2014-nicolai-rodrigo

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UFRJ
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Abordagem Bayesiana para Dados de Painel
Nicolai Reis Castro e Rodrigo Queiroz de Souza Barros
2014
UFRJ
Abordagem Bayesiana para Dados de Painel
Nicolai Reis Castro e Rodrigo Queiroz de Souza Barros
Projeto Final submetido ao Programa de Graduação em
Estat́ıstica do Instituto de Matemática da Universidade
Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos ne-
cessários para obtenção do grau de Bacharel em Ciências
Estat́ısticas.
Orientador: Ralph dos Santos Silva
Rio de Janeiro, 8 dezembro de 2014.
Abordagem Bayesiana para Dados de Painel
Nicolai Reis Castro e Rodrigo Queiroz de Souza Barros
Orientador: Ralph dos Santos Silva
Projeto Final de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Métodos Es-
tat́ısticos do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte
dos requisitos necessários para obtenção do t́ıtulo de Bacharel em Estat́ıstica.
Prof. Ralph dos Santos Silva
IM-UFRJ
Prof.a Alexandra Mello Schmidt
IM-UFRJ
Prof.a Tháıs Cristina Oliveira da Fonseca
IM-UFRJ
Rio de Janeiro, 8 de dezembro de 2014.
Castro, Nicolai Reis; Queiroz, Rodrigo de Souza Barros
Abordagem Bayesiana para Dados de Painel/ Nicolai Reis Castro e
Rodrigo Queiroz- Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2014.
iv, 42f.: il.; 31cm.
Orientador: Ralph dos Santos Silva
Projeto Final (Monografia) - UFRJ/IM/ Programa de Graduação em
Estat́ıstica, 2014.
Referências Bibliográficas: f.33.
1. Abordagem Bayesiana. 2. Dados de Painel. I. Silva, Ralph dos
Santos. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Ma-
temática. III. T́ıtulo.
RESUMO
Abordagem Bayesiana para Dados de Painel
Nicolai Reis Castro e Rodrigo Queiroz de Souza Barros
Orientador: Ralph dos Santos Silva
Resumo do Projeto Final submetido ao Programa de Graduação em Estat́ıstica do Ins-
tituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos
necessários para obtenção do grau de Bacharel em Estat́ıstica.
Neste trabalho abordamos dois conjuntos de dados - casos de óbitos pela Śındrome da Imuno-
Deficiência Adquirida (SIDA) por Unidade Federativa e casos de mortalidade infantil também por Uni-
dade Federativa. Utilizamos Estat́ısticas Descritivas para compreender a dinâmica inicial dos dados e
também para verificar a presença de posśıveis pontos discrepantes e a significância de autocorrelações
dos dados. Seguimos com a estimação de modelos de regressão por ḿınimos quadrados para entender
como a incidência de SIDA poderia impactar no número de óbitos. Fazemos um estudo semelhante para
os dados de mortalidade infantil. Entretanto, estes modelos não se mostram adequados. Dáı, propomos
vários modelos para dados de painel, fazemos ajuste pelo enfoque bayesiano e escolhemos o melhor
modelo (ajuste) via o critério de informação do desvio. Finalmente, dado o melhor ajuste, fazemos
previsões para poucos anos à frente.
Palavras-chave: Monte Carlo via cadeias de Markov, mortalidade infantil, seleção de modelos,
Śındrome da Imuno-Deficiência Adquirida.
ABSTRACT
Bayesian Approach to Panel Data
Nicolai Reis Castro e Rodrigo Queiroz
Advisor: Ralph dos Santos Silva
Abstract do Projeto Final submetido ao Programa de Graduação em Estat́ıstica do Ins-
tituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos
necessários para obtenção do grau de Bacharel em Estat́ıstica.
In this work we study two data sets - cases of death by Acquired Immunodeficiency Syndrome (AIDS)
by states of Brazil and cases of infant mortality by states of Brazil as well. We start with descriptive
statistic analysis for understanding the basics of the data set as well as for identifying outliers and sig-
nificant autocorrelations. Further we estimate regression model by ordinary least square to study how
the incidence of AIDS can impact on the amount of death. We proceed with the same scheme for the
infant mortality data. However, these models were not suited for these data sets. Thus, we propose
several panel data models, estimate these models by the Bayesian approach and choose de best fit model
by means of the deviance information criterion. Finally, we use the best model fit to forecast one- or
two-years ahead.
Key-words: Acquired immunodeficiency syndrome, infant mortality, model selection, Markov chain
Monte Carlo.
Para
Paulo Castro e Martha Ramos Reis
e
José Paulo de Souza Barros e Izabel Oliveira de Queiroz
AGRADECIMENTOS
Em especial a nossos pais.
Ao nosso orientador Ralph dos Santos Silva;
e
A todos os professores do DME/IM/UFRJ;
SUMÁRIO
Lista de Tabelas iii
Lista de Figuras iv
Caṕıtulo 1: Introdução 1
1.1 Séries de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Caṕıtulo 2: Metodologia 3
2.1 Inferência Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Inferência Bayesiana Usando Monte Carlo via Cadeias de Markov . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.1 Amostrador de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.2 Critério de Convergência - BGR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.3 Critério de Informação de Desvio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.4 OpenBUGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Método dos Mı́nimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Séries Temporais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.1 Estacionariedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.2 Autocovariância e Autocorrelação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.3 Modelo Autoregressivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.4 Modelos de Defasagens Distribúıdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.5 Análise de Intervenção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.6 Teste Independência dos Reśıduos: Ljung-Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Caṕıtulo 3: Aplicação 12
3.1 Óbitos por Śındrome da Imuno-Deficiência Adquirida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Mortalidade Infantil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Caṕıtulo 4: Considerações Finais 27
4.1 Óbitos por Śındrome da Imuno-Deficiência Adquirida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Mortalidade Infantil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Referências Bibliográficas 33
i
Apêndice A: Ordenação das Unidades da Federação 34
Apêndice B: Distribuição a Posteriori: Modelo para os Dados de SIDA 35
Apêndice C: Distribuição a Posteriori: Modelo para os Dados de TMI 38
ii
LISTA DE TABELAS
3.1 DIC: dados de SIDA - Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 DIC: dados de SIDA - Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 DIC: dados de SIDA - Parte III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 DIC: dados de SIDA - Parte IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 DIC: dados de SIDA - Parte V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6 Sumário da distribuição a posteriori: Modelo M16 - SIDA - Parte I . . . . . . . . . . . . 19
3.7 DIC: dados de TMI - Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.8 DIC: dados de TMI - Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.9 Sumário da distribuição a posteriori: Modelo M6 - TMI - Parte I . . . . . . . . . . . . 26
A.1 Ordenação dos ı́ndices dos coeficientes em relação aos estados. . . . . . . . . . . . . . . 34
B.1 Sumário da distribuição a posteriori:Modelo M16 - SIDA - Parte II . . . . . . . . . . . 35
B.2 Sumário da distribuição a posteriori: Modelo M16 - SIDA - Parte III . . . . . . . . . . . 36
B.3 Sumário da distribuição a posteriori: Modelo M16 - SIDA - Parte IV . . . . . . . . . . . 37
C.1 Sumário da distribuição a posteriori: Modelo M6 - TMI - Parte II . . . . . . . . . . . . 38
C.2 Sumário da distribuição a posteriori: Modelo M6 - TMI - Parte III . . . . . . . . . . . . 39
C.3 Sumário da distribuição a posteriori: Modelo M6 - TMI - Parte IV . . . . . . . . . . . . 40
C.4 Sumário da distribuição a posteriori: Modelo M6 - TMI - Parte V . . . . . . . . . . . . 41
C.5 Sumário da distribuição a posteriori: Modelo M6 - TMI - Parte VI . . . . . . . . . . . . 42
iii
LISTA DE FIGURAS
3.1 Análise de Reśıduos do Ajuste Final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Média da Série de TMI por UF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Gráficos de ACF de uma defasagem - TMI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Análise de Reśıduos do Ajuste Final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 Predição para os estados representativos de cada região - SIDA . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Predição para estados representativos de cada região - TMI . . . . . . . . . . . . . . . . 31
iv
1
Caṕıtulo 1
INTRODUÇÃO
Neste trabalho estudamos os seguintes conjuntos de dados de painel: mortalidade infantil e óbito
pela Śındrome da Imuno-Deficiência Adquirida (SIDA), ambos categorizados por unidade federativa.
Propusemos diversos modelos para estes dados e estimamos todas as quantidades desconhecidas destes
modelos através do enfoque bayesiano. Os dados apresentados foram retirados do banco de dados do
DATASUS.
Inicialmente, esperávamos associar os dados de mortalidade infantil a quatro variáveis explicativas -
proporção da população servida por esgotamento sanitário, proporção da população servida por rede de
abastecimento de água, renda média domiciliar e taxa de analfabetismo; quanto aos dados de óbito por
SIDA, esperávamos associá-los a uma variável explicativa - incidência de SIDA.
Primeiro apresentaremos a metodologia utilizada em nossas avaliações e posteriormente descrevere-
mos a aplicação dos dados.
1.1 Séries de Dados
A primeira série escolhida foi a taxa de mortalidade espećıfica por SIDA do ano de 1990 a 2009. Ela conta
o número de óbitos pela SIDA por 100.000 habitantes na população residente em determinado espaço
geográfico no ano considerado. Esta série estima o número de mortes associado à SIDA e dimensiona
a magnitude da doença como problema de saúde pública, bem como retrata a incidência da doença na
população, associada a fatores de risco principalmente comportamentais, como o uso de drogas injetáveis
e práticas sexuais. Expressa também as condições de diagnóstico e qualidade de assistência médica
dispensada, bem como o efeito de ações educativas e a adoção de medidas individuais de prevenção.
Estamos usando esta série para analisar variações geográficas e temporais da mortalidade por SIDA em
segmentos populacionais, identificando situações de desigualdade e tendências que demandem ações e
estudos espećıficos. Tais dados são provenientes do Ministério da Saúde, da Secretaria de Vigilância à
Saúde: Sistema de Informações sobre Mortalidade e base demográfica do Instituto Brasileiro de Geografia
e Estat́ıstica. Vale ressaltar que de 1990 a 1995 há um grande aumento da mortalidade por SIDA em
2
todas as regiões. No peŕıodo de 1995 a 2000 esta tendência se inverte, de modo que há redução em todas
as regiões (excetuando a Norte), acompanhando a adoção da terapia medicamentosa com antiretrovirais
e a implementação da poĺıtica nacional de distrbuição gratuita desses medicamentos.
