Matemática - Exercícios de Equações - 6

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01) Ponha V (para verdadeiro) ou F (para falso): 
 
a) 11 + 3.(9 – 5) = 4.(6 – 1) + 7 
 
b) 2x + 3 = 18 – 5x, para x = 2. 
 
c) Ao se começar o estudo de equações é importante o uso 
de um certo “conceito de inversão”. Isto é, trocar cada 
operação direta pela sua respectiva operação inversa, 
realizando as operações inversas na ordem exatamente 
contrária à ordem das correspondentes operações diretas. 
 
d) Para saber se um dado valor da incógnita de uma 
equação está de fato certo, basta substituí-lo na forma 
original da igualdade. O que leva a uma sentença 
Matemática verdadeira se a dada raiz for correta e falsa se 
for errada. 
 
e) Ao se adicionar ou subtrair um mesmo número dos dois 
membros de uma igualdade obtém-se uma igualdade 
equivalente a primeira (está é uma das duas propriedades 
fundamentais na resolução de equações). 
 
f) Ao se multiplicar ou dividir os dois membros de uma 
igualdade por um mesmo número (diferente de zero) 
obtém-se uma igualdade equivalente a primeira (está é 
uma das duas propriedades fundamentais na resolução de 
equações). 
 
02) Determine x (primeiro usando o “conceito de 
inversão” e depois usando as duas propriedades 
fundamentais): 
 
a) x + 6 = 30 
b) x – 6 = 30 
c) 6x = 30 
d) x/6 = 30 
 
e) 3x + 11 = 35 
f) x/2 – 7 = 10 
g) 7x – 2 = 19 
h) x/4 + 5 = 18 
 
03) Determine x: 
 
a) 5x – 7 = 22 + 7x 
b) 3x + 2 = 13 – 8x 
 
c) 2.(x + 3) – 3.(x – 5) = 9x 
d) 4.(2x + 13) + 6.(3x – 1) = 5.(2x – 3) + 8 
 
e) (7x)/5 + 1/2 = x + 2/3 
f) (3x)/2 – 5/4 = (2x)/3 + 1 
 
g) (3.(2x + 9))/5 – (5.(x – 7))/3 = x/2 
h) (2.(4x + 1))/3 + (3.(5x – 1))/2 = (7.(3x – 2))/4 + 1 
 
i) (5x + 6)/3 = (4x –1)/2 
j) (3x + 1)/4 = (x – 2)/10 
k) 8/(2 – x) = 6/(3x –1) 
l) 5/(2x – 5) = 7/(3 – 4x) 
m) 4.(2x + 1) – 5.(x – 1) = 3x + 9 
 
n) 5.(4x + 3) – 3.(x – 2) = 17x + 11 
 
04) Determine x: 
 
a) 0,3.(x – 5) + 0,4.(6x + 3) = 0,8 
b) (3x – 0,7)/0,5 = (2x – 1,1)/0,4 
 
c) (1,333...).(x – 2) + (0,555...).(x + 3) = 0,999... 
d) (8x – 3)/(0,222...) = (x + 4)/(0,777...) 
 
05) Dado o número x, represente: 
 
a) O seu dobro 
b) O seu triplo 
c) O seu quádruplo 
d) O seu quíntuplo 
e) O seu sêxtuplo 
 
f) A sua metade 
g) A sua terça parte 
h) A sua quarta parte 
i) A sua quinta parte 
j) A sua sexta parte 
 
k) Os seus dois terços 
l) Os seus quatro quintos 
m) Os seus oito sétimos 
n) Os seus treze décimos 
o) Os seus sete onze avos 
 
06) Dado o número 3x – 2, represente: 
 
a) O seu dobro 
b) O seu quíntuplo 
c) A sua terça parte 
d) Os seus cinco oitavos 
e) Os seus quatro nonos 
 
07) Sabendo que um dos dois números é x, represente: 
 
a) Dois números cuja soma é dez 
b) Dois números cuja diferença é dez 
c) Dois números cujo produto é dez 
d) Dois números cujo quociente é dez 
 
08) Resolva os problemas: 
 
a) Dos alunos de um colégio, um terço deles é interno, um 
quarto é semi-interno e cento e cinqüenta são externos. 
Determine o número total de alunos de tal colégio, 
sabendo que cada aluno é de um (e somente um) dos três 
tipos mencionados. 
 
b) Um pai decide repartir quarenta e quatro mil, 
quinhentos e dezessete patacas entre os seus três filhos. 
Dando ao filho mais velho o dobro do que ao do meio e ao 
caçula a terça parte do que ao primogênito. Quanto ganhou 
o filho do meio? 
 
 
c) Distribua quatrocentos e cinqüenta e cinco castanhas 
entre três pessoas de modo que a primeira receba dois 
terços do que a segunda receber mais quinze castanhas e 
que a terceira receba o dobro do que a primeira receber 
mais cinqüenta castanhas. Qual a parte da terceira pessoa? 
 
d) Decomponha o número cento e quarenta e quatro em 
quatro partes de modo que ao se adicionar cinco a primeira 
parte, subtrair cinco da segunda parte, multiplicar por 
cinco a terceira parte e dividir por cinco a quarta parte, 
encontre-se sempre o mesmo resultado. 
 
e) Alberto tem o triplo do número de laranjas de Benito, o 
qual tem um quinto do número de laranjas de Carlos mais 
dez laranjas. Se Carlos e Alberto têm o mesmo número de 
laranjas, quantas frutas é que Benito possui? 
 
f) Uma pequena loja é dividida em três pequenos 
departamentos: A, B e C. O departamento C possui dois 
funcionários. O departamento A tem tantos funcionários 
quanto o departamento C e a metade do B combinados. O 
departamento B tem tantos funcionários quanto os outros 
dois departamentos juntos. Quantos funcionários existem 
em tal loja? 
 
g) Uma prova é tal que se respondermos corretamente 
nove das dez primeiras questões e três décimos das 
questões restantes, obteremos metade do aproveitamento 
total. Determine o número de questões da prova. 
 
h) Um fazendeiro promete ao seu pastor quatorze patacas e 
quatro ovelhas por um ano de trabalho. Após quatro meses 
o pastor é despedido tendo recebido no total três ovelhas e 
meia pataca. Qual o valor atribuído a cada ovelha? 
 
i) Se vendesse todas as maças que possuo a oito centavos 
de pataca cada, perderia uma pataca, mas se as vendesse 
por dez centavos de pataca a unidade, ganharia vinte e 
cinco patacas. Quantas são as minhas maças? 
 
j) Gastou-se certa quantia na compra de trinta metros de 
tecido. Se cada metro tivesse custado vinte centavos de 
pataca a menos, com a mesma importância poderia ter se 
adquirido seis metros a mais do produto. Qual era o total 
de dinheiro disponível? 
 
k) Se numa escola em um dado horário sentarem-se oito 
alunos em cada banco do pátio, vinte e um alunos não 
terão lugar. Se sentarem dez alunos por banco vão sobrar 
cinco lugares. Quantos são os alunos e quantos são os 
bancos? 
 
l) Na floresta existem tocas e tatus. Se entrarem seis tatus 
em cada toca, fica um tatu sem toca. E se ficarem sete 
tatus por toca, sobra uma toca sem tatu. Quantos são os 
tatus e quantas são as tocas? 
 
