Ferramentas para Topologia Diferencial

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Topologia Diferencial: Caṕıtulo 2 - Ferramentas
Prof. Alexander Arbieto
13 de fevereiro de 2008
1 Introdução
Neste caṕıtulo iremos estudar três ferramentas que serão amplamente usadas no
resto da teoria.
A primeira é uma técnica de gerar funções globais a partir de colagem de
diversas funções locais que não necessariamente coincidem nas interseções dos
seus domı́nios de definição, a ferramenta a ser usada é conhecida como partição
da unidade.
A segunda é conhecida como técnica de regularização, começando com uma
função não muito regular (cont́ınua por exemplo) veremos que é posśıvel obter
uma outra função mais regular do que a inicial (C∞ por exemplo) que está tão
próxima quanto queiramos da função original1.
A terceira é conhecida como o teorema de Sard. Vimos que ao encontrar val-
ores regulares de uma função a imagem inversa deste valor é uma subvariedade,
uma pergunta natural é como conseguir de fato valores regulares, o teorema de
Sard fará isto para nós.
Em seguida veremos uma aplicação importante do teorema de Sard que é o
teorema de Whitney. Este teorema diz que toda variedade diferenciável por mais
que seja abstrata ela vive em algum espaço euclidiano (mesmo que a dimensão
deste espaço seja suficientemente grande).
Outra aplicação interessante destes argumentos, será uma demonstração do
teorema fundamental da Álgebra.
No decorrer de algumas provas, usaremos o conceito de norma de um vetor
tangente, isto será posśıvel por que nas situações onde isto for usado, estaremos
trabalhando com superf́ıcies do Rn. Para generalizar este conceito para var-
iedades quaisquers, iremos estudar métricas Riemannianas, e mostrar que estas
existem em qualqer variedade.
Finalmente terminaremos o caṕıtulo com um contra-exemplo do teorema de
Sard quando a hipótese de regularidade da aplicação não for satisfeita.
Daqui pra frente, TODAS as variedades são Hausdorff e separáveis (a não
ser que seja especificado no texto).
1Aqui a topologia na qual queremos a proximidade é importante, veremos isso mais adiante
1
2 Colando funções: Partições da Unidade
Primeiramente vamos construir funções bump:
Lema 2.1. Para todos b > a > 0 existe uma funçao λ : Rn → [0, 1] C∞ e
radial2 dita função bump tal que:
1. λ(x) ≡ 1 se ‖x‖ ≤ a.
2. 0 < λ(x) < 1 se a < ‖x‖ < b.
3. λ(x) = 0 se ‖x‖ ≥ b.
Demonstração. Seja α função na reta C∞ tal que α(x) = e−
1
y2 se y > 0 e
α(y) = 0 se y ≤ 0. Considere a função β(y) = α(y − √a)α(
√
b − y) e defina a
funçao C∞ :
γ(y) =
∫ y√
a
β
∫√b√
a
β
.
A função procurada é então λ(x) = γ(‖x‖2).
O suporte de uma função cont́ınua é por definição o conjunto Supp(f) =
{x; f(x) 6= 0}. A próxima definição é a mais importante desta seção:
Definição 2.2. Seja M uma variedade Cr e U = {Ui}i∈Λ uma cobertura de M
por abertos. Dizemos que a famlia {ξi : M → [0, 1]}i∈Λ de funções Cr é uma
partição da unidade subordinada a cobertura U se:
1. Supp(ξi) ⊂ Ui,
2. {Supp(ξi)} é uma cobertura localmente finita3,
3.
∑
i ξ(x) = 1.
4
Obviamente queremos construir partições da unidade, começamos então com
os seguintes lemmas:
Lema 2.3. Seja r > 0 qualquer. Todo ponto de x ∈ M possui cartas locais
em U = viz(x) e V = viz(x) tais que, ϕ : U → Rn é sobrejetiva e ψ : V →
B(0, r) ⊂ Rn também é sobrejetiva.
Demonstração. Seja ϕ̃ : Ũ → Rn uma carta qualquer onde y = ϕ̃(x). Então
existe uma bola de raio ε U0 = B(y, ε) ⊂ ϕ̃(Ũ) vamos definir U := ϕ̃−1(U0). Seja
então θ : B(y, ε) → Rn um difeomorfismo C∞ tal que θ(y) = 0. Então definimos
ϕ = θ ◦ ϕ̃ : U → Rn sobrejetiva, V = ϕ−1(B(0, r)) e ψ = ϕ|V : V → B(0, r)
também sobrejetiva
2Isto é, so depende de ‖x‖.
3Isto é para todo x existe uma vizinhança viz(x) tal que a cardinalidade dos i´s tal que
ξi 6= 0 é finita
4Note que esta soma é sempre finita e que {int(Supp(ξi))} forma uma cobertura localmente
finita
2
Lema 2.4. Seja V = {Vα}α∈A uma cobertura de M que refina U = {Ui}i∈Λ,
isto é, para todo Vα existe Ui tal que Vα ⊂ Ui. Se V possui partição da unidade
Cr então U também possui.
Demonstração. Seja {ξα} partição da unidade de V e seja a função f : A → Λ
definida por Vα ⊂ Uf(α). Considere as funções µi : M → [0, 1] dadas por:
µi(x) =
∑
α∈f−1(i)
ξα(x).
Queremos mostrar que {µi} é a partição da unidade procurada. Note que se
µi(x) 6= 0 então i = f(α) tal que ξα(x) 6= 0, e como {Supp(ξα) é localmente
finita então {Supp(µi)} também é localmente finita.
Observe também que se x /∈ Ui então x /∈ Vα tal que f(α) = i e portanto
Supp(µi) ⊂ Ui. Finalmente,
∑
i µi(x) =
∑
α ξα = 1.
Teorema 2.5. Seja M uma variedade Cr então toda cobertura U = {Ui}i∈Λ
de M por abertos possui partição da unidade Cr.