A segunda base de dados escolhida foi a Taxa de Mortalidade Infantil (TMI). Ela conta o número
de óbitos de menores de um ano de idade, por 1.000 (mil) nascidos vivos, em determinado espaço
geográfico em determinado ano (entre 1997 e 2011), compreendendo a soma dos óbitos ocorridos nos
peŕıodos neonatal (0-6 dias), neonatal tardio (7-27 dias), e pós-neonatal (após 28 dias). Esta série
procura estimar o risco de um nascido vivo morrer em seu primeiro ano de vida. A taxa de mortalidade
pode ser considerada alta (50 ou mais), média (20-49), ou baixa (0-19), em função da proximidade ou
distância de valores alcançados em sociedades mais desenvolvidas, refletindo, de maneira geral, baixos
ńıveis de saúde, de desenvolvimento socioeconômico e de condições de vida. Nosso objetivo é analisar
variações geográficas e temporais da mortalidade infantil, contribuindo na avaliação dos ńıveis de saúde
e de desenvolvimento socioeconômico da população. É posśıvel notar consistente tendência de redução
da mortalidade infantil em todas as regiões brasileiras, que reflete no decĺınio da fecundidade nas últimas
décadas e o efeito das intervenções públicas nas áreas de saúde e saneamento. Ainda assim, os valores
médios continuam elevados, sobretudo nas regiões Norte e Nordeste.
No caṕıtulo 2 revisaremos conceitos, prinćıpios e métodos de analisar conjuntos de dados. No caṕıtulo
3 faremos estudos usando os métodos usados no caṕıtulo anterior e, finalmente, no caṕıtulo 4 avaliaremos
nossa abordagem, bem como os resultados adquiridos através dela, no que concernem nossas bases de
dados.
3
Caṕıtulo 2
METODOLOGIA
Neste caṕıtulo revisaremos brevemente a inferência bayesiana, o métodos de Monte Carlo via cadeias
de Markov, ḿınimos quadrados, modelos autorregressivos e critérios importantes para selecionar modelos.
2.1 Inferência Bayesiana
Inferência é um conjunto de técnicas que tem por objetivo estudar uma população através de evidências
fornecidas por uma amostra. A inferência bayesiana descreve as incertezas associadas a variáveis não
observáveis de forma probabiĺıstica. De forma iterativa, as incerterzas são atualizadas após observações
de novos resultados.
A inferência bayesiana é proveniente da probabilidade a posteriori f(θ|x), sendo esta proporcional
à combinação entre a probabilidade a priori f(θ) e a função de verossimilhança `(θ|x), que leva em
consideração os dados observados.
A equação referente seria
f(θ|x) ∝ `(θ|x)f(θ).
2.2 Inferência Bayesiana Usando Monte Carlo via Cadeias de Markov
A ideia básica de Monte Carlo via cadeias de Markov é construir uma cadeia de Markov cuja distribuição
de equiĺıbrio é igual a distribuição de interesse, em nosso caso a distribuição a posteriori. Após a realização
de um número finito de simulações desta cadeia, o objetivo é atingir a distribuição de equiĺıbrio, com
isso dando origem a uma amostra de distribuição de interesse.
Considerando que θ = (θ1, θ2, . . . , θp)
′ possuem densidade conjunta π(θ) = (θ1, θ2, . . . , θp) e que
q(θ,θ∗) define a distribuição condicional em θ∗ das transições do estado θ. Sendo com isso, posśıvel a
construção de um cadeia com probabilidades de transição invariantes no tempo, onde cada estado pode
ser obtido de um outro estado com um número finito de iterações, podendo-se alcançar distribuição de
equiĺıbrio.
4
2.2.1 Amostrador de Gibbs
O amostrador de Gibbs é um dos métodos mais utilizados na construção da cadeia de Markov - proposto
por Geman e Geman (1984) e popularizado por Gelfand e Smith (1990) - é um esquema de amostragem
de uma Cadeia de Markov, cujas probabilidades de transição dos estados são realizadas a partir das
distribuições condicionais completas.
Seja π(θ) a distribuição de interesse, sendo θ = (θ1, θ2, . . . , θp)
′. Deseja-se gerar uma amostra de
π(θ) e supõe-se que esta geração é complicada para se realizar diretamente.
Considerando πi(θi) = pi(θi|θ−i)como função densidade condicional de θi, dados os valores de
todos os outros θj (j 6= i), assumindo-se que é posśıvel amostrar valores destas distribuições para cada
i = 1, 2, . . . , p.
Considere que dado um conjunto de valores iniciais θ(0) = (θ
(0)
1 , θ
(0)
2 , . . . , θ
(0)
p )′, o algoritmo já esteja
na j-ésima iteração da cadeia θ(j). Então, a posição da cadeia na iteração seguinte (j + 1) é obtida da
seguinte forma:
1. Gera-se θ
(j+1)
1 de π1(θ1|θ
(j)
2 , . . . , θ
(j)
p );
2. Gera-se θ
(j+1)
2 de π2(θ2|θ
(j+1)
1 , θ
(j)
3 , . . . , θ
(j)
p ); e
3. Repete-se sucessivamente os Passos 1 e 2 anteriores para i = 3, 4, . . . , p, onde no último passo gera-
se θ
(j+1)
p de πp(θp|θ(j+1)1 , θ
(j+1)
2 , . . . , θ
(j+1)
p−1 ), obtendo-se o vetor θ
(j+1) = (θ
(j+1)
1 , . . . , θ
(j+1)
p )′.
Sob certas condições de regularidade (Tierney, 1994), a distribuição limite de θ(j) tende a π(θ).
2.2.2 Critério de Convergência - BGR
Abordaremos superficialmente o critério de convergência criado por Gelman e Rubin e posteriormente
aperfeiçoado por Brooks e Gelman (1997) que citam passos para a geração de um diagnóstico de
convergência de múltiplos fatores. Nos referimos a este critério como BGR.
Passos (para cada parâmetro):
1. Gere m ≥ 2 cadeias de tamanho 2n de valores iniciais sobredispersos;
2. Descarte os primeiros n resultados de cada cadeia;
3. Calcule as variâncias dentro de cada cadeia e entre as cadeias;
4. Calcule a variância estimada como uma média ponderada entre a variância dentro de cada cadeia
e a variância entre as cadeias
5
5. Calcule o fator de redução potencial de escala.
De modo que a variância dentro de cada cadeia é dada por
W =
1
m
m∑
j=1
s2j
sendo
s2j =
1
n− 1
n∑
i=1
(θij − θj)2,
de modo que s2j é a fórmula para a variância da j-ésima cadeia. Portanto, W é a média das variâncias
da cadeia. O W provavelmente subestima a variância verdadeira da distribuição estacionária, tendo em
vista que as cadeias geradas provavelmente não alcançaram todos os pontos da distribuição estacionária.
A variância entre cadeias é dada por
B =
n
m− 1
m∑
j=1
(θj − θ)2
sendo
θ =
1
m
m∑
j=1
θj .
Temos que B é a variância das cadeias multiplicada por n, porque cada cadeia é constitúıda por n
resultados. Podemos estimar a variância da distribuição estacionária através da média ponderada de W
e B.
V̂ ar(θ) =
(
1− 1
n
)
W +
1
n
B.
Por causa da sobredispersão dos valores iniciais, este estimador da variância superestima a variância real,
mas é não-tendenciosa conforme a distribuição inicial se iguala à distribuição estacionária.
O fator de redução potencial de escala possui a forma
R̂ =
√
V̂ ar(θ)
W
.
Quando R̂ for alta, talvez ao superar 1,1, ou 1,2, devemos gerar mais valores para as cadeias de modo a
aproximar suas convergência até que alcancem a distribuição estacionária. Caso tenhamos mais de um
parâmetro, temos de calcular um fator de redução potencial de escala para cada parâmetro. Devemos
rodar tantas iterações quanto forem necessárias para que todos fatores sejam pequenos o bastante. Deste
modo nos será posśıvel combinar todos os mn resultados de nossas cadeias para gerar uma cadeia para
a distribuição estacionária.
6
2.2.3 Critério de Informação de Desvio
O Critério de Informação do Desvio (do inglês DIC) é definido como:
DIC = D(θ) + 2pD
= D(θ) + pD,
sendo pD = D(θ)−D(θ), D(θ) = −2 ln(p(y|θ)) e a função de verossimilhançṪemos também que D(θ)
é a média a posteriori do desvio, D(θ) uma estimativa pontual do desvio obtida a partir da utilição
da média a posteriori de θ, denotada por θ, e pD uma estimativa do número efetivo de parâmetros.
O modelo que apresenta o menor DIC é considerado como aquele que melhor pode predizer um novo
conjunto de dados com a mesma estrutura dos dados observados.
2.2.4 OpenBUGS
O OpenBUGS é um programa criado para efetuar análises bayesianas de modelos estat́ısticos complexos
usando Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC). Há uma grande literatura associada a análise
bayesiana e MCMC, como pode ser encontrado em Carlin e Louis (1996), Gelman et al. (2014), Brooks
(1998) e Gilks, Richardson, e Spiegelhalter (1996). Em seu manual, no caṕıtulo 9 do auto-entitulado
manual Classic BUGS, “Tópicos em Modelagens” discute prioris não-informativas, cŕıticas de modelos,
ranking, erros de medição, verossimilhanças condicionais, parametrização, modelos espaciais e mais,
enquanto a documentação do Diagnóstico de Convergência e Análise de Produção (CODA) engloba
diagnósticos de convergência. Congdon (2001) ensina a analisar uma extensa gama de modelos usando
o OpenBUGS. Os usuários de OpenBUGS devem estar cientes dos métodos bayesianos via MCMC por
trás do programa (Gilks et al., 1996). Tendo especificado o modelo como uma distribuição conjunta
em todas as quantidades, sejam elas parâmetros ou observáveis, o objetivo torna-se amostrar valores
das quantidades desconhecidas do modelo via sua distribuição a posteriori, dados seus nós estocásticos
observados. OpenBUGS usa três faḿılias de algoritmos de MCMC: amostrador de Gibbs, algoritmo de
Metropolis Hastings e (slice sampling). Vale mencionar que as práticas associadas às seções anteriores,
bem como as presentes no manual supracitado, estão dispońıveis no OpenBUGS.
2.3 Método dos Ḿınimos Quadrados
O Método dos Mı́nimos Quadrados Ordinários (MQO) é uma técnica de otimização que visa buscar o
melhor ajuste para um conjunto de dados em um modelo de regressão tentando minimizar a soma dos
quadrados dos reśıduos da diferença entre um conjunto de dados reais e suas estimativas, comumente
utilizado em Econometria. Lembrando que são requisitos para este método que os erros sejam distribúıdos
aleatoriamente, independentes e identicamente distribúıdos. O Teorema Gauss-Markov (Hayashi, 2000)
7
garante indiretamente que o estimador obtido através do MQO é não-tendencioso e possui a variância
linear ḿınima na variável resposta.
