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Sumário 
 
1) Teoria do consumidor (Jehle; Reny, caps. 1 e 2; Nicholson, caps. 3, 4, 5; Pindyck; Rubinfeld, 
cap. 3 e apêndice cap. 4; Varian, caps. 2, 3, 4, 5) .................................................................................... 6 
Introdução ............................................................................................................................................ 6 
1.1) O processo de escolha .............................................................................................................. 6 
1.2) Utilidade, Preferências, e Curva de indiferença ...................................................................... 7 
1.3) A restrição orçamentária .......................................................................................................... 9 
1.4) Escolha ...................................................................................................................................10 
1.5) Dualidade ...............................................................................................................................12 
1.6) Desenvolvimentos e identidades ............................................................................................14 
1.6.1) Shephard Lema: a partir da derivada da função dispêndio em termos do preço se chegar as 
demandas hicksianas ......................................................................................................................14 
1.6.2) Identidade de Roy: Alcançar a demanda marshalliana a partir da razão negativa das 
derivadas da função de utilidade indireta em relação ao preço e a derivada da função de utilidade 
indireta em relação a renda ............................................................................................................14 
1.6.3) Equação de Slutsky .............................................................................................................14 
2) Teoria da firma: tecnologia, produção, custos e oferta (Jehle e Reny, cap. 3; Nicholson, caps. 9, 
10, 11; Pindyck e Rubinfeld, caps. 6, 7, 8; Varian, caps. 18, 19, 20, 21, 22, 23) ..................................17 
Do que se trata? .................................................................................................................................17 
2.1) Produção .....................................................................................................................................17 
2.2) Rendimentos de Escala ..............................................................................................................19 
2.3) Custo de Produção ......................................................................................................................20 
2.4) Escolha (minimização de custo) .................................................................................................21 
2.4.1) No Longo Prazo: .................................................................................................................21 
2.4.2) E no Curto Prazo .................................................................................................................21 
2.4.3) Resolução ............................................................................................................................22 
2.5) Dualidade da firma: maximização da produção sujeita a um nível de custo .............................22 
2.6) Maximização de lucro e oferta ...................................................................................................22 
2.7) A decisão do nível de produção que maximiza os lucros em um mercado em concorrência 
perfeita ..............................................................................................................................................24 
2.8) Oferta da firma no curto prazo...................................................................................................26 
2.9) A oferta no curto prazo ..............................................................................................................26 
3) Equilíbrio de mercado e concorrência perfeita (Jehle e Reny, cap. 3 (item 3.5), cap. 4 (item 4.1); 
Nicholson, cap. 11 e 12; Pindyck, cap. 8; Varian, cap. 19, 22, 23) .......................................................29 
3.1) Origem da discussão ...................................................................................................................29 
3.2) Características da concorrência perfeita .....................................................................................29 
2 
 
3.3) Discussão sobre a curva de oferta de uma indústria ...................................................................29 
3.4) Receita total, receita média e receita marginal ...........................................................................29 
3.5) Equilíbrio da firma em concorrência perfeita e a Ideia de Maximização de Lucros ..................30 
3.6) Situações possíveis .....................................................................................................................32 
3.7) Curva de oferta no curto prazo ...................................................................................................33 
3.8) Curva de oferta da firma no longo prazo ....................................................................................35 
3.9) 3 situações possíveis de lucro .....................................................................................................36 
3.10) Áreas de lucro total, receita total e custo total..........................................................................37 
3.11) Excedente do produtor e do consumidor ..................................................................................37 
4) O equilíbrio da firma em monopólio (Jehle e Reny, cap. 4; Nicholson, cap. 14; Pindyck e 
Rubinfeld, cap. 10 e 11; Varian, cap. 25 e 25) ......................................................................................39 
Introdução ..........................................................................................................................................39 
Caracterizando as estruturas de Mercado: Concorrência Perfeita, Monopólio e Oligopólio ........39 
A origem do monopólio .................................................................................................................40 
A escala mínima de eficiência .......................................................................................................40 
Os monopólios naturais* ...............................................................................................................40 
A escolha ótima da firma no monopólio ........................................................................................40 
Um pouco sobre barreiras ..............................................................................................................40 
4.2) O comportamento monopolista ..................................................................................................40 
4.3) Relação entre decisão do monopolista e elasticidade .................................................................42 
Equilíbrio monopolista curto prazo ...................................................................................................44 
Equilíbrio monopolista longo prazo ..................................................................................................44 
Ônus do monopólio............................................................................................................................44 
Discriminação de preços ....................................................................................................................44 
5) Concorrência monopolística e modelos clássicos de oligopólio (Jehle e Reny, cap. 4 (item 4.20); 
Nicholson, cap. 15; Pindyck e Rubinfeld, cap. 12; Varian, cap. 27) .....................................................455.3) O Modelo de Cournot .................................................................................................................45 
5.3.1) Cournot para n firmas** ......................................................................................................46 
5.4) O Modelo de Stackelberg ...........................................................................................................47 
5.5) O Modelo de Bertrand ................................................................................................................48 
5.6) Cartel ..........................................................................................................................................48 
6) Teoria dos jogos e estratégia competitiva (Jehle e Reny, cap. 7; Nicholson, cap. 8; Pindyck e 
Rubinfeld, cap. 13; Varian, cap. 28) ......................................................................................................50 
Introdução ..........................................................................................................................................50 
6.1) Definições básicas de jogos. .......................................................................................................50 
6.2 A interação estratégica .................................................................................................................50 
6.3 Exemplos de aplicação ................................................................................................................51 
3 
 
6.2.1 Tipos de interações ...............................................................................................................51 
6.4) Breve histórico da teoria dos jogos ............................................................................................52 
6.5) Estrutura de jogos e tipos de jogos .............................................................................................53 
6.5.1) Conceito de estratégia .........................................................................................................53 
6.5.2) Forma Estratégica ou Normal ..............................................................................................53 
6.5.3) Forma estendida (mais informações do que na forma estratégica) .....................................54 
6.5.4) Diferença de conjuntos de estratégia em jogos simultâneos e sequenciais .........................54 
6.6) Divisão dos jogos e da estratégia ...............................................................................................55 
6.7 Guia para jogos: ...........................................................................................................................56 
6.8 O caso do Dilema dos Prisioneiros: .............................................................................................56 
6.9) Jogos Maxmin ........................................................................................................................57 
6.10) Jogos com Estratégia Mista. ..............................................................................................58 
6.11) Forma extensiva: ................................................................................................................59 
permite distinguir situações em que os movimentos dos jogadores são sequenciais daqueles 
simultâneos. .......................................................................................................................................59 
6.12) Jogos simultâneos de informações incompleta ..................................................................59 
6.13 Equilíbrio de Nash Bayesiano ...................................................................................................61 
7) Análise do bem-estar no modelo de equilíbrio geral (Jehle e Reny, cap. 5; Nicholson, cap. 13; 
Pindyck e Rubinfeld, cap. 16; Varian, caps. 31, 32, 33) .......................................................................68 
Introdução ..........................................................................................................................................68 
7.1) A ideia de eficiência ...................................................................................................................68 
7.1.1) A ideia de eficiência no sentido de pareto ...........................................................................68 
7.1.2) As vantagens nas trocas .......................................................................................................69 
7.2) O modelo de trocas sem produção .............................................................................................69 
7.2.1) A caixa de Edgeworth .........................................................................................................70 
7.2.1.1) A estrutura da caixa de edgeworth e as trocas ..................................................................70 
7.2.1.2) A curva de contrato ..........................................................................................................71 
7.2.2) Fronteira de possibilidade de utilidade (preciso dar a mesma atenção que na FPP) ...........71 
7.2.3) Em síntese: ..........................................................................................................................71 
7.2.4) Solução algébrica ................................................................................................................72 
7.2.5) O equilíbrio do consumidor no modelo de equilíbrio geral em um mercado competitivo .73 
7.3) Equilíbrio geral na produção ......................................................................................................78 
7.3.1) A ideia de eficiência na utilização dos insumos ..................................................................78 
7.3.2) Produção no equilíbrio geral: Alocação eficiente na produção (solução algébrica do ótimo 
de pareto na produção) ...................................................................................................................79 
7.3.3) Fronteira de possibilidade de Produção (FPP) ....................................................................81 
A TMT ...........................................................................................................................................82 
4 
 
7.3.5) Eficiência na produção ........................................................................................................83 
7.3.6) Em síntese (eficiencia nos mercados produtivos) ...............................................................83 
7.3.7) Conclusões...........................................................................................................................84 
7.4) A ilustração algébrica do Ótimo de pareto geral (no consumo e na produção) .........................84 
8) Modelos de assimetria de informação (Jehle e Reny, cap. 8; Nicholson, cap. 18; Pindyck, cap. 17; 
Varian, cap. 37) ......................................................................................................................................86 
8.1) Introdução ..................................................................................................................................86 
8.2) O caso clássico – O mercado de carros usados (Oferta ex-ante) ...............................................87 
8.3) A Seleção adversa .......................................................................................................................88 
8.3.1) Mercado de planos de saúde.........................................................................................89 
8.3.2) Mercado de seguros de automóveis .............................................................................89 
8.3.3) Mercado de crédito .......................................................................................................89 
8.4) Sinalização de mercado (forma de lidarcom seleção adversa) .................................................91 
8.5) Risco Moral .................................................................................................................................94 
8.5.1) A questão do agente e do principal.....................................................................................94 
9) Externalidades e bens públicos (Nicholson, cap. 19; Pindyck, cap. 18; Varian, cap. 34 e 36) .......101 
9.1) Externalidades ..........................................................................................................................101 
9.1.1) Externalidades negativas ...................................................................................................101 
9.1.2) Externalidades positivas ....................................................................................................102 
9.2 Formas de lidar com externalidades ..........................................................................................102 
9.2.1) Como chegar ao nível eficiente? .......................................................................................104 
6.3) Externalidades e direitos de propriedade ..................................................................................106 
6.4 Recurso comum .........................................................................................................................109 
10) Decisões sob incerteza (Jehle e Reny, cap. 2 (item 2.4); Nicholson, cap. 7; Pindyck e Rubinfeld, 
cap. 5; Varian, cap. 12) ........................................................................................................................119 
10.1) Introdução ...............................................................................................................................119 
10.2) Descrevendo o risco ...............................................................................................................120 
10.3) Variabilidade e valor esperado ...............................................................................................120 
Valor esperado .............................................................................................................................120 
Variabilidade ................................................................................................................................121 
Tomada de decisão ......................................................................................................................121 
Os tipos de agentes em relação ao risco ..........................................................................................122 
Aversão e atração ao risco de acordo com cada preferência .......................................................122 
Prêmio de risco ................................................................................................................................125 
Aversão ao risco e curvas de indiferença.........................................................................................127 
Matriz hessiana com restrição .............................................................................................................128 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1) Teoria do consumidor (Jehle; Reny, caps. 1 e 2; Nicholson, caps. 
3, 4, 5; Pindyck; Rubinfeld, cap. 3 e apêndice cap. 4; Varian, caps. 
2, 3, 4, 5) 
 
Introdução 
 
Equilíbrio do consumidor 
➢ Constitui a parte da teoria microeconômica que corresponde aos agentes econômicos 
enquanto demandantes de bens e serviços 
➢ E isso considerando que esses agentes 
(1) possuem preferências, 
(2) mas que essas preferências incorrem em restrições determinadas pelo nível de 
renda dos agentes (o preço dos bens e serviços são determinados no âmbito 
monetário), 
(3) e que, considerando as preferências e as restrições do nível de renda, os agentes 
fazem as suas escolhas visando o maior benefício possível, ou, em outros termos, 
maximizar a sua utilidade 
 
Origem do modelo: Utilitarismo (identificação da ideia de utilidade enquanto sinônimo de 
satisfação, e a formalização do modelo que trata das relações entre a oferta e a demanda) 
 
 
Pressupostos que guiam o comportamento do consumidor 
 
• Comportamento hedonista: o consumidor toma as suas decisões baseadas em um 
comportamento de auto interesse, buscando a sua satisfação; 
 