Lema 2.6. Existe um atlas (ϕα, Vα)α∈A tal que {Vα} é uma cobertura local-
mente finita que refina U onde Vα são compactos de M e ϕα(Vα) é limitado.
Demonstração. Note que M é localmente compacta, Hausdorff e separável.
Logo por um teorema de topologia geral M possui uma exaustão por compactos
Ki
5
Agora pelo lema mostrado anteriormente e a compacidade, K2 é coberto por
um número finito de abertor Vα que possuem cartas locais ϕ : Vα → B(3) ⊂ Rn
sobrejetivas, tais que W = ϕ−1(B(1)) ainda cobrem K2, Vα ⊂ K3 e para todo
α existe i tal que Vα ⊂ Ui.
Da mesma maneira, K3 − int(K2) é compacto e também é coberto por um
número finito de (ϕ, Vα) tal que W = ϕ−1(B(1)) é cobertura de K3 − int(K2),
Vα ⊂ K4 −K1 e exitem Ui´s contendo cada Vα.
Repetindo por induçao para Kj+1 − int(Kj) obtemos uma cobertura enu-
merável W obtida pelos W ’s que refina U , é localmente finita e satisfaz as outras
propriedades do lemma.
Prova do Teorema. Seja V = {Vα} a cobertura dada pelo lema anterior e W a
cobertura mais fina que V dada pela prova do lema. Logo ϕα(Wα) ⊂ Rn é a
bola de raio 1.
Agora tome a função bump λ : Rn → [0, 1] tal que λ(x) > 0 se e somente se
x ∈ int(B(1)). Constrúımos então µα : M → [0,∞) dada por µα(x) = λ◦ϕα(x)
se x ∈ Vα e 0 se x ∈ M − Vα. Note que µα é Cr, positiva em Wα e Supp(µα) ⊂
Vα. Logo ξα := µαP
α
µα
é partição da unidade Cr subordinada a cobertura V.
Como esta refina U o teorema segue do lema 2.4.
5Isto é, Ki ⊂ int(Ki+1) e
S
Ki = M .
3
Como dissemos antes o principal uso das partições da unidade é colar mapas
definidos localmente e criar um mapa global. Isto é, seja {Ui}i∈Λ uma cobertura
aberta de M e gi : Ui → Rn mapas Cs. Considere {ξi} partiçao da unidade Cs
subordinada a esta cobertura. Então a aplicação g : M → Rn dada por:
g(x) =
∑
{i∈Λ;x∈Ui(x)}
λi(x)gi(x)
é um mapa Cs definido em todo M e coincide com os gi’s em certos abertos
contidos estritamente no Ui correspondente, ou seja, no aberto onde ξi ≡ 1.
Exemplo 2.7. Seja M é variedade Ck e F, G fechados de M disjuntos. Então
{M − F,M − G} é cobertura aberta de M e seja {ξ1, ξ2} partição da unidade
associada. Então observe que ξ1 é uma função Ck tal que ξ1|F ≡ 0 e ξ1|G ≡ 1.
Proposição 2.8. Seja F ⊂ M um fechado de uma variedade Ck. Existe uma
função Ck f : M → R tal que f−1(0) = F .
Demonstração. Vamos supor primeiramente que F ⊂ Rm é compacto, depois
fazemos o caso geral. Sejam Vi = {x ∈ Rn; d(x, F ) < 1i } abertos encaixados tais
que F =
⋃
i Vi. Pelo exemplo anterior, existem funções fi : Rm → [0, 1] Ck tais
que fi|K = 0 e fi|Rn−Vi = 1. Como fi é constante for do compacto Vi temos
que Dj(fi) tem suporte compacto e portanto são limitadas, isto é, existem Mij
tal que ‖Djfi(x)‖ ≤ Mij se j = 0, . . . k6.
Considera constantes 0 < cij < 12iMij tais que ci,j+1 ≤ cij (construa os
cij ’s!). Então para todo j temos que
∑
i cijD
jfi é dominado pela série geométrica,
portanto converge. Seja ci := cii então para todo i > j temos que ci ≤ cij . E
portanto
∑
ciD
jfi convergem uniformmente para todo j ≤ k.
Então f =
∑
cifi é função Ck tal que se x ∈ K então f(x) =
∑
i cifi(x) =∑
i ci.0 = 0 e se x /∈ K então x ∈ Rm − Vi para algum i e portanto fi(x) 6= 0 e
dáı f(x) 6= 0. Eisso termina o caso particular.
No caso geral seja U uma cobertura localmente finita formada por cartas
locais tal que Ui = ϕ−1i (B(3)), Vi = ϕ
−1
i (B(2)) e Wi = ϕ
−1
i (B(1)). Sejam
então Ki = Wi ∩ F ⊂ Vi compactos tais que
⋃
i Ki = F . Compondo com cada
carta local ϕi e usando o caso anterior temos fi : M → R função Ck tal que
f(M − Vi) = 1 e f−1i (0) = Ki.
Finalmente, considere a função f : M → R dada por f(x) = ∏i fi(x).7
Finalmente, f(p) = 0 se, e somente se, existe i tal que fi(p) = 0, ou seja que
p ∈ Ki e portanto se, e só se, p ∈ F .
3 Regularizando funções: Convolução e Molli-
fiers
Definição 3.1. Se η : Rn → R tem suporte compacto, dizemos que σ é o raio de
suporte de η se σ é o menor dos r’s tais que Supp(η) ⊂ B(0, r).
6Aqui D0fi(x) = fi(x) por definição e tome Mi0 = 1
7Observe que este produto é finito porque cada ponto de M tem vizinhança que intersecta
um número finito de {Ui}’s onde as fi’s são iguais a 1.
