157508

Prévia do material em texto

ANALISE NÃO-LINEAR GEOMETRICA DE PORTICOS TRIDIMENSIONAIS PELO 
METODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
Adilson Carvalho Benjamin 
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE 
POS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA 
NEIRO, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO DO 
GRAU DE MESTRE EM CitNCIAS (M.Sc.). 
aprovada por: 
Nelson Francisco Favilla Ebecken 
Presidente 
/ Ronaldo' Carvalho Batista ~ . 
/ 
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL 
JUNHO DE 1982 
ou a 
BENJAMIN, ADILSON CARVALHO 
Anilise Nio-Linear Geomitrica de P6rticos 
Tridimensionais pelo Mitodo dos Elementos Fi 
nitos [Rio de Janeiro] 1982. -
VIII, 220p. 29,7cm (COPPE-UFRJ, M.Sc. 
Engenharia Civil, 1982) 
Tese - Universidade Federal do Rio de Ja-
neiro - Escola de Engenharia 
l.Nio-Linearidade Geomitrica I.COPPE/UFRJ 
II.Titulo(sirie) 
i. i 
~ meus pais, Amarilio e 
Linda 
i i i 
AGRADECIMENTOS 
Ao Prof. Nelson Francisco Favilla Ebecken pela 
orientação deste trabalho e pelo incentivo e compreensão nas ho-
ras de desânimo. 
Ao amigo e companheiro de estudos João de Deus Fon 
seca Neto pela solidariedade prestada em todos os momentos. 
Aos Professores da COPPE/UFRJ, em especial ao Pro 
fessor Abimael Fernando Dourado Loula, pelos ensinamentos recebi 
dos. 
Aos meus parentes e familiares do Rio, de Brasí-
lia e de Salvador, em especial a tio Waldemar, por tudo que fez 
por mim nestes tr~s anos de Rio. 
Ao CNPq pelo apoio financeiro. 
A ~elena Santos de Oliveira pela excelente datilo 
grafia deste trabalho. 
i V 
SUMIIRIO 
Neste trabalho, são apresentadas duas formulações 
consistentes de elementos finitos, para anãlise não-linear geom~ 
trica de põrticos tridimensionais. 
Na primeira, a discretizaçâo ê feita atravês de 
um elemento de eixo reto e seção transversal constante, que in-
terpola os deslocamentos utilizando as funções convencion~is de 
põrtico. 
Na segunda, o e 1 emento, de eixo curvo e seção tran~ 
versal variãvel, ê resultante da degeneração do elemento isopari 
metrice tridimensional. 
V 
ABSTRACT 
ln this work, the finite element method is applied 
to problems in~olving the geometrically nonlinear behaViour of 
framed structures. Two consistent formulations of three-dimen-
sional beam element are presented. 
ln the first one, the element is straight with 
constant cross section and the displacements are interpolated by 
the usual beam functions. 
ln the other one, the element is arbitrarily cur-
ved in space with variable cross section and results from the de 
generation of the three-dimensional isoparametric element. 
vi 
INDICE 
INTRODUÇ/\0 ............................................ . 
I - N/\0-LINEARIDADE GEOMtTRICA ...................... . 3 
1.1 - Grandes Deslocamentos ...... .... ...... ...... 4 
l.2 - Instabilidade.............................. 6 
l .3 - Interaçio Axial-Transversal ..... ..... ...... 12 
I I - FUNDAMENTOS TEÕRICOS l 7 
2.1 - Descriçio do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
2.2 - Deformaçio do Corpo . ... ........ ............ 19 
2.3 - Distribuiçio de Tensões ........ ·............ 25 
2.4 - Equilibrio do Corpo .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 
2.5 - Comportamento do Material ...... ...... ...... 30 
2.6 - Formulaçio do Problema Geral da Elasticidade 31 
2. 7 - Hipótese de Pequenas Deformações . . . . . . . . . . . 33 
III - MtTODOS DE ANIILISE . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 
3.1 - Resumo Histórico . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ... . . . . 39 
3.2 - Algoritmos ................................. 44 
3.3 - Mêtodo dos Elementos Finitos .. ... ....... .. . 45 
3.4 - Mêtodo da Viga-Coluna . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . 54 
IV - MODELO l - ELEMENTO DE EIXO RETO E SEÇ/\0 TRANSVER-
SAL CONSTANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 
4. l - Campo de Deslocamentos 63 
4.2 - Equações Constitutivas e Campo de Tensões .. 69 
4.3 - Matriz de Rigidez e Vetor de Forças Internas 72 
4.4 - Matriz de Rigidez Nio-Linear 76 
V 
Vi i 
4.5 - Transformação do Sistema de Referência Local 
Fixo para o Sistema Local Mõvel............. 86 
- MODELO 2 - ELEMENTO DE EIXO CURVO E SEÇliO TRANSVE~ 
SAL E NUMERO DE NÕS VARiliVEIS ................... . 93 
5.1 - Campo de Deslocamentos . . . .. . . ... . . . . . . . .... 95 
5.2 - Campo de Tensões e Equações Constitutivas . . 107 
5.3 - Matriz de Rigidez Linear e Vetor de Forças 
Intérnas ................................... 120 
5.4 - Matriz de Rigidez Não-Linear 1 21 
5.5 - Cossenos Diretores dos Eixos dos Sistemas de 
Referência Locais .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 126 
5.6 - Matriz de Rigidez do Elemento e Vetor de For 
ças Internas com todos os Coeficientes Corres 
pondendo a Graus de Liberdade Referidos ao 
Sistema Global............................. 129 
5.7 - Esquema de Integração para o Cãlculo das Ma-
trizes de Rigidez e do Vetor de Forças..... 132 
5.8 - Indicações para a Formulação do Elemento de 132 
Seção Transversal Circular ................ . 
VI - RESULTADOS NUMtRICOS E COMPARAÇÕES . .. . . . . . . .. .. .. 136 
6 .1 - Viga Engastada 1 3 6 
6.2 - Coluna de Euler............................ 145 
6.3 - Arco Circular Abatido . .. . . ... . . ... .. .. ..... 156 
6.4 - Viga Balcão................................ 165 
6.5 - Põrtico Tridimensional 
6.6 - PÕrtico Tridimensional 2 
6.7 - Tempos de Geração das Matrizes de Rigidez e 
l 7 2 
179 
do Vetor de Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 
VII - CONCLUSliO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 
BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 
Vi i i 
APtNDTCE A - PROGRAMA PAPT-NLG {PROGRAMA PARA ANALISE DE PÕRTI 
COS TRIDIMENSIONAIS CONSIDERANDO NIIO - LINEARIDADE 
GEOMETRICA) • • • • • • • • • • . . • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • 206 
1 
INTRODUÇJ\O 
O estudo do comportamento não-linear das estruturas 
engloba uma bibliografia bastante diversificada. 
Em gera 1, as formulações apresentadas uti 1 i zam uma 
teoria linear, a qual foram acoplados termos não-lineares, mais 
ou menos complexos de acordo com a precisão desejada. 
Em publ i caçoes mais recentes foram desenvolvi das 
formulações de elementos finitos que utilizam como ponto de par-
tida uma teoria geral. Esta teoria, que pode ser simplificada 
de acordo com o tipo de comportamento e de estrutura em estudo, 
inclui comportamentos linear, não-linear geométrico e não-linear 
fisico, para carregamentos estãticos ou dinãmicos. A condição de 
equilibrio é representada por uma equação incremental não-linear, 
determinada a partir dos principios da mecãnica dos solidos.Equ! 
ção esta que, apos ser linearizada, é discretizada e resolvida 
utilizando-se elementos finitos. 
Seguindo este Ültimo enfoque desenvolveram-se neste 
trabalho, duas formulações consistentes de elementos finitos pa-
ra analise não-linear geométrica de porticos tridimensionais. A 
primeira resulta em um elemento de eixo reto e seção transversal 
constante em que os deslocamentos são interpolados por funções 
convencionais de portico. Na segunda, um el~mento de eixo curvo 
e seção transversal variãvel é obtido através da degeneração do 
elemento isoparamétrico tridimensional. 
No Capitulo I são mostradas as principais caracte-
risticas do comportamento não-linear geométrico utilizando-se es 
truturas simples. 
2 
Os conceitos da mecânica dos sÕlidos relacionados 
com a não-linearidade geomêtrica são apresentados no Capitulo II. 
O Capitulo III ê constituído por quatro itens que 
tratam de assuntos distintos. No item 3.1 faz-se um resumo da 
evolução dos mêtodos matriciais de anãlise estrutural, desde o 
seu surgimento. No item 3.2 são apresentados, de forma esquemI 
tica, os principais tipos de algoritmos utilizados na resoluçãode equações não-lineares. No item 3.3 uma equação incremental não 
-linear ê deduzida a partir dos princípios da mecânica dos sõli-
dos, linearizada e discretizada atravês de elementos finitos. No 
item 3.4 apresenta-se resumidamente a formulação do mêtodo da 
viga-coluna. 
Derivam-se as matrizes de rigidez e o vetor de for-
ças internas do elemento de eixo reto e seção transversal cons-
tante (modelo 1) no Capitulo IV e do elemento de eixo curvo e se 
çao transversal variãvel (modelo 2) no Capitulo V. 
Os resultados das anãlises de vãrias estruturas en-
contram-se no Capitulo VI. 
O Capitulo VII consta de comentãrios sobre os dois 
modelos e sugestões para pesquisas futuras. 
Um programa em linguagem FORTRAN IV, constituido P! 
los procedimentos computacionais necessãrios para a implementa-
çao dos modelos l e 2, ê descrito e comentado no Apêndice A. 
3 
I - NAO-LINEARIDADE GEOMtTRICA 
Quando numa anãlise estrutural os efeitos da mu-
dança· de geometria sao considerados, a relação carga-des-
locamento e não-linear. Esta não-linearidade ê chamada de geom~ 
trica e, em geral, pode ser desconsiderada nas situações em que 
a hipótese de pequenos deslocamentos for vãlida. 
A não-linearidade geomêtrica ê relevante nos ca-
sos de deslocamentos relativamente grandes, de estabilidade es-
trutural e de interação axial-transversal. Ou seja, nos casos 
em que devido a grandeza dos deslocamentos surge a necessidade 
de se escreverem as equaçoes de equilibrio em relação a configu-
raçao deformada da estrutura, ou ainda, mesmo com deslocamentos 
relativamente pequenos, quando a disposição das cargas na estru-
tura seja tal que,combinada com os deslocamentos, leve a uma si 
tuação de instabilidade ou ao surgimento de esforços adicionais. 
Os sistemas estruturais constituídos por membros 
esbeltos, em geral, exigem uma anãlise não-linear geomêtrica. 
Quando os efeitos não-lineares implicam em enrij~ 
cimento da estrutura a utilização de uma anãlise linear conduz a 
uma estrutura segura, porem pouco eficiente do ponto de vista 
de aproveitamento do material. No entanto, se o comportamento 
não-linear se caracteriza por perda de rigidez ou instabilidade 
a utilização de uma anãlise linear pode reduzir bastante a mar-
gem de segurança, chegando atê mesmo a causar o colapso da estru 
tura. 
Neste capitulo, estudam-se o enrijecimento, a in~ 
tabilidade e a perda de rigidez em estruturas simples: a viga, a 
coluna e o arco. 
4 
l. l - GRANDES DESLOCAMENTOS 
A viga em balanço com uma carga concentrada na e~ 
tremidade (Figura l.la)ilustra muito bem o comportamento de uma 
estrutura sujeita a deslocamentos relativamente grandes. Nas Fig~ 
ras l. lb e l. lc encontram-se representadas as configurações defor-
madas da viga para os casos de pequenos e grandes deslocamentos 
relativos, respectivamente. 
No caso de deslocamentos relativamente pequenos 
adota-se a solução linear do problema. Como o equilibrio ê fei-
to em relação a configuração indeformada, o deslocamento horizo~ 
tal do ponto B tu 8 ) e desprezado, calculando-se apenas o deslo-
camento vertical (v 8 ) Esta solução ê vilida desde que v8 se 
ja pequeno quando comparado com o vão da viga 
A medida em que a relação 
VB 
T 
{L) . 
vai crescendo a hi 
põtese de pequenos deslocamentos vai se tornando menos represen-
tativa da realidade. Adota-se então a solução não-linear,que tor 
na possivel o cilculo de u8 e fornece valores menores que os 
lineares para e (momento no apoio). 