• Atomismo: o mercado é formado por diversos consumidores no sentido que as 
decisões de consumo por parte de um consumidor individual não são capazes de 
influenciar o nível de preços do mercado (consumidores não se associam com este 
objetivo); 
 
• Price-Taker: nesse sentido, os agentes econômicos, enquanto 
consumidores/demandantes de bens e serviços, tomam os preços de mercado como 
dados; 
 
• Racional-maximizador: o consumidor, levando em consideração todas as informações 
disponíveis (simetria de informações), toma a melhor decisão possível buscando a 
maximização da sua satisfação (utilidade) 
 
1.1) O processo de escolha 
 
O processo de escolha que caracteriza o equilíbrio do consumidor pode ser dividido em três 
etapas 
 
1º) Preferências do consumidor: o consumidor possui preferências em relação aos diversos 
bens e serviços existentes em uma economia 
7 
 
Essas preferências são expressas em termos das quantidades desses bens e serviços na 
constituição das cestas de consumo possíveis, formadas por determinadas quantidades desses 
bens e serviços 
 
2º) Restrição orçamentária: Considerando as diversas possibilidades de composição das 
cestas de consumo, dado que os bens e serviços que compõem essa cesta, e com isso a 
própria cesta, são expressos em termos monetários, apenas algumas dessas cestas são 
factíveis considerando a renda auferida pelo consumidor 
 
3º) Escolha: Diante das preferências em termos dos bens e serviços, e da restrição de renda a 
que incorre, o consumidor escolhe a cesta de consumo, formada por determinadas 
quantidades de bens e serviços, que lhe conceda a maior satisfação (utilidade possível)* 
 
 
1.2) Utilidade, Preferências, e Curva de indiferença 
 
Utilidade e princípio da utilidade marginal 
 
A ideia de utilidade é atribuída ao nível de satisfação associado a uma curva de indiferença 
➢ Pode ser expresso por um valor número que permite classificar as cestas de consumo 
em níveis de utilidade/satisfação 
➢ Em economia, a ideia de marginal é associada ao efeito provocado em uma variável 
pela variação de uma unidade de uma outra variável 
➢ No caso da teoria do consumidor, a ideia de utilidade marginal expressa a variação 
na utilidade provocada pela variação de uma unidade de consumo de um determinado 
bem 
 
A ideia de utilidade marginal decrescente corresponde a ideia de que a utilidade gerada por 
uma unidade adicional de um determinado bem é menor do que a utilidade gerada pelo bem 
anterior 
 
As preferências do consumidor se fundamentam em cinco axiomas 
 
1) Integralidade: 
➢ Capacidade do consumidor expressar as suas relações de preferência 
➢ Comparar duas cestas de consumo e conseguir ranquear essas cestas em uma 
hierarquia de preferências (qual é melhor que a outra) 
 
2) Transitividade: 
➢ Se relaciona a aspectos da lógica 
➢ Considerando a capacidade de ranquear cestas, quando se insere uma terceira cesta, o 
consumidor ao preferir uma cesta “A” em relação a uma cesta “B” e preferir essa 
cesta “B” em relação a uma cesta “C”, significa que o consumidor prefere a cesta “A” 
a cesta “C” 
 
3) Continuidade/completude: 
➢ Não há quebras nas preferências do consumidor. 
➢ Graficamente, essas preferências podem ser vistas em um mapa de indiferença 
8 
 
➢ Cada ponto no mapa corresponde a uma combinação de determinadas quantidades de 
determinados bens e serviços que conformam uma cesta de consumo que 
proporcionam um determinado nível de satisfação/utilidade.➢ Ou seja, as preferências são contínuas no sentido que o mapa de indiferença é denso, 
havendo diversas curvas de indiferença, e entre duas curvas de indiferença sempre há 
outra curva de indiferença 
 
4) Monotonicidade: 
➢ Está relacionado à não saciedade local, isto é, sempre há uma cesta preferível, e o 
consumidor tem uma maior satisfação/utilidade 
 
5) Convexidade: 
➢ Está associada ao dilema do consumidor no sentido que, para aumentar a quantidade 
de um bem ou serviço na sua cesta de consumo, ele deve diminuir a quantidade de 
outro bem ou serviço nessa cesta 
 
 
𝜕𝑇𝑀𝑆
𝜕𝑏𝑒𝑚
< 0 → 
−∆𝑏𝑒𝑚𝐵
∆𝑏𝑒𝑚𝐴
∆𝑏𝑒𝑚𝐴
< 0 
 
TMST é decrescente à medida que se utiliza mais do insumo A 
 
 
Mapa e curva de indiferença 
 
Um mapa de indiferença é o lugar geométrico onde cada ponto expressa uma cesta de 
consumo formada por determinadas quantidades de determinados bens e serviços que 
concedem uma satisfação/utilidade 
 
A curva de indiferença é uma curva que, respeitando os 5 axiomas mencionados, representa 
todas as cestas de consumo com combinações de bens e serviços e que fornecem o mesmo 
nível de satisfação para um consumidor (por isso indiferença) 
 
Considerando um modelo em que o consumidor tem de escolher entre determinadas 
quantidades de dois bens para formar a sua cesta de consumo, a curva de indiferença em um 
mapa de indiferença pode ser vista da seguinte maneira 
Os pontos “A”, “B”, “C”, constituem cestas de consumo constituídas pelas quantidades dos 
bens 𝑥1 e 𝑥2 
 
A: (𝑥1
′′; 𝑥2
′ ) = 𝑈2 
 
B: (𝑥1
′ ; 𝑥2
′′) = 𝑈2 
 
C: (𝑥1
′′; 𝑥2
′′) = 𝑈1 
 
As cestas “A” e “B” geram a mesma satisfação/utilidade 𝑈2, já que se encontram sob a 
mesma curva de indiferença, e assim, o consumidor é indiferente entre consumir a cesta A ou 
a cesta B 
 
9 
 
A cesta “C” se situa abaixo/a esquerda da curva de indiferença 2, e por isso apresenta um 
nível de utilidade menor do que as cestas da curva de indiferença 2 (𝑈1 < 𝑈2 < 𝑈3) 
Ainda é possível estabelecer a relação entre as cestas A e B e definir a inclinação da curva de 
indiferença 2 
 
Ao se deslocar da cesta A para a cesta B, o consumidor aumenta a quantidade de bem 𝑥1, e 
para isso reduz a quantidade de bem 𝑥2, e sem alterar o nível de utilidade 
 
À relação entre a variação entre os bens no deslocamento de uma cesta para outra dar-se o 
nome de Taxa Marginal de Substituição (TMS), que determina a própria inclinação da curva 
de indiferença 
 
𝑇𝑀𝑆 =
−∆𝑥2
∆𝑥1
= ∆𝑢𝑥1(∆𝑥1) + ∆𝑢𝑥2(∆𝑥2) = 0 
 
Ou 
 
∆𝑢𝑥1(∆𝑥1) + ∆𝑢𝑥2(∆𝑥2) = 0 → 
∆𝑢𝑥1
∆𝑢𝑥2
= 
−∆𝑥2
∆𝑥1
→
𝑈𝑚𝑔𝑥1
𝑈𝑚𝑔𝑥2
= 𝑇𝑀𝑆 
 
O sinal negativo da TMS, e a inclinação da curva de indiferença se associa a própria ideia do 
axioma da convexidade 
➢ Não é possível ter uma curva de indiferença positivamente inclinada 
➢ Isto é, que seja possível aumentar a quantidade dos dois bens mantendo o mesmo 
nível de satisfação 
 
Também as curvas de indiferença não podem se cruzar sob o risco de ferir o axioma da 
transitividade 
 
Por fim, uma função utilidade pode assumir o seguinte formato 
 
𝑢(𝑥1; 𝑥2) = 𝑈 
 
Uma questão importante 
 
➢ As curvas de indiferença não podem se interceptar 
➢ Caso isso ocorra, fere o axioma da transitividade 
➢ No caso específico das cestas A, B, e D, com o cruzamento das curvas há uma 
indiferença entre as três cestas, mesmo que B tenha uma maior quantidade dos dois 
bens em relação a D 
 
1.3) A restrição orçamentária 
A restrição à escolha de qualquer cesta possível é dada pelo fato que os bens, e 
consequentemente as cestas, são cotadas em termos monetários (preços) 
 
Dessa forma, a escolha do consumidor incorre em uma restrição que é dada pela sua renda 
 
10 
 
No modelo, se considera que toda renda do consumidor é gasta (o consumidor não direciona 
parte da renda presente para consumo futuro) considerando os preços e as quantidades dos 
bens e serviços que compõem as possíveis cestas 
 
Assim, a equação da restrição orçamentária pode ser escrita como 
 
𝑌 = 𝑝𝑥1𝑥1 + 𝑝𝑥2𝑥2 
 
Em que: “Y” é a renda do consumidor; 𝑝𝑥1; 𝑝𝑥2 são os preços dos bens 𝑥1 e 𝑥2 
respectivamente, e 𝑥1 e 𝑥2 são as quantidades dos bens 𝑥1 e 𝑥2 
 
Manipulando a equação, chega-se a 
 
𝑥2 = 
𝑌 − 𝑝𝑥1𝑥1
𝑝𝑥2
= 
𝑌
𝑝𝑥2
− 𝑥1 (
𝑝𝑥1
𝑝𝑥2
) 
 
Em que: 
 
𝑌
𝑝𝑥2
 é o intercepto da reta orçamentária 
 
(
𝑝𝑥1
𝑝𝑥2
) é a inclinação da reta orçamentária 
 
Em que uma variação no preço de um dos bens (ceteris paribus) altera a inclinação da reta 
orçamentária, e uma alteração na renda provoca um deslocamento da reta orçamentária 
 
A equação orçamentária pode ser ilustrada por uma reta no mapa de indiferença em que todos 
os pontos dessa reta configuram cestas que geram o mesmo gasto para o consumidor, mas 
utilidades diferentes 
 
1.4) Escolha 
 
A escolha do consumidor ocorre no ponto em que a curva de indiferença mais elevada é 
tangenciada pela reta orçamentária 
 
 
Neste ponto, a inclinação das duas curvas é a mesma, de maneira que 
 
𝑀𝑎𝑥𝑢(𝑥1; 𝑥2) → 𝑇𝑀𝑆 = 
𝑤1
𝑤2
= 
−∆𝑥2
∆𝑥1
=
𝑈𝑚𝑔𝑥1
𝑈𝑚𝑔𝑥2
 
 
Algebricamente, a escolha do consumidor pode ser escrita como um problema de otimização 
condicionada da seguinte maneira 
 
max
𝑥1; 𝑥2
𝑢 = 𝑢( 𝑥1; 𝑥2) 
𝑠. 𝑎. 𝑌 = 𝑝𝑥1𝑥1 + 𝑝𝑥2𝑥2 
 
Ou seja, quais as quantidades dos bens 𝑥1 e 𝑥2 que geram a maior utilidade possível 
considerando a restrição de renda? 
11 
 
Supondo uma função utilidade do tipo 
 
𝑢(𝑥1; 𝑥2) = 𝑥1
𝛼𝑥2
1−𝛼 
 
Sujeito à restrição dada por 
 
𝑌 = 𝑝𝑥1𝑥1 + 𝑝𝑥2𝑥2 
 
Quais as quantidades dos bens 𝑥1 e 𝑥2 que geram a maior utilidade possível considerando a 
restrição de renda? 
 