4
Definição 3.2. Seja η : Rn → R uma função com raio de suporte σ e f : U ⊂
Rm → Rn. Defina Uσ = {x ∈ U ; B(x, σ) ⊂ U}, a convolução de f com η é a
aplicação η ∗ f : Uσ → Rn definida por:
η ∗ f(x) =
∫
B(0,σ)
η(y)f(x− y)dy.8
Definição 3.3. Dizemos que uma função η : Rm → R é um mollifier (ou núcleo
de convolução) se η ≥ 0, tem suporte compacto e ∫Rm η(x)dx = 1.
Exerćıcio 1. Mostre que para todo σ > 0 existe um mollifier C∞ cujo raio de
suporte é σ.
Considere as normas ‖f‖r,K = sup{‖Dif(x)‖; x ∈ K e 0 ≤ i ≤ r}, onde
K ⊂ U são compactos e f : U → Rn9.
Teorema 3.4. Seja η : Rm → R com raio de suporte σ > 0 e U ⊂ Rm aberto
e f : U → R função cont́ınua. Então:
1. Se η|int(Supp(η)) é Ck então η ∗ f é Ck e Dk(η ∗ f) = (Dkη) ∗ f .
2. Se f é Ck então Dk(η ∗ f) = η ∗Dkf .
3. Se f é Cr (0 ≤ r ≤ ω), K ⊂ U é compacto e ε > 0 existe σ > 0 tal que
K ⊂ Uσ e se η é um Cs mollifier com raio σ e s ≤ r então η ∗ f é Cs e
‖η ∗ f − f‖r,K , ε.
Demonstração. As duas primeiras afirmações seguem do teorema de derivação
sob o sinal da integral. Para provar a terceira afirmação, como d(K,Rm−U) > 0
temos que existe σ tal que K ⊂ Uσ. Por continuidade uniforme, se σ é pequeno
então x ∈ K e ‖x−y‖ ≤ σ implicam |f(x)−f(y)| < ε e ‖Djf(x)−Djf(y)‖ ≤ ε
com j = 1, . . . , k.
Agora como
∫
Rm η = 1 temos que:
|η∗f−f | = |
∫
η(y)(f(x−y)−f(x)dy| ≤
∫
B(0,σ)
η(y)|f(x−y)−f(x)|dy ≤ ε
∫
η = ε.
E da mesma forma temos que:
‖Dj(η ∗ f)−Dj(f)‖ ≤
∫
η(y)‖Djf(x− y)−Djf(y)‖dy ≤ ε.
Exerćıcio 2. Outra maneira equivalente de obter aproximação é a seguinte, se
η : B(0, 1) ⊂ Rn → [0, 1] é função C∞ tal que ∫ η = 1, definindo ηε(x) =
ε−nη(xε ) então se f é C
k temos que ηε ∗ f é C∞ e ‖ηε ∗ f − f‖k,K → 0 quando
ε → 0 e isso vale para qualquer K compacto.
8De fato como o integrando é 0 em ∂B(0, σ) podemos integrar em todo o Rm, obtendo o
mesmo resultado e por mudança de variáveis vemos que η ∗ f(x) = RRm η(x− z)f(z)dz.
9Lembra que se S : Rm× · · · ×Rm → Rn é multilinear então ‖S‖ é definido como o menor
número C tal que ‖S(y1, . . . , ym)‖ ≤ C‖y1‖ . . . ‖yn‖.
5
Como dissemos antes, este resultado permite usar funções diferenciáveis ao
invés de funções cont́ınuas, desde que o que queremos seja invariante por pe-
quenas perturbações. Veremos muitas aplicações deste fato quando estudarmos
espaços de funções e teoria do grau.
4 Achando valores regulares: O teorema de Sard
Definição 4.1. Um n-cubo C ⊂ Rn de lado λ é um subconjunto do Rn da forma
C =
n∏
i=1
Ii =
n∏
i=1
[ai, ai +λ] onde ai ∈ R. Denotaremos a medida de Lebesgue do
Rn por µ. Então a media de Lebesgue do n-cubo de lado λ é µ(C) = λn.
Definição 4.2. Um subconjunto X ⊂ Rn tem medida nula se para todo ε > 0
existe uma cobertura de X por n-cubos cuja soma das medidas é menor que ε.
Exerćıcio 3. Sejam {Xi}∞i=1 subconjuntos do Rn. Se µ(Xi) = 0 para todo
i = 1, . . . ,∞ então µ(
∞⋃
i=1
Xi = 0. E µ(X) = 0 somente se para todo y ∈ X
existe U uma vizinhança de y tal que µ(U ∩ X) = 0. (Dica: Na segunda
afirmação use o teorema de Lindelöf)
Lema 4.3. Seja U ⊂ Rn aberto e f : U → Rn aplicação C1. Se X ⊂ U tem
medida nula então µ(f(X)) = 0.
Demonstração. Seja y ∈ X e V = viz(y) ⊂ U tal que ‖Df(x)‖ ≤ K para todo
x ∈ V . Seja C ⊂ V um n-cubo de lado λ então pelo teorema do valor médio
f(C) está contido dentro de um n-cubo C ′ de lado menor que
√
nKλ e portanto
µ(C ′) < (
√
nK)nµ(C).
Seja então X ⊂
∞⋃
j=0
onde cada Xj está contido em uma das vizinhanças con-
sideradas acima. Então para todo ε > 0 temos que Xj ⊂
⋃∞
k=1 C
k
j e
∞∑
k=1
µ(Ckj ) <
ε. Dáı pelo que vimos antes existem n-cubos Ckj ’ tais que f(Xj) ⊂
∞⋃
k=1
Ckj ’ tais
que
∞∑
k=1
µ(Ckj ’) < (
√
nKj)nε. Portanto µ(f(Xj)) = 0 e então µ(X) = 0.
Exerćıcio 4. Se X ⊃ C onde C é um n-cubo então µ(X) 6= 0. Logo se µ(X) = 0
então int(X) = ∅. Em particular se X é σ-compacto10 e µ(X) = 0 temos que
X é magro11
Agora estendemos a noção de medida nula para variedades através das car-
tas.