A redução no valor de MA ocorre porque, como o 
equilibrio ê feito em relação a configuração deformada, a distã~ 
ci a i entre os pontos A e B {Figura l. l c) diminui a medi da em 
que aumenta. 
A redução no valor de v8 e uma consequência do 
enrijecimento que a viga sofre durante o carregamento. Isto pode 
ser constatado através do grifico da Figura l. ld. A partir de de 
terminado valor da carga a relação P x v8 torna-se não-linear com 
a carga crescendo mais rapidamente que o deslocamento. 
PL2 
E I 
Ai 
1 
5 
L 
( a l 
( b) 
l, L->1.ii 
( e ) 
-----------
p 
t 
p 
j +vb 
~ 
....... 
' 
--
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1. 4 Vb /L 
( d) 
Figuro 1.1 
6 
1.2 - INSTABILIDADE 
Como exemplo de estrutura sujeita a instabilidade 
tem-se a coluna esbelta carregada axialmente (Figura 1.2a), conh! 
cida tambêm como coluna de Euler 1 • Neste tipo de estrutura ocor 
re o fenômeno da bifurcação simêtrica estãvel 2 • 
Este fenômeno encontra-se representado graficame~ 
te na Figura 2c. A coluna se mantem reta atê que a carga p atin 
ja valor da de Euler (PE 
112 L E I ) Neste ponto existe o carga = 
uma bifurcação de equilíbrio, ou seja, a coluna pode permanecer 
na configuração reta, que se tornou instãvel, ou passar para a 
configuração curva (Figura 1.2b), que ê a nova configuração estã-
ve l . 
Para valores de P superiores a PE a coluna en 
contra-se fletida e a relação entre carga e deslocamento trans-
versal ê nao-linear, com a carga crescendo mais rapidamente que 
o deslocamento (enrijecimento). Este trecho da curva P x vc e 
chamado de caminho pôs-critico. 
A determinação do caminho pôs-critico ê feita ut1 
li zando-se uma teoria não-1 i near 1; 3 , que pode ser dispensada qua~ 
do se quer calcular apenas a carga de Euler. 
Os deslocamentos axiais da coluna tambêm sao afe-
tados pela mudança de configuração. A curva P x u8 , apresent! 
da na Figura 2d, mostra que a partir de um certo ponto "a", que 
corresponde a mudança de configuração, inicia-se um trecho em que 
o deslocamento passa a crescer mais rapidamente 4 • 
Dentre as suposições feitas para a idealização da 
coluna de Euler duas são particularmente difíceis de ocorrer: a 
perfeita linearidade do eixo da coluna e a aplicaçio concêntrica 
7 
A e e.,. p 
,A. X , L/2 L/2 f , 
( a ) 
d_vc 
~-----y p =z:--
( b ) -f':!!t 
2.0 
I.Of----=----- -
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Vc /L 
( e ) 
p 
a 
~-------------- µb 
( d ) 
Figura 1. 2 
8 
A ~o A p 
.IS: --2.L 
~ 
L/2 
l 
L/2 
'1 
( o ) 
Vc 
p 
-- --·_::.-~---
( b ) 
p , 
PE I 
ao= o 
o 1 
º2 
1.0 
( e l 
Figuro l.3 
9 
e 
L/2 L/2 
( . ) 
( b ) 
p 
PE 
'1o' O 
2.0 
QI 
€2 
1.0 
( e ) 
Figura 1.4 
l o 
da carga. As situações em que estas hipõteses nao sao cumpridas 
são analisadas através das colunas esbeltas com curvatura inicial 
do eixo (coluna imperfeitaj e das colunas com carregamento excen-
trico. 
Estes dois tipos de colunas têm comportamentos bas 
tante semelhantes, como pode ser constatado comparando-se as cur 
vas P x vc das Figuras 1.3c e l.4·c. Em ambos os casos não existe. 
bifurcação de equilibrio, a flexão tem inicio desde o instante 
de aplicação da carga. A relação carga-desl ocamente e não-1 i near. 
No trecho inicial da curva a carga cresce mais rapidamente que o 
deslocamento, porém a medida em que P se aproxima de PE esta 
relação vai se modificando e no trecho final o deslocamento pas-
sa a crescer mais rapidamente que a carga (perda de rigidez). 
Colunas com imperfeições iniciais, ou excentrici-
dades, grandes apresentam deslocamentos transversais considerã-
veis com cargas muito abaixo da carga de Euler (Figuras .l.3c e 1.4c), 
enquanto as colunas com imperfeições iniciais, ou excentricida-
des, pequenas experimentam deslocamentos transversais apreciiveis 
apenas quando P se encontra bastante prõxima de PE . 
Em outro tipo de estrutura, o arco abatido, a ins 
tabilidade e precedida por uma redução crescente da rigidez de 
flexão e a mudança de configuração ocorre de uma man~ira brusca 
e violenta, com liberação de energia 2 • 
O comportamento de um arco abatido quando solici-
tado por uma carga concentrada· (__~ig_ura _l .Sa) encontra-se represe.!:_ 
tado no grifice da Figura 1.5d. 
A relação entre a carga p e o deslocamento v 
se mantem linear até P atingir um determinado valor prõximo de 
li 
p 
P.crll. 
l l 
p 
e 
-+----- Y~Z----.1,---L=/~2~----~ 
( a l 
,,.-
/ 
--- ---( b) 
_____ p __ _ 
( e ) 
b 
1 
I 1 
I 1 
I 1 I 
I I 
I 
I 
I 
I / 
I .. ./ 
I d 
Figura l.5 
e 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
v. 
l 2 
P ·t (ponto ''a'' da curva P x v) . Dai em diante torna-se nao cri 
linear com o deslocamento crescendo mais rapidamente que a carga 
P (redução de rigidez). 
Quando P alcança valor igual ao de p "t cri (po~ 
to b) ocorre uma variação dinâmica no deslocamento e o arco Pª! 
sa de uma configuração concava (Figura 5b}, que se tornou instã-
vel, para uma convexa, que e a nova configuração estãvel. 
Logo em seguida (ponto c) ê estabelecida outra r! 
lação não-linear entre P e v , com o deslocamento crescendo mais 
lentamente que a carga (enrijecimento). 
O trecho tracejado da curva corresponde a um pro-
cesso de variação da carga em que os incrementas de carga são n! 
gativos (descarregamento e carregamento no sentido contrãrio).Ao 
ser atingida uma carga igual a - Pcrit (ponto d) volta a ocor-
rer uma variação dinâmica no deslocamento, desta vez no sentido 
oposto. 
1.3 - INTERAÇAO AXIAL-TRANSVERSAL 
Como exemplo de estrutura em que ocorre interação 
entre as forças axial e transversal tem-se a viga-coluna. 
A viga-coluna e uma peça de eixo reto submetida 
simultaneamente a compressao e flexão. Flexão esta que pode ser 
causada tanto por momentos aplicados nos apoios quanto por carre 
gamento transversal'. 
Assim, a coluna esbelta carregada excentricamente 
pode ser vista como um caso particular de viga-coluna, em que a 
flexão surge como um efeito secundãrio. Secundãrio no sentido 
de que os momentos nos apoios são acidentais, pois exi~tem ape-
1 3 
Q 
A;.-------;;--------i.B,_ __ _ 
e 
t L/2 
Q 
LO ---_.,,. 
Q 
( b ) 
/ 
.,/ 
/ 
/ 
L/2 
e) 
- O 7 I'• P- . 
I 
~ªº'º 
I 
/ 
/ 
p 
--------
(d) 
Figura l. 6 
Vc 
Vc/L 
l 4 
Q 
A ! B 
A e A 
L 
( a l 
Q 
;JS; 
JéVc 
:z. 
HA ( b ) He 
Q 
( e l 
Fiouro 1.7 
l 5 
nas quando uma carga que deveria ser concêntrica e aplicada in-
voluntariamente com uma certá excentricidade. 
Em geral, no entanto, flexão e compressao apare-
cem como efeitos primãrios resultantes de carregamentos aplica-
dos intencionalmente. 
Na viga-coluna da Figura C6a- as car'gasaxTa-1 e 
transversal são independentes, podendo variar simultaneamente ou 
uma de cada vez. 
A carga axial, como pode-se verificar no grãfico 
da Figura.f-;-6c provoca uriiá, redução na rigidez de flexão. As cur-
vas P x vc , determinadas para valores constantes de P , apre-
sentam inclinações que diminuem a medida em que a carga axial 
constante P e aumentada. Para um mesmo valor de Q o maior 
deslocamento transversal vc corresponderã a curva em que P for 
maior 3 • 
A carga transversal Q , quando constante, exerce 
sobre o comportamento da viga-coluna efeito semelhante ao da cur 
vatura inici_al na coluna esbelta (Figura l_'.3c). Quando P e Q 
variam simultaneamente a rigidez se red.uz rapidamente -(Figurá l.6d-)., 
A interação entre as forças axial e transversal 
pode ocorrer mesmo em situações em que existe apenas o carrega-
mento transversal. 
Este ê o caso da viga bi-apoiada com restrição ho 
rizontal nos dois apoios, submetida a uma carga aplicada no meio 
do vão tFigura L7a). Esta restrição, ao impedir o deslocamento 
horizontal nos apoios, faz com que surjam forças de reação hori-
zontais'(Figural:?b)_.. a partir do instante em que ocorre desloca-
mento transversal no vão. 
l 6 
Aqui tambem, como no caso da viga engastada, oco~ 
re enrijecimento. A relação carga-deslocamento, inicialmente li 
near, logo se transforma em não-linear, com a carga crescendo 
mais rapidamente que o deslocamento (Figura 1,7c). 
l 7 
II - FUNDAMENTOS TEÕRICOS 
A anãlise não-linear geométrica de estruturas re-
tira os seus fundamentos teõricos da teoria da elasticidade não-
linear, que faz parte da mecânica dos sõlidos. 
A mecânica dos sõlidos, ramo da mecânica que tra-
ta das tensões e deformações nos "solidos" 5 , e desenvolvida a 
partir do conceito de meio continuo. 
O meio continuo é um material hipotético em que 
nao existem falhas ou espaços vazios e que tem as suas propried! 
des descritas por funções matemãticas continuas 6 • 
Os conceitos e equações da mecânica dos sõlidos 
sao gerais o sufuciente para abrangerem, além da teoria da elas-
ticidade, teorias como a viscoelasticidade e a plasticidade 5 • 
A teoria da elasticidade na sua formulação mais 
ampla nao impõe restrições a magnitude dos alongamentos, distor-
çoes, deslocamentos e ângulos de rotação. E também chamada de 
teoria da elasticidade não-linear 7' 8 , em contraposição a teoria 
clãssica que é linear 9 
A não-linearidade geométrica aparece,na teoria da 
elasticidade, nas equações de equilibrio, que sao escritas utili 
zando-se a configuração deformada do corpo, e nas relaçôes defor 
mação-deslocamento, que incluem termos não-lineares. 
Neste Capitulo apresentam-se resumidamente os pri~ 
cipios da mecânic~ dos sõlidos, que servem de base para a formu-
lação variacional do método dos elementos finitos. 
1 8 
2.1 - DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO 
Ao sofrer a ação de um agente externo qualquer, um 
corpo sõl ido muda de configuração, sofrendo a 1 te rações na forma 
e no volume. 
A configuração de um corpo ê descrita por um sis-
tema de coordenadas que tem os seus pontos geomêtricos identific~ 
dos com a posição que as partículas do corpo ocupam no espaço. 
Como em cada configuração a posição das parti cu-
1 as ê diferente, ê necessario que se esta6eleça uma forma ünica 
de determina-las. Isto ê feito escolhendo-se uma configuração 
de referência, a qual todas as outras são relacionadas. 
O vetor ! , que determina a posição da partícula 
na configuração de referência, e o tempo t sao tomados comova 
riaveis independentes. Conhecendo-se t e ! , determina-se o 
vetor y, que fornece a posição da partícula na nova configura-
ção6. 
A descrição do movimento de um corpo feita desta 
maneira e chamada de descrição referencial. t comum escolher-se 
como referência a configuração inicial, correspondente a t = O 
{_descrição lagrangeana), porêm outras configurações podem seres 
colhidas tambêm. Nas deduções feitas a seguir sempre que nao 
houver ressalva estara sendo utilizada a descrição lagrangeana. 
