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Eletromagnetismo II
Cap. 12: Eletrodinâmica e relatividade
12.2: Mecânica relativística
Prof. Marcos Menezes
Instituto de Física - UFRJ
12.2 Mecânica relativística
12.2.1 Tempo próprio e velocidade própria
Note que:
• 𝑑𝜏 é um intervalo registrado em um referencial onde o primeiro relógio está em repouso. Por essa razão, chamamos 𝜏
de tempo próprio. 
• 𝑑𝜏 é invariante sob transformações de Lorentz, enquanto 𝑑𝑡 depende do referencial por meio da velocidade 𝑢.
Como consequência da dilatação temporal, vimos que um relógio em movimento tem uma marcha mais devagar. 
Se um relógio registra um intervalo 𝑑𝜏 e se desloca com velocidade 𝑢 com relação a um referencial inercial, o intervalo 
𝑑𝑡 registrado em um segundo relógio fixo neste referencial é:
𝑑𝑡 = 𝛾𝑢𝑑𝜏 =
1
1 − Τ𝑢2 𝑐2
𝑑𝜏 𝑑𝜏 = 1 − Τ𝑢2 𝑐2 𝑑𝑡↔
Observe agora a definição tradicional da velocidade de um objeto:
𝐮 =
𝑑𝐥
𝑑𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
ො𝐱 +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
ො𝐲 +
𝑑𝑧
𝑑𝑡
ො𝐳
Como já vimos anteriormente, as diferenciais no numerador e denominador podem mudar sob uma transformação de 
Lorentz. O resultado é (regra de composição de velocidades):
onde assumimos, como sempre, que ҧ𝑆 se desloca com uma velocidade de módulo 𝑣 ao longo de 𝑋 positivo com relação a 𝑆
e que os eixos são paralelos.
Em razão dessa transformação ser complicada, é conveniente definir uma outra grandeza, conhecida como velocidade 
própria:
𝛈 =
𝑑𝐥
𝑑𝜏
=
𝑑𝑥
𝑑𝜏
ො𝐱 +
𝑑𝑦
𝑑𝜏
ො𝐲 +
𝑑𝑧
𝑑𝜏
ො𝐳 =
1
1 − Τ𝑢2 𝑐2
𝐮 = 𝛾𝑢 𝐮
Note que:
• Esta é uma grandeza mista: a posição é medida num referencial onde o objeto está em movimento e o tempo próprio é 
medido no referencial onde ele está em repouso.
• No regime não-relativístico (𝑢 ≪ 𝑐), 𝛈 e 𝐮 são indistinguíveis.
Agora, como 𝑑𝜏 é invariante, apenas as diferenciais no numerador mudam sob uma transformação de Lorentz! Com isso, 𝛈 se 
transforma de forma idêntica ao vetor posição. Isto motiva a definição de um novo 4-vetor!
Definimos então a 4-velocidade própria (ou simplesmente 4-velocidade) como:
𝜂𝜇 =
𝑑𝑥𝜇
𝑑𝜏
onde a parte espacial corresponde à velocidade própria. A novidade está na parte temporal (componente 0):
Note que esta componente armazena justamente a conexão entre o tempo próprio, medido no referencial de repouso do 
objeto, e o tempo “tradicional”, medido no referencial em questão.
𝜂0 =
𝑑𝑥0
𝑑𝜏
= 𝑐
𝑑𝑡
𝑑𝜏
=
𝑐
1 − Τ𝑢2 𝑐2
= 𝛾𝑢𝑐
Com esta definição, o 4-vetor velocidade se transforma da maneira usual, ou seja:
ҧ𝜂𝜇 = Λ𝜈
𝜇
𝜂𝜇 ⇒
Veja como as regras são bem mais simples que as da velocidade “tradicional”!
12.2.2 Energia e momento relativístico
o que define o momento relativístico.
Pensando na definição clássica de momento linear de uma partícula, 𝐩 = 𝑚𝐯, somos levados a uma dúvida ao tentar 
generalizá-la para a relatividade: se 𝛈 e 𝐮 são indistinguíveis classicamente, que velocidade devemos usar?