m) Em uma jaula existem cães e gatos. Todo cão vê meio 
gato para cada cão. E todo gato vê três cães para cada gato. 
Quantos são os cães e quantos são os gatos? 
 
n) Uma antiga fita de vídeo pode gravar duas horas de 
programação quando em modo SP, quatro horas de 
programação em modo LP e seis horas de programação 
em modo EP. Tendo já gravado na fita uma hora e meia no 
modo EP e vinte e cinco minutos no modo SP, quanto de 
programação ainda pode ser gravado no modo LP? 
 
o) Uma torneira enche um tanque em seis horas, uma outra 
torneira enche o mesmo tanque em quatro horas. 
Funcionando as duas torneiras juntas em quantos minutos 
o tanque estará cheio? 
 
p) Um ralo esvazia um tanque (quando cheio) em quatro 
horas. Uma torneira enche o mesmo tanque (quando vazio) 
em seis horas. Partindo com o tanque cheio e com os dois 
dispositivos em pleno funcionamento, em quantas horas o 
reservatório chega a um quinto da sua capacidade? 
 
q) Dois trens partiram simultaneamente de duas estações 
distintas (A e B) de uma mesma linha férrea, movendo-se 
em um mesmo sentido e dirigindo-se a certo ponto de 
controle C, o qual dista cento e quarenta quilômetros de A 
e sessenta e oito quilômetros de B. O trem que partiu de A 
possui velocidade constante de sessenta quilômetros por 
hora enquanto o outro desenvolve quarenta e dois 
quilômetros por hora também de forma constante. A que 
distância do ponto C os dois trens vão passar um pelo 
outro? 
 
r) Refaça o problema anterior, supondo uma diferente 
escolha para o ponto de controle C que agora dista 
quarenta quilômetros de A e trinta e dois quilômetros de B. 
Observe que neste caso os trens estão se movendo em 
sentidos contrários e as demais condições são as mesmas. 
 
s) Uma canoa desce um rio com a velocidade (constante) 
de doze quilômetros por hora e sobe o mesmo rio com a 
velocidade (constante) de seis quilômetros por hora. Qual 
a velocidade da correnteza? 
 
t) Nas condições do problema anterior, qual é a maior 
distância que a canoa pode navegar rio abaixo de modo a 
ter certeza de estar de volta ao ponto de partida em duas 
horas? 
 
u) Um barco gasta três horas para se deslocar dezesseis 
quilômetros rio abaixo e regressar ao seu ponto de partida. 
A embarcação gasta o mesmo tempo, seja para navegardois quilômetros rio acima, seja para navegar quatro 
quilômetros rio abaixo. Qual a velocidade do barco? 
 
v) Num parque existem patos e gatos totalizando cento e 
dezoito cabeças e trezentos e setenta e oito pés. Quantos 
animais de cada tipo mencionado existem em tal parque? 
 
w) Um atirador recebe quatro paus por tiro certo e paga a 
metade de tal valor por cada erro. Após trinta e dois 
disparos ele embolsou oitenta e seis paus. Quantas vezes 
ele acertou? 
 
 
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x) Um recipiente tem capacidade para duzentos litros e foi 
cheio em trinta e cinco minutos por duas torneiras que 
funcionaram do seguinte modo: a primeira torneira foi 
aberta para iniciar o trabalho, sendo fechada com a 
abertura da segunda, a qual terminou a tarefa. A primeira 
forneceu sete litros por minuto enquanto a segunda 
forneceu quatro litros por minuto. Durante quanto tempo a 
segunda torneira ficou aberta? 
 
y) No vaso A existe uma mistura homogênea de doze litros 
de vinho e dezoito litros de água. No vaso B existe uma 
mistura também homogênea de nove litros de vinho e três 
litros de água. Quantos litros de mistura devem ser 
retirados de cada vaso e postos em um terceiro reservatório 
C (com agitador) de modo a se ter quatorze litros de 
mistura homogênea com iguais quantidades de vinho e 
água? 
 
z) Uma pessoa possui dois cavalos e uma sela que vale 
quinze pratas. Colocando a sela no primeiro cavalo, este 
passa a valer o dobro do que o segundo sem a sela. 
Colocando a sela no segundo animal, ele passa a valer 
trinta pratas a menos do que o primeiro sem a sela. Quanto 
vale o primeiro cavalo sem a sela? 
 
GABARITO 
 
01) a) F b) F c) V d) V e) V f) V 
 
02) a) 24 b) 36 c) 5 d) 180 
 
e) 8 f) 34 g) 3 h) 52 
 
03) 
 
a) – 29/2 
b) 1 
 
c) 21/10 
d) – 53/16 
 
e) 5/12 
f) 27/10 
 
g) 512/29 
h) – 20/59 
 
i) 15/2 
j) – 9/13 
k) 2/3 
l) 25/17 
 
m) Qualquer x 
 
n) Nenhum x 
 
04) 
 
a) 11/27 
b) – 27/20 
 
c) 18/17 
d) 29/54 
 
05) a) 2x b) 3x c) 4x d) 5x e) 6x 
 
f) x/2 
g) x/3 
h) x/4 
i) x/5 
j) x/6 
 
k) (2x)/3 
l) (4x)/5 
m) (8x)/7 
n) (13x)/10 
o) (7x)/11 
 
06.a) 2.(3x – 2) = 6x – 4 
06.b) 5.(3x – 2) = 15x – 10 
06.c) (3x – 2)/3 = x – 2/3 
06.d) (5.(3x – 2))/8 = (15x)/8 – 5/4 
06.e) (4.(3x – 2))/9 = (4x)/3 – 8/9 
 
07.a) x e 10 – x 
07.b) (x e x + 10) ou (x e x – 10) 
07.c) x e 10/x 
07.d) (x e 10x) ou (x e x/10) 
 
08) 
 
a) 360 alunos 
b) 12141 patacas 
c) 240 castanhas 
d) 15, 25, 4 e 100 respectivamente 
e) 25 laranjas 
f) 16 funcionários 
g) 30 questões 
 
h) 2,5 patacas. 
i) 1300 maças 
j) 36 patacas 
k) 125 alunos e 13 bancos 
l) 8 tocas e 49 tatus 
m) 9 cães e 4 gatos 
 
n) 130 minutos 
o) 144 minutos 
p) 9,6 horas 
q) 100 quilômetros 
r) 2,35 quilômetros (aproximadamente) 
s) 3 quilômetros por hora 
t) 8 quilômetros 
u) 12 quilômetros por hora 
 
v) 47 patos e 71 gatos 
w) 25 acertos e 7 erros 
x) 15 minutos 
y) 10 litros de A e quatro litros de B 
z) 105 pratas 
 
 
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COMENTÁRIOS 
 
O presente é um texto introdutório sobre o assunto de 
equações lineares, cobrindo desde o mais básico conceito 
de igualdade até a resolução de situações problema (não 
triviais). O material pode ser utilizado por alunos do 
Ensino Fundamental (a partir da sexta série) procurando 
reforço ou por professores em busca de material de aula. 
Recomenda-se uma boa revisão do assunto números 
racionais como um pré-requisito. O conteúdo está de 
acordo com as últimas recomendações da SBM (Sociedade 
Brasileira de Matemática) e é estruturado em quatro 
partes: 
 
i) Exercícios 
 
ii) Gabarito completo 
 
iii) Comentários para estudantes e professores 
 
iv) Resolução completa e detalhada de todos os exercícios 
 
A utilidade e uso do presente material para um aluno é 
deveras óbvia, ficando o restante deste comentário para os 
colegas professores. 
 
