Leis de Newton e Dinâmica

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Capítulos 4 e 5 – Leis de Newton e suas 
Aplicações 
• Até agora, cinemática: estudo do movimento sem se preocupar 
com suas causas 
 
• O estudo das causas do movimento é a Dinâmica 
 
• Princípios da Dinâmica foram sintetizados por Isaac Newton em 
sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (”Princípios 
Matemáticos da Filosofia Natural”) 
método inverso das fluxões, e, no mesmo ano, eu comecei a pensar na gravidade 
como se estendendo até a órbita da Lua, e, a partir da regra de Kepler, de que os 
períodos dos planetas estão numa proporção sesquiáltera com suas distâncias do 
centro de suas órbitas, eu deduzi que as forças que mantêm os planetas em 
órbitas devem ser inversamente proporcionais ao quadrado de sua distância do 
centro em torno do qual eles giram: e, a partir disso, eu comparei a força 
necessária para manter a Lua em sua órbita com a força da gravidade na superfície 
da Terra, e, eu descobri que elas se correspondem bem de perto. Tudo isso 
aconteceu nos dois anos da peste, 1665-1666. Pois, nessa época, eu estava no 
auge de minha fase de invenção e interessava-me mais pela matemática e pela 
filosofia do que em qualquer ocasião posterior.” 
Sir Isaac Newton (1643-1727) 
“No início do ano de 1665, eu descobri o 
método das séries aproximadas e a regra 
para reduzir qualquer potência de 
qualquer binômio. No mesmo ano, em 
maio, eu descobri o método das tangentes 
de Gregory & Slusius, e, em novembro, 
alcancei o método direto das fluxões, e, 
no ano, seguinte, em janeiro, a teoria das 
cores, e, no maio seguinte, desvendei o 
Os anos “miraculosos” da peste 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg�
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Newton_-_Principia_(1687),_title,_p._5,_color.jpg�
Tycho Brahe 
(1546-1601) 
Johanes Kepler 
(1571-1630) 
Galileu Galilei 
(1564-1642) 
Isaac Newton (1642-1727) 
Precursores 
“Se vi mais longe, foi porque estava 
sobre os ombros de gigantes” 
http://scienceworld.wolfram.com/biography/photo-credits.html�
 
• Forças são as causas das modificações no movimento 
 
• Noção intuitiva de força (“puxar” ou “empurrar”) 
 
• Forças surgem da interação entre objetos e partículas 
 
4.1 – Força e interações 
5.5 – As forças fundamentais da natureza 
Quantas interações distintas existem? 
Gravitacional: 
física “da Terra” e “dos céus”
 
Eletromagnética: 
eletricidade, magnetismo, luz 
Nuclear forte: 
estabilidade dos núcleos atômico
 
Nuclear fraca: 
decaimento beta 
(neutron -> próton + elétron + 
antineutrino) 
Interações fundamentais da natureza 
Unificação das forças 
El
et
ro
fr
ac
a 
(a
no
s 
60
) 
G
U
T 
(T
eo
ria
s 
da
 G
ra
nd
e 
U
ni
fic
aç
ão
)?
 
Classificação Geral das Forças (para Física I...) 
Forças de contato: normal, de atrito, tensão numa corda... 
Na verdade, são diferentes manifestações da interação 
eletromagnética... Afinal, o que é “contato”? 
AFM (microscópio de força atômica) 
Forças de longo alcance: gravitacional, Lei de Coulomb, etc. 
Como medir forças? Dinamômetro 
∆x 
d
in
a
m
ô
m
e
tr
o
 F 
2∆x 
2F 
−∆x 
-F 
Forças são grandezas vetoriais 
Superposição 
1F

