OPERACOES_UNITARIAS_COM_SISTEMAS_SOLIDOS (1) (1)

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OPERAÇÕES UNITÁRIAS
IP VOLUME
OPERAÇÕES COM SISTEMAS SÓLIDOS GRANULARES
R E Y N A L D O G O M I D E 
“ Advanced Chemical Engjneer” e “ Master 
o f Science in Chemical Engineering 
Practice“ pelo Mas$achu$etts Institute o f 
Technology. Engenheiro Químico e Civil 
pela Escola Politécnica da Universidade 
de Sâo Paulo. Engenheiro consultor 
industrial. Diretor da Eterg Engenharia 
Ltda. Professor titular da FELFaculdade 
de Engenharia Industrial.
E D I Ç Ã O D O A U T O R 
São Paulo 
1983
Desenhos: José Apaiecido PaixSo 
Capa: In ter Studio
C om posição: Taicano A rtes Gráf»cas L tda. 
Imprcssdo e A cabam ento: FEI GráHca 
F o to h to s: Yangucr Estúdio G ráfico Ltda.
CiP-Brasil. CataiogaçSo-na«PubUcaçao 
Câmara Brasileira do Livro, SP
Gomide, Reinaldo, 1924 —
G6210 Operações unitárias / Rcynaldo Gomide. — São Paulo; R. Go- 
v .i;5 mide, 1 9 8 0 -
Bibliografia.
Conteúdo: v .l. Operações com sistemas sólidos granutaies. 
1983. —V.3. Separações mecânicas. 1980.
1. Engenharia química 2. Química industrial 
1, T ítulo . II. T ítulo: Operações com sistemas sólidos granulares. 
in. Título: Separações mecânicas.
83-0657
CDD-660.2
.660
índices para catálogo sistemático:
1. Engenharia qu única 660.2
2. Química industrial: Tecnologia 660
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REYNAUX) GOMIDE
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Tels. 61*5323. 241-2883 - Sâo Paulo - SP - CEP 05678
CONTEÚDO
página
Prefácio...................................................................................................................... IX
CAPITULO I — Operações U nitárias.......................................................................... I
Engenharia Química e Operações Unitárias................................................ 2
Princípios utilizados...................................................................................... 3
ClassifícaçSo das Operações U n itá ria s ........................................................ 4
Revisões aconselhadas......................................................... 
Questões p ro p o s ta s ...................................................................................... 6
Referências bibliográficas........................................................................... 12
CAPITULO II “ Propriedades dos sólidos particulados.......................................... 13
Caracterização granulom étrica.................................................................... 13
Materiais com partículas uniform es....................................................... 14
Materiais heterogêneos........................................................................... 17
Apresentação dos re su ltad o s ............................................................ 20
Cálculos baseados nas análises granulom êtricas............................. 2S
Propriedades dos sólidos granularcs........................................................... 36
Questões p ro p o s ta s ..................................................................................... 43
Referências bibliográficas........................................................................... 43
CAPÍTULO III — Fragmentação de sólidos........................................................ 45
Mecanismo da fragm entação ...................................................................... 46
Equipamento empregado na fragm entação............................................... 47
Classificação dos eq u ipam en tos............................................................ 48
Relação de fragm en tação ...................................................................... 50
Características gerais do equipam ento ................................................. 50
V I CONTEÚDO
página
Brítadorcs primários..................................................................................... 50
De m and ibu las........................................................................................ 50
G ira tó rio .................................................................................................. 57
Britadores secundários................................................................................ 61
De m arte lo s .......................................................................................... 61
De p in o s ............................................................................................... 62
De barras ou g a io la ............................................................................. 64
De rolos................................................................................................. 65
Outros tipos............................................................................................. 68
C ô n ic o ..................................................................................................... 70
De discos.................................................................................................. 72
M oenda..................................................................................................... 73
R otatório.................................................................................................. 74
Moinhos finos............................................................................................... 74
Centrífugos dc a t r i to .............................................................................. 74
R e b o lo ..................................................................................................... 79
De rolos d e n tad o s ................................................................................ 79
Dc b o la s ............................................................................................... 80
De energia flu ida.................................................................................. 87
Moinhos co lo idâis........................................................................................ 88
Operações de m o ag em ................................................................................ 89
Consumo de energia.................................................................................. 90
Lei de K i c k .......................................................................................... 92
Lei de Rittinger..................................................................................... 93
Lei de B o n d .......................................................................................... 96
Questões p ro p o s ta s .................................................................................. 104
Referências bibliográficas.......................................................................... 106
CAPITULO IV — Transporte de só lidos.................................................................. 109
Importância do transporte de sólidos........................................................ 109
Especificação do equipam ento.................................................................. 110
Classificação do eq u ip a m e n to .................................................................. 111
Dispositivos carregadores.......................................................................... 112
Transportador de correia...................................................................... 112
Transportador dc esteira...................................................................... 128
Transportador dc corrente................................................................... 133
Transportador de c a ç a m b a ................................................................ 133
Transportador vibratório.......................................................................136
Transportador por g rav idade................................................................ 139
CX)NTEODO vn
página
Dispositivos arrastadores.......................................................................... 139
T ran^o rtado r de calha........................................................................ 140
T ransportador heücoidal..................................................................... 144
Dispositivos elevadores............................................................................. 153
Elevador h e lico id a i............................................................................. 153
Elevador de canecas............................................................................. 154
Dispositivos a lim en tado rcs ..................................................................... 161
Dispositivos p n eu m ático s ........................................................................ 164
Questões p ro p o s ta s .................................................................................. 182
Referências bibliográficas........................................................................ 185
C APrrULO V — Penciramento............................................................................... 187
A opeiaçSo de peneiram ento ................................................................... 187
Cálculos relativos ao peneiram ento........................................................ 190
Quantidades p roduz idas..................................................................... 190
Efíciência do peneiram ento................................................................ 192
Dimensionamento de um a p e n e ir a ................................................... 193
Teoria c prática do peneiram ento ........................................................... 201
Previsões teóricas....................................................................................... 201
Conduçio prática da operação ................................................................ 202
Equipamento utilizado............................................................................. 203
Peneiras estacionárias........................................................................... 204
Peneiras rotativas.................................................................................. 205
Peneiras a ^ ta d a s .................................................................................. 208
Peneiras v ib ra tó ria s ............................................................................. 210
Questões p ro p o s ta s .................................................................................. 212
Referências bibliográficas........................................................................ 215
c a p i t u l o VI - Mistura de só ü d o s ..................................................................... 217
Tipos de operação ..................................................................................... 217
Equipamento u tilizado ............................................................................. 217
Controle da operação................................................................................ 221
Velocidade de o p e ra ç ã o .......................................................................... 222
Referências bibliográficas........................................................................ 224
CAPITULO v i i — Armazenamento de sólidos...................................................... 225
Propriedades dos sólidos arm azenados................................................... 226
Tipos de arm azenam ento ........................................................................ 227
Esforços em leitos granularcs soltos........................................................ 228
vm CONTEÚDO
página
Esforços em silos e depósitos................................................................... 231
Esvaziamento de süos e depósitos........................................................... 233
Referências bibliográficas........................................................................ 236
CAPIYULO v i u - Fluídização dc só lid o s ........................................................... 237
Técnicas de contato sólido-fluido........................................................... 237
F lu id ízâção ............................................................................................... 238
Condiçóes de fluidizaçáo.......................................................................... 241
Propriedades dos leitos fluidizados e cálculos relativos à fluidizaçáo . 244
Porosidade............................................................................................ 245
Velocidade de fluídização................................................................... 245
Densidade do sólido............................................................................. 245
Densidade do fluido............................................................................. 245
Densidade do leito fluidizado.............................................................. 245
Altura do l e i t o ..................................................................................... 246
RelaçOes entre densidade, porosidade e a ltu ra ................................. 247
Perda dc carga....................................................................................... 248
Velocidade crítica de flu íd ização ...................................................... 257
Efíciéncia de fluídização..................................................................... 260
Início da fluidização co n tín u a ........................................................... 263
Transferência de calor em leitos flu id izados.................................... 267
Transferência de massa em leitos fluidizados.................................... 268
Vantagens da técnica de leito fluidizado................................................. 269
Desvantagens da técnica de leitos f lu id izad o s ...................................... 270
Aplicações da técnica de leito f lu id izad o .............................................. 271
Questões p ro p o s ta s .................................................................................. 277
Referências bibliográficas........................................................................ 281
APÊNDICE
A. I — Séries padronizadas de peneiras................................................... 285
A .I.l — S érieT yler........................................................................ 285
A.1.2 — Peneiras B S ..................................................................... 286
A. U — Peneiras IM M ................................................................... 287
A .I .4 - S é r ie ASTM ...................................................................... 288
A.2 — Conversões de un idades................................................................ 289
PREFACIO
De presença t?o viva em nossa memória, engenheiros como Lewis, McAdams, 
Güliland, Whitney, Hottc), Weber, Meissner, Mickley e tantos outros com os quais 
convivemos no MIT, induziram>nos espirítualmente a incentivar, também em nosso 
meio, a arte da Engenharia Química.
O trabalho que estamos lançando é modesto apenas quanto ao seu valor técnico- 
científico, porque o tem po e o esforço empregados, as difículdades técnicas e os in ­
vestimentos para a sua realização estiveram m uito longe disso. Lamentavelmente o 
trabalho criativo tem essa característica frustrante: a cada momento de inspiração se­
guem-se horas ou dias de elaboração. Quantificando: 5% de genialidade, 95% de 
suor. Gratificantes, todavia, são as referências de colegas aos trabalhos que já publi­
camos, o que na verdade constitui o agente propulsor desta nossa atividade nada 
atraentesob o aspecto financeiro, mas que tanto nos motiva. Na verdade estamos 
sendo cobrados pelos que , tendo tom ado conhecimento de nosso trabalho, manifes­
taram-nos pessoalmente o seu agrado ou tém escrito de outros estados e até do exte ­
rior. ansiosos pelas raras publicações no campo da engenharia química escritas e 
produzidas com os nossos recursos próprios. Não podemos esquecer a expectativa 
dos alunos que enfrentam as dificuldades de seus cursos profissionais sem os livros 
técnicos em português de que necessitam. A todos entregamos o produto de nosso 
esforço e entusiasmo. O novo leitor julgará simultaneamente a obra e a força pro ­
pulsora que nos moveu.