Este texto foi concebido para auxiliar em nivelamentos em 
cursos preparatórios. O instrutor dá a sua aula livre e solta 
sobre o assunto, procurando preparar e nivelar a turma 
para que ela possa “cair dentro” deste material. Entretanto 
acreditamos que o mesmo possa ser utilizado também de 
outras formas de acordo com a criatividade de cada um. 
 
A lista de exercícios presente serve de guia para a aula a 
ser dada, como é descrito a seguir. 
 
O exercício 01 traz o mínimo de conhecimento teórico 
necessário para a continuidade dos demais exercícios. O 
exercício 02 traz o primeiro contato com as equações 
lineares propriamente ditas. É importante introduzir a idéia 
de inversão desde sempre, sendo algo que tem implicações 
em todos os níveis da Matemática. No mesmo exercício é 
feita já a passagem para a resolução utilizando única e 
exclusivamente (e de forma consistente) as duas 
propriedades fundamentais. Este é o único método 
analítico para a resolução de equações lineares em geral. 
Não existe outro. Qualquer um “outro” é simplesmente 
este com enfeites. 
 
O exercício 03 é o principal envolvendo a resolução de 
equações lineares e prepara para o tratamento de qualquer 
possível igualdade proveniente da tradução dos enunciados 
da questão 08. As equações de a até h partem de onde o 
exercício 02 deixou o assunto e acrescentam complexidade 
de forma crescente. As equações de i a l trazem uma forma 
extremamente comum que os leitores mais atentos 
identificarão nas resoluções como aquelas que podem ser 
feitas pelo “processo” de se “multiplicar cruzado”. A 
equação m é um exemplo de identidade, satisfeita para 
todos os valores de x dentro do fixado universo de valores 
possíveis para a incógnita (o qual é aqui para nós, e de 
forma implícita, o universo dos números racionais). A 
equação n é um exemplo de igualdade que nunca é 
verdadeira, não importando o valor de x utilizado. Estas 
duas últimas referidas equações nunca poderiam ser 
chamadas de equações polinomiais do primeiro grau, daí 
nossa preferência sempre pela nomenclatura de equação 
linear aqui. 
 
O exercício 04 tem a intenção de oferecer um pouco de 
tempero ao que foi visto na questão imediatamente 
anterior, utilizando números que agora podem ser decimais 
finitos quaisquer ou mesmo dízimas periódicas. 
 
Os exercícios 05 a 07 servem como preparação (no sentido 
de auxiliar a tradução para a linguagem matemática) para 
os vinte e seis problemas que constituem o exercício 08. 
Tais problemas são divididos em quatro blocos temáticos 
por motivos meramente didáticos e de apresentação. 
 
O primeiro bloco de problemas (dos itens de a até g) é 
projetado para que o estudante ganhe confiança, ao mesmo 
tempo em que ganhe conhecimento. É o bloco que mais 
incorpora técnicas avançadas de tradução nas resoluções 
apresentadas. O leitor deve procurar incorporar (ou já ter 
incorporado) tais idéias ao seu vocabulário matemático 
pessoal. O tema destes problemas seria algo como 
“partições do todo e relações entre as partes”. Muito 
cuidado com o problema g, ele parece ter “algo” em seu 
enunciado que o torna de difícil entendimento. 
 
O segundo bloco (de h a m) enfatiza a preparação da 
equação linear a partir da representação de uma mesma 
quantidade escrita de duas formas. Tal idéia é levada ao 
extremo aqui no problema m. 
 
O terceiro bloco (de n a u) procura introduzir um caráter 
dinâmico e trabalhar com o tempo. Recebem ao menos um 
citação idéias relativas a: fitas de vídeo, torneiras e ralos, 
encontro de móveis, barcos em rios etc. Professores devem 
tomar cuidados extras para a introdução destas problemas. 
 
O quarto é último bloco (de v a z) trata tipicamente da 
idéia de duas quantidades com soma(ou diferença) 
constante. Algo já semeado quando do assunto de barcos 
em rios. Atenção nesta classe de problemas, que apesar de 
muito importante, não costuma complicar. 
 
Dicas de ensino: Insista no método aqui apresentado para 
resolução de equações lineares frente a posturas arcaicas 
(“...troco de membro, troco de sinal...”), busque a 
simplicidade I (não é preciso o MMC dos denominadores 
para eliminar os mesmos, basta o produto de todos eles, 
por exemplo), busque a simplicidade II (linguagem de 
conjuntos simplesmente não tem lugar nesta aula), deve 
ser enfatizado o campo algébrico (mas tenha na manga 
sempre alternativas nos campos numérico e geométrico, 
especialmente em termos de comparações e contrastes), 
defenda até a morte a necessidade da aprendizagem da 
tradução da linguagem corrente para a linguagem 
matemática (mas nunca subestime a dificuldade dos alunos 
com o assunto) etc. 
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RESOLUÇÕES 
 
01.a) 23 = 27 é uma afirmação FALSA 
 
01.b) 7 = 8 é uma afirmação FALSA 
 
01.c) Afirmação VERDADEIRA. Muito importante em 
qualquer tipo de equação desde que (pelo menos) se 
tenham a priori todos os termos envolvendo incógnita em 
único membro da igualdade. 
 
01.d) Afirmação VERDADEIRA. Muito importante em 
qualquer tipo de equação. É sempre recomendada a 
verificação do valor obtido para a incógnita. 
 
01.e) Afirmação VERDADEIRA. 
 
01.f) Afirmação VERDADEIRA. 
 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: As equações lineares 
serão resolvidas, quando utilizando as duas propriedades 
fundamentais, de modo a se obter no primeiro membro 
uma expressão envolvendo somente termos com incógnita 
(e finalmente a própria incógnita isolada) e no segundo 
membro uma expressão só com números ou parâmetros (e 
finalmente um único número ou parâmetro isolado). 
Usaremos a notação [OPERAÇÃO (TERMO)] para 
indicar uma operação realizada em ambos os membros de 
uma dada igualdade (alguns detalhes sendo omitidos e 
deixados para o leitor completar). A propriedade 
distributiva é utilizada sem avisos aqui (fique atento!). 
 
