Prova de Cálculo II - Integrais de Linha e Teorema de Green

Prévia do material em texto

Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e da Natureza
Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza
Matemática
Professor: Cleilton Disciplina: MAT0095 - CÁLCULO II
Nome: Data: 19/12/2022
Prova 3
Exerćıcio 1. (3,0 Pontos) Calcule as seguintes integrais de linha:
(a)
∫
C
xyz ds, onde C é dada pela parametrização r(t) = (2 sen t) i + t j + (−2 cos t) k, para
0 ≤ t ≤ π;
(b)
∫
C
F ·dr, onde F(x, y, z) = senx i+cos y j+xz k e r(t) = t3 i− t2 j+ t k, com 0 ≤ t ≤ 1.
Exerćıcio 2. (2,0 Pontos) Considere o campo de vetores F(x, y) = xy2 i + x2y j.
(a) Determine f tal que ∇f = F;
(b) Calcule
∫
C
F · dr onde C é o arco da parábola y = 2x2 que liga (−1, 2) até (2, 8).
Exerćıcio 3. (1,5 Pontos) Utilize o Teorema de Green para calcular
∮
C
F ·dr, onde F(x, y) =
(y−cos y) i+(x sen y) j e C é o ćırculo (x−3)2 +(y+4)2 = 4 orientado no sentido anti-horário.
Exerćıcio 4. (1,5 Pontos) Utilize a integral de linha para calcular a área da região abaixo
de um arco da cicloide x = t− sen t e y = 1− cos t.
Exerćıcio 5. (2,0 Pontos) Considere o campo de vetores F(x, y) =
−y i + x j
x2 + y2
.
(a) Calcule
∫
C
F · dr, onde C é a circunferência de raio a orientada no sentido anti-horário;
(b) Mostre que
∫
C
F · dr = 2π para toda curva fechada simples orientada no sentido anti-
horário que contorna a origem.
1