Aerodinâmica da Bola de Futebol

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Aerodinâmica da Bola de Futebol: 
da Copa de 70 à Jabulani
Carlos Eduardo Aguiar 
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física
Instituto de Física - UFRJ
Resumo
• Resistência do ar
• A crise aerodinâmica
• Força de Magnus
• O gol que Pelé não fez
• Futebol no computador
• Da Copa de 70 à Jabulani
• Comentários finais
A força de arrasto
velocidade Varrasto Fa
2
aa VAC
2
1
F 
 = densidade do meio
A = área “frontal”
Ca = coeficiente de arrasto 
O coeficiente de arrasto
• AV2 tem dimensão de força
Ca = Fa / (½ AV
2) é adimensional
Ca só pode depender de 
quantidades sem dimensão
• Em um fluido incompressível (V<<Vsom) a única 
quantidade adimensional é o número de Reynolds:



DV
Re Ca = f (Re)
D = dimensão característica (diâmetro da bola),  = viscosidade do meio
Coeficiente de arrasto de uma esfera
viscosidade domina
inércia domina
Stokes
crise
G.E. Smith, Newton’s Study of Fluid Mechanics,
International Journal of Engineering Science 36 (1998) 1377-1390
Primeiras medidas e idéias sobre o arrasto
medidas de Newton
Principia, livro 2
água
ar
teoria de Newton
curva experimental
moderna
Coeficiente de arrasto de uma esfera
Re << 1  Ca = 24/Re  Fa = (3D) V 
“atrito linear”
Re = 0.16
(cilindro)
Coeficiente de arrasto de uma esfera
103 < Re < 105  Ca  0,4 - 0,5  Fa  0,2 AV
2
Coeficiente de arrasto da bola de futebol
Ar
• densidade:   1,2 kg/m3
• viscosidade:   1,810-5 kg m-1 s-1
Bola de futebol
• diâmetro: D = 0,22 m 
Vbola = (6,710
-5 m/s) Re
resistência proporcional 
à velocidade (Re < 1)
Vbola < 0,1 mm/s
“atrito linear” irrelevante!
Coeficiente de arrasto da bola de futebol
Vbola  0,1 m/s Vbola  20 m/s
CRISE
Esfera lisa
Na “crise” o coeficiente de arrasto diminui ~80%
A crise do arrasto
0 10 20 30 40 50
V (m/s)
0
1
2
3
4
F
A
 (
N
)
bola de
futebol (lisa) 
Para entender a crise:
• Camada limite
• Separação da camada limite
• Turbulência na camada limite
A camada limite
camada limite laminar camada limite turbulenta
• O fluido adere à superfície da bola.
• A viscosidade transmite parcialmente esta adesão,
criando uma camada que tende a mover-se com a 
superfície.
Separação da camada limite
H. Werlé
A camada limite e a crise do arrasto
camada limite laminar camada limite turbulenta
Antes da crise Depois da crise
A crise do arrasto ocorre 
mais cedo para esferas 
de superfície irregular. 
A rugosidade precipita a 
turbulência na camada 
limite.
bola de golfe bola de futebol “rugosa”
Rugosidade da bola
T. Asai et al., Sports Engineering 10 (2007) 101
A crise do arrasto na bola de futebol
O descolamento da camada limite
e a força de arrasto
Por que não é o lado afiado da asa que corta o ar?
O descolamento da camada limite
e a força de arrasto
O descolamento da camada limite
e a força de arrasto
Carro esporte 0.3 – 0.4
Carro de passeio 0.4 – 0.5
Avião subsônico 0.12
Paraquedista 1.0 - 1.4
Homem ereto 1.0 – 1.3
Cabos e fios 1.0 – 1.3
Torre Eiffel 1.8 – 2.0
http://aerodyn.org/Drag/
Alguns coeficientes de arrasto
O efeito Magnus
bola sem rotação rotação no sentido horário
A rotação muda os pontos de descolamento da camada limite.
A força de Magnus
ver por ex. K.I. Borg et al. Physics of Fluids 15 (2003) 736
VwF  rAC
2
1
MM
• CM = coeficiente de Magnus
• w = velocidade angular
• r = raio da bola
CM ~ 1 (grande incerteza)
FM
A força de Magnus na bola de futebol
MpS CSC 
v/rSp 
T. Asai et al., Sports Engineering 10 (2007) 101
Rotação e arrasto
T. Asai et al., Sports Engineering 10 (2007) 101
v/rSp 
O gol que Pelé não fez
Brasil x Tchecoslováquia, Copa de 70
“E, por um fio, não entra o mais fantástico gol de todas as Copas passadas, presentes e 
futuras. Os tchecos parados, os brasileiros parados, os mexicanos parados – viram a bola 
tirar o maior fino da trave. Foi um cínico e deslavado milagre não ter se consumado esse 
gol tão merecido. Aquele foi, sim, um momento de eternidade do futebol.”
Nelson Rodrigues, À Sombra das Chuteiras Imortais
O gol que Pelé não fez
T
[s]
(X Y Z)
[m]
(Vx Vy Vz)
[m/s]
V
[m/s]

