa situação, temos uma entrada inicial de R$ 3.500,00, seguida de 24 paga-
mentos postecipados de R$ 750,00 cada. A taxa de juro considerada é igual a 2,5% a.m. 
Usando a equação (3), determinaremos o valor presente desta série de pagamentos e, em 
seguida, adicionamos o valor da entrada. Assim, 
Logo, o valor à vista do automóvel é . Portanto, al-
ternativa (B).
Manipulando-se algebricamente a equação (3), temos as seguintes equações, 
respectivamente, para o cálculo do valor do pagamento e para o número de pagamentos em uma 
série uniforme de pagamentos postecipados:
Eq. (4)
Eq. (5)
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Exemplo 3
Um empréstimo no valor de R$ 15.150,00 deverá ser pago por meio de duas prestações 
mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira após um mês da data da concessão do 
empréstimo. A taxa de juros compostos referente a este empréstimo é de 2% ao mês. Com 
base nessas informações, determine o valor de cada pagamento.
Solução: Trata-se de uma série postecipada e temos as seguintes informações: PV = R$ 
15.150,00, n = 2 anos, i = 2% a.m. Desejamos determinar o valor das prestações. Para tal, 
empregaremos a equação (4). Assim,
Em algumas situações, estaremos interessados em calcular o valor futuro, ou seja, o valor 
montante da série de n pagamentos uniformes. Lembrando que , substituindo na 
equação (3), obtemos:
Eq. (6)
“Juros compostos são a 8º maravilha do mundo. Quem entende ganha. Quem não 
entende paga” (EINSTEIN, A.). 
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Exemplo 4
(CESGRANRIO) O montante, imediatamente após o último depósito de uma série de 3 
depósitos mensais de R$600,00, a juros de 4% ao mês, em reais, é igual a
(A) 1.884,28. 
(B) 1.872,96. 
(C) 1.872,00.
(D) 1.856,00. 
(E) 1.844,16.
Solução: Trata-se de uma série postecipada, e temos as seguintes informações: n = 3 me-
ses, i = 4% a.m e PMT = R$ 600,00. Desejamos determinar o valor montante. Para tal, 
empregaremos a equação (6). Assim,
Portanto, alternativa (B).
Manipulando algebricamente a equação (6), escrevemos:
Eq. (7)
Eq. (8)
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Exemplo 5
Uma pessoa aplica, ao final de cada mês, R$ 200,00 em um banco que remunera as apli-
cações em 5% ao mês. Quantos meses a pessoa deve aplicar esse valor para alcançar um 
montante de R$ 7.701,04?
(A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23 (E) 24 
Solução: Trata-se de uma série postecipada e temos as seguintes informações: PMT = R$ 
200,00, i = 0,5% a.m., FV = 7.701,04. Desejamos determinar o número de pagamentos. 
Para tal, empregaremos a equação (8). Assim,
Logo, serão necessários 22 meses. Portanto, alternativa (C).
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Exemplo 6
(CESPE - UnB) Um servidor se aposentará daqui a 200 meses e pretende aplicar, durante 
esse período, uma mesma quantia mensal em uma instituição financeira que paga juros 
compostos mensais de 0,8%. Ele pretende obter, ao final desses 200 meses, um montante 
que lhe permita fazer retiradas mensais de R$ 784,00 durante os 25 anos seguintes à sua 
aposentadoria. Nessa situação, considerando 4,92 e 0,09 como valores aproximados para 
1,008200 e 1,008-300, respectivamente, a quantia a ser aplicada mensalmente pelo servidor 
durante os 200 meses deverá ser igual a
(A) R$ 212,00.
(B) R$ 202,00.
(C) R$ 192,00.
(D) R$ 182,00.
(E) R$ 172,00.
Solução: Nessa situação, temos que o valor presente dos 300 recebimentos, no valor de R$ 
784,00, taxa de juro considerada é igual a 0,8% a.m. é dado por:
O valor presente de R$ 89.180,00 corresponde ao valor futuro de uma série de 200 paga-
mentos mensais, à taxa de 0,8%. Assim, 
Portanto, alternativa (D).