Definição 4.4. Seja Mn uma variedade e X ⊂ M dizemos que µ(X) = 0 se para
toda carta local (ϕ,U) temos que µ(ϕ(U ∩ X)) = 0. As vezes iremos escrever
µn(X) = 0 para enfatizar que a medida de Lebesgue nas cartas é n-dimensional.
10União enumerável de conjuntos compactos.
11União enumerável de conjuntos fechados com interior vazio.
6
Lema 4.5. Sejam Mm, Nn variedades Cr (r ≥ 1) onde m < n. Se f : M → N
é C1 então f(M) tem medida de Lebesgue em N (i.e. n-dimensional) nula. Em
particular tem interior vazio.
Demonstração. Por definição basta ver o problema em cartas locais. Seja U ⊂
Rm e g : U → Rn uma aplicação C1 onde por hipótese m < n. Identificando U
com U × 0 ⊂ U × Rn−m ⊂ Rn, seja h : U × Rn−m → Rn dada por h = g ◦ π1
(onde π1 é a projeção no primeiro fator). Temos que h é C1 e pelo lema 4.3
como µm(U × 0) = 0 temos que µn(g(U)) = 0. E portanto µ(f(M)) = 0.
Vamos relembrar e estabelecer algumas notações:
Definição 4.6. Seja f : M → N apliação C1 um ponto x ∈ M é cŕıtico se
Dxf não for sobrejetora. Denotamos Σf = {x ∈ M ; x é ponto cŕıtico de f}. E
portanto N − f(Σf ) é conjunto de valores regulares.
Definição 4.7. Seja W ⊂ Rn um operador diferencial de ordem 1 é uma aplicação
L : C∞(W,R) → C∞(W,R) dada por Lg(x) = ∂g∂xi para algum i ∈ {1, . . . , n}.
Um operador diferencial de ordem k é uma composição de k operadores difer-
enciais de ordem 1, neste caso denotamos ord(L) = k.
Note que o conjunto de todos os operadores diferenciais (com esta definição)
é um conjunto enumerável.
Teorema 4.8 (Sard). Sejam Mm, Nn variedades Cr e f : M → N um mapa
Cr. Se r > max{0,m− n} então µn(f(Σf )) = 0. Em particular o conjunto de
valores regulares de f é denso.
Vamos fazer a prova apenas no caso C∞, que será suficiente para nossos
propósitos. Porém em seguida faremos um esboço de um exemplo que mostra
que a hipótese de diferenciabilidade de f não pode ser melhorada.
Demonstração. Sabemos que basta provar o teorema localmente, logo podemos
trabalhar com a aplicação C∞ f : W ⊂ Rn → Rn e vamos denotarr f(x) =
(f1(x), . . . , fn(x)). Se m < n então o lema 4.5 mostra que µ(f(W )) = 0 e com
mais forte razão µ(f(Σf )) = 0. Logo iremos supor também m ≥ n.
Vamos decompor o conjunto Σf em três conjuntos:
Σ1 = {x ∈ Σf ; Lfi(x) = 0; ∀ op. dif’l L tal que ord(L) ≤ m
n
e i = 1, . . . , n}
Σ2 = {x ∈ Σf ; Lfi(x) 6= 0; para algum op. dif’l L tal que ord(L) ≥ 2 e algum i}
Σ3 = {x ∈ Σf ; ∂fi
∂xj
(x) = 0; para alguns i, j em {1, . . . , n}}
Afirmação 1. µ(f(Σ1) = 0.
Demonstração. Seja j o menor inteiro maior que mn . Se x ∈ Σ1 então os
primeiros termos do polinômio de Taylor se anulam e portanto, existe uma vizin-
hança U = viz(x) tal que se p ∈ Σ1∩U e q ∈ U então ‖f(p)−f(q)‖ ≤ C‖p−q‖j .
Logo tomando U como m-um cubo de lado λ basta provar que µ(f(U∩Σ1)) = 0.
7
Seja s ∈ N qualquer e vamos dividir U em sm cubos de lado λ/s, e chamemos
{Ck}tkk=1 os cubos obtidos que intersectam Σ1 (logo tk ≤ sm). Então Ck está
contida numabola de raio (λs )
√
m centrada em algum ponto de U ∩ Σ1 e pela
estimativa acima f(Ck) está contido em algum n-cubo Ck’ cujo lado é pelo
menos 2C(λs
√
m)j . Portanto:
σ(s) =
∑
k
µ(C ′k) ≤ (sm)(2C(
λ
s
√
m)j)n = sm−jn(2C(λ
√
m)j)n → 0.
Quando s →∞, pois m− jn < 0. E isto mostra que µ(f(U ∩ Σ1)) = 0.
Note que a afirmação prova o teorema de Sard no caso m = 1 (pois estamos
supondo sempre m ≥ n) e portanto Σ1 = Σf . Provaremos então o teorema
de Sard usando indução em m. Logo vamos supor a tese válida para qualquer
mapa C∞ g : P → Q onde dimP < m.
Afirmação 2. µ(f(Σ2 − Σ3)) = 0.
Demonstração. Para todo ponto x ∈ Σ2 − Σ3, por definição destes conjuntos,
existe um operador diferencial L e i, j tais que Lfi(x) = 0 e ∂∂xj Lfi(x) 6= 0. E
portanto Σ2 − Σ3 se decompõe em uma união enumerável de conjuntos Xi,j,L.
Seja X um destes conjuntos. Então 0 é um valor regular para a aplicação
Lfi : W → R e é uma aplicação C∞, e portanto X é uma hipersuperf́ıcie C∞
de Rm e como o espaço tangente de X coincide com o núcleo da derivada de
Lfi temos que Σf ∩X = Σf |X . Mas pela hipótese de indução µ(f(Σf |X )) = 0
e portanto µ(X) = 0. Como a quantidade de tais conjuntos X é enumerável
temos que µ(f(Σ2 − Σ3)) = 0.