Reescrevendo o problema 
 
max
𝑥1; 𝑥2
𝑢( 𝑥1; 𝑥2) = 𝑥1
𝛼𝑥2
1−𝛼 
𝑠. 𝑎. 𝑌 = 𝑝𝑥1𝑥1 + 𝑝𝑥2𝑥2 
 
Resolvendo pelo método dos multiplicadores de Lagrange, a equação Lagrangeana pode ser 
escrita como 
 
𝐿 = 𝑥1
𝛼𝑥2
1−𝛼 + 𝜆(𝑌 − 𝑝𝑥1𝑥1 − 𝑝𝑥2𝑥2) 
 
Derivando a equação Lagrangeana em termos de 𝑥1, 𝑥2, e 𝜆, e igualando a zero, tem-se que 
 
𝜕𝐿
𝜕𝑥1
= 𝛼𝑥1
𝛼−1𝑥2
1−𝛼 − 𝜆𝑝𝑥1 = 0 → 𝜆 = 
𝛼𝑥1
𝛼−1𝑥2
1−𝛼
𝑝𝑥1
 (1) 
𝜕𝐿
𝜕𝑥2
= (1 − 𝛼)𝑥1
𝛼𝑥2
−𝛼 − 𝜆𝑝𝑥2 = 0 → 𝜆 = 
(1 − 𝛼)𝑥1
𝛼𝑥2
−𝛼
𝑝𝑥2
 (2) 
𝜕𝐿
𝜕𝜆
= 𝑌 − 𝑝𝑥1𝑥1 − 𝑝𝑥2𝑥2 = 0 (3) 
 
Sendo a equação (1) e (2) dada por uma igualdade de λ, tem-se 
 
 
𝛼𝑥1
𝛼−1𝑥2
1−𝛼
𝑝𝑥1
= 
(1 − 𝛼)𝑥1
𝛼𝑥2
−𝛼
𝑝𝑥2
 
 
E ajustando 
 
𝛼𝑥1
𝛼−1𝑥2
1−𝛼
(1 − 𝛼)𝑥1
𝛼𝑥2
−𝛼 = 
𝑝𝑥1
𝑝𝑥2
 (4) 
 
Em que: 
 
𝛼𝑥1
𝛼−1𝑥2
1−𝛼
(1 − 𝛼)𝑥1
𝛼𝑥2
−𝛼 =
𝑈𝑚𝑔𝑥1
𝑈𝑚𝑔𝑥2
= 𝑇𝑀𝑆 
 
Logo, a expressão (4) representa a condição de maximização da mesma forma que visto em 
termos gráficos do ponto de tangência da curva de indiferença e da reta orçamentária 
12 
 
Arrumando a equação (4) em relação a 𝑥1 e 𝑥2 tem-se que 
 
𝑥1 = 
𝛼𝑥2𝑝𝑥2
(1 − 𝛼)𝑝𝑥1
 ; 𝑒; 𝑥2 = 
𝑥1(1 − 𝛼)𝑝𝑥1
𝛼𝑝𝑥2
 
 
Substituindo 𝑥1 e 𝑥2 na equação (3) (no caso substituindo 𝑥1) 
 
𝑌 − 𝑝𝑥1 [
𝛼𝑥2𝑝𝑥2
(1 − 𝛼)𝑝𝑥1
] − 𝑝𝑥2𝑥2 = 0 (5) 
 
Arrumando a equação (5) chega-se à escolha ótima de 𝑥2 dada por 
 
𝑥2
∗ = 
(1 − 𝛼)𝑌
𝑝𝑥2
 
 
E substituindo 𝑥2 na equação (3) 
 
𝑌 − 𝑝𝑥1𝑥1 − 𝑝𝑥2 [
𝑥1(1 − 𝛼)𝑝𝑥1
𝛼𝑝𝑥2
] = 0 (6) 
 
Arrumando a equação (6) chega-se a escolha ótima de 𝑥1 dada por 
 
𝑥1
∗ = 
𝛼𝑌
𝑝𝑥1
 
 
𝑥1
∗ e 𝑥2
∗ são denominadas por demandas marshallianas, ou seja, expressam as quantidades 
ótimas de 𝑥1 e 𝑥2, isto é, que maximizam a utilidade/satisfação de um consumidor 
considerando a sua restrição de renda dada por 𝑌 = 𝑝𝑥1𝑥1 + 𝑝𝑥2𝑥2 
 
 
1.5) Dualidade 
Uma outra forma de resolver poderia se dar pelo inverso do problema de maximização, ou 
seja, qualé o menor gasto possível que resulte na maior utilidade/satisfação? 
 
A resolução para este problema é o mesmo invertendo apenas a função objetivo, que seria a 
equação orçamentária, e a restrição, que seria a função utilidade 
 
Dessa forma se chegaria as chamadas demandas hicksianas (𝑥1
ℎ e 𝑥2
ℎ), equivalentes as 
demandas marshallianas 𝑥1
∗ e 𝑥2
∗ 
Demonstrando a dualidade e outras derivações 
 
 
 
 
 
13 
 
Dualidade do consumidor 
Minimizar: 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 ; 𝑠. 𝑎. ; 𝑢 = 𝑥1
𝛼𝑥2
1−𝛼 
 
Lagrangeana: L = : 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 + 𝜆( 𝑢 −
 𝑥1
𝛼𝑥2
1−𝛼) 
CPO1: 𝑝1 + 𝜆(−𝛼𝑥1
𝛼−1𝑥2
1−𝛼) = 0 
CPO2: 𝑝2 + 𝜆(1 − 𝛼𝑥1
𝛼𝑥2
−𝛼) = 0 
CPO3: 𝑢 − 𝑥1
𝛼𝑥2
1−𝛼 = 0 
 
Em que 
𝑥1 = 
𝛼𝑝2𝑥2
𝑝1(1 − 𝛼)
; 𝑥2 = 
(1 − 𝛼)𝑝1𝑥1
𝑝2𝛼
 
 
Substituindo em CPO 3 
𝑢 = (
𝛼𝑝2𝑥2
𝑝1(1 − 𝛼)
)
𝛼
𝑥2
1−𝛼 → 𝑥2
ℎ
= 𝑢 (
𝑝1
𝑝2
)
𝛼
(
1 − 𝛼
𝛼
)
𝛼
 
 
𝑢 = 𝑥1
𝛼(
(1 − 𝛼)𝑝1𝑥1
𝑝2𝛼
)1−𝛼 → 
𝑥1
ℎ = 𝑢 (
𝑝1
𝑝2
)
𝛼−1
(
1 − 𝛼
𝛼
)
𝛼−1
 
 
Dada a função dispêndio 
𝑒(𝑝1; 𝑝2; 𝑦) = 𝑝1𝑥1
ℎ + 𝑝2𝑥2
ℎ → 
𝑝1 [𝑢 (
𝑝1
𝑝2
)
𝛼−1
(
1 − 𝛼
𝛼
)
𝛼−1
]
+ 𝑝2 [𝑢 (
𝑝1
𝑝2
)
𝛼
(
1 − 𝛼
𝛼
)
𝛼
] 
𝑒 = 
𝑢(1 − 𝛼)𝛼−1𝑝1
𝛼
𝑝2
𝛼−1𝛼𝛼−1
+
𝑢(1 − 𝛼)𝛼𝑝1
𝛼𝑝2
1−𝛼
𝛼𝛼
→ 
𝑒 = 𝑢(1 − 𝛼)𝛼−1𝑝1
𝛼𝑝2
1−𝛼𝛼1−𝛼 + 𝑢(1
− 𝛼)𝛼𝑝1
𝛼𝑝2
1−𝛼𝛼−𝛼 → 
𝑒 = 𝑝1
𝛼𝑝2
1−𝛼𝑢{[𝛼1−𝛼(1 − 𝛼)𝛼−1]
+ [(1 − 𝛼)𝛼 𝛼−𝛼]} → 
𝑒 = 𝑝1
𝛼𝑝2
1−𝛼𝑢[(1 − 𝛼)𝛼−1 𝛼−𝛼](𝛼 + 1 − 𝛼) → 
𝒆 = 𝒖(
𝒑𝟏
𝜶
)𝜶(
𝒑𝟐
𝟏 − 𝜶
)𝟏−𝜶 
 
 
 
 
 
 
Maximizar: 𝑢 = 𝑥1
𝛼𝑥2
1−𝛼; 𝑠. 𝑎. ; 𝑦 = 𝑝1𝑥1 + 𝑝2𝑥2 
 
Lagrangeana: 𝐿 = 𝑥1
𝛼𝑥2
1−𝛼 + 𝜆(𝑌 − 𝑝1𝑥1 − 𝑝2𝑥2) 
CPO1: 𝛼𝑥1
𝛼−1𝑥2
1−𝛼 − 𝜆𝑝1 = 0 
CPO2: (1 − 𝛼)𝑥1
𝛼𝑥2
−𝛼 − 𝜆𝑝2 = 0 
CPO3: 𝑌 − 𝑝1𝑥1 − 𝑝2𝑥2 = 0 
 
Em que 
𝑥1 = 
𝛼𝑥2𝑝2
(1 − 𝛼)𝑝1
 ; 𝑒; 𝑥2 = 
𝑥1(1 − 𝛼)𝑝1
𝛼𝑝2
 
 
Substituindo em CPO 3 
𝑌 − 𝑝1 [
𝛼𝑥2𝑝2
(1 − 𝛼)𝑝1
] − 𝑝2𝑥2 = 0 → 
𝑥2
∗ = 
(1 − 𝛼)𝑌
𝑝2
 
𝑌 − 𝑝1𝑥1 − 𝑝2 [
𝑥1(1 − 𝛼)𝑝1
𝛼𝑝2
] = 0 → 
𝑥1
∗ = 
𝛼𝑌
𝑝1
 
 
Dada a função utilidade : 
𝑢(𝑥1; 𝑥2) = (
𝛼𝑌
𝑝1
)
𝛼
(
(1 − 𝛼)𝑌
𝑝2
)
1−𝛼
= 𝑣 
(𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑎) 
Desenvolvendo 
𝑢(𝑥1; 𝑥2) = 𝑌𝛼𝑌1−𝛼 (
𝛼
𝑝1
)
𝛼
(
(1 − 𝛼)
𝑝2
)
1−𝛼
→ 
𝑢(𝑥1; 𝑥2) = 𝑌 (
𝛼
𝑝1
)
𝛼
(
(1 − 𝛼)
𝑝2
)
1−𝛼
 
 
Como o consumidor dispende toda a sua renda, 
logo, 
Y = e(p1; p2; Y) 
𝑢 = 𝑒 (
𝛼
𝑝1
)
𝛼
(
(1 − 𝛼)
𝑝2
)
1−𝛼
→ 
𝒆 = 𝒖(
𝒑𝟏
𝜶
)𝜶(
𝒑𝟐
𝟏 − 𝜶
)𝟏−𝜶 
14 
 
1.6) Desenvolvimentos e identidades 
1.6.1) Shephard Lema: a partir da derivada da função dispêndio em termos do preço se 
chegar as demandas hicksianas 
𝑒(𝑝1; 𝑝2; 𝑢) = 𝑢(
𝑝1
𝛼
)𝛼(
𝑝2
1 − 𝛼
)1−𝛼 → 
𝑑𝑒
𝑑𝑝1
= ℎ1; 
𝑑𝑒
𝑑𝑝2
= ℎ2 
Demonstração 
𝑑𝑒
𝑑𝑝1
= 𝛼𝑝1𝛼−1. 𝑢(
1
𝛼
)𝛼(
𝑝2
1 − 𝛼
)1−𝛼 = 𝛼𝑝1𝛼−1. 𝑝21−𝛼𝛼−𝛼(1 − 𝛼)𝛼−1𝑢 = 
= (
𝑝2
𝑝1
)1−𝛼(
1 − 𝛼
𝛼
)𝛼−1. 𝑢 = ℎ1 
*Poderia ser feito o mesmo para demonstrar h2 
 
1.6.2) Identidade de Roy: Alcançar a demanda marshalliana a partir da razão negativa das 
derivadas da função de utilidade indireta em relação ao preço e a derivada da função de 
utilidade indireta em relação a renda 
𝑥1
∗(𝑝; 𝑦) = −
𝑑𝑉
𝑑𝑝1
𝑑𝑉
𝑑𝑌
 