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2.2 Séries Uniformes Antecipadas 
As séries de pagamentos ou recebimentos antecipadas são aquelas cujos pagamentos ou 
recebimentos são efetuados no início de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa de juros 
considerada. Comparando-se os diagramas de séries uniformes postecipadas com o de séries 
antecipadas, percebe-se que o diagrama das séries antecipadas (Figura 1 (b)) possui igual número 
de termos de pagamento. Assim, diz-se que a série antecipada é uma série de pagamentos com 
uma entrada somada a pagamentos postecipados.
Vamos considerar, para demonstração das equações, uma série de recebimentos, como 
apresentado na Figura 1 (b). Nessa situação, temos as seguintes hipóteses:
 (i) os valores dos pagamentos, PMT, são iguais e ocorrem em períodos iguais;
(ii) o número de pagamentos, n, é finito;
(iii) o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período;
(iv) o sistema de capitalização composto será considerado.
O cálculo do valor presente de uma série de pagamentos, tal como considerada, consiste 
em trazer cada um dos valores de PMT para o tempo focal zero e, em seguida, somá-los, como 
segue:
Eq. (9)
Simplificando a equação (9), temos:
Eq. (10)
 
Note que a expressão entre colchetes ao lado direito da equação (10) é uma progressão 
geométrica cujo primeiro termo é , a razão é e o número de termos é n. Substituindo-
se essas informações na equação para a soma de uma progressão geométrica, e realizando-se 
manipulações algébricas, obtemos:
Eq. (11)
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica onde cada termo 
é igual ao produto de seu antecessor por uma constante, chamada razão da PG. 
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Exemplo 7
Uma TV foi vendida em 10 prestações mensais de R$ 100,00 cada, dando-se o primeiro 
pagamento no ato da compra. Sendo a taxa de juros para financiamento de 10% ao mês, 
pode-se afirmar que o preço para pagamento à vista é:
(A) maior do que R$ 1.100,00. 
(B) R$ 1.100,00.
(C) entre R$ 1.000,01 e R$ 1.999,99. 
(D) R$ 1.000,00.
(E) menor do que R$ 1.000,00.
Solução: Trata-se de uma série antecipada, e temos as seguintes informações: PMT = R$ 
100,00, i = 10% a.m. e n = 10. Desejamos determinar o valor à vista. Para tal, empregare-
mos a equação (11). Assim,
Portanto, alternativa (E).
Manipulando algebricamente a equação (11), escrevemos as equações seguintes:
Eq. (12)
Eq. (13)
Em algumas situações, estaremos interessados em calcular o valor futuro, ou seja, o valor 
montante da série de n pagamentos uniformes. Lembrando que , substituindona 
equação (11), obtemos:
Eq. (14)
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Manipulando algebricamente a equação (14), escrevemos:
Eq. (15)
Eq. (16)
Exemplo 8
Um aparelho celular custa R$ 1.344,00 à vista. O mesmo aparelho pode ser comprado a 
prazo, com juros de 10% ao mês, em dois pagamentos mensais iguais: um, no ato da com-
pra, e outro, um mês após a compra. Determine o valor de cada um dos pagamentos, em 
reais.
Solução: Trata-se de uma série antecipada, e temos as seguintes informações: PV = R$ 
1.344,00, i = 10% a.m. e n = 2. Desejamos determinar o valor de cada prestação. Para tal, 
empregaremos a equação (12). Assim,
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Exemplo 9
Uma instituição financeira negociou um empréstimo de R$ 30.785,18 a ser pago em pres-
tações mensais e sucessivas, sendo a primeira prestação paga no ato da tomada do em-
préstimo. O valor de cada prestação é igual a R$ 1.500,00. O regime é o de capitalização 
composta, com taxa de juros de 2% ao mês. Determine o número de prestações desse 
empréstimo.
Solução:
Trata-se de uma série antecipada e temos as seguintes informações: PV = R$ 30.785,18, i 
= 2% a.m. e PMT = R$ 1.500,00. Desejamos determinar o número de prestações a serem 
pagas. Para tal, empregaremos a equação (13). Assim,
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Exemplo 10
(CESGRANRIO) Uma loja oferece duas opções de pagamento na compra de uma bicicle-
ta: R$ 200,00 à vista, ou a prazo, em duas prestações mensais iguais de R$ 120,00, sendo 
a primeira delas paga no ato da compra. Tomando-se a opção de pagamento à vista como 
referência, a taxa mensal de juros cobrada pela loja na venda a prazo é
(A) 20%. 
