N3 1Simulado4 Chines

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Simulado POTI – Teoria dos Números – Ńıvel III
Divisibilidade
Problemas
Problema 1. (3 pontos) Quantas soluções tem o sistema de con-
gruências lineares
x ≡ 3 (mod 8)
x ≡ 11 (mod 12)
x ≡ 7 (mod 20)
com 0 ≤ x ≤ 1000 ?
(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 8 (e) 15
Problema 2. (3 pontos)
Resolva o sistema de congruências lineares
x ≡ 2 (mod 7)
x ≡ 0 (mod 12)
x ≡ 1 (mod 17)
Problema 3. (4 pontos)
Prove que, para quaisquer k e n números naturais, é posśıvel
encontrar k números consecutivos, cada um dos quais tem ao
menos n divisores primos diferentes.
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