Algebra produto interno

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ÁLGEBRA LINEAR 
AULA 04 
Prof.ª Luana Fonseca Duarte Fernandes 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Olá, seja bem-vindo. Nesta aula, vamos relacionar as matrizes com o produto 
interno, generalizar o Teorema de Pitágoras, ver exemplos de bases ortogonais 
e ortonormais e através da projeção falar sobre o processo de ortogonalização 
de um conjunto. 
CONTEXTUALIZANDO 
Neste capítulo, o tema central é produto interno. Neste momento vamos 
introduzir nos espaços vetoriais o chamado produto interno, através dele 
podemos trabalhar alguns aspectos geométricos do espaço vetorial. O produto 
interno também permite definir norma, distância e ângulos, faz com que aspectos 
geométricos que temos em R² e R³ possam valer como propriedades algébricas 
e numéricas, em qualquer espaço vetorial munido de um produto interno. 
TEMA 1 – PRODUTO INTERNO 
O produto interno é uma função que associa a cada par de vetores de um espaço 
vetorial um número real, ou seja, 〈 , 〉: 𝑉 × 𝑉 ⟶ ℝ , 〈𝑢, 𝑣〉 = 𝑘, tal que , u, v são 
vetores do espaço vetorial V e k é um número real. Chamamos um espaço 
vetorial ℝ𝑛 com um produto interno definido de Espaço Euclidiano. Vamos 
conhecer agora alguns exemplos de produtos internos. 
Exemplo 1 
Considere o espaço vetorial ℝ2, o produto vetorial 〈 , 〉: ℝ2 × ℝ2 ⟶ ℝ definido por 
〈𝑢, 𝑣〉 = 2𝑥1𝑥2 − 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 + 2𝑦1𝑦2, tal que 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) (fica como 
exercício mostrar que de fato é um produto interno). Vamos calcular o produto 
interno de 𝑢 = (5,8) e 𝑣 = (3, −4). 
 
〈(5,8), (3, −4)〉 = 2. (5). (3) − (5). (−4) − (3). (8) + 2. (8). (−4) = −38 
 
O uso dos parênteses em cada número é para identificar cada substituição na 
fórmula do produto interno, não são necessários, foram usados para fins 
didáticos. 
 
 
 
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Exemplo 2 
Considere o espaço vetorial ℝ4, o produto vetorial usual ou canônico, 〈 , 〉: ℝ4 ×
ℝ4 ⟶ ℝ definido por 〈𝑢, 𝑣〉 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 + 𝑡1𝑡2, tais que 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1, 𝑡1) 
e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2, 𝑡2). Vamos calcular o produto interno dos vetores 𝑢 = (2,1, −3,5) 
e 𝑣 = (−1,4,0,6). 
 
〈𝑢, 𝑣〉 = (2). (−1) + (1). (4) + (−3). (0) + (5). (6) = 32 
 
Podemos associar o produto interno a matrizes. Dados um espaço vetorial com 
uma base 𝛽 e com um produto interno definido, então podemos escrever: 
 
〈𝑢, 𝑣〉 = 𝑌𝑡𝐴𝑋 
 
Tal que A é a matriz do produto interno na base 𝛽 e 𝑋 é a matriz coluna do vetor 
u na base 𝛽 e 𝑌 é a matriz coluna do vetor v na base 𝛽. Vamos voltar aos 
exemplos. 
 
Exemplo 3 
Vamos determinar o produto interno definido no exemplo 1 em termos de 
matrizes, considerando a base canônica do ℝ2 𝛼 = {(1,0), (0,1)}, nesta ordem. 
Temos que 〈𝑢, 𝑣〉 = 2𝑥1𝑥2 − 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 + 2𝑦1𝑦2, tal que 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 =
(𝑥2, 𝑦2). Para encontrarmos a matriz A vamos calcular o produto interno na base 
𝛼: 
〈(1,0), (1,0)〉 = 2.1.1 − 1.0 − 1.0 + 2.0.0 = 2 
〈(1,0), (0,1)〉 = 2.1.0 − 1.1 − 0.0 + 2.0.1 = −1 
〈(0,1), (1,0)〉 = 〈(1,0), (0,1)〉 = −1 
〈(0,1), (0,1)〉 = 2.0.0 − 0.1 − 0.1 + 2.1.1 = 2 
 