(B) 25%. 
(C) 40%. 
(D) 50%. 
(E) 60%.
Solução:
Trata-se de uma série antecipada e temos as seguintes informações: PV = R$ 200,00, PMT 
= R$ 120,00 e n = 2 meses. Desejamos determinar a taxa de juro dessa venda. Para tal, 
empregaremos a equação (11). Assim,
ou seja,
ou seja,
Daí,
o que resulta em ou . Como não nos interessa, concluímos que 
ou 50%. Portanto, alternativa (D).
2.3 Séries Uniformes Diferidas
As séries diferidas são aquelas em que o primeiro pagamento ou recebimento só é 
efetuado depois de decorrido período de tempo a que se referir a taxa de juro considerada, ou 
seja, o primeiro pagamento é subsequente ao primeiro período. Esse tempo em que não ocorre 
pagamento é denominado carência e será representado pela letra k. 
As séries uniformes diferidas são, quase que exclusivamente, praticadas em operações de 
amortização, embora sejam também empregadas, ainda que muito raramente, em operações de 
capitalização nos mesmos casos previstos para as séries imediatas. A representação gráfica dessa 
modalidade de série de pagamento ou recebimentos é ilustrada pela Figura 2.
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Figura 2 - Representação gráfica de série uniforme com período de carência. Fonte: O autor.
 
A equação (14) permite o cálculo do valor presente PV de uma série de pagamentos com 
período de carência k.
Eq. (14)
Exemplo 11
(CESPE-UnB) Observe o seguinte anúncio, feito por uma loja:
Compre tudo em 36 parcelas iguais e mensais e comece a pagar somente em abril de 2007.
Considere que um cliente comprou uma geladeira nessa loja, no dia 31/12/2006, em 36 
prestações de R$ 120,00, com o primeiro pagamento para 1º/4/2007. Se a taxa de juros re-
gularmente praticada pela loja é de 5% ao mês e assumindo-se que , o valor 
atual da geladeira na data da compra era igual a
(A) R$ 840,00. 
(B) R$ 1.400,00. 
(C) R$ 1.680,00. 
(D) R$ 4.320,00.
Solução: Segue do enunciado que PMT = R$ 120,00, n = 36 meses, k = 3 meses e i = 
5%a.m. Aplicando a Eq. (14), temos
Logo, o valor à vista da geladeira é R$ 1.680,00. Portanto, alternativa C.
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Exemplo 12
 
(CESGRANRIO) Um empréstimo no valor de R$ 50.000,00 será pago em dez prestações 
mensais iguais, vencendo a primeira delas 180 dias após a liberação dos recursos. Se a 
taxa de juros compostos do financiamento é de 5% a.m., o valor das prestações, em reais, 
é mais próximo de
(A) 8.677,00. 
(B) 8.264,00. 
(C) 6.475,00. 
(D) 6.166,00. 
(E) 4.613,00.
Solução: Segue do enunciado que PV = R$ 50.000,00, n = 10 meses, k = 6 meses e i = 5 % 
a.m. Aplicando a Eq. (14), temos
Logo, o valor mais próximo das prestações é R$ 8.677,00. Portanto, alternativa A.
2.4 Séries Uniformes Perpétuas
As séries uniformes perpétuas são aquelas em que o número de pagamentos ou 
recebimentos é infinito. Assim, como o número de pagamentos é infinito, não tem sentido o 
cálculo do montante, mas podemos calcular o valor presente. Para obtermos o valor presente de 
uma série perpétua, basta fazermos nas equações que fornecem o valor presente das séries 
uniformes.
Assim, fazendo na equação (3), escrevemos a seguinte equação:
Eq. (15)
 
O limite da equação (15) pode ser resolvido aplicando-se a regra de L´Hôpital, o que 
resulta em:
Eq. (16)
A equação (16) permite o cálculo do valor presente de uma série de pagamentos perpétua 
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postecipada. Por outro lado, fazendo na equação (11), escrevemos a seguinte equação:
Eq. (17)
O limite da equação (17) pode ser resolvido aplicando-se a regra de L´Hôpital e resulta 
em:
Eq. (18)
A equação (18) permite o cálculo do valor presente de uma série de pagamentos perpétua 
antecipada.