02) Usando o “conceito de inversão”: 
 
a) Partindo de x, adiciono 6 e obtenho 30. Partindo de 30, 
subtraio 6 e encontro x = 24. 
 
b) Partindo de x, subtraio 6 e obtenho 30. Partindo de 30, 
adiciono 6 e encontro x = 36. 
 
c) Partindo de x, o multiplico por 6 e obtenho 30. Partindo 
de 30, o divido por 6 e encontro x = 5. 
 
d) Partindo de x, o divido por 6 e obtenho 30. Partindo de 
30, o multiplico por 6 e encontro x = 180. 
 
e) Partindo de x, o multiplico por 3, adiciono 11 ao último 
resultado e obtenho 35. Partindo de 35, subtraio 11, divido 
o último resultado (24) por 3 e encontro x = 8. 
 
f) Partindo de x, o divido por 2, subtraio 7 do último 
resultado e obtenho 10. Partindo de 10, adiciono 7, 
multiplico o último resultado (17) por 2 e encontro x = 34. 
 
g) Partindo de x, o multiplico por 7, subtraio 2 do último 
resultado e obtenho 19. Partindo de 19, adiciono 2, divido 
o último resultado (21) por 7 e encontro x = 3. 
 
h) Partindo de x, o divido por 4, adiciono 5 ao último 
resultado e obtenho 18. Partindo de 18, subtraio 5, 
multiplico o último resultado (13) por 4 e encontro x = 52. 
02) Usando as duas propriedades fundamentais: 
 
a) 
 
x + 6 = 30 [SUBTRAÇÃO (6)] 
 
x = 30 – 6 
 
x = 24 
 
b) 
 
x – 6 = 30 [ADIÇÃO (6)] 
 
x = 30 + 6 
 
x = 36 
 
c) 
 
6x = 30 [DIVISÃO (6)] 
 
(6x)/6 = 30/6 
 
x = 5 
 
d) 
 
x/6 = 30 [MULTIPLICAÇÃO (6)] 
 
(6x)/6 = 30.6 
 
x = 180 
 
e) 
 
3x + 11 = 35 [SUBTRAÇÃO (11)] 
 
3x = 35 – 11 
 
3x = 24 [DIVISÃO (3)] 
 
(3x)/3 = 24/3 
 
x = 8 
 
f) 
 
x/2 – 7 = 10 [ADIÇÃO (7)] 
 
x/2 = 10 + 7 
 
x/2 = 17 [MULTIPLICAÇÃO (2)] 
 
(2x)/2 = 17.2 
 
x = 34 
 
g) 
 
7x – 2 = 19 [ADIÇÃO (2)] 
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7x = 19 + 2 
 
7x = 21 [DIVISÃO (7)] 
 
(7x)/7 = 21/7 
 
x = 3 
 
h) 
 
x/4 + 5 = 18 [SUBTRAÇÃO (5)] 
 
x/4 = 18 – 5 
 
x/4 = 13 [MULTIPLICAÇÃO (4)] 
 
(4x)/4 = 13.4 
 
x = 52 
 
03) 
 
a) 
 
5x – 7 = 22 + 7x [ADIÇÃO (–7x + 7)] 
 
5x – 7x = 22 + 7 
 
–2x = 29 [DIVISÃO (–2)] 
 
(–2x)/( –2) = 29/(–2) 
 
x = – 29/2 
 
b) 
 
3x + 2 = 13 – 8x [ADIÇÃO (8x – 2)] 
 
3x + 8x = 13 – 2 
 
11x = 11 [DIVISÃO (11)] 
 
(11x)/11 = 11/11 
 
x = 1 
 
c) 
 
2.(x + 3) – 3.(x – 5) = 9x 
 
2x + 6 – 3x + 15 = 9x [ADIÇÃO (–9x – 6 – 15)] 
 
2x – 3x – 9x = – 6 – 15 
 
–10x = –21 [DIVISÃO (–10)] 
 
(–10x)/(–10) = –21/(–10) 
 
x = 21/10 
 
 
d) 4.(2x + 13) + 6.(3x – 1) = 5.(2x – 3) + 8 
 
8x + 52 + 18x – 6 = 10x – 15 + 8 [ADIÇÃO (–10x – 52 + 6)] 
 
8x + 18x – 10x = – 15 + 8 – 52 + 6 
 
16x = –53 [DIVISÃO (16)] 
 
(16x)/16 = (–53)/16 
 
x = – 53/16 
 
e) (7x)/5 + 1/2 = x + 2/3 [MULTIPLICAÇÃO (30)] 
 
(210x)/5 + 30/2 = 30x + 60/3 
 
42x + 15 = 30x + 20 [ADIÇÃO (–30x – 15)] 
 
42x – 30x = 20 – 15 
 
12x = 5 [DIVISÃO (12)] 
 
(12x)/12 = 5/12 
 
x = 5/12 
 
f) 
 
(3x)/2 – 5/4 = (2x)/3 + 1 [MULTIPLICAÇÃO (24)] 
 
(72x)/2 – 120/4 = (48x)/3 + 24 
 
36x – 30 = 16x + 24 [ADIÇÃO (–16x + 30)] 
 
36x – 16x = 24 + 30 
 
20x = 54 [DIVISÃO (20)] 
 
(20x)/20 = 54/20 
 
x = 27/10 
 
g) 
 
(3.(2x + 9))/5 – (5.(x – 7))/3 = x/2 [MULTIPLICAÇÃO (30)] 
 
(90.(2x + 9))/5 – (150.(x – 7))/3 = (30x)/2 
 
18.(2x + 9) – 50.(x – 7) = 15x 
 
36x + 162 – 50x + 350 = 15x [ADIÇÃO (–15x – 162 – 350)] 
 
36x – 50x – 15x = – 162 – 350 
 
–29x = –512 [DIVISÃO (–29)] 
 
(–29x)/(–29) = (–512)/(–29) 
 
x = 512/29 
 
 
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h) 
 
(2.(4x + 1))/3 + (3.(5x – 1))/2 = (7.(3x – 2))/4 + 1 
 
[MULTIPLICAÇÃO (24)] 
 
(48.(4x + 1))/3 + (72.(5x – 1))/2 = (162.(3x – 2))/4 + 24 
 
16.(4x + 1) + 36.(5x – 1) = 42.(3x – 2) + 24 
 
64x + 16 + 180x – 36 = 126x – 84 + 24 [ADIÇÃO (–126x – 16 + 36)] 
 
64x + 180x – 126x = – 84 + 24 – 16 + 36 
 
118x = – 40 [DIVISÃO (118)] 
 
(118x)/118 = (–40)/118 
 
x = –20/59 
 
i) 
 
(5x + 6)/3 = (4x –1)/2 [MULTIPLICAÇÃO (6)] 
 
(6.(5x + 6))/3 = (6.(4x –1))/2 
 
2.(5x + 6) = 3.(4x –1) 
 
10x + 12 = 12x – 3 [ADIÇÃO (–12x – 12)] 
 
10x – 12x = – 3 – 12 
 
–2x = –15 [DIVISÃO (–2)] 
 
(–2x)/(–2) = (–15)/(–2) 
 
x = 15/2 
 
j) 
 
(3x + 1)/4 = (x – 2)/10 [MULTIPLICAÇÃO 40)] 
 
(40.(3x + 1))/4 = (40.(x – 2))/10 
 
10.(3x + 1) = 4.(x – 2) 
 
30x + 10 = 4x – 8 [ADIÇÃO (–4x – 10)] 
 
30x – 4x = – 8 – 10 
 
26x = – 18 [DIVISÃO (26)] 
 
(26x)/26 = (–18)/26 
 
x = – 9/13 
 
 
 
 
 
 
k) 8/(2 – x) = 6/(3x –1) 
 
(2 – x)/8 = (3x –1)/6 [MULTIPLICAÇÃO (48)] 
 