Afirmação 3. µ(f(Σ3)) = 0.
Demonstração. Seja x ∈ Σ3 então existem U ⊂ W , i e j tais que ∂fi∂xj 6= 0,
logo pela forma local das submersões podemos tomar U tal que existe um difeo-
morfismo C∞ h : A × B ⊂ Rm−1 × R → U tal que fi ◦ h = π2, ou seja,
fi(x1, . . . , xm−1, t) = t nestas coordenadas.
Obviamente podemos reordenar os ı́ndices tal que i = n e portanto f |U (x, t) =
(ut(x), t) onde x ∈ Rm−1 e ut : A → Rn−1 é C∞ (de fato, depende C∞ em t
também). Novamente, (x, t) é cŕıtico de f se, e só se, x é cŕıtico de ut. Por-
tanto Σf ∩ (A× B) =
⋃
t∈B
Σut × {t}. Mas como dim(A) = m − 1, por indução
µn−1(ut(Σut)) = 0.
Finalmente pelo teorema de Fubini temos que:
µn(
⋃
t∈B
f(Σut × {t})) =
∫
B
µn−1(f(ut(Σut)))dt = 0.
E portanto µ(f(Σ3 ∩ U)) = 0. O que termina a prova da afirmação e também
do teorema.
8
5 Aplicação: O teorema de Whitney
Nesta seção mostraremos que toda variedade compacta de fato pode ser vista
como uma subvariedade de algum espaço euclidiano. De fato iremos mostrar que
ela é mergulhada em algum espaço euclidiano. Tal teorema ajuda a provar certos
resultados que permitam usar a imagem do mergulho ao invés da variedade em
si (por exemplo, o fibrado tangente de superf́ıcies no Rn tem uma descrição bem
mais simples). Porém este teorema NÂO permite reduzir o estudo de variedades
compactas ao estudo de subvariedades do Rn. A razão disto é que o mergulho
que obtemos não é canônico12.
Lema 5.1. Seja N uma variedade Cr (com r ≥ 1). Um subconjunto A ⊂ N é
uma subvariedade Cr de N se, e só se, A é imagem de algum mergulho Cr.
Demonstração. Se A é subvariedade, vimos que a inclusão é um mergulho, por
definição.
Por outro lado se A é imagem de algum mergulho f : M → N . Como a
propriedade de ser subvariedade é local, podemos reduzir o problema a cartas
locais. Logo, basta considerar o caso f : U ⊂ Rm → Rn em coordenadas dadas
pela forma local das imersões. Segue que f(U) é subvariedade e finalmente
como f é um homeomorfismo sobre sua imagem as estruturas diferenciáveis
locais colam uma com as outras.
O Lema diz que a propriedade de ser subvariedade, que é de natureza local, é
equivalente a propriedade de ser imagem de algum mergulho, que é de natureza
global.
Teorema 5.2. Seja Mn uma variedade compacta de classe Cr (1 ≤ r ≤ ∞).
Então existe q ∈ N e um mergulho f : M → Rq de classe Cr.
Demonstração. Por compacidade e argumentos vistos anterioremente, existe um
atlas finito (ϕi, Ui) i = 1, . . .m tal que ϕi(Ui) ⊃ B(2) e int(ϕ−1i (B(1))) ainda
cobre M . Seja λ função bump que vale 1 em B(1) e 0 no complementar de B(2).
Considere as funções Cr λi : M → [0, 1] dadas por λ ◦ ϕi em Ui e que se
anulam em M − Ui. Por construção os conjuntos Ci = λ−1i (1) formam uma
cobertura de M . Seja então fi : M → Rn aplicações Cr dadas por λi(x)ϕi(x) se
x ∈ Ui e que se anulam em M − Ui. Tome gi = (fi, λi) : M → Rn+1 aplicação
Cr e finalmente g = (g1, . . . , gm) : M → Rm(n+1) também aplicação Cr.
Dado qualquer x ∈ M temos que x ∈ Ci para algum i e nesse caso fi é
imersão em x, logo gi é imersão e por mais forte razão g é imersão em x. Além
disso se y 6= x, ou y ∈ Ci, e nesse caso fi(x) 6= fi(y) o que implica g(x) 6= g(y)
ou x /∈ Ci e portanto λi(y) 6= 1 = λi(x) e novamente g(x) 6= g(y).
Logo g é uma imersão injetiva e como está definida num compacto é um
mergulho. (prove!)
12Assim como ocorre por exemplo com espaços tangentes em pontos diferentes de uma
variedade, como eles tem mesma dimensão ambos são isomorfos, mas tal isomorfismo não é
canônico, depende da escolha das bases em cada espaço tangente, o que impede de trivializar
globalmente o fibrado tangente em geral
9
Teorema 5.3 (Whitney). Seja Mn uma variedade compacta de classe Cr onde
2 ≤ r ≤ ∞. Então existe um mergulho f : M → R2n+1 de classe Cr.
Demonstração. Sabemos que M mergulha em algum Rq. Se q ≤ 2n + 1 o
teorema esta provado. Vamos supor então que q > 2n + 1 e vamos obter um
mergulho de M em Rq−1. Isto claramente prova o teorema.
Vamos identificar Rq−1 como o hiperplano {xq = 0} de Rq. Para todo
v ∈ Rq − Rq−1 podemos definir a projeção sobre Rq−1 paralela a v da seguinte
forma fixe uma base {e1, . . . , eq−1} de Rq−1 e portanto todo vetor w se escreve
como av + a1e1 + · · · + aq−1eq−1 defina então fv : Rq → Rq−1 como f(w) =
a1e1 + · · · + aq−1eq−1. Se encontrarmos v com ‖v‖ = 1 tal que fv é mergulho,
acabou. Para isso, por compacidade de M basta mostrar achar v tal que fv é
imersão injetiva.
