Física Moderna 1 - A Relatividade Restrita

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FÍSICA MODERNA I - A RELATIVIDADE RESTRITA
1 a Lista de Exercíos T – 01 (2008/02)
1. Poderia um experimento mecânico realizado em um dado sistema de referência revelar alguma informação
acerca da aceleração deste referencial em relação a um referencial inercial? Justifique?
2. Ocorre conservação do momento em uma colisão de dois objetos quando medido por um observador dentro de
um trem em movimento uniforme. Mostre que o momento também é conservado para um observador no solo.
3. Repita o problema anterior, considerando agora que após a colisão as massas dos dois objetos são diferentes
daquelas que eram antes, isto é, ocorreu uma transferência de massa durante a colisão. Mostre que para existir
conservação do momento para o observador no solo, a conservação da massa dever ser válida.
4. A energia cinética é conservada em uma colisão elástica por definição. Mostre utilizando as equações da
transformação de Galileu, se uma colisão é elástica em um referencial inercial ela será elástica em todos os
referenciais inerciais.
5. Mostre que a equação da onda eletromagnética
∂2
∂x2
 ∂
2
∂y2
 ∂
2
∂z2
− 1
c2
∂2
∂t2
 0,
onde c é a velocidade da luz no vácuo é invariante sob a transformação de Lorentz
x ′  x − vt
1 − 2
y ′  y
z ′  z
t ′  t − /cx
1 − 2
,
onde   v/c sendo v velocidade relativa entre dois referenciais inerciais.
1. Poderia um experimento mecânico realizado em um dado sistema de referência revelar alguma
informação acerca da aceleração deste referencial em relação a um referencial inercial? Justifique?
O Princípio da Equivalência
Visão de Newton do Universo: espaço é uma “entidade” imutável, com geometria Euclidiana. No espaço
Euclidiano, a menor distância entre dois pontos é uma reta, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180∘ e a
circunferência de um círculo é 2r onde r é o raio.
Newton definiu a “massa gravitacional” de um objeto, como uma propriedade tal que a força gravitacional entre
dois objetos de massas gravitacionais MG e mG é:
F  G MGmG
|rMn |
3 rMn,
é uma força central sempre atrativa onde r  rm − rM e G é a constante gravitacional.
Newton também definiu a “massa inercial” mI dizendo que um corpo ao qual se aplica uma força responde com
uma aceleração a. A partir de sua segunda lei tem-se que:
F  mIa, (para mI constante)
onde a e a aceleração adquirida pela massa mI.
Para um corpo de massa mi em queda livre nas vizinhanças da superfície da Terra
F  G MTmG
i
r2
 mIia,
o que leva uma aceleração
a  GMT
r2
mGi
mIi
,
onde G é a constante de gravitação universal, MT e a massa da Terra e r ≃ RT o raio da Terra
Experimentalmente a aceleração em queda livre (no vácuo) é igual para todos os corpos: a aceralarão a independe
do corpo i, ou de modo equivalente
mGi
mIi
 constante,
independete do corpo i. Tomando esta constante como 1, a partir de uma escolha apropriada de G, chega-se a
mGi  mIi .
As primeiras experiências estabelecendo que a aceleração na queda livre é a mesma para todos os corpos podem ter
sido feitas por Galileu, soltando objetos de cima da Torre de Pisa. Ele também imaginou a seguinte experiência: um
prédio está em chamas e um homem carregando uma criança machucada pula do teto para um cobertor esticado. Se o
homem por acidente solta a criança, quem chega ao cobertor primeiro? Para Galileu, ambos iriam chegar juntos.
Isto foi ilustrado mais claramente por D. Scott, da missão Apollo 15, ao deixar cair no mesmo instante uma pena e
um martelo na lua. Ambos objetos caem juntos e chegam no chão no mesmo instante. Hoje em dia, a igualdade entre
massa inercial e massa gravitacional é testada com grande precisão
Eötvos
Dicke
uma diferença  1  10−12,
na mecânica clássica, não há explicação para isso.