Nosso objetivo é explicar uma variável aleatória y através de uma regressão baseada em um vetor de
tamanho r de variáveis explicativas x. Efetuaremos
y = α+ x′β + ε
sendo
• α: constante do modelo;
• β: vetor de parâmetros que servem de coeficientes das variáveis x;
• ε: o erro, a variação de y que não é explicada pelo modelo.
Observamos então n valores de y, y = (y1, y2, . . . , yn)
′, e n valores do vetor de variáveis explicativas x,
X = (x1,x2, . . . ,xn). Sabemos que as quantidades α, β e ε são não-observáveis, mas o método dos
ḿınimos quadrados nos fornecerá uma boa estimativa sobre eles. Com efeito, mudaremos a notação das
variáveis de modo que ao estimar o modelo usando a base de dados, estaremos estimando, na verdade
yi = α̂+ x
′
iβ̂ + ε̂i,
onde i indica cada uma das n observações da base de dados e ε̂ não é mais um erro, porém um reśıduo
da diferença entre yi e ŷi, sendo ŷi = α̂+ x
′
iβ̂.
O estimador resultante do método dos MQO minimiza o erro quadrático médio (de fato, podeŕıamos,
então, chamá-lo do “melhor estimador linear não tendencioso”, BLUE ).
Façamos:
yi = α̂+ x
′
iβ̂ + ε̂i,
S(ε̂i) =
n∑
i=1
ε̂2i .
Nosso objetivo é minimizar
S(α̂, β̂) =
n∑
i=1
(ŷi − α̂− x′iβ̂)2.
Para minimizarmos o erro, derivaremos S(α̂, β̂) em relação a α̂ e β̂ e igualando-a a zero.
∂S
∂α̂
= −2
n∑
i=1
(ŷi − α̂− xiβ̂)2 = 0
∂S
∂β̂
= −2
n∑
i=1
(ŷi − α̂− xiβ̂)2 = 0
8
De modo que chegaremos a
α̂ = y − x′β̂.
onde y é a média amostral dos yi’s e x é a média dos vetores amostral xi’s. Substituindo o resultado
encontrado para α̂ para encontrarmos β̂ temos
β̂ = (X ′X)−1X ′(y − α1).
2.4 Séries Temporais
Revisaremos nesta seção alguns conceitos de séries temporais. Prinćıpios que não devemos violar,
métodos que podemos utilizar e testes que devemos realizar para garantirque nosso modelo será bem
ajustado e que caso insiramos componentes autorregressivas (veremos em subseção logo mais) estas não
trarão problemas de má especificação ao modelo.
2.4.1 Estacionariedade
Uma série temporal {yt} é dita estritamente estacionária se todas as distribuições de qualquer coleção
finita de vetores aleatórios indexados no tempo permanecem as mesmas sob translações no tempo. Ou
seja, temos todos os momentos - incluindo média, variância e covariância - constantes ao longo do
tempo.
Uma série temporal {yt} é dita estacionária de segunda ordem se a média e a variância são constantes
ao longo do tempo, e se sua autocovariância e sua autocorrelação (termos definidos nas próximas
subseções) dependem somente da defasagem (distância entre as observações).
2.4.2 Autocovariância e Autocorrelação
Se o modelo de série temporal, {yt}, é estacionário de segunda ordem, a função de autocovariância
(FACV), γk, é definida como uma função de defasagem k:
γk = E[(yt − µ)(yt+k − µ)],
sendo µ o ńıvel da série, ou seja, µ = E(yt) e k a defasagem.
A função de autocorrelação (FAC) de defasagem k é definida por:
ρk =
γk
γ0
,
sendo γ0 a variância, γ0 = Var(yt), do processo gerador da série temporal e ρ0 = 1.
9
A FAC amostral é um bom instrumento de avaliação para grau de dependência dos dados,fornecendo
uma boa estimação para a função de autocorrelação da série temporal,neste caso supondo que os valores
observados provém de uma série estacionária..
Sejam y1, . . . , yn observações de uma série temporal de tamanho n. A média amostral de y1, . . . , yn
é dada por
y =
1
n
n∑
t=1
yt.
A função de autocovariância amostral é dada por:
γ̂k =
1
n
n−|k|∑
t=1
(yt+|k| − y)(yt − y), para − n < k < n,
e a função de autocorrelação amostral por
ρ̂k =
γ̂k
γ̂0
, para − n < k < n.
2.4.3 Modelo Autoregressivo
O modelo autoregressivo de ordem p é usado quando há autocorrelação entre as observações, ou seja,
o processo autoregressivo é usado quando um valor de uma variável n o peŕıodo t depende de seu valor
no peŕıodo anterior (t -1) e de um termo aleatório.A forma geral do modelo autoregressivo de ordem p
denotado por AR é definido como:
yt = µ+ φ1yt−1 + φ2yt−2 + · · ·+ φpyt−p + εt.
Sendo que para cada t, assumimos yt−1, yt−2, yt−3, ..., são independentes de εt, pelo fato de yt
incorporar todos os valores novos da série que não são explicados pelos valores passados.
Um caso particular é o modelo autoregressivo de ordem 1, denotado por AR(1), que é definido como:
yt = µ+ φyt−1 + εt,
sendo εt um erro aleatório do tipo rúıdo branco, isto é, independentes para todo t, com média 0 (zero)
e variância constante.
O processo AR(1), tem as seguintes funções de autocovariância:
γ0 =
σ2ε
1− φ2
e
γk =
φkσ2ε
1− φ2
,
e a seguinte função de autocorrelação:
ρk = φ
k para k = 1, 2, 3, ...
10
2.4.4 Modelos de Defasagens Distribúıdas
A forma geral de um modelo linear de defasagens distribúıdas é
yt =
∞∑
i=0
βixt−i + εt,
onde qualquer mudança afetará E(yt) nos peŕıodos subsequentes. Por exemplo, imagine os pagamentos
de dividendos de uma empresa qualquer, sejam estes (yt) e veja como yt não depende apenas de lucros
provenientes do peŕıodo presente (xt), como dos lucros provenientes de peŕıodos anteriores (xt−s).
O termo βi presente na equação é o i-ésimo coeficiente de reação e normalmente podemos assumir
que limi→∞ βi = 0 e
∑∞
i=0 βi = c ≤ ∞. Podemos assumir que as mudanças em xt não devem ser de
grande influência a yt após um peŕıodo de tempo m, o que implicaria que que βi sumiria após a chegada
de βm. Neste caso o modelo é reduzido a um modelo defasagens distribúıdas finitas, para o qual o limite
superior presente no somatório da forma geral do modelo linear de defasagens distribúıdas é m. Veja
aplicações destes modelos em Ravines, Schmidt, e Migon (2006).
Consideraremos casos particulares destes modelos em nossas análises de dados.
2.4.5 Análise de Intervenção
Por uma intervenção entendemos a ocorrência de um determinado evento E em dado instante de tempo
T , conhecido a priori, onde tal ocorrência pode influenciar tanto temporariamente, como permanente-
mente a série estudada. A análise de intervenção tem por objetivo avaliar o impacto deste evento E no
comportamento da série.
Por Morettin e Toloi (2006), as séries indicadoras de intervenções podem ser representadas por dois
tipos de variáveis binárias:
• Função degrau:
xj,t =
 S
(T )
t = 0, se t < T ;
S
(T )
t = 1, se t > T .
• Função impulso:
xj,t =
 I
(T )
t = 0, se t 6= T ;
I
(T )
t = 1, se t = T .
É trivial notarmos que o efeito da função degrau é permanente, enquanto o efeito da função impulso
é temporário. Uma classe geral de modelos que levam em conta a ocorrência de múltiplas intervenções
é dada por
yt =
k∑
j=1
νj(B)xj,t + εt
em que
11
• xj,t, j = 1, 2, . . . , k são as variáveis de intervenção;
• νj(B), j = 1, 2, . . . , k são funções racionais da forma ωj(B)B
bj
δj(B)
, onde ωj(B) = ωj,0−ωj,1B−· · ·−
ωj,sB
s e δj(B) = 1− δj,1B− · · · − δj,rBr são polinômios em B, bj é a defasagem no tempo para
o ińıcio do efeito da j-ésima intervenção e
• εt é a série temporal livre do efeito das intervenções e é denominada série residual.
Em geral, o efeito de uma intervenção é mudar o ńıvel da série ou, então, a inclinação. Entretanto, há
três fontes de rúıdos que podem obscurecer o efeito da intervenção:
1. tendência;
2. sazonalidade; e
3. erro aleatório.
O fato de existir tendência numa série pode levar a falsas conclusões. De fato, se esta existir e uma
intervenção ocorrer no instante T , o fato do ńıvel pós-intervenção ser maior do que o ńıvel pré-intervenção
pode ser devido simplesmente à tendência.
Utilizaremos a análise de intervenção em uma das aplicações aos dados reais.
2.4.6 Teste Independência dos Reśıduos: Ljung-Box
O teste de Ljung-Box consiste em analisar as autocorrelações entre reśıduos encontrados. A estat́ıstica
Q do teste é verificada para testar se um determinado conjunto de autocorrelações de reśıduos é es-
tatisticamente diferente de zero. Esta estat́ıstica, sob a hipótese nula H0 de que os reśıduos não são
autocorrelacionados, possui distribuição qui-quadrado com m graus de liberdade e é definida como:
Q = n(n+ 2)
∑m
k=1
ρ̂2k
n− k
,
onde n é o tamanho da amostra e m o número de defasagens. Em caso de independência dos reśıduos,
espera-se que as autocorrelações para qualquer defasagem sejam próximas de zero. Valores altos de pelo
menos uma autoautocorrelação sugere dependência dos residuos, levando a rejeição da hipótese nula.
12
Caṕıtulo 3
APLICAÇÃO
Neste trabalho analisamos conjuntos de dados estruturados como dados de painel. Para isto, re-
corremos a modelos estat́ısticos envolvendo defasagens distribúıdas, autoregressão ou intervenção. Esti-
maremos as quantidades desconhecidas dos modelos através do enfoque bayesiana. Temos por objetivo
entender as séries de dados, explicar seus parâmetros e comportamentos e ser capazes de predizer suas
próximas ocorrências.
Escolhemos dois conjuntos de dados de interesse:
1. Taxa de mortalidade espećıfica associada à SIDA; e
2. Taxa de mortalidade infantil.
Ambos conjuntos são estão estruturados como dados de painel, observados em cada Unidade Federativa
(UF) brasileira anualmente. As duas bases foram extráıdas do banco de dados do DataSUS, bem como
as variáveis explicativas a elas associadas.