A injetividade seguirá se para todo x 6= y em M tivermos v 6= x−y‖x−y‖ (senão
ambos x e y seriam projetados no mesmo ponto). Como fv é linear, sua derivada
e ela própria e portanto para obter a propriedade de imersão queremos que
TxM ∩ ker(fv) = {0}. E isto ocorre se para todo z ∈ TxM{0} e todo x ∈ M
tivermos v 6= z‖z‖ 13.
Seja ∆ = {(x, x); x ∈ M} ⊂ M ×M um conjunto fechado de M ×M . Logo
M ×M −∆ é um aberto e portanto uma variedade de dimensão 2n. Considere
o mapa Cr σ : M ×M −∆ → Sq−1 dado por σ(x, y) = x−y‖x−y‖ . Como 2n < q−1
o lema 4.5 diz que a imagem de σ tem medida nula, em particular tem interior
vazio.
Considere então o fibrado tangente unitário T1M = {(x, v) ∈ TM ; ‖v‖ = 1},
é um exerćıcio mostrar que este subconjunto é de fato uma subvariedade de
classe Cr−1 de TM com dimensão 2n− 114. Além do mais ela é compacta caso
M seja compacto.
Considere então a aplicação τ : T1M ⊂ M × Sq−1 ⊂ M × Rq → Sq−1 dada
por τ(x, v) = v uma aplicação Cr−1. Como dim(T1M) = 2n − 1 < dim(Sq−1)
novamente pelo lema 4.5 temos que a imagem de τ também tem medida nula e
portanto tem interior vazio. Mais ainda como T1M é compacto temos que W =
Sq−1−τ(T1M) é um aberto denso de Sq−1. Portanto o conjunto W∩(Rq−Rq−1)
também é aberto denso de Sq−1 e portanto contêm algum v que não está na
imagem de σ. Encontramos nosso vetor e com isso o teorema está demonstrado.
Observação 5.4. Note que a prova do teorema diz também que M é imersa em
R2n. Pode-se provar de fato, porém com mais dificuldade, que toda variedade
M paracompacta e Hausdorff mergulha em R2n e é imersa em R2n−1. Isto é
o melhor que se obtem pois um teorema de Alexander, mostra que a garrafa
13Aqui estamos encarando M como subvariedade de Rq e neste caso TM é visto como
subvariedade de TRq = R2q .
14Considere o mapa ν : TM → R dado por ν(v) = ‖v‖2 (no presente caso, a norma está
bem definida porque podemos supor que são vetores de Rq no caso geral use uma métrica
Riemanniana, a ser visto logo em seguida) note que esta aplicação é Cr−1 e que 1 é um valor
regular.
10
de Klein (variedade compacta não orientável de dimensão 2) não pode ser mer-
gulhada em R3, porém ela é imersa em R3 mas com auto-interseções. Este
mergulhoé clássico e ocorre em diversas figuras em livros por áı afora. O teo-
rema de Alexander pode ser encontrado em livros de topologia ou geometria.
Vou procurar uma referência.
Observação 5.5. O teorema ainda é válido no caso r = 1, note que para usar-
mos o lema 4.5 precisamos pelo menos C1 e ao passar pro fibrado tangente já
hav́ıamos perdido uma derivada, logo a prova é de fato C2 pelo menos. Mais
ainda, com certas adaptações pode-se provar que uma versão do teorema de
Whitney vale no caso r = 0 e mesmo para espaços métricos compactos. O teo-
rema vale também no caso Cω a dificuldade aqui vem do fatode não podermos
mais usar partições da unidade, que é uma técnica que so funciona até r = ∞
e não mais além. Lembre que uma função anaĺıtica que é constante sobre um
aberto, deve ser globalmente constante na componente conexa que contêm este
aberto.
Exerćıcio 5. Sejam M uma variedade Cr com r ≥ 2 e g : M → Rk uma
aplicação Cr onde k ≥ 2n + 1. Mostre que para todo ε > 0 existe f : M → Rk
um mergulho de classe Cr tal que ‖f(x)− g(x)‖ < ε para todo x ∈ M .
6 Aplicação: O Teorema Fundamental da Álgebra
Se f : Mn → Nn é uma aplicação C1 então para todo valor regular y ∈ N
temos que f−1(y) é uma subvariedade de dimensão 0 de M , logo é um conjunto
de pontos isolados. Se supusermos M compacta, este conjunto é então finito
(pode ser vazio a prinćıpio). Mas uma propriedade fundamental é a seguinte:
Lema 6.1. A função #f−1(y) é localmente constante quando y percorre os
valores regulares de f .
Demonstração. Sejam x1, . . . , xn os pontos de f−1(y0) pelo teorema da função
inversa existem vizinhanças Ui de xi e Vi de y0 nas quais f é um difeomorfismo de
Ui em Vi. Logo, considerando a vizinhança V = V1∩· · ·∩Vn−f(M−U1−· · ·−Un)
temos que #f−1(y) = n para todo y ∈ V .
Seja então S2 ⊂ R3 e considere h+ : S2 − (0, 0, 1) → C ≈ R2 × 0 ⊂ R3 a
projeção estereográfica pelo pólo norte (0, 0, 1). Dado P (z) = a0zn+ · · ·+an um
polinômio não constante (estamos supondo a0 6= 0), seja f seu levantamento na
esfera, isto é f : S2 → S2 é definida por f(x) = h−1+ ◦P ◦h+(x) se x ∈ S2−(0, 0, 1)
e f((0, 0, 1)) = (0, 0, 1).
Claramente f é C∞ em pontos distintos do pólo norte, porem se tomarmos
h− a projeção esterográfica pelo pólo sul (0, 0,−1), a expressão de f nesta carta
local é:
Q(z) = h− ◦ f ◦ h−1− (z) =
zn
a0 + · · ·+ anzn . (exerćıcio!)