2F

3F

1F

2F

3F

Força 
resultante 
R

∑=++= FFFFR

321
Decomposição 
yyy
xxx
FFR
FFR
FFR
21
21
21
+=
+=
+=

4.2 – Primeira lei de Newton 
Aristóteles: força constante para velocidade constante 
Galileu: Princípio da Inércia 
 
h h 
h 
1a. Lei de Newton (Lei da Inércia): quando a força resultante sobre 
um corpo é zero, ele permanece em repouso ou se move com 
velocidade constante (aceleração nula) 
Os referenciais onde a 1a. Lei é 
válida são conhecidos como 
referenciais inerciais 
Como conseqüência, todo 
referencial que se move com 
velocidade constante em relação 
a um referencial inercial é 
também um referencial inercial 
A primeira lei não é válida em 
referenciais acelerados: 
Exemplo: pessoa deslizando de patins 
dentro de um trem acelerado: 
A Terra é um referencial inercial? 
R
varad
2
=
m/s 464
h24
2
km 6378
==
=
Rv
R
π
A Terra não é um referencial inercial, mas pode ser aproximada como 
tal se as acelerações em questão forem muito maiores que a 
aceleração centrípeta 
Aceleração de um objeto sobre a linha do Equador: 
garad 0034,0=
Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics” II.1 
 
4.3 – Segunda lei de Newton 
 Um corpo sob a ação de uma força resultante não nula 
sofre uma aceleração 
Para um determinado 
corpo, dobrando-se a 
força dobra-se a 
aceleração: 
2 2
1 1
a F
a F
=
A aceleração é proporcional 
 à força 
Para uma determinada 
força, dobrando-se a 
quantidade de matéria do 
corpo, sua aceleração cai 
pela metade: 
1 2
2 1
a m
a m
=
A aceleração é inversamente 
proporcional à massa 
(quantidade 
de matéria do corpo) 
2a. Lei de Newton: quando a força resultante externa atua sobre 
um corpo, ele se acelera. A aceleração resultante possui a mesma 
direção e o mesmo sentido da força resultante. O vetor força 
resultante é igual ao produto da massa do corpo pelo vetor 
aceleração do corpo. 
amF 

=∑
• Equação fundamental da Mecânica 
• Vale apenas se a massa do objeto é constante 
• Vale apenas em referenciais inerciais 
• Limites de validade: velocidades muito mais baixas que a da 
luz e partículas “não muito leves” 
Unidade S.I. de força: newton (N) = kg.m/s2 
4.4 – Massa e peso 
amF 

=∑
• Massa como medida da inércia (capacidade de resistir a tentativas 
de variações de velocidade): massa inercial 
• Mede a quantidade de matéria de um objeto 
Peso: força de atração gravitacional exercida pela Terra 
sobre um corpo 
gmP 

= : define a massa gravitacional 
Experiências mostram a equivalência entre 
massa inercial e massa gravitacional com 
precisão maior que uma parte em 1012 
4.5 – Terceira lei de Newton 
Forças resultam da interação mútua entre corpos: “quando um corpo 
A exerce uma força sobre um corpo B (“ação”), então o corpo B 
exerce uma força sobre o corpo A (“reação”). Essas duas forças têm o 
mesmo módulo e a mesma direção, mas possuem sentido contrários.” 
 
Essas duas forças atuam em corpos diferentes! 
A em BB emA FF

−=
Exemplo: de quanto a Terra “sobe” quando uma massa de 1kg cai 
de uma altura de 100m? 
gm
gm−
Tempo de queda: 
s 5,4
m/s 8,9
m 2002
2
1
2
2 ===⇒=
g
htgth
Aceleração da Terra: 
T
TTT M
mgaaMmg =⇒=
224
24
m/s 1063,1
kg 1002,6
−×=
×=
T
T
a
M
!!m! 107,1
2
1 232 −×==∆ tay TT
Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics” II.3 
 
4.6 – Diagramas do corpo livre 
Técnica essencial para resolução dos problemas de dinâmica: 
 
