Questão resolvida - Determine a área da superfície obtida pela rotação da parte da curva yx entre x1 e x2 ao redor do eixo x - aplicação de integral - cálculo I

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
Visite meu perfil no site Passei Direto e confira mais questões: 
https://www.passeidireto.com/perfil/tiago-pimenta/
 
• Determine a área da superfície obtida pela rotação da parte da curva entre y = x3
 e ao redor do eixo .x = 1 x = 2 x
 
Resolução:
 
Se trata de um polinômio do 3° grau que passa na origem dos eixos coordenados, queremos 
a área da superficial do sólido que gira em trono do eixo ;x
 
A área superficial de sólidos que giram em torno de um eixo é dada pela expressão;
 
A = 2𝜋f x dxS
b
a
∫ ( ) 1 + f' x( ( ))2
 
 
 
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
y = x3
Gira
Área
Primeiro, fazemos a derivada da função ;f x( )
 
f x = x f' x = 3x( ) 3 → ( ) 2
 
Os limites de integração são: a = 1 e b = 2
 
Com isso, a área superficial do sólido que desejamos calcular é dada por;
 
A = 2𝜋x dx = 2𝜋 x dxS
2
1
∫ 3 1 + 3x2 2
2
1
∫ 3 1 + 3 x( )2 2 2
 
A = 2𝜋 x dxS
2
1
∫ 3 1 + 9x4
 
Vamos resolver a integral de 1 em sua forma indefinida e sem a constante ;2𝜋
 
I = x dx = x dx∫ 3 1 + 9x4 ∫ 1 + 9x4 3
 
Esse integral é reslvida usando-se a técnica de substituição simples, então, fazemos;
 
u = 1 + 9x du = 4 ⋅ 9x dx du = 36x dx 36x dx = du x dx =4 → 3 → 3 → 3 → 3
du
36
Substituindo em , vem;I
 
I = x dx = = u du = + c = + c∫ 1 + 9x4 3 ∫ udu
36
1
36
∫
1
2
1
36
u
+ 1
+1
1
2
1
2
1
36
u
1 + 2
2
1+2
2
 
 
(1)
 
mas u = 1 + 9x , então;→ 4
 
I = 1 + 9x + c
1
54
4 1 + 9x4
 
Voltando para a integral em sua forma indefinida, é área superficial fica;
 
A = 2𝜋 x dx = 2𝜋 1 + 9x = 1 + 9xS
2
1
∫ 3 1 + 9x4 1
54
4 1 + 9x4
2
1
2𝜋
54
4 1 + 9x4
2
1
 
A = 1 + 9x = 1 + 9 2 - 1 + 9 1S
𝜋
27
4 1 + 9x4
2
1
𝜋
27
( )4 1 + 9 2( )4
𝜋
27
( )4 1 + 9 1( )4
 
A = 1 + 9 ⋅ 16 - 1 + 9 ⋅ 1S
𝜋
27
( ) 1 + 9 ⋅ 16
𝜋
27
( ) 1 + 9 ⋅ 1
 
A = A = 1 + 144 - 1 + 9S S
𝜋
27
( ) 1 + 144
𝜋
27
( ) 1 + 9
 
A = ⋅ 145 - ⋅ 10 = - ⋅ 10S
𝜋
27
145
𝜋
27
10
145𝜋
27
145
𝜋
27
10
 
A = 29 - 2 u. a.S
5𝜋
27
145 10
 
 
I = + c = u + c = u + c = u + c = u + c = u ⋅ u +
1
36
u
3
2
3
2
1
36
2
3
3
2
1
18
1
3
3
2
1
54
3
2
1
54
3
1
2 1
54
2
1
2
 
 I = u ⋅ u + c = u ⋅ u + c = + c
1
54
2
1
2 1
54
2
1
2
( )
1
2
1
54
u2 u
 I = u + c
1
54
u
18
(Resposta )