Neste primeiro volume apresentamos as Operações Unitárias envolvendo o ma­
nuseio de sistemas sólidos particulados: fragmentação, transporte, armazenamento, 
peneiramento, mistura e fluidização. Tanto a profundidade, como a extensão dos 
diversos capítulos, tiveram que ser cuidadosamente controladas para que o conteú ­
do do livro pudesse ser intcgralmente ministrado com um bom número de aplica­
ções numéricas num semestre letivo com quatro aulas semanais. Boa parte do mate-
X P R E F Â aO
ríal das notas dc aula originais foi sendo cortada aos poucos durante a preparação 
do manuscrito para conseguirmos atlngjr esse objetivo. Para nós o tex to ainda está 
incompleto, mas é preciso nSo perdermos de vista a sua finalidade didática.
Quase todo o material quantitativo (correlaçóos, tabelas, gráficos e abacos) é 
apresentado em unidades métricas. Não por sermos contra as unidades inglesas ou 
porque as julguemos impróprias ou ultrapassadas, mas pela inexistência de correla­
ções desse tipo com os parâmetros em nossas unidades. A tarefa não foi fácil, pois 
gráficos e príncipalmcnte ábacos, não podem ser apenas traduzidos para ficarem 
imediatamente nas unidades mais convenientes. Tivemos que obter a correlação que 
serviu de base para o trabalho original antes de podermos preparar o novo desenho. 
O custo de uma figura desse tipo em unidades métricas resulta proibitivo quando 
nossas horas de dedicação são computadas à base dos serviços de consultoria. Mas 
há também o lado positivo e que na verdade resultou numa originalidade do traba ­
lho, pois decidimos apresentar as equações empíricas que obtivemos a partir dos ába ­
cos e tabelas intermináveis de origem e que foram utilizadas para desenhar os gráfi­
cos do texto. Estas equações são m uito convenientes para acelerar os cálculos com 
as atuais máquinas programáveis.
Outra particularidade gráfica deste volume é a adequação dos desenhos dos equi­
pamentos às reais necessidades do engenheiro químico. Todos sabemos que as figu­
ras em planta, elevações, cortes e detalhes são extrememente impróprias para fins 
didáticos, além de inviabilizarem o custo da obra. Por outro lado. um corte ou uma 
planta isoladamente quase nunca é suficiente. Como o engenheiro químico está 
mais interessado no princípio de funcionamento do que nos detalhes, optamos qua­
se sempre pelas figuras simplificadas, feitas em perspectiva. Outras vezes só um es­
quema é apresentado.
Imperfeições técnicas das notas de aula que deram origem a este volume foram 
mantidas porque a sua ocorrência na literatura técnica ainda é generalizada. O sím ­
bolos õK, /í, HP, RPM, CV, mCA e mmCA, por exemplo, continuam sendo usados 
ao invés de K, ^ m , hp, rpm , cv, mea e mmea. Os termos micron c microns também 
são empregados normalmente e porisso continuam aparecendo em nosso livro. Para 
imperfeições semelhantes o leitor tem desde já a nossa justificativa.
As ilustrações práticas e questões propostas vem sendo utilizadas em nossas aulas 
há tan to tempo que já nem podemos distinguir as que vieram de cursos no MIT e na 
Politécnica, ou que foram retiradas de livros, das que são de nossa autoria ou fazem 
parte de projetos que executamos ao longo do tempo. Perdoe-nos porisso quem in ­
voluntariamente deixou de ser citado.
Estamos certos da utilidade deste livro para os que participam do aprendizado da 
engenharia química em nosso país, bem como aos profíssíonais do ramo.
O autor.
São Paulo, maio de 1983
CAPITULO 1
O perações u n itá r ia s
0 engenheiro químico tem como campo de açâo a indústria de processo quí ­
mico. Este grupo de indústrias não se restringe às centralizadas numa ou mais 
reações químicas, como pode parecer, estendendo-se igualmente a muitas ou ­
tras que, embora sejam de caráter essencialmente físico, visam obter como pro ­
duto principal, um ou mais compostos químicos de importância industrial. E 
0 caso da indústria do sal que, apesar de só envolver operações físicas, produz 
o cloreto de sódio, um com posto químico de uso industriai generalizado. Hm 
regra, todavia, as indústrias de processo químico incluem ao menos uma etapa 
química. Através de uma série de operações físicas as matérias primas são pre ­
paradas para as reações às quais se destinam e, depois, o produto é purificado 
ou separado dos sub-produtos e reagentás não utilizados.
Compreender o projeto t a construção das indústrias de processo químico 
é a essência da engenharia química. Para que se possa partir da concepção ori­
ginal do processo e chegar a uma unidade comercial de larga escala será neces­
sário, sem dúvida, dominar todos os princípios físicos e químicos envolvidos 
na fabricação, mas o sucesso do empreendimento depende, acima de tudo, de 
um com pleto dom ínio dos problemas de engenharia relacionados com o pro ­
jeto . É 0 estudo das operações unitárias que deverá proporcionar ao futuro en­
genheiro 0 treinamento suficiente para atingir este objetivo.
Também à produção interessa o estudo das operações unitárias. Na verdade 
só se pode tirar o máximo proveito de qualquer unidade processual se os prin-
CAPI*rULO 1
cipk>s que governam o seu funcionamento forem perfeitamente compreendi­
dos pelo profissional responsável pela sua operaçáo.
Ao iniciarmos o estudo das operações unitárias que, como podemos con ­
cluir, se identificam á própria engenharia química, desejamos tom ar bem claro 
um ponto im portante: engenharia química é ciência e arte. Nas áreas de ativida­
de complctamente cobertas pela teoria a engenharia química é ciência. Em ou ­
tras, no entanto, a análise teórica ainda é de pouca utilidade para o engenheiro. 
Nestas áreas a engenharia química é uma arte e o engenheiro qu to ico deve pro ­
je ta r as instalações ou operações envolvidas com base na experiência e no julga­
m ento profissional próprios. A teoria ê apenas o guia prático do engenheiro. 
Porisso, ao estudar operações unitárias, o futuro engenheiro químico deve exer­
citar e procurar desenvolver ao máximo o seu julgamento profíssional, deci­
dindo pela opçáo que lhe pareça a melhor ao selecionar ou projetar cada equi­
pamento, ou definindo com acerto, em cada situação que se lhe apresente, as 
variáveis que controlam a operaçáo em estudo.
ENGENHARIA QUIMICA E OPERAÇOES UNITÁRIAS
O engenheiro quhnico foi criado para preencher a lacuna existente entre o 
químico que estuda o processo em aparelhagem de vidro no laboratório, e os 
engenheiros mecânicos c eletricistas que constroem e montam o$ equipamen­
tos. Um profissional bem preparado deve estar em condições de entender bem 
a descriçâTo básica do processo fornecido pelo químico dc laboratório e proje­
tar os equipamentos de modo a fornecer aos demais engenheiros, documentos 
que tom em possível a realizaçáo prática do processo em larga escala.
Os primeiros esforços visando sistematizar o ensino da engenharia química, 
na época de sua criaçáo, fizeram com que se reconhecesse que todos os proces­
sos industriais têm em comum certas técnicas c operações baseadas nos mesmos 
princípios científicos. A separaçáo dos sólidos de uma suspensão por meio de 
filtros, a separaçáo de líquidos por destilaçfo ou a secagem de sólidos, por 
exemplo, sJo operações comuns a um grande número dc indústrias.O proble­
ma de se projetar um destilador para fabricar álcool, refinar petróleo ou produ ­
zir medicamentos é basicamente o mesmo. As diferenças estSo nos detalhes 
construtivos do equipamento utilizado, sendo muitas vezes ditadas mais pela 
capacidade ou escala de operaçáo do que propriamente pelo tipo de indústria. 
O mesmo ocorre com os transportes de fluidos ou sólidos, com os aquecimen­
tos e resfriamentos, as secagens, as misturas e as separações em geral.
O conceito de operações unitárias foi a crístalizaçáo destas idéias. O térm o é 
descritivo no sentido de que toda indústria qu única é na realidade uma série 
coordenada de operações individuais que integram a fabrícaçáo. O modo mais 
eficiente de estudá^as é em conjunto e sem partícuiarizar o tipo de indústria
o p e r a ç õ e s u n i t á r i a s 3
onde $e aplicam, para nSo se ter que penetrar desnecessariamente nas particu- 
iarídades dos processos envolvidos. O estabelecimento deste ponto de vista, fei­
to em 1915 por Artur D. Little num relatório formal à corporaçS? do MIT, 
unífícou e fortaleceu sobremaneira o estudo da cn^nharia química.
As operações unitárias sáo fundamentalmcnte operações físicas, embora pos­
sam envolver excepcionalmente reações químicas, como acontece na absor- 
çáo de gases ácidos em soluções alcalinas. Entre muitas outras finalidades, as 
operações unitárias visam reduzir o tam anho dos sólidos a processar, transpor­
tá-los, separar componentes de misturas ou aquecer e resfriar sólidos e fluidos. 
Sáo exemplos o britam ento, a fíltraçáo, a secagem, a evaporação, a destilaçáo. 
a absorção e a extração.
PRINCd»IOS UTILIZADOS
O estudo das operações unitárias baseia-se nos princípios físicos e físico-quí- 
micos de dom ínio geral dos estudantes de engenharia química. Para facilitar o 
seu uso. estes princípios costumam ser reunidos em quatro grupos de generali­
dade e precisão decrescentes. A técnica necessária para utilizá-los é objeto da 
Estequiometria Industrial e inclui a prática de balanços materiais, balanços de 
energia, relações de equilíbrio e equações de velocidade. Para as operações uni­
tárias mecânicas os balanços de força também são importantes. O escoamento 
de fluidos e a fragmentação de sólidos são exemplos de operações unitárias que 
envolvem equações deduzidas com base em balanços dc forças.