E portanto, Q é C∞ em uma vizinhança de 0 o que significa que f é C∞ no
pólo norte. Mas os pontos cŕıticos de P são os zeros de sua derivada, que é
11
um polinômio. Logo, o número de pontos cŕıticos de f é finito, chame este
conjunto de X e Y = f(X). Consequentemente o conjunto de valores regulares
de f é formado pela esfera menos um número finito de pontos, o qual é um
conjunto conexo. Pelo lema #f−1(y) é constante neste conjunto, em particular
esta constante não pode ser nula, pois o polinômio é não constante.
Então temos que f(S2 − X) ⊃ S2 − Y , como S2 é compacta temos que
f(S2) = S2, logo f é sobre e portanto existe um z ∈ C tal que P (z) = 0. Este
é o teorema fundamental da Álgebra.
7 Métricas Riemannianas
Nas seções anteriores, usamos a noção de comprimento de um vetor dentro do
fibrado tangente, porém naquela ocasião, por sorte, estávamos trabalhando com
uma subvariedade do Rn e portanto pegamos emprestado a noção de compri-
mento euclidiano de um vetor, uma vez que TM podia ser visto como subvar-
iedade de TRq = R2q. Gostaŕıamos de ter esta noção à nossa disposição mesmo
ao trabalhar com variedades abstratas, quem fará esse papel será a métrica Rie-
manniana. De fato, ela não só permitirá medir comprimentos, como também
medir ângulos. E em outros contextos, permite fazer geometria em variedades.
A grosso modo, uma métrica Riemanniana é uma aplicação g tal que em
cada ponto x ∈ M , g(x) é uma forma bilnear simétrica definida positiva em
TxM . Tomando então v ∈ TxM , podemos definir ‖v‖x =
√
gx(v, v) como
o comprimento do vetor v e estamos feitos. Porém, como não temos identi-
ficação canônica entre espaços tangentes em pontos distintos, esta noção de
comprimento pode ser muito distinta quando passamos de um espaço tangente
à outro. Além do mais, se a variedade é Cr podeŕıamos esperar que estas formas
bilineares variem diferenciávelmente (Cr) com o ponto x.
Uma maneira de dizer isso é considerar o fibrado cotangente T ∗M que assim
como o fibrado tangente, existe uma projeção p : T ∗M → M tal que p−1({x}) =
(TxM)∗ o dual de TxM15. E como fizemos com o fibrado tangente, mostrar que
T ∗M também é uma variedade. Em seguida considerar o espaço de tensores do
tipo (0,2) em TM , isto é aplicações bilineares de TM×TM em R (denotado por
T ∗M ⊗T ∗M) que preservam as fibras, observar que este espaço também é uma
variedade de classe Cr e pedir que g : M → T ∗M ⊗T ∗M seja uma aplicação de
classe Cr (entre variedades).
Porém uma caracterização mais simples é a seguinte. Fixada uma carta
local ϕ consideramos o seguinte produto interno em Rn: se a, b ∈ Rn então <<
a, b >>ϕ(x):= gx(Dϕ−1(ϕ(x)(a), Dϕ−1(ϕ(x)b), como gx é um produto interno
então << ., . >> também o é. Logo existe uma matriz A que representa este
produto interno em relação a base canônica de Rn. De fato se {e1, . . . en} é a
base canônica de Rn então os elementos da matriz A são da forma gij;ϕ(x) =<<
ei, ej >>. E portanto temos n2 funções de U em R.
Definição 7.1. Uma métrica Riemanniana de classe Cr sobre uma variedade
15Lembrando, o dual é o espaço vetorial contendo os funcionais lineares de TxM .
12
Mn é uma aplicação g tal que para cada x ∈ M gx é uma aplicação bilinear,
simétrica definida positiva. Tal que para qualquer carta local (ϕ,U) de M as
funções gij,vphi(x) são Cr. Estas funções são ditas as componentes da métrica g
na carta (ϕ,U) e por simetria temos que gij,ϕ(x) = gji,ϕ(x).
Vajamos alguns exemplos, se M = Rn e < ., . > é o produto interno euclid-
iano, então id é uma carta global e definindo << a, b >>id(x)=< a, b > temos
que o produto interno euclidiano é uma métrica riemanniana em Rn.
Quando M ⊂ Rm é uma subvariedade de classe Cr. Seja < ., . > o pro-
duto interno de Rn e seja uma parametrização ϕ0 : U0 ⊂ Rm → Rn defina
então definindo gx(u, v) =< Dϕ(ϕ−1(x))u,Dϕ(ϕ−1(x))v > temos uma métrica
Riemanniana de classe Cr−1.
Finalmente se f ;M → N é uma imersão e h é uma métrica Riemanniana
em N , podemos definir uma métrica Riemanniana em M induzida por f da
seguinte forma: gx(u, v) = hf(x)(Df(x)u,Df(x)v). É um exerćıcio mostrar g
de fato é uma métrica. Denotamos a métrica induzida g por f∗h.
Exerćıcio 6. Sejam g uma métrica Riemanniana em M , (x,U) e (y, V ) cartas
locais de M , q ∈ U ∩V e (∂xα∂yi ) a matriz jacobiana da mudança de base. Mostre
que as expressões locais da métrica nestas cartas se relacionam por:
gij,y(q) =
∑
α,β
∂xα
∂yi
∂xβ
∂yj
gαβ,x(q).
É natural agora tentar provar a existência de métricas Riemannianas para
uma variedade arbitrária.
Teorema 7.2. Seja Mn uma variedade Ck então existe g uma métrica Rie-
manniana de classe Ck−1 em M .