Sendo 𝑉 = 𝑌(
𝛼
𝑝1
)𝛼(
1−𝛼
𝑝2
)1−𝛼 
−
𝑑𝑉
𝑑𝑝1
𝑑𝑉
𝑑𝑌
= −
−𝛼𝑝1−𝛼−1. 𝑌𝛼𝛼(1 − 𝛼)1−𝛼𝑝21−𝛼
𝑝1−𝛼 . 𝛼𝛼(1 − 𝛼)1−𝛼𝑝2𝛼−1
= −
−𝛼𝑌
𝑝1
=
𝛼𝑌
𝑝1
= 𝑥1
∗(𝑝; 𝑦) 
*Poderia ser feito o mesmo para demonstrar 𝑥2
∗(𝑝; 𝑦) 
 
1.6.3) Equação de Slutsky 
Dxi(p;y)/Dpi = (Dxih/Dpi) – Xi(p;y).Dxi(p;y)/dy 
 
Efeito Renda e Efeito Substituição 
Variação dos preços -> Efeito Total -> Variação da demanda por um bem 
Exemplo: Variação do preço do bem x em 1 varia a demanda do bem x em -25 
 
Efeito Total -> Efeito Renda e Efeito Substituição 
 
Efeito Renda (Poder Aquisitivo) -> Variação no preço do bem x afeta o poder aquisitivo (um 
aumento no preço do bem x reduz a demanda de x e de y) 
15 
 
Efeito substituição (preço relativo) -> Px/Py -> Py mais baixo em relação ao Px faz com que 
diminua a demanda de x e aumente a demanda de y devido a variação no preço de x 
 
Exemplo: u = x²y; m = 1200; px =4; py =4; px’ = 1 
TMS = px/py -> 2xy/x² = px/py -> y = px.x/2py 
M = px.x + py.y -> M = px.x + py.(px.x/2py) -> 2M = 2px.x +px.x -> x = 2M/3px 
Y = px.(2M/3px)/2py -> Y = (2M/3)/2py -> Y = m/3py 
X = 2400/12 = 200 
YT = 1200/12 = 100 
Se Px variar para Px´ = 1; X´ = 2400/3 = 800 e Y = 100 
 
Decomposição do efeito renda e substituição em Slutsky 
Et = Er + Es 
Ms = renda compensatória (renda necessária para continuar comprando a mesma quantidade 
de ambos os bens antes da variação dos preços) 
Ms = P´x.x + Py.y -> 200.1 + 4.100 = 600 
Xes = 2Ms/3P´x = 1200/3 = 400 -> variação Xes = Esx = Xes – X = 400 – 200 = 200 
Yes = Ms/3Py = 600/12 = 50 -> variação Yes = Ysx = Yes – Y = 50 – 100 = -50 
ETx = Erx + Esx -> 600 = Erx + 200 -> Erx = 400 
ETy = Ery + Esy -> 0 = Ery – 50 -> Ery = 50 
 
Decomposição do efeito renda e substituição em Hicks 
ETx = x´-x = 600 
ETy = y´ - y = 0 
u = x²y -> u = 40000.100 = 4000000 
y = [(p´x)/2py].x -> y = [1/(2.4)]x -> y = (1/8)x 
Se x²y = 4000000 -> x².x/8 = 4000000 -> x³ = 32000000 -> x = 317,5; y = (1/8).317,5 -> y = 
39,7 
 
Esx = 317,5 – 200 = 117,5 
Esy = 39,7 – 100 = -60,3 
16 
 
 
Etx = Erx + Esx -> 600 = Erx + 117,5 -> Erx = 482,5 
Ety = Ery + Esy -> 0 = Ery – 60,3 -> Ery = 60,3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
2) Teoria da firma: tecnologia, produção, custos e oferta (Jehle e 
Reny, cap. 3; Nicholson, caps. 9, 10, 11; Pindyck e Rubinfeld, 
caps. 6, 7, 8; Varian, caps. 18, 19, 20, 21, 22, 23) 
 
Do que se trata? 
 
De maneira semelhante a teoria do consumidor, trata de processos de decisão e escolha 
 
No caso da firma: 
➢ Se defronta com um determinado paradigma tecnológico que lhe permite diversas 
combinações de insumos produtivos que geram, enquanto resultado do processo 
produtivo, uma determinada quantidade produzida de um bem ou serviço 
➢ A curva representativa da relação entre quantidades de insumos, e combinações que 
permitem a produção de uma determinada quantidade de produto, é a isoquanta (ao 
longo da curva há diversas possibilidades de combinação de insumos que geram um 
mesmo nível de produção) 
➢ Todavia, as diferentes possibilidades de combinação de insumos que resultam em um 
nível de produção, têm um custo que restringe a escolha da firma (restrição de 
custos) 
➢ A firma tem de fazer uma escolha de quantidades de insumos que gera um nível de 
produção com o menor custo possível (minimização) 
Diferenças em relação ao consumidor 
➢ A firma não busca maximizar a sua utilidade/satisfação, considerando a restrição de 
renda 
➢ Mas sim, a firma busca maximizar o seu lucro considerando: 1) um determinado nível 
de produção planejado pela firma: 2) que os insumos que permitem alcançar esse 
nível de produção têm um preço que gera uma restrição de custo; 3) o nível de preços 
de venda do seu bem/serviço que é estabelecido pelo mercado; 
 
Dessa forma, a questão da escolha/decisão da firma pode ser vista em duas sentidos 
➢ Considerando um nível de produção estabelecido, qual é a combinação de insumos 
que gera esse nível de produção com o mínimo de custos? Ao minimizar os custos a 
firma maximiza os lucros* 
➢ Qual é o maior nível de produção possível considerando um nível de custos pré-
estabelecido? 
 
 
2.1) Produção 
 
Do mesmo modo que na teoria do consumidor é necessário partir de 5 axiomas 
 
Integralidade: 
➢ Capacidade da firma expressar as suas capacidades de organizar a produção 
➢ Comparar dois níveis de produção e conseguir ranquear esses níveis 
 
Transitividade: 
➢ Se relaciona a aspectos da lógica 
18 
 
➢ Considerando a capacidade de ranquear os níveis de produção, quando se insere um 
terceiro nívelde produção em termos da quantidade de insumos utilizados 
➢ Entre dois ou mais processos de produção, a firma opta entre aquele que permite o 
mesmo nível de produção utilizando a menor quantidade de insumos de produção 
(eficiência técnica) 
 
 
Continuidade/completude: 
➢ Não há quebras nas formas de organizar a produção 
➢ Graficamente, essas formas podem ser vistas em um mapa de isoquantas 
➢ Cada ponto no mapa corresponde a uma combinação de determinadas quantidades de 
fatores de produção que conformam um nível de produção 
➢ Ou seja, as possibilidades de produção são continuas no sentido que o mapa de 
isoquantas é denso, havendo diversas curvas isoquantas, e entre duas curvas 
isoquantas sempre há outra curva isoquanta 
 
Monotonicidade: 
➢ Sempre há um nível de produção maior, a ser escolhido pela firma 
 
Convexidade: 
➢ Está associada ao dilema da firma no sentido que, para aumentar a quantidade de um 
insumo ou serviço na sua forma de produzir, ela deve diminuir a quantidade de outro 
insumo 
 
𝜕𝑇𝑀𝑆𝑇
𝜕𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜
< 0 → 
−∆𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜𝐵
∆𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜𝐴
∆𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜𝐴
< 0 
 
TMST é decrescente à medida que se utiliza mais do insumo A 
Para gerar um determinado nível de produção as firmas combinam insumos dentro de um 
processo produtivo considerando um paradigma tecnológico 
 
O paradigma tecnológico estabelece diversas formas da firma combinar esses insumos e que 
geram um determinado nível de produção 
 
Logo, a função de produção é dada em termos da quantidade de insumos 
 
𝑄 = 𝐹(𝐾, 𝐿) 
 
 
Questões importantes sobre a produção 
 
➢ Conceito de produtividade (total, média, marginal) 
➢ Curto Prazo (rendimentos decrescentes) e Longo Prazo 
➢ A curva isoquanta e a taxa marginal de substituição técnica 
 
A curva isoquanta 
 
Um mapa de isoquantas é o lugar geométrico onde cada ponto expressa um nível de produção 
a partir da utilização de determinadas quantidades de determinados insumos de produção 
19 
 
 
A curva isoquanta é uma curva que representa todas as combinações de insumos que 
fornecem o mesmo nível de produção para uma firma (por isso isoquanta) 
 
Considerando um modelo em que a firma tem de escolher como organizar o seu processo 
produtivo mediante a utilização de determinadas quantidades de insumos que geram um nível 
de produção, a curva isoquanta em um mapa de isoquanta pode ser vista da seguinte maneira 
 
Ainda é possível estabelecer a relação entre as combinações de insumos A e B e definir a 
inclinação da curva isoquanta 
 
Ao se deslocar da combinação A para a combinação B, a firma aumenta a quantidade do 
insumo 𝑥1, e para isso reduz a quantidade do insumo 𝑥2, e sem alterar o nível de produção 
 
À relação entre a variação dos insumos no deslocamento de uma combinação para outra dar-
se o nome de Taxa Marginal de Substituição Técnica (TMST), que determina a própria 
inclinação da curva isoquanta 
 
𝑇𝑀𝑆𝑇 =
−∆𝑥2
∆𝑥1
= ∆𝑄𝑥1(∆𝑥1) + ∆𝑄𝑥2(∆𝑥2) = 0 
 
Ou 
 
∆𝑄𝑥1(∆𝑥1) + ∆𝑄𝑥2(∆𝑥2) = 0 → 
∆𝑄𝑥1
∆𝑄𝑥2
= 
−∆𝑥2
∆𝑥1
→
𝑝𝑚𝑔𝑥1
𝑝𝑚𝑔𝑥2
= 𝑇𝑀𝑆𝑇 
O sinal negativo da TMST, e a inclinação da curva isoquanta se associa a própria ideia do 
axioma da convexidade 
➢ Não é possível ter uma curva isoquanta positivamente inclinada 
➢ Isto é, que seja possível aumentar a quantidade dos dois insumos mantendo o mesmo 
nível de produção 
 
Também as curvas isoquantas não podem se cruzar sob o risco de ferir a eficiência técnica 
 
Por fim, uma função de produção pode assumir o seguinte formato 
 
𝑓(𝑥1; 𝑥2) = 𝑄 
 
Uma questão importante 
 
➢ As curvas isoquantas não podem se interceptar 
➢ Caso isso ocorra, fere a ideia da eficiência técnica 
➢ A combinação A está gerando o mesmo nível de produção que as combinações B e D, 
embora B se utilize de maiores níveis de ambos os insumos em relação a D 
 
2.2) Rendimentos de Escala 
 
Taxa de crescimento do produto à medida que os insumos crescem proporcionalmente 
Crescente: produção aumenta mais em termos proporcionais em relação ao aumento no 
mesmo nível todos os insumos 
20 
 
 
Decrescente: produção aumenta menos em termos proporcionais em relação ao aumento no 
mesmo nível de todos os insumos 
Constante: produção aumenta na mesma proporção em relação ao aumento no mesmo nível 
de todos os insumos 
 
2.3) Custo de Produção 
 
Embora o paradigma produtivo permita diversas combinações de quantidades de insumos que 
geram determinadas quantidades produzidas, esses insumos tem preços (um custo) 
 
Assim, a firma vai buscar estabelecer a sua demanda pelos insumos considerando a produção 
planejada de forma a ter o menor custo possível 
 
➢ Custos contábeis x custos econômicos 
➢ Custos Fixos e Variáveis 
➢ Custo Total, Médio, Marginal 
 
A linha isocusto 
 
Considerando um modelo simplificado de dois insumos de produção, a equação de custo de 
produção pode ser escrita como 
 
𝐶 = 𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2 → 𝐶(𝑤1, 𝑤2, 𝑄) 
 
Em que: 
 
𝐶: 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
𝑤1: 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑥1 
𝑥1: 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑥1 
𝑤2: 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑥2 
𝑥2: 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑥2 
 
Manipulando a equação, chega-se a 
 
𝑥2 = 
𝐶 − 𝑤1𝑥1
𝑤2
= 
𝐶
𝑤2
− 𝑥1 (
𝑤1
𝑤2
) 
 
Em que: 
 
𝐶
𝑤2
 é o intercepto da reta isocusto 
 
(
𝑤
𝑤2
) é a inclinação da reta isocusto 
 
Em que uma variação no custo unitário de um dos insumos (ceteris paribus) altera a 
inclinação da linha isocusto, e uma alteração na custo total provoca um deslocamento da 
linha isocusto 
 
21 
 
A partir dessa equação é que se pode definir a denominada curva isocusto em que todos os 
pontos nessa linha correspondem ao mesmo custo total para possíveis combinações de 
quantidade de insumos 
 
Outras questões importantes 
 
Economia de Escala: aumento da produção reduzindo o custo 
 
Economia de Escopo 
 
Aprendizado: mesmo nível de produção com redução de custo 
 
Aprendizado x economia de escala 
 
2.4) Escolha (minimização de custo) 
 
Conforme mencionado, o problema o qual a firma se defronta é, considerando um nível de 
produção planejado, qual é o custo mínimo possível de realizar essa produção planejada de 
maneira que se alcance o máximo de lucros possível para esse nível de produção? 
 