(48.(2 – x))/8 = (48.(3x –1))/6 
 
6.(2 – x) = 8.(3x –1) 
 
12 – 6x = 24x – 8 [ADIÇÃO (–24x – 12)] 
 
– 6x – 24x = –8 – 12 
 
– 30x = – 20 [DIVISÃO (–30)] 
 
(–30x)/(–30) = (–20)/(–30) 
 
x = 2/3 
 
l) 5/(2x – 5) = 7/(3 – 4x) 
 
(2x – 5)/5 = (3 – 4x)/7 [MULTIPLICAÇÃO (35)] 
 
(35.(2x – 5))/5 = (35.(3 – 4x))/7 
 
7.(2x – 5) = 5.(3 – 4x) 
 
14x – 35 = 15 – 20x [ADIÇÃO (20x + 35)] 
 
14x + 20x = 15 + 35 
 
34x = 50 [DIVISÃO (34)] 
 
(34x)/34 = 50/34 
 
x = 25/17 
 
m) 
 
4.(2x + 1) – 5.(x – 1) = 3x + 9 
 
8x + 4 – 5x + 5 = 3x + 9 [ADIÇÃO (–3x – 4 – 5)] 
 
8x – 5x – 3x = 9 – 4 – 5 
 
0x = 0 
 
Qualquer x satisfaz a igualdade. 
 
n) 
 
5.(4x + 3) – 3.(x – 2) = 17x + 11 
 
20x + 15 – 3x + 6 = 17x + 11 [ADIÇÃO (–17x – 15 – 6)] 
 
20x – 3x – 17x = 11 – 15 – 6 
 
0x = – 10 
 
Nenhum x satisfaz a igualdade. 
 
 
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04) 
 
a) 0,3.(x – 5) + 0,4.(6x + 3) = 0,8 
 
0,3x – 1,5 + 2,4x + 1,2 = 0,8 [ADIÇÃO (1,5 – 1,2)] 
 
0,3x + 2,4x = 0,8 + 1,5 – 1,2 
 
2,7x = 1,1 [DIVISÃO (2,7)] 
 
(2,7x)/2,7 = 1,1/2,7 
 
x = 11/27 
 
b) (3x – 0,7)/0,5 = (2x – 1,1)/0,4 [MULTIPLICAÇÃO (0,5.0,4)] 
 
(0,5.0,4.(3x – 0,7))/0,5 = (0,5.0,4.(2x – 1,1))/0,4 
 
0,4.(3x – 0,7) = 0,5.(2x – 1,1) 
 
1,20x – 0,28 = 1,00x – 0,55 [ADIÇÃO (–1,00x + 0,28)] 
 
1,20x – 1,00x = – 0,55 + 0,28 
 
0,20x = –0,27 [DIVISÃO (0,20)] 
 
(0,20x)/0,20 = (–0,27)/0,20 
 
x = –27/20 
 
c) (1,333...).(x – 2) + (0,555...).(x + 3) = 0,999... 
 
(12.(x – 2))/9 + (5.(x + 3))/9 = 9/9 [MULTIPLICAÇÃO (9)] 
 
(9.12.(x – 2))/9 + (9.5.(x + 3))/9 = 81/9 
 
12.(x – 2) + 5.(x + 3) = 9 
 
12x – 24 + 5x + 15 = 9 [ADIÇÃO (24 – 15)] 
 
12x + 5x = 9 + 24 – 15 
 
17x = 18 [DIVISÃO (17)] 
 
(17x)/17 = 18/17 
 
x = 18/17 
 
d) (8x – 3)/(0,222...) = (x + 4)/(0,777...) 
 
(8x – 3)/(2/9) = (x + 4)/(7/9) 
 
(9.(8x – 3))/2 = (9.(x + 4))/7 [MULTIPLICAÇÃO (14/9)] 
 
(14.9.(8x – 3))/(9.2) = (14.9.(x + 4))/(9.7) 
 
7.(8x – 3) = 2.(x + 4) 
 
56x – 21 = 2x + 8 [ADIÇÃO (–2x + 21)] 
 
56x – 2x = 8 + 21 
54x = 29 [DIVISÃO (54)] 
 
(54x)/54 = 29/54 
 
x = 29/54 
 
05) Ver gabarito 
 
06) Ver gabarito 
 
07) 
 
a) Se chamarmos os dois números de x e y então é verdade 
que x + y =10. Logo podemos representar os dois números 
como x e y = 10 – x. 
 
b) Se chamarmos os dois números de x e y então é verdade 
que x – y =10 ou y – x =10. Logo podemos representar os 
dois números como x e y = x – 10 ou x e y = x + 10. 
 
c) Se chamarmos os dois números de x e y então é verdade 
que x.y =10. Logo podemos representar os dois números 
como x e y = 10/x. Desde que x seja diferente de zero. 
 
d) Se chamarmos os dois números de x e y então é verdade 
que x/y =10 ou y/x =10. Logo podemos representar os dois 
números como x e y = x/10 ou x e y = x.10. Desde que x 
seja diferente de zero. 
 
08) 
 
a) 
 
Segundo o enunciado é possível a seguinte descrição 
(estude-a com cuidado antes de prosseguir): 
 
Número de alunos internos = 4x 
 
Número de alunos semi-internos = 3x 
 
Número de alunos externos = 150 
 
Número total de alunos = 12x 
 
O que permite a escrita da seguinte equação onde cada 
membro da igualdade é igual ao total de alunos da escola 
(seguindo a sua resolução e a resposta do problema): 
 
12x = 4x + 3x + 150 [ADIÇÃO (–4x – 3x)] 
 
12x – 4x – 3x = 150 
 
5x = 150 [DIVISÃO (5)] 
 
(5x)/5 = 150/5 
 
x = 30 
 
RESPOSTA: O número total de alunos da escola é igual 
a 12x = 12.(30) = 360. 
 
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b) 
 
Segundo o enunciado é possível a seguinte descrição com 
valores em patacas (estude-a com cuidado antes de 
prosseguir): 
 
Parte do filho mais velho = 6x 
 
Parte do filho do meio = 3x 
 
Parte do filho mais novo = 2x 
 
Total = 44517 
 
O que permite a escrita da seguinte equação onde cada 
membro da igualdade é igual ao total em dinheiro 
(seguindo a sua resolução e a resposta do problema): 
 
6x + 3x + 2x = 44517 
 
11x = 44517 [DIVISÃO (11)] 
 
(11x)/11 = 44517/11 
 
x = 4047 
 
RESPOSTA: O filho do meio recebeu a quantia de 
3x = 3.(4047) = 12141 patacas. 
 
c) 
 
Segundo o enunciado é possível a seguinte descrição dos 
valores relativos a cada pessoa em castanhas (estude-a 
com cuidado antes de prosseguir): 
 
Primeira pessoa = 2x + 15 
 
Segunda pessoa = 3x 
 
Terceira pessoa = 2.(2x + 15) + 50 = 4x + 80 
 
Total = 455 
 
O que permite a escrita da seguinte equação onde cada 
membro da igualdade é igual ao total em dinheiro 
(seguindo a sua resolução e a resposta do problema): 
 
