N3 1Simulado4 Chines

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\title{\sf {\Huge Simulado POTI -- Teoria dos Números -- Nível III\\ {Divisibilidade} }}
\date{}
\hyphenation{pro-ble-ma}
\begin{document}
\maketitle
\newtheorem{prop}{\sf Proposição}
\newtheorem{prob}[prop]{\sf Problema}
\section*{\sf Problemas}
\begin{prob} (3 pontos) 
Quantas soluções tem o sistema de congruências lineares
 \begin{align*}
 x&\equiv \phantom-3 \pmod 8\cr
 x&\equiv \phantom-11 \pmod{12}\cr
 x&\equiv \phantom-7 \pmod{20}
 \end{align*}
	com $0\le x\le 1000$ ?
	
(a) $1$\qquad (b) $2$\qquad (c) $4$\qquad (d) $8$\qquad (e) $15$
\end{prob}
\begin{prob} (3 pontos) 
 Resolva o sistema de congruências lineares
 \begin{align*}
 x&\equiv \phantom-2 \pmod 7\cr
 x&\equiv \phantom-0 \pmod{12}\cr
 x&\equiv \phantom-1 \pmod{17}
 \end{align*}
\end{prob}
\begin{prob} (4 pontos) 
 Prove que, para quaisquer $k$ e $n$ números naturais, é possível
 encontrar $k$ números consecutivos, cada um dos quais tem ao menos
 $n$ divisores primos diferentes.
\end{prob}
\end{document}