Exemplo 13
(CESGRANRIO) Considerando-se as taxas de 0,1% a.m. e 0,5% a.m., respectivamente, 
quanto deve Pedro aplicar hoje em um fundo de investimento para que obtenha uma ren-
da perpétua mensal de R$ 20.000,00, atualizados monetariamente, em reais, começando 
dentro de 1 mês?
Solução: De acordo com o enunciado, trata-se de uma série perpétua postecipada. Assim, 
o valor a ser aplicado em cada situação será:
(i) para taxa de 0,1% a.m.
(ii) para taxa de 0,5% a.m.
Portanto, alternativa (D).
Exemplo 14
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(FGV) Um indivíduo recebeu como herança um título perpétuo que paga R$ 2.000 por 
trimestre. Esse indivíduo quer vender o título. Sabendo que a taxa de juros semestral, ju-
ros compostos, é de 44%, o valor presente de venda desse título é
(A) R$ 2.880,00.
(B) R$ 4.545,45.
(C) R$ 10.000,00.
(D) R$ 16.547,85.
(E) R$ 50.000,00.
Solução: Segue do enunciado que PMT = R$ 2.000 por trimestre. A taxa de remuneração 
é de 44% a.s. Note que, primeiramente, temos que transformar a taxa efetiva semestral em 
taxa efetiva trimestral. Assim,
Daí,
Portanto, alternativa (C).
Caiu na lábia do gerente do banco e fez a previdência privada para garantir o 
futuro? Pode ser que você esteja garantindo apenas o futuro dele no banco! No 
vídeo 5 PEGADINHAS DA PREVIDÊNCIA PRIVADA! são apresentados os truques 
das instituições financeiras para te vender o tal plano. Vale a pena ficar esperto 
nessas situações! O vídeo está disponível em 
https://www.youtube.com/watch?v=JHzG5Ghm37Q .
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A previdência privada é uma aposentadoria que não está ligada ao sistema do 
Instituto Nacional do Seguro Social (INSS). Ela é complementar à previdência 
pública. O artigo Entenda o que é a Previdência Privada explica o que é e quais os 
tipos dessa modalidade de plano de previdência. O artigo está disponível em: 
https://economia.uol.com.br/guia-de-economia/guia-entenda-o-que-e-a-
previdencia-privada.htm .
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Estimado(a) aluno(a), esta Unidade teve como objetivo estudar e aplicar a teoriaacerca 
de séries de pagamentos. Começamos a unidade diferenciando e classificando as séries de 
pagamento. Em seguida, discutimos e aplicamos as séries de pagamentos uniformes postecipadas 
e antecipadas e suas interpretações em um fluxo de caixa finito ou infinito. O entendimento desses 
fluxos de caixa será de grande importância em Engenharia Econômica quando do momento das 
tomadas de decisão, pois toda a análise será realizada a partir do diagrama de fluxo de caixa. 
Assim, finalizamos a Unidade II. Agora, você deve testar o conhecimento adquirido por 
meio da resolução de alguns exercícios referentes a esta Unidade. Bons estudos e até à Unidade 
III.
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U N I D A D E
03
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................54
1. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS - SISTEMA PRICE ................................................................................55
2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE - SISTEMA SAC ............................................................................... 61
3. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO - SISTEMA SAM .......................................................................................69
4. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO - SISTEMA SAA .............................................................................. 72
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................... 74
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
ENGENHARIA ECONÔMICA
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INTRODUÇÃO
Intuitivamente, definimos sistema de amortização como um plano de pagamento de uma 
dívida. Esses planos podem assumir diferentes formas, porém, estão estruturados na unidade 
anterior, sobre séries de pagamentos ou anuidades.
Os sistemas de amortização foram desenvolvidos para operações de financiamentos 
e empréstimos de longo prazo. A característica fundamental dos sistemas de amortização 
apresentados aqui é a aplicação do sistema de capitalização composto, ou seja, a aplicação de 
juros compostos sobre o saldo devedor.
Esses sistemas de amortização de financiamentos e empréstimos dizem respeito à forma 
como o capital e os encargos financeiros serão restituídos ao credor do capital. Para o entendimento 
dos sistemas de amortização, é importante que sejam feitas algumas definições úteis:
• Saldo devedor - representa o valor do principal da dívida, em determinado momento, 
após a dedução do valor já pago pelo credor a título de amortização. 