Einsten alguns anos depois de enunciar a teoria da Relatividade Restrita e querendo aplicá-la à Gravitação, ainda
no seu escritório de patentes em Berna se deu conta que esta igualdade não era óbvia: a propriedade de um objeto que
determina quão fortemente ele é atraído pela força gravitacional é igual à propriedade que determina sua resistência à
aceleração por qualquer força (não só a gravitacional)?
Einstein teve então o que ele chamou de idéia mais feliz de sua vida: “esta lei... da igualdade da massa inercial e da
massa gravitacional foi então percebida por mim com todo o seu significado. Fiquei abismado com sua existência e
conjecturei que ela deveria conter a chave para uma compreensão mais profunda da inércia da gravitação”.
Esta igualdade é o “Princípio da Equivalência”, o qual levou Einstein a propor a teoria da Relatividade Geral, cujos
princípios fundamentais são:
1. Todas as interações (inclusive a gravitacional) se processam com velocidade máxima igual à da luz no vácuo.
Não existe ação instantânea à distância. (este princípio é também da Relatividade Restrita).
2. Princípio da Equivalência: não é possível distinguir entre um campo gravitacional e um referencial acelerado.
Em ambos os casos, devemos observar os mesmos fenômenos físicos. A experiência de um corpo em queda livre num
campo gravitacional constante é equivalente à experiência feita por um outro observador em um referencial cuja
aceleração seja idêntica
Considerando-se dois referenciasi:
1) Um referencial inercial não acelerado no qual existe um campo gravitacional uniforme;
2) Um referencial acelerado mas no qual não existe um campo gravitacional.
Estes dois referenciais são equivalentes.
Se este princípio fosse restringido à mecânica, seria uma consequência da mecânica newtoniana devido a mG  mI.
O que Einstein fez foi sugerir que nenhuma experiência de mecânica, eletromagnetismo, etc., permite distinguir
S de S’. As experiências seguintes foram imaginadas por Einstein para ilustrar seu Princípio de Equivalência.
Supondo-se um elevador em repouso num referencial inercial S no qual existe um campo gravitacional uniforme,
por exemplo, na superfície da Terra.
Se o observador soltar um objeto, ele cai com aceleração g.
Um objeto em repouso, por exemplo, o observador sentado
no chão, sente uma força que se opõe ao seu peso (a força
normal reação do piso do elevador devido ao peso do objeto).
Agora o observador está numa nave no espaço, longe de campos gravitacionais, acelerando com a  −g em relação
a S . A nave é o referencial S′.
Se o observador soltar um objeto dentro da nave este será
acelerado para baixo com aceleração −a  g. O astronauta
em repouso sente uma força similar àquela que equilibrava
seu peso no caso anterior.
As duas situações são equivalentes!!!
Supondo agora que o elevador inicial está suspenso por um cabo e que este cabo se rompe.
O observador flutua e se ele solta um objeto perto dele,
este também flutua (até que ambos atingem o chão):
Queda Livre!!
No caso da nave anterior e supondo que os motores são desligados. A nave passa a se deslocar com velocidade
constante e aceleração nula.
O observador flutua e se ele solta um objeto perto dele,
este também flutuará
Novamente as duas situações são equivalentes!!!
Observação 1: não é só numa nave com motor desligado, que se observa este estado de “flutuar”. Num laboratório
espacial posto em órbita circular ao redor da Terra pela gravitação (da mesma maneira que a lua gira ao redor da
Terra) o astronauta e seus pertences flutuam.
Observação 2: Newton mostrou que quando um corpo (como um planeta, um cometa, etc.) se move em torno de
um centro de força (como o Sol) para o qual é atraído por uma força que varia com , a trajetória pode ser uma elipse,
ou uma parábola, ou uma hipérbole, dependendo da energia do corpo. Quando deixamos cair um objeto na Terra,
observa-se apenas um pedaço da trajetória.
Newton imaginou atirar projéteis com velocidade horizontal cada
vez maior, até eles entrarem em órbita ao redor da Terra.