Em nossa notação nos referimos aos coeficientes, espećıficos de cada UF seguindo a ordem descrita
na tabela A.1 do Apêndice 4.2. Para a primeira base de dados os anos variam de 1990 a 2008, ao qual
nos referimos do ano 1 ao 19, e para o segundo conjunto de dados os anos variam de 1997 a 2011 e nos
referimos de formasemelhante ao primeiro.
A seguir, concentramos nossas análises em cada conjunto de dados separadamente.
3.1 Óbitos por Śındrome da Imuno-Deficiência Adquirida
Analisamos aqui a série de óbitos provenientes de portadores de SIDA. Nossa base é referente ao peŕıodo
entre 1990 e 2008. Decidimos tentar explicar nossa série de interesse através de um conjunto de
dados, também adquirido no DataSUS, que nos dá o número de casos de incidência de SIDA, também
estruturado por UF anualmente.
Abaixo disponibilizamos - a fim de introduzir a descrição dos dados - as médias por UF, de 1990 a
2008, das séries incidência e óbito por SIDA. Procuramos explicar a taxa de mortalidade espećıfica por
SIDA através do número de incidências de SIDA.
13
Média da Taxa de Incidência de SIDA − 1990 a 2008
[0,2.5]
(2.5,5]
(5,7.5]
(7.5,10]
(10,12.5]
(12.5,15]
(15,17.5]
(17.5,20]
(20,22.5]
(22.5,25]
(25,28]
(a) Média da Série de Incidência de SIDA por UF.
Média de TME por SIDA − 1990 a 2008
[0,2.5]
(2.5,5]
(5,7.5]
(7.5,10]
(10,13]
(b) Média da Série de TME por SIDA por UF.
Utilizando estat́ısticas descritivas e análise de regressão por ḿınimos quadrados descritos no caṕıtulo
2, nossos estudos preliminares foram conduzidos para entender o comportamento de ambas as séries ao
longo dos anos e por Unidade Federativa. Os resultados nos indicam que:
• Caso analisemos ao longo dos anos, veremos que até 1996 há tendência de crescimento na taxa
de mortalidade espećıfica, tendência que observamos inverter-se do ano seguinte em diante;
• Ainda analisando a taxa de mortalidade espećıfica anualmente, podemos observar assimetria posi-
tiva associada à série, bem como o módulo da curtose caindo rapidamente com o tempo, indicando
maior dispersão dos dados nos anos iniciais;
• Analisando o número de incidências, nota-se que o número de casos aumenta ao longo dos anos,
tendência que não acompanha nossa variável de interesse, indicando que devemos inserir no modelo
uma componente temporal para explicar o que esta variável não consegue;
• Agora observando nossas séries por estado, é posśıvel perceber que há disparidades no comporta-
mento das séries entre UFs, levando a crer que algumas delas (Rio de Janeiro, São Paulo, Santa
Catarina, Rio Grande do Sul e Distrito Federal) estavam mais proṕıcias que outras a abrigarem
óbitos provenientes de portadores de SIDA que outras, tanto pela série de óbitos, como pela série
de incidências;
14
• Observando as correlações ano a ano, verificamos pelo valor alto que o número de óbitos está bem
associado ao número de incidências;
• Observando as correlações UF a UF, podemos justificar a presença da componente temporal, pois
alguns dos estados possuem baixa aderência entre as séries de dados caso observemo-as.
Portanto, nossos primeiros modelos, de acordo com nossa interpretação dos dados, seguem distri-
buições Normal e t-Student. Inicialmente testamos a t-Student, mudando apenas os graus de liberdade
a elas associados: dois, três, quatro e cinco graus de liberdade.
Utilizamos o método dos ḿınimos quadrados descritos no caṕıtulo 2, através do programa R, fize-
mos vários ajustes para obter as estimativas do modelo e estas são utilizadas como valores iniciais dos
coeficientes dos parâmetros em nossos modelos descritos no OpenBUGS. Isto foi feito para ajudar na con-
vergência das cadeias, ao realizarmos sucessivas simulações a fim de testar os modelos. Tal procedimento
mostrou-se bastante útil e eficaz para esta aplicação.
A estrutura do nosso modelo inicial é dado por
yi,t = ci + βixi,t + δit+ εi,t, i = 1, 2, . . . , 27 e t = 1, 2, . . . , 19,
sendo yi,t a número de óbtidos, xi,t a incidência de SIDA, t a própria variável tempo utilizada para
tentar captar a tendência linear ao longo dos anos e εi,t erros aleatórios independentes e identicamente
distribúıdos com média e variância finitas e constantes. Os primeiros cinco modelos (M1,M2, . . . ,M5)
só diferem na distribuição de εi,t (normal e t-Student com diferentes graus de liberdade).
Para este modelo e os demais descritos abaixo, completamos a especificação com
ci ∼ N (µc, σ2c )
βi ∼ N (µβ, σ2β)
δi ∼ N (µδ, σ2δ ),
para i = 1, 2, . . . , 27; priori normal com média 0 e variância 1.000 para µc, µβ e µδ, e priori gama inversa
com média 1 e variância 100 para σ2c , σ
2
β e σ
2
δ .
Como utilizamos o OpenBUGS para efetuar as simulações dos modelos propostos, geramos as t-
Student através da mistura de escala: (yi,t|µi,t, λ) ∼ N (µi,t, λ) e (λ|ν, σ2) ∼ GI(ν2 ,
νσ2
2 ) tal que
(yi,t|µi,t, σ2, ν) ∼ tν(µ, σ2) com µi,t = ci + βixi,t + δit.
Ajustamos então estes modelos aos dados utilizando o OpenBUGS. Geramos 3 cadeias em paraelelo
cada uma com 100.000 iterações e descartamos as 50.000 primeiras de cada. Utilizamos a critério BGR
descrita no caṕıtulo 2 e dispońıvel no OpenBUGS para analisar a convergência das cadeias. Utilizamos
este mesmo tipo de procedimento e análise para os demais modelos deste trabalho. O DIC para cada
modelo pode ser visto na tabela 3.1. Os resultados inesperados pD associados aos modelos M2 e M3
15
Tabela 3.1: Comparação de modelos via DIC: dados de SIDA - Parte I.
Modelo Distribuição de yi,t DIC pD
M1 N (µi,t, σ2) 1015,0 69,38
M2 t2(µi,t, σ2) 1093,0 -604,50
M3 t3(µi,t, σ2) 1619,0 -78,09
M4 t4(µi,t, σ2) 1710,0 12,74
M5 t5(µi,t, σ2) 1743,0 45,26
nos induziram a pensar que os modelos possivelmente teriam sido mal especificados, indicando que seria
necessário mudá-los. Optamos por mudar ligeiramente a mistura Normal-Gama-Inversa, de modo que
não mais faŕıamos a mistura usando um fator λ global, porém um fator λi variando para cada UF, de
modo a melhor adaptar-se a cada uma delas. A melhora foi inegável. Não apenas os pD deixaram de
apontar problema de especificação de modelo, como os próprios DIC cáıram.
Agora, para os modelos M6, M7, M8 e M9, continuamos a ter distribuições t-Student com 2, 3,
4 e 5 graus de liberdade para cada UF, ou seja, (yi,t|µi,t, λi) ∼ N (µi,t, λi) e (λi|ν, σ2) ∼ GI(ν2 ,
νσ2
2 ).
Repetimos o procedimento de ajuste dos modelos anteriores. Utilizando o OpenBUGS, geramos
100.00 iterações e descartamos as 50.000 primeiras. Os resultados do DIC para estes diferentes modelos
encontram-se na tabela 3.2. Então, usando o DIC como critério de seleção de modelos, já excluindo os
Tabela 3.2: Comparação de modelos via DIC: dados de SIDA - Parte II.
Modelo Distribuição de yi,t DIC pD
M6 t2,i(µi,t, σ2) 1007,0 98,48
M7 t3,i(µi,t, σ2) 1325,0 98,85
M8 t4,i(µi,t, σ2) 1328,0 95,60
M9 t5,i(µi,t, σ2) 1331,0 94,42
modelos M2 e M3 por ind́ıcios de má especificação, pudemos selecionar os modelos M1 e M6 como
os melhores modelos. Infelizmente, ao analisarmos os reśıduos associados, verificamos que estes não
16
satisfizeram premissas do modelo: os erros apresentaram heterocedasticidade se observados ao longo do
tempo, indicando dependência temporal e a necessidade da inclusão de uma variável autorregressiva.
Como supracitado, os modelos M1 e M6 apresentaram melhores DIC e foram escolhidos para receber
uma componente autorregressiva (ver modelo autoregressivo no caṕıtulo 2) de uma defasagem para cada
UF.
O modelo segue agora a seguinte estrutura:
yi,t = ci + βixi,t + δtt+ θiyi,t−1 + εi,t,
com as mesmas premissas sobre εi,t, |θi| < 1 para cada UF e θi ∼ U(−1, 1) para i = 1, 2, . . . , 27. Repe-
timos o procedimento de gerar valores da distribuição a posteriori deste modelo utilizando o OpenBUGS.
Novamente, diferindo entre eles apenas a distribuição. Na tabela 3.3 podemos ver o DIC para os dois
modelos considerados. O DIC do modeloM11 é o menor de todos. As análises dos reśıduos dos modelos
Tabela 3.3: Comparação de modelos via DIC: dados de SIDA - Parte III.
Modelo Distribuição de yi,t DIC pD
M10 N (µi,t, σ2) 1181,0 81,05
M11 t2,i(µi,t, σ2) 1006,0 100,20
M10 e M11 apresentam boaespecificação sem dependência em sua estrutura. Porém, ao observarmos
os percentis 2.5% e 97.5% da estat́ıstica a posteriori dos modelos analisados, os coeficientes associados
às variáveis explicativas e temporal apresentaram alta probabilidade de não serem significativos para
todos os valores de βi e δi. Isto poderia indicar que tanto o coeficiente β, como o coeficiente δ, ou até
mesmo ambos, poderiam ser não-significativos. Então foram criados outros seis modelos:
Os modelos M12 (normal) e M15 (t2) seguem a estrutura:
yi,t = ci + βixi,t + θiyi,t−1 + εi,t;
os modelos M13 (normal) e M16 (t2) a estrutura:
yi,t = ci + δit+ θiyi,t−1 + εi,t;
e os M14 (normal) e M17 (t2) a estrutura:
yi,t = ci + θiyi,t−1 + εi,t;
cada par de modelos diferindo apenas em distribuição.