Convém ressdtar o fato de que reside nas equações de velocidade o princi­
pal interesse durante o estudo das operações unitárias, pois são elas que permi­
tem calcular as dimensões dos equipamentos requeridos. E é isso precisamente 
0 que se espera do engenheiro químico de processo. Assim sendo, a determ ina ­
ção dos fatores que influem díretamente na velocidade de cada tipo de opera­
ção deverá ser permanentemente o foco de nossas atenções no assunto que va­
mos apresentar. 0$ detalhes construtivos dos equipamentos utilizados, princi­
palmente os mecânicos, são geralmente secundários sob o ponto de vista do en ­
genheiro de processo. Os equipamentos das indústrias de processo químico 
geralmente operam mal, ou não funcionam, mais por erros de dimensionamen- 
to processual ou de concepção, do que por deficiências de soldas ou parafusos. 
Estes detalhes são importantes para construir e m ontar os equipamentos, mas 
não interferem fundamentalmente com o seu desempenho processual. As di­
mensões de um tanque, a área de um trocador de calor, a altura e o diâmetro de 
uma coluna de destilação, o tamanho de um decantador ou a velocidade de um 
agitador são grandezas m uito mais importantes, sob o ponto de vista do pro ­
cesso em si, do que os detalhes mecânicos, por mais soílsticados que possam 
ser.
4 CAP íTULO 1
CLASSIFICAÇÃO DAS OPERAÇÕES UNITÁRIAS
A ordem em que as operações unitárias são estudadas é arbitrária. Todavia, 
uma classificação é sempre útil, porque simplifica e abrevia o seu estudo em 
conjunto. Uma classificação lógica das operações unitárias pode gerídmente 
ser feita com base no seu mecanismo ou, se houver vários mecanismos envolvi­
dos, naquele que controla a velocidade global da operação. Assim é que há ope­
rações de transferência de calor ou de massa e operações mecânicas. Um exem ­
plo de operação que envolve diversos mecanismos é a evaporação de uma solu* 
ção com o fim de produzir cristais. Esta operação podería ser classificada indi* 
ferentemente como: 19) separação do soluto da solução; 29) vaporízação do so* 
luto; 39) operação de transferência de massa entre a fase líquida e o vapor; 49) 
transferência de massa entre as fases líquida e sólida; 59) operação de transfe­
rência de calor para a solução. Contudo, é a transferência de calor que contro ­
la a operação e, por esta razão, o equipamento utilizado é fundamentalmente 
um trocador de calor. Porisso esta operação deverá ser incluída entre as de tro ­
ca de calor. Já no caso da secagem, é a transferência de massa que controla a 
operação e por este motivo ela deve ser incluída no grupo de operações que en ­
globa a destilação, a absorção, a cristalização, a extração líquido-Iíquido e a ele- 
' trodiálise. Com base neste critério mecanismo as operações unitárias são classi­
ficadas em quatro grupos; operações mecânicas, operações de transferência de 
calor, operações de transferência de massa e operações de transferência de 
quantidade de movimento.
Uma classificação das operações unitárias pelo tipo de sistema também pode 
ser feita. Muito embora haja concordância entre as duas classificações, a ante ­
rior, baseada no mecanismo, é mais consistente sob o ponto de vista teórico, 
mas o estudo ccmjunto de operações características de um determinado tipo de 
sistema também tem as suas vantagens. Optamos pela combinação dos dois 
critérios, classificando as operações unitárias como passamos a expor.
Operações Mecânicas
Operações envolvendo sistemas sólidos granulares 
Fragmentação 
Transporte 
Peneiramento 
Mistura
Armazenamento
Operações envolvendo sistemas fluidos 
Escoamento de fluidos 
Bombeamento de líquidos 
Movimentação e compressão de gases 
Mistura e agitação de líquidos
o p e r a ç Oe s u n i t á r i a s 5
Operações com sistemas sólido - fluido 
Fluidízaçâo de sóIídos(*)
Separações mecânicas
sólidos de sólidos 
sólidos de líquidos 
sólidos e/ou líquidos de gases 
líquidos de líquidos
Operações de transferência de calor
Transferência de calor por condução em sólidos, sem e com geração interna, 
em regime permanente ou transíente.
Aquecimento e resfriamento de fluidos
Condensação
Ebulição
Evaporação
UofiUzação
Transferencia de calor por radiação
Operações de transferência de massa 
Destilação
Absorção e “ stripping” de gases 
Adsorção
Extração líquido-Iíquido 
Uxiviação
Secagem e umidifícação de gases 
Condicionamento de gases 
Secagem de sólidos 
Diáiise e eletrodiâlise 
Cristalização 
Troca íônica
RJEVISÕES ACONSELHADAS
Para obter resultado positivo com o estudo das Operações Unitárias^ reco ­
menda-se a revisão prévia de alguns assuntos fundamentais relativos à engenharia
(*) Em nosso trabalho decidimos antecipar a fluidização de sólidos, apresentando esta ope­
ração jun tam ente com as operações realizadas com sistem as sólidos, isolando neste gru ­
p o ^ n a s as separações mecânicas.
c a p i t u l o 1
química. Convém que o leitor esteja perfeitamente familiarizado com o que se­
gue:
1. Técnicas de Estequiometría Industrial.
2. Domínio prático e teórico da Termodinâmica Técnica.
3. Métodos de cálculo gráfico e numérico, o que, por sua vez, envolve práti­
ca no uso de papéis mUimetrados comuns, logdog e semi-log, prática de 
iníegraçffo e diferenciação gráficas e numéricas.
4 . Tratamento estatístico de dados e, em particular, precisão de medidas. 
Cálculo de erros, médias, desvios e limites de confiabilidade de resultados.
5. Prática no uso de equipamentos técnicos de cálculo, como computado ­
res e calculadoras eletrônicas.
A fim de servir como roteiropara estas revisões, apresentamos a seguir algu­
mas questões típicas que servirão também para o estudante conferir o estado 
atual de seus conhecimentos práticos nestes assuntos. Ao encontrar dificulda­
de num determinado problema, recomenda-se uma revisão do assunto tratado.
QUESTÕES PROPOSTASl' >
Paia resolver os problem as de Esiequiom etria Industrial consulte a lefeiência 2.
1.1 A s^u çS o aquosa de um sal, de concen traçãoC , kg/m ’ , é alim entada em vazãocons- 
tan tc (a m*/h) a partir dc um tanque de grande capacidade, a um o u tro m unido de agita ­
dor. Este encerra 250 6 de á ^ a pura n o início da g e ra ç ã o . À m edida que a sedução sali­
n a escoa para o tanque a ^ ta d o à razão dea m ’ /h , a m istura resultante é tam bém red ra ­
da à mesma razSo, indo paia o processo onde deverá ser utilizada. Na saída do prim eiro 
tanque há um a válvula de regulação autom ática de vazão e o segundo tanque é equipado 
com um legulador de nível que a tu a o u tra válvula autom ática na saída desse tanque, m an ­
ten d o constan te o nível da m istura n o tanque. Pede-se: a) relacionar a concen traçãoC da 
sedução alim entada ao processo num dado instante com o tem po d decorrido desde o in í ­
c io da operação (ado tar o = 5 0 fi/A); b) o tem po necessário para ser ob tida solução de con ­
centração igual à m etade do valor C , ; c) com o se poderá to m ar duas vezes m aior o tem po 
calculado em b?
1.2. U m a reação cata lítica en tre os leagentes gasosos A c B p a ia .fornecer o p ro d u to gasoso 
A B i deve ser realizada em processo con tínuo . Em vim ide da baixa conversão po r passe no 
reator, que é dc 33,3%, e d o elevado custo dos reagentes, deddiu-se operar com reciclo da 
m istura que sai d o reator, após separação d o p ro d u to form ado, po r absorção num solven­
te não-volátil. Os reagentes não são absorvidos de m odo apreciável durante a recuperação 
do p rodu to , porem a recuperação deste não é total. A m istura gasosa a ser reciclada en ­
cerra 1 mol % d o p ro d u to ao sair do sistema de absorção. A m istura alim entada en ­
cerra os reagentes na p rc^o içâo estequiom étrica e mais um por cento d o m aterial inerte 
C, que tam bém não é absorvido em proporção apreciável durante a recuperação do produ ­
to form ado n o reator. A fim de e rita r o acúm ulo deste m aterial inerte no sistema, o que vi­
ría prejudicar a conversão dos reagentes em p ro d u to , deve-se purgar um a parte dos gases 
que saem da e d u n a de absorção de m odo a m anter abaixo de 3% o teor de inerte n o reci­
c lo. Por 100 kmoi de alimentação, calcule:
a) a purga necessária para m anter as condições impostas:
b) a quantidade da A form ada;
c) o rendim ento global d o processo;
d) o reciclo;
e) a porcentagem de C na entrada do reator.
OPERAÇÕES UNITÁRIAS
1.3.
1.4.
1.5.
1.6 .
Um fom o experim ental queim a m etano com a quantidade teórica de ar. Devido a defeitos 
de construção e m á operação d o fom o. a reação não se com plem enta integralmente. Dez 
p o r cen to d o cari>ono queim ado form am CO, o restante passa a CO^ e não se form a fult* 
gem, nem alcatrão. O m etano c alim entado a 25®C e o ar, com 30% de um idade, é pré- 
aquecido a 8 0 ^ . 0 $ fum os saem do fom o a 4 5 0 ^ . Calcular a porcentagem d o m etano 
alim entado que se queim a n o fom o. Quais são as suas recom endações para corrigir ou me­
lho rar a operação d o fom o? Na hipótese de se poder m elhorar em 20% a queim a do m eta ­
n o , dé sua estim ativa da nova tem peratura dos fumos.