Corolário do Princípio da Equivalência: campos gravitacionais devem provocar deflexão num feixe de luz: se
você portaruma lanterna e emitir um facho de luz perpendicularmente à direção da aceleração, e se a nave está sendo
acelerada para cima, você vai ver o facho de luz se curvar para baixo. Como não há como distinguir esta aceleração
para cima da provocada por um campo gravitacional, a conclusão que Einstein chegou é que a trajetória dos fótons são
desviadas na presença de um campo gravitacional. Na linguagem da relatividade geral, “o campo gravitacional
introduz uma curvatura no espaço que faz com que o feixe de luz siga uma geodésica que não é uma linha reta”.
Seja uma nave acelerada onde entra um raio de luz em A e sai em B, como mostra a figura a seguir, onde o ângulo
 está representado exageradamente grande para facilitar a ilustração
ℓ  R sen ≅ R ( pequeno)
tg 
2
 hℓ 
1
2
gt2
ℓ
o tempo gasto pela luz
t ≅ ℓc → tg

2
 1
2
gℓ
c2
tg 
2
≅ 
2
 1
2
gℓ
c2
  gℓ
c2
, portanto
R ≅ ℓ 
c2
g ( o raio da curvatura da luz)
Einsten teve outro “insight” com base no “Princípio de Fermat” da óptica: “a luz viaja entre dois pontos pela
trajetória que minimiza o tempo de viagem”. No espaço Euclidiano, esta trajetória é uma reta. Entretanto, na presença
da gravidade, a trajetória é curva, o que fez Einstein concluir que o espaço não é Euclidiano. A presença da massa
curva o espaço.
O desvio da luz ao passar por um campo gravitacional produz o efeito conhecido como “lentes gravitacionais”. O
princípio está ilustrado abaixo:
Curvatura do espaço-tempo:
Na teoria da relatividade geral, massa e energia são equivalentes, através da famosa equação:
E  mc2.
Além disso, espaço e tempo formam um espaço-tempo tetradimensional (visão de Newton: duas entidades separadas).
Visão de Einstein: “a presença da matéria-energia causa a curvatura do espaço-tempo”.
Como funciona a gravidade:
a) Segundo Newton: A massa “diz” para a Gravidade como exercer uma Força e a Força “diz” para a Massa como
se Acelerar.
F  G Mm
r3
r (atrativa e instântanea)
b) Segundo Einstein: A Massa-Energia “diz” para o Espaço-Tempo como se curvar e o Espaço-Tempo Curvo “diz”
para a Massa-Energia como se mover.
Então se deixarmos um objeto cair dentro da nossa caixa acelerada, há 3 possíveis interpretações: (1) A caixa está
parada (ou com velocidade constante) e o objeto está acelerado para baixo por uma força gravitacional constante; (2)
O objeto está parado (ou com velocidade constante) e a caixa está acelerada para cima a uma taxa constante ou (3) o
objeto está simplesmente seguindo uma geodésica no espaço-tempo.
Na descrição Newtoniana mG  mI é uma coincidência (o Princípio da Equivalência). Na descrição de Einstein da
Relatividade Geral, não é coincidência, a aceleração de um objeto é independente da sua massa e da sua composição.
O objeto simplesmente segue uma geodésica, o que é ditado pela geometria do espaço-tempo.
Na Teoria Newtoniana: MI  MG não é necessário.
Na Relatividade Geral: MI  MG absolutamente necessária → Princípio da Eqüivalência - Gravitação é equivalente
a aceleração.
O Princípio da Eqüivalência é um postulado fundamental da Teoria de Einstein da Relatividade Geral. Na qual a
gravidade é interpretada como uma curvatuva no espaço-tempo.
Karl Schwarzschild (1873-1916).
Geodésica: A mais curta linha entre dois ponto que estão em um dada superfície. Curvatura espaço-tempo
Nova Teoria - Relatividade (A. Einstein)
Relatividade Restrita (Referenciais Inerciais)
Relatividade Geral (Referenciais não Inerciais)
Espaço-Tempo → Curvo
* Efeitos são muito pequenos para v  c;
* Não é detectável na mecânica básica a ser estudada.