Inicialmente tratando da minimização de custos, esse problema pode ser escrito da seguinte 
maneira 
 
2.4.1) No Longo Prazo: 
 
𝑀𝑖𝑛𝑥1.𝑥2 𝐶 = 𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2 ; 
 
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: 𝑄 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2) 
 
Em que 
 
𝑄: é 𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 
 
𝑄; 𝑤1 ; 𝑤2 ∶ 𝑠ã𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 
 
2.4.2) E no Curto Prazo 
 
𝑀𝑖𝑛𝑥1. 𝐶 = 𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2̅̅ ̅ ; 
 
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: 𝑄 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2̅̅ ̅) 
 
Em que 
 
𝑄: é 𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 
 
𝑄; 𝑤1 ; 𝑤2 ; 𝑥2̅̅ ̅ ∶ 𝑠ã𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 
 
Dessa forma o problema de minimização dos custos depende 
 
22 
 
➢ No curto prazo: 𝑄; 𝑤1 ; 𝑤2 ; 𝑥2̅̅ ̅ 
➢ No longo prazo: 𝑄; 𝑤1 ; 𝑤2 
 
2.4.3) Resolução 
 
𝑀𝑖𝑛𝑥1.𝑥2 𝐶 = 𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2 ; 
 
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: 𝑄 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2) 
 
Pelo método dos multiplicadores de Lagrange tem-se que 
 
𝐿 = 𝑤1𝑥1 𝑤2𝑥2 − 𝜆[𝑓(𝑥1, 𝑥2) − 𝑄] 
 
Derivando a Lagrangiana em relação à 𝑥1, 𝑥2, e 𝜆, e igualando as derivadas a 0, tem-se que: 
𝜕𝐿
𝜕𝑥1
= 𝑤1 − 𝜆
𝜕𝑓(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥1
= 0 (1) 
𝜕𝐿
𝜕𝑥2
= 𝑤2 − 𝜆
𝜕𝑓(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥2
= 0 (2) 
𝜕𝐿
𝜕𝜆
= 𝑓(𝑥1, 𝑥2) − 𝑄 = 0 (3) 
Dividindo a equação 1 pela equação 2, tem-se que 
 
𝑤1
𝑤2
= 
𝜕𝑓(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥1
𝜕𝑓(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥2
 (4) 
 
A equação 4 expressa a condição de minimização de custos de que a relação de preços dos 
insumos corresponde a taxa marginal de substituição técnica 
 
 
2.5) Dualidade da firma: maximização da produção sujeita a um nível de custo 
 
2.6) Maximização de lucro e oferta 
 
Mercado em Concorrência Perfeita 
 
Cinco PressupostosFundamentais 
 
1) Atomismo: grande número de firmas de maneira que as transações, ou a oferta 
individual, é desprezível em termos da sua capacidade de afetar os preços de mercado 
 
2) Price-Taker: dessa forma, as firmas são tomadoras de preços, e suas decisões de oferta 
levam em consideração os preços determinados pelo mercado. Não há, por parte das firmas 
em concorrência perfeita, a capacidade de determinarem o preço de venda de seus produtos 
no mercado (a firma competitiva de se defronta com uma curva de demanda horizontal – 
perfeitamente elástica) 
 
23 
 
3) Produtos Homogêneos: os produtos ofertados pelas firmas em um determinado setor 
são substitutos perfeitos entre si 
 
4) Simetria de informação: os agentes tem perfeita informação dos preços praticados nos 
mercados de insumos e de produto, das rendas, da fronteira tecnológica existente, com 
conhecimento das possibilidades de produção, estruturação dos custos de produção, 
distribuição e comercialização 
 
5) Não há barreiras à entrada e nem a saída: Nem em relação as firmas, insumos e 
produtos 
 
A Ideia de Maximização de Lucros 
 
Sob esses pressupostos, sendo que a decisão de oferta da firma tem por objetivo a 
maximização de lucros, pode-se escrever que 
 
𝜋 = 𝑅(𝑝; 𝑄) − 𝐶(𝑄) → 𝜋 = 𝑝𝑄 − 𝐶(𝑄; 𝑤1; 𝑤2) → 
 
E 
 
𝑚á𝑥𝜋𝑄 = 𝑝𝑄 − 𝐶(𝑄; 𝑤1; 𝑤2 ) → 𝑝𝑓(𝑥1, 𝑥2) − (𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2) 
 
Em que: 
π: Lucros 
p: Preços de mercado 
Q: quantidade ofertada pela firma 
𝑄 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2): quant. ofertada pela firma em função da quant. de insumos 
C(Q; 𝑤1; 𝑤2): custos de produção (função da quantidade produzida) 
A maximização de lucros por parte de uma empresa ocorre pela diferença entre receitas e 
custos de produção 
Derivando em relação a 𝑥1 e 𝑥2 
 
𝑝
𝜕𝑓(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥1
− 𝑤1 = 0 
 
𝑝
𝜕𝑓(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥2
− 𝑤2 = 0 
 
Tomando por exemplo uma função do tipo cobb-douglas em que 
 
𝑓(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏 = 𝑄 
 
Substituindo 
𝑝𝑎𝑥1
𝑎−1𝑥2
𝑏 − 𝑤1 = 0 
 
𝑝𝑏𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏−1 − 𝑤2 = 0 
 
 
 
24 
 
Multiplicando a primeira equação por 𝒙𝟏, e a segunda por 𝒙𝟐 
 
𝑝𝑎𝑥1𝑥1
𝑎−1𝑥2
𝑏 − 𝑤1𝑥1 = 0 → 𝑝𝑎𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏 − 𝑤1𝑥1 = 0 
 
𝑝𝑏𝑥1
𝑎𝑥2𝑥2
𝑏−1 − 𝑤2𝑥2 = 0 → 𝑝𝑏𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏 − 𝑤2𝑥2 = 0 
 
E sendo 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏 = 𝑄, tem-se que 
 
𝑝𝑎𝑄 = 𝑤1𝑥1 ; 𝑝𝑏𝑄 = 𝑤2𝑥2 
 
Logo: 
 
𝒙𝟏
∗ = 
𝒑𝒂𝑸
𝒘𝟏
 ; 𝒆; 𝒙𝟐
∗ = 
𝒑𝒃𝑸
𝒘𝟐
 
 
Que são as quantidades de demanda dos dois fatores em termos de uma escolha ótima. 
Mas o que se busca não é a quantidade ótima dos fatores, mas sim a quantidade ótima de 
produção, de maneira que, substituindo na função de produção. 
 
𝑄 = (
𝑝𝑎𝑄
𝑤1
)𝑎 (
𝑝𝑏𝑄
𝑤2
)𝑏 → 𝑄 = 𝑄𝑎+𝑏(
𝑝𝑎
𝑤1
)𝑎 (
𝑝𝑏
𝑤2
)𝑏 
 
Ou: 𝑸 = (
𝒑𝒂
𝒘𝟏
)
𝒂
𝟏−𝒂−𝒃 (
𝒑𝒃
𝒘𝟐
)
𝒃
𝟏−𝒂−𝒃 
 
2.7) A decisão do nível de produção que maximiza os lucros em um mercado em 
concorrência perfeita 
 
Sendo: Preços determinados pelo mercado/custos em função da produção 
 
A questão que se impõem as firmas é: “Considerando os preços de mercado, qual é a 
quantidade a ser produzida que maximiza os meus lucros?” 
 
Regra da Produção em um mercado em competição perfeita: a receita obtida com a venda de 
uma unidade adicional produzida (a receita marginal) se iguala ao custo de produção dessa 
unidade adicional (o custo marginal) 
 
Caso contrário a firma poderia aumentar o seu lucro apenas aumentando a quantidade 
produzida* 
 
E isso pode ser visto em termos algébricos 
 
Sendo o ponto de lucro máximo aquele em que um aumento na produção não altera o nível de 
lucro, ou seja 
 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 → 
𝛥𝜋
𝛥𝑄
= 0 
 
Isto é 
25 
 
 
𝛥𝜋
𝛥𝑄
= 
𝛥𝑅(𝑄)
𝛥𝑄
− 
𝛥𝐶(𝑄)
𝛥𝑄
= 0 
 
Sendo: 
𝛥𝑅(𝑄)
𝛥𝑄
= 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙; 
𝛥𝐶(𝑄)
𝛥𝑄
= 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
Logo, 
 
𝛥𝑅(𝑄)
𝛥𝑄
− 
𝛥𝐶(𝑄)
𝛥𝑄
= 0 → 𝑅𝑚𝑔 − 𝐶𝑚𝑔 = 0 
 
E assim 
 
𝑅𝑚𝑔 = 𝐶𝑚𝑔 
 
O custo marginal é uma variável explicada pela variação dos custos de cada unidade 
adicional produzida 
 
Mas a receita marginal deve levar em consideração, além da quantidade adicional produzida 
(e vendida), também o nível de preços de mercado 
 
Dessa forma, como em um mercado competitivo os preços de mercado são determinados pelo 
próprio mercado (firma price-taker) tem-se que 
 
𝑅𝑚𝑔 = 
𝛥𝑅
𝛥𝑄
→
𝑝𝛥𝑄
𝛥𝑄
 
 
E assim 
 
𝑅𝑚𝑔 = 𝑝 
 
Logo, o ganho obtido pela firma com a venda de qualquer unidade adicional produzida 
corresponde ao preço de mercado dessa mercadoria 
 
E assim, se pode chegar a uma outra relação para a condição de maximização de lucros em 
um mercado competitivo em que: 
 
𝒎á𝒙𝑸𝝅 → 𝑹𝒎𝒈 = 𝑪𝒎𝒈 = 𝒑 
Sob essa análise, três questões precisam ser apontadas em relação a preços 
 
1) Acima do custo marginal: É vantajoso a firma aumentar a produção para 
alcançar um nível em que o custo de produção de uma unidade adicional seja 
equivalente ao nível de preços. Caso contrário, a firma está deixando de ganhar 
(as receitas ganhas com o aumento da produção compensam os aumentos de 
custo) 
2) Abaixo do custo marginal: Não é vantajoso a firma manter esse nível de 
produção. É adequada a redução do nível de produção para um nível em que o 
26 
 
custo de produção de uma unidade adicional seja equivalente ao nível de preços. 
Caso contrário, a firma está perdendo, de maneira que as perdas de receita pela 
redução da quantidade seriam compensadas pela redução de custo 
3) Dois pontos de interseção Cmg e P: A oferta se direciona para aquela que se 
situa na parte ascendente da curva de custo marginal (condição 3) 
 
2.8) Oferta da firma no curto prazo 
 
Na teoria da firma, deve-se levar em consideração a distinção entre curto e longo prazo 
 
No curto prazo, o importante é lidar com os custos variáveis, e no longo prazo é importante 
lidar com os custos totais 
 
Por isso, a curva de oferta de longo prazo é mais elástica do que a curva de oferta de curto 
prazo 
 
2.9) A oferta no curto prazo 
 
➢ Qual a capacidade da firma operar no curto prazo? Ou seja, produzir alguma coisa ou 
nada (deixar de operar)? 
 