1. Isolar os corpos relevantes 
2. Desenhar em cada corpo, “livre” de sua vizinhança, todas as 
forças que atuam sobre ele 
3. Lembre-se: forças do par ação e reação atuam sobre corpos 
distintos e não é uma das forças. am
Exemplo: 
Carro 
Balde 
Diagrama de corpo 
livre para o balde 
Diagrama de corpo 
livre para o carro 
Vídeos: “Physics Demonstrations in Mechanics” IV.2, IV.6 
 
5.1 – Uso da primeira lei de Newton: partículas 
em equilíbrio 
Exemplos: Y&F 5.2, 5.3 e 5.5 
5.2 – Uso da segunda lei de Newton: dinâmica 
das partículas 
Exemplo: Y&F 5.9 (peso aparente) 
Peso aparente: 
 )( yagmN +=
Vôos parabólicos: (peso aparente zero) 
gay −=
5.3 – Forças de atrito 
Força de atrito cinético: 
• Tangencial à superfície 
• Sentido oposto ao movimento relativo entre as duas superfícies 
• Módulo proporcional à força normal (Lei de Amontons): não 
depende da área de contato! 
cf

vNf cc µ=
Coeficiente de 
atrito cinético 
N

Força de atrito estático: 
• Atua quando não há movimento relativo entre as duas superfícies 
• Sentido oposto à “tendência ao movimento” (o que em alguns casos 
pode não ser trivial de se identificar) 
• Módulo variável: obtido de modo a cancelar todas as demais forças 
tangenciais e manter o sistema em equilíbrio 
• Módulo máximo:Nff sss µ=≤ max, Coeficiente de atrito estático 
cs µµ >
Força necessária para iniciar o movimento é maior do 
que aquela necessária para mantê-lo com velocidade 
constante 
Medindo o coeficiente de atrito estático: plano inclinado com ângulo 
variável 
Aumenta-se o ângulo de inclinação até 
o bloco começar a se mover. No limiar 
do movimento, temos: 
sf

Nff sss µ== max,
Decompondo-se as forças: 
x
y
θcosmgPy −=
θsenmgPx −=
Equilíbrio: 




=
=
∑
∑
0
0
y
x
F
F



=−
=−
0cos
0sen
θ
θµ
mgN
mgNs 0sencos =−⇒ θθµ mgmgs
θµ tg=s
Resistência de um fluido e velocidade terminal: 
Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics” II.4 
 
Força de resistência: 
• Sentido contrário ao da velocidade do 
objeto em relação ao fluido 
• Módulo: 
 



≈
≈
es) velocidad(altas 
es) velocidad(baixas 
2Dvf
kvf
Vamos supor que estamos sempre no regime de baixas velocidades. 
Pela 2a. Lei de Newton: 
yyy makvmgF =−=∑
Quando o sistema atingir a velocidade terminal, a aceleração será 
nula, de modo que: 
0=− tkvmg k
mgvt =⇒ (velocidade terminal) 
Solução para todo t : 
dt
dv
mmakvmg yyy ==−
y
y kvmg
dt
dv
m −=
Usando: 
k
mgvt =
dt
m
k
vv
dv
ty
y −=
−
Integrando: ∫∫ ′−=−′
′ tv
ty
y td
m
k
vv
vdy
00
t
m
k
v
vv
t
yt −=
−
⇒ ln
( )[ ]tmkty evv −−= 1
5.4 – Dinâmica do movimento circular 
No movimento circular uniforme, a força 
resultante sobre uma partícula de massa 
m é também centrípeta e tem módulo 
igual a: 
R
vmF
2
=∑

Exemplos: Y&F 5.21, 5.23 
Próximas aulas: 
6a. Feira 02/09: Aula de Exercícios (sala A-327) 
6a. Feira 09/09: Aula de Exercícios (sala A-327) 
4a. Feira 14/09: Aula Magna (sala A-343) e teste dos Caps. 4 e 5 
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