Dados: pressão de vapor da á ^ a a 80<)C, 355 m m de Hg; pressão barom étrica. 700 mm 
de Hg; enialpia-padrão de com bustão d o m etano, dando água I fq u id a e C O j, 212798 cal/ 
m<ri; entalpia de vaporização da água liqu ida a 1 8 ^ , 584 kcal/kg; com posição volumétri- 
ca d o ar, 21% de oxigênio e 79% de nitrogênio.
Uma bolsa de gás natural acha-se inicialmentc à pressão de 260 atm e 6 5 ^ . O fa to r de 
com prcssibilidade do gás nestas condições foi avaliado em 0,80. Após produzir trin ta e cin­
co milhões de m etros cúbicos de gás, m edidos a 2 0 ^ e 1 atm . a pressão caiu para 170 atm 
e . a tem peratura, para 6 4 ^ . O fa to r de cwnpressibilidade nestas novas condições é avalia­
do em 0,85. Calcular a quantidade, em m etros cúbicos norm ais, de gás natural inicialmen- 
te presente na bolsa.
A seguinte análise de O rsat foi ob tida para os gases de escape dc um m o to r funcionando 
com um a p s d t n a paraTmica de densidade API igual a 6 0 ^ e p o n to de ebulição m édio (ba ­
se molar) de 120°C : C O j 13%, CO 0.3%, O j 0.5%. (}ual é a sua estim ativa da massa m<^e- 
cular da gastdina empregada?
N um a instalação que produz ácido nftrico pela destilação de um a m istura de n itra to de só ­
d io e ácido sulfúrico, a destilação teve o c u n o descrito pela tabela que se segue, onde $ t o 
tem po em horas m edido a partir d o im eio da o ^ ra ç ã o , C é a concentração d o destilado 
que se condensa no instante $ (expressa cm porcentagem de HNO3 em peso) e m a massa 
total do destilado recolhido desde 0 in icio da operação até 0 instante 6:
$ (hotas) C(% ) m (k g )
0 0 0
1/4 30 ,0 100
1/2 60,0 190
3/4 75,5 290
1 83.0 380
1,5 93.0 570
2 97,0 860
3 95,5 1150
4 94,2 1530
5 92,5 1910
6 91.0 2290
7 89.0 2680
8 86,7 3060
9 84,2 3440
10 81.3 3820
11 77.6 4210
12 73.0 4590
13 67,7 4970
14 60 ,0 5350
15 42 .0 5740
15,167 (fina!) 35,0 5800
8 CAK TULO 1
a) Prepare um gráfíco m ostrando a concentração d o ácido que resultaria da coleta con ­
tin u a e m istura num tanque, de to d o o condensado em fu n ç lo da quantidade r e c ^ i d a .
b) QuaJ c o peso m áxim o de ácido de 90,0% em peso, que se poderia o b te r num proces ­
so que envolvesse tâo-som entc a segregação d o condensado à m edida que este se forma?
1.7, A vazão d o p ro d u to form ado num processo qu ím ico é m edida e registrada continuam cntc 
durante a operação. O gráfíco ob tido é fornecido na fíg. 1.1. Derermine o volum e to ta l pro ­
duzido num período de vinte e q u atro horas (entre meia noite de um dia e m eia no ite do 
dia seguinte).
Fi$. I.I - V ariação da vazão com o tem po.
1.8. D urante os trabalhos para verificar o funciemamento de um processo quím ico industrial 
tom ou-se necessário determ inar a velocidade média de escoam ento da água num a das tubu ­
lações. O m eio mads conveniente para isso é um m étodo ind iie to n o qual se m ede a massa 
m de água que sai d o tubo p o r um p o n to conveniente a ser escd h id o , durante um certo 
intervalo de tem po 6. De posse da m edida d o diâm etro D da tubulação e do valor da den ­
sidade p obtida de m anuús, calcula-se a velocidade média
4 m
í p
A ntes de levar avante as determ inações o engenheiro encarregado d o ensaio decidiu calcu ­
la r a incerteza dos resultados a serem obtídoe com a equação acima. Para tan to , fez as se­
guintes estimativas, tan to dos prováveis valores das variáveis, com o das respectivas incerte ­
zas das medidas:
1. A água a ser coletada será da ordem de 100 kg, um a vez que as balanças disponfveis 
na fábrica têm essa capacidade. Por o u tro lado, observando o m au estado de conservação 
das mesmas, julga que um a estim ativa conservativa da incerteza da m edida é de e 5 kg.
2. O tem po de coleta da am ostra será da ordem de 70 segundos, de acordo com infor­
mações que obteve. Um re ló ^ o elétrico será utilizado para m edir o tem po e o engenheiro 
acha que os erros pessoais e d o relógio com binados não excederão ± 1 s.
o p e r a ç O e s u n i t á r i a s
1.9.
3. O diâm etro nominal d o tu b o é l" . Levando em conta um pouco de ovalizaçlo, erros 
de calíbração e inciustaçòcs, fez um a estim ativa de q ue o erro da m edida d o diâm etro não 
excederá ± 0 ,03” .
4 . A densidade da água a 1 6 ^ (tem peratura da m edição) 6 0 ,999 kg/C. A incertezana 
m edida da tem peratura é dc ± l^ C . correspondendo a um a variação de densidade m enor 
do que 0,1%. U m a vez que a incerteza na densidade é um a ordem de grandeza m enor do 
que as dem ús. seu e fe ito será desprezado.
a) Faça um a previsão do erro provável da m edição final.
b) ( ^ e precísões das medidas parciais serão necessárias para dar um erro provável na 
m edição final inferioi a 2%?
Uma sáríe de experiências foi realizada com a finalidade de se determ inar a variação com a 
tem peratura da capacidade calorffica d o glicol etilénteo a pressão constante. Cada ensaio 
consistiu no aquecim ento de um a quantidade previam ente conhecida de ^ ic o l en tre limi* 
tes de tem peratura pré*fíxados, conform e indicado na tabela que segue. O calor fornecido 
a pressão constante foi determ inado em cada caso pelo consum o de energia elétrica de um a 
resistência im ersa no glicol.
Intervalo de 
tem peratura 
(OC)
Calor transferido 
(kcal/kg)
0 - 2 0 11.3
2 0 - 40 11.8
4 0 - 6 0 12,2
6 0 - 80 12.7
80 - 100 13.1
1 0 0 - 1 2 0 13,6
1 2 0 - 140 14.0
1 4 0 - 1 6 0 14,5
1 6 0 - 1 8 0 15.0
180 - 200 15,4
I.IO. O btenha a expressão em pírica que relaciona a capacidade catorífica específica d o ísobuta* 
noi, a pressão constante, com a tem peratura, a partir dos seguintes dados experim entais:
r ( o c ) 0 10 20 30 40 50
Cp (caI/g®C) 0.505 0,537 0,570 0,607 0,642 0,675
Ti9C) 60 70 80 90 100
Cp (cal/goC) 0,705 0,737 0.770 0 ,808 0,840
Calcule a variação de entalpia de 3 kg desse álcool entre 2 0 ^ e 9 0 ^ : a) graficam ente; 
b) analiticamente.
1.11. Com base em princípios fundam entais chegou-se à conclusão de q ue a viscosidade de um 
líqu ido podería ser relacionada com a tem peratura através dc um a expressão do tipo;
li^ a e
10 C A P m jL O 1
Nessa expressão, que é válida para pequenos intervalos de tem peratura.
M = viscosidade em cP 
T = tem peratura em K 
a,b = constantes em pm cas
Qual é a expressão para o ic tracloreto de carbono? O s dados experim entais disponíveis são 
os seguintes:
r ( o c ) 20 30 40 50 60 70 80
P icP) 0,969 0,843 0,739 0.651 0,585 0,524 0,468
1.12. A viscosidade de um gás £ aproxim adam ente p ro p o rc io n a à tem peratura absoluta elevada 
a alguma potência p. D eterm inar p a partir dos seguintes dados p a ta o C O j a l atm c com ­
pare 0 resultado ob tido graficam ente com o o b tid o p o r m étodos analíticos.
r(O K ) 288 293 303 313 372 455
u(cp) 0.01457 0,01480 0,0153 0,0157 0,0186 0,0222
r(O K ) 575 763 958 1123 1325
u (cp) 0.0268 0.0330 0,0380 0.0436 0,0479
1 .1 3 .0 coeficiente de película (h) para transmissão dc calor p o r convecção é relacionado com a 
velocidade de escoam ento d o fluido (10 pela equação h D eterm ine as constantes
a t b i p a rtir dos seguintes dados experim entais:
V(ft/stg) 1 3 5 7 9 12
150 370 565 750 920 1160
1.14. D urante um a fü tração a pressão constante, o veriume de fü tração recolhido variou com o 
tem po de fü tração segundo um a equação d o tipo
V’ =K. e
«
onde; e tem po (m inutos)
V e volume de filtrado (litros)
K = constante em pírica.
D eterm ine K p o r diferenciação gráfica, a partir dos seguintes dados experim entais:
0 (m in) 0 2 4 5 7 9 12 15 20
0 180 254 284 337 380 440 490 570
1.15.Com o aux ílio da expressão deduzida a partir da 1? lei da term odinâmica;
2fV^dL
—vdP^ dW vc* * ydV/gc +
g c^
(v e volum e específico, F s pressão to ta l. H^vc ~ trabalho fornecido ao volume de co n tro ­
le, X B altura n o p o n to considerado, V ^ velocidade de escoam ento, / « fa to r de fricção da 
equação de Fanning, gc « fa to r de c<msi$tència).
Explique o que actm tece quando:
a) um líqu ido que circula po r um a tubulação horizontal passa p o r um estreitam ento 
bm sco (orifíc io ou válvula parcialm ente aberta), esclarecendo o que o co n e quando o es-
o p e r a ç Oe s u n i t á r i a s 11
tie itam en to se to m a progiessivamente mais im portante e justificando todas as hipóteses 
fotm uladas;
b) um $á$ perfeito circula po r um a tubu laç lo horizontal com velocidade de massa 
constan te G. Sendo L o tiech o de tubulação po r onde o gás escoa com queda de pressão 
m oderada, calcular a perda de p ressio nesse tiecho , justificando as hipóteses adotadas para 
os cálculos.