[graus]
Início 0,00 (-5,2 -2,9 0,0) (27,8 -0,4 8,8) 29,1 17,6
Final 3,20 (54,3 3,7 0,0) (15, 2 -0,2 -8,9) 17,6 -30,2
• Vídeo digitalizado e separado em quadros.
• A posição da bola foi determinada em cada quadro.
Início e final da trajetória
Parametrização do coeficiente de arrasto
100000 200000 300000 400000
Re
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
C
A
0,3
0,2
0,1
0
Sp = ω r / v 
Parametrização da força de Magnus
v/rSp 
T. Asai et al., Sports Engineering 10 (2007) 101
MpS CSC 
25.1CM 
• Pontos: dados extraídos 
do vídeo.
• Linha: cálculo com o 
modelo. 
Frequência de rotação (ajustada): f = ωy / 2  = − 6,11 Hz
O gol que Pelé não fez
Desvio médio: 23 cm
-10 0 10 20 30 40 50 60
X (m)
0
2
4
6
8
10
Z
 (
m
)
O gol que Pelé não fez
-20 0 20 40 60
X (m)
0
2
4
6
8
Z
 (
m
)
0 1 2 3 4
T (s)
-20
0
20
40
60
X
 (
m
)
0 1 2 3 4
T (s)
0
2
4
6
8
Z
 (
m
)
Simulação do chute de Pelé
O que ocorreria sem a 
crise do arrasto (Vcrise = )
O que ocorreria sem o 
efeito Magnus
Futebol no computador
Futebol no computador
Sem a resistência do ar e o efeito Magnus
(se o chute de Pelé fosse no vácuo)
Bolas de Efeito
• Trajetórias de bolas chutadas do mesmo ponto e
com a mesma velocidade, mas com diferentes
rotações em torno do eixo vertical.
A Folha Seca
A folha seca (segundo Leroy*): Bola com eixo de 
rotação na mesma direção da velocidade inicial.
* B. Leroy, O Efeito Folha Seca, Rev.Bras.Física 7 , 693-709 (1977). 
Da Copa de 70 à Jabulani: geometria 
da bola de futebol
Telstar 1970
32 gomos
Teamgeist 2006
14 gomos
Jabulani 2010
8 gomos
Teamgeist vs. Jabulani
Teamgeist
Jabulani
O efeito knuckleball
T. Asai et al., A Study of 
Knuckling Effect of Soccer 
Ball, The Engineering of 
Sport 7, p. 555
Comentários Finais
• A crise do arrasto e o efeito Magnus desempenham 
um papel importante na dinâmica da bola de futebol. 
• Muitos fenômenos curiosos podem ser investigados
com esses efeitos: a folha seca de Didi, por exemplo.
• Outros esportes com bola (vôlei, tênis) podem ser 
tratados de forma semelhante.
• Potencial pedagógico:
– Física do cotidiano
– Fenômenos importantes em outros contextos
– Motivação para o estudo de dinâmica de fluidos
Bibliografia
• J. Wesson, The Science of Soccer (IoP Publishing, 2002)
• C. E. Aguiar, Gustavo Rubini, A aerodinâmica da bola de futebol, 
Revista Brasileira de Ensino de Física 26, 297 (2004)
• I. Griffiths, C. Evans, N. Griffiths, Tracking the flight of a spinning 
football in three dimensions, Measurement Science and Technology 
16, 2056 (2005)
• T. Asai, K. Seo, O. Kobayashi, R. Sakashita Fundamental 
aerodynamics of the soccer ball, Sports Engineering 10, 101 (2007)
• J. E. Goff, M. J. Carré, Trajectory analysis of a soccer ball, American 
Journal of Physics 77, 1020 (2009) 
• S. Barber, S.B. Chin, M. J. Carré, Sports ball aerodynamics: A 
numerical study of the erratic motion of soccer balls, Computers & 
Fluids 38, 1091 (2009) 
• J. E. Goff, M. J. Carré, Soccer ball lift coefficients via trajectory 
analysis, European Journal of Physics 31, 775 (2010)