➢ Partindo do pressuposto da existência de custos fixos, que terão de ser pagos 
independentemente do nível de produção, o lucro quando não há produção (Q = 0) 
corresponde ao custo fixo (F), ou no caso, a um prejuízo (𝜋𝑄=0 = −𝐹) 
 
➢ A condição de encerramento da firma se dá quando o custo variável médio é maior do 
que o nível de preços de mercado (as receitas com a venda não cobrem nem os custos 
variáveis de produção). 
 
➢ Neste ponto seria melhor para a empresa não produzir/sair do mercado. 
 
Sendo a relação de lucro escrita por 
 
𝜋 = 𝑅(𝑄) − 𝐶(𝑄) → 𝜋 = 𝑝𝑄 − 𝐶(𝑄) → 𝝅 = 𝒑𝑸 − [𝑪𝒗(𝑸) + 𝑭] 
 
Será melhor a firma não operar quando 
 
−𝑭 > 𝒑𝑸 − [𝑪𝒗(𝑸) + 𝑭] 
 
Ou seja, quando o prejuízo ao não se produzir, por conta das obrigações com os custos fixos, 
serem maiores do que os “lucros” de não produzir 
 
Arrumando a equação: 
 
−𝐹 + 𝐹 > 𝑝𝑄 − 𝐶𝑣(𝑄) → 0 > 𝑝𝑄 − 𝐶𝑣(𝑄) → 𝐶𝑣(𝑄) > 𝑝𝑄 
Logo, 
𝑪𝒗(𝑸)
𝑸
> 𝒑 
 
27 
 
Assim, as duas condições para oferta da firma no curto prazo são 
 
{
𝑝 = 𝐶𝑚𝑔(𝑄𝑖)𝐶𝑃 ; 𝑠𝑒 𝑝 > 𝐶𝑉𝑚é𝑑𝑖𝑜
𝑄𝑖 = 0 ; 𝑠𝑒 𝑝 < 𝐶𝑉𝑚é𝑑𝑖𝑜
 
 
Em termos gráficos: 
➢ Apenas os trechos da curva de custo marginal situados acima da curva de custo 
variável médio são pontos possíveis para produção da firma. 
➢ É este segmento que constitui a curva de oferta de curto prazo da firma 
➢ A oferta da indústria no curto prazo pode ser obtida pelo somatório das curvas de 
oferta individuais: 𝑄𝐶𝑃 (𝑝) = ∑ 𝑄𝑖 𝐶𝑃(𝑝)
𝑛
𝑖=1 
 
Oferta da firma e do mercado no longo prazo 
 
No longo prazo, as firmas não incorrem com restrições de inflexibilidade de insumos de 
produção 
 
E da mesma maneira que no curto prazo, a firma se defronta com a situação de permanecer 
ou não em funcionamentoNo longo prazo, os lucros que a firma realiza no equilíbrio tem de ser pelo menos igual a 
zero, e dessa forma, chega-se ao seguinte entendimento 
 
𝜋 = 𝑅 − 𝐶(𝑄) → 𝜋 = 𝑝𝑄 − 𝐶(𝑄) 
 
Logo 
 
𝒑𝑸 − 𝑪(𝑸) ≥ 𝟎 → 𝒑 ≥ 
𝑪(𝑸)
𝑸
 
 
Assim, as duas condições para oferta da firma no longo prazo são 
 
{
𝑝 = 𝐶𝑚𝑔(𝑄𝑖)𝐿𝑃; 𝑠𝑒 𝑝 ≥ 𝐶𝑚é𝑑𝑖𝑜
𝑄𝑖 = 0 ; 𝑠𝑒 𝑝 < 𝐶𝑚é𝑑𝑖𝑜
 
 
➢ Em termos gráficos, apenas os trechos das curvas de custos marginais situados acima 
da curva de custo médio são pontos possíveis para produção da firma. 
➢ É este segmento que se constitui na curva de oferta de longo prazo da firma 
➢ A oferta da indústria no curto prazo pode ser obtida pelo somatório das curvas de 
oferta individuais: 𝑄𝐿𝑃 (𝑝) = ∑ 𝑄𝑖 𝐿𝑃(𝑝)
𝑛
𝑖=1 
 
Lucros e equilíbrio competitivo 
 
A discussão sobre o lucro na teoria da firma 
 
➢ Lucro Econômico Zero: significa que a empresa está auferindo um retorno normal 
no nível competitivo do mercado (concorrência perfeita), tendo em vista os custos de 
oportunidade (tão bom quanto qualquer outra aplicação dos seus recursos) 
 
28 
 
➢ Lucro Econômico Positivo (extraordinário): significa que a empresa está auferindo 
um retorno além do que deveria receber de acordo com o custo de oportunidade 
 
➢ Lucro Econômico Negativo: significa que a empresa está auferindo um retorno 
aquém do que deveria receber de acordo com o custo de oportunidade (seria melhor 
deixar de operar) 
 
No longo prazo pode ocorrer um ajuste do número de firmas existentes em uma determinada 
indústria ou mercado (livre entrada e saída) 
 
No caso da oferta da indústria no longo prazo, podem ocorrer três situações 
 
1) As firmas que operam com lucro econômico negativo, saem do mercado 
(
𝐶(𝑄)
𝑄
≥ 𝑝) 
2) As firmas que operam com lucro econômico zero permanecem no mercado 
(
𝐶(𝑄)
𝑄
= 𝑝) 
3) As firmas que operam com lucro econômico positivo (𝑝 ≥ 
𝐶(𝑄)
𝑄
) acabam atraindo 
novas empresas a entrarem no mercado 
 
A situação 1 e a situação 3 ilustram o princípio da livre entrada e saída que caracteriza o 
mercado em competição perfeita 
 
E nesse processo de entrada e saída há impactos no nível de quantidade ofertada na indústria, 
e consequentemente no nível de preços de mercado 
 
No equilíbrio de longo prazo em um mercado em concorrência perfeita 
 
➢ Todas as empresas estão maximizando lucros 
➢ Não há estímulos por parte de qualquer empresa para sair ou entrar no mercado (todas 
estão auferindo lucro econômico igual a zero) 
➢ O preço do produto é tal que a quantidade ofertada pelas empresas do setor se iguala 
ao volume demandado pelos consumidores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
3) Equilíbrio de mercado e concorrência perfeita (Jehle e Reny, cap. 3 
(item 3.5), cap. 4 (item 4.1); Nicholson, cap. 11 e 12; Pindyck, cap. 8; 
Varian, cap. 19, 22, 23) 
 
3.1) Origem da discussão 
• Formação de preços em uma estrutura de mercado 
 
3.2) Características da concorrência perfeita 
Atomismo 
Homogeneidade 
Simetria de informações 
Inexistência de barreiras 
Price-taker 
 
3.3) Discussão sobre a curva de oferta de uma indústria 
Distinto da discussão da demanda em que a curva de demanda de mercado é a agregação das 
curvas de demanda individuais 
A curva de demanda é uma restrição a oferta individual: condiciona o preço máximo que se 
pode cobrar de uma mercadoria independentemente da quantidade (atomismo) 
O equilíbrio dado pelo mercado (oferta e demanda) estabelece um nível de preço a ser aceito 
pelos demandantes e ofertantes (price-taker) (demanda infinitamente elástica; horizontal) 
A firma, do ponto de vista da indústria como um todo, não consegue expandir sua produção 
frente a um aumento de preços, movendo-se sobre sua curva de custo marginal, mantendo o 
custo de produção/preço dos insumos constante 
O aumento da produção pelas firmas, em resposta a um aumento de preços de mercado, 
resulta em aumento do preço dos insumos em virtude do aumento da demanda pelos mesmos 
E isso altera a estrutura das curvas de oferta individuais 
 
3.4) Receita total, receita média e receita marginal 
 
Receita total = pq 
Receita média = RT/q = pq/q = p 
Conforme visto, como a demanda reflete o preço para uma firma em concorrência perfeita, logo, a 
Receita Média corresponde a própria curva de demanda em que; p = Rmé 
Como as firmas são price-taker, a receita média é constante (assim com os preços; atomismo) 
30 
 
Receita marginal corresponde a variação da receita total em virtude de uma venda adicional, isto é: 
Rmg = 
𝛥𝑅(𝑄)
𝛥𝑄
 
Como o preço é fixo para uma firma em concorrência perfeita (firma price-taker), apenas a 
parte correspondente a quantidade se altera, ou seja 
𝑅𝑚𝑔 = 
𝛥𝑅(𝑄)
𝛥𝑄
= 
𝑝𝛥𝑄
𝛥𝑄
 
Logo, algebricamente 
𝛥𝑅(𝑄)
𝛥𝑄
= 
𝑝𝛥𝑄
𝛥𝑄
= 𝑝 
Logo, o ganho obtido pela firma com a venda de qualquer unidade adicional produzida 
corresponde ao preço de mercado dessa mercadoria 
A receita marginal também é fixa e correspondente ao preço de mercado, de maneira que 
P = Rmé = Rmg 
 
3.5) Equilíbrio da firma em concorrência perfeita e a Ideia de Maximização de Lucros 
Sendo: Preços determinados pelo mercado/custos em função da produção 
 
A questão que se impõem as firmas é: “Considerando os preços de mercado, qual é a 
quantidade a ser produzida que maximiza os meus lucros?” 
 
Sob esses pressupostos, sendo que a decisão de oferta da firma tem por objetivo a maximização 
de lucros, pode-se escrever que o lucro é dado pela diferença entre a receita e os custos 
 
𝜋 = 𝑅(𝑝; 𝑄) − 𝐶(𝑄) 
 
E isso pode ser visto em termos algébricos 
 
Sendo o ponto de lucro máximo aquele em que um aumento na produção não altera o nível de 
lucro, ou seja, a condição de primeira ordem para um ponto extremo é dada por 
 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 → 
𝛥𝜋
𝛥𝑄
= 0 
 
Isto é 
 
𝛥𝜋
𝛥𝑄
= 
𝛥𝑅(𝑄)
𝛥𝑄
− 
𝛥𝐶(𝑄)
𝛥𝑄
= 0 
 
Sendo: 
𝛥𝑅(𝑄)
𝛥𝑄
= 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙; 
𝛥𝐶(𝑄)
𝛥𝑄
= 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
Logo, 
31 
 
 
𝛥𝑅(𝑄)
𝛥𝑄
− 
𝛥𝐶(𝑄)
𝛥𝑄
= 0 → 𝑅𝑚𝑔 − 𝐶𝑚𝑔 = 0 → 𝑅𝑚𝑔 = 𝐶𝑚𝑔 
O custo marginal é uma variável explicada pela variação dos custos de cada unidade 
adicional produzida 
 
Regra da Produção em um mercado em competição perfeita: a receita obtida com a venda de 
uma unidade adicional produzida (a receita marginal) se iguala ao custo de produção dessa 
unidade adicional (o custo marginal) 
 
Caso contrário a firma poderia aumentar o seu lucro apenas aumentando a quantidade 
produzida* 
 
E assim, se pode chegar a uma outra relação para a condição de maximização de lucros em 
um mercado competitivo em que: 
 
𝒎á𝒙𝑸𝝅 → 𝑹𝒎𝒈 = 𝑪𝒎𝒈 = 𝒑 
 
Algébricamente: 
 
𝜋 = 𝑅(𝑝; 𝑄) − 𝐶(𝑄) → 𝜋 = 𝑝𝑄 − 𝐶(𝑄; 𝑤1; 𝑤2) 
𝑚á𝑥𝜋𝑄 = 𝑝𝑄 − 𝐶(𝑄; 𝑤1; 𝑤2 ) → 𝑝𝑓(𝑥1, 𝑥2) − (𝑤1𝑥1 + 𝑤2𝑥2) 
 