A sequência de mudanças de configuração ê represe~ 
tada pelas equações de deformação: 
(i = 1 , 2 , 3) (2. 1 ) 
ou 
sendo: 
l 9 
y.=x.+u. 
l l l 
yi - componentes cartesianas de r 
fi - funções continuas de x e , 
xi - componentes cartesianas de x 
( 2 . 2 ) 
ui - funções continuas de x e , e componentes carte-
sianas de u , vetor de deslocamentos'-da ri"arTícula 
Os vetores r e x , nas equaçoes (2.1) e (2.2), 
estão referidos ao mesmo sistema de eixos cartesianos. 
2.2 - DEFORMAÇAO DO CORPO 
O estudo da deformação na vizinhança de uma part_I 
cula i feito verificando-se o que ocorre com um elemento infini-
tesimal do corpo. Este elemento i constituido pelo segmento de 
reta que une as posições de duas partículas geniricas P e Q, si 
tuadas infinitamente prõximas uma da outra. Inicialmente P e Q 
ocupam as posições x e x + d~ , deslocando-se para as pos! 
çoes r e r + dr durante a deformação. 
O gradiente de deformação F i definido como o 
tensor que atua no vetor infinitesimal dx , relacionando-o com 
o vetor dt da seguinte forma 6 : 
dt = F dx (2. 3a} 
ou 
dy i = F i k dxk (2.3b} 
onde: 
20 
ou 
sendo: 
ºik - delta de Kronecker 
ºik = para i = k 
a u. 
l 
~ 
ºik = O para i I k 
(2.4a) 
(2.4b} 
Os tensores de deformação ~ , ~ e e sao tenso 
res simétricos definidos a partir do gradiente de deformação: 
ou 
sendo: 
C = F T F 
E .. 
l J 
r3 - matriz identidade 3 x 3 
ºij - delta de Kronecker 
e - tensor de deformação de Green-Lagrange 
(2. 5) 
( 2. 6) 
(2.7a) 
(2.7b} 
As componentes do tensor s sao usualmente expre~ 
sas em termos de deslocamentos. Isto é obtido facilmente substi 
tuindo-se as componentes yk nas equações (.2.7b} pelas equações( 2 . 2) . 
sendo: 
E .. 
lJ 
21 
e .. 
1 J 
1 a u . = (--1 + z a x. 
J 
n .. 
1 J 
eij - parcela linear de Eij 
nij - parcela nâo-linear de 
a u. d.) 
E .• 
1 J 
1 
(2. 8) 
(2.9a) 
(2.9b) 
Nos mêtodos incrementais o tensor E e utilizado 
na sua forma incremental 4 • 
A e .. 
1 J 
A El·J· = A e .. + A n .. 
1 J 1 J 
A n .. 
1 J 
a uk aA uk 
~ _a_x_.) 
J 1 
(2.10) 
(2.lla) 
(2.llb) 
As equaçoes (2.11) sao obtidas substituiffdo-se as 
equações (2.9) em (2.8) e utilizando-se uma decomposiçâo incre-
mental para os deslocamentos ui . 
(2.12) 
sendo: 
N+l ui - componentes do vetor de deslocamentos para a con-
figuraçâo N + 
N u. 
1 
22. 
- componentes do vetor de deslocamentos para a con-
figuração N 
6 u. - componentes do vetor de deslocamentos incrementais. 
1 
A deformação do corpo causa uma variação no com-
primento de um elemento infinitesimal. Esta variação e medida 
atravês do alongamento unitãrio 7 
onde: 
1:,i - mudança ocorrida na distância entre P e Q 
comprimento final menos o inicial 
di - distância inicial entre P e Q . 
(2.13) 
igual ao 
Se a posição inicial do elemento e paralela a um 
dos eixos de referência xi , tem-se 
ou 
l 
E.= (1 + 2 E--) 2 - l 
. 1 1 1 
(2.14a) 
(2.14b) 
Os elementos que se situam, antes da deformação, 
paralelamente aos eixos de referência xi formam entre si ângu-
los retos. Apõs a deformação, estes ângulos são alterados, pas-
sando a valer 7 - @ij . O ângulo @ij e a distorção sofrida 
pelo retângulo infinitesimal de lados dxi e dxj (Figura 2.1}. 
As distorções se relacionam com as outras medidas 
de deformação atravês das seguintes equações 10 : 
ou 
lados 
onde: 
sin 
d X j 
dxi 
cp. . = 
1 J 
23 
2 E .• 
1 J 
(l+E;)(l 
Figura 2.1 
r--
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
--------, 
Tf .:l .. 
- - '!IJ 
2 
1 
1 
1 
1 
1 
(2.15a) 
(2.15b) 
dx. 
1 
A variação da ãrea do retângulo infinitesimal de 
e dx. e dada por 7 : 
J 
dA 
aJÇ = [( l + 2 E i i ) ( l + 2 E j j ) - ( 2 
dA - area apos a deformação 
dA - area antes da deformação o 
E .. ) 2] ! 
1 J 
(2.16) 
As alterações no volume e na densidade de um par~ 
24 
lelepTpedo infinitesimal, de lados inicialmente paralelos aos 
eixos xi , são determinadas através das seguintes equações 7 : 
onde: 
P o = dV = J 
p~ 
dV 
~ 
= 
p - densidade ap5s a deformação 
p
0 
- densidade antes da deformação 
dV - volume ap5s a deformação 
dV
0 
- volume antes da deformação 
J - determinante do gradiente de deformação F 
(2.17al 
(2.17b) 
ti - alongamentos nas direções principais de deformação 
O movimento e deformação de um elemento de volume 
infinitesimal, que ocupa inicialmente a posição x , pode ser 
considerado como resultante de três transformações: uma deforma 
ção, uma rotação de corpo rigido e uma translaçãi atê i Esta 
interpretação do movimento é chamada de teorema da decomposição 
polar e ê representada pela seguinte equação 6 • 
onde: 
R -
F = R U 
tensor ortogonal, isto é, 
rotação de corpo rigido 
(_2. l 8) 
, que produz uma 
U tensor simétrico positivo definido (ver equaçao (2.6)), 
que produz alongamento··e·distorção. E chamado de ten-
sor de deformação direito (right stretch tensor). 
25 
l>P 
"' 
A 
Figura 2. 2 
2.3 - DISTRIBUIÇAO DE TENSÕES 
A definição da tensão em um ponto e feita atraves 
de um limite matemãtico anãlogo ao utilizado no cãlculo diferen-
cial para definir derivada. 
Em um corpo que estã se deformando, uma pequena 
area bA, situada numa superficie fechada arbitrãria A ,estã su 
jeita a açao de uma força bP (Figura 2.2). Esta força resulta 
da interação entre o material interno e externo ã superf1cie e e 
26 
uma função da área e da orientação da superficie. Um vetor uni-
tário v normal a AA , dirigido de dentro para fora de A , fi 
xa o lado externo de AA como sendo o 
AA tender para zero, o quociente 
AP 
lado positivo. Fazendo-se 
dP 
tende rã para o limite dA 
e os momentos agindo na superficie se anularão no limite 5 • Ove 
tor limite 
dP 
t = âA (_2.19) 
ê chamado de vetor de tensâo. Representa a força por unidade de 
área exercida pelo material situado no lado positivo da superfi-
cie sobre o material situado no lado negativo. 
O estado de tensão em um ponto e completamente d~ 
terminado por um tensor de 22 ordem simêtrico chamado de tensor 
tensão de Cauchy t~l-
Conhecendo-se ~, o vetor de tensão t que atua 
num plano arbitrário ê calculado atravês das seguintes equaçoes: 
(2.20a) 
ou 
t. = O .• V· 
1 J 1 J (2.20b) 
sendo: 
v - vetor unitário normal ao plano 
O tensor o está definido em relação a configur~ 
çao presente do corpo. Isto resulta do conceito fisico natural 
e da necessidade de satisfazer as equações do movimento na confi 
guração presente ou deformada. Porêm, para montar as equaçoes 
27 
constitutivas e necessãrio que os tensores de tensão e de defor-
mação estejam definidos em relação a mesma configuração. Por is 
so, quando a configuração de referência não ê a presente, em vez 
do tensor de Cauchy o utiliza-se o 29 tensor de tensão de Pio-
la-Kirchhoff, que e definido em relação a configuração de refe-
rência. 
Este tensor ê obtido a partir de uma força ficti-
cia, dP' = C!') dA' , que se relaciona com a força real, 
dP = C!) dA , da mesma f6rma que dx se relaciona com dt (ver 
equação (2.3a)) 
dP' = F-l dP (.2.2la) 
(!') dA' = F-l (!) dA (2.21b) 
O vetor de tensão ficticio t' e calculado atra-
ves de uma equação anâloga a equação (2.20a). 
onde: 
se: 
(.2.22) 
S - 29 tensor de tensão de Piola-Kirchholff 
v'- vetor unitârio normal a superficie dA' , situada na 
configuração de referência 
Substituindo-se (2.20a) e (.2.22) em (2.21b) tem-
(~T ~') dA' = F-l (c:i:T ~) dA (2.23) 
28 
Apõs algumas-operações algébricas' e obtida a se-
guinte expressao para S 
ou 
p -o 
(2.24a) 
(2.24b) 
A equaçao (2.24a) mostra que, assim como o, o ten 
sor S também e simétrico. 
2.4 - EQUJLTBRIO DO CORPO 
O movimento de um corpo sõlido deformãvel é regi-
do pelas duas leis do movimento de Cauchy. Estas leis são dedu-
zidas através da aplicação dos princípios de conservação das qua~ 
tidades de movimento linear e angular'. Segundo elas em cada po~ 
to do corpo deve-se ter: 
ou 
e 
sendo: 
Vo + b = 
dv 
p ãf (2.25a) 
ªº ji dv. b. l 
d + 
- . p aT Y· l J 
(2.25b) 
a= a1 (2.26) 
Vo divergente do tensor çi: , com derivadas parciais em re 
lação as coordenadas yi 
b • vetor das forças de massa (força por unidade de volu 
me) 
dv 
dt 
29 
vetor de aceleração 
p - densidade do material na configuração deformada 
a aceleração 
Quando o corpo se encontra em equilíbrio estãtico 
dy 
êlt ê nula e as equaçoes do movimento (equações 
2.25)), passam a ser chamadas de equações de equilíbrio. 
ou 
Vo + b = O 
a o .. 
J 1 
d y. 
J 
+ b. 
1 
= o 
(2.27a) 
(2.27b} 
Nos casos em que a configuração de referência nao 
e a presente utiliza-se as equações de equilíbrio na seguinte 
forma 6 : 
ou 
onde: 
v e~ E r i + b º = o (2.28a) 
d y. 
afl 
k 
= o (2.28b) 
divergente de (~ ET) , com derivadas parciais 
em relação ãs coordenadas X, 
1 
b0 - vetor das forças de massa, referido a configur~ 
ção de referência. 
O princípio dos trabalhos virtuais ê uma forma al 
ternativa de se expressarem as condições de equilíbrio de um co~ 
po 6 • Este principio ê representado na mecãnica dos sõlidos pela 
equaçao: 
onde: 
30 
( 2 . 2 9 ) 
8 uk - variação (virtual) das componentes cartesianas do 
vetor de deslocamentos 
s.. - componentes cartesianas do 29 tensor de tensão Pio 
l J 
la-Kirchhoff 
8 E-. - variação (virtual) das componentes cartesianas do 
1 J 
tensor de deformação de Green-Lagrange 
t~ - componentes cartesianas das forças de superficie 
(força por unidade de ãrea), referidas a configur~ 
ção de referência 
b~ - componentes cartesianas das forças de massa, refe-
ridas a configuração de referência. 
2.5 - COMPORTAMENTO DO MATERIAL 
O comportamento de um material quando submetidoa 
solicitações externas ê caracterizado pelas equações constituti-
vas. 
As equaçoes constitutivas elãsticas resultam da 
generalização da· lei de Hooke. São nove equaçoes qu.e expressam 
as componentes de tensão como funções lineares das componentes 
de deformação: 
s .. = e .. E (2.30) lJ , J rs rs 
sendo: 
5i j -componentes do tensor s dispostas num vetor de 
nove elementos 
31 
C.. - componentes do tensor constituivo de quarta ordem 
1 J rs 
f (diferente do tensor C definido na equaçao 
(2.5)) 
Ers - componentes do tensor E dispostas num vetor de 
nove elementos. 