(2x + 15) + (3x) + (4x + 80) = 455 
 
2x + 15 + 3x + 4x + 80 = 455 [ADIÇÃO (–15 – 80)] 
 
2x + 3x + 4x = 455 – 15 – 80 
 
9x = 360 [DIVISÃO (9)] 
 
(9x)/9 = 360/9 
 
x = 40 
 
REPOSTA: A terceira pessoa recebeu em dinheiro 
4x + 80 = 4.(40) + 80 = 240 castanhas. 
d) 
 
Segundo o enunciado é possível a seguinte descrição dos 
valores de cada parte em unidades (estude-a com muito 
cuidado antes de prosseguir): 
 
Primeira parte = 5x – 5 
 
Segunda parte = 5x + 5 
 
Terceira parte = x 
 
Quarta parte = 25x 
 
Total = 144 
 
O que permite a escrita da seguinte equação onde cada 
membro da igualdade é igual ao total em unidades 
(seguindo a sua resolução e a resposta do problema): 
 
(5x – 5) + (5 + 5x) + (x) + (25x) = 144 
 
5x – 5 + 5 + 5x + x + 25x = 144 
 
36x = 144 [DIVISÃO (36)] 
 
(36x)/36 = 144/36 
 
x = 4 
 
RESPOSTA: 
 
A primeira parte é igual a 5x – 5 = 5.(4) – 5 = 15. 
 
A segunda parte é igual a 5x + 5 = 5.(4) + 5 = 25. 
 
A terceira parte é igual a x = 4. 
 
A quarta parte é igual a 25x = 25.(4) = 100. 
 
e) 
 
Segundo o enunciado é possível a seguinte descrição da 
propriedade de cada um com valores em laranjas (estude-a 
com cuidado antes de prosseguir): 
 
Alberto = 3.(x + 10) = 3x + 30 
 
Benito = x + 10 
 
Carlos = 5x 
 
O enunciado diz ainda que Carlos e Alberto possuem o 
mesmo número de frutas, o que permite a escrita da 
seguinte equação (seguindo a sua resolução e a resposta do 
problema): 
 
5x = 3x + 30 [ADIÇÃO (–3x)] 
 
5x – 3x = 30 
 
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2x = 30 [DIVISÃO (2)] 
 
(2x)/2 = 30/2 
 
x = 15 
 
RESPOSTA: Benito possui x + 10 = (15) + 10 = 25 
laranjas. 
 
f) 
 
Segundo o enunciado é possível a seguinte descrição da 
lotação de cada um dos departamentos com valores em 
funcionários (estude-a com cuidado antes de prosseguir): 
 
A = x + 2 
 
B = 2x 
 
C = 2 
 
O enunciado diz ainda que o departamento B tem tantos 
funcionários quanto os outros dois combinados, o que 
permite a escrita da seguinte equação (seguindo a sua 
resolução e a resposta do problema): 
 
2x = (x + 2) + (2) 
 
2x = x + 2 + 2 [ADIÇÃO (–x)] 
 
2x – x = 2 + 2 
 
x = 4 
 
RESPOSTA: O total de funcionários da loja é igual a 
(x +2) + (2x) + (2) = 3x + 4 = 3.(4) + 4 = 16. 
 
g) Segundo o enunciado é possível a seguinte descrição 
(estude-a com muito cuidado antes de prosseguir): 
 
Total de questões restantes = 10x 
 
Total de questões = 10 + 10x 
 
O enunciado diz ainda que a metade do total de questões é 
igual a nove questões mais três décimos das restantes, o 
que permite a escrita da seguinte equação (seguindo a sua 
resolução e a resposta do problema): 
 
5x + 5 = 9 + 3x [ADIÇÃO (–3x – 5)] 
 
5x – 3x = 9 – 5 
 
2x = 4 [DIVISÃO (2)] 
 
(2x)/2 = 4/2 
 
x = 2 
 
RESPOSTA: O número total de questões é igual a 
10 + 10x = 10 + 10.(2) = 30. 
h) 
 
Observe inicialmente que um terço do ano equivale a 
quatro meses. Vamos escrever (sendo x o valor de cada 
ovelha em patacas) de duas possíveis maneiras o salário 
anual integral devido ao pastor: 
 
Pagamento de um ano = 4x + 14 
 
Pagamento de um ano = 3.(3x + 0,5) = 9x + 1,5 
 
Igualando as duas formas obtemos a seguinte equação (sua 
respectiva resolução e a resposta do problema): 
 
9x + 1,5 = 4x + 14 [ADIÇÃO (–4x – 1,5)] 
 
9x – 4x = 14 – 1,5 
 
5x = 12,5 [DIVISÃO (5)] 
 
(5x)/5 = 12,5/5 
 
x = 2,5 
 
RESPOSTA: Cada ovelha custa x = 2,5 patacas. 
 
i) Sendo x o número de maças, vamos escrever, usando os 
dados do enunciado, de duas possíveis maneiras o capital 
(em patacas) empregado na compra das frutas: 
 
Capital = 0,08x + 1,00 
 
Capital = 0,10x – 25,00 
 
Igualando as duas formas obtemos a seguinte equação (sua 
respectiva resolução e a resposta do problema): 
 
0,10x – 25,00 = 0,08x + 1,00 [ADIÇÃO (–0,08x + 25,00)] 
 
0,10x – 0,08x = 1,00 + 25,00 
 
0,02x = 26,00 [DIVISÃO (0,02)] 
 
(0,02x)/0,02 = 26,00/0,02 
 
x= 1300 
 
RESPOSTA: Eu tenho x = 1300 maças. 
 
j) Sendo x o preço em patacas do metro do tecido, vamos 
escrever de duas possíveismaneiras o capital (em patacas) 
empregado na compra do suprimento: 
 
Capital = 30,0x 
 
Capital = 36.(x – 0,20) = 36,0x – 7,2 
 
Igualando as duas formas obtemos a seguinte equação (sua 
respectiva resolução e a resposta do problema): 
 
 
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36,0x – 7,2 = 30,0x [ADIÇÃO (–30,0x + 7,2)] 
 
36,0x – 30,0x = 7,2 
 
6,0x = 7,2 [DIVISÃO (6,0)] 
 
(6,0x)/6,0 = 7,2/6,0 
 
x = 1,2 
 
RESPOSTA: 
 
O total em dinheiro era de 30x = 30.(1,2) = 36 patacas. 
 
k) 
 
Sendo x o número de bancos, vamos escrever de duas 
possíveis maneiras o número de alunos presentes: 
 
Alunos = 8x + 21 
 
Alunos = 10x – 5 
 
Igualando as duas formas obtemos a seguinte equação (sua 
respectiva resolução e a resposta do problema): 
 
10x – 5 = 8x + 21 [ADIÇÃO (–8x + 5)] 
 
10x – 8x = 21 + 5 
 
2x = 26 [DIVISÃO (2)] 
 
(2x)/2 = 26/2 
 
x = 13 
 
RESPOSTA: 
 
x = 13 bancos e 8x + 21 = 8.(13) + 21 = 125 alunos. 
 
l) 
 
Sendo x o número de tocas, vamos escrever de duas 
possíveis maneiras o número de tatus: 
 