Outra Teoria nova: Mecânica Quântica
* Partículas elementares: distâncias e tempos curtos , v~c.
R. Sim. A dinâmica de uma partícula pode incluir também Forças Inerciais (por exemplo, a centrifuga).
Neste caso a resultante das forças é zero, o momento continua sendo constante, mas o referencial é não inercial.
Por isto a necessidade de se definir inicialmente o que é referencial inercial.
2. Ocorre Conservação do Momento Linear em uma colisão de dois objetos quando medido por um
observador dentro de um trem em movimento uniforme. Mostre que o momento também é conservado para
um observador no solo.
Colisões
1. Condições
Um evento é uma colisão se:
(a) O tempo de colisão Δt é muito menor que o tempo de observação ΔT
Δt  ΔT (instantânea).
O tempo pode ser separado em antes, durante  após a colisão.
(b)
|Iext |  |Icolisão |,
o impulso externo pode ser desprezado e o momento é conservado.
Quando dois objetos colidem as forças que exercem entre si atuam somente por um tempo muito curto.
Estas forçcas são chamadas de Forças Impulsivas ou Impulsos.
Durante a colisão o impulso produz uma grande variação no movimento do objeto enquanto quaisquer outras
forças externas presente produzem apenas pequenas mudanças, na direção do impulso, geralmente desprezívies.
A partir da 2 a Lei de Newton
dp
dt
 F ext,
onde p é o momento do objeto e F ext aplicada ao objeto
Durante o intervalo de tempo dt, o momento varia por
dp  Fdt,
integrando-se sobre o tempo de colisão

pi
pf dp  pf − pi  
ti
tf Ftdt

ti
tf Ftdt  I (Impulso)
Impulso  Área sob a curva.
Portanto
Δp  pf − pi  I,
a variação no momento em um objeto é igual ao impulso atuando sobre ele.
Pode-se também considerar uma força média Fm que atua no mesmo intervalo de tempo, Δt  tf − ti, que produz o
mesmo impulso e consequentemente a mesma variação de momento. A força média é calculad a partir da expressão
Fm  1Δt  ti
tf
Ftdt,
esta é força média entre ti e tf. Então
FmΔt  
ti
tf Ftdt  I
FmΔt  pf − pi  I.
2. Classificação das Colisões
2.1 Colisões Elásticas
(a) As Forças de Interações são todas Conservativas.
(b) O Momento Total é Conservado.
P i  P f,
onde P i e P f são os momentos totais inicial e final respectivamente.
(c) A Energia Cinética é a mesma antes e após a colisão.
Ki  Kf
1
2
m1v1i
2  1
2
m2v2i
2  1
2
m1v1f
2  1
2
m2v2f
2 .
2.1 Colisões Inelásticas
(a) O Momento Total é Conservado.
P i  P f,
(b) A Energia Cinética após a colisão é menor do que antes da colisão
Ki ≠ Kf,
uma parte da energia é absorvida e covertida em outras formas.
Se a quantidade de energia cinética absorvida é um máximo permitodo pela conservação do momento, a colisão é
dita ser Perfeitamente Inelástica.
Os objetos juntam-se após a colisão. Não resta nenhuma energia cinética interna apenas a energia cinética do
Centro de Massa.
Para colisões (elásticas ou inelásticas) envolvendo objetos isolados, a o momento sempre é conservado.
Na prática quase todas as colisões são inelásticas em algum grau. Portanto para se resolver problemas de colisões
inelásticas é necessário saber quanta energia é ´perdida.
Problemas envolvendo colisões perfeitamente inelásticas (colisões aderentes). A conservação do momento dar a
resposta.
A equação
m1v1i  m2v2i  m1v1f  m2v2f,
é válida para todas colisões de dois objetos isolados.