Corno S e E são simétricos, as equaçoes (2.30) 
para um material elãstico, hornog~neo e isotr6pico são sirnplific! 
das, reduzindo-se de nove para seis 6 • 
S. ·=À Ekk 8 .. + 2 µE .. lJ lJ lJ (2.31) 
sendo: 
À , µ - constantes de cada material (constantes de Lamê) 
2.6 - FORMULAÇAO DO PROBLEMA GERAL DA ELASTICIDADE 
As equações de equi l ibri o, equações (2.27} e (_2. 28), 
não contêm variãveis cinemãticas, mas em geral não são suficien-
tes para determinar-se a distribuição de tensões, pois enquanto 
as componentes de tensão independentes sãos seis as equações de 
equilibrio são apenas três. 
As equações que estão faltando ~ão as equaçoes 
constitutivas e cinernãticas. Portanto, o problema da determina-
ção de tensões não pode em geral ser resolvido sem que sejam co~ 
siderados deslocamentos e deformações; ê um problema estaticarnen 
te indeterminado exceto em alguns casos especiais. 
O problema geral da elasticidade consiste em: 
32 
- Dado um corpo B de densidade p , sujeito ao sistema de for-
ças (! , ~) , determinar os campos de deslocamentos (_~). e de 
tensões (~) , que satisfaçam ãs equações do problema. 
Estas equaçoes podem ser apresentadas de duas ma-
neiras, na forma diferencial ou na forma variacional. 
As equaçoes na forma diferencial, para o caso de 
equilibrio estãtico, são: 
- equações de equilíbrio 
- equaçoes constitutivas 
- equaçoes cinemãticas 
d y. 
:) X:) + b. 1 
E . . 
1 J 
1 a u . = ( 1 + -z ·:aT. 
a u. 
__ J + 
d Xi 
J 
- condições de contorno 
-u . = u. em , 1 
t. = t. em , , 
sendo: 
= o (2.321 
(2.33) 
(_2.34) 
d lB t 
{2.35) 
d JB 2 t 
a lllt , a IB~ - superf'ícies que fazem parte do contorno do 
corpo em que os deslocamentos ou as tensões 
estão prescritos 
33 
As equações na forma variacional, para o caso de 
equilíbrio estãtico, são: 
- equação de equilíbrio (principio dos trabalhos virtuais) 
r s . . º 
~ 1 J 
o 
= I 2 
alB o 
- condições subsidiãrias 
e 
o E: •• 
1 J 
1 ó 
= 7 
a u. 
J + 
~ 
em a IB ' o 
(2.36) 
(2.37) 
(2.38) 
Na forma variacional, como o equilíbrio não ê fei 
to em cada ponto do corpo, o conjunto de soluções admissíveis ê 
ampliado. Podem ser aceitas soluções que violem o equilíbrio em 
alguns pontos, desde que o equilíbrio global do corpo seja manti 
do. 
2.7 - HIPOTESE DE PEQUENAS DEFORMAÇDES 
Na maioria das estruturas encontradas na prãtica, 
mesmo em presença de deslocamentos e rotações relativamente gra~ 
des, os alongamentos Ei e distorções tij sao pequenos -em re-
lação a unidade 7 • 
Nestas situações, o comportamento estrutural pode 
ser representado pela teoria das pequenas deformações. Esta teo 
34 
ri a resulta da aplicação da hi põtese • de pequenas deformações a 
teoria geral, apresentada anteriormente. 
Na literatura, a utilização das hipõteses de pequ! 
nos deslocamentos e de pequenas deformações as vezes deixa mar-
gem a duvidas. No Capitulo l, é importante notar, o problema es 
trutural linear foi definido em relação a deslocamentos e não em 
relação a deformações. 
A hipõtese de pequenos deslocamentos exige que as 
translações e as rotações dos pontos da estrutura sejam pe-
quenas quando comparadas, respectivamente, com as dimensões da 
estrutura e com a unidade 7 • 
alongamentos 
A hipõtese de pequenas deformaç5es sup5e que os 
E. 
l 
e distorç5es cj,i j sao pequenos em relação a 
unidade. Portanto, refere-se exclusivamente a deformação de um 
volume infinitesimal do corpo. 
A primeira hipõtese é a mais restritiva pois envolve 
a deformação da estrutura como um todo. A primeira implica na 
segunda, porém a reciproca não é verdadeira. 
Adotando-se a hi põtese de pequenas deforrnaç5es, as 
equaçoes (:2.l4b)_, (2.15b), (2.16), (.2.17a) e (.2.17b) são simpli-
ficadas para: 
e: . . - E . 
l 1 l 
(2.39) 
2 E: • • - cj, .. (2.40) 1 J lJ 
dA - l (2. 4 l ) -a:nç = 
35 
dV 
cl'v--:-
0 
Assim, as componentes do tensor s 
(2.42a) 
(2.42b) 
adquirem um 
significado geometrico que não possuíam anteriormente. Agora os 
sii sao alongamentos e os sij são proporcionais as distorções. 
As equações (2.41) e (2.42b) mostram que um para-
lelepipedo infinitesimal, de lados inicialmente paralelos aos e~ 
xos 
ces. 
x. , não sofre variação nem no volume nem nas ãreas das fa-
1 . 
Como consequência da deformação o paralelepipedo retangu-
lar transforma-se em obliquo com ângulos 1T 2 - "'12 ' 
1T 
7 - "'23 e 
f - q, 13 . Porem, como o corpo estã submetido a grandes rotações 
( em relação a os ~ i j ) , as equações d e e q ui 1 i b ri o e as tensões p o -
dem ser determinadas considerando-se que o paralelepipedo perma-
neceu retangular, sofrendo apenas uma rotação de corpo rigido 7 • 
De acordo com esta suposição, a màtriz identidade 
I substitui a matriz do tensor U na equaçao (2.18) e o .gra-
diente de deformação passa a produzir apenas rotação de corpo ri 
gido. 
F = R (2.43) 
Substituindo-se (2.43) em (2.24a) e (2.28a) obte~ 
se a nova forma da relação entre os tensores S e cr e das equ~ 
ções de equilibrio: 
(2.44) 
36 
(2.45) 
A equaçao (2.44) ê anãloga as equaçoes utilizadas 
para mudanças de referencial de tensores de segunda ordem. De-
vem existir portanto dois sistemas de eixos x! 
1 
e para os 
quais a matriz do tensor o , referida a 
triz do tensor S , referida a xi . 
x! , seja igual 
1 
a ma-
As matrizes dos tensores S e o na equaçao (2.44) 
estão referidas ao sistema de eixos x. 
1 
A transformação de um 
sistema para outro ê feita atravês da equação: 
onde: 
!5 1 -
K -
º -
tal que 
K'=Ç~QT (2.46} 
matriz referida a x! 
1 
matriz referi da a xi 
matriz ortogonal (gT g = ~) que transforma x. 1 em 
x! (!:'. 1 = º !:'. ) 1 
A matriz de o referida ao sistema de eixos x! 
1 
' e: 
o'=RToR (2.47} 
Resolvendo-se a equação (2.47} para o tem-se: 
o=Ro'RT (2.48} 
Substituindo-se (2.48) em (2.44) obtem-se o resul 
37 
tado esperado: 
S = o' (2.49) 
A matriz de rotação Ç = RT , obtida anteriormen-
te, define um sistema de eixos móvel, que acompanha a rotação do 
corpo. Isto pode ser comprovado através do estudo do movimento 
de um quadrado que sofre uma rotação no plano (Figura 2.3). 
X2 
1 Y2 
x2 
a -+ ' + A B x, 1 
a 
~ o' 
e 
e D x, Y1 
Figura 2.3 
forma: 
38 
Neste caso, as equaçoes (2.1) assumem a seguinte 
y 1 = cos e x1 - sen e x2 
y 2 = sen e x1 + cos e x2 ( 2. 50) 
Uti 1 i zando-se as equaçoes (2. 3b), obtem-se o gra-
diente de deformação: 
sistema xi 
l 
CDS 8 - sen e o 
F = R = sen e CDS 8 o 
o o 1 
A transformação do sistema de eixos 
(Figura 2.3) idada por: 
X' = Ç X 
cose sen e o 
º = - sen e cose o 
o o 
x . 
. l 
(2.51) 
para o 
(2.52a) 
(2.52b} 
Comparando-se as matrizes das equaçoes (2.51} e 
(2.52b} comprova-se a afirmação anterior de que: 
(2.53) 
39 
III - METODOS DE ANALISE 
A aplicação direta da mecânica dos sõlidos na ana 
lise dos sistemas estruturais de uso corrente na engenharia nao 
e usual. 
Nos problemas lineares e unidimensionais, a solu-
çao exata da equação diferencial existe para quase todos os ca-
sos. Porem, em estruturas reticuladas formadas por vârias bar-
ras, a complexidade da geometria dificulta a montagem e resolu-
ção do sistema de equações diferenciais. 
Nos problemas bi 'e tridimensionais, a- solu-ção 
exata do sistema de equações diferenciais e obtida apenas em al-
gumas situações. Consequentemente, em estruturasformadas por 
vârios elementos bi ou tridimensionais, somam-se a complexidade 
geometri ca e a di fi cul dade de resolução das equações diferenciais. 
Os metodos de anãlise estrutural resultaram dos 
esforços no sentido de superar estes obstãculos. O relato resu-
mido do seu surgimento e evolução encontra-se no item 1 deste ca 
pitulo. O item 2 trata dos tipos de algoritmo mais utilizados 
na resolução de equações não-lineares. Nos itens 3 e 4,são apr! 
sentados, respectivamente, a formulação variacional do .metodo 
dos elementos finitos (metodo dos deslocamentos) e um resumo do 
metodo da viga-coluna. 
3.1 - RESUMO HISTORICO 
O estudo das estruturas reticuladas teve inicio 
ainda no seculo passado (1850-1875) com Maxwell, Castigliano e 
Mohr. A partir dos conceitos por eles enunciados foram desenvol 
40 
vi dos os mêtodos para anãl i se de põrti cos e treliças nas suas for 
mas cl ãssi cas 11 • 
Estes mêtodos tornaram possível a solução dos pr~ 
blemas estruturais ao transformarem as equações diferenciais em 
equações algêbricas lineares. No entanto, as dificuldades exis-
tentes para a resolução de grandes sistemas de equaçoes algêbri-
cas fizeram com que apenas os problemas em que o numero de incõg 
nitas fosse reduzido pudessem ser analisados. 
Esta limitação foi ultrapassada somente na dêcada 
de 50 quando surgiram simultaneamente os computadores eletrôni-
cos e os mêtodos matriciais de anãlise estrutural 1 2 •13 • 
Os mêtodos matriciais e clãssicos, apesar de se 
basearem nos mesmos princípios da mecânica das estruturas, dife-
rem bastante quanto a sua formulação. 
Os mêtodos clãssicos sao aplicados a estrutura c~ 
mo um todo e foram desenvolvidos de maneira a facilitar os cãlcu 
los manuais. 
Os mêtodos matriciais substituem a estrutura.um 
corpo continuo, por um conjunto de elementos estruturais, unidos 
entre si atravês de um numero finito de pontos, os nôs. Esta dis 
creti zação da estrutura permite a uti 1 i zação de uma rotina de .cãl-
cul o que contêm um numero grande de operações repetidas, favore-
cendo assim o uso de computadores 14 • 
A anãlise matricial de estruturas e o mêtodo dos 
elementos finitos podem, de uma maneira geral, ser tomados como 
sinônimos. No entanto, alguns autores reservam a primeira deno-
minação para a anâlise de estruturas reticuladas e a segunda pa-
ra a anãlise de estruturas formadas por elementos bi e tridimen-
41 
sionais. 
O trabalho de Turner, Clough, Martin e Topp 15 pu-
blicado em 1956 é considerado como o ponto de partida para a for 
mulação do método dos elementos finitos (MEF). 
Inicialmente o seu desenvolvimento se fez baseado 
no conceito fisico de elementos estruturais .discretos, sujeitos 
a cargas concentradas aplicadas nos nõs. Porém, a falta de um mo 
dela matemãtico rigoroso, além de dificultar a aplicação do MEF 
a problemas mais complexos, tornava o avanço da sua teoria lento 
e desordenado. 
O estabelecimento de um enfoque racional e unifi-
cado para a representação das caracteristicas dos elementos sõ 
foi conseguido quando os principias variacionais da mecânica dos 
sõl idos foram reconhecidos como base para o MEF 16 i 17 • Isto resul 
tou no desenvolvimento de formulações chamadas de consistentes. 