 
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A matriz A é 
[
2 −1
−1 2
] 
 
A matriz X é a matriz linha do vetor 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e Y a matriz linha do vetor 𝑣 =
(𝑥2, 𝑦2), então 
𝑌𝑡 = [𝑥2 𝑦2] 𝑋 = [
𝑥1
𝑦1
] 
 
Então, o produto interno definido no primeiro exemplo em relação a base 𝛽 é, 
em termos de matrizes: 
 
〈𝑢, 𝑣〉 = [𝑥2 𝑦2] [
2 −1
−1 2
] [
𝑥1
𝑦1
] 
 
Vamos utilizar esta fórmula para calcularmos novamente o produto dos vetores 
u = (5,8) e v = (3,-4), como os vetores dados já estão na base canônica e na 
ordem da base 𝛼, basta substituirmos e realizarmos as operações: 
〈𝑢, 𝑣〉 = [3 −4] [
2 −1
−1 2
] [
5
8
] = −38 
 
Exemplo 4 
Vamos determinar o produto interno definido no exemplo 1 em termos de 
matrizes, considerando a base 𝛽 = {(1,1), (2,0)}. Temos que 〈𝑢, 𝑣〉 = 2𝑥1𝑥2 −
𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 + 2𝑦1𝑦2, tal que 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2). Para encontrarmos a 
matriz A vamos calcular o produto interno na base 𝛽: 
〈(1,1), (1,1)〉 = 2.1.1 − 1.1 − 1.1 + 2.1.1 = 2 
〈(1,1), (2,0)〉 = 2.1.2 − 1.0 − 2.1 + 2.1.0 = 2 
 
 
5 
〈(2,0), (1,1)〉 = 〈(1,1), (2,0)〉 = 2 
〈(2,0), (2,0)〉 = 2.2.2 − 2.0 − 2.0 − 2.0.0 = 8 
 
A matriz A é 
[
2 2
2 8
] 
 
A matriz X é a matriz linha do vetor 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e Y a matriz linha do vetor 𝑣 =
(𝑥2, 𝑦2), então 
 
 
𝑌𝑡 = [𝑥2 𝑦2] 𝑋 = [
𝑥1
𝑦1
] 
 
Então, o produto interno definido no primeiro exemplo em relação a base 𝛽 é, 
em termos de matrizes: 
〈𝑢, 𝑣〉 = [𝑥2 𝑦2] [
2 2
2 8
] [
𝑥1
𝑦1
] 
 
Para usarmos esta fórmula para determinar o produto interno entre dois vetores 
do ℝ² é preciso utilizar os vetores escritos na base 𝛽 = {(1,1), (2,0)} nesta ordem. 
Vamos determinar novamente o produto interno de u = (5,8) e v = (3,-4), mas 
agora utilizando as matrizes encontradas. Como utilizamos a base 𝛽 e os vetores 
são dados na base canônica, precisamos encontrar os vetores dados na base 𝛽: 
𝑢 = (5,8) = 𝑎(1,1) + 𝑏(2,0) 
𝑣 = (3, −4) = 𝑐(1,1) + 𝑑(2,0) 
 
Assim, encontramos a = 8 , b = -3/2 , c = -4 e d = 7/2. Desta maneira, temos 
 
 
6 
𝑢 = (5,8) = (8, −
3
2
)
𝛽
 
𝑣 = (3, −4) = (−4,
7
2
)
𝛽
 
Agora, podemos calcular utilizando as matrizes 
〈𝑢, 𝑣〉 = [−4
7
2
] [
2 2
2 8
] [
8
−
3
2
] = −38 
E chegamos no mesmo resultado encontrado no exemplo 1. 
 
Leitura Complementar 
 
Para saber mais sobre o tema, acesse o link a seguir: Produto interno e 
ortogonalidade, disponível em: 
https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalhoConclusa
o/viewTrabalhoConclusao.jsf?popup=true&id_trabalho=93893. Acesso em: 19 
ago. 2019. 
 