1.16. Agua a 4 0 ^ 0 está escoando através de um tubo longo dc 4*’ de d iâm etro nom inal, Schedu* 
Ic 4 0 , a uma vazão de 5 0 fi/min. Calcule: a ) a velocidade da água no cen tro d o tu b o ;b ) a 
perda de carga p o r 100 m de tubo ; c) a leitura num m anôm etro em U, co n tendo tetraclo* 
re to de carbono com o liqu ido mancm téuíco e cujos ram os e s t io ligados a tom adas de pres ­
são nos flanges de um orifício de 5 cm de diâm etro; d) a perda de carga n o pon to onde o 
tu b o se une a um o u tro de 6 ” : e) o diâm etro econôm ico d o tubo.
1.17. Na fíg. 1-2 acha-se representado um tanque elevado, do qual saí um a tubulação de aço<ar- 
bono Schedule 80 com os diâm etros nominais indicados. Peto sistem a circula xiiol a 6(KO. 
A pressão no tanque é 1 atm . Qual deverá sc ra altura X do xilol no tanque para que a vazão 
através da tubulação seja de 500 t/m in ? Se um trecho adicional de tubo com 30 m de 
extensão for acrescentado, qual será a nova vazão?
Fig. 1.2 • Esquem a da instalação d o problem a 1.17.
I . lS .P ro ^ te um orifício com tom adas de pressão nos flanges, para m edir a vazão de CH4 a 5 
atm e 3 0 ^ num tubo de 6 ” . Schedule 80. São dados:
1. V azão aproxim ada d o gás: 0 ,8 7 0 m ^ /s nas condições de escoam ento.
2. O m anôm etto disponfvel 6 do tipo U, com 30 cm dc cem prim ento.
3. O fluido m anom étzico a ser u tilizado é um a gasolina colorida, com densidade 0,875 
g/mL
12 c a p i t u l o I
M 9 .D o is mil quilos dc ácido residual de um processo de nitração encerrando 26% de HNO3, 
27% de H2SO4 e 37% de H jO a 40<*C são fortiftcados com 120 kg de ácido sulfúrico a 
92% em peso c 85 kg de ácido n itrico de 60% em peso , ambos a 18<>C. Calcule a tempera* 
tura máxima que a m istura poderá atingir e o calor a ser rem ovido para lesfríar a mistura 
até 1 0 ^ . Utilize a fíg. 1*3 ob tida com os dados adaptados de McKinley e B row ni^i.
áouo «uK úh^pafo
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% õm peso oe Ò O » tetoi (hno^ + h^ )
Fig. 1.3 - Diagrama entalpia-conccnuação para 0 problem a 1.19.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
(1) Comíde, R.t “ Manual dc O perações Unitárias*’, C enpro Leda. - Editores, Sâo Pauto, 
1969.
(2) G om ide. R.: “ Estequiom etria Industrial” , 2? edição, ed. d o au tor. Sâo Paulo, 1979.
(3 ) McKinley e Brown: Chenj. Met. Eng., 4 9 (1 9 4 2 ) .
CAPITULO 2
P ro p ried ad es d o s 
só lidos p a rticu lad o s
0 conhecimento das propriedades dos sólidos particulados c fundamental 
para o estudo de muitas operaçóes unitárias como a fragmentação, o peneiia- 
m ento, a fluidizaçSo, a mistura, o armazenamento, as separações mecânicas, o 
escoamento de fluidos através de leitos ^anulares e a ad so i^ o .
De um modo geral as propriedades são de duas categorias: as que só depen* 
dem da natureza das partículas e as que se associam com todo o sistema. Do 
primeiro tipo são a forma, a dureza, a densidade, o calor especifico e a condu- 
tividade das partfculas. As da segunda categoria são a densidade aparente, a 
área especifica, as condutividades, a permeabilidade e o ângulo de repouso na ­
tural. Neste segundo caso a propriedade pzssa a ser uma caracterfstica do con ­
jun to (ou da amostra) e não mais do s<Mido em si.
0 que se tem verificado é que as propriedades da segunda categoria, ou seja, 
as propriedades do leito poroso constituído das partículas sólidas separadas 
umas das outras na amostra, dependem principalmente da porosidade do leito, 
que por sua vez está associada com a distribuição granulométricadas partícu ­
las, além de outros fatores.
CARACTERIZAÇÃO GRANULOMÉTRICA
Tanto a especificação da fínura desejada, como o cálculo da energia necessá­
ria para realizar uma operação de fragmentação requerem a definição prévia do 
que se entende por tamanho das partículas do material. A determinação de ou-
14 c a p i t u l o 2
tras características do produto m oído também exige o conhecimento prévio da 
granulometría e geometria das partículas que o constituem. O assunto interessa 
igualmente a outras operações unitárias, como a mistura, as separações inerciais 
e a adsorçSo, além de ser im portante em processos como a catáiise heterogênea. 
Muitas vezes as propriedades sofrem a influência marcante do grau de sub-divi- 
são. A toxidés de certas poeiras depende da distribuição granulométrica, além 
da composição quím icad 1.
Di$tinguem*se pelo tam anho cinco tipos de sólidos particulados. Apesar de 
não ser m uito nítida, esta classificação é útil por ser descritiva:
— pós, com partículas de 1 m até 0,5 mm
sólidos granulares, cujas partículas têm 0,5 a 10 mm
— blocos pequenos: 1 a 5 cm
— b locosm éd ios:5a 15cm
— blocos grandes; maiores do que 15 cm
Consideraremos inicialmente os materiais com partículas de mesmo tama­
nho, para depois tratarm os do caso ^ ra l de amostras com partículas de tama­
nhos variados.
MATERIAIS COM PARTÍCULAS UNIFORMES
Quando as partículas do material são todas iguais, o problema da determina­
ção de seu núm ero, volume e superfície externa é bastante simples. Considere­
mos uma partícula isolada. Seu tamanho poderá ser definido pela dimensão li­
near de maior importância, como o diâmetro, no caso de partícula esférica, ou 
o comprimento da aresta, se ela fôr cúbica. No caso de partículas de outras for­
mas geométricas ou irregulaibs, uma dimensão deverá ser arbitrâriamente esco­
lhida. Geralmente a dimensão imediatamente abaixo da maior é a preferida, 
porque é a que mais se aproxima do tam anho obtido experimentalmente.*
O tam anho da partícula pode ser obtido por diversos meios: diietamente ou 
com 0 auxilio de um microscópio, por peneiramento, decantação, elutriação ou 
centrifugação. Tanto a medida direta como a microscópica dispensam explica­
ção. Neste último caso o m étodo empregado é o de R osiw alU ),que consiste em 
ir virando a partícula sobre uma lâmina microscópica e quadriculada de modo a 
facilitar a medida. Tira-se a média de cem partículas e depois compara-se com a 
média de duzentas para verificar se os resultados são concordamos.
O peneiramento consiste em fazer passar a partícula através de malhas pro- 
giessivamente menores, até que ela fique retida. O tam anho da partícula estará
(* )E m algumas aplicações utiliza-se o diâm etro do círculo de mesma área dc secçáo trans ­
versal que a partícu la em sua posição de máxima estabilidade. O utras medidas serâo 
tam bém apresentadas ao tra tannos de outras operações.
PROPRIEDADES DOS SO U D O S PARTICULADOS 15
compreendido entre a medida da malha que a reteve e a da imediatamente an­
terior. A média aritmética das aberturas destas malhas servirá para caracterizar 
0 tam anho da partícula.
A decantação e a elutriação são métodos indiretos que se baseiam na medida 
da velocidade de decantação da partícula num fluido. Estando relacionada di­
retamente com as dimensões da partícula, esta velocidade permitirá o cálculo 
do tamanho, desde que se conheça a equação que descreve o fenômeno. No pri­
meiro caso, 0 material é posto em suspensão que se deixa em repouso durante 
um certo tem po, fmdo o qual o nível dos sólidt» decantados terá desddo de 
uma distância que se mede. A velocidade de decantação é obtida dividindo a 
distância pelo tempo e , a partir do valor achado, calcula-se o tamaitho da p a rtí ­
cula. Na elutriação o princípio empregado é o mesmo, porém a suspensão é 
mantida em escoamento ascendente através de um tubo. Variando-se a veloci­
dade de escoamento, será fácil descobrir o valor necessário para evitar a decan­
tação das partículas. Esta será a velocidade de decantação do material. Muitas 
vezes a elutriação é feita com ar, sendo esta técnica particularmente im portan ­
te para a determinação do tam anho de poeiras contaminantes. Um tipo de equi­
pam ento utilizado neste caso é o anaüsador R o lle rü ). a vantagem da elutria ­
ção é que ela permite efetuar a medida instantânea do diâmetro. Representado 
por u a velocidade de decantação (cm/s) da partícula esférica de diâmetro D 
(microns) e densidade p (g/cm^) num fluido de densidade p* e viscosidade 
p (cP), a lei de Stokes será aplicável se a decantação ior re^izada em regime vis­
coso, podendo-se escrever:
_ (p -O')
I S x l Ot f p
Esta expressão permite calcular diretamente o diâmetro da partícula:
£> = 1355
. /
V P - P '
Observa-se que o diâmetro assim calculado é o da esfera de mesma densidade e 
velocidade de decantação que a partícula considerada, pois a lei de Stokes é vá­
lida para partículas esféricas.
O m étodo de centri/ugaçffo, também indireto, obedece ao mesmo princípio 
dos anteriores, porém a força gravitacíonal é substituída por uma força centrí ­
fuga cujo valor pode ser bastante grande, à conveniência do operador. É útil 
principalmente quando as partículas são m uito pequenas, sendo porisso de de­
cantação natural m uito lenta.
