3. Encontre todos os inteiros positivos tais que: (a) (n + 1)|(n3 − 1); (b) (2n− 1)|(n3 + 1); (c) (2n3 + 5)|(n4 + n + 1). (a) Encontrar todos os in...

(a) Para que (n + 1) divida (n³ - 1), é necessário que exista um número inteiro k tal que n³ - 1 = k(n + 1). Podemos reescrever a equação como n³ - k(n + 1) = 1. Usando a identidade algébrica (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, podemos reescrever a equação como (n - 1)(n² + nk + k) = 0. Portanto, n = 1 é uma solução e as outras soluções são dadas por n² + nk + k = 0. Como n é um inteiro positivo, n² + nk + k > 0. Portanto, a única solução é n = 1. (b) Para que (2n - 1) divida (n³ + 1), é necessário que exista um número inteiro k tal que n³ + 1 = k(2n - 1). Podemos reescrever a equação como n³ - 2nk + k + 1 = 0. Usando a identidade algébrica (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³, podemos reescrever a equação como (n + 1)(n² - 2n + 2k - 1) = 0. Portanto, n = -1 não é uma solução e as outras soluções são dadas por n² - 2n + 2k - 1 = 0. Como n é um inteiro positivo, n² - 2n + 2k - 1 > 0. Portanto, a única solução é n = 1. (c) Para que (2n³ + 5) divida (n⁴ + n + 1), é necessário que exista um número inteiro k tal que n⁴ + n + 1 = k(2n³ + 5). Podemos reescrever a equação como n⁴ - 2n³k + 5k + n + 1 = 0. Usando a identidade algébrica (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴, podemos reescrever a equação como (n² - n + 1)(n² + n + 1) - 2n³k + 5k = 0. Portanto, n² - n + 1 divide 2n³k - 5k. Como n² - n + 1 é ímpar, 2n³k - 5k é ímpar e k é ímpar. Podemos escrever k = 2m + 1, onde m é um número inteiro. Substituindo k em n⁴ - 2n³k + 5k + n + 1 = 0, obtemos n⁴ - 4mn³ + 10m + n + 1 = 0. Usando a identidade algébrica (a - b)⁴ = a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴, podemos reescrever a equação como (n² - 2mn - n + 1)(n² + 2mn + n + 1) = 4m² - 3. Portanto, 4m² - 3 é um quadrado perfeito. Mas isso é impossível, pois não existem dois quadrados perfeitos consecutivos. Portanto, não existem soluções inteiras positivas para (2n³ + 5) dividir (n⁴ + n + 1).