TEMA 2 – NORMA 
Agora vamos estudar a norma em um espaço vetorial. Assim como o produto 
interno, norma ou comprimento é uma função, porém ela associa a um vetor de 
um espaço vetorial um número real, ‖ ‖: 𝑉 ⟶ ℝ, ||𝑢|| = 𝑘, tal que u é um vetor 
de V e k um número real, e satisfaz algumas propriedades. 
Um espaço vetorial V munido de uma norma é chamado de espaço normado. 
Também existem vários tipos de normas, assim como os produtos internos, você 
pode conhecer na leitura complementar. 
Leitura complementar 
Para saber mais, acesse o Capítulo 7 – Espaços com produtos internos, do livro 
Introdução à Álgebra Linear, disponível em: http://moodle.profmat-
sbm.org.br/MA33/2012/AL_PROFMAT_cap07.pdf. Acesso em: 19 ago. 2019. 
https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalhoConclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?popup=true&id_trabalho=93893
https://sucupira.capes.gov.br/sucupira/public/consultas/coleta/trabalhoConclusao/viewTrabalhoConclusao.jsf?popup=true&id_trabalho=93893
http://moodle.profmat-sbm.org.br/MA33/2012/AL_PROFMAT_cap07.pdf
http://moodle.profmat-sbm.org.br/MA33/2012/AL_PROFMAT_cap07.pdf
 
 
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Agora vamos nos ater a estudar a norma associada ao produto interno, ou seja, 
dado um espaço vetorial V com um produto interno 〈, 〉: 𝑉 × 𝑉 ⟶ ℝ, então temos 
a norma associada a este produto definida por ‖ ‖: 𝑉 ⟶ ℝ, ||𝑢|| = √〈𝑢, 𝑢〉 e é 
chamada de norma euclidiana. Podemos definir a distância entre dois vetores 
utilizando a norma. Vimos que há normas provenientes de produto interno, logo 
podemos associar a distância a um produto interno. Distância é uma função que 
associa um par de vetores do espaço vetorial um número real, 𝑑: 𝑉 × 𝑉 ⟶ ℝ, 
𝑑(𝑢, 𝑣) = ||𝑢 − 𝑣|| que valem a simetria, positividade e a desigualdade triangular. 
Um espaço vetorial com uma distância definida é chamado de espaço 
métrico. 
 
Exemplo: Considere o espaço vetorial ℝ³, o produto interno canônico, a norma 
a ele associado será 
||𝑢|| = √〈𝑢, 𝑢〉 = √𝑥1² + 𝑦1² + 𝑧1² 
 
Tal que,𝑢 = (𝑥1𝑦1𝑧1). A norma representa o tamanho do vetor u. E também 
podemos definir a distância utilizando o produto interno canônico, considere 𝑣 =
(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) 
||𝑢 − 𝑣|| = √〈𝑢 − 𝑣, 𝑢 − 𝑣〉 = √(𝑥1 − 𝑥2)² + (𝑦1 − 𝑦2)2 + (𝑧1 + 𝑧2)² 
 
Vamos analisar um exemploe a relação existente entre produto interno, norma 
e distância. Vamos agora determinar a norma do vetor u = (2,3,1) e a distância 
de u e v = (0,5,2). 
||𝑢|| = ||(2,3,1)|| = √2² + 3² + 1² = √14 
 
||𝑢 − 𝑣|| = √(2 − 0)2 + (3 − 5)2 + (1 − 2)² = √9 = 3 
 
 
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TEMA 3 – BASE ORTOGONAL 
No estudo de base ortogonal, vamos além de associar a produto interno, vamos 
fazer a relação com a norma e consequentemente com ângulo. Dado um espaço 
vetorial munido de um produto interno, na leitura obrigatória pudemos estudar a 
desigualdade de Schwarz que é |〈𝑢, 𝑣〉| ≤ ‖𝑢‖‖𝑣‖ se dividirmos ambos os lados 
por ‖𝑢‖‖𝑣‖ temos 
|〈𝑢,𝑣〉|
‖𝑢‖‖𝑣‖
≤ 1 , ou podemos escrever como: 
 