Seja D o tam anho característico da partícula, obtido por qualquer destes 
métodos. Esta dimensão será o diâmetro, mesmo que a partícula não seja esfé­
rica. As caractensticas importantes do material poderão ser calculadas em fun­
ção de Z) como segue:
1 6 CA P ItU L 0 2
l . Superfície externa da partícula (s)
s =a D^
0 valor do parâmetro a depende da forma da partícula. Para cubos, é igual a 6 
e ,p ara esferas, vale n .
2. Volume da partícula (v)
v = b D^
O parâmetro b também depende da forma, sendo igual a 1 para partículas cúbi* 
cas e 7t/6 para partículas esféricas.
3. Fator de forma ( \ )
A relação
a
X= ô
será denominada fa tor de form a da partícula. É igual a 6,0 para cubos e esferas, 
sendo maior para partículas irregulares. Muitos produtos de operações de moa- 
gem têm X aproximadamente igual a 10,5(*). Para materiais pulverizados X va­
ria de 7 a 8 e, para partículas laminares de mica, é igual a S5(**).
4 . Número de partículas da amostra (N)
Sendo Af a massa da amostra e p a densidade do sólido, o núm ero de partí ­
culas será:
v<^ume total da amostra M
N ^
volume de cada partícula b p
5. Superfície externa (S)
M XAÍ
S = N $= — aD ^ =
b D ^p D p
6. Superfície específica
Ã7 " ~Op
(* ) Vak>r calculado com base no inverso d o fa to r de form a deruúdo por G audini^l. 
(* * ) V alor baseado no tam anho da m aior aresta is).
PROPRIEDADES D O SSO U D O S PARTICULADOS 17
A plicaçio 1
Uma am ostra de mica foi observada com um a lente e diversas plaquetas d o m aterial fo* 
ram exam inadas e m edidas, vcriftcando-$c que elas eram praticam ente do mesmo tam anho. 
Suas dimensões médias resultaram as seguintes: espessura 0,5 m m , largura 8 mm . com pri­
m en to 14 mm . Calcular o fa to r de form a das partfculas.
Solução
A dm itindo que as partfculas sejam paralelepfpedos retângulos e lem brando que neste 
caso D e 8 m m , resulta:
í « s 2 ( 0 , 5 x 8 + 14 X8 + 0.5 X 1 4 ) « 2 4 6 = e .8 ’ a = 3,84 
v = 0,5 x 8 X 14«= 56 = 0.8* ô = 0 , l 0 9
P ortan to
3,84
\ --------- = 3 5 ,3
0.109
MATERIAIS HETEROGÊNEOS
Neste caso o material terá que ser separado em frações com partículas uni­
formes por qualquer dos m étodos de decantaçSo, elutriaçdo ou centriftigação 
anteriormente descritos. O meio mais prático, no entanto, consiste em passar 
0 material através de uma série de peneiras com malhas progressivamente meno­
res, cada uma das quais retém uma parte da amostra. Esta operação, conhecida 
como análise granuloménica, é aplicável a partfculas de diâmetros compreendi­
dos entre 7 cm e 40 /;/. Abaixo deste valordeve-se recorrer a um dos métodos 
descritos anteriormente (*). ,
Todavia, abaixo de 80 o peneiramento já é insatisfatório. O material retido 
em cada peneira é pesado separadamente, sendo a sua quantidade relacionada 
com a abertura da malha que o reteve.
A análise granulométrica é realizada com peneiras padronizadas quanto à 
abertura das malhas e â espessura dos fios de que sSo feitas. Há diversas séries 
de peneiras, sendo mais importantes as do British Standard (BS), do Institute 
o f Mining and M e ta l lu ^ (IMM), do National Bureau o f Standards e a série Ty* 
ler, que é a mais comumente utilizada no Brasil. Consta de catorze peneiras e 
tem como base uma peneira de 200 malhas por polegada (200 mesh), feita com 
fios de 0,053 mm de espessura, o que dá uma abertura livre de 0,074 mm. As 
demais peneiras da série e que sâo colocadas acima desta durante o ensaio, apre ­
sentam 150. 100, 65, 48 , 35, 2 8 ,2 0 ,1 4 , 10, 8, 6 ,4 e 3 mesh respectivamente. 
Quando se passa de um a peneira pata a imediatamente superior (por exemplo 
da de 200 para a de 150 mesh, ou da de 8 para a de 6 mesh) a área da abertu ­
ra é multiplicada por dois e, portanto, o lado da malha é multiplicado por
( • ) V er p o r exem plo Brown c associados p. 92Í4).
18 c a p i t u l o 2
\ /T T Quando se deseja a separação da amostra em frações de tamanhos mais 
próximos do que os consecutivos da série normal, utilizam-se peneiras interme­
diárias cujas aberturas guardam uma relação de 1: \Í2 com as adjacentes da 
série normal. As características das diversas peneiras da série normal Tyler 
acham-se na tabela II.1. A série completa e as séries BS, IMM e da ASTM en- 
contram-se no apêndice A-1.
O ensaio consiste em colocar a amostra sobre a peneira mais grossa utiliza­
da no ensaio (poderá ser a peneira 3 da Tyler normal ou qualquer outra) e agi­
ta r em ensaio padronizado o conjunto de peneiras cdocadas umas sobre as ou ­
tras na ordem decrescente da abertura das malhas. Abaixo da última peneira há 
uma panela que recolhe a fração contendo as partículas mais finas do material e 
que conseguem passar através de todas as peneiras da série. A fim de padronizar 
o ensaio, o conjunto poderá ser agitado ou vibrado mecanicamente. Um dos 
dispositivos que se costuma empregar, conhecido como Ro-Tap, obriga o con ­
jun to de peneiras a descrever uma trajetória elitica sobre o plano horizontal. 
Ao fmal de cada volta, o conjunto recebe um golpe seco. Empregam-se também 
agitadores nos quais o conjunto fica sobre molas ou i^ndurado. O ensaio dura 
de 15 a 20 minutos. Algumas vezes a operação é realizada com a amostra em 
suspensão num líquido para facilitar a separação das partículas.
Tabela II-J
PENEIRAS DA SÉRIE TVLER PADRÃO
Malha
■
Abertura livre Diâmetro 
do fio 
(mm)polegadas mm
3 0,263 6,680 1,78
4 0.185 4,699 1,65
6 0,131 3,327 0,914
8 0,093 2,362 0,813
10 0,065 1,651 0,889
14 0,046 1,168 0,635
20 0,0328 0,833 0,437
28 0,0232 0,589 0,318
35 0,0164 0,417 0,310
48 0,0116 0,295 0,234
65 0,0082 0,208 0,183
100 0,0058 0,147 0,107
150 0,0041 0,104 0,066
200 0,0029 0,074 0.053
PROPRIEDADES DOS SO U D O S PARTICULADOS 19
Terminado o ensaio, as quantidades retidas nas diversas peneiras e na panela 
sSo determinadas por pesagem e as diversas frações retidas podem ser calculadas 
dividindo as diversas massas retidas pela massa total da amostra. Se numerar­
mos em seqüéncia as peneiras utilizadas, começando pela de cima, e represen­
tarmos por m | a massa retida sobre a peneira i e Af a massa total da amostra, a 
fração retida nesta peneira será (fig. I I .1):
mi
Esta fração poderá ser caracterizada indiferentemente de dois modos:
19) Como a fração que passou pela peneira /—1 e ficou retida na peneira/. Se 
estas foiam as peneiras 14 e 20 respectivamente, será a fração 14/20 ou 
-1 4 + 20.
JL*.
A.«
•"V
i-t
/ . t vlv, c -
Fig. IJ.J - Frações recolhidas nas peneiras.
20 c a p i t u l o 2
29) Como a fração representada pelas partículas de diâmetro Df igual à média 
aritmética das aberturas das malhas das peneiras / c /—1. No caso que esta ­
mos exemplificando, será a fração com partículas de tamanho
_ 0.833 + 1.168
D{ = ■■ = 1,000 mm
Apresentação dos resultados
Os resultados de um a análise granulométiica poderão ser apresentados sob a 
forma de tabelas ou gráfícos. A tabela I!-2 é a análise granulométrica diferen- 
ciai (AGD) do material. As diversas frações retidas e os diâmetros das
partículas (Õ/) figuram ao lado dos números das peneira$(t-l e 0 entre as quais 
acham-se retidas as frações correspondentes. Convém lembrar que é adotado 
igual à média aritmética das aberturas das malhas das peneiras i t r - 1 . Na reali­
dade as dimensões das partfcuias de cada fração recolhida variam desde D i^ j 
até Dl, que são as aberturas das peneiras entre as quais ficaram retidas, porém a 
aproximação feita não acarreta erros importantes, a não ser quando se trata da 
fração n retida na panela. O recurso neste caso é extrapolar os dados conforme 
será cüscutido adiante.