Na figura seguir um diagrama esquemático do problema de dois referenciais inerciais
v = cte.m1 m2
v'1i v'2i
y'y S S'
O
O'
vt
Trem
Solo
x1i x2i
x'1i x'2i
Para t  0 s e/ou v  0 m/s
O ′ ≡ O, x1i′  x1i e x2i′  x2i
v é a velocidade relativa de S ′ com
relação a S.
Para haver colisão dentro do trem é necessário que v1i
′  v2i′ (mesma direção e sentido). Durante a colisão o
impulso devido a colisão é muito maior que o impulso devido as forças externas O momento linear total dentro do
trem (referencial S’) antes e após a colisão são iguais, isto é, se conserva (na direção x).
P i′  P f′
m1v1i
′  m2v2i′  m1v1f′  m2v2f′ , 1
conservação do momento linear (na direçao x) medida dentro no referencial S ′ (dentro do trem), onde P i′ e P f′ são os
momentos lineares finais iniciais. As velocidades v1i, v2i, v1f e v2f podem ser postivas, negativas ou nulas.
Supondo que o trem move-se na direção x e v1i e v2i estão na mesma direção e sentido de v. Utilizando a
transformação de Galileu
x ′  x − vt
y ′ y
z ′  z
t ′  t,
tem-se tempo absoluto (t ′  t) então x ′t ′, a posição em relação O ′ (dentro do trem) medida no tempo t ′, medida no
referencial O (no solo) dada por
x ′t ′  xt ′ − vt ′,
como t ′  t tem-se que
x ′t ′  xt − vt,
logo a distância ente dois pontos é dada por
xf
′tf′ − xi′ti′  xftf′ − vtf′ − xiti′ − vtf′,
xf
′tf′ − xi′ti′  xftf − vtf − xiti − vtf
para medidas simultâneas tf
′  ti′  t ′  t  ti  tf
xf
′ − xi′  xf − vt − xi − vt
xf
′ − xi′  xf − xi
Δx ′  Δx,
os dois observadores medirão a mesma distância entre dois pontos. sem dilatação nem contração espacial na direção
do movimento (direção x)
Portanto para o objeto 1
x1i
′  x1i − vt e t ′  t
a velocidade em S ′
dx1i
′
dt ′
 dx1i
dt ′
− v dt
dt ′
,
utilizando a regra da cadeia
v1i
′  dx1i
dt
dt
dt ′
− v dt
dt
dt
dt ′
v1i
′  v1i − v 2,
a velocidade inicial do objeto 1 medida em relação ao referencial S ′ (no trem ) é igual a velocidade do mesmo objeto
medida em relação ao referencial S (no solo) subtraida da velocidade relativa v entre os dois referenciais.
Por analogia para o objeto 2
v2i
′  v2i − v 3,
As velocidades finais em relação ao referencial S ′
v1f
′  v1f − v 4 e
v2f
′  v2f − v 5,
substituindo-se na equação (1)
m1v1i
′  m2v2i′  m1v1f′  m2v2f′
m1v1f′ − v1i′   −m2v2f′ − v2i′ 
ΔP1′  −ΔP2′ ,
a força no referencia S ′ que atua em m1 durante a colisão no intervalo de tempo Δt é igual em modulo e de sentido
contrário a força que atua em m2 F1′  −F2′
Portanto
Δv1′  v1f′ − v1i′
Δv1′  v1f − v − v1f − v
Δv1′  Δv1,
como a massa m1 é constante tanto em S como em S ′.
m1Δv1′  m1Δv1
ΔP1′  ΔP1,
a variação do momento m1 é a mesma em ambos referenciais inerciais. Apesar de v1f′ − v1i′   v1f − v1i não significa
necessariamente que v1f
′ é igual v1i e que v2f
′ e igual v2i
′ .
Por analogia para a massa m2
Δv2′  v2f′ − v2i′
Δv2′  v2f − v − v2f − v
Δv2′  Δv2
ΔP2′  ΔP2,
como existe conservação do momento no referencial S ′ ΔP1′  −ΔP2′ então
ΔP1  −ΔP2
m1v1f − v1i  −m2v2f − v2i
m1v1i  m2v2i  m1v1f  m2v2f,
ou seja
Pi  Pf,
o observador no solo também observa conservação do momento.