𝐩 = 𝑚𝛈 =
1
1 − Τ𝑢2 𝑐2
𝑚𝐮 = 𝛾𝑢𝑚𝐮
• A resposta está na lei da conservação de momento e no princípio da relatividade: se utilizássemos a velocidade 
“tradicional”, o momento não seria conservado em todos os referenciais inerciais! Veja um exemplo no problema 
12.28.
• Por essa razão, devemos empregar a velocidade própria:
Como 𝐩 é proporcional a 𝛈, esta definição convida à definição de mais um 4-vetor!
Definimos então o 4-momento como:
𝑝𝜇 = 𝑚 𝜂𝜇
onde a parte espacial corresponde ao momento relativístico. A novidade está novamente na parte temporal (componente 0):
O resultado acima sugere a interpretação de 𝑚 como uma massa de repouso, medida no referencial onde a partícula está em 
repouso e 𝑚𝑟𝑒𝑙 = 𝛾𝑢𝑚 como uma massa relativística, medida no referencial onde ela está em movimento.
𝑝0 = 𝑚 𝜂0 =
𝑚𝑐
1 − Τ𝑢2 𝑐2
= 𝛾𝑢𝑚𝑐
De forma mais moderna, interpretamos 𝑝0 como 𝐸/𝑐, onde:
𝐸 =
𝑚𝑐2
1 − Τ𝑢2 𝑐2
= 𝛾𝑢𝑚𝑐
2
é a energia relativística da partícula. Portanto, o 4-momento contém a energia e o momento relativístico da partícula!
Por que entendemos esta expressão como energia? Uma primeira pista vem da análise do limite não-relativístico (𝑢 ≪ 𝑐):
onde:
• Note que a energia de repouso, como o nome sugere, está presente mesmo quando o objeto está em repouso. 
• Os demais termos além de 𝐸0 e 𝐾𝑛𝑟 representam correções relativísticas para a energia cinética da partícula:
𝐸 = 𝑚𝑐2 1 −
𝑢2
𝑐2
−
1
2
= 𝑚𝑐2 1 +
1
2
𝑢2
𝑐2
+
3
8
𝑢4
𝑐4
+⋯ = 𝐸0 + 𝐾𝑛𝑟 +⋯
𝐸0 = 𝑚𝑐
2 𝐾𝑛𝑟 =
1
2
𝑚𝑢2
Energia de repouso Energia cinética 
não-relativística
𝐾 = 𝐸 − 𝐸0 = 𝛾𝑢 − 1 𝑚𝑐
2 = 𝐾𝑛𝑟 +⋯
Energia cinética 
relativística
A segunda evidência, determinante, vem do fato que essa expressão da energia é consistente com a lei de conservação da 
energia e o princípio da relatividade.
Neste ponto, é importante reforçar a diferença entre grandezas invariantes e grandezas conservadas:
• Grandezas invariantes têm o mesmo valor em qualquer referencial inercial: é o caso do tempo próprio e da massa de 
repouso.
• Grandezas conservadas têm o mesmo valor antes e depois de algum processo físico, como uma colisão, em um dado 
referencial inercial: é o caso da energia e do momento total de um sistema isolado.
• Existem grandezas que são invariantes e conservadas. É o caso da carga elétrica!
Podemos construir um invariante tomando o produto escalar do 4-momento por ele mesmo:
𝑝𝜇𝑝𝜇 = −(𝑝
0)2 + (𝑝1)2 + (𝑝2)2 + 𝑝3 2
o que confirma que a massa de repouso 𝑚 é invariante sob transformações de Lorentz. 
= 𝛾𝑢
2𝑚2 −𝑐2 + 𝑢2 = 𝑚2
𝑢2 − 𝑐2
1 − 𝑢2/𝑐2
= −𝑚2𝑐2
Exemplo: Massa como invariante e relação de dispersão relativística
Além disso, como 𝑝0 = 𝐸/𝑐 e (𝑝1)2 + (𝑝2)2 + 𝑝3 2 = 𝑝2, obtemos a relação de dispersão relativística:
𝐸2 = 𝑝2𝑐2 +𝑚2𝑐4
Em geral, a massa de repouso não é conservada em um processo relativístico! O que deve se conservar é a energia total e 
o momento total do sistema, se ele estiver isolado.
Exemplo: Um par elétron-pósitron pode se aniquilar, gerando dois fótons (partículas sem massa). Veja o problema 12.35.