17
Mais uma vez, utilizando o OpenBUGS, geramos 3 cadeias com 100.000 iterações da distribuição a
posteriori dos modelos e descartamos as 50.000 iterações. A tabela 3.4 traz os valores do DIC dos
ajustes dos modelosM12 aM17. O que nos leva a descartar modelos com distribuição Normal devido
Tabela 3.4: Comparação de modelos via DIC: dados de SIDA - Parte IV.
Modelo Distribuição de yi,t DIC pD
M12 N (µi,t, σ2) 1263,0 59,17
M13 N (µi,t, σ2) 1221,0 68,56
M14 N (µi,t, σ2) 1327,0 32,55
M15 t2,i(µi,t, σ2) 1015,0 85,61
M16 t2,i(µi,t, σ2) 1009,0 90,61
M17 t2,i(µi,t, σ2) 1051,0 64,53
aos altos valores do DIC. As estat́ısticas a posteriori de cada um dos modelos apresentava coeficientes
não significativos, indicando que a presença da variável explicativa atrapalhava a variável temporal e
vice-versa. Os resultados indicavam que a variável regressiva deveria ser exclúıda e o modelo a ser
adotado deveria ser o M16, mas decidimos testar duas classes de modelos antes de descartar uma
variável explicativa e apontar que a série estudada seria capaz de explicar a si própria, dependendo de
seus valores anteriores.
Introduzimos à série de dados duas estratégias:
• Modelos com defasagem distribúıda; e
• Modelos com variáveis de intervenção.
Três modelos foram criados: o primeira com uma defasagem distribúıda, o segundo com duas defasagens
distribúıdas e o terceiro é um modelo com uma variável de intervenção, dado que, como visto na
estat́ıstica descritiva, pudemos ver mudanças na tendência da variável a ser explicada. Seguem os
modelos:
M18 : yi,t = ci + β1,ixi,t + β2,ixi,t−1 + δit+ εi,t
M19 : yi,t = ci + β1,ixi,t + β2,ixi,t−1 + β3,ixi,t−2 + δit+ �i,t
M20 : yi,t = ci + β1,ixi,t + β2,idt + δit+ θiyi,t−1 + εi,t,
18
sendo dt = 0 para t = 1, . . . , 6 e dt = 1 para t = 7, . . . , 19. Evitamos criar modelos com muitas
defasagens distribuíıdas, pois nossa série de dados é relativamente curta.
Estes modelos foram também implementados no OpenBUGS. Geramos 3 cadeias com 100.000 iterações
e descartamos as 50.000 primeiras. Para os modelos acima, a tabela 3.5 mostra os respectivos DICs.
Tabela 3.5: Comparação de modelos via DIC: dados de SIDA - Parte V.
Modelo Distribuição de yi,t DIC pD
M18 t2,i(µi,t, σ2) 1437,0 62,85
M19 t2,i(µi,t, σ2) 1255,0 67,01
M20 t2,i(µi,t, σ2) 999,2 112,00
Apesar do modeloM20 ter apresentado menor DIC, os coeficientes associados as covariáveis xi,t e dt
mostraram ser não-significativos com uma probabilidade alta para regiões perto do zero. Por isto, estes
modelos confirmaram nossas suspeitas de que nos seria melhor explicar a taxa de mortalidade espećıfica
por portadores de SIDA através da própria série de dados. Ficamos então com o modelo M16 tendo
em vista que, dados as análises completas, apresenta DIC baixo comparado aos demais, coeficientes
significativos, reśıduos não correlacionados (teste de Ljung-Box) e homocedasticidade via análise gráfica
dos reśıduos como por exemplo a figura 3.1.
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1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
−
4
−
2
0
2
4
6
8
Figura 3.1: Análise de Reśıduos do Ajuste Final.
19
Relembramos aqui que o modelo M16 é dado por
yi,t = ci + δit+ θiyi,t−1 + εi,t
como modelo de mistura de escala tal que yi,t ∼ t2(µi,t, σ2).
A tabela 3.6 e as tabelas B.1, B.2 e B.3 do apêndice B trazem o resumo da distribuição a posteriori:
média, desvio padrão, percentis de 2.5%, 50% e 97.5%.
Tabela 3.6: Sumário dos parâmetros da distribuição posteriori do modelo finalM16 usado para taxa de mortalidade
por SIDA.
Parâmetro Média D. Padrão 2,5% Mediana 97,5%
µc 0,8669 0,1526 0,5897 0,8601 1,1870
σ2c 0,3466 0,1759 0,1100 0,3123 0,7809
µδ 0,0453 0,0163 0,0137 0,0451 0,0781
σ2δ 0,0047 0,0020 0,0019 0,0043 0,0099
σ2 0,2200 0,0476 0,1391 0,2159 0,3243
Nós interpretamos os parâmetros da seguinte forma:
• ci sendo a propensão inicial associada a cada UF de haver óbitos relativos a portadores de SIDA;
• δi sendo a tendência temporal associada a cada UF; e
• θi sendo a influência do volume de óbitos no tempo anterior associada a cada UF em determinado
instante de tempo.
3.2 Mortalidade Infantil
Após a conclusão da análise da primeira base de dados na seção 3.1, começamos nossos estudos sobre a
segunda base de dados - a taxa de mortalidade infantil. Nossa base é referente ao peŕıodo entre 1997 e
2011. Decidimos tentar explicar nossa série de interesse através de quatro conjuntos de dados, também
adquiridos no DataSUS, que nos dão:
1. o ı́ndice de analfabetismo associado a cada UF, ano a ano;
20
2. a proporção da população servida por esgotamento sanitário;
3. a proporção da população servida por rede de abastecimento de água; e
4. a renda média domicilar per capita.
Estes dados também estão estruturados por UF anualmente.
Abaixo iremos, como na análise anterior, disponibilizar as médias das quatro variáveis explicativas,
bem como a média da variável resposta. Todos os cinco gráficos nas figuras ?? e 3.2 contemplarão o
peŕıodo de 1997 a 2011.
21
Média da Taxa (%) de Analfabetismo − 1997 a 2011
[0,5]
(5,10]
(10,15]
(15,20]
(20,25]
(25,30]
(a) Média da Série de Analfabetismo por UF.
Média da Pop. servida por Esgot. Sanit. − 1997 a 2011
[0,20]
(20,40]
(40,60]
(60,80]
(80,100]
(b) Média da Série de PSES por UF.
Média da População servida por Água − 1997 a 2011
[0,20]
(20,40]
(40,60]
(60,80]
(80,100]
(c) Média da Série de PSAA por UF.
Média da Renda Domiciliar per capita − 1997 a 2011
[0,200]
(200,400]
(400,600]
(600,800]
(800,1000]
(1000,1200]
(1200,1400]
(d) Média da Série de Renda por UF.
22
Média da Taxa de Mortalidade Infantil − 1997 a 2011
[0,10]
(10,20]
(20,30]
(30,40]
Figura 3.2: Média da Série de TMI por UF.
E abaixo encontram-se alguns gráficos - relativos ados dados sobre a proporção da população servida
por abastecimento de água - que mostram a função de autocorrelação que estuda uma defasagem. Este
comportamento está presente em quase todas as UF.
Estudos preliminares utilizando estat́ısticas descritivas e análise de regressão via ḿınimos quadrados
ponderados foram conduzidos para entender o comportamento de cada série ao longo dos anos e por
UF. Os resultados nos indicam que:
• a função de autocorrelação relativa à base terceira variável explicativa apresentou sazonalidade - o
que somado ao fato de não ter se mostrado significativa ao descrever nossa variável de interesse,
nos levou a exclúı-la;
Como para a base de dados anterior, utilizamos o método dos ḿınimos quadrados para obter estimativas
iniciais sobre os os parâmetros a serem utilizados em nossos modelos para ajudar na convergência
das cadeias de Markov referente as nossas distribuições a posteriori. De fato, adotaremos a mesma
metodologia usada anteriormente.
Usaremos novamente o OpenBUGS para ajustar nossos modelos e o DIC para fazer comparação dos
ajustes dos modelos. Usaremos modelos Normal e t-Student com três, quatro, cinco e dez graus de
liberdade. Dado estas especificações para a distribuiçãode yi,t, definimos os modelos M1 a M5 da
seguinte forma:
yi,t = ci + β1,ix1,i,t + β2,ix2,i,t + β3,ix3,i,t + β4,it+ εi,t,
diferindo entre eles apenas suas distribuições. Temos yi,t a TMI, x1,i,t o ı́ndice de analfabetismo, x2,i,t
a proporção da população servida por esgotamento sanitário e x3,i,t a renda média domicilar per capita.
23
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−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
−
0.
5
0.
0
0.
5
1.
0
1.
5
lag 1
x_
i
(a) Esṕırito Santo.
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●
−0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4
−
0.
6
−
0.
4
−
0.
2
0.
0
0.
2
0.
4
lag 1
x_
i
(b) Minas Gerais.
●
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●
●
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●
●
●
●
−4 −3 −2 −1 0 1 2
−
4
−
3
−
2
−
1
0
1
2
lag 1
x_
i
(c) Pará
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●
●
●
●
●
●
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●
●
●
●
−2 0 2 4
−
3
−
2
−
1
0
1
2
3
4
lag 1
x_
i
(d) Rio Grande do Norte.
●
●
●
●
●
●
●
●
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●
●
●
−1.0 −0.5 0.0 0.5
−
1.
0
−
0.
5
0.
0
0.
5
lag 1
x_
i
(e) Rio Grande do Sul.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
−0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4
−
0.
4
−
0.
2
0.
0
0.
2
0.
4
lag 1
x_
i
(f) Santa Catarina.
Figura 3.3: Gráficos de ACF de uma defasagem - TMI.
24
Para todos os modelos nesta aplicação da TMI, completamos a especificação com
ci ∼ N (µc, σ2c )
β1,i ∼ N (µβ1 , σ2β1)
β2,i ∼ N (µβ2 , σ2β2)
β3,i ∼ N (µβ3 , σ2β3),
para i = 1, 2, . . . , 27; priori normal com média 0 e variância 1.000 para µc, µβ1 , µβ2 e µβ3 , e priori gama
inversa com média 1 e variância 100 para σ2c , σ
2
β1
, σ2β2 e σ
2
β3
.
Seguimos os passos anteriores e implementamos estes modelos no OpenBUGS. Dáı, também geramos
3 cadeias com 100.000 iterações cada e descartamos as 50.000 primeiras de cada uma. Fizemos as
análises de convergência pertinentes via gráficos e estat́ıstica de convergência BGR. A tabela 3.7 exibe
os DICs para estes modelos ajustados aos dados de TMI.
Tabela 3.7: Comparação de modelos via DIC: dados da taxa de mortalidade infantil - Parte I.