3. Repita o problema 2, considerando agora que após a colisão as massas dos dois objetos são diferentes
daquelas que eram antes, isto é, ocorreu uma transferência de massa durante a colisão. Mostre que para existir
conservação do momento para o observador no solo, a conservação da massa dever ser válida.
Sendo
P i′  P f′
m1iv1i
′  m2iv2i′  m1iv1f′  m2iv2f′ , 1
no sistema S ′ (no trem). Da transformação de Galileu
x ′  x − vt
y ′  y
z ′  z
t ′  t,
obtem-se as equações das velocidades
v1i
′  v1i − v 2
v2i
′  v2i − v 3
v1f
′  v1f − v 4 e
v2f
′  v2f − v 5,
substituindo-se estas equações na equação (1)
m1iv1i
′  m2iv2i′  m1iv1f′  m2iv2f′
m1iv1i − v  m2iv2i − v  m1fv1f − v  m2fv2f − v
m1iv1i  m2iv2i − vm1i  m2i  m1fv1f  m2fv2f − vm1f  m2f
Pi − vMTi  Pf − vMTf
Pi  Pf − vMTf − MTi
Pf − Pi  vMTf − MTi,
para existir conservação do momento linear, ou seja Pf  Pi, para o observador em solo é necessário que
m1i  m2i  m1i  m2i,
conservação da massa total.
4. A energia cinética é conservada em uma colisão elástica por definição. Mostre utilizando as equações da
transformação de Galileu, se uma colisão é elástica em um referencial inercial ela será elástica em todos os
referenciais inerciais.
O diagrama esquemático é mostrado a seguir
v1
m1 m2
v'1i v'2i
y'
y S S''
O O'
v1t
Solo
x1i x2i
x'1i x'2i
y''
v2
S'
O''
v2t
x''1i
x''2i
Para uma colisão elástica no referencial S ′ energia cinética total se conserva
Ki
′  Kf′
1
2
m1v1i
′2  1
2
m2v2i
′2  1
2
m1v1f
′2  1
2
m2v2f
′2 1,
a transformação de Galileu
x ′  x − v1t
y ′  y
z ′  z
t ′  t,
e
x ′  x ′′ − vRt
y ′  y ′′
z ′  z ′′
t ′  t ′′,
onde v1 é velocidade relativa do referencial S ′ em relação ao referencial S, v2 é velocidade relativa do referencial S
′′
em relação ao referencial S e vR  v1 − v2 é a velocidade relativa referencil S ′ em relação ao referencial S ′′.
Em relação a S as equações da velocidades são
v1i
′  v1i − v1 2
v2i
′  v2i − v1 3
v1f
′  v1f − v1 4 e
v2f
′  v2f − v1 5,
substituindo-se as equações (2)-(5) na equação (1).
1
2
m1v1i
′2  1
2
m2v2i
′2  1
2
m1v1f
′2  1
2
m2v2f
′2
1
2
m1v1i − v12  12 m2v2i − v1
2  1
2
m1v1f′ − v1
2  1
2
m2v2f′ − v1
2

1
2
m1v1i2 − 2v1iv1  v12  12 m2v2i
2 − 2v2iv1  v12 
1
2
m1v1f2 − 2v1fv1  v12  12 m2v2f
2 − 2v2fv1  v12,
cancelando-se dos da ordem de v12
1
2
m1v1i2 − 2v1iv1  12 m2v2i
2 − 2v2iv1  v12 
1
2
m1v1f2 − 2v1fv1  12 m2v2f
2 − 2v2fv1

1
2
m1v1i2  m2v2i2  − v1m1v1i  m2v2i 
1
2
m1v1f2  m2v2f − v1m1v1f  m2v2f

Ki − v1Pi  Kf − v1Pf,
em todas as colisões o momento é conservado em todos os referenciais inerciais Pi  Pf logo
Ki  Kf,
a colisão vista pelo referencial S também é elásticas.