Apôs o êxito obtido com os problemas lineares as 
atenções se voltaram para os não-lineares. A não-linearidade geo-
métrica tem sido bastante investigada. Consequentemente, muitas 
são as formulações propostas. A utilização de principias varia-
cionais permite comparar estas formulações e estabelecer as sem~ 
lhanças e diferenças entre elas. Este tipo de estudo foi feito 
por Ebner e Ucciferro 18 e por Carey 19 • 
Em elementos unidimensionais lineares nao hã dife 
rença entre a matriz de rigidez obtida pela formulação consiste~ 
te, que utiliza um principio variacional, e as outras formulações, 
que utilizam outros principias como o teorema de Castigliano ou 
a solução da equação diferencial em termos de deslocamentos 14 • 
Quando se quer desenvolver elementos unidimensio-
42 
nais não-lineares esta situação muda. Apenas a utilização de uma 
formulação consistente garante a inclusão de todos os termos nao 
lineares na expressão de energia do problema. 
O elemento de pÕrti co plano foi um dos primeiros 
elementos para anãlise não-linear geometrica a ser formulado. Em 
1965, Martin jã publicava um trabalho 20 que inclui a, entre outras, 
uma formulação para este elemento. Desde então vãrias formula-
ções tem sido apresentadas 2 ~ 2•. A diferença entre elas se encon 
tra basicamente na transformação de coordenadas (do sistema de 
referencia local para o global) e na consideração, ou não,de ter 
mos não-lineares de grau elevado. 
O elemento de põrtico tridimensional nao e, como 
parece a primeira vista, uma mera extensão do elemento plano. Em 
tres dimensões as rotações finitas jã não sao grandezas veto-
riais6. Isto cria dificuldades para a determinação da configur~ 
ção deformada. 
Na referencia l 25 I, que serve de base para a for-
mulação do modelo l, a configuração deformada e determinada atra 
ves de ãngulos de Euler; enquanto na referencia 1261 utilizam-se 
vetores unitãrios ortogonais para determinar a orientação de ca-
da nõ. Em outra publicação 27 estudam-se os efeitos das rotações 
finitas sobre o cãlculo dos momentos nodais atravês do conceito 
de momentos quasttangenci a l e semi tangencial 2 8 • 29 • 
Os elementos degenerados surgiram como consequen-
cia das tentativas de se incorporarem ãs anãlises de pÕrticos e 
estruturas laminares a versatilidade e a efici~ncia dos elemen-
tos isoparamêtricos. 
Em 1968 foi publicndo o primeiro trabalho sobre o 
43 
assunto 30 . A partir desta idéia inicial desenvolveu-se o elemen 
to para anãlise linear de cascas 31 • Alguns anos depois aparece-
ram os elementos para anãlise não-linear de cascas 32 •33 e para ana 
lise linear de põrticos tridimensionais 34 . 
O elemento degenerado para anãlise não-linear ge~ 
métrica de põrticos tem sido pouco estudado. A referência 1331 
apresenta um elemento de põrtico plano e em outras publica-
ções35•36 sao feitas apenas algumas indicações a respeito do ele-
mento de põrtico tridimencional. 
Uma formulação do elemento de pÕrtico tridimensi~ 
nal foi publicada em 1979 37 . Neste modelo, a modificação da ene..!:_ 
gia de deformação, uma das hipõteses bãsicas para a degeneração 
do elemento isoparamétrico, ê levada a efeito através das compo-
nentes do tensor de deformação. No modelo:2, que foi desenvolvi 
do a partir das referências 1341 e 1351, esta mesma modificação 
é feita através da matriz constitutiva. 
A anãlise não~linear geométrica de põrticos com 
porta, além das duas opções discutidas anteriormente, mais duas 
que merecem ser mencionadas. 
Em uma delas, os põrticos planos sao analisados 
por elementos isoparamétricos cujas funções de interpolação na 
direção da espessura sao lineares 38 . 
Na outra, utiliza-se o método da viga-coluna (ver 
item 3.3}. Este método desenvolveu-se paralelamente a formula-
ção do MEF para anãlise não-linear geométrica e pode ser conside 
rado como uma formulação não consistente do MEF, apesar de nao 
ser tratado assim na bibliografia. 
44 
3.2 - ALGORITMOS 
Quando aplicados a problemas não-lineares os mêto 
dos de anãlise estrutural dão origem a sistemas de equações algI 
bricas não-lineares. Os algoritmos mais utilizados na resolução 
destes sistemas de equações são incrementais, iterativos ou in-
crementais-iterativos39"""2. 
O processo incremental supõe que o carregamento 
do corpo ê feito por partes, correspondendo ãs vãri as etapas de 
carga uma sucessão de configurações de equilibrio, 
onde íl(o) e íl(f) sao os estados inicial e final de deforma-
çao, respectivamente, e íl(N) ê uma configuração intermediãria 
qualquer' . O problema consiste em determinar a solução para a 
etapa N + 1 conhecidas as soluções anteriores atê a etapa N, 
atravês da repetição do mesmoprocesso de solução. Isto ê viã-
vel desde que a configuração N + 1 seja suficientemente prõxi-
ma da configuração N e que as equações do problema possam ser 
linearizadas em relação as incõgnitas incrementais. Dessa manei 
ra, um problema não-linear ê transformado numa serie de proble-
mas lineares. 
No processo iterativo 13 aplica-se a carga total 
de uma so vez, obtem-se uma solução inicial e calculam-se as for 
ças nodais para a geometria dada por esta solução. Como o com-
portamento da estrutura ê não-linear as forças nodais não se igu~ 
1am as forças externas aplicadas. Isto corresponde a presença 
de um carregamento residual não equilibrado, igual as forças ex-
ternas menos as forças nodais. Aplica-se então este carregamen-
45 
to, com os parâmetros da estrutura atualiza~os segundo a geome-
tria dada pela ultima solução, obtém-se uma nova solução e cale~ 
lam-se as forças nodais para a nova geometria. Com estas forças 
nodais e o carregamento externo calcula-se um novo carregamento 
residual e inicia-se todo o processo de novo. Repete-se o proc~ 
dimento até que os carregamentos não equilibrados sejam menores 
que um determinado valor, estabelecido de acordo com a precisão 
desejada. 
No processo incremental-iterativo o carregamento 
é feito por partes, sendo efetuadas iterações dentro de cada in-
cremento. 
3.3 - METODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
A formulação variacional do método dos deslocamen 
tos, ou modelo compativel do MEF, pode ser feita a partir do pri~ 
cipio dos trabalhos virtuais ou do principio da energia potencial 
estacionãria' 3 • A primeira opção é mais geral porque permite a 
utilização de qualquer tipo de equação constitutiva, enquanto a 
segunda é vãlida apenas para comportamento elãstico do material'º 
As condições de equilíbrio de um corpo na etapa 
N + l , utilizando-se o principio dos trabalhos virtuais e um re 
ferencial lagrangeano, estão definidas pelas equações (ver item 
2. 4) : 
J 
N+ls .. li N+lE: .. dV = o N+lw 
, J , J ( 3 • l ) 
ºv 
{3. 2) 
sendo: 
N+ 1 S .. 
1 J 
o N+ l E •. 
1 J 
46 
- componentes cartesianas do 29 tensor d.e ten-
sao de Pi ol a-Ki rchhoff, na configuração da eta-
pa N + 1 
- variação virtual das componentes cartesianas 
do tensor de deformação de Green -Lagrange na 
configuração da etapa N + 1 
- trabalho virtual das forças externas na etapa 
N + 1 
- componentes cartesianas das forças de superf! 
cie na etapa N + 1 
- componentes cartesianas das forças de massa 
na etapa N + 1 
o uk - variação virtual das componentes cartesianas 
do vetor de deslocamentos totais 
Relacionando tensões e deformações tem-se a equa-
ção constitutiva (ver item 2.5): 
N+ 1 S .. 
1 J 
(3. 3) 
O tensor de deformação pode ser decomposto em duas 
parcelas, uma linear e outra não-linear (ver item 2.2): 
N+l N+l + N+l Eij = e .. n .. 1 J 1 J (3.4a) 
o N+l o N+l + o N+l E .. = e .. nij 1 J 1 J (3.4b) 
Substitui.ndo (_3.3)_, (.3.4a) e (3.4b) em (3.1) tem-
se: 
47 
[ 
1 N+l N+l N+l N+l 
l:i jk,Q, eki o eij + cijki n .. o e .. + l J l J 
+ Ci jk.Q. 
N+l 
eki o 
N+l 
+ cijki 
N+l n .. 
l J n ki o N+ ln. J l J dv = o N+lw 
( 3. 5) 
A equaçao acima e a expressao completa do traba 
lho virtual interno. As vãrias teorias não -lineares existentes 
diferem basicamente em dois aspectos 19 , na consideração ou nao 
de todos os termos da equação (3.5) e na maneira de agrupã-los. 
As pesquisas iniciais 20 deram origem a uma teoria 
incremental, em que a matriz de rigidez, referida ao sistema de 
coordenadas local, resulta da soma de duas outras, a matriz de 
rigidez linear convencional e a matriz de rigidez geomêtrica,que 
representa a contribuição das tensões existentes no inicio do in 
cremento. Como as tensões são mantidas constantes durante o in-
cremento não ê possfvel a realização de iterações. 
ê chamada tambêm de teoria da tensão i ni ci al 19 • 
Esta teoria 
Mais recentemente foi proposta uma teoria incre-
mental-iterativa25•35•44, que supera alguns dos inconvenientes da 
teoria anterior, mantendo a mesma simplicidade. 
Estas duas teorias serio apresentadas a seguir. 
Inicialmente faz-se uma decomposição incremental: 
(3.6) 
(3. 7) 
(3. 8) 
48 
N+l N 
+ Íl nki ( 3. 9) nki = nki 
6 N+l nki = 6 Íl nki (3.10) 
N+ l t 
k = 
Nt 
k + Íl tk 
(3.11) 
N+lb 
k = 
Nb 
k + Íl bk 
(3.12) 
Substituindo (3.7),(3.8),(3,9) e (3.10) em (3.5), 
tem-se: 
. f ~ijki Neki 6 ll eij + cijki ll eki 6 ll eij + 
ºv 
+ ci j k i 
N 
eki 6 Íl n .. 1 J 
+ cijki fl eki 6 Íl n .. + 1 J 
cijki 
N 6 Íl n .. + Ci jki ll 6 Íl niJ dV = 6 
N+lw (3.13) + nki nki 1 J 
Para linearizar a equaçao (3.13) desprezam-se as 
parcelas não-lineares em termos de deslocamentos incrementais. 
Reagrupando os termos de (3.13) tem-se: 
f ~ijki (Neki + Nnki) 6 ll eij + cijki ll eki ll eij + 
ºv 
(3.14) 
Utilizando-se (3.4a) e (3.3) tem-se para a eta-
pa N 
49 
(3.15) 
Substituindo (3.15) em (3.14) tem-se: 
J rsij o 6 eij + Cijkt 6 ekt o 6 eij + NSij 06 niJ dV =o N+lw 
ºv (3.16) 
Substituindo (3.6), (3.11) e (3.12) em (3.2),tem-
se: 
o N+lw = I Nt k o 6 u k dA + J Nbk o 6 uk dV + 
ºA ºv 
+ J 6 tk o 6 uk dA + J 6 bk o 6 uk dV 
(3.17) 
ºA ºv 
Para o equilíbrio do corpo na etapa N , utilizan 
do o princípio dos trabalhos virtuais', tem-se: 
Igualando (3.16) e (3.17), e rearranjando os ter-
mos, tem-se: 
50_ 
J Lcijkt t, ekt º t, eij + Nsij <lt,niJ dV = 
ºv 
+ J Ntk o t, uk dA + J Nbk o t, uk dV - J 
ºA ºv ºv 
N s .. at,e .. dv 
l J l J 
(3.19) 
As simplificações feitas para linearizar a equa-
çao (3.13) e os erros computacionais fazem com que a eq. (3. 18) 
raramente se verifique' 
seguinte forma: 
( o [:, ~k)T [:, 11' = J 
Nt 
k 
ºA 
+ J Nb k o t, uk dV - J 
ºv ºv 
Por isso é mais correto escreve-la da 
o t, uk dA + 
N o [:, s .. 
l J 
e .. 
l J 
dV ( 3. 20) 
O vetor t, 11' e o residuo que fica apos cada in-
cremento. Sua eliminação soe possivel através de um processo 
iterativo. 