Demonstração. Seja {Uj , ϕj} uma cobertura localmente finita de M e sejam λj
funçoes bump em M que se anulam em M−Uj . Em cada Uj defina gj a métrica
Riemanniana induzida da métrica euclidiana pela imersão ϕj . Considere então
g =
∑
j λj(x)gj(x)
16, como cada gj é simétrica temos que g também é simétrica,
além do mais para todo x ∈ M pelo menos um gj(x)(v, v) é estritamente posi-
tiva, logo g é definida positiva e é posśıvel ver que g é Ck−1.
Definição 7.3. O par (M, g) composto por uma variedade M e uma métrica
Riemanniana g sobre M é dita uma variedade Riemanniana.
Em uma variedade Riemanniana podemos naturalmente calcular o compri-
mento de curvas, lembrando que se v ∈ TxM então ‖v‖x =
√
gx(v, v). Isto
é, seja c : [a, b] → M uma curva C1 então o comprimento de c é l(c) =∫ b
a
‖c′(t)‖c(t)dt.17E a partir dáı podemos definir uma distância entre pontos:
d(p, q) = inf{l(c); c : [0, 1] → M é curva C1 por partes tal que c(0) = p e c(1) = q}.
16Aqui fica entendido que mesmo que gj(x) não esteja definida, como λj = 0 então o valor
na soma é 0.
17De fato, basta C1 por partes
13
Em geometria Riemanniana se uma curva γ realiza este ı́nfimo então ela é dita
uma geodésica e satisfaz uma equação diferencial que essencialmente diz que
sua aceleração é zero. De fato, em Rn com a métrica euclidiana, temos que as
geodésicas são retas.
Exerćıcio 7. Mostre que (M,d) é um espaço métrico e que a topologia gerada
por d coincide com a topologia original de M .
Definição 7.4. Uma imersão f : (M, g) → (N, h) é dita uma imersão isométrica
se g = f∗h.
Vê-se nos cursos de geometria Riemanniana que se duas variedade são isométrica
(quando f é um difeomorfismo) então suas geometrias intŕınsecas são equiva-
lentes. Vamos denotar por can a métrica euclidiana de RN então um teorema
d́ıficil de Nash mostra que:
Teorema 7.5. Seja (Mn, g) uma variedade Riemanniana então existe um
mergulho isométrico f : (M, g) → (RN , can).
Mas neste caso o N é bem grande, com certeza maior que 2n + 1.
8 Contra-Exemplo ao teorema de Sard em baixa
regularidade
Nesta seção damos um roteiro para construir um contra-exemplo ao teorema
de Sard quando a hipótese sobre a diferenciabilidade do mapa não é satisfeita.
Seguiremos o artigo de Moreira-Ruas.
Lembre que o conjunto de cantor ternário K1/3 é obtido tomando o intervalo
[0, 1] e retirando o intervalo central de proporção 1/3, depois em cada um dos
intervalos restantes retire os intervalos centrais de proporção 1/3 (que no caso
teriam comprimento 1/9) e assim sucessivamente.
O conjunto de Cantor homogêneo Kα com 0 < α < 1 é obtido da mesma
forma, porém usando a proporção α ao invés de 1/3 na construção acima. Por-
tanto, no primeiro passo retiramos o intervalo ( 1−α2 ,
1+α
2 ), no segundo os inter-
valos (( 1−α4 )
2, 1−α
2
2 ) e (
1+α
2 + (
1−α
2 )
2, 1+α2 +
1−α2
4 ) (verifique!).
Assim como o conjunto de Cantor ternário pode ser visto como o conjunto
de números do intervalo [0, 1] tais que na sua representação em base 3 o número
1 não aparece temos a seguinte representação de Kα (verifique!):
Kα = {
∞∑
j=1
aj(
1− α
2
)n; aj ∈ {0, 1 + α1− α}.
Exerćıcio 8. Mostre que µ1(Kα) = 0.
Exerćıcio 9. Dados α, β mostre que existe um homemomorfismo fα,β : [0, 1] →
[0, 1] tal que fα,β(Kα) = Kβ e se 1−β2 < (
1−α
2 )
n então fα,β é Cn e Djfα,β(x) = 0
14
para todo j = 1, . . . k e x ∈ Kα.18
Fixe β = 1− 12n−1 . Note que Kβ = {
∞∑
j=1
aj
1
2nj ; aj ∈ {0, 2n − 1}}.
Exerćıcio 10. Denotando A + cB = {a + cb; a ∈ A , b ∈ B}, para A,B ⊂ [0, 1] e
c ∈ N. Mostre que Kβ + 2Kβ + · · ·+ 2n−1Kβ = [0, 2n − 1].
Fixe α tal que ( 1−α2 )
n−1 > 12n = (
1−β
2 ) e considere fα,β , podemos estender
esta função como 0 se x ≤ 0 e 1 se x ≥ 1 e ela continua de classe Cn−1. Seja
então a aplicação Fα,β : Rn → R dada por:
Fα,β(x1, . . . , xn) =
n∑
j=1
2j−1fα,β(xj).
Então Knα ⊂ Rn está contido no conjunto de pontos cŕıticos de Fα,β e tem
medida µn(Knα) = 0. Mas pelo exerćıcio acima temos que Fα,β(K
n
α) = [0, 2
n−1],
que não tem medida nula em R.
Finalmente tomando G : Rn×Rp → R×Rp dada por G(x, y) = (Fα,β(x), y)
temos que G é de classe Cn−1 e a imagem dos seus pontos cŕıticos contém
[0, 2n−1]×Rp que não tem medida nula. Isso dá o contra-exemplo pro teorema
de Sard.
18Sugestão: Fixe uma aplicação C∞ crescente (um homeomorfismo) ψ : [0, 1] → [0, 1], tais
que todas suas derivadas nos pontos 0 e 1 se anulam. Se (a, b) e (c, d) são intervalos retirados
correspondentes de cada conjunto de cantor defina fα,β = (d − c)ψ(x−ab−a ) + c e depois faça
uma extensão por continuidade.
15