Tabela II-2
ANÁLISE GRANULOMÉTRICA DIFERENCIAL
Peneiras
Aberturas 
Di (mm)
Di fmm)
Fração
f - i / f
4
6
8
10
14
20
28
35
48
65
100
150
200
panela
4.699
3,327
2,362
1,651
i,168
0,833
0,589
0,417
0,295
0.208
0,147
0,104
0,074
<0 ,074
4,013
2,844
2 ,006 '
J ,4 1 0
1,000
0,711
0,503
0,356
0,252
0.178
0,126
0,089
<0 ,074
4/6
6/8
8/ 10
10/14
14/20
20/28
28/35
35/48
48/65
65/100
100/150
150/200
- 20 0
0,0251
0,1250
0,3207
0,2570
0,1590
0,0538
0,0210
0,0102
0,0077
0,0058
0,0041
0,0031
0,0072
Na tabela II-3 são apresentadas as análises granulométricas acumuladas do
PROPRIEDADES DOS SO U D O S PARTICÜLADOS 21
Tabela IU3
ANÁLISES GRANULOMÉTRICAS ACUMULADAS
Malhas Dl (mm)
Fração
acumulada
retida
(*^/)
Fração 
acumulada 
de fmos
(I
4 4,699 0,0000 1,0000
6 3,327 0,0251 0,9749
$ 2,362 0,1501 0.8499
10 1,651 0,4708 0,5291
14 1,168 0,7278 0,2721
20 0,833 0,8868 0,1131
28 0,589 0,9406 0,0594
35 0,417 0.9616 0,0384
48 0,295 0,9718 0,0282
65 0,208 0,9795 0,0205
100 0.147 0,9853 0,0143
150 0,104 0,9894 0,0106
200 0,074 0,9925 0,0075
-2 0 0 — 1,0000 0,0000
mesmo material. Há dois tipos de análise acumuladas: a primeira apresenta, em 
funçáo de cada D i (abertura da peneira i), a fração acumulada retida nessa 
peneira ou fração acumulada de grossos (< '̂) que se calcula somando à fração 
retida na peneira / as frações retidas cm todas as peneiras anteriores:
1 + Aipj + . . . + At^/
O valor (̂ * representa, assim, a fração da massa total da amostra que não conse­
gue passar através da peneira i. Se a peneira i fõr a 20, será a fração + 20. É evi­
dente que. para a mistura toda, tpi é igual a um. O segundo tipo de análise gra- 
miiocDétiica acumulada é o que relaciona Df com a fração acumulada que passa 
peü peneira i, ou seja, I - O valor 1 - çy representa a fração da massa total 
da amostra ensaiada que consegue passar pela peneira i, ou seja, a fração da 
massa to t^ que é formada de partículas mais ftnas do que D/. No caso da penei­
ra 20, será a fração - 20. O primeiro tipo de análise que acabamos de descre­
ver é a m álâe gnm hm étrica acumulada de grossos ou retidos (AGAR). O se- 
ê a arnUse gnnulométrica acumulada de finos (AGAF).
22 CA PItU LO 2
Ao Utilizar a análise granulométríca diferencial deve*se supor que todas as 
partículas de uma dada fração apresentam o mesmo tamanho, que é a média 
a rítm éü C 3 das aberturas das malhas das duas peneiras entre as quais a fração fi­
cou retida. Já o uso das análises acumuladas não requer esta hipótese. A relação 
entre t D é vista como uma função contfnua passível de tratam ento mate­
mático. Por esse motivo, a utilização das análises acumuladas conduz, em prin ­
cipio, a resultados mais exatos do que os obtidos a partir da análise diferencial.
Sob a forma gráfica, estes mesmos resultados são apresentados nas figuras 
11-2,11-3 e 11-4,que representam respectivamente a análise diferencial, a a n á li­
se acumulada de retidos e a análise acumulada de finos. Na figura II-2 a curva 
continua foi traçada pelos pontos médios dos patamares e substitui a função 
em degrau obtida diretamente da análise granulométríca diferencial (tabela 
II-2). Essa curva representa a relação entre e Di. A figura IÍ-3 representa a 
análise granulométríca acumulada de retidos (i^' sob a forma de uma cur­
va continua. A figura II-4 apresenta a análise acumulada de fínos.
F ig .lU
Análise G ranulom étríca 
Diferencial.
Fig. n .3
Ana'lí$e Granulome'trica 
A cumulada de Retidos.
Fig. II.4
Análise G ranulom étríca 
A cumulada de Finos.
A curva da figura H-2 dá uma idéia da distribuição de tam anho das partícu ­
las na amostra. Indica, entre outras características do m ateri^ , o intervalo de 
variação dos diâmetros, bem como as dimensões predominantes na amostra. 
Um pico acentuado na curva caracteriza a predominância de determinado ta ­
manho de partícula. A existência de dois picos numa curva (Fig. II-5) revela 
que a amostra é mistura de dois materiais de origens diferentes. A curva é, na 
realidade, a soma de duas curvas que representam as análises diferenciais dos 
dois materiais existentes na mistura.
PROPRIEDADES DOS SO U D O S PARTICULADOS 23
Fig. lU 
Mistura dc 
dois materiais.
A forma das curvas ÍI-3 e IÍ-4 também dá uma indicação da distribuição das 
partículas na amostra. Para maior clareza, são apresentadas na fig. 11-6 as carac­
terísticas mais importantes associadas com três curvas de aspectos diferentes. 
Contudo, é sempre mais difícil visualizar a distribuição dos diâmetros com au­
x ílio das análises acum ulad^ do que com as análises diferenciais.
* paniajus gron^s 
.'aooTfs ao que Q,)
^ D
^oaomhio a« porriojios poqtMfios 
na amostro (monorés OoaueC^)
OiStribviçóo (/nitorma Oe portioj- 
los na aifiostra
Fig. 11.6 - C aiacterístícas da am ostra reveladas 
pela form a da análise granulom étríca de retidos.
Ub u cursa de distribuição pode ser obtida por diferenciação gráfica da cur­
va representativa da análise acumulada de retidos. £ bastante construir a curva 
dos coeôoeates angulares das tangentes em cada ponto da curva da fíg. 11-3, em
24 CA PItU LO 2
funçáo da absctssa do ponto de tangéncia. O gráfico obtido encontra-se na fig. 
II-7. Uma vez que a derivada de «p -fi.D ) é negativa, o gráfico já foi construído 
diretamente com as quantidades positivas -d ^d D em função áeD. A área sob 
a curva entre e D -* ^ mede a probabilidade de se encontrar na amostra 
uma partícula com dimensão entre esses limites. Esta probabilidade é de 100%. 
De fato:
D = «»(v5=0)
-------d D ^ - f f i
dD
£) = 0 (v> *I)
/■
Fig. II. 7 
CUrva de 
disuibuiçáo dos 
tam anhos.
« 1
'no
Outros tipos de diagramas também podem ser utilizados para representar os 
resultados de uma análise granulométrica. Três merecem destaque: a análise di­
ferencial em papel mono-logarítimco, a mesma análise em papel log-Iog e a aná ­
lise acumulada de finos em papel de probabilidade. O primeiro (AG Dem papel 
mono*log) é empregado para eliminar o inconveniente do acúmulo de pontos 
na região das partículas finas, responsável por enganos e imprecisOes de lei­
tura no gráfico. O segundo (AGD em papel log-log) permite extrapolar, na re­
gião dos finos, os resultados das análises granulométrícas de materiais moídos. 
Verifica-se que nesta região os pontos ficam sobre uma reta*. Finalmente, o 
gráfico em papel de probabilidade é útil para o tratam ento estatístico da amos­
tra**.
( *) A este assunto voltarem os adiante.
(**) Para um a revisão d o assunto recom endam os um a consulta à ref. (6 ), Mickley, Sher- 
w ood c R ecd, p-61 c seguintes e tef. (7 ). Foust e associados, p . 534.
PROPRIEDADES DOS SÓ U D O S PARTICULADOS 25
Cálculos baseados nas análises granulométricas
A seguinte nomenclatura será adotada para deduzir as expressões a seguir:
M - massa da amostra 
5 = superfície externa total da amostra
s = superfície externa de uma partícula 
N - número de partículas da amostra
O = densidade das partículas (será admitido que todas as partículas apresen­
tam a mesma densidade)
D = diâmetro das partículas (com índices que servirão para indicar a 
peneira sobre a qual estão retidas)
D - (Üâmetro médio das partículas (com índices que servirão para indicar o 
tipo de média)
= fração acumulada da massa da amostra que fica retida na peneira i.
1 - ^ 1 = fração da massa da amostra que passa pela peneira /. 
a,b = parâmetros que dependem da forma da partícula e que relacionam o 
diâmetro com a superfície externa e com o volume, respectivamente 
(admitiremos que a eb são os mesmos para todas as partículas).
a
~~b 
n =
- fator de forma das partículas (admitido constante para toda a amos­
tra)
núm ero de frações obtidas (desde a primeira peneira utilizada até a pa ­
nela).
1. Número de partículas da amostra
O núm ero de partículas presentes na massa M da amostra é calculado soman­
do os números de partículas de todas as frações obtidas. Este cálculo poderá ser 
feito com os dados da análise granulométrica diferencial ou com a análise acu ­
mulada de retidos. Utilizando os dados da análise diferencial, pode-se escrever:
n
N = 2
1 bfDi Pi
Se b e p forem admitidos constantes para todas as frações da amostra, resulta:
M
N = — 
b p d }
Au>i
A somatória terá que ser obtida somando as parcelas 
ções da amostra, inclusive a presente na panela.
para todas as fra-
26 CAPitULO 2
Com a análise acumulada de retidos obtém-se um resultado que, em princi­
pio, é mais preciso do que o obtido com a expressSo anterior. Quando n -»̂ oo 
esta últim a expressSo transfoima-se na seguinte:
M f ' difi
N = ----- / ^
b o Jo
A integral poderá ser calculada graficamente a partir dos dados da análise acu­
mulada de retidos, sendo suficiente construir o gráfico de \/D^ em função de 
e calcular a área compreendida entre a curva, o eixo das abscissas e as ordena­
das levantadas por «p = 0 e <p = 1.
É claro que as expressbes anteriores valem igualmente para uma parte da 
amostra, desde que mudemos os limites de integração ou da somatória. Por 
exemplo, para as frações retidas nas peneiras 6 a / : (inclusive) (frações retidas 
(pg e resulta:
k Au>; M dip
bp I B f ~ bp A
Observe-se que a massa a utilizar continua sendo a massa total da amostra.
2. Superfície externa das partículas
Com as mesmas hipóteses anteriores pode-se escrever, com base na análise 
granulométrica diferencial:
X A /,n
5 = ------2 ^
P 1 D /
O mesmo resultado pode ser obtido com os dados da análise acumulada de reti­
dos:
XAÍ dp 
L ~D~
Como no caso anterior, também esta integral poderá ser obtida graficamente 
construindo a curva \/D versus ip e calculando a área limitada pelo eixo das abs­
cissas e pelas ordenadas levantadas por - 0 e - 1.