A teoria da tensão inicial ao supor que o compor-
tamento da estrutura durante cada incremento de carga e linear, 
estã implicitamente aceitando a validade da equação (3.18). Des 
sa maneira a equação (3.19) fica simplificada. 
51 
J @ijk9, t:. ekt c5 t:. 
N 
c5 6 nij] dV e .. + sij = 1 J 
ºv 
= 
J 
6 tk c5 6 uk dA + J 6 bk c5 6 uk dV (3.21) 
ºA ºv 
Discretizando a equaçao (3.21) tem-se 
(3.22) 
onde: 
( ' , !:!k)T ~L, uk = J e 'e ' 'e dV u Ll Ll ijk9, Ll kt u Ll ij 
ºv 
( c5 Í', k T uk J 
N c5nn .. dv !! ) ~NL Í', = s .. 1 J 1 J 
ºv 
( c5 6 !:! k) T Í', R = I 6 tk c5 6 uk dA + f nbkc5nukdV 
ºA ºv 
~L - matriz de rigidez linear 
~NL - matriz de rigidez geométrica ou não-1 inear 
Í', R - vetor dos i ncrementos das cargas aplicadas 
Í', uk - vetor dos i ncrementos dos deslocamentos nodais 
c5 Í', uk - vetor . àa -variação dos i ncremeritos dos deslocamentos 
- -
nodais 
Simplificando a equaçao (3.22), tem-se: 
(3.23) 
A equaçao (3.23) representa um processo estrita-
mente incremental. Para que a solução obtida seja prõxima da 
5.2. 
exata os incrementos de carga devem ser suficientemente pequenos. 
Como não existe um critério geral que forneça o numero de incre 
mentos adequado para cada problema, quando o comportamento da es 
trutura ê desconhecido, esta escolha torna-se bastante dificil. 
E comum realizar-se, inicialmente, uma anãlise li 
near para verificar a grandeza dos deslocamentos e das rotações. 
Com base nestes resultados, escolhe-se então um numero de incre-
mentos adequado. No entanto, seguindo este procedimento nunca se 
sabe a distância entre a solução exata e a obtida. 
Uma maneira mais segura seria realizarem-se va-
rias anãlises não-lineares, com numero crescente de incrementos, 
atê que a variação entre as duas ultimas soluções fosse pequena. 
Porém, a aplicação deste procedimento, em geral, torna-se proibi 
tiva pelo alto custo computacional resultante. 
A teoria incremental-iterativa mantêm todos os 
termos da equação (3.19}, que discretizadaassume a forma segui! 
te: 
(3.24} 
O processo incremental-iterativo representado pe-
la equaçao (3.24}, como jã foi dito anteriormente, ê mais preci-
so e mais versãtil do que o estritamente incremental da equação 
(3.23}. Apesar do grau de aproximação em relação aos termos da 
equaçao (3.13) ser o mesmo nos dois processos, a realização de 
iterações em cada incremento evita a acumulação de erros, tornan 
do menos rigidas as restrições quanto a grandeza dos incrementos 
adotados. 
Para facilitar a implementação da equaçao (3.24) 
53 
faz-se um reagrupamento de termos. 
sendo, 
(8 6 ~k)T R = J (Ntk + 6 tk) 8 6 uk dA + 
ºA 
ºv 
(8 6 ~k)T F = J 
V 
(3.25) 
A equaçao (3.25) ê vãlida tanto para a estrutura 
como um todo quanto para cada um dos elementos. Quando aplicada 
a estrutura as matrizes ~L , ~NL e F são montadas .,a partir 
das matrizes correspondentes dos elementos 43 • As matrizes de ca 
da elemento são calculadas atravês das seguintes equações: 
~L = f BT e ~L dV -L (3.26a) 
ºv 
K.i [ I T ~M ~NL dV = ~NL -J ·. (3.26b) 
ºv 
F = f BT ~V dV -L (3.26c) 
ºv 
sao montadas a partir das 
derivadas das funções de interpolação (ver itens 4.2, 4.4, 5.2 e 
5.4). As matrizes ~M e ~V contêm as componentes do tensor 
As matrizes ~L e ~NL 
54 
de tensão, rearranjadas de uma maneira adequada (ver itens 4.4 e 
5.4). Finalmente.a matriz C ê a matriz constitutiva (ver itens 
2.5, 4.2 e 5.2). 
3.4 - METODO DA VIGA-COLUNA 
No método da viga-coluna as relações força-deloc~ 
menta em cada elemento são obtidas aplicando-se a teoria de vig~ 
coluna. Isto implica em supor que os efeitos não-lineares rela-
cionados a deformação de flexão do elemento podem ser despreza-
dos. Ou seja, a força axial ê considerada finita enquanto os m~ 
mentas de flexão e os cortantes são considerados infinitesimais's-52 • 
As funções de estabilidade, deduzidas pela teoria 
de viga-coluna, são coeficientes que traduzem a influência de uma 
força axial sobre a rigidez a flexão do elemento 1 • Elas são de-
terminadadas a partir da equação diferencial da viga da Fig. 3.1. 
por: 
interno - E! 
onde: 
O momento em uma seção qualquer da viga e dado 
Igualando a 
d2y 
cJx2 tem-se: 
d2y + k2y 
cfx2 
(3.26) 
equaçao (3.26) ao momento resistente 
Ml X M2 X ;rr(r- 1l+rrr 
k2 ; p rr 
(3. 2 7) 
5.5 
y 
_..,_P~- ( (D1"' _-_----l.&_..!._-_-_'_,:,,..._,-,-;-2--~---~~-2~-p-
X 
Figura 3. 1 
56 
A equaçao (3.27) admite duas soluções gerais con-
forme a carga P seja de compressão ou de tração. 
Para compressão tem-se: 
Ml X M2 X 
Y = A sen kx + B cos kx + p (T - l) + p [ 
(3.28) 
Para tração tem-se 
(3.29) 
Ap6s virias operaçoes algibricas 1 os momentos M1 
e M2 sao obtidos em função das rotações e1 e e2 
(3.30) 
Os coeficientes c1 e c2 sao as funções de es-
tabilidade. Eles possuem valores diferentes conforme 
uma força de compressão, de tração ou nula 49 • 
Para compressão tem-se: 
c1 <P 
(sen <P - <P cos <P ) = 2 (1 ~ CDS <j, ) - <P sen <P 
C2 . <P 
( <P - sen <P ) 
2 (1 - cos q, ) - q, sen q, 
p seja 
{3.31) 
57 
Para tração tem-se: 
c1 
cj, ( cj, cosh cj, - sinh cj,) = 2 ( 1 - cosh cj, ) + cj, s1nh cj, 
( 3. 32) 
c2 
cj, (senh cj, - cj, ) = 2 ( 1 - cosh cj,J + cj, sinh cj, 
Para P = O tem-se 
Uma formulação bastante simples do método da vig~ 
coluna e encontrada na referência l 51 I. A matriz de rigidez do 
elemento no sistema de referência local ê deduzida diretamente das 
equaçoes (3.30) e das condições de equilfbrio. 
l 2 3 
o 
o 
o 
K = 
o o 
o 
o 
4 
E Ax 
- -L-
o 
o 
o 
o 
5 
o 
o 
6 
o 
2 
3 
o 4 
5 
6 
58 
- para compressao 
c3 = 
cp' (cos cj>) 
2 ( 1 - CDS cj> ) - cj> sen cj> 
C4 
<P 3 sen cj> 
= ( 1 cj> ) 2 - CDS - cj> sen cj> 
- para tração 
C3 
cj> 2 (cosh cj> - l ) 
= 2 ( 1 - cosh cj> ) + cj> senh cj> 
C4 
cj> 3 senh cj> 
= 2 ( 1 cosh cj> ) senh - + cj> cj> 
Esta matriz inclui os efeitos da interação entre 
as cargas transversais e axiais. A mudança de geometria da es-
trutura ê considerada no início de cada ciclo iterativo, através 
da atualização das matrizes de rotação que fazem a transformação 
do referencial local para o global. 
Outras formulações'ª~º utilizam a matriz de rigi-
dez tangente, que por ser mais precisa acelera a convergência do 
processo iterativo. A dedução desta matriz ê feita a partir do 
conceito matemãtico do desenvolvimento de Taylor, que calcula o 
valor de uma função P {u 1 , u2 , u3 , ... , un) na vizinhança de 
um ponto (ulO , uzo , u30 , ... , uno) 
a P 
P (u10 'uzo' ... , uzo) +~ dul + 
a P a P 
~ du 2 + ... + ~ dun 
(3.33) 
59 
As equaçoes de equilfbrio, que relacionam as for-
ças nodais P com os deslocamentos nodais u , são determinadas, 
no sistema de referencia local, utilizando-se as equações (3.30) 
as condições de equilfbrio e algumas considerações geometricas 13. 
Apôs a transformação das equaçoes de equilfbrio 
do sistema local para o global, aplica-se a cada uma das forças 
Pi o desenvolvimento de Taylor. 
sendo: 
/:, p. 
1 
a P. 
1 ... ' au;;-
gente para 
= r~ a u ' l 3 P. 1 auz 3 P. 1 , au 3 a P. J ' · · ·' a u~ (3.34) 
aP. aP. aP. 
Na equaçao (3.34) os termos 1 1 1 au", ' au;- , au;;-
sao os elementos da linha i d a matriz de rigidez tan-
a geometria especificada por (u 10 , u20 , u30 , ... , un 0 ) 
= 
a P. 
1 
~ 
( 3 . 3 5 ) 
60. 
IV - MODELO 1 - ELEMENTO DE EIXO RETO E SEÇllO TRANSVERSAL CONS-
TANTE 
Este elemento possui dois nos com seis incõgnitas 
nodais, três translações e três rotações (Figura 4.1). 
Adota-se a hi põtese ,' de pequenas deformações ( ver 
item 2.7), porem admitem-se translações e rotações grandes quan-
do comparadas com as dimensões da estrutura e com a unidade, res 
pectivamente. 
A hipõtese de pequenas deformações permite duas 
outras simplificações. A primeira e a hipõtese das seçoes pla-
nas, que supõe que as seções inicialmente planas permanecem pla-
nas na configuração deformada. A outra simplificação se aplica 
a representação do movimento do elemento. Supõe-se que o elemen 
to estã sujeito apenas a rotações de corpo rigido, mantendo o ei 
xo reto e a seção transversal e o comprimento constantes. Com is· 
to torna-se posslvel relacionar as configurações deformada e in-
deformada atraves de uma transformação linear. 
Alem do sistema de referência global, utilizam-se 
mais dois sistemas de referência: o local fixo e o local mõvel 2 ~ 
No sistema fixo a direção 1 coincide com o eixo 
do elemento e as direções 2 e 3 correspondem a cada uma das dire 
ções principais de inercia. Os eixos são mantidos na configura-
çao indeformada do elemento (Figura 4.2), correspondente a etapa 
o. 
O sistema mõvel se desloca a medida em que o ele-
mento sofre deformação. Os eixos se mantêm sempre retos e mutua 
mente perpendiculare.s 26 ' 53 • Na etapa O os dois sistemas de re-
61 
AM.11 
t 
AM.5 A.u.9 t __ ----A.u.10 
0~ A AJ.7 
A .u.2 
A "-9 
' A.u.1 A .u.12 A .u_,i----0 ~ A .U.3 
' A.Ms 
Figura 4. l 
--------X 1 'y 1 
© 
' 
x1 tx 2 ,x3 - Coordenados do sistema fixo 
Y1 , Y 2 , Y 3 - Coordenadas do 11stema móvel 
Figura 4.2 
62. 
ferência sao coincidentes (Figura 4.2). 
O referencial mõvel estã sempre situado na confi-
guraçao correspondente a etapa N , pois a configuração da etapa 
N + l para ser determinada, depende ___ do-s deslocamentos incre 
mentais que são as incõgnitas do problema. A utilização deste 
referencial ê equivalente a escolha da configuração da etapa N 
para referência. 
O campo de deslocamentos incrementais .e esérito 
tomando-se como referência o sistema mõvel. Como es.te referen-
cial acompanha o deslocamento do elemento podem-se utilizar as 
mesmas funções de interpolação usadas na anãlise linear de põrt~ 
cos 25 • 
Desta forma, escolhem-se funções lineares para in 
terpolar os deslocamentos axial e de torção e funções cúbicas p~ 
ra interpolar os deslocamentos transversais, resultantes da fle-
xão. 