Para ver algumas aplicações destes resultados em colisões, leia a seção 12.2.3 do livro-texto (leitura complementar).
12.2.4 Dinâmica relativística
• Como já vimos, a 1ª lei de Newton é consistente com o princípio da relatividade. Inclusive, a validade desta lei define 
o que é um referencial inercial.
• Da mesma forma, a 2ª lei de Newton também é consistente se escrita na forma:
𝐅 =
𝑑𝐩
𝑑𝑡
onde 𝐩 = 𝛾𝑢𝑚𝐮 é o momento relativístico da partícula. Note a consistência com a lei de conservação de momento quando 
a força resultante é nula.
• Por outro lado, em geral a 3ª lei de Newton não é satisfeita no domínio relativístico. Já vimos alguns exemplos de 
violação na eletrodinâmica, como a força entre duas partículas carregadas em movimento e a força de reação de 
radiação.
• No contexto da relatividade, esta violação está atrelada à relatividade da simultaneidade: se observamos a validade 
da 3ª lei em um dado referencial inercial, o mesmo não será necessariamente verdade em outro, onde as forças de 
mesmo módulo e sentidos opostos ocorreriam em instantes diferentes!
Exemplo:
Da 2ª lei de Newton, obtemos diretamente o momento relativístico da partícula como função do tempo:
𝐹 =
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
onde já utilizamos a condição inicial 𝑝 0 = 0.
Como 𝑝 = 𝛾𝑢𝑚𝑢, podemos obter a velocidade da partícula como função do tempo:
𝑝 𝑡 = 𝐹𝑡⇒
𝑚𝑢
1 − Τ𝑢 𝑐 2
= 𝐹𝑡 𝑚2𝑢2 = 1 − Τ𝑢 𝑐 2 𝐹2𝑡2⇒
𝑢(𝑡) =
Τ𝐹 𝑚 𝑡
1 + Τ𝐹𝑡 𝑚𝑐 2
Note como o comportamento é diferente do clássico! O limite não-relativístico é obtido quando 𝐹𝑡 ≪ 𝑚𝑐.
Para obter a posição como função do tempo, basta integrar a velocidade:
onde utilizamos a condição inicial 𝑥 0 = 0.
𝑥 𝑡 = න
0
𝑡
𝑢 𝑡′ 𝑑𝑡′ =
𝐹
𝑚
න
0
𝑡 𝑡′
1 + Τ𝐹𝑡′ 𝑚𝑐 2
𝑑𝑡′ =
𝐹
𝑚
𝑚𝑐
𝐹
2
1 + Τ𝐹𝑡′ 𝑚𝑐 2 ቚ
0
𝑡
Os gráficos das trajetórias clássica (parábola) e relativística (hipérbole) 
são mostrados nafigura ao lado.
Note que, para 𝐹𝑡 ≫ 𝑚𝑐, 𝑥 𝑡 → 𝑐𝑡 − 𝑚𝑐2/𝐹 (limite ultra relativístico). 
Esta é a reta tracejada indicada na figura.
Em outras palavras, a velocidade da partícula se aproxima da velocidade 
da luz após um tempo suficientemente longo, sem excedê-la! 
Classicamente, a velocidade cresceria indefinidamente.
=
𝑚𝑐2
𝐹
[ 1 + Τ𝐹𝑡 𝑚𝑐 2 − 1]
Transformação de forças
Como a força resultante é uma derivada do momento com relação ao tempo “tradicional”, esperamos que ela apresente 
as mesmas complicações que a velocidade sob uma transformação de Lorentz.
Por exemplo, para os referenciais 𝑆 e ҧ𝑆 que temos analisado até aqui:
ത𝐹𝑥 =
𝑑 ҧ𝑝𝑥
𝑑 ҧ𝑡
=
𝛾 𝑑𝑝𝑥 −
𝑣
𝑐
𝑑𝑝0
𝛾 𝑑𝑡 −
𝑣
𝑐2
𝑑𝑥
=
𝑑𝑝𝑥
𝑑𝑡
−
𝑣
𝑐
𝑑𝑝0
𝑑𝑡
1 −
𝑣
𝑐2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
onde 𝑣 é a velocidade de ҧ𝑆 com relação a 𝑆 ( ҧ𝑆 se move ao longo do eixo 𝑋) e exploramos o fato de que as componentes 
do momento se transformam como as do vetor posição (pois o 4-momento é um 4-vetor).