Modelo Distribuição de yi,t DIC pD
M1 N (µi,t, σ2) 1226,0 112,80
M2 t3(µi,t, σ2) 1163,0 49,43
M3 t4(µi,t, σ2) 1221,0 108,00
M4 t5(µi,t, σ2) 1238,0 125,10
M5 t10(µi,t, σ2) 1243,0 129,60
Aqui temos µi,t = ci + β1,ix1,i,t + β2,ix2,i,t + β3,ix3,i,t + β4,it.
Já possuindo a experiência adquirida do estudo da base de dados anterior, decidimos substituir o λ
global por λi’s por UF, de forma a deixar o modelo mais flex́ıvel. Assim criamos os modelos M6 a M9.
Rodamos as devidas iterações, analisamos convergência e obtemos os DICs apresentados na tabela 3.8.
Os modelos M6 , M7 e M8 mostraram-se igualmente satisfatórios, tendo em vista que distâncias de
até 5 entre o DIC de modelos diferentes indicam que os mesmos ajustaram-se igualmente bem. Sabendo
que os reśıduos comportaram-se bem e as variáveis foram significativas, todos os modelos, deM1 aM9
, dependem apenas do DIC para a escolha. Sendo assim, escolhemos o modeloM6 , por ter apresentado
o melhor DIC dentre os verificados, apesar da maior penalização por parâmetros pD. Usaremos este
modelo para explicar a taxa de mortalidade infantil.
25
Tabela 3.8: Comparação de modelos via DIC: dados da taxa de mortalidade infantil - Parte II.
Modelo Distribuição de yi,t DIC pD
M6 t3(µi,t, σ2) 1057,0 147,46
M7 t4(µi,t, σ2) 1058,0 144,90
M8 t5(µi,t, σ2) 1060,0 142,60
M9 t10(µi,t, σ2) 1076,0 135,30
Na figura 3.4 abaixo segue a análise gráfica dos reśıduos.
●●
●
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● ●●
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●
●
●
●
●
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
−
4
−
2
0
2
4
Figura 3.4: Análise de Reśıduos do Ajuste Final.
A tabela 3.9 e as tabelas C.1, C.2, C.3, C.4 e C.5 do apêndice C trazem o resumo da distribuição a
posteriori: média, desvio padrão, percentis de 2.5%, 50% e 97.5%.
Nós interpretamos os parâmetros da seguinte forma:
• ci sendo a propensão inicial associada a cada UF da ocorrência de óbitos de menores de um ano
de idade;
• β1,i sendo a influência do ı́ndice de analfabetismo associada a cada UF;
26
Tabela 3.9: Sumário dos parâmetros da distribuição posteriori do modelo final M6 usado para TMI.
Parâmetro Média D. Padrão 2,5% Mediana 97,5%
µβ1 0,0071 0,0406 -0,0729 0,0070 0,0873
σ2β1 0,0429 0,0126 0,0247 0,0407 0,0739
µβ2 0,0076 0,03850 -0,0686 0,0076 0,0838
σ2β2 0,0401 0,0118 0,0232 0,0381 0,0690
µβ3 0,3821 0,09431 0,1991 0,3804 0,5683
σ2β3 0,1287 0,0493 0,0612 0,1195 0,2499
µβ4 -1,0870 0,1236 -1,3340 -1,0860 -0,8461
σ2β4 0,3723 0,1209 0,1999 0,3518 0,6658
µc 22,5000 2,1350 18,1900 22,5400 26,5900
σ2c 80,5800 31,4900 36,5000 74,8700 157,5000
σ2 0,3216 0,0643 0,2122 0,3162 0,4638
• β2,i sendo a influência do serviço de esgotamento sanitário associada a cada UF;
• β3,i sendo a influência da renda média domiciliar per capita associada a cada UF; e
• β4,i sendo a tendência temporal associada a cada UF.
27
Caṕıtulo 4
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho pudemos trabalhar abordagens que facilitam a análise bayesiana em dados estruturados
como painéis. Trabalhamos com diversos modelos buscados na literatura, usando prinćıpios, testes e
critérios estudados nos cursos de graduação. A inferência pode ser realizada através do algoritmo de
MCMC de modo simples usando o programa OpenBUGS. Para os dois conjuntos de dados - SIDA e
TMI - fizemos a análise bayesiana dos modelos utilizando prioris vagas para os hiperparâmetros. A
utilização de valores iniciais obtidos via análise de regressão por ḿınimos quadrados ajudaram as cadeias
a convergirem mais rapidamente para as distribuições de interesse.
4.1 Óbitos por Śındrome da Imuno-Deficiência Adquirida
Observando as informações da distribuição a posteriori conclúımos que as regiões Sul, Sudeste e Centro-
Oeste, com a adição dos estados de Roraima e Pernambuco, estão mais propensos do que os demais a
abrigarem óbitos associados a portadores de SIDA. Isto pode estar associado a subnumeração de casos
nos demais estados. Podemos ver que Rio Grande do Sul e Santa Catarina são os dois estados com
maior propensão a abrigar tais óbitos.
No que concerne a tendência temporal, podemos perceber que Rio Grande do Norte, Minas Gerais,
Rio de Janeiro, São Paulo e Distrito Federal estão com tendência temporal negativa, ou seja, o volume
de óbitos associados a estas UFs está caindo com o tempo, possivelmente fruto de medidas educativas e
assistencialistas para conter o surto da doença. Os demais estados possuem tendência positiva, ou seja,
crescente, sendo Roraima e Rondônia os estados com maior crescimento de número de óbitos ao longo
dos anos e Rio de Janeiro o estado com maior queda.
Por último, analisando a influência da própria variável no tempo anterior, nota-se que Rio de Janeiro,
São Paulo, Rio Grande do Sul, Distrito Federal e Santa Catarina são extremamente dependentes de suas
ocorrências no tempo anterior, valendo ressaltar que os dois primeiros estados possuem seus respectivos
operadores de defasagem superiores a 0,9.
Retiramos um ano de nossa base de dados, o ano de 2008, refizemos o ajuste do modelo M16 e
realizamos uma previsão dois passos à frente, comparando com valores reais, dado que previamente
possúıamos os dados sobre o ano de 2009. Escolhemos gráficos de UFs, incluindo conturbadas UFs que
apresentaram alta correlação entre seus reśıduos em modelos anteriores, para serem expostos aqui, de
28
forma a mostrar o resultado do ajuste. A figura 4.1 mostra os dados reais, os dados ajustados (preditos),
o intervalos de confiança e para os últimos dois anos (19 e 20) a previsão com base no modelo M16.
5 10 15 20
0.
5
1.
0
1.
5
2.
0
2.
5
3.
0
3.
5
4.
0
Anos
ób
ito
s 
po
r 
S
ID
A
dados estimados
limite inferior de confiança
limite superior de confiança
dados reais
(a) Bahia
5 10 15 20
2
4
6
8
Anos
ób
ito
s 
po
r 
S
ID
A
dados estimados
limite inferior de confiança
limite superior de confiança
dados reais
(b) Mato Grosso do Sul
5 1015 20
0
5
10
15
Anos
ób
ito
s 
po
r 
S
ID
A
dados estimados
limite inferior de confiança
limite superior de confiança
dados reais
(c) Rio de Janeiro
5 10 15 20
2
4
6
8
10
12
14
Anos
ób
ito
s 
po
r 
S
ID
A
dados estimados
limite inferior de confiança
limite superior de confiança
dados reais
(d) Rio Grande do Sul
5 10 15 20
0.
0
0.
5
1.
0
1.
5
2.
0
2.
5
3.
0
Anos
ób
ito
s 
po
r 
S
ID
A
dados estimados
limite inferior de confiança
limite superior de confiança
dados reais
(e) Acre
5 10 15 20
0
5
10
15
20
Anos
ób
ito
s 
po
r 
S
ID
A
dados estimados
limite inferior de confiança
limite superior de confiança
dados reais
(f) São Paulo
Figura 4.1: Predição para estados representativos de cada região - SIDA.
29
As predições mostraram-se satisfatórias, com poucos pontos fora do intervalo de confiança.
E para melhor visualizar as previsões dos dois últimos anos e compará-las aos valores reais, constrúımos
os dois pares de gráficos abaixo.
Previsão da TME por SIDA − 2008
[0,3]
(3,6]
(6,9]
(9,12]
(12,15]
(a) Previsão de 2008.
Valor real da TME por SIDA − 2008
[0,3]
(3,6]
(6,9]
(9,12]
(12,15]
(b) Valores Reais de 2008.
Previsão da TME por SIDA − 2009
[0,3]
(3,6]
(6,9]
(9,12]
(12,15]
(c) Previsão de 2009.
Valor real da TME por SIDA − 2009
[0,3]
(3,6]
(6,9]
(9,12]
(12,15]
(d) Valores Reais de 2009.
Caso pudéssemos escolher estados aos quais devêssemos dedicar mais atenção e iniciativas educativas,
preventivas e interventivas, tais estados seriam Rio de Janeiro, São Paulo, Santa Catarina, Rio Grande
do Sul e Mato Grosso.
30
4.2 Mortalidade Infantil
Observando as informações da distribuição a posteriori conclúımos que os estados de Esṕırito Santo,
Pernambuco, Amapá, Pará e Ceará sofrem maior influência do analfabetismo. Isto corrobora a posição
dos ı́ndices de analfabetismo associados aos estados em questão.
Maranhão, Alagoas, Paráıba, Rio Grande do Norte e Bahia encontram-se no topo da lista dos
influenciados pelo serviço de esgotamento sanitário.
A influência da renda média domiciliar per capita é mais forte nos estados de Alagoas, Maranhão,
Ceará, Pernambuco e Rio Grande do Norte.
Por último, analisando a influência da variável temporal, nota-se que todos os coeficientes são ne-
gativos, isto é, o ı́ndice de mortalidade infantil está caindo com o passar dos anos. Os estados com
queda mais acentuada são Paráıba, Alagoas, Rio Grande do Norte, Sergipe e Ceará. Isso nos permite
conjecturar que o governo, ao longo dos anos, percebeu a necessidade de intervir nos estados de maior
ı́ndice de mortalidade infantil.
Retiramos um ano de nossa base de dados, o ano de 2011, refizemos o ajuste do modelo M3 e
realizamos uma previsão um passo à frente, comparando com valores reais. Escolhemos gráficos - figura
4.2 - de UFs para serem expostos aqui, de forma a mostrar o resultado do ajuste.
As predições mostraram-se satisfatórias, com poucos pontos fora do intervalo de confiança.
E, novamente, para melhor visualização da previsão feita e comparação da mesma com valores reais,
constrúımos os gráficos abaixo.