A área especfflca será dada por
_ i = A r —
M p Jo D
As expressões anteriores valem igualmente para uma parte da amostra. A 
massa é a total M. Todavia, na expressão da área especifica comparece também 
a massa Mik correspondente à parte da amostra que se considera:
_ X r'^k ^
P J . Dkfi,k
' n
p r o p r i e d a d e s d o s s O u d o s p a r t i c u l a d o s 27
3. Diâmetros médios das partículas
Vários tipos de média podem ser defínidos para um dado material constituí ­
do de partículas irregtilares. De fato, a amostra ensaiada apresenta característi ­
cas como a massa, o volume, a superfície externa e o número de partículas, que 
náo podem ser simultaneamente representadas pela mesma funçáo de uma dada 
dimensSo linear mécUa. Assim sendo, nSo é possível definir um diâmetro médio 
que, isoladamente, represente a mistura sob os diversos aspectos que a caracte ­
rizam. Se, por exemplo, o diâmetro médio, ao ser multiplicado pelo número to ­
tal de partículas da amostra, der como resultado a soma dos diâmetros de todas 
as partículas,é óbvio que esse mesmo diâmetro nSo servirá para calcular a su­
perfície externa total pela simples multiplicação da superfície externa da par­
tícula média pelo número total de partículas da amostra. Idêntico raciocínio 
aplica-se ao volume total e à massa. Apenas uma propriedade da mistura pode­
rá ser representada por um dado diâmetro médio. As demais teráo que ser re­
presentadas por outrem tantos diâmetros médios.
Dos diferentes critérios que têm sido adotados para obter diâmetros médios, 
um que se tem revelado útil pela rapidez de determinação é o utilizado por 
Bond para avaliar a energia consumida na redução de tamanho. O diâmetro mé­
dio da amostra é adotado igual à abertura da peneira através da qual passam 
80% do material. Em outras palavras.é o diâmetro correspondente a 
0$ diâmetros médios utilizados em análises granulomótricas serão apresenta­
dos a seguirU K
a) Diâmetro médio aritm ético (Da). £ o diâmetro da partícula de tamanho mé­
dio. É im portante no estudo da filtraçâo de partículas séáidas através de malhas 
ou tecidos. Multiplicando o diâmetro desta partícula pelo número total de par­
tículas obteremos a soma de todos os diâmetros da amostra. Sejam . Â 2 , . . . 
os números de partículas presentes nas diversas frações recolhidas durante a 
análise, dc tamanhos Z?j. D j , . . . respectivamente. O diâmetro médio aritmé­
tico será:
p - ^ +...■*■ NrjDn
/V| +/Vj + . . . +
n _ 
£ N iD i 
1
~n
£ Aíf 
1
Utilizando os dados da análise granulométrica diferencial, resulta
^ J Ü È Í L n .
1 bO } '
n M òtfii 
£ — —
1 b D ^fi
n àifi
1 D]
28 CAPTTULO 2
O mesmo resultado poúerá ser obtido por meio da análise granulométnca acu ­
mulada de grossos;
/■> dip
^ Jo 
T —
Jo D
dip
b) Média linear dos diâmetros 0 ^ ) - se trata agora de um diâmetro médio, 
mas de uma grandeza estatística e que tem importância no estudo da evapora­
ção de gotículas no seio de gases, como na produção de fertilizantes ou café so­
lúvel.
é a abscissa média do gráfico ò v s D á a fig. 11-8 semelhante ao da ACAR 
{}P vs D) e que permite substituir a área hachurada sob a curva pela do retângu­
lo pontilhado. A ordenada é a fração acumulada na peneira / (semelhante à fra ­
ção acumulada das massas retidas <pf):
6j = A 6 j + + • • • +
onde:
A8/
s y v .õ ; -
Fif. II.S 
Média linear dos 
diâm etros.
É evidente que S * 0 quando >p-0, isto é, para D infinito e vale 1,0 quando 
o diâmetro é zero. De acordo com a definição, Dà é tal que
isto é.
Dà £ DdS
D.d5
p r o p r i e d a d e s d o s SÕUDOS PARTICULAOOS 29
O cálculo poderá ser feito em funçáo dos dados da ACAR como segue:
D (IN
db =
r
D d N
onde dN =
Md-ç
Substituindo e efetuando os cálculos, resulta
1 d\ç 
'0 D- Jo D
Dâ =
f 'A
Ao mesmo resultado chepriam os por meio da AGD:
1 Di
1 D)
c) Diâmetro médio superficial (0$). £ o diâmetro da partícula de superfície 
externa média, que é a ptrtícula cuja superfície externa, ao ser multiplicada 
pelo número de partículas da amostra, fornece a superfície externa total. Este 
diâmetro é im portante para caracterizar materiais como os adsorventes e cata ­
lisadores sólidos, cuja atividade depende da superfície externa. £ também o 
diâmetro apropriado para o estudo do escoamento de fluidos através de leitos 
porosos e para calcular velocidades de dissolução, energia de moagem e difusão 
da luz. Pode ser calculado com os dados da AGO a partir da definição:
N a D l = Í N í o D) 
i I '
O mesmo resultado poderá ser obtido utilizando a curva contínua da AGAR. 
As somatórias sâo substituídas por integrais que devem ser calculadas grafica­
m ente, a menos que a relaçSo matemática entre *peD seja conhecida:
3 0 c a p i t u l o 2
d) Média superficial dos diâmetros (D's)- £sta é uma grandeza estatística obti ­
da com a superfície externa como critério. Utiliza-se uma curva ovs D seme­
lhante à da AGAR (fig. 11-9). A ordenada a é a fração acumulada da superfí­
cie externa. Para a peneira i:
a /* A 0 i +A aa + . . .-►AO|-
Ni Si
onde A o /= -1 1 2 -
n
Z Ni Si
A média superficial é a abscissa média D \q u e permite substituir a área hachu- 
rada pela do retângulo pontilhado:
do= j Dda 
Jfi J fl
Lembrando que do =
'0 •'0 
aD^dN
L
dN=
N
aD^dN
0
M d^ 
bD^p
, resulta finalmente D ’̂ -
[ ' é l
K D
Fig. II. 9
Média superficial 
dos diâm etros.
PROPRIEDADES DOS SO U D O S PARTICULADOS 31
Ao mesmo resultado chegaremos com os dados da AGD:
_ I
^s=-
1 Di
e) Diâmetro médio volumétríco {Dy). £ o diâmetro da partícula de volume mé­
dio, isto é, multiplicando o volume desta partícula pelo número de partículas 
da amostra, obtém-se o volume total do sólido. Isto quer dizer que o volume 
desta partícula é a média aritmética dos volumes de todas as partículas da 
amostra. Como a densidade foi admitida igual para todas as partículas, se­
rá também o diâmetro médio ponderai. Pode ser calculado com os dados da 
AGD como segue:
N b D l ^ S NibD]
Efetuando os c^culos:
Com os dados AGAR o cálculo pode ser feito pela expressão:
0 Média volumétrica dos diâmetros {D \). Esta média estatística é utilizada nas 
separações baseadas nas diferenças de densidade, no projeto dos s e c a d o re s 
inerciais, no estudo da distríbuiçSo de gotículas em nebulizadores e no cálcu­
lo da densidade máxima de leitos fluidizados.
A abscissa média na figura II-IO é a média volumétrica dos diâmetros;
\Dd o3
_ Jo r»- I
Jo
i : dw
32 CAPITULO 2
F(g. lU O - Média 
volum éiiica dos 
diâm etros.
£ fácil verifícar que = hipótese de densidade constante:
= •
b D ^ d N bD^p
f ' b D ^ d N í ' 
Jo Jo
M d\fi
= d>p
bD ^ - 
0 bD^p
Portanto o ; = j ' ^ D d ^
Ao mesmo resultado chegaríamos com os dados da AGD;
— n —
Dy ~ Z Dl à*Pi
4. Distribuição dos finos da amostra
Quando representadas em coordenadas regulares, as curvas de distríbuiçáo 
obtidas com os dados da análise diferencial $3o muitas vezes inadequadas para 
estudar a distribuiçái^ das partículas fmas da amostra, pois nesse trecho as cur ­
vas s9o quase planas. 0 erro introduzido nos cálculos da superfície específi­
ca e dos diâmetros médios quando uma fração importante da amostra chega á 
panela é por vezes inaceitável. D aí a conveniência de se extrapolar os resulta­
dos das análises, visando relacionar ^ com D t^}.
Obseiva-se que, para materiais m oídos de mesma estrutura cristalina, a aná ­
lise granulométrica diferencial obtida com uma série padronizada de peneiras é 
praticamente uma reta na região das partículas fmas (—200 mesh), quando re ­
presentada em escalas logarítmicas. Este fato pode ser utilizado com cautela pa ­
ra extrapolar graficamente os resultados das análises granuiométrícas realizadas
p r o p r i e d a d e s d o s SÓUDOS PARTICULADOS 33
com uma série de peneiras padronizadas. Um método de extrapolação bastante 
útU é o de Gaudinlio). Verífica-se que, na região de partículas pequenas, a cur ­
va de distribuição de tamanhos é uma função de potência do diâmetro:
- — = m D » 
dD
{ m t n constantes)
Esta equação pode ser utilizada para extrapolar com boa precisão os dados da 
análise granulométrica, permitindo relacionar <pcom D. Os valores das constan ­
tes m e n poderão ser obtidos como passaremos a descrever.
Seja r > 1 a relação entre a abertura da malha de uma peneira qualquer da 
série e a da peneira imediatamente inferior. O m étodo só se aplica se r fôr cons­
tante para quaisquer dás duas peneiras consecutivas da série, como no sistema 
Tyler, para o qual r = 1,414. Para as peneiras consecutivas í - 1 e i, de aberturas 
£)/_i e , a equação acima pode ser integrada entre c :
Sendo A '- l - f - O i , resulta
— (d "* ,' - o " " ' )
n + 1 /“ l I
ou
onde K ~
- 1)
n + 1
m (r - 1 )
^fii = -------- ;-------D .
‘ n +1 ‘
é um aconstante. Assim sendo, em papel log-Iog a curva
da análise diferencial é uma reta de coeficiente angular n-*-!. Este valor poderá 
ser obtido diretamente