Como 𝑢𝑥 = 𝑑𝑥/𝑑𝑡 é a componente x da velocidade da partícula em 𝑆 e 𝑝
0 = 𝐸/𝑐, obtemos:
ത𝐹𝑥 =
𝐹𝑥 −
𝑣
𝑐2
𝑑𝐸
𝑑𝑡
1 − 𝑣𝑢𝑥/𝑐
2
Vamos calcular agora a derivada da energia com relação ao tempo:
Por outro lado, note que: 
Portanto:
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝑐2
1 − Τ𝑢2 𝑐2
=
𝑚
1 − Τ𝑢2 𝑐2 Τ3 2
1
2
𝑑
𝑑𝑡
𝑢2 =
𝑚
1 − Τ𝑢2 𝑐2 Τ3 2
𝐮 ⋅
𝑑𝐮
𝑑𝑡
𝐅 =
𝑑𝐩
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑚𝐮
1 − Τ𝑢2 𝑐2
=
1
𝑐2
𝑚𝐮
1 − Τ𝑢2 𝑐2 Τ3 2
𝐮 ⋅
𝑑𝐮
𝑑𝑡
+
𝑚
1 − Τ𝑢2 𝑐2
𝑑𝐮
𝑑𝑡
𝐮 ⋅ 𝐅 =
1
𝑐2
𝑚𝑢2
1 − Τ𝑢2 𝑐2 Τ3 2
𝐮 ⋅
𝑑𝐮
𝑑𝑡
+
𝑚 1 − Τ𝑢2 𝑐2
1 − Τ𝑢2 𝑐2 Τ3 2
𝐮 ⋅
𝑑𝐮
𝑑𝑡
=
𝑑𝐸
𝑑𝑡
Note que esta é a forma diferencial do teorema trabalho-energia, que permanece válido na relatividade!
Podemos escrever então:
De forma análoga, podemos obter as regras de transformação das demais componentes:
ത𝐹𝑥 =
𝐹𝑥 − 𝑣(𝐮 ⋅ 𝐅)/𝑐
2
1 − 𝑣𝑢𝑥/𝑐
2
ത𝐹𝑦 =
𝑑 ҧ𝑝𝑦
𝑑 ҧ𝑡
=
𝑑𝑝𝑦
𝛾 𝑑𝑡 −
𝑣
𝑐2
𝑑𝑥
=
𝑑𝑝𝑦
𝑑𝑡
𝛾 1 −
𝑣
𝑐2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
ത𝐹𝑦 =
𝐹𝑦
𝛾 1 − Τ𝑣𝑢𝑥 𝑐
2⇒
⇒ ത𝐹𝑧 =
𝐹𝑧
𝛾 1 − Τ𝑣𝑢𝑥 𝑐
2
Um caso particular de interesse é quando a partícula está instantaneamente em repouso em 𝑆. Nesse caso, temos 𝐮 = 𝟎 e:
ത𝐹𝑥 = 𝐹𝑥 ത𝐹𝑦 =
𝐹𝑦
𝛾
ത𝐹𝑧 =
𝐹𝑧
𝛾
ou seja: apenas as componentes da força perpendiculares à direção de movimento de ҧ𝑆 são alteradas.
Forças de Minkowski
De forma análoga ao que fizemos com a velocidade própria e a 4-velocidade, podemos definir um “4-vetor força” 
utilizando o tempo próprio ao invés do tempo “tradicional”:
𝐾𝜇 =
𝑑𝑝𝜇
𝑑𝜏
As partes espacial e temporal deste 4-vetor são dadas por:
Portanto, este 4-vetor contém informações a respeito da força e da taxa de variação da energia da partícula! Ele é conhecido 
como força de Minkowski. Por ser um 4-vetor, ele se transforma de forma análoga ao 4-vetor posição.
𝐊 =
𝑑𝐩
𝑑𝜏
=
𝑑𝐩
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝜏
= 𝛾𝑢𝐅 =
1
1 − Τ𝑢2 𝑐2
𝐅 𝐾0 =
𝑑𝑝0
𝑑𝜏
=
1
𝑐
𝑑𝐸
𝑑𝜏
=
𝛾𝑢
𝑐
𝑑𝐸
𝑑𝑡
OBS: É possível formular a dinâmica relativística inteiramente em termos de 𝐾𝜇 ao invés das forças tradicionais. No entanto, 
esta abordagem é de interesse limitado, pois em última análise estaremos interessados em como as grandezas variam com o 
tempo “tradicional”. 