Em que: 
π: Lucros 
p: Preços de mercado 
𝑄 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2): quant. ofertada pela firma (função da quant. de insumos) 
C(Q; 𝑤1; 𝑤2): custos de produção (função da quantidade produzida e do preço dos 
insumos) 
 
A maximização de lucros por parte de uma empresa ocorre pela maior diferença entre 
receitas e custos de produção 
 
Derivando em relação a 𝑥1 e 𝑥2 (condições de 1ª ordem; pontos extremos) 
 
𝑝
𝜕𝑓(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥1
− 𝑤1 = 0 
 
𝑝
𝜕𝑓(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥2
− 𝑤2 = 0 
 
Tomando por exemplo uma função do tipo cobb-douglas em que 
 
𝑓(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏 = 𝑄 
 
Substituindo 
𝑝𝑎𝑥1
𝑎−1𝑥2
𝑏 − 𝑤1 = 0 
 
𝑝𝑏𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏−1 − 𝑤2 = 0 
32 
 
 
Multiplicando a primeira equação por 𝑥1, e a segunda por 𝑥2 
 
𝑝𝑎𝑥1𝑥1
𝑎−1𝑥2
𝑏 − 𝑤1𝑥1 = 0 → 𝑝𝑎𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏 − 𝑤1𝑥1 = 0 
𝑝𝑏𝑥1
𝑎𝑥2𝑥2
𝑏−1 − 𝑤2𝑥2 = 0 → 𝑝𝑏𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏 − 𝑤2𝑥2 = 0 
E sendo 𝑥1
𝑎𝑥2
𝑏 = 𝑄, tem-se que 
 
𝑝𝑎𝑄 = 𝑤1𝑥1 ; 𝑝𝑏𝑄 = 𝑤2𝑥2 
 
Logo: 
 
𝒙𝟏
∗ = 
𝒑𝒂𝑸
𝒘𝟏
 ; 𝒆; 𝒙𝟐
∗ = 
𝒑𝒃𝑸𝒘𝟐
 
 
Que são as quantidades de demanda dos dois fatores em termos de uma escolha ótima. 
 
Mas o que se busca não é a quantidade ótima dos fatores, mas sim a quantidade ótima de 
produção, de maneira que, substituindo na função de produção. 
 
𝑄 = (
𝑝𝑎𝑄
𝑤1
)𝑎 (
𝑝𝑏𝑄
𝑤2
)𝑏 → 𝑄 = 𝑄𝑎+𝑏(
𝑝𝑎
𝑤1
)𝑎 (
𝑝𝑏
𝑤2
)𝑏 
 
Ou: 𝑸 = (
𝒑𝒂
𝒘𝟏
)
𝒂
𝟏−𝒂−𝒃 (
𝒑𝒃
𝒘𝟐
)
𝒃
𝟏−𝒂−𝒃 
 
A decisão do nível de produção que maximiza os lucros em um mercado em concorrência 
perfeita 
 
Para atestar que é um ponto de máximo, é necessário que 
 
𝜕𝐿𝑚𝑔
𝜕𝑞
< 0 → 
𝑑𝑅𝑚𝑔
𝑑𝑞
<
𝑑𝐶𝑚𝑔
𝑑𝑞
; 𝑜𝑢 
𝑑𝐶𝑚𝑔
𝑑𝑞
> 0 (𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝐶𝑚𝑔) 
 𝐻 > 0; 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 
𝜕𝑃𝑚𝑔𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜𝑠
𝜕𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜𝑠
< 0; (𝑓𝑥𝑥 𝑒 𝑓𝑦𝑦 < 0), 
 
𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝐻 = 𝑓𝑥𝑥. 𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2 
𝐸 𝑒𝑥𝑖𝑔𝑒 − 𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 
𝑓𝑥𝑥. 𝑓𝑦𝑦 > (𝑓𝑥𝑦)² 
 
Ou seja, para um ponto extremo, significa que a taxa de variação da variação do custo já está 
maior do que a taxa de variação da variação da receita. Sendo no ponto em que Rmg = Cmg, 
ou que as variações são equivalentes, significa que no ponto seguinte o Cmg será maior que a 
Rmg 
 
 
3.6) Situações possíveis 
 
Sob essa análise, três questões precisam ser apontadas em relação a preços 
 
33 
 
1) Acima do custo marginal: É vantajoso a firma aumentar a produção para 
alcançar um nível em que o custo de produção de uma unidade adicional seja 
equivalente ao nível de preços. Caso contrário, a firma está deixando de ganhar 
(as receitas ganhas com o aumento da produção compensam os aumentos de 
custo) 
 
2) Abaixo do custo marginal: Não é vantajoso a firma manter esse nível de 
produção. É adequada a redução do nível de produção para um nível em que o 
custo de produção de uma unidade adicional seja equivalente ao nível de preços. 
Caso contrário, a firma está perdendo, de maneira que as perdas de receita pela 
redução da quantidade seriam compensadas pela redução de custo 
 
3) Dois pontos de interseção Cmg e P: A oferta se direciona para aquela que se 
situa na parte ascendente da curva de custo marginal (condição 3) 
 
3.7) Curva de oferta no curto prazo 
Na teoria da firma, deve-se levar em consideração a distinção entre curto e longo prazo 
 
No curto prazo, o importante é lidar com os custos variáveis, e no longo prazo é importante 
lidar com os custos totais 
 
Por isso, a curva de oferta de longo prazo é mais elástica do que a curva de oferta de curto 
prazo 
 
Supondo preços dos insumos constantes 
 
➢ Qual a capacidade da firma operar no curto prazo? Ou seja, produzir alguma coisa ou 
nada (deixar de operar)? 
 
➢ Logo, para o curto prazo, a discussão que se coloca está associada ao fato que, 
independente do nível de produção, a firma, existindo, arca com custos fixos 
 
➢ Sempre será melhor a firma não operar quando os prejuízos são maiores que os 
seus lucros 
 
Sem produção o resultado da firma é de um prejuízo representado pelos seus próprios custos 
fixos 
 
𝝅 = 𝒑𝑸 − [𝑪𝒗(𝑸) + 𝑭] → 𝑺𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑸 = 𝟎 → 𝝅𝑸=𝟎 = −𝑭 
 
Logo, não faz sentido a firma existir quando, não produzindo, o prejuízo, por conta das 
obrigações com os custos fixos, serem maiores do que os “lucros” 
 
Ou seja, 
 
−𝑭 > 𝝅 
 
Em que 
34 
 
 
−𝑭 > 𝒑𝑸 − [𝑪𝒗(𝑸) + 𝑭] 
 
Arrumando a relação: 
 
−𝐹 + 𝐹 > 𝑝𝑄 − 𝐶𝑣(𝑄) → 0 > 𝑝𝑄 − 𝐶𝑣(𝑄) → 𝐶𝑣(𝑄) > 𝑝𝑄 
 
Logo, 
 
𝑪𝒗(𝑸)
𝑸
> 𝒑 
 
➢ Assim, a condição de encerramento da firma se dá quando o custo variável médio é 
maior do que o nível de preços de mercado (as receitas com a venda não cobrem os 
custos variáveis de produção). 
 
➢ Neste ponto seria melhor para a empresa não produzir/sair do mercado. 
 
Essa demonstração poderia ser feita a partir da última relação estabelecida em que 
 
𝑆𝑒 𝑝 < 𝐶𝑉𝑚é𝑑𝑖𝑜𝑚𝑖𝑛 → 
𝑪𝒗(𝑸)
𝑸
> 𝒑 → 𝒑𝑸 < 𝑪𝒗(𝑸) 
 
Manipulando e adicionando e subtraindo o CF do lado direito da equação 
𝑝𝑦 < 𝐶𝑉 + 𝐶𝐹 − 𝐶𝐹 → 𝑝𝑦 − 𝐶𝑉 − 𝐶𝐹 < −𝐶𝐹 → 𝑝𝑦 − 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜𝑐𝑝 < −𝐶𝐹 
𝑂𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 < −𝐶𝐹 
𝐴𝑗𝑢𝑠𝑡𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 − 1 
−𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜(𝑃𝑟𝑒𝑗𝑢í𝑧𝑜) > 𝐶𝐹 
Logo, o prejuízo é maior do que o custo fixo, ou seja, a perda em encerrar o negócio, o seu 
custo fixo, é menor que o prejuízo que obteria se continuasse produzindo 
 
Assim, as duas condições para oferta da firma no curto prazo são 
 
{
𝑝 = 𝐶𝑚𝑔(𝑄𝑖)𝐶𝑃 ; 𝑠𝑒 𝑝 > 𝐶𝑉𝑚é𝑑𝑖𝑜
𝑄𝑖 = 0 ; 𝑠𝑒 𝑝 < 𝐶𝑉𝑚é𝑑𝑖𝑜
 
 
Em termos gráficos: 
➢ Apenas os trechos da curva de custo marginal situados acima da curva de custo 
variável médio são pontos possíveis para produção da firma. 
➢ É este segmento que constitui a curva de oferta de curto prazo da firma 
 
Assim, a oferta da indústria no curto prazo pode ser obtida pelo somatório das curvas de 
oferta individuais, dadas por 
 
35 
 
𝑄𝐶𝑃 (𝑝) = ∑ 𝑄𝑖 𝐶𝑃(𝑝)
𝑛
𝑖=1
 
 
3.8) Curva de oferta da firma no longo prazo 
 
No longo prazo, as firmas não incorrem com restrições de inflexibilidade de insumos de 
produção 
 
E da mesma maneira que no curto prazo, a firma se defronta com a situação de permanecer 
ou não em funcionamento 
 
No longo prazo, os lucros que a firma realiza no equilíbrio tem de ser pelo menos igual a 
zero, e dessa forma, chega-se ao seguinte entendimento 
 
𝜋 = 𝑅 − 𝐶(𝑄) → 𝜋 = 𝑝𝑄 − 𝐶(𝑄) 
 
Logo 
 
𝒑𝑸 − 𝑪(𝑸) ≥ 𝟎 → 𝒑 ≥ 
𝑪(𝑸)
𝑸
 
 
 
Assim, as duas condições para oferta da firma no longo prazo são 
 
{
𝑝 = 𝐶𝑚𝑔(𝑄𝑖)𝐿𝑃; 𝑠𝑒 𝑝 ≥ 𝐶𝑚é𝑑𝑖𝑜
𝑄𝑖 = 0 ; 𝑠𝑒 𝑝 < 𝐶𝑚é𝑑𝑖𝑜
 
 
➢ Em termos gráficos, apenas os trechos das curvas de custos marginais situados acima 
da curva de custo médio são pontos possíveis para produção da firma. 
➢ É este segmento que se constitui na curva de oferta de longo prazo da firma 
➢ A oferta da indústria no curto prazo pode ser obtida pelo somatório das curvas de 
oferta individuais: 𝑄𝐿𝑃 (𝑝) = ∑ 𝑄𝑖 𝐿𝑃(𝑝)
𝑛
𝑖=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Tabela Síntese oferta no Curto e Longo Prazo em Concorrência Perfeita 
 Curto Prazo Longo Prazo 
Condição Lucro pode ser menor que zero 
(prejuízo), mas o prejuízo deve ser o 
menor entre produzindo ou não 
 
Sendo Prejuízo o equivalente a 
𝜋 = 𝑅𝑇 − 𝐶𝑇; −𝜋 = 𝐶𝑇 − 𝑅𝑇 
 
Sem produzir: 
−𝜋 = [𝐶𝑣(𝑄) + 𝐶𝐹] − 𝑝𝑄 
−𝜋 = 𝐶𝐹 
 
Para produzir, o prejuízo deve ser 
menor do que não produzir 
−𝜋𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑛𝑑𝑜 < −𝜋𝑛ã𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
Logo 
𝐶𝑣(𝑄) + 𝐶𝐹 − 𝑝𝑄 < 𝐶𝐹 
 