As integrais que determinam asmatrizes de ri gi-
dez e o vetor de forças internas (equações (3.26)), sao resolvi-
das, explicitamente, na configuração da etapa N • Isto e feito 
porque as funções de interpolação estão definidas em relação ao 
referencial mõvel. As matrizes assim obtidas são transformadas 
sucessivamente para os referenciais fixo e global 54 • 
A matriz de rigidez linear, calculada em relação 
ao sistema. de referência mõvel, e igual a matriz de rigidez uti-
lizada na anãlise linear de põrticos e se mantem constante duran 
te todo o processo incremental. O efeito da mudança de geometria 
e inclu{do ao se fazer a passagem do referencial mõvel para o fi 
xo. 
-63 
4.1 - CAMPO DE DESLOCAMENTOS 
As translações do eixo do elemento e as rotações 
do elemento são aproximados por polinõmios em r 11 • 
sendo: 
u 
V 
w 
er -
es -
et -
u = ª1 + ª2 r. 
V = ª3 + ª4 r + ªs 
r2 + ª5 
r3 
w = ª7 + ªs r + ªg 
r2 + ª10 
r 3 
e I". = ª l l + ª l 2 r 
es 
dw 
{as + 2 ªg r + 3 ª10 r 2) = - ar = -
et 
dv 
= ar = ª4 + 2 ªs r + 3 ª5 r2 
deslocamento do eixo do elemento na direção r (Figu-
ra 4. 2) 
deslocamento do eixo do elemento na direção s {Figu-
ra 4. 2) 
deslocamento do eixo do elemento na direçao t (Figu-
ra 4. 2) 
rotação do elemento em torno do eixo r 
rotação do elemento em torno do eixo s 
rotação do elemento em torno do eixo t 
As coordenadas generalizadas a. 55 são calculadas 
l 
em função dos deslocamentos nodais LILI; através das condições 
que u , v , w , er , es e et devem satisfazer em r = O (nõ 
ll e em r = L (nõ 2). 
64 
em r = O em r = L 
u = 6 u 1 u = 6 U7 
V = 6 u2 V = 6 Ug 
w = 6 U3 w = 6 Ug 
( 4. 2) 
er = 6 U4 er = 6 ulO 
es = 6 U5 es = 6 u 11 
et = 6 U5 et = 6 u l 2 
As translações do eixo do elemento e as suas rota 
çoes sao obtidas em função dos deslocamentos nodais substitutin-
do-se na equaçao (4.1) as expressões que relacionam os 
6 u. 
1 
U = (l - [) Ô Ul + [ Ô u7 
r 2 r 3 r r 2 r 3 
v = (l - 3 rz + 2 r,l 6 u2 + L (T - 2 L2 + ul ô U5 + 
r 2 r 3 r r 2 
+ (3 L2 - 2 ul ô Ug + r (- "[ + u) 6 u, 2 
(1 3 
r2 
2 r' L (. - r 2 r2 r' w = - [z + r,l 6 U3 + I + L2 r,) 6 U3 
(3 
r2 
2 
r, r r2 + L - r,) Ô Ug + r (T - rzl 6 u 11 
+ 
a. aos 
1 
( 4. 3) 
( 4. 4) 
6.5 
cf r2 6 (1 4 r 3 r2 es = - [zl [ il U3 + - I" + [zl il U5 + 
( - r 
r2 6 (- 2 r 3 
r2 
(4.4) + [ + [zl I" 6. Ug + I" + [2) il u 11 
r r 2 6 r r 2 
8t = (- [ + [2) [ D. u2 + (1 - 4 [ + 3 p) il u6 + 
r r 2 6 r r 2 
+ (T - I2) I" 11 u 8 + ( - 2 I" + 3 L2) 6. u 1 2 
As translações de um ponto qualquer do elemento 
sao determinadas pelas equações a seguir. 
u (r , s , t) = u + u' + u" 
V (_r , s , t) = V + v' ( 4. 5) 
w (r , s , t) = w + w' 
Os deslocamentos u' , u" , v' e w' são calcu-
lados em função das rotações do elemento, utilizando-se a hip6t! 
se das seções planas {Figura 4.3). 
u' = - s tg et 
u" = t tg es 
(4 .,6) 
v' = - t tg er 
w' = s tg er 
Como a hip6tese dos pequenos deslocamentos i vili 
da em cada incremento de carga e as rotações er , es e et são 
deslocamentos incrementais, pode-se considerar tg e; e nas equi 
ções (4.6). 
66 
s . \}" 
• - ,.,._ 
( a ) 
1 ·"' 
Jt ,,.,_ 
( b) 
ó s.~ 
• w 
6- /1-
(h 
',w _,.,... 
( e ) 
Figuro 4.3 
6.7 
u 1. = - s et 
u li = t es 
( 4. 7) 
v' = t er 
w' = s er 
Substituindo-se sucessivamente (4.3), (4.7) e (4.4) 
em (4.5) obtem-se as equaçoes que expressam o campo de desloca-
mentos em funçâo dos deslocamentos nodais. 
ou 
sendo: 
' u = hi uk 
u i 9, 9, 
(i=l,2,3) 
(Q,=1,2, ... ' l 2 ) (4.8a} 
( 4. 8b) 
!':, u - vetor dos deslocamentos incrementais, referido ao 
sistema mõvel 
H - matriz das funções de interpolaçâo definidas em re 
laçâo ao referencial mõvel 
/':, uk - vetor dos deslocamentos nodais incrementais, refe-
rido ao sistema mõvel 
hl - componentes da matriz H , correspondentes a linha 
11 i II e a coluna 11 2 11 
Os elementos da matriz ~ , que sao polinômios em 
r , s e t , estâo determina dos a seguir em funçâo das variãvei s 
s e t e dos polinômios fi(r) e gi(r) . 
68 
h 1 = fl h 1 = 92 s h 1 = 92 t 1 2 3 
h 1 
5 = 93 t 
h 1 
6 = 93 s 
h 1 
7 
.- f 4 
h 1 = - 95 s h 1 = 95 t h 11 = 95 t 8 9 
h{2 = 95 s h 2 = f2 h2 = 
~ fl t 2 4 ( 4. 9) 
h2 = f3 h2 = f5 hio = f4 t 6 8 
hi2 = f6 h 3 3 = f2 
h 3 = fl s 4 
h2 = - f3 h 3 = f5 hfo = f4 s 5 9 
hi1 = f6 
sendo: 
fl 1 
r 
f2 1 3 
r2 
+ 2 
r3 
= - r = - [2 p 
cf r2 
3 r 
f3 = - 2 L + .!:_) L f4 = [ (4.10a) L 
r2 r3 r 2 
f5 = 3L - 2 L f6 = (- r + f-l r 
91 = 
- 1 (- r + [ ) 6 -L- 92 = r [ 
93 = 1 - 4 
r + [ 3 
r2 
u 94 = - 91 (4.10b) 
95 = - 92 95 = - 2 r + 3 
r2 
r [2 
69_ 
4.2 - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS E CAMPO DE TENSÕES 
As equações constitutivas do elemento foram esco-
lhidas de acordo com a teoria técnica das vigas, pois as barras 
de um pÕrtico se comportam como vigas submetidas a flexão, tor-
çao e compressao ou tração. 
Segundo essa teoria 10 , a flexão e a compressao ou 
tração produzem tensões normais ã seção transversal, enquanto a 
torção produz tensões tangenciais e empenamento da seção. O em-
penamento, que sõ deixa de ocorrer em seçoes circulares 56 57 58,não 
foi considerado na determinação do campo de deslocamentos, para 
nao contrariar a hipõtese das seções planas. 
O tensor de tensão para uma viga cdntém apenas 
cinco componentes não nulas: s11 , s12 = s21 e s13 = s31 . Du 
rante o processo incremental estas componentes são determinadas 
de forma incremental, também: 
N+l~v = N~v + 6 ~V (4.11) 
As componentes do tensor incremental de tensão de 
Cauchy 25 se relacionam com as componentes da parcela linear do 
tensor incremental de deformação através das equaçoes constituti 
vas. 
(4.12} 
onde: 
(4.13a) 
onde: 
70 
E o 
e o E = 2 {l + 
o o 
E - mõdulo de elasticidade 
v - coeficiente de Poisson 
v) 
As componentes 6 e .. 
l J 
6 e .. 
l J 
i 
j 
= 
= 
1 
1 • 2 • 3 
(4.13a) 
o 
o (4.13b) 
E 
2 (1 + v) 
sao dadas por: 
36 u. 
3 y ~) 
l 
(4.14) 
Y1 = r 
Yz = s 
Y3 = t 
A relação entre 6 e e os .deslocamentos nodais 
-V 
incrementais e estabelecida utilizando-se as equações (4.8a) e 
e (4. 1 4) . 
(4.15a) 
sendo: 
ou 
91 
~L = o 
o 
\ 
94 
o 
o 
- 97 
o 
o 
- 99 
o 
o 
a h ! 
_._J 
a Yi 
t 
s· 
91 - definido em (4. lOb) 
94 - definido em (4.lOb) 
71 
a h ~ 
+ __ J 
a Yl 
- 97 t 
o 
o 
- 99 t 
o 
o 
97 = (- l + 2 f) 6 I2 
99 = - 97 910 = 
p/ i = 1 
p/ 1 < i < 3 
o 9s t - 98 
- 91 t o o 
91 s o o 
o 910 t - 910 
- 94 t o o 
94 s o o 
9s = (- 4 + 6 f) l [ 
(- 2 + 6 r) l T [ 
Substituindo (4.15a) em (4.12), tem-se: 
(4.15b) 
s 1 
' ' 
s 1 
(4.16) 
(4.17) 
A equação (4.14) difere da equação (2.lla) porque, 
como o referencial mõvel corresponde a confi 9uração da etapa N, 
a decomposição incremental dos deslocamentos, para este referen-
cial, se reduz a u. = 
1 
72 
N+l u.=L\u. 
1 1 
4.3 - MATRIZ DE RIGIDEZ LINEAR E VETOR DE FORÇAS INTERNAS 
A matriz de rigidez linear ~L e o vetor de for-
ças internas F resultam da discretização das parcelas 
e 
Jv 
Ns .. cS LI e .. dV 
1 J l J 
da equaçao (3.19). 
(4.18) 
. ~L = J ~[ C ~L dV (4.19a) 
2 3 4 5 6 7 8 9 1 O 1 l 1 2 - -
Kll Kl 7 
K22 K26 K28 K2,l2 2 
K33 K35 K39 K3~ 11 3 
K44 K 4, l O 4 
K55 K5 9 K ... , 5, 11 5 
~L = 
K66 K68 K5 ; l 2 
s I M K77 
6 
7 
K88 Kg, l 2 8 
Kgg Kg , 11 
Kl0,10 10 
Kl l , 11 11 
•· 
Kl2,12 . 
12 
73 
Kll 
E Ax 
K l 7 = Kll = -r 
l 2 EI
2 
6 E! 
K22 K26 
z = = L 3 L 
= - K22 K2, l 2 = K26 
12 E I - 6 E! 
= y K35 = 
y 
L L2 
K39 = - K33 K3, 11 = K35 
G I 
K44 
X 
K4,10 = K44 = -r -
4 Ely 6 Ely 
K55 = K5 9 = [2 (4.19b) , 
2 E! 4 E I 
K5, 11 
y 
K55 
z = = L L 
6 E! 2 EI
2 
K68 
z 
K6 12 = = L , L 
Kg , 11 
Kl l , 11 
sendo: 
74 
Ax - a rea da seçao transversal 
IX - constante de torção igual a soma de IX e Iy 
I - momento de inercia y da seçao transversal em 
relação 
ao eixo s 
Iz - momento de inercia da seçao transversal em relação 
ao eixo t 
E - mõdulo de elasticidadeG mõdulo de elasticidade transversal (G E =2c1+v)l 
v - coeficiente de Poisson 
(4. 2 o a) 
F = I (4.20b} 
Adotando-se uma decomposição incremental para Ns 
-V 
e substituindo em (4.20b} 
ou 
(4.21) 
Substituindo (4.17) e (4.19a) em (4.21) 
As forças internas 
respondentes ao campo de tensões 
F 
s -v 
(4.22) 
sao os esforços nodais co~ 
A distribuição de esfor-
ços ao longo do elemento e determinada de acordo com o processo 
75 
usual da estãtica. 