Tatus = 6x + 1 
 
Tatus = 7.(x – 1) = 7x – 7 
 
Igualando as duas formas obtemos a seguinte equação (sua 
respectiva resolução e a resposta do problema): 
 
7x – 7 = 6x + 1 [ADIÇÃO (–6x + 7)] 
 
7x – 6x = 1 + 7 
 
x = 8 
 
RESPOSTA: x = 8 tocas e 6x + 1 = 6.(8) + 1 = 49 tatus. 
 
 
m) 
 
Sendo x o número de gatos, vamos escrever de duas 
possíveis maneiras o número de cães: 
 
Cães = 2x + 1 
 
Cães = 3.(x – 1) = 3x – 3 
 
Igualando as duas formas obtemos a seguinte equação (sua 
respectiva resolução e a resposta do problema): 
 
3x – 3 = 2x + 1 [ADIÇÃO (–2x + 3)] 
 
3x – 2x = 1 + 3 
 
x = 4 
 
RESPOSTA: x = 4 gatos e 2x + 1 = 2.(4) + 1 = 9 cães. 
 
n) 
 
Vamos fixar o minuto em modo SP como unidade para 
medir a fita, o que permite descrever os gastos nesta 
unidade da seguinte maneira: 
 
Em modo EP = 90/3 = 30 
 
Em modo SP = 25 
 
Em modo LP = x/2 
 
Como a fita possui 120 destas unidades, podemos escrever 
a seguinte igualdade: 
 
30 + 25 + x/2 = 120 [ADIÇÃO (–30 – 25)] 
 
x/2 = 120 – 30 – 25 
 
x/2 = 65 [MULTIPLICAÇÃO (2)] 
 
(2x)/2 = 65.2 
 
x = 130 
 
RESPOSTA: Podem ser ainda gravados x = 130 minutos 
em LP. 
 
o) 
 
Vamos utilizar como unidade de volume a própria 
capacidade total do tanque. A primeira torneira em uma 
hora despeja 1/6 tanques, logo em x horas despeja x/6 
tanques. A segunda torneira despeja1/4 tanques por hora, 
logo em x horas despeja x/4 tanques. 
 
Trabalhando conjuntamente, as duas torneiras devem 
despejar um tanque (para encher o reservatório) em x 
horas. O que permite a escrita da seguinte igualdade: 
 
 
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x/6 + x/4 = 1 [MULTIPLICAÇÃO (24)] 
 
(24x)/6 + (24x)/4 = 24 
 
4x + 6x = 24 
 
10x = 24 [DIVISÃO (10)] 
 
(10x)/10 = 24/10 
 
x = 24/10 
 
x = 2,4 
 
RESPOSTA: x = 2,4.60 = 144 minutos. 
 
p) 
 
As idéias do problema anterior ainda são usadas, somente 
tendo o cuidado de representar como negativo o termo 
envolvendo o ralo. Para satisfazer o enunciado os dois 
dispositivos juntos devem produzir uma perda de 4/5 de 
tanque (descrita como –4/5 no segundo membro da 
igualdade a seguir), uma vez que o reservatório (que está 
cheio inicialmente) precisa atingir um quinto da sua 
capacidade (repare que 1/5 – 1 = –4/5) em x horas. Logo: 
 
(x/6) + (–(x/4)) = – 4/5 
 
x/6 – x/4 = – 4/5 [MULTIPLICAÇÃO (120)] 
 
(120x)/6 – (120x)/4 = – 480/5 
 
20x – 30x = –96 
 
– 10x = – 96 [DIVISÃO (–10)] 
 
(–10x)/(–10) = (–96)/(–10) 
 
x = 9,6 
 
RESPOSTA: x = 9,6 horas. 
 
OBERVAÇÃO IMPORTANTE: 
 
Os dois últimos problemas são os mais sofisticados desta 
presente coleção de vinte e seis. Não menospreze nem o 
seu ensino e nem a sua aprendizagem. 
 
A idéia por trás destes dois problemas pode vir disfarçada 
através de uma infinidade de outros possíveis enunciados. 
De modo abstrato a torneira (ralo) pode ser substituída 
(o) por qualquer dispositivo que faz (desfaz) um certo 
trabalho em um tempo dado. O resultado do trabalho 
conjunto de todos os dispositivos envolvidos tendo que se 
combinar forma aditiva. 
 
Um ponto que causa muita dúvida (usando o apresentado 
processo de resolução) é quando se determina o quanto 
despeja cada torneira na unidade de tempo. Basta dividir 
o quanto ela despeja pelo tempo que leva tal processo. 
Por exemplo: Se uma torneira despeja 3/5 tanques a cada 
9/8 unidades de tempo, em uma unidade de tempo ela 
despeja (3/5)/(9/8) = 8/15 tanques. E em x unidades de 
tempo ela despeja (8x)/15 tanques. 
 
q) 
 
Desenhe uma linha reta horizontal e da esquerda para a 
direita marque os pontos (distintos dois a dois) A, B e X (o 
ponto de encontro dos dois trens, os quais se movem 
ambos da esquerda para a direita). Vamos indicar ainda os 
comprimentos reais (em quilômetros) do problema em tal 
figura. O comprimento de AX é igual a x e o comprimento 
de BX é igual x – 72. Não marque o ponto C. Como 
sabemos que AC mede 140, basta fazer ao final da 
resolução x – 140 para responder ao que pede a questão. 
 
O trem A gasta x/60 horas para atingir o ponto X e o trem 
B leva (x – 72)/42 horas para atingir o mesmo ponto. 
Como os dois tempos são iguais (eles se encontram afinal): 
 
x /60 = (x – 72)/42 [MULTIPLICAÇÃO (60.42)] 
 
(60.42.x)/60 = (60.42.(x – 72))/42 
 
42x = 60.(x – 72) 
 
42x = 60x – 4320 [ADIÇÃO (–60x)] 
 
42x – 60x = – 4320 
 
–18x = –4320 [DIVISÃO (–18)] 
 
(–18x)/(–18) = (–4320)/(–18) 
 
x = 240 
 
RESPOSTA: 
 
O encontro se dá a x – 100 = 240 – 140 = 100 quilômetros 
do ponto C e no sentido de A para C. 
 
r) 
 
Desenhe uma linha reta horizontal e da esquerda para a 
direita marque os pontos (distintos dois a dois) A, X (o 
ponto de encontro dos dois trens, os quais se movem em 
sentidos contrários) e B. Vamos indicar ainda os 
comprimentos reais (em quilômetros) do problema em tal 
figura. O comprimento de AX é igual a x e o comprimento 
de BX é igual 72 – x. Não marque o ponto C, como 
sabemos que AC mede 40, basta fazer ao final da 
resolução x – 40 para responder ao que pede a questão. 
 