𝑝 > 
𝐶𝑣(𝑄)
𝑄
 
 
Lucro pelo menos igual a zero 
 
𝜋 = 𝒑𝑸 − [𝐶𝑣(𝑄) + 𝐶𝐹] ≥ 𝟎 
→ 𝒑 ≥ 
𝑪(𝑸)
𝑸
 
 
3.9) 3 situações possíveis de lucro 
 
➢ Lucro Econômico Zero: significa que a empresa está auferindo um retorno normal 
no nível competitivo do mercado (concorrência perfeita), tendo em vista os custos de 
oportunidade (tão bom quanto qualquer outra aplicação dos seus recursos) 
➢ (
𝐶(𝑄)
𝑄
= 𝑝) 
 
➢ Lucro Econômico Positivo (extraordinário): significa que a empresa está auferindo 
um retorno além do que deveria receber de acordo com o custo de oportunidade 
(𝑝 ≥ 
𝐶(𝑄)
𝑄
) 
 
➢ Lucro Econômico Negativo: significa que a empresa está auferindo um retorno 
aquém do que deveria receber de acordo com o custo de oportunidade (seria melhor 
deixar de operar) 
(
𝐶(𝑄)
𝑄
≥ 𝑝) 
 
No longo prazo pode ocorrer um ajuste do número de firmas existentes em uma determinada 
indústria ou mercado (livre entrada e saída) 
 
A situação 1 e a situação 3 ilustram o princípio da livre entrada e saída que caracteriza o 
mercado em competição perfeita 
 
37 
 
E nesse processo de entrada e saída há impactos no nível de quantidade ofertada na indústria, 
e consequentemente no nível de preços de mercado 
 
No equilíbrio de longo prazo em um mercado em concorrência perfeita 
 
➢ Todas as empresasestão maximizando lucros 
➢ Não há estímulos por parte de qualquer empresa para sair ou entrar no mercado (todas 
estão auferindo lucro econômico igual a zero) 
➢ O preço do produto é tal que a quantidade ofertada pelas empresas do setor se iguala 
ao volume demandado pelos consumidores 
 
3.10) Áreas de lucro total, receita total e custo total 
 
3.11) Excedente do produtor e do consumidor 
O Excedente do produtor é a diferença entre o quanto a firma se dispõem a receber para ofertar 
determinado bem e o preço de mercado desse bem 
Algébricamente, dada duas equações sendo uma de oferta e outra de demanda, pode ser escrito a 
partir da seguinte equação 
𝑝∗. 𝑞∗ − ∫ (𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎)𝑑𝑥
𝑝∗
0
 
Resolvendo para D = f(x) = 30 – x; O = f(x) x²+10 
30 – x = x² + 10 -> x² + x -20 =0 -> 
[−1±√1−4.1(−20)]
2
=
−1±9
2
= −5; 4 
Como o preço não pode ser negativo, o preço de equilíbrio é 4 
Logo, pela demanda, a quantidade de equilíbrio é: 
q = 30 – x = 30 – 4 = 26 
Substituindo na equação do excedente 
4.26 − ∫ (𝑥2 + 10)𝑑𝑥
𝑝∗
0
= 104 − [
𝑥3
3
+ 10𝑥] → 104 −
64
3
− 40 = 128/3 
 
O excedente do consumidor é a diferença entre o quanto um consumidor está disposto a pagar 
por um determinado bem (preço de reserva) e o preço de mercado por esse bem 
Algébricamente, dada duas equações sendo uma de oferta e outra de demanda, pode ser escrito a 
partir da seguinte equação 
∫ (𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎)𝑑𝑥
𝑝∗
0
− 𝑝∗. 𝑞∗ 
 
Resolvendo para D = f(x) = 30 – x; O = f(x) x²+10 
30 – x = x² + 10 -> x² + x -20 =0 -> 
[−1±√1−4.1(−20)]
2
=
−1±9
2
= −5; 4 
38 
 
Como o preço não pode ser negativo, o preço de equilíbrio é 4 
Logo, pela demanda, a quantidade de equilíbrio é: 
q = 30 – x = 30 – 4 = 26 
Substituindo na equação do excedente 
∫ (30 − 𝑥)𝑑𝑥
𝑝∗
0
− 104 → 30𝑥 − (
𝑥2
2
) − 104 → 120 − 8 − 104 = 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
4) O equilíbrio da firma em monopólio (Jehle e Reny, cap. 4; 
Nicholson, cap. 14; Pindyck e Rubinfeld, cap. 10 e 11; 
Varian, cap. 25 e 25) 
 
Introdução 
 
• Caracterizando as estruturas de Mercado: Concorrência Perfeita, Monopólio e 
Oligopólio 
• A escolha da firma no monopólio 
• A escolha da firma no oligopólio 
• Conclusões 
 
Referências utilizadas 
 
Caracterizando as estruturas de Mercado: Concorrência Perfeita, Monopólio e Oligopólio 
Cinco Pressupostos Fundamentais 
Concorrência Perfeita Monopólio Oligopólio 
Atomismo: grande número de 
firmas em que a oferta 
individual é incapaz de afetar 
o nível de preços de mercado 
 
Price-Taker: As firmas são 
tomadas de preços (decisões 
de oferta levam em 
consideração os preços de 
mercado) – Curva de demanda 
com que a firma se defronta é 
horizontal 
 
Produtos Homogêneos: 
Produtos ofertados pelas 
firmas são substitutos 
perfeitos entre si 
 
Livre entrada e saída: em 
relação as firmas, insumos e 
produtos 
 
Simetria de Informação 
Única empresa: Há apenas 
uma empresa que oferta e 
determina o preço do seu 
produto (embora o nível de 
preço seja regulado pela 
demanda) 
 
Price-Maker: A firma é que 
determina o preço, mas o 
nível de preços tem barreiras a 
partir da demanda – curva de 
demanda com que a firma se 
defronta é negativamente 
inclinada 
 
Produto único: não há nenhum 
produto substituto 
 
Barreiras a entrada: Mediante 
o preço de oferta 
Poucas (grandes) empresas: 
Há poucas empresas ofertando 
no mercado, o que lhes 
confere certo poder de 
determinação de preços 
 
Price-taker: as firmas 
determinam preços, mas o 
nível de preços tem barreiras a 
partir da demanda – curva de 
demanda com que a firma se 
defronta é negativamente 
inclinada 
 
Produtos Homogêneos (ou 
não): Os produtos podem ou 
não ser substitutos entre si 
 
Barreiras a entrada: Mediante 
o preço de oferta 
Possível assimetria de 
informação: especialmente em 
termos de cartel (possibilidade 
de não cumprimento do 
acordo) 
 
 
 
 
 
40 
 
A origem do monopólio 
 
 
A escala mínima de eficiência 
 
 
Os monopólios naturais* 
 
A escolha ótima da firma no monopólio 
 
A determinação de preços em um mercado com monopólio depende da estrutura de custos da 
firma monopolista e das características da demanda com que essa firma se defronta 
 
Condições de determinação de preços considerando 
Vender diferentes níveis de produção a um mesmo preço 
Fixar diferentes preços para um mesmo nível de produção 
 
Ou seja, o monopolista pode lidar com duas variáveis fundamentais: preço e quantidade (mas 
não as duas juntas) 
 
Um pouco sobre barreiras 
 
4.2) O comportamento monopolista 
 
Comportamento da firma monopolista: determina o nível de utilização de insumos (nível de 
produção) condicionado à tecnologia disponível e o preço dos insumos (custo) 
 
Da mesma maneira que na concorrência perfeita o objetivo da firma é a maximização de 
lucros 
 
𝜋 = 𝑅 − 𝐶(𝑄) → 𝜋 = 𝑝𝑄 − 𝐶(𝑄) 
 
E 
𝑚á𝑥𝜋𝑄 = 𝑝𝑄 − 𝐶(𝑄) 
 
Em que: 
π: Lucros; p: Preços de mercado; Q: quantidade ofertada pela firma; C(Q): custos de 
produção (função da quantidade produzida) 
Ou seja, a maximização de lucros por parte de uma empresa em uma empresa ocorre pela 
diferença entre receitas e custos de produção 
 
No caso, o limite colocado às firmas em um mercado em competição perfeita, em termos de 
lucro e quantidade produzida, é dado pelo ponto em que a receita obtida com a venda de uma 
unidade adicional produzida (a receita marginal) se iguala ao custo de produção dessa 
unidade adicional (o custo marginal) 
 
Caso contrário a firma poderia aumentar o seu lucro apenas aumentando a quantidade 
produzida*. E isso pode ser visto em termos algébricos 
 
41 
 
Sendo o ponto de lucro máximo aquele em que um aumento na produção não altera o nível de 
lucro, ou seja 
 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 → 
𝛥𝜋
𝛥𝑄
= 0 
 
 
Isto é 
 
𝛥𝜋
𝛥𝑄
= 
𝛥𝑅
𝛥𝑄
− 
𝛥𝐶(𝑄)
𝛥𝑄
= 0 
 
Sendo: 
 
𝛥𝑅
𝛥𝑄
= 𝑅𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙; 
𝛥𝐶(𝑄)
𝛥𝑄
= 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 
 
Logo, 
 
𝛥𝑅
𝛥𝑄
− 
𝛥𝐶(𝑄)
𝛥𝑄
= 0 → 𝑅𝑚𝑔 − 𝐶𝑚𝑔 = 0 
 
E assim 
 
𝑅𝑚𝑔 = 𝐶𝑚𝑔 
 
O custo marginal é uma variável explicada pela variação dos custos de cada unidade 
adicional produzida 
 
Diferente do mercado competitivo, nem a receita marginal, e nem o custo marginal, se 
igualam ao preço no nível de maximização de lucros 
 
A diferença reside na característica de que a firma não é price-taker e sim price-maker 
 
Todavia há limites colocados pelo próprio comportamento da demanda à determinação de 
preços, e que repercute no próprio entendimento da receita marginal, que deve ser 
explicada com o seguinte sentido 
Um aumento na quantidade produzida repercute em dois efeitos nos lucros: 
 
1) Gera um aumento nas vendas que proporciona uma receita dada por 
 
𝑝𝛥𝑄 
 
2) Mas dada a curva de demanda de inclinação descendente, um incremento na 
quantidade produzida resulta em uma variação negativa (queda) nos preços, e 
maneira que 
 
𝑄𝛥𝑝 → 
𝜕𝑝
𝜕𝑄
< 0 
42 
 
Assim, o efeito total nas receitas provocado por uma variação da quantidade produzida e 
vendida por um monopolista pode ser escrita como 
 
𝛥𝑅 = 𝑝𝛥𝑄 + 𝑄𝛥𝑝 
 
E, dividindo todos os termos por 𝛥𝑄, tem-se que 
 
𝛥𝑅
𝛥𝑄
= 𝑝 + 
𝑄𝛥𝑝
𝛥𝑄
= 𝑟𝑚𝑔 
 
Ressalta-se que sendo 
𝜕𝑝
𝜕𝑄
< 0, o segundo termo 
𝑄𝛥𝑝
𝛥𝑄
 é negativo, o que faz com que 
 
Rmg < p 
 
Desenvolvendo e Multiplicando 
𝑄𝛥𝑝
𝛥𝑄
 por 
𝑝
𝑝
 
 
𝑟𝑚𝑔 = 𝑝 + 
𝑝
𝑝
𝑄𝛥𝑝
𝛥𝑄
 
 
 
E ajustando 
 
𝑟𝑚𝑔 = 𝑝 + 𝑝 (
𝑄𝛥𝑝
𝑝𝛥𝑄
) 
 
Sabe-se que (
𝑄𝛥𝑝
𝑝𝛥𝑄
) expressa o inverso da elasticidade preço da demanda (
𝑝𝛥𝑄
𝑄𝛥𝑝
) , e dessa 
maneira, a receita marginal pode ser reescrita como 
 
𝑟𝑚𝑔 = 𝑝 (1 + 
1
𝑒𝑝𝑑
) = 𝑝 (1 − 
1
|𝑒𝑝𝑑|
) 
 
4.3) Relação entre decisão do monopolista e elasticidade 
 
Na competição