Muitos destes estados já estão recebendo assistência governamental, porém caso pudéssemos esco-
lher cinco cujos ı́ndices indicam requerer mais atenção, estes seriam Amapá, Maranhão, Pará, Acre e
Roraima.
31
2 4 6 8 10 12 14
12
14
16
18
20
22
Anos
ób
ito
s 
po
r 
S
ID
A
dados estimados
limite inferior de confiança
limite superior de confiança
dados reais
(e) Esṕırito Santo
2 4 6 8 10 12 14
15
20
25
30
Anos
ób
ito
s 
po
r 
S
ID
A
dados estimados
limite inferior de confiança
limite superior de confiança
dados reais
(f) Minas Gerais
2 4 6 8 10 12 14
20
25
30
35
Anos
ób
ito
s 
po
r 
S
ID
A
dados estimados
limite inferior de confiança
limite superior de confiança
dados reais
(g) Pará
2 4 6 8 10 12 14
15
20
25
30
35
40
Anos
ób
ito
s 
po
r 
S
ID
A
dados estimados
limite inferior de confiança
limite superior de confiança
dados reais
(h) Rio Grande do Norte
2 4 6 8 10 12 14
10
12
14
16
18
Anos
ób
ito
s 
po
r 
S
ID
A
dados estimados
limite inferior de confiança
limite superior de confiança
dados reais
(i) Rio Grande do Sul
2 4 6 8 10 12 14
8
10
12
14
16
18
20
Anos
ób
ito
s 
po
r 
S
ID
A
dados estimados
limite inferior de confiança
limite superior de confiança
dados reais
(j) Santa Catarina
Figura 4.2: Predição para estados representativos de cada região - TMI.
32
Previsão da TMI (%) − 2011
[0,5]
(5,10]
(10,15]
(15,20]
(20,25]
(25,30]
(a) Previsão de 2008.
Valor real da TMI (%) − 2011
[0,5]
(5,10]
(10,15]
(15,20]
(20,25]
(25,30]
(b) Valores Reais de 2008.
33
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Congdon, P. (2001). Bayesian statistical modelling (1st ed.). Chichester: John Wiley and Sons.
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Morettin, P. A., e Toloi, C. M. C. (2006). Análise de séries temporais (2nd ed.). São Paulo: Edgard
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bayesian perspective. Applied Stochastic Models in Business and Industry , 22(2), 193-210.
Tierney, L. (1994). Markov chains for exploring posterior distributions. Annals of Statistics, 22 , 1701–
1786.
34
Apêndice A
ORDENAÇÃO DAS UNIDADES DA FEDERAÇÃO
Tabela A.1: Ordenação dos ı́ndices dos coeficientes em relação aos estados.
i Unidade Federativa i Unidade Federativa
1 Rondônia 15 Sergipe
2 Acre 16 Bahia
3 Amazonas 17 Minas Gerais
4 Roraima 18 Esṕırito Santo
5 Pará 19 Rio de Janeiro
6 Amapá 20 São Paulo
7 Tocantins 21 Paraná
8 Maranhão 22 Santa Catarina
9 Piaúı 23 Rio Grande do Sul
10 Ceará 24 Mato Grosso do Sul
11 Rio Grande do Norte 25 Mato Grosso
12 Paráıba 26 Goiás
13 Pernambuco 27 Distrito Federal
14 Alagoas
35
Apêndice B
DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI: MODELO PARA OS DADOS DE SIDA
Tabela B.1: Sumário dos parâmetros c′is da distribuição posteriori do modelo final M16 usado para taxa de
mortalidade por SIDA.
Parâmetro Média D. Padrão 2,5% Mediana 97,5%
c1 0,3456 0,2201 -0,0719 0,3391 0,7983
c2 0,4397 0,2969 -0,1376 0,4365 1,032
c3 0,3815 0,2494 -0,0979 0,3776 0,8875
c4 1,327 0,5139 0,3742 1,306 2,396
c5 0,3061 0,187 -0,0532 0,3027 0,6843
c6 0,4774 0,3368 -0,1749 0,4742 1,154
c1 0,0671 0,2057 -0,3187 0,0598 0,4935
c8 0,2285 0,2276 -0,2056 0,2235 0,6911
c9 0,2889 0,173 -0,0419 0,2859 0,6407
c10 0,7895 0,2613 0,2829 0,7873 1,314
c11 0,8427 0,338 0,1863 0,8392 1,521
c12 0,7557 0,2858 0,2029 0,7517 1,333
c13 1,1580 0,3871 0,4187 1,15 1,94
c14 0,5804 0,2338 0,1273 0,5775 1,051
c15 0,8574 0,3146 0,2371 0,8565 1,482
c16 0,7715 0,2340 0,3262 0,7660 1,249
c17 1,2380 0,3897 0,5006 1,2280 2,027
c18 1,2630 0,3896 0,5173 1,2560 2,053
c19 1,1760 0,5684 0,1689 1,1340 2,42
c20 1,0210 0,5593 -0,0085 0,9930 2,20
c21 1,2720 0,35860,5855 1,2680 1,993
c22 1,4950 0,4098 0,7139 1,4880 2,316
c23 1,6100 0,4362 0,7835 1,6010 2,492
c24 1,3380 0,4683 0,4639 1,3230 2,299
c25 0,9179 0,3927 0,1581 0,9117 1,707
c26 1,2500 0,3703 0,5330 1,2480 1,988
c27 1,2190 0,5721 0,1933 1,18 2,452
36
Tabela B.2: Sumário dos parâmetros δ′is da distribuição posteriori do modelo final M16 usado para taxa de
mortalidade por SIDA.
Parâmetro Média D. Padrão 2,5% Mediana 97,5%
δ1 0,1116 0,0533 0,0108 0,1110 0,2192
δ2 0,0542 0,0365 -0,0181 0,0543 0,1260
δ3 0,0977 0,0481 0,0074 0,0967 0,1954
δ4 0,1207 0,0619 0,0039 0,1189 0,2476
δ5 0,0824 0,0434 0,0053 0,0804 0,1721
δ6 0,0955 0,0438 0,0085 0,0955 0,1815
δ7 0,0993 0,0383 0,0224 0,0999 0,1736
δ8 0,0888 0,0397 0,0133 0,0881 0,1681
δ9 0,0981 0,0344 0,0296 0,0985 0,1659
δ10 0,0333 0,0251 -0,0156 0,0332 0,0834
δ11 -0,0228 0,0250 -0,0711 -0,0231 0,0272
δ12 0,0447 0,0276 -0,0091 0,0445 0,0998
δ13 0,0280 0,0352 -0,0393 0,0273 0,0994
δ14 0,0546 0,0280 -0,0006 0,0545 0,1097
δ15 0,0464 0,0316 -0,0160 0,0464 0,1088
δ16 0,0571 0,0281 0,0037 0,0563 0,1140
δ17 -0,0068 0,0308 -0,0656 -0,0075 0,0559
δ18 0,0417 0,0412 -0,0373 0,0410 0,1249
δ19 -0,0270 0,0467 -0,1181 -0,0274 0,0662
δ20 -0,0247 0,0538 -0,1317 -0,0242 0,0796
δ21 0,0073 0,0327 -0,0552 0,0069 0,0731
δ22 0,0083 0,0391 -0,0661 0,0074 0,0882
δ23 0,0222 0,0479 -0,0663 0,0209 0,1209
δ24 0,0356 0,0381 -0,0382 0,0354 0,1117
δ25 0,0807 0,0503 -0,0147 0,0794 0,1829
δ26 0,0210 0,0302 -0,0376 0,0206 0,0818
δ27 -0,0240 0,0486 -0,1198 -0,0239 0,0718
37
Tabela B.3: Sumário dos parâmetros θ′is da distribuição posteriori do modelo final M16 usado para taxa de
mortalidade por SIDA.
Parâmetro Média D. Padrão 2,5% Mediana 97,5%
θ1 0,4708 0,2115 0,0448 0,4736 0,8761
θ2 0,2939 0,2469 -0,2015 0,2956 0,7732
θ3 0,5893 0,1878 0,2047 0,5943 0,9353
θ4 0,4120 0,1972 0,0236 0,4122 0,7965
θ5 0,6365 0,1858 0,2466 0,6472 0,9569
θ6 0,1348 0,2428 -0,3446 0,1345 0,617
θ7 0,1450 0,2716 -0,3868 0,1418 0,6896
θ8 0,4520 0,2481 -0,0536 0,4590 0,9064
θ9 0,1230 0,2769 -0,4261 0,1227 0,6728
θ10 0,5267 0,1812 0,1565 0,5298 0,8764
θ11 0,6469 0,1510 0,3359 0,6512 0,9302
θ12 0,3964 0,2164 -0,0414 0,4011 0,8115
θ13 0,6930 0,1315 0,4254 0,6963 0,9403
θ14 0,2871 0,2457 -0,2044 0,2886 0,7681
θ15 0,3619 0,2062 -0,0492 0,3635 0,7686
θ16 0,4583 0,2090 0,0329 0,4650 0,852
θ17 0,7570 0,1080 0,5345 0,7603 0,9554
θ18 0,6671 0,1334 0,3953 0,6698 0,9221
θ19 0,9247 0,0459 0,8222 0,9299 0,9946
θ20 0,9241 0,0466 0,8198 0,9293 0,9947
θ21 0,7357 0,1146 0,5024 0,7385 0,95
θ22 0,8338 0,0789 0,6704 0,8369 0,9758
θ23 0,8639 0,0712 0,7126 0,8677 0,9855
θ24 0,7186 0,1208 0,4709 0,7216 0,9441
θ25 0,6611 0,1481 0,3594 0,6656 0,9373
θ26 0,6214 0,1366 0,3475 0,6223 0,8888
θ27 0,8523 0,0804 0,6794 0,8583 0,9856
38
Apêndice C
DISTRIBUIÇÃO A POSTERIORI: MODELO PARA OS DADOS DE TMI
Tabela C.1: Sumário dos parâmetros c′is da distribuição posteriori do modelo final M6 usado para taxa de mor-
talidade infantil.