O trem A gasta x/60 horas para atingir o ponto X e o trem 
B leva (72 – x)/42 horas para atingir o mesmo ponto. 
Como os dois tempos são iguais (eles se encontram afinal): 
 
x /60 = (72 – x)/42 [MULTIPLICAÇÃO (60.42)] 
 
(60.42.x)/60 = (60.42.(72 – x))/42 
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42x = 60.(72 – x) 
 
42x = 4320 – 60x [ADIÇÃO (60x)] 
 
42x + 60x = 4320 
 
102x = 4320 [DIVISÃO (102)] 
 
(102x)/102 = 4320/102 
 
x = 42,35 (aproximadamente) 
 
RESPOSTA: 
 
O encontro se dá a x – 40 = (42,35) – 40,00 = 2,35 
quilômetros do ponto C (aproximadamente) e no sentido 
de A para C. 
 
s) 
 
Como o barco desce o rio com a velocidade de doze 
quilômetros por hora, é verdade que a soma da velocidade 
própria do barco e a velocidade da correnteza é igual a 
doze. O que permite a seguinte descrição: 
 
Velocidade do barco = 12 – x 
 
Velocidade do rio = x 
 
Como o barco sobe o rio com a velocidade de seis 
quilômetros por hora, este valor deve ser também a 
diferença das velocidades do barco e do rio. O que leva a 
seguinte igualdade: 
 
(12 – x) – x = 6 
 
12 – x – x = 6 [ADIÇÃO (–12)] 
 
– x – x = 6 – 12 
 
–2x = – 6 [DIVISÃO (–2)] 
 
(–2x)/(–2) = (– 6)/(–2) 
 
x = 3 
 
RESPOSTA: 
 
A velocidade da correnteza é igual a x = 3 quilômetros 
por hora 
 
t) 
 
Seja x a máxima distância rio abaixo (em quilômetros) a 
ser determinada. O barco gasta x/12 horaspara descer o rio 
e x/6 para voltar. Como tempo máximo disponível é de 
duas horas, escrevemos a seguinte igualdade: 
 
x/12 + x /6 = 2 [MULTIPLICAÇÃO (72)] 
 
(72x)/12 + (72x)/6 = 144 
6x + 12x = 144 
 
18x = 144 [DIVISÃO (18)] 
 
(18x)/18 = 144/18 
 
x = 8 
 
RESPOSTA: 
 
A distância máxima rio abaixo é x = 8 quilômetros. 
 
u) 
 
Pelo enunciado e para uma mesma distância, o barco desce 
o rio na metade do tempo que sobe. Como ele desce 16 
quilômetros em uma hora, a sua velocidade de descida é de 
16 quilômetros por hora. Por outro lado, ele sobe 16 
quilômetros em duas, logo a sua velocidade de subida é 
igual a 8 quilômetros por hora. Donde é imediato que a 
soma da velocidade do barco e do rio é igual a 16 e a 
diferença é igual 8. Justificando o seguinte 
desenvolvimento: 
 
Velocidade do barco = x 
 
Velocidade do rio = 16 – x 
 
x – (16 – x) = 8 
 
x – 16 + x = 8 [ADIÇÃO (16)] 
 
x + x = 8 + 16 
 
2x = 24 [DIVISÃO (2)] 
 
(2x)/2 = 24/2 
 
x = 12 
 
RESPOSTA: 
 
A velocidade do barco é igual a x = 12 quilômetros por 
hora. 
 
v) 
 
Como o número total de animais é igual a 118 (cada 
cabeça corresponde a um animal e vice-versa), podemos 
fazer a seguinte descrição: 
 
Número de patos = x 
 
Número de gatos = 118 – x 
 
A cada gato correspondem quatro patas e a cada pato duas. 
E como o total de patas é 378, podemos escrever a 
seguinte equação: 
 
2x + 4.(118 – x) = 378 
 
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2x + 472 – 4x = 378 [ADIÇÃO (–472)] 
 
2x – 4x = 378 – 472 
 
–2x = –94 [DIVISÃO (–2)] 
 
(–2x)/ (–2) = (–94)/( –2) 
 
x = 47 
 
RESPOSTA: São x = 47 patos e 
118 – x = 118 – (47) = 71 gatos. 
 
w) Como o total de tiros é igual a 32: 
 
Número de tiros certos = x 
 
Número de tiros errados = 32 – x 
 
Cada tiro certo corresponde ao ganho de quatro pratas e 
cada erro corresponde a perda de duas pratas. O que pode 
ser traduzido da seguinte forma (uma vez que o total 
recebido é de 86 pratas): 
 
4x – 2.(32 – x) = 86 
 
4x – 64 + 2x = 86 [ADIÇÃO (64)] 
 
4x + 2x = 86 + 64 
 
6x = 150 [DIVISÃO (6)] 
 
(6x)/6 = 150/6 
 
x = 25 
 
RESPOSTA: Foram x = 25 acertos e 
32 – x = 32 – (25) = 7 erros. 
 
x) Como a soma dos tempos de funcionamento é igual a 
trinta e cinco minutos, é possível a seguinte descrição dos 
tempos de atividade de cada torneira: 
 
Primeira torneira = x 
 
Segunda torneira = 35 – x 
 
Como a primeira a cada minuto entrega sete litros e a 
segunda quatro (totalizando as duas, 200 litros), segue que: 
 
7x + 4.(35 – x) = 200 
 
7x + 140 – 4x = 200 [ADIÇÃO (–140)] 
 
7x – 4x = 200 – 140 
 
3x = 60 [DIVISÃO (3)] 
 
(3x)/3 = 60/3 
 
x = 20 
RESPOSTA: Primeira torneira fica aberta por x = 20 
minutos e a segunda por 35 – x = 35 – (20) = 15 minutos. 
 
y) Como o total de líquido a ser retirado é de 14 litros, 
podemos iniciar com a seguinte representação da 
quantidade usada de cada mistura: 
 
Mistura A = x 
 
Mistura B = 14 – x 
 
Cada litro da mistura A contém 12/30 = 2/5 litros de 
vinho. Logo x litros da mistura A contém (2x)/5 litros de 
vinho. Cada litro da mistura B contém 9/12 = 3/4 litros de 
vinho, logo 14 – x litros da mistura B contém (3.(14 – x))/4 
litros de vinho. E como o total de vinho retirado é de 7 
litros: 
 
(2x)/5 + (3.(14 – x))/4 = 7 [MULTIPLICAÇÃO (20)] 
 
(40x)/5 + (60.(14 – x))/4 = 140 
 
8x + 15.(14 – x) = 140 
 
8x + 210 – 15x = 140 [ADIÇÃO (–210)] 
 
8x – 15x = 140 – 210 
 
–7x = –70 [DIVISÃO (–7)] 
 
(–7x)/(–7) = (–70)/(–7) 
 
x = 10 
 
RESPOSTA: Devem ser retirados x = 10 litros de A e 
14 – x = 14 – (10) = 4 litros de B. 
 
z) 
 
O primeiro cavalo sem a sela custa trinta pratas a mais que 
o segundo com a sela (objeto que vale quinze pratas). 
Logo, desconsiderando a sela, o primeiro vale quarenta e 
cinco pratas a mais do que o segundo: 
 
Primeiro cavalo sem sela = x + 45 
 
Segundo cavalo sem sela = x 
 
O primeiro com a sela vale tanto quanto o dobro do 
segundo sem a sela: 
 
2x = (x + 45) + (15) 
 
2x = x + 45 + 15 [ADIÇÃO (–x)] 
 
2x – x = 45 + 15 
 
x = 60 
 
RESPOSTA: O segundo cavalo vale x = 60 pratas e o 
primeiro cavalo x + 45 = 105 pratas. 
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