• Juros ou encargos financeiros – representam os juros da operação, caracterizando-se 
como custo para o devedor e retorno para o credor. 
• Amortização – refere-se exclusivamente ao pagamento do capital emprestado (principal), 
o qual é efetuado, geralmente, através de parcelas periódicas.
• Prestação - é composta do valor da amortização somado aos juros (encargos financeiros) 
devidos em determinado período de tempo. 
Sejam bem-vindos à Unidade III e bons estudos!
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1. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS - SISTEMA 
PRICE
O sistema de amortização francês (Sistema PRICE) estabelece que as prestações sejam 
iguais, periódicas e sucessivas durante todo o prazo da amortização. Normalmente, este sistema 
é utilizado para financiamentos de carros, eletrodomésticos ou empréstimos bancários de curto 
prazo. 
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de 
amortização assumem valores crescentes. Em outras palavras: no Sistema francês, os juros 
decrescem enquanto as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas 
permanece sempre igual ao valor da prestação, ou seja,
Eq. (1)
 
O cálculo do valor das prestações é feito segundo uma série uniforme de pagamentos 
uniformes e postecipados, a partir da equação (2):
Eq. (2)
em que PV é o valor financiado, i a taxa de juros do financiamento e n é o número de 
pagamentos a serem efetuados.
 No cálculo dos diversos parâmetros que compõem o sistema, consideraremos 
a existência de um mercado de capitais perfeito, em que há somente uma taxa i tanto para os 
financiamentos como para os excedentes de poupança postos à disposição dos ofertantes de 
recursos. Desse modo, admitindo o fluxo de caixa a seguir para um valor financiado PV e as 
correspondentes n parcelas de pagamento PMT, para esse sistema, no tempo t tem-se:
Eq. (3)
Eq. (4)
Procedimento para montagem da tabela de financiamento:
Cálculo:
(i) Calcule o valor da prestação constante (como uma série uniforme).
(ii) Calcule o valor dos juros do período pela aplicação da taxa do contrato sobre os 
valores do saldo (remanescente do principal) no início do período.
(iii) Calcule o valor da amortização do principal pela diferença entre o valor da prestação 
e o valor dos juros do período.
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Exemplo 1
Uma pessoa contraiu um empréstimo de $20.000,00 para ser pago ao longo de cinco anos 
com prestações semestrais (sistema francês) à taxa de 18% ao semestre. Elabore a planil-
ha financeira.
Solução:
1º Cálculo do valor da prestação:
2º Montagem da planilha:
Veja, abaixo, na Figura 1, o comportamento gráfico da planilha de amortização, consider-
ando o sistema PRICE:
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Figura 1 – Comportamento gráfico dos valores da amortização, juros e prestação pelo PRICE. Fonte: O 
autor.
Observações:
(i) Os juros incidem sobre o saldo atual.
(ii) A amortização é a diferença entre a prestação e os juros.
(iii) O saldo atual consiste na diferença entre o saldo atual anterior e a amortização.
(iv) O saldo devedor consiste na soma do saldo atual mais os juros.
O conceito subjacente [...] é que o valor do dinheiro tem uma dimensão temporal, 
isto é, um dólar a ser recebido amanhã não possui o mesmo valor de um dólar 
recebido hoje” (JOHNSON, R.W.).
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Exemplo 2
(CESGRANRIO) Um empréstimo no valor de R$ 20.000,00 será pago em 8 prestações 
mensais calculadas pela Tabela Price, sendo a primeira prestação paga 30 dias após a libe-
ração do empréstimo. Se a taxa de juros é de 10% a.m., o valor da 2ª amortização mensal, 
em reais, é mais próximo de
(A) 3.748,00 (B) 2.000,00 (C) 1.923,00 (D) 1.825,00 (E) 1.748,00
Solução:
1º Cálculo do valor da prestação:
2º Montagem da planilha:
Assim, o valor referente à 2ª amortização é igual a R$ 1.923,77. Logo, alternativa (C).