O esforço normal e o momento torsor sao constan-
tes em todo o elemento, enquanto os momentos fletores variam li-
nearmente 
(4.23) 
My = F3 r + F5 
Sendo: 
N - esforço normal 
T - momento torsor 
My momento fletor em torno do eixo s 
Mz momento f1 e to r em torno do eixo t 
As componentes do tensor de tensão e as forças i~ 
ternas podem ser relacionadas entre si através das equações (4.23) 
e d a teor i a de f 1 ex ão u sua 1 16 . 
N Mz M 
sll = lÇ + r; s - !~ t 
S 1 2 
- T t (4.24a) = r; 
5 13 
T s = -r; 
76 
Substituindo (4.23) em (4.24a) 
Fl ( - F2 r + F 6) (F3 r + F5) 
Sll = 1Ç + Iz s - t y 
S12 
F4 
t = i-; (4.24b) 
5 13 
F4 
s = i-; 
A matriz de rigidez linear e o vetor de forças i~ 
ternas referidos ao sistema global são determinados através das 
seguintes equações: 
onde: 
(4.25a) 
GE = TT RT F (4.25b) 
R - matriz que realiza a transformação do sistema de refe-
rência local mõvel para o local fixo 
T - matriz que realiza a transformação do sistema de refe-
rência local fixo para o global 54 
4.4 - MATRIZ DE RIGIDEZ NAO-LINEAR 
A matriz de rigidez não-linear resulta da discre-
tização da parcela 
S .. 6 /'i n .. dV J 
N 
V 1 J 1 J 
da equaçao (3.19). 
77 
( I 
V (4.26) 
~NL = I T ~NL ?M ~NL dV (4.27) 
Explicitando-se o somatório do lado esquerdo da equ~ 
çao (4.26) e considerando s22 = s33 = s23 = O , tem-se: 
• 
(4.28) 
As componentes 6 nij sao dadas por: 
l 36 uk 36 uk 
6 nij = z 3 y. 3 y. 
1 J 
(4.29a) 
i = Y1 = r 
j = l ' 2' 3 Yz = s 
Y3 = t 
ou 
6 n .. l 6 UT 6 l 6 T 6 ~' l (4.29b} = z u = z u . 1 J - 'l -,j -,J 
onde: 
T [36 u l 36 Uz 36 u3 J 6 u ; l = (4.30a) 3 y 1 3 y 1 3 Yl 
ou 
sendo: 
I - matriz 
o - matriz 
T ti u . = ,J 
(j=l,2,3) 
!:,. u 
' l 
= 
!:,. 
T 
!:,. u 1 = , 
u . = -,J 
!:,. 
T u . 
-,J = 
!:,. 
M' = [! 
M2 = [Q 
M' = [Q 
T [/:,. T !:,. !,! ,y = ~ l , 
78 
M' !:,. u -,Y 
UT 
,y 
( M 1 ) T 
Mj !:,. u -,y 
UT 
-,y 
(~j) T 
o Q] 
I D] 
o I] 
T 
!:,. !,! 2 , 
identidade 3 X 3 
nula 3 X 3 
(4.30b) 
(4.31a) 
(4.31b) 
(4.32a) 
(4.32b) 
(4.33) 
t,. u T J -,3 (4.34) 
Fazendo a primeira variação das equaçoes (4.29b), 
(4.31b) e (4.32b), tem-se: 
(4.35) 
79 
ol'i UT 
- 'l 
= ol'i u -,y 
(!11) T (4.36a) 
ol'i 
T u . 
-,J = ol'i u -,y 
( ~j) T (4.36b) 
Substituindo (4.31a), (4.32a), (4.36a) e (4.36b) 
em (4.35), tem-se 
(4.37) 
Variando o indice j em (4.37) tem-se: 
o /'i n 11 = ol'i UT -,Y (~1)T 
MI /'i u -. ,y 
oi'i n 12 
l 
ol'i UT [c~1)T M2 + (~2)T ~IJ /'i (4.38) = 7 u -,y ,y 
o/'i n13 
l 
ol'i 
T 
= 2 u -,y [e~ 1) T M' + ( ~,) T ~IJ /'i ~.y 
Através das equaçoes (4.34), (4.30b) e (4.8a) ob-
tem-se a relação entre o vetor 
incrementais 
/'i u e os deslocamentos nodais ,y 
/'i u = HD /'i uk (4.39a) -,y 
ou 
(4.39b) 
sendo 
80 
a h~ 
J p/ i < 3 aYí-
a i-3 h. 
( H D) .. = J p/ 3 < i < 6 (4.40) , J a Y2 
a i-6 h. 
J p/ 6 < i < 9 a Y3 
Fazendo a primeira variaçio da equaçao (4.39b), 
tem-se: 
(4.41) 
Substituindo as equaçoes (4.38), (4.39a) e (4.41) 
em (4.28), tem-se: 
J sij 06 n .. , J dV = (06 ~k)T [ 
J V H p T [s 11 ( ~ 1 ) T M' + 512 [( ~ 1) T Mz + (~z)T ~ 1 J + -
+ 513 [l~ 1) T Ma + (~')T~']] HD dv] 6 uk (4.42) -
Comparando as equaçoes (4.26) e (4.42) conclui-se 
que: 
e 
ou 
~M 
9x9 
(BNL)ij 
= 
a 
= 
a 
81 
o 
o 
~NL = HD 
ah~ 
_J p/ 
ºY1 
h~-3 
J p/ a Y2 I 
h i_ -6 
J p/ a Y3 
o (4.43) 
o 
(4.44a) 
i < 3 
3 < l < 6 (4.44b) 
6 < i < 9 -
~ 
91 - 97 s - 97 t o 9g t - 9g s 94 
o 92 o - 9 l t o 93 o 
o o 9z 91 s - 93 o o 
o - 9z o o O, - 93 o -
~NL = o o o o o o o 
o o o fl o o o 
o o - 9z o 93 o o 
o o o - f l o o o 
o o o o o o o 
~ 
9g s - 9g t o 
95 o - 94 
o 95 94 
95 o o 
o o o 
o o f4 
o - 95 o 
o o - f4 
o o o 
910 t -
t o 
s - 96 
o -
o 
o 
96 
o 
o 
910 s 
96 
o 
96 
o 
o 
o 
o 
o 
1 
co 
N 
83 
Os elementos da matriz de riigdez não-linear, re-
feri da ao sistema mõvel, são determinadas através das equaçoes 
(4.43), (4.44), (4.24b) e (4.27). 
2 3 4 5 6 7 8 9 l o l l l 2 
- N N N N N N N N N N 
Kll Kl2 Kl3 Kl5 Kl6 Kl7 Kl 8 K1g K l 11 Kl , l 2 
l 
, 
N 
K22 
N 
K24 
N 
K26 
N 
K27 
N 
K2a 
N 
K2 , l O 
N 
K2,12 
2 
N 
K33 
N 
K34 
N 
K35 
N 
K37 
N 
K3g 
N. 
K3 ; l O 
N 
K 3 , 11 
3 
N 
K44 
N 
K45 
N 
K46 
N 
K48 
N 
K4g 
N 
K4, l O 
N 
K 4, 11 
N 
K4, 12 
4 
N 
K55 
N 
K57 
N 
K5g 
N 
K5 , l O 
N 
K5, 11 
5 
N N N N N 6 
K66 K6 7 K68 K6, l O K6 12 
~NL= s I M 
, 
N N N N N 
K77 K78 K7g K 7 11 K7,12 
7 
, 
N 
K88 
N 
KB, l O 
N 
K 8, l 2 
8 
N N N 9 
Kgg Kg, l O Kg, 11 
N 
Kl O, l O 
N 
Kl O, 11 KlO, 12 
10 
N 
Kl 1 , 11 
11 
N 
Kl2,12 
12 
N Fl N F2 
Kll = T N l 2 = T 
N F3 KN F5 Kl3 = T = T l 5 
N F6 N N 
Kl6 = --r- Kl7 = K 11 
( 4. 45 a) 
N N N N 
Kl8 = Kl2 K1g = K13 
N 
F3 + 
F5 N F6 
K l , 11 = T Kl , 1 2 = - Fz + T 
N l 2 I z 6 
Kzz = Fl - Fl 
L' Ax 
5[ 
84 
N F3 F5 
Kz4 = 2 + T 
N 6 I z Fl 
Kz5 = Fl L2 Ax 
- TIT 
N Fz 
Kz7 =T 
N 
l 2 I 6 z 
Kzs = F1 + Fl 
L' A "5T 
X 
N F3 F5 
Kz, l O = z- T 
=- 12 Iy 
L' Ax 
N F 2 F 6 
K34 = - 2 + T 
l 2 I y 
L' Ax 
(4.45a) 
(4.45b) 
85 
N I N L X 
Fl K44 = IA K45 = TI F2 
N L 
F3 
N F3 F5 
K45 = TI K43 = 2 T 
(4.45b) 
N F2 F5 N N 
K49 = 2 T K 4 , l O = K44 
N N N N 
K4, 11 = K45 Kll, 12 = K45 
(4.45c) 
6 I F 
= __ z Fl + ,;,. 
A L 2 , u 
N 
K5, l O = 
86 
KN Fl N = T K73 = 77 
N N 
= -K79 KN l 3 K 7, 11 = 
N 
K7 12 = , 
N 
Kg, l O = 
KN N K33 99 
N 
Kl 12 , 
N 
K24 
N 
Kg , 11 = 
N 
Kl0,11 
N 
Kss 
N 
KS,12 = 
N 
Kg, l O 
KN 
35 
N 
Kl2 
N 
K l , l l 
= 
-
= 
N 
K22 
N 
K26 
N . 
K34 
N 
Kl0,12 
(4.45d) 
A matriz de rigidez não-linear referida ao siste-
ma global e determinada através da seguinte equação: 
(4.46) 
4.5 - TRANSFORMAÇAO DO SISTEMA DE REFERÊNCIA LOCAL FIXO PARA O 
SISTEMA LOCAL MDVEL 
. A determinação da posição do sistema de referencia 
mõvel e feita através de ângulos de Euler'. 
O sistema de eixos X. , correspondente a config~ 
1 . 
raçao indeformada, transforma-se no sistema de eixos yi , cor-
respondente a configuração deformada, através de tres rotações 
sucessivas (Fig. 4.4). 
87 
( a ) 
~ 
X2 
\ (; 
X2 
1 
1 
1 
1 
\ 
1 
( b) 
,. 
X2 
Y2 
\ 
\ \ 1 
\ 
\ 
\ 
\ 
\ 
/ v, / 
.. 'õ / / 
x3 / 
/ 
Y3 / 
/ 
( e J 
Figura 4.4 
origem aos 
88 
Primeiro, uma rotação 
eixos xª l e xª 3 
xª l -
X2 = Rª 
a 
X3 
cos (l 
o 
- sena 
Em seguida, os eixos 
o 
l 
o 
a em torno do eixo 
x, 
x2 
X3 
sena 
o 
cos (l 
a x 1 e sofrem 
de B em torno do eixo x~ , transformando-se em y 1 e 
Y1 xª l 
xs 
2 = 
RS x2 
xª a 
3 X3 
r cos B se n B o 
RB = l -sen B cos B o o o l 
Finalmente, apos uma rotação y em torno 
xB 
2 e 
X a 
3 transformam-se em Y2 e Y3 
Y1 Y1 
Y2 = Ry xs 2 
Y3 
a 
X3 
x2 dã 
(4.47a) 
(4.47b} 
um g i ro 
(4.48a) 
(4.48b} 
de y l ' 
(4.49a} 
l 
o 
o 
89 
o 
CDS y 
- sen y 
o 
sen y 
CDS y 
(4.49b) 
As matrizes Rª e RS determinadas a seguir,r! 
presentam a rotação causada pelas translações relativas dos nõs 
(Fig. 4.5) 25 • 
onde: 
N-r N- N-
ui = ui+6 - ui 
(i = 1, 2 , 3) 
1 
IJ 1 = [(ºL + Nuf) 2 + tu~) 2]2 
ºL + N-r ul 
cos a = 
IJl 
N-r 
sen a 
U3 
= 
IJl 
s 
IJl 
cos = 
NL 
N-r 
s 
u2 
sen = 
NL 
(4.50) 
(4.51a) 
(4.51b) 
90 
N ,,; 
.U.1 
I J K1 
N .. 
.JJ.. 3 
_j,_ 
J1 ... 
X1 
( a l 
Y1 
J2 
~ \.. 1 
N_.o. 
JJ-2 
o<-
I J1 
x, 
( b ) 
Rgura 4. 5 
91 
N-r ui - componentes do vetor de deslocamentos relativos