Parâmetro Média D. Padrão 2,5% Mediana 97,5%
c1 28,2500 3,1740 21,7300 28,3000 34,4600
c2 22,5 5,0450 12,2600 22,5000 32,3100
c3 34,7700 3,4300 27,8000 34,9200 41,1600
c4 19,3500 5,0170 9,2700 19,4000 29,3100
c5 38,5000 3,3820 31,0800 38,8400 44,0100
c6 27,4600 4,7530 17,8100 27,5400 36,7700
c7 38,1000 5,9950 26,0300 38,1000 49,7000
c8 15,5400 4,7280 6,4160 15,3900 25,1900
c9 27,0200 6,5280 13,4700 27,0900 39,3900
c10 21,8400 5,3720 11,5000 21,8300 32,7700
c11 21,0700 5,7230 9,6730 21,4100 31,5600
c12 23,5900 6,8710 10,1200 23,6200 37,3900
c13 18,0200 6,2450 5,2130 18,2600 29,7700
c14 13,0100 5,9680 0,6095 13,0900 24,6700
c15 32,1400 3,8150 24,5400 32,1800 39,6200
c16 24,2100 4,7520 14,7800 24,2600 33,4300
c17 22,0400 3,6310 14,7500 22,1300 29,2200
c18 11,4700 3,2220 5,3870 11,4100 18,1400
c19 23,8900 5,7300 12,3600 23,8100 34,7500
c20 11,9400 5,4560 2,6960 11,3100 24,5900
c21 13,1600 2,6440 8,0310 13,0500 18,5200
c22 18,7900 3,2410 12,1000 18,8500 25,0400
c23 14,6000 3,4920 8,2570 14,5500 21,8100
c24 20,9300 3,0250 14,9900 20,9200 26,6300
c25 28,2800 2,5750 23,0700 28,3400 33,2200
c26 21,2700 3,3580 14,6900 21,2200 27,8100
c27 17,7500 5,6150 6,0660 18,2000 27,8000
39
Tabela C.2: Sumário dos parâmetros β′1,is da distribuição posteriori do modelo final M6 usado para taxa de
mortalidade infantil.
Parâmetro Média D. Padrão 2,5% Mediana 97,5%
β1,1 0,0147 0,0148 -0,0149 0,0149 0,0440
β1,2 -0,0006 0,0589 -0,1153 -0,0015 0,1185
β1,3 0,0073 0,0273 -0,0443 0,0062 0,0642
β1,4 0,0385 0,0307 -0,0231 0,0389 0,0987
β1,5 0,0503 0,0228 0,0070 0,0497 0,0972
β1,6 0,0523 0,0327 -0,0153 0,0532 0,1151
β1,7 -0,0280 0,0187 -0,0669 -0,0274 0,0075
β1,8 -0,0268 0,0446 -0,1137 -0,0272 0,0633
β1,9 -0,0027 0,0508 -0,1026 -0,0033 0,1003
β1,10 0,0474 0,0501 -0,0488 0,0465 0,1485
β1,11 0,0075 0,0252 -0,0411 0,0068 0,0590
β1,12 0,0368 0,1059 -0,1669 0,0341 0,2553
β1,13 0,0536 0,0254 0,0031 0,0532 0,1055
β1,14 0,0098 0,0202 -0,0284 0,0092 0,0512
β1,15 -0,0006 0,0197 -0,0387 -0,0008 0,0387
β1,16 -0,0104 0,0276 -0,0649 -0,0106 0,0444
β1,17 -0,0036 0,0304 -0,0672 -0,0025 0,0527
β1,18 0,0643 0,0309 0,0003 0,0651 0,1228
β1,19 -0,0712 0,0602 -0,1836 -0,0730 0,0479
β1,20 -0,0036 0,0615 -0,1470 0,0049 0,0937
β1,21 0,0059 0,0179 -0,0282 0,0055 0,0428
β1,22 -0,0628 0,0310 -0,1266 -0,0627 -0,0015
β1,23 0,0465 0,0285 -0,0109 0,0469 0,1023
β1,24 0,0011 0,0079 -0,0145 0,0011 0,0168
β1,25 -0,0117 0,0197 -0,0508 -0,0119 0,0278
β1,26 0,0156 0,0160 -0,0168 0,0157 0,0474
β1,27 -0,0439 0,0541 -0,1433 -0,0457 0,0677
40
Tabela C.3: Sumário dos parâmetros β′2,is da distribuição posteriori do modelo final M6 usado para taxa de
mortalidade infantil.
Parâmetro Média D. Padrão 2,5% Mediana 97,5%
β2,1 0,0037 0,0031 -0,0023 0,0037 0,0102
β2,2 0,0126 0,0062 0,0003 0,0127 0,0250
β2,3 0,0039 0,0063 -0,0082 0,0038 0,0173
β2,4 0,0008 0,0048 -0,0086 0,0007 0,0107
β2,5 -0,0125 0,0059 -0,02306 0,0129 0,0002
β2,6 -0,0018 0,0122 -0,0250 -0,0022 0,0238
β2,7 -0,0034 0,0078 -0,01941 -0,0034 0,0121
β2,8 0,0324 0,0160 -0,0010 0,0330 0,0625
β2,9 0,0148 0,0160 -0,0184 0,0153 0,0451
β2,10 0,0097 0,0130 -0,0175 0,0100 0,0344
β2,11 0,0195 0,0067 0,0059 0,0197 0,0325
β2,12 0,0196 0,0191 -0,0196 0,0199 0,0569
β2,13 0,0160 0,0092 -0,0029 0,0161 0,0340
β2,14 0,0280 0,0068 0,01381 0,0283 0,0407
β2,15 0,0029 0,0058 -0,0091 0,0031 0,0140
β2,16 0,0192 0,0067 0,0054 0,0192 0,0329
β2,17 0,0070 0,0027 0,0016 0,0070 0,0127
β2,18 0,0038 0,0039 -0,0041 0,0039 0,0116
β2,19 0,0049 0,0026 -0,0002 0,0049 0,0100
β2,20 0,0077 0,0020 0,0037 0,0077 0,0120
β2,21 0,0069 0,0036 0,0001 0,0069 0,0140
β2,22 0,0076 0,0027 0,0019 0,0077 0,0128
β2,23 -0,0050 0,0029 -0,0113 -0,0049 0,0004
β2,24 0,0031 0,0031 -0,0029 0,0031 0,0093
β2,25 0,0040 0,0037 -0,0034 0,0041 0,0111
β2,26 -0,0047 0,0044 -0,0135 -0,0048 0,0043
β2,27 0,0032 0,0015 0,0000 0,0032 0,0062
41
Tabela C.4: Sumário dos parâmetros β′3,is da distribuição posteriori do modelo final M6 usado para taxa de
mortalidade infantil.
Parâmetro Média D. Padrão 2,5% Mediana 97,5%
β3,1 0,5048 0,1800 0,1444 0,5038 0,8822
β3,2 0,2600 0,1545 -0,0435 0,2598 0,5675
β3,3 0,2539 0,1412 -0,0145 0,2496 0,5481
β3,4 0,1656 0,2249 -0,2799 0,1640 0,6175
β3,5 0,0406 0,1311 -0,1879 0,0304 0,3254
β3,6 0,3788 0,2334 -0,0878 0,3810 0,8305
β3,7 0,2785 0,2692 -0,2449 0,2862 0,8014
β3,8 0,7069 0,1372 0,4299 0,7108 0,9701
β3,9 0,4218 0,1915 0,0645 0,4176 0,8183
β3,10 0,6355 0,2087 0,2150 0,6354 1,0360
β3,11 0,5490 0,2074 0,1695 0,5394 0,9587
β3,12 0,5294 0,2160 0,1005 0,5296 0,9558
β3,13 0,6228 0,2266 0,1976 0,6154 1,0760
β3,14 0,7713 0,1582 0,4623 0,7692 1,1030
β3,15 0,5097 0,1513 0,2160 0,5083 0,8111
β3,16 0,4788 0,1947 0,1057 0,4813 0,8628
β3,17 0,3476 0,2460 -0,1359 0,3433 0,8524
β3,18 0,2728 0,1984 -0,1233 0,2770 0,6557
β3,19 0,2758 0,2877 -0,2963 0,2804 0,8327
β3,20 0,2811 0,3168 -0,3741 0,2990 0,8511
β3,21 0,4761 0,2669 -0,0325 0,4724 1,0080
β3,22 0,0338 0,2960 -0,5571 0,0289 0,6180β3,23 0,4802 0,3089 -0,1339 0,4835 1,0950
β3,24 0,3863 0,2363 -0,0670 0,3885 0,8518
β3,25 0,2057 0,2001 -0,1784 0,2018 0,6027
β3,26 0,3423 0,2178 -0,0831 0,3452 0,7707
β3,27 0,1067 0,3024 -0,4976 0,1112 0,6871
42
Tabela C.5: Sumário dos parâmetros β′4,is da distribuição posteriori do modelo final M6 usado para taxa de
mortalidade infantil.
Parâmetro Média D. Padrão 2,5% Mediana 97,5%
β4,1 -1,1810 0,0541 -1,2890 -1,1810 -1,0730
β4,2 -0,9034 0,0952 -1,0930 -0,9033 -0,7152
β4,3 -1,3570 0,1097 -1,5670 -1,3610 -1,1310
β4,4 -0,3437 0,1116 -0,5709 -0,3417 -0,1283
β4,5 -0,9814 0,05070 -1,0810 -0,9819 -0,8788
β4,6 -0,2833 0,2136 -0,7250 -0,2774 0,1206
β4,7 -1,3470 0,2693 -1,8390 -1,3520 -0,7915
β4,8 -1,3890 0,2423 -1,8690 -1,3890 -0,9107
β4,9 -1,6910 0,3306 -2,3060 -1,7060 -0,9720
β4,10 -1,7580 0,2765 -2,2950 -1,7630 -1,2070
β4,11 -1,7730 0,1769 -2,1060 -1,7760 -1,4100
β4,12 -2,1540 0,2877 -2,7040 -2,1650 -1,5610
β4,13 -1,6430 0,1760 -1,9930 -1,6440 -1,2950
β4,14 -1,8330 0,1626 -2,1490 -1,8350 -1,5010
β4,15 -1,7710 0,1555 -2,0720 -1,7760 -1,4540
β4,16 -1,4250 0,1769 -1,7600 -1,4340 -1,0700
β4,17 -1,0020 0,1104 -1,2140 -1,0030 -0,7760
β4,18 -0,6578 0,1193 -0,8971 -0,6569 -0,4208
β4,19 -0,7086 0,0746 -0,8522 -0,7098 -0,5602
β4,20 -0,6437 0,06585 -0,7787 -0,6415 -0,5219
β4,21 -0,7976 0,1311 -1,0620 -0,7946 -0,5579
β4,22 -0,7714 0,1174 -0,9881 -0,7739 -0,5327
β4,23 -0,3107 0,0813 -0,4739 -0,3095 -0,1493
β4,24 -0,7561 0,1085 -0,9676 -0,7545 -0,5424
β4,25 -0,9443 0,1096 -1,156 -0,9471 -0,7233
β4,26 -0,3770 0,1415 -0,6559 -0,3749 -0,1020
β4,27 -0,5537 0,0947 -0,7393 -0,5538 -0,3654