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Exemplo 3
(CESPE - UnB) Um empréstimo de R$ 65.000,00 foi pago pelo sistema francês de amor-
tização (tabela Price) em 4 meses, com juros de 5% ao mês. Na tabela a seguir, em que 
apenas alguns valores estão explícitos e que corresponde à planilha de amortização do 
referido empréstimo, k representa o mês a partir do mês 0 correspondente à tomada do 
empréstimo; Pk é a prestação paga no mês k; Ak é o valor da amortização no mês k; Jk é o 
valor dos juros pagos no mês k; e Dk é a situação da dívida no mês k.
Acerca dessa situação, é correto afirmar que, no mês k = 2, a parcela amortizada foi
(A) inferior a R$ 15.300,00.
(B) superior a R$ 15.300,00 e inferior a R$ 15.400,00.
(C) superior a R$ 15.400,00 e inferior a R$ 15.500,00.
(D) superior a R$ 15.500,00 e inferior a R$ 15.600,00.
(E) superior a R$ 15.600,00.
Solução: Segue, do enunciado, que a taxa do financiamento é de 5% ao mês. Completando 
a tabela para k = 1 e k = 2, fazendo uso das equações (3) e (4), segue que
Logo,o valor amortizado na segunda parcela foi de R$ 15.697,50. Logo, superior a R$ 
16.500,00, ou seja, alternativa (E).
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Exemplo 4
(CESGRANRIO) Um imóvel foi financiado pelo Sistema Francês de Amortização (Tabela 
Price), em 150 prestações mensais, com taxa de juros, no regime de juros compostos, de 
4% ao mês. As prestações são consecutivas e iniciaram-se um mês após o recebimento 
do financiamento. A fração da dívida amortizada na metade do período, isto é, depois de 
paga a 75a prestação, é, aproximadamente, de
Dado:
(A) 5%. (B) 25%. (C) 50%. (D) 75%. (E) 95%.
Solução: Segue do enunciado que n = 150 meses, i = 4% a.m., e deseja-se descobrir a fra-
ção da dívida amortizada quando t = 75. O saldo devedor para qualquer período t num 
financiamento pelo sistema PRICE pode ser determinado por meio da equação (3):
Temos, ainda, que o valor das prestações pode ser determinado por meio da equação (2):
Substituindo a equação (2) na equação (3), segue que o saldo devedor em qualquer perío-
do t pode ser calculado por meio de:
Assim, substituindo-se os valores fornecidos, segue que:
Simplificando a expressão, temos:
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Foi dado que , o que resulta em e Substi-
tuindo na expressão, temos:
ou seja,
Assim, concluímos que o saldo devedor é 95% do valor inicial da dívida, o que significa 
que foram amortizados 5% do valor da dívida inicial. Portanto, alternativa (A).
2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE - SISTEMA 
SAC
O Sistema de Amortização Constante (SAC), como o próprio nome indica, tem como 
característica básica serem as amortizações do saldo devedor sempre iguais (ou constantes) em 
todo o prazo da operação. 
O valor da amortização é facilmente obtido mediante a divisão do capital emprestado 
pelo número de prestações, como apresentado na equação (5):
Eq. (5)
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento 
de cada amortização, assumem valores decrescentes no período. Em consequência do 
comportamento da amortização e dos juros, as prestações periódicas e sucessivas do SAC são 
decrescentes em progressão aritmética. 
Os juros são calculados para um período t por meio da equação:
Eq. (6)
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo, 
a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior a uma constante. Essa 
constante é chamada de razão da progressão aritmética.
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O valor da prestação no período t é dado por:
Eq. (7)
Procedimento para montagem da tabela de financiamento:
(i) Calcule o valor da amortização do principal, que tem valor constante em todas as 
prestações, por meio da divisão do principal pelo número de prestações.
(ii) Calcule o valor dos juros do período, pela aplicação da taxa do contrato sobre o valor 
do saldo (remanescente do principal) no início do período.
(iii) Calcule o valor da prestação pela soma da amortização do principal com os juros do 
período. 
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Exemplo 6
Uma pessoa contraiu um empréstimo de $20.000,00 para ser pago ao longo de cinco anos 
com prestações semestrais (sistema SAC) à taxa de 18% ao semestre. Monte a planilha 
financeira.
Solução:
1º Cálculo do valor da amortização:
2º Montagem da planilha:
 
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 Veja, abaixo, na Figura 2, o comportamento gráfico da planilha de amortização, conside-
rando o sistema SAC:
Figura 2 – Comportamento gráfico dos valores da amortização, juros e prestação pelo SAC. Fonte: O autor.