Em relação ao referencial S ′′ basta fazer a mudança v1 → vR  v1 − v2 utilizando todas as equaçõe anteriores
tem-se que
Ki
′′  Kf′′,
a colisão vista pelo referencial S ′′ também é elásticas.
5. Mostre que a equação da onda eletromagnética
∂2
∂x2
 ∂
2
∂y2
 ∂
2
∂z2
− 1
c2
∂2
∂t2
 0,
onde c é a velocidade da luz no vácuo é invariante sob a transformação de Lorentz
x ′ x − vt
1 − 2
y ′ y
z′ z
t ′ t − /cx
1 − 2
,
onde   v/c sendo v a velocidade relativa entre os dois referenciais inerciais.
y
S
O
z
x
c
y'
S'
z'
x'O'
v
Como x  xx ′, t ′ e t  tx ′, t ′ ou x ′  x ′x, t e t ′  t ′x, t. Os operadores espaciais
∂
∂x
 ∂
∂x ′
∂x ′
∂x
 ∂
∂t ′
∂t ′
∂x
∂x ′
∂x
 1
1 − 2
e ∂t
′
∂x
 /c
1 − 2
, logo
∂
∂x
 1
1 − 2
∂
∂x ′
− c
∂
∂t ′
,
o operador
∂2
∂x2
 ∂∂x
∂
∂x
 1
1 − 2
∂
∂x
∂
∂x
∂
∂x ′
− c
∂
∂t ′
∂2
∂x2
 1
1 − 2
∂2
∂x2
∂x ′
∂x
− c
∂
∂t ′
∂t ′
∂x
∂2
∂x2
 1
1 − 2
∂2
∂x2
 
2
c2
∂2
∂t ′2
,
os demais operadores espaciais
∂2
∂y2
 ∂
∂y ′2
∂2
∂z2
 ∂
∂z ′2
.
O operadores temporais
∂
∂t
 ∂
∂t ′
∂t ′
∂t
 ∂
∂x ′
∂x ′
∂t
∂t ′
∂t
 1
1 − 2
e ∂x
′
∂t
 − v
1 − 2
∂
∂t
 1
1 − 2
∂
∂t ′
− v ∂
∂x ′
,
o outro operadores
∂2
∂t2
 1
1 − 2
∂2
∂t ′2
∂t ′
∂t
− v ∂
2
∂x ′2
∂x ′
∂t
∂2
∂t2
 1
1 − 2
∂2
∂t ′2
 v2 ∂
2
∂x ′2
.
Portanto
∂2
∂x2
 ∂
2
∂y2
 ∂
2
∂z2
− 1
c2
∂2
∂t2
 0
1
1 − 2
∂2
∂x ′2
 
2
c2
∂2
∂t ′2
 1
1 − 2
∂2
∂y ′2
 ∂
2
∂z ′2
− 1
c2
1
1 − 2
∂2
∂t ′2
 v2 ∂
2
∂x ′2
 0.
Rearrumando
1
1 − 2
1 − v
2
c2
∂2
∂x ′2
 
2 − 1
c2
∂2
∂t ′2
 ∂
2
∂y ′2
 ∂
2
∂z ′2
 0,
como   v/c
1
1 − 2
1 − 2 ∂
2
∂x ′2
 
2 − 1
c2
∂2
∂t ′2
 ∂
2
∂y′2
 ∂
2
∂z ′2
 0
∂2
∂x ′2
− 1
c2
∂2
∂t ′2
 ∂
2
∂y ′2
 ∂
2
∂z ′2
 0,
logo
∂2
∂x ′2
 ∂
2
∂y ′2
 ∂
2
∂z ′2
− 1
c2
∂2
∂t ′2
 0,
o observador no referencial S ′ que se move com relação a S com velocidade v também vai ver uma onda
eletromagnética se movendo com relação a ele com a mesma velocidade c (igual a da luz). A velocidade da luz é
independente do sistema referência inercial.