Exemplo (Momento oculto):
Como não há variação de cargas com o tempo em nenhum ponto da espira, a corrente deve ser uniforme. Assim, 
comparando as porções superior e inferior do fio, temos:
𝐼 = 𝜆+𝑢+ = 𝜆−𝑢−
• Como 𝑢+ > 𝑢−, devemos ter 𝜆+ < 𝜆− (em módulo), ou seja, há um acúmulo 
de carga maior na porção inferior.
• Se tivermos 𝑁+ portadores na porção superior e 𝑁_ na inferior, e cada 
portador tiver uma carga 𝑞, podemos escrever (assumindo uniformidade em 
cada porção):
𝜆+ =
𝑁+𝑞
𝑙
𝜆− =
𝑁−𝑞
𝑙
Reunindo os resultados, obtemos:
𝑁+𝑢+ = 𝑁−𝑢− =
𝐼𝑙
𝑞
Classicamente, se a massa de cada portador é 𝑚, o momento total do sistema seria:
onde utilizamos o resultado do slide anterior.
𝑝𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠 = 𝑝+ + 𝑝− = 𝑁+𝑚𝑢+ − 𝑁_𝑚𝑢_ = 0
Relativisticamente, devemos corrigir a expressão acima para:
𝑝 = 𝑝+ + 𝑝− = 𝑁+𝛾+𝑚𝑢+ − 𝑁−𝛾−𝑚𝑢− = 𝛾+ − 𝛾− 𝑚
𝐼𝑙
𝑞
onde utilizamos mais uma vez o resultado do slide anterior.
Como 𝑢+ > 𝑢−, temos 𝛾+ > 𝛾− e a espira terá um momento mecânico resultante apontando para a direita! Chamamos 
esse momento de “momento escondido”.
Note como ele é de origem mecânica e resulta de um efeito relativístico!
Podemos ainda reescrever este resultado de uma forma mais conveniente. Note que a energia relativística adquirida por 
uma partícula ao ser acelerada no segmento da esquerda vale:
Δ𝐸 = 𝐸+ − 𝐸− = 𝛾+ − 𝛾− 𝑚𝑐
2
Pelo teorema trabalho-energia, esta variação deve ser igual ao trabalho realizado pela força eletrostática. Assim:
e portanto:
Δ𝐸 = 𝑊𝑒 = 𝑞𝐸𝑤
𝛾+ − 𝛾− =
𝑞𝐸𝑤
𝑚𝑐2
𝑝 = 𝛾+ − 𝛾− 𝑚
𝐼𝑙
𝑞
=
𝐸𝐼𝑙𝑤
𝑐2
⇒
Como podemos simplificar ainda mais este resultado?
Lembre agora que 𝑚 = 𝐼𝑙𝑤 é o módulo do momento de dipolo magnético da espira! Portanto, podemos escrever em 
forma vetorial:
Observe a consistência com a regra da mão direita: 𝐦 aponta para dentro do plano 
da tela e 𝐩 aponta para a direita.
𝐩 =
1
𝑐2
(𝐦 × 𝐄)
Curiosidades:
• Este resultado parece surpreendente, pois estamos concluindo que uma espira estática possui momento mecânico 
diferente de zero.
• Por outro lado, é possível mostrar que o momento armazenado no campo eletromagnético produzido pelo sistema é 
𝐩𝑒𝑚 = −𝐩 (veja o problema 8.20 da 4ª edição do livro-texto). Portanto, o momento linear total do sistema ainda é 
nulo!
• Nem sempre este cancelamento ocorre e alguns sistemas estáticos podem apresentar momento linear total diferente 
de zero! Discutimos alguns exemplos no cap. 8. Para mais detalhes sobre isso, veja a discussão sobre centro de energia 
no cap. 12 da 4ª edição do livro-texto.
Referências básicas
• Griffiths (3ª edição) – cap. 12
• Moyses, vol. 4 – cap. 6
Leitura avançada
• Zangwill – cap. 22 e apêndice D
• Jackson – cap. 11