Observações:
(i) Os juros são obtidos sobre o saldo devedor anterior ao período de apuração do 
resultado.
(ii) A prestação é a soma da amortização com os juros calculados no período.
(iii) O saldo devedor é a soma dos juros com o saldo anterior.
(iv) O saldo atual é a diferença entre o saldo devedor e a prestação.
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Exemplo 7
(FCC) Uma dívida referente à aquisição de um imóvel deverá ser quitada por meio de 25 
prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data em que foi 
contraída a dívida. Sabe-se que foi adotado o sistema de amortização constante (SAC) a 
uma taxa de 2% ao mês e o valor da 20a prestação foi igual a R$ 5.376,00. O valor da dívida, 
no início, é igual a
(A) R$ 160.000. 
(B) R$ 150.000. 
(C) R$ 140.000. 
(D) R$ 120.000. 
(E) R$ 100.000.
Solução: Aplicando a equação (7.6), segue que
Assim,
Logo, o valor à vista do imóvel foi de R$ 120.000,00. Portanto, alternativa (D).
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Exemplo 8
(FCC) Fábio Silva efetuou um empréstimo no valor de R$ 240.000,00 junto a um banco 
comercial para financiar a aquisição de sua casa própria, o qual deverá ser amortizado 
em 75 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira 1(um) mês após a data da 
realização do empréstimo, à taxa de 2% ao mês. Sabendo-se que foi utilizado o Sistema de 
Amortizações Constantes (SAC), o valor da quadragésima primeira prestação (em R$) É
(A) 4.800,00.
(B) 5.440,00.
(C) 5.760,00.
(D) 6.080,00.
(E) 6.200,00.
Solução: Segue do enunciado que PV = 240.000,00, n = 75 meses e i = 2% a.m. O valor da 
41º prestação será calculado usando a equação (7.7), com t = 41. Assim,
Portanto, alternativa (B).
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Exemplo 9
(CESPE - UnB) Um empréstimo de R$ 54.000,00 foi pago pelo sistema de amortização 
constante (SAC) em 6 meses, com juros de 12% ao mês. Na tabela a seguir, em que apenas 
alguns valores estão explícitos e que corresponde à planilha de amortização do referido 
empréstimo, k representa o mês a partir do mês 0 correspondente à tomada do emprésti-
mo; Pk é a prestação paga no mês k; Ak é o valor da amortização no mês k; Jk é o valor dos 
juros pagos no mês k; e Dk é a situação da dívida no mês k.
Com relação a essa situação, é correto afirmar que o total das prestações pagas e o total dos 
juros pagos foram iguais, respectivamente, a
(A) R$ 74.680,00 e R$ 20.680,00.
(B) R$ 75.680,00 e R$ 21.680,00.
(C) R$ 76.680,00 e R$ 22.680,00.
(D) R$ 77.680,00 e R$ 23.680,00.
(E) R$ 78.680,00 e R$ 24.680,00.
Solução: Segue do enunciado que PV = 54.000, n = 6 meses, i = 12% a.a. O valor das 
amortizações será de R$ 9.000 por mês. Calculando o valor dos juros devidos e o valor das 
prestações utilizando-se das equações (7.6) e (7.7), temos:
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Logo, os valores das prestações somam R$ 76.680,00, e os juros somam R$ 22.680,00. 
Portanto, alternativa (C).
Exemplo 10
(CESGRANRIO) Considere um financiamento de R$ 100.000,00, sem entrada, a ser 
pago em 100 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Saben-
do-se que a taxa de juros, no regime de juros compostos, é de 1% ao mês, a prestação 
inicial, se o prazo de pagamento for duplicado, será reduzida em
(A) 100%. (B) 50%. (C) 25%. (D) 10%. (E) 5%.
Solução: Para a primeira situação descrita, temos: PV = 100.000,00, i = 1% a.m. e n = 100 
meses. Assim, o valor da primeira prestação será, de acordo com a equação (8.1), calcu-
lada como:
Daí,
Duplicando o prazo, o valor da prestação será:
Assim, em relação ao valor original, temos uma redução de 25%. Portanto, alternativa 
(C).
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3. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO - SISTEMA SAM
O Sistema de Amortização Misto (SAM), segundo a própria denominação sugere, é um 
processo