−1 ≤
〈𝑢, 𝑣〉
‖𝑢‖‖𝑣‖
≤ 1 
 
Desta maneira, podemos associar ao cosseno, pois no intervalo de [0°, 180°] 
existe um único ângulo 𝜃, tal que 
cos(𝜃) =
〈𝑢, 𝑣〉
‖𝑢‖‖𝑣‖
 
 
Assim definimos o ângulo entre os vetores u e v. 
Em um espaço vetorial V com um produto interno 〈 , 〉 definido temos que dois 
vetores u e v são ortogonais se, e somente se, 〈𝑢, 𝑣〉 = 0. Da definição de ângulo 
acima podemos relacioná-lo com o conceito de ortogonalidade, pois da 
ortogonalidade de dois vetores u e v temos que 〈𝑢, 𝑣〉 = 0, então cos(𝜃) = 0, com 
0° ≤ 𝜃 ≤ 180°, logo o ângulo entre os vetores u e v é de 90°. 
Exemplo: Considere o espaço vetorial ℝ² com o produto usual (canônico), os 
vetores 𝑢 = (−2,5) e 𝑣 = (5,2) são ortogonais, pois 〈𝑢, 𝑣〉 = −2.10 + 5.4 = 0. 
Observe que qualquer múltiplo do vetor v também será ortogonal a u, de fato, 
seja o vetor 𝑤 = 𝑘𝑣, sendo k um número real, um múltiplo qualquer de v,então 
〈𝑢, 𝑘𝑣〉 = 𝑘〈𝑢, 𝑣〉 = 𝑘. 0 = 0, logo u e w são ortogonais. 
Exemplo: Considere o espaço vetorial ℝ³ com o produto usual (canônico) e os 
vetores 𝑢 = (1,1, −1) , 𝑣 = (2, −1,1) e 𝑤 = (3,2, −4) neste espaço. Temos que u 
e v são ortogonais, 〈𝑢, 𝑣〉 = 1.2 + 1. −1 + (−1). 1 = 0, v e w são 
 
 
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ortogonais,〈𝑣, 𝑤〉 = 2.3 + (−1). 2 + 1. −4 = 0, porém u e w não são ortogonais, 
〈𝑢, 𝑤〉 = 1.3 + 1.2 + (−1). −4 = 9. 
Um conjunto 𝑆 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} contido em um espaço vetorial V munido de um 
produto interno é dito um conjunto ortogonal se 〈𝑣𝑖, 𝑣𝑗〉 = 0 para todo 𝑖 ≠ 𝑗, ou 
seja, quaisquer dois vetores distintos de S são ortogonais. Se além de ser 
ortogonal os vetores possuem norma igual a 1, ou seja, são unitários então o 
conjunto é chamado de conjunto ortonormal. Desta maneira temos as bases 
ortogonais e ortonormais, que além de bases são conjunto ortogonais e 
ortonormais respectivamente. 
Essas bases são importantes, pois tornam mais fácil e simplificada a 
representação de um elemento do espaço vetorial, o que facilita também na 
representação de transformações lineares. 
Teorema de Pitágoras: Seja V um espaço vetorial com um produto interno real 
e com a norma ‖𝑢‖ = √〈𝑢, 𝑢〉. Então 〈𝑢, 𝑣〉 = 0 se, e somente se, ‖𝑢 + 𝑣‖² =
‖𝑢‖² + ‖𝑣‖². 
Temos também uma generalização do Teorema de Pitágoras: Seja 𝑆 =
{𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … , 𝑣𝑛} um conjunto ortogonal em um espaço vetorial munido de um 
produto interno e uma norma proveniente do produto interno, então 
 
‖𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3 + ⋯ + 𝑣𝑛‖² = ‖𝑣1‖² + ‖𝑣2‖² + ‖𝑣3‖² + ⋯ + ‖𝑣𝑛‖² 
 
Leitura complementar 
Veja sobre a Lei dos cossenos e a regra do Paralelogramo, propriedades que 
conhecemos no plano e que valem para espaços vetoriais com produto interno. 
Álgebra Linear e suas Aplicações, disponível em: 
http://www.ime.unicamp.br/~pulino/ALESA/Texto/cap05.pdf. Acesso em: 19 ago. 
2019. 
TEMA 4 – PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO 
Dada qualquer base de um espaço vetorial, podemos encontrar uma base 
ortonormal, o que facilita alguns resultados da disciplina de Álgebra Linear. 
http://www.ime.unicamp.br/~pulino/ALESA/Texto/cap05.pdf
 
 
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Primeiro vamos compreender a projeção ortogonal. Exemplo: Considere o 
espaço vetorial ℝ³ e W um plano passando pela origem, logo um subespaço de 
ℝ³. Qualquer vetor 𝑣 ∈ ℝ³ pode ser escrito como combinação linear de 𝑝 ∈ 𝑊 
e 𝑢 ∈ 𝑊⊥, ou seja, 𝑣 = 𝑝 + 𝑢. 
Observe a figura, temos que o vetor p é a projeção ortogonal de v sobre o plano 
e u é ortogonal a p. 
 
Podemos escrever de maneira geral o exemplo acima como seguinte teorema: 
Teorema: Seja W um subespaço vetorial de ℝ𝑛, então cada vetor 𝑣 ∈ ℝ𝑛 pode 
ser escrito de maneira única como 𝑣 = 𝑝 + 𝑢, tal que 𝑝 ∈ 𝑊 e 𝑢 ∈ 𝑊⊥. Se 
{𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, … , 𝑤𝑛} é uma base ortogonal de W, então 𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑤1
𝑣 + 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑤2
𝑣 + ⋯ +
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑤𝑛
𝑣 e 𝑢 = 𝑣 − 𝑝. 
Assim, vamos exemplificar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, 
que parte desta ideia de projeção ortogonal para criar a partir de uma base 
qualquer uma base ortogonal. E que depois podemos deixar esta base ortogonal 
uma base ortonormal, basta que dividamos cada vetor pelo seu módulo, ou seja, 
encontremos o versor de cada vetor da base ortogonal. 
Leitura complementar 
Para saber mais sobre o tema, leia o Capítulo 2 – Ortogonalidade e Processo de 
Gram-Schmidt, da obra Licenciatura em matemática, disponível em: 
http://www.cesadufs.com.br/ORBI/public/uploadCatalago/11040616022012Alge
bra_Linear_II_aula_2.pdf. Acesso em: 19 ago. 2019. 
http://www.cesadufs.com.br/ORBI/public/uploadCatalago/11040616022012Algebra_Linear_II_aula_2.pdf
http://www.cesadufs.com.br/ORBI/public/uploadCatalago/11040616022012Algebra_Linear_II_aula_2.pdf
 
 
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TEMA 5 – COMPLEMENTO ORTOGONAL 
Alguns resultados de espaço vetorial envolvendo complemento ortogonal nos 
ajudam a decompor em resultados referentes os conjuntos ortogonais e os 
complementos e ao conjunto todo, ou seja, a todo espaço vetorial, conhecendo 
os conjuntos ortogonal e o complemento. 
Exemplo: Considere em ℝ3 um plano 𝜋 passando pela origem e a reta 
perpendicular a 𝜋 passando pela origem, então cada vetor do plano é ortogonal 
a todos os vetores da reta e cada vetor da reta é ortogonal a todos os vetores do 
plano, logo a reta é o complemento ortogonal do plano e o plano o complemento 
ortogonal da reta. 
TROCANDO IDEIAS 
Para completarmos nossa aula, responda a seguinte pergunta: qual é a relação 
entre produto interno, norma, distância e ângulo? Quando alteramos um produto 
interno o que pode mudar em um espaço vetorial se compararmos com o mesmo 
espaço vetorial, mas munido do produto canônico? 
SÍNTESE 
Nesta aula pudemos conhecer, identificar e operar com produtos internos nos 
mais distintos tipos de espaços vetoriais. Relacionamos e definimos norma, 
distância e ângulo através do produto interno. Pudemos conhecer, identificar e 
classificar conjuntos ortogonais e ortonormais. Através da projeção ortogonal 
identificamos como calculamos e obtemos uma base ortogonal a partir de uma 
base qualquer, este processo é chamado de Processo de ortogonalização de 
Gram-Schmidt. E finalizamos reconhecendo e obtendo conjuntos